A dimensão retórica da prática matemática euclidianaResumo
O artigo propõe um estudo das demonstrações diagramáticas euclidianas, sob um ponto de vista retórico, questionando a visão tradicional de que os diagramas são meros recursos psicotécnicos no processo de descoberta matemática. Argumenta-se que os diagramas são usados para justificar afirmações específicas nas demonstrações, as quais não comprometem a correção dos resultados alcançados por Euclides. Para explicar isso, mostra-se a possibilidade de o método inferencial euclidiano ser interpretado à luz dos entimemas, ou seja, dos argumentos retóricos dependentes da audiência. Por fim, o texto discute o conceito de demonstração canônica, i.e., de demonstração completa segundo os princípios de uma teoria, como forma de antecipar algumas objeções. São consideradas também as limitações da análise lógica, ao estabelecer a definição standard como única espécie de demonstração canônica.
Palavras-chave:
Elementos de Euclides; Demonstrações; Diagramas; Retórica; Entimemas
Abstract
The article proposes a study of Euclidean diagrammatic demonstrations from a rhetorical perspective, questioning the traditional view that diagrams are merely psychotechnical tools in the process of mathematical discovery. It argues that diagrams are used to justify specific claims in demonstrations, without compromising the correctness of the results achieved by Euclid. To explain this, it explores the possibility of interpreting the Euclidean inferential method in light of enthymemes, that is, rhetorical arguments dependent on the audience. Finally, the article discusses the concept of canonical demonstration, i.e., a complete demonstration according to the principles of a theory, as a way to anticipate some objections. It also considers the limitations of logical analysis in establishing the standard definition as the only type of canonical demonstration.
Keywords:
Euclid’s Elements; Demonstrations; Diagrams; Rhetoric; Enthymemes
INTRODUÇÃO
Nos Elementos de Euclides, os diagramas geométricos são usados para justificar afirmações feitas no decorrer das demonstrações. Tal recurso é frequentemente criticado pela literatura especializada, sob a alegação de ser um método inferencial não rigoroso. Um método inferencial rigoroso deveria estar em conformidade com a definição standard de demonstração: uma sequência de fórmulas, onde cada uma delas ou bem é um axioma, ou bem se segue da aplicação prévia de uma regra de inferência válida. Com essa definição, a qual identifica justificação matemática e derivação de fórmulas, os diagramas passam a ser apenas recursos psicotécnicos no processo de descoberta (heurística).
Nas últimas décadas, esse entendimento vem sendo questionado. Argumenta-se, com efeito, que dar uma demonstração é antes de mais nada dar razões para algo e não somente estabelecer que uma afirmação é verdadeira. Sob essa perspectiva, a literatura filosófica tem chamado atenção para a importância em se reconsiderar o papel epistemológico desses artefatos gráficos, nas demonstrações matemáticas. No tocante aos Elementos, Manders (2008) destaca o fato de a prática matemática euclidiana garantir que somente um tipo específico de afirmações seja justificado pela parte visual e que isso, apesar das reincidentes objeções a Euclides, não compromete a correção dos resultados matemáticos alcançados por ele.
O objetivo deste artigo é estudar, no âmbito da filosofia da prática matemática, a aplicação da retórica aos argumentos diagramáticos de Euclides. A seção 2 é uma exposição das demonstrações euclidianas, onde são destacadas a maneira como o diagrama é utilizado e quais críticas costumam ser feitas. A seção 3 procura explicar o uso dos diagramas, a partir da distinção proposta por Manders entre afirmações exatas e co-exatas. Sustenta-se que as afirmações justificadas pelo diagrama (co-exatas) não afetam a correção das demonstrações. A seção 4 aborda a tese de Lassalle Casanave e Panza (2015) e Lassalle Casanave (2019), segundo a qual o método inferencial euclidiano pode proceder por entimemas. Para esses autores, a retórica clássica (e não apenas a lógica) poderia oferecer uma explicação das demonstrações diagramáticas euclidianas, a partir da teoria dos entimemas, i.e., argumentos válidos, porém dependentes da audiência. Argumenta-se que essa abordagem retórica pode ser aliada à concepção de prática matemática da qual trata Manders, sobretudo em seu aspecto normativo. Dando seguimento ao estudo retórico, a seção 5 discute o conceito de demonstração canônica, i.e., de demonstração completa, segundo os princípios de uma teoria, como forma de antecipar algumas objeções. São consideradas também as limitações da análise lógica, ao estabelecer como única espécie de demonstração canônica a definição standard.
1 DEMONSTRAÇÕES E DIAGRAMAS
Euclides abre o Livro I dos Elementos com a explicitação de três tipos de primeiros princípios: as definições, os postulados, e as noções comuns2. Para além desses primeiros princípios, os diagramas também são usados para justificar algumas afirmações feitas ao longo de suas demonstrações. Considere-se o primeiro enunciado (Figura 1): construir numa reta dada um triângulo equilátero.
Eis o esquema da demonstração. No mesmo segmento de reta, AB (ou BA), dois círculos são traçados, justificados pelo Postulado 3. Traçam-se, em seguida, os raios AC e CA, pelo Postulado 1. Logo, ABC é um triângulo e é equilátero, por Definição I.15 e Noção Comum 1. Atente-se, contudo, para a construção do ponto C. Ela não é justificada por nenhum dos princípios supramencionados, nem por algum problema previamente resolvido. É preciso ver o diagrama.
Costuma-se separar as demonstrações euclidianas em seis partes: enunciado (prótasis), exposição (ekthesis), especificação (diorismós), construção (kataskeuē), demonstração (apodeixis) e conclusão (sympérasma)3. O enunciado pode ser formulado como uma frase declarativa, quando o objetivo é a demonstração de um teorema, ou uma frase imperativa, quando o objetivo é a resolução de um problema. Na exposição, algum objeto é dado e, então, a especificação estabelece sob quais condições o problema vai ser resolvido ou o teorema, demonstrado. A construção diz respeito à introdução de novos objetos nas demonstrações, mediante os postulados 1, 2 e 3 (chamados, por isso, de postulados de construção) ou um problema já resolvido. A demonstração, a parte dedutiva e não o argumento como um todo4, é de onde são extraídas as consequências do que foi previamente introduzido na construção, quando são aplicados os postulados 4 e 5 e as noções comuns. Por fim, a conclusão traz uma recapitulação do que ficou estipulado na exposição e na especificação. Eis como o esquema se aplica à demonstração I.1:
Objeta-se o uso dos diagramas em demonstrações matemáticas, porque são imperfeitos. Por exemplo, as linhas desenhadas à mão livre, ou com o auxílio da régua, têm espessura, o oposto do que diz a segunda definição de Euclides, a saber, linha é comprimento sem largura (Definição I.2). Essa objeção é bem antiga, como se nota no Comentário de Proclo. Ele é enfático, ao frisar que, se as demonstrações geométricas fossem baseadas em diagramas, então, a geometria seria uma disciplina empírica - pois suas proposições seriam verdadeiras sobre coisas sensíveis -, o que seria uma flagrante contradição com o seus resultados exatos. Daí a sua indagação:
Onde, dentre as coisas sensíveis, vemos um ponto sem parte, uma linha sem largura, uma superfície sem grossura, igualdade de linhas a partir do centro ou, em geral, quaisquer figuras poligonais ou poliedrais sobre as quais nos ensina a geometria? E como as proposições desta ciência permanecem irrefutáveis quando as figuras e formas das coisas sensíveis são apenas mais ou menos o que são, movendo-se e mudando de toda maneira, cheias de indeterminação da matéria, quando a igualdade é composta por seu oposto, desigualdade, e indivisíveis como divisível e separado? (Proclo, 49.6-21. Vide Proclo, 12.1-16.16).
Além disso, as proposições matemáticas não são verdadeiras relativamente aos traçados sensíveis, pois esses são particulares; os resultados matemáticos, além de exatos, são universais. Os diagramas são inexatos e particulares. “Porque eles”, continua Proclo, se referindo aos matemáticos, “não usam as qualidades particulares do objetos [sensíveis], senão que desenham o ângulo ou a linha reta para pôr o-que-é-dado perante nossos olhos, consideram que o que inferem sobre um dado ângulo ou linha reta pode ser asserido identicamente para cada caso similar” (Proclo, 207.5-22. Vide Heath, 1908, 227-231).
Não obstante essas críticas, o método inferencial euclidiano, conforme se viu, destoa muito do ideal de demonstração vislumbrado por Proclo. É uma situação análoga à que se verifica no séc. XX, quando as críticas como as de Proclo foram radicalizadas. Euclides passou a ser acusado de deixar (não deliberadamente) lacunas lógicas em seus argumentos e, por essa razão, elas não seriam rigorosas. Essas demonstrações estariam mais próximas desse ideal de rigor, se lhes fossem acrescentados novos princípios, os quais preencheriam as lacunas, ainda que para isso fosse preciso recorrer a uma teoria matemática muito diferente daquela exposta nos Elementos, como o método axiomático-formal exposto por Hilbert, em Fundamentos da geometria (1899). É precisamente o que faz Thomas L. Heath5. Seria, pois, uma opção conciliadora entre a total rejeição dos argumentos euclidianos e a total admissão dos diagramas, sob as condições supramencionadas. Note-se que esse entendimento assume que as demonstrações euclidianas correspondem apenas à parte dedutiva (apodeixis). Há, porém, uma outra opção conciliadora, mediante a qual são estabelecidas condições bem específicas para o uso dos diagramas que tentam evitar os problemas da inexatidão e universalização. Nisso consistem as recentes tentativas de reconstruir a prática matemática euclidiana.
2 A PRÁTICA MATEMÁTICA EUCLIDIANA
Apesar do diagrama ser usado como meio de justificação, não se pode acusar Euclides de ter incorrido nalgum erro. O estudo da prática matemática euclidiana, baseada no uso de justificativas diagramáticas, pode ajudar a esclarecer a estabilidade da teoria euclidiana. Para isso, seria preciso considerar não apenas os aspectos lógicos (validade) e metamatemáticos (consistência), como também uma dimensão normativa relativa a controle de artefatos gráficos e textuais. Nesse sentido, deve-se considerar a separação feita por Manders (2008) entre afirmações exatas, fornecidas apenas pela parte linguística, e afirmações co-exatas, fornecidas tanto pela parte linguística quanto pelo diagrama.
As afirmações exatas dizem respeito a predicados introduzidos primeiramente nas definições. Por exemplo, ter comprimento sem largura (Definição I.2). Como já esclarecido, essas afirmações não são extraídas da inspeção sensorial do diagrama. O que Manders notou é que os predicados exatos, nos Elementos, são justificados nas demonstrações exclusivamente por referência ao texto, quer seja um dos princípios, quer seja uma proposição já demonstrada. Por exemplo, em I.1, Euclides deduz as igualdades dos segmentos traçados pela definição de círculo e pela Noção Comum 1, o que lhe permite inferir - de novo, textualmente - que o triângulo construído é equilátero.
Vide o problema I.2 (Figura 2). Euclides inicia a resolução com dois objetos dados pelo texto (na ekthesis): o ponto A e a reta BC. Depois, introduz o segmento retilíneo BA, autorizada pelo Postulado 1, o triângulo equilátero DAB, pelo problema I.1, e os círculos CGH e o GKL, pelo Postulado 3. A saída diagramática acompanha cada uma dessas construções, mas, em momento algum, o diagrama é usado para justificar as afirmações feitas. O fundamental na argumentação de Manders é a percepção de que Euclides procede dessa maneira, sistematicamente. O diagrama passa a ser usado quando, ainda na parte construtiva, o Postulado 2 é empregado nas prolongações de DA até E e de DB até F. É nesse momento que a saída diagramática mostra algumas relações não verbalizadas pela entrada textual: as interseções nos pontos G e L; que G está entre F e B e também está entre D e F; que o ponto B, está entre G e D e também entre D e F; que o ponto A está entre D e L e também entre D e E; que o ponto L está entre A e E e também entre D e E.
No caso dos diagramas, Manders estabelece as seguintes condições, para que os atributos possam ser diretamente extraídos: que haja pistas (cues) perceptivas explícitas, o que exige a presença do diagrama, de modo que às entradas textuais correspondam saídas diagramáticas; que esses atributos sejam estáveis sob deformações na aparência (co-exatos); que não sejam elimináveis por uma disciplina diagramática, i.e., os atributos não decorrem de exercícios concernentes à produção de (ainda que imperfeitos) diagramas (ver Manders, 2008, p. 89). As afirmações co-exatas são aquelas que podem ser extraídas das relações exibidas pela aparência do diagrama. (Por aparência do diagrama, Manders entende a inclusão e contiguidade de regiões, segmentos e pontos.) Decorrem do diagrama as interseções entre duas linhas (segmentos retilíneos, círculos ou ambos); de igual maneira, a ordem ou posição dos pontos sobre uma reta ou segmento de reta; o reconhecimento de regiões e as relações mereológicas entre o todo e suas respectivas partes; a contiguidade, a inclusão de regiões ou o corte de regiões , a partir de uma reta (Manders, 2008, p. 93).
À medida em que os postulados de construção são usados, o diagrama passa a exibir algumas relações, as quais, embora façam parte da demonstração, não são justificadas por nenhum elemento textual. O que permite a Euclides usar os diagramas sem inferir uma falsidade, segundo o argumento de Manders, é a invariabilidade da aparência dos diagramas desenhados. Por invariabilidade da aparência entende-se a capacidade de as representações gráficas continuarem a exibir certas relações, mesmo se submetidas a deformações. Recorde-se que a crítica principal ao uso dos diagramas é que eles não podem satisfazer as exigências exatas previamente fixadas nas definições. A proposta de Manders não muda isso. Em vez disso, aponta para o fato de ser possível um diagrama desenhado à mão livre ainda exibir as relações gráficas introduzidas previamente pelos postulados. Não se trata de desenhar um círculo bem redondinho, senão de assegurar que haja uma diferença entre interior e exterior. Tivesse o círculo CGH sido desenhado com a aparência aproximada a uma elipse ou as retas DA e DL apresentassem uma ligeira perturbação e o argumento permaneceria o mesmo, porque o que diz que GCH é um círculo cujos raios, todos eles, são iguais, é sua definição, bem como que DA e DL são retas com tais e tais propriedades.
A invariabilidade da aparência dos diagramas sob deformações é o critério principal para separar atributos exatos dos coexatos. Um diagrama poderia satisfazer alguns atributos exatos, como duas retas serem iguais, mas isso aconteceria ou por precisão dos meios de desenho (uma régua graduada para desenhar uma reta com tal comprimento) ou por acidente. Em ambos os casos, o atributo seria facilmente eliminável, com a mais fina alteração no diagrama. O recurso para o controle da aparência do diagrama é a disciplina diagramática: padrões para a produção e refinamento de diagramas. Por um lado, isso diz respeito à exploração de certas determinações de construções geométricas e, por outro lado, a habilidade requerida de um sujeito que possa reconhecer “falhas” em algumas configurações que supostamente seriam diagramas geométricos. O controle obtido ocorre pela limitação no que concerne à sensibilidade da aparência do diagrama em relações métricas e à ocorrência de múltiplos casos (Manders, 2008, p. 89-97).
A estabilidade da prática matemática euclidiana depende do controle relativo à aparência dos diagramas, mais especificamente, na restrição do uso dos diagramas para justificar atributos exatos e na autorização dos mesmos na justificação dos co-exatos. Afinal, alguém poderia ser conduzido ao erro caso o desenho do círculo não separasse nitidamente o interior e o exterior ou se a linha física traçada apresentasse falhas. O aspecto normativo da prática matemática euclidiana consiste nessa disciplina diagramática, no âmbito da qual as habilidades relacionadas com o reconhecimento e o manuseio de gráficos bi-dimensionais devem ser consideradas par a par com as habilidades linguísticas6.
O principal erro nas objeções às demonstrações euclidianas, como as de Proclo e Heath, foi assumir que qualquer afirmação era justificada pelo diagrama, o que não é o caso. Nos Elementos, uma propriedade exata nunca é extraída dos diagramas. Já as propriedades diagramáticas, as co-exatas, embora não sejam autorizadas pelo texto, não dependem da precisão com que os diagramas são desenhados, senão do controle sobre a manipulação da figura, o qual assegura a estabilidade da prática matemática. O sucesso euclidiano em extrair apenas atributos co-exatos dos diagramas reside precisamente na restrição imposta às respostas possíveis ao artefato gráfico. Uma prática matemática como a euclidiana deve direcionar a disciplina no manuseio de diagramas unicamente para poder-se retirar afirmações co-exatas.
Tudo isso considerado, pode-se concluir que as críticas às demonstrações diagramáticas euclidianas negligenciaram a prática matemática euclidiana, contexto no qual os diagramas podem ser legitimamente utilizados. Isso é visível no comentário de Heath, o qual projetou sobre o texto euclidiano o método axiomático-formal de Hilbert. Dito isso, convém agora discutir a aplicação da retórica a esses argumentos.
3 ENTIMEMAS MATEMÁTICOS
A estabilidade da prática matemática consiste no controle da aparência dos diagramas, de maneira a justificar apenas afirmações decorrentes das propriedades visuais que não são elimináveis mediante deformações. A abordagem à argumentação matemática desde a perspectiva de sua prática oferece espaço para se reconsiderar também a concepção dominante de análise filosófica, a qual reduz a justificação matemática a sequências puramente linguísticas. É visando a isso que Lassalle Casanave e Panza propõem que o estudo das demonstrações diagramáticas euclidianas seja feito sob a perspectiva da retórica aristotélica. Embora esses autores não estejam pensando primariamente no quadro mandersiano, também consideram que as demonstrações euclidianas são parcialmente baseadas em diagramas e que é um recurso legítimo. Ainda assim, será interessante ver até onde são compatíveis as ideias de Lassalle Casanave e Panza e Manders7.
À primeira vista, nada poderia estar mais distante das demonstrações matemáticas do que a arte retórica. Essa percepção resulta de uma associação da retórica a posições relativistas na moral ou na epistemologia. Na melhor das hipóteses, a retórica seria uma parte do que hoje em dia se conhece como crítica literária. Em ambos os casos, persiste a ideia de que não pertence ao escopo da retórica o estabelecimento da verdade8. Tais são as concepções de retórica predominantes no séc. XX, seja entre seus detratores, seja entre seus defensores. Ocorre que, na Retórica, Aristóteles chamou atenção para o fato de os discursos terem um núcleo argumentativo, no qual se pode falar sim do estabelecimento da verdade. Esse núcleo argumentativo é o entimema.
Aristóteles define a arte retórica como a capacidade de teorizar sobre o que é adequado em cada caso, com a finalidade de persuadir. Essa arte diz respeito à exposição pública do discurso, tendo como base o conhecimento que a audiência já tem e, por conseguinte, as proposições verdadeiras previamente admitidas por ela. Em tal circunstância, o orador precisa adequar o seu discurso e, portanto, seus argumentos, seja porque a audiência a quem se endereça não pode ou não se interessa em acompanhar uma longa sequência inferencial, como, por exemplo, durante os debates que antecedem as deliberações no Congresso Nacional, seja porque a audiência tem um razoável grau de conhecimento sobre o tema e, por isso, não precisa ser lembrada a todo instante de coisas circunstancialmente triviais, como quando se argumenta perante um juiz, num julgamento. Daí emerge a ideia de Lassalle Casanave e Panza de que as demonstrações matemáticas também são dependentes da audiência. Para isso, eles entendem que os Elementos não deveria ser entendido apenas como uma coleção de problemas e teoremas, senão também como um tratado matemático em cujo cerne estaria o ensinamento de um afazer (un quehacer) dentro da teoria ali exposta (Lassalle Casanave; Panza, 2015, p. 9).
Aristóteles afirma que o principal erro dos escritos sobre retórica de sua época era que seus autores entendiam que a finalidade exclusiva da retórica seria obter opiniões e decisões favoráveis ao orador, através da manipulação das emoções da audiência. Ignoravam, portanto, o núcleo argumentativo dos discursos. Para Aristóteles, esse núcleo do argumento retórico, também uma espécie de demonstração, é o entimema9. O entimema é um silogismo no qual as deduções não são muito longas, pois não são enunciados todos os passos, de modo que tem menos premissas do que um silogismo típico10.
Aristóteles dá duas razões para que o orador precise usar entimemas. Em primeiro lugar, deduções longas podem tornar o argumento obscuro. Se, portanto, a retórica trata de meios de persuasão diante uma audiência incapaz de acompanhar um fio de raciocínio muito complexo, é imperativo que a principal linha argumentativa seja exposta com brevidade. Em segundo lugar, enunciar todos os passos implicaria enunciar coisas óbvias11. O orador precisa ser eficiente, o que significa elaborar um discurso informativamente conciso, mas essa concisão não pode (sob determinadas circunstâncias) sacrificar a clareza e o estabelecimento da verdade.
A adaptação do argumento não é feita em detrimento de sua correção. Aristóteles oferece um bom exemplo de entimema: Dorieu recebeu uma coroa como prêmio de sua vitória, porque foi o vencedor dos Jogos Olímpicos (1357a). A premissa, anteposta por uma preposição, é esta: “[Dorieu] foi o vencedor dos Jogos Olímpicos”. Por que, então, alguém aceitaria aquela conclusão, se, do ponto de vista lógico, a verdade da premissa não implica a verdade da conclusão? Ora, porque um cidadão ateniense também deveria saber isto: todo vencedor dos Jogos Olímpicos ganha uma coroa. De posse dessa informação, chega-se ao seguinte silogismo típico:
Todo vencedor dos Jogos Olímpicos ganha uma coroa
Dorieu venceu os Jogos Olímpicos
Logo, Dorieu ganhou uma coroa
O argumento acima é válido. E era válido, mesmo antes, quando a premissa era apenas presumida da audiência. Um entimema é um argumento cujas premissas já aceitas (ou conhecidas) pela audiência não precisam ser verbalizadas. Por isso se pode falar da retórica como o estudo dos meios objetivos através dos quais uma demonstração é apresentada a audiências diferentes, deixando de lado (mas não menosprezando) a manipulação das emoções dos membros da audiência ou a referência ao caráter do orador.
O que se propõe aqui é pensar a retórica desde essa perspectiva racional dos meios com os quais as pessoas tentam persuadir diferentes audiências, em diferentes ambientes. Ao propor usar a retórica aristotélica nos argumentos diagramáticos de Euclides, Lassalle Casanave e Panza consideram que a exposição de uma demonstração matemática também depende da audiência e, portanto, também admite o uso dos entimemas (Lassalle Casanave; Panza, 2015, p. 15). Para cada audiência, há um repertório de conhecimento comum que a torna apta a acompanhar uma sequência de argumentos mais complexos do que outros. Esse conhecimento comum pode ser uma habilidade corriqueira, como saber uma língua ordinária, ou uma habilidade bem específica, como a manipulação de símbolos algébricos ou diagramas12. Ter ou não tais habilidades ajuda ou atrapalha a audiência a perceber que um argumento é, afinal, entimemático. Não é relevante, portanto, que o orador tente provocar emoções na audiência relativamente a gráficos e fórmulas. A correção argumentativa deve prescindir desses elementos subjetivos.
Recorde-se da aplicação do axiomático-formal de Hilbert, feita por Heath, onde novos princípios são introduzidos, sob a alegação de que a inferência original tinha lacunas (pois era extraída do diagrama). Do ponto de vista lógico, é uma maneira perspicaz de mostrar que as demonstrações euclidianas podem estar à altura do ideal de rigor argumentativo estipulado na definição standard. De um ponto de vista retórico, porém, essas “lacunas” podem ser entendidas como tipos de entimema, uma vez que, se a saída diagramática decorrente da aplicação dos postulados de construção é invariável a deformações, então faz muito mais sentido que o expositor explicite verbalmente apenas aqueles atributos que o diagrama não pode exibir (afirmações exatas), visto que as afirmações concernentes a propriedades diagramáticas (afirmações co-exatas) podem ser supridas pela audiência. No contexto de uma prática matemática, a explicitação verbal dalguma relação diagramática invariante à deformação é redundante.
Há uma brevíssima menção aos entimemas, no manual de lógica de Copi ([1953] 1981), um dos poucos a dizer que também o conhecimento científico envolve o uso de entimemas. Diz ele: “Na linguagem cotidiana e mesmo na ciência, a maioria das inferências expressa-se entimematicamente”. Essa observação é particularmente importante para o argumento traçado até aqui, pois a abordagem retórica à argumentação matemática tem se limitado a contextos não-fundacionais. Deve-se entender que Copi está mudando sua atenção dos argumentos, por assim dizer, ideais (ou idealizados), para os argumentos reais que os cientistas dão uns aos outros. “Além disso”, continua Copi, “não é invulgar, em absoluto, que um argumento seja retoricamente mais poderoso e convincente, quando enunciado entimematicamente, do que quando enunciado com todos os pormenores” (Copi, [1953] 1981, p. 208. Ver também S. C. Kleene, 1967, §15, p. 67-73). Tal é o caso, como já antecipado por Aristóteles, quando um argumento, não obstante logicamente irretocável, precisa explicitar várias afirmações já conhecidas, fazendo a sequência dedutiva muito longa.
Contudo, Copi assume que os entimemas são “incompletamente enunciados”. Ora, se a premissa não enunciada já é admitida pela audiência, então essa “incompletude” da qual ele fala só pode ser linguística, tese que se coaduna com a análise retórica. Por outro lado, Copi não pretendeu ampliar o conceito de entimema e abarcar também os argumentos parcialmente baseados em diagramas. Eis aí a diferença crucial em relação a Lassalle Casanave e Panza. Mas, Copi não foi o único. Autores, como Pólya (1957), Anglin (1991) e Fallis (2003), também reconhecem a importância dos argumentos incompletos (ou abreviados), na matemática, porém, não atribuem nenhum papel demonstrativo aos diagramas, de maneira que acabam por retornar à condição inicial dos críticos de Euclides, para os quais uma demonstração completa, sem lacunas, é uma derivação de fórmulas.
4 A IDEIA DE DEMONSTRAÇÃO CANÔNICA
Argumentos retóricos devem ser eficientes. Essa eficiência se deve à capacidade de adaptação aos diferentes tipos de audiência. A análise retórica de Lassalle Casanave e Panza pretende ampliar esse entendimento para as demonstrações parcialmente baseadas em diagramas de Euclides, sob a égide da teoria dos entimemas. Para explicar como alguém manipula os diagramas e extrai daí afirmações legítimas, é preciso também considerar o tipo de conhecimento comum que é (ou seria) exigido, no contexto dessa prática. Ressalte-se mais uma vez que o objetivo do presente artigo é alcançar a argumentação matemática em contextos não-fundacionais.
A abordagem retórica aqui considerada visa ao estudo da demonstração como um conceito epistemológico e não apenas lógico. O resgate duma concepção epistemológica de demonstração é destacado por Oswaldo Chateaubriand, em Logical forms (2005). Diz ele:
As demonstrações fazem parte da atividade matemática; servem para estabelecer resultados e fazer com que as pessoas vejam a configuração do terreno. Os dispositivos que são usados nas demonstrações dependem muito do público e da finalidade das demonstrações, mas geralmente são muito mais variados do que aquilo que fica encapsulado nas demonstrações idealizadas de uma teoria das demonstrações (Chateaubriand, 2005, p. 305).
Sob esse prisma, os recursos visuais, circunscritos às determinações normativas já discutidas, podem ser tão legítimos quanto os linguísticos. No contexto de uma prática matemática, os recursos extralinguísticos, como os diagramas, intuição e até mesmo gestos (considerados em contextos bem específicos), auxiliam no processo de compreensão da demonstração, ajudam a “ver claramente o que está acontecendo”, para manter uma analogia do próprio Chateaubriand. “Na verdade, mesmo quando estudamos uma demonstração que é apresentada de uma forma mais padronizada, em um livro ou em um paper, nós mesmos fornecemos esses recursos visuais para entender a demonstração” (Chateaubriand, 2005, p. 307; ver p. 321, n. 11).
Os entimemas fazem parte da comunicação científica e, por extensão, da matemática, mas essa função comunicativa não é a única a ser considerada. Argumentos entimemáticos são adaptáveis ao conhecimento da audiência, mas são válidos. Por outro lado, tem escapado à literatura a possibilidade de se considerar argumentos entimemáticos baseados em diagramas. Por exemplo, alguns autores, como Pólya e Fallis, lembram que as lacunas lógicas são (talvez não todas) intencionais. Trata-se de uma prática aceitável deixar de explicitar determinadas premissas e operações, a depender do público ao qual se destinava o argumento13. Fallis vai além, ao tratar das “lacunas entimemáticas” (terminologia dele) como tipos de lacunas intencionais. Essas lacunas entimemáticas, ainda de acordo com Fallis, são aquelas as quais o matemático pode “deixar de fora”, por considerar que sua audiência a conhece. Seu argumento, que estranhamente deixa de mencionar Aristóteles, é que um matemático pode optar por deixar lacunas inferenciais por questões de economia argumentativa - manter o texto enxuto e conciso. Com um número apropriado de informação, o matemático pode dar o suficiente para a audiência reconstruir seu raciocínio na sua inteireza14.
Por outro lado, embora Fallis considere que a matemática pode usar entimemas e que esses argumentos constituem uma prática aceitável, ele não discute se se poderia ampliar a própria ideia de argumentos, para contemplar o uso de diagramas e habilidades, como propõem Lassalle Casanave e Panza. A concepção de demonstração de Fallis não parece reconhecer que uma versão completa do argumento, correspondente ao preenchimento das “lacunas entimemáticas”, também envolva o recurso aos diagramas. Essa limitação é visível em autores como Pólya e Anglin, como é possível concluir, a partir dos seus exemplos. Daí a afirmação de que argumentos abreviados, entimemáticos ou não, são imperfeitos.
Um entimema pode ser pensado como argumento imperfeito, em dois sentidos. Pode-se pensar que é imperfeito porque “faltam premissas”. Mas aí dever-se-ia considerar se não foi a audiência que mudou. Circunstancialmente, um argumento válido pode não ser aceito por uma audiência se alguma das premissas que o orador não verbaliza, por considerar óbvia, é, apesar de verdadeira, polêmica ou pouco clara; pela mesma razão, um argumento inválido, mas suficientemente detalhado, pode ser aceito por uma audiência. Pode-se pensar, por outro lado, que entimemas são imperfeitos, porque são dedutivamente inválidos. Mas, como se viu, esse não é o caso. Portanto, ainda que se possa entender os entimemas como argumentos linguisticamente imperfeitos, porque nem toda premissa precisa ser explicitada, isso não significa que são dedutivamente imperfeitos, se por imperfeitos se entende que não preservam verdade.
Vale destacar por aqui as investigações empíricas de Andersen (2018) e Andersen et al. (2019), os quais tentaram estudar melhor as observações de autores como Fallis, citado por eles. Recentemente, eles conduziram uma série de entrevistas com matemáticos profissionais, com o objetivo de identificar os critérios adotados na hora de aceitar trabalhos acadêmicos contendo esquemas ou descrições de demonstrações, i.e., demonstrações “com lacunas”. As observações endossam as conclusões teóricas até aqui consideradas. De um modo geral, os entrevistados dizem que quase nunca procedem a partir da estaca zero e, portanto, não se detêm sobre todos os passos das demonstrações. Para um outro grupo, é mais importante procurar nas demonstrações os erros, não os acertos. Uns consideram apenas se as ferramentas adotadas são suficientes para alcançar a conclusão almejada, se é preciso acrescentar algo ou se, ao contrário, pode-se demonstrar, com as mesmas ferramentas, uma proposição mais relevante.
A pesquisa desses autores é uma importante contribuição para um melhor entendimento sobre como o conhecimento científico, na prática, depende da colaboração de vários pesquisadores e perspectivas, ainda que não tenham, individualmente, os mesmos objetivos epistemológicos. Por exemplo, um matemático que aceita de boa-fé uma demonstração esquemática e vai atrás de possíveis erros traz à tona a ideia de credibilidade, algo necessário na ciência, um tema que não chega a ser explorado por Andersen e Andersen et al. Ressalte-se que a pesquisa desses autores também não contempla os argumentos matemáticos diagramáticos, o que seria uma boa oportunidade de avaliar o impacto da definição standard sobre o afazer ordinário de um matemático.
Uma curiosidade da pesquisa de Andersen é que um dos entrevistados até mesmo revela que costuma ignorar demonstrações que apresentam algum pequeno erro nos cálculos, desde que seja facilmente corrigível e não comprometa o resultado almejado. Essa fala confirma uma observação antecipada por Chateaubriand:
Não é uma experiência incomum em matemática que um teorema (verdadeiro) seja publicado pela primeira vez com uma demonstração falaciosa. Às vezes leva muito tempo, até décadas, antes que a “demonstração” seja “acertada”. Às vezes, é claro, o teorema não é “totalmente verdadeiro” e também deve ser corrigido. Isso significa que não apenas a demonstração “correta”, mas também a demonstração falaciosa é uma parte importante da metodologia da matemática? Por que não? A conjectura e o palpite não fazem parte da metodologia da matemática? (Chateaubriand, 2005, p. 324).
Deve-se notar, porém, que Chateaubriand não está defendendo que o conhecimento matemático deveria incorporar falácias ou que esses argumentos são mais desejáveis do que argumentos corretos. O que é proposto é que mesmo um argumento falacioso pode ser iluminador e talvez até chamar atenção para novas técnicas demonstrativas ou mesmo questionar métodos inferenciais sobre os quais havia se estabelecido algum consenso. Por outro lado, deve-se considerar que um argumento puramente linguístico (formal ou não) não está imune ao erro.
Mas, se os entimemas são argumentos abreviados, então existe (ou supõe-se que existe) uma versão detalhada (completa). Lassalle Casanave e Panza diferenciam as demonstrações de Euclides em canônicas e entimemáticas. Demonstrações entimemáticas, como já discutido, são demonstrações abreviadas por causa da audiência e do conhecimento compartilhado por ela, a saber, habilidades relativas ao controle da aparência dos diagramas e proposições verdadeiras previamente admitidas. Demonstrações canônicas são demonstrações detalhadas de acordo com os princípios de uma teoria, ou seja, é o argumento resultante da explicitação das premissas aceitas pela audiência, que pode ser a referência ao diagrama, dentro dos limites normativos impostos pela prática. Em outro lugar, Lassalle Casanave esclarece que “uma demonstração formal em sentido sintático não pode ser entimemática por definição” (Lassalle Casanave, 2019, p. 114). Se a finalidade da análise lógica é expor a forma de um argumento, então ela vai falhar, se suprimir alguma fórmula. “Por outro lado”, continua ele, “que as demonstrações [euclidianas] sejam entimemáticas não implica que não se possa reconhecer uma forma padronizada de demonstração que seja a canônica, i.e., que consista no detalhe da demonstração entimemática”.
De fato, ao descrever sua ciência demonstrativa, Aristóteles fala que os primeiros princípios não precisam ser verbalizados, quando são óbvios para a audiência. Isso seria particularmente relevante para os chamados princípios próprios estudados por ele: as definições, nas quais são assumidos o sentido dos termos, e as hipóteses, nas quais é assumida a existência das coisas que delimitam o escopo investigativo duma ciência. Se há consenso sobre a existência do que é investigado, então, não é preciso que seja suposto e verbalizado na demonstração. (Ressalte-se que Aristóteles, na referida passagem, reconhece que esse consenso é muito menor nas matemáticas, visto que é muito mais fácil anuir sobre a existência de coisas apreendidas pelos sentidos, como os astros, do que sobre linhas, círculos e números.) Ainda assim, Aristóteles não dá nenhum indício claro sobre a possibilidade de se falar em “entimemas científicos”. E mesmo que essa possibilidade fosse contemplada, para Aristóteles, como já antecipado, a fundamentação da teoria dos entimemas reside em sua silogística. Pode-se pensar, por isso, que as demonstrações diagramáticas de Euclides são sempre entimemáticas e que, portanto, a análise lógica não faz senão expor a versão canônica.
À guisa de exemplo, atente-se para o uso dos postulados 1-3. Intérpretes têm censurado Euclides por ter vacilado em explicitar a unicidade da reta no Postulado 1, o que é pressuposto em outras demonstrações15. Para a análise lógica, há duas maneiras de proceder. A primeira delas, como já destacado, é representada pela axiomatização de Hilbert. Assim, quando é dito que seja traçado um segmento de reta de um ponto a outro, dever-se-ia entender o seguinte princípio: existe e é única a reta determinada por qualquer par de pontos. Mais especificamente, o sistema axiomático de Hilbert contempla os seguintes axiomas:
I.1. Dois pontos distintos sempre determinam completamente uma linha reta;
I.2. Quaisquer dois pontos distintos de uma linha reta determinam completamente aquela linha.
As construções geométricas, portanto, passam a ser proposições existenciais. Ocorre que o sistema axiomático de Hilbert não pretendeu esclarecer o método inferencial euclidiano. Percebe-se isso, por exemplo, no fato do sistema de Hilbert não contemplar axiomas equivalentes aos Postulados 2 e 3. Essa axiomatização, portanto, não contribui para uma explicação historiográfica satisfatória dos Elementos, tampouco elucida a estabilidade da teoria euclidiana.
O sistema formal de Avigad et al pretende superar tais obstáculos. O Sistema E (“E” de “Euclides”) desenvolvido por eles contempla regras de inferência correspondentes aos atributos exatos e co-exatos de Manders. Ou seja, é um sistema formal designado especificamente para estudar as demonstrações parcialmente baseadas em diagramas de Euclides. No Sistema E, os Postulados 1 e 3 correspondem a proposições de quantificação mista relativamente a retas, círculos, ângulos retos e intersecções. Caso se queira explicitar simbolicamente a unicidade da reta, no Postulado 1, o sistema de Avigad et al. permite a seguinte expressão:
Ou seja, para todo par de pontos, x e y, se estes são distintos entre si, então existe uma linha l , tal que x está sobre l e y está sobre l. A expressão lógica para o Postulado 3 é esta:
Ou seja, para todo par de pontos distintos, x e y, existe um círculo α tal que x é o centro de α e y está sobre α. Dever-se-ia aclarar que se Centro(x, α), então ¬Sobre(x, α); e que se Sobre(y, α), então ¬Centro(y, α). Esse é o tipo de inferência que, nos Elementos, Euclides jamais explicita, pois pode ser (e é) exibida pelo diagrama.
Formalizações, como a de Avigad et al., podem ajudar a elucidar os mecanismos lógicos por detrás de argumentos informais, sejam eles baseados em diagramas ou não. Não se trata duma disjunção exclusiva entre lógica e retórica. Podem ser ambas. Ainda assim, vale notar uma discrepância em relação ao Postulado 2. O Postulado 2 impõe um obstáculo à ideia de unicidade, da seguinte maneira. Em I.2, assim como na maioria das vezes, Euclides prolonga um segmento retilíneo para, então, traçar um círculo que vai cortar o referido segmento. Ocorre que a entrada textual não assegura que na saída diagramática isso vai acontecer. A linha desenhada pode não ser “longa o suficiente”. Isso não é devidamente resolvido pela formalização de Avigad et al. Na verdade, nem o sistema de Hilbert nem o de Avigad et al. contemplam um princípio equivalente ao Postulado 2. A razão para isso é que esses autores possuem uma concepção infinitista das retas, de maneira que a presença de um princípio que autorize a construção de prolongações passa a ser redundante (Avigad et al, 2009, p. 41, 51; vide Lassalle Casanave, 2019, p. 102-103).
Dada a cooperação texto-diagrama, a entrada textual de cada um desses princípios deve ser acompanhada por uma saída gráfica. Pode-se concluir que a univocidade aí presumida, do ponto de vista da prática matemática, é garantida pelo diagrama. Se se compreende que o Postulado 2 está ligado ao desenho do diagrama, então se compreende um dos porquês de seu “sumiço” nas reconstruções lógicas. Pode-se pensar, ao contrário, que o Postulado 2 tem como papel epistêmico garantir um maior controle sobre a aparência dos diagramas. Assim, a importância do Postulado 2 residiria na hipótese de que pode se tratar de um procedimento chancelado pela audiência. Um procedimento entimemático, portanto. Ou seja, uma prolongação arbitrária é compatível com as autorizações da prática matemática euclidiana (Lassalle Casanave; Panza, 2015, p. 14-22). Portanto, ao invés de suprimi-lo, como fizeram Hilbert e Avigad et al., dever-se-ia reconhecer as restrições impostas pelos artefatos gráficos.
Uma possível formulação canônica seria esta, proposta por Panza: “se um segmento é dado e uma linha física, que o representa, pode ser continuada até cortar uma outra linha física, que representa outro segmento, ou círculo dado, então o primeiro segmento pode ser prolongado até cortar esse outro segmento ou círculo dados” (Panza, 2012, p. 89). Nota-se, destarte, que uma das possíveis conclusões da análise retórica é que a formulação canônica do Postulado 2 pode resultar num predicado co-exato ou exato (mandersianamente falando). Se, da sua aplicação, segue-se uma intersecção entre retas, como em I.2, então, o resultado é um co-exato. Se, porém, a prolongação vai até a fronteira dalguma figura ou circunferência dum círculo, então, o resultado é um exato, pois será igual a um raio traçado pelo Postulado 3.
O método axiomático hilbertiano contribuiu para colocar a análise lógica no centro do debate sobre o conhecimento matemático, no séc. XX. Do ponto de vista da filosofia da matemática, porém, esse entendimento pode dar lugar a uma leitura anacrônica de métodos inferenciais pré-hilbertianos, como o de Euclides, o qual contempla o uso dos diagramas. O estudo da prática matemática euclidiana revelou, porém, um uso controlado dos diagramas, de maneira que propriedades exatas nunca são justificadas nos Elementos, a partir da parte visual. Com isso, abriu-se uma oportunidade de investigar uma outra concepção de análise, que permitisse articular demonstrações diagramáticas informais. Daí a importância da retórica clássica.
A equiparação da justificativa matemática a derivações de fórmulas perde de vista que demonstrações pertencem ao rol de questões epistemológicas. Com isso, perde-se uma boa oportunidade de reflexão sobre os vários métodos através dos quais um teorema é estabelecido. Espera-se que uma demonstração não só seja válida, como também promova convicção. Uma vez que se sabe que a prática matemática envolve o uso de entimemas, e que é possível ter convicção através deles, a missão da análise retórica passa a ser investigar as habilidades e proposições já conhecidas que permitem ao matemático dar uma demonstração abreviada, ao invés da versão canônica. O que a análise retórica faz é introduzir uma alternativa de demonstração canônica - uma na qual as inferências entimemáticas euclidianas são explicadas sem precisar dispensar o recurso aos diagramas.
Considerações finais
Durante os séculos XIX-XX, as demonstrações euclidianas foram criticadas por causa da presença de inferências extraídas dos diagramas. Essas críticas, já contempladas na literatura desde a Antiguidade Tardia, foram ratificadas em razão da identificação entre justificação matemática e derivação de fórmulas (a definição standard). Nas primeiras décadas deste século, porém, tal entendimento foi contestado, a partir da reavaliação do papel demonstrativo dos diagramas, no contexto da prática matemática.
Este artigo apresentou uma defesa das demonstrações diagramáticas euclidianas, desde o ponto de vista da retórica. Viu-se, com Manders, que a prática matemática é estável, porque o uso dos diagramas nas demonstrações euclidianas é controlado, não permitindo que afirmações exatas sejam inferidas do artefato gráfico. Essa é a dimensão normativa do conhecimento matemático dos Elementos. Discutiu-se, em seguida, se essa dimensão normativa, relativamente ao uso dos diagramas, poderia ser explicada a partir da noção de entimemas, tal como proposta por Lassalle Casanave e Panza. Por fim, considerou-se a possibilidade de uma concepção de demonstração canônica que contemplasse os diagramas. Concluiu-se que o Postulado 2, quando usado entimematicamente, justifica um coexato (prolongação arbitrária); quando utilizado canonicamente, pode justificar um exato (no caso em que se prolonga até a circunferência de um círculo).
REFERÊNCIAS
- ANDERSEN, L. E. Acceptable gaps in mathematical proofs. Synthese, v. 197, n. 1, p. 233-247, 2020.
- ANDERSEN, L. E. et al Mathematicians writing for mathematicians. Synthese, v. 198, n. Suppl 26, p. 6233-6250, 2021.
- ANGLIN, W. S. Mathematics and Value. Philosophia Mathematica, v. 2, n. 6(2), p. 145-173, 1991.
- ARISTÓTELES. Categories, On Interpretation and Prior Analytics. Tradução: H. P. Cooke e Hugh Tredennick. Massachusetts: Harvard University Press, 1938 (Coleção Loeb).
- ARISTÓTELES. Posterior Analytics and Topica. Tradução: E. S. Foster e Hugh Tredennick. Massachusetts: Harvard University Press, 1960 (Coleção Loeb).
- ARISTÓTELES. Retórica. Tradução, introdução e notas: Quintín Racionero. Madrid: Gredos, 1999.
- AVIGAD, J. et al A Formal System for Euclid’s Elements The Review for Symbolic Logic, v. 2, p. 1-83, 2009.
- CHATEAUBRIAND, O. Logical Forms. Part II: Logic, Language, and Knowledge. Campinas: Editora da Unicamp, 2005 (Coleção CLE).
- COPE, E. M. An Introduction to Aristotle’s Rhetoric. Londres: Macmillan and Co, 1867.
- COPI, I. Introdução à lógica. Tradução: Álvaro Cabral. Primeira edição inglesa de 1953. São Paulo: Mestre Jou, 1981.
- DE RISI, Vincenzo. Euclid’s common notions and the theory of equivalence. Foundations of Science, v. 26, n. 2, p. 301-324, 2021.
- EUCLIDES. Opera Omnia. Editado por Johan Ludvig Heiberg. Lipsiae: B. G. Teubneri, 1883.
- EUCLIDES. The Thirteen Books of the Elements. Tradução, introdução e comentários: Thomas L. Heath. Cambridge: Cambridge University Press, 1908.
- EUCLIDES. Os Elementos. Tradução e introdução: Irineu Bicudo. São Paulo: Editora da Unesp, 2009.
- FALLIS, D. Intentional Gaps in Mathematical Proofs. Synthese, v. 134, p. 45-69, 2003.
- GINZBURG, C. Relações de força: história, retórica, demonstração. Tradução: Jônatas Batista Neto. São Paulo: Companhia das Letras, 2002.
- GRIMALDI, W. M. A. Studies in the Philosophy of Aristotle’s Rhetoric. Wiesbaden: Franz Steiner, 1972.
- HILBERT, D. Foundations of Geometry. Tradução: E. J. Townsend. 1. ed. alemã de 1899. Chicago: The Open Court, 1902.
- JESUS, D. L. S. Entre a lógica e a retórica: axiomatizações da geometria euclidiana nos séculos XVI e XVII. 2023. Tese (Doutorado em Filosofia) - Faculdade de Filosofia e Ciências Humanas, Universidade Federal da Bahia, Salvador, 2023.
- KLEENE, S. C. Mathematical logic. Nova York: Dover, 1967.
- LASSALLE CASANAVE, A. Entre la retórica y la dialéctica. Manuscrito, v. 31, n. 1, p. 11-18, 2008.
- LASSALLE CASANAVE, A. Por construção de conceitos: em torno da filosofia kantiana da matemática. Rio de Janeiro: Loyola, 2019.
- LASSALLE CASANAVE, A.; PANZA, M. Pruebas entimemáticas y pruebas canónicas en la geometría plana de Euclides. Revista Latinoamericana de Filosofía, v. XLI, n. 2, p. 147-170, 2015.
- MANDERS, K. The Euclidean Diagramm. In: MANCOSU, P. Philosophy of Mathematical Practice. Nova York: Oxford University Press, 2008. p. 80-130.
- PANZA, M. The twofold role of diagrams in Euclid’s plane geometry. Synthese, v. 186, p. 55-102, 2012.
- PÓLYA, G. How To Solve It: A New Aspect of Mathematical Method. 2. ed. Princeton: Princeton University Press, 1957.
- PROCLO. Procli Diadochi In Primum Euclidis Elementorum Librum Comentarii. Edição: Gottfried Friedlein. Lipsiae: B. G. Teubner, 1873.
- PROCLO. A commentary on the First Book of Euclid’s Elements. Tradução, introdução e notas: Glenn R. Morrow. Princeton: Princeton University Press, 1970.
- VAN DER HAM, I. J. M. et al Universal intuitions of spatial relations in elementary geometry. Journal of Cognitive Psychology, v. 29, n. 3, p. 269-278, 2017.
Fonte: elaboração própria
Fonte: elaboração própria