Modelagem da ocorrência e da quantidade de chuva em Piracicaba

Modeling of occurrence and rain amount in Piracicaba

Resumos

É proposto um modelo para descrever chuva diária de Piracicaba-SP em termos da sua ocorrência e da quantidade. Ambos, a ocorrência de dias com e sem chuva, quando considerados como seqüências de 31 dias a partir de determinada data, puderam ser bem representadas pela distribuição binomial negativa truncada, com parâmetros ajustados a uma função periódica com dois harmônicos. A quantidade de chuva nos dias com chuva, foi adequadamente ajustada à distribuição gama com o seu parâmetro de forma (gama) permanecendo constante mas o parâmetro de escala (beta) apresentando variação periódica que pode ser descrita por uma função com dois harmônicos. A análise dos dados mostrou que as séries de chuva de 1917 a 1944 e de 1945 a 1989, resultantes da mudança dos postos de observação, são homogêneas.

chuva; precipitação pluviométrica; distribuição gama; distribuição binomial negativa truncada

A model to describe the daily rainfall in Piracicaba, SP, Brazil, is proposed to relate the ocurrence of rainy and rainless days, and in terms of their amount. Both, the occurrence of days without and with rain, in tems of their sequences of 31 days following a given date, can well be represented by the truncated negative binomial distribution function with its parameters adjusted to a periodic funtion with the first two harmonics. The amount of rain was well described by the gamma distribution; the shape parameter (gamma) remaining constant but the scale parameter (beta) had a periodic variation which could be represented by a periodic function with two harmonics. Analysis of the data shows that the rainfall series for Piracicaba (1917 to 1944 and 1945 to 1989) can be considered omogeneus, even though the weather station had been moved from its original location.

rain; rainfall; gamma distribution; truncated negative binomial distribution

ARTIGOS

Modelagem da ocorrência e da quantidade de chuva em Piracicaba¹

Modeling of occurrence and rain amount in Piracicaba

F. Neto de Assis^I; N.A. Villa Nova^II

^IDepto. de Fitotecnia-FAEM/UFPel - C.P. 354, CEP: 96001-970 Pelotas,RS

^IIDepartamento de Física e Meteorologia-ESALQ/USP - C.P. 9, CEP: 13418-900 - Piracicaba, SP

RESUMO

É proposto um modelo para descrever chuva diária de Piracicaba-SP em termos da sua ocorrência e da quantidade. Ambos, a ocorrência de dias com e sem chuva, quando considerados como seqüências de 31 dias a partir de determinada data, puderam ser bem representadas pela distribuição binomial negativa truncada, com parâmetros ajustados a uma função periódica com dois harmônicos. A quantidade de chuva nos dias com chuva, foi adequadamente ajustada à distribuição gama com o seu parâmetro de forma (g) permanecendo constante mas o parâmetro de escala (b) apresentando variação periódica que pode ser descrita por uma função com dois harmônicos. A análise dos dados mostrou que as séries de chuva de 1917 a 1944 e de 1945 a 1989, resultantes da mudança dos postos de observação, são homogêneas.

Descritores: chuva, precipitação pluviométrica, distribuição gama, distribuição binomial negativa truncada

ABSTRACT

A model to describe the daily rainfall in Piracicaba, SP, Brazil, is proposed to relate the ocurrence of rainy and rainless days, and in terms of their amount. Both, the occurrence of days without and with rain, in tems of their sequences of 31 days following a given date, can well be represented by the truncated negative binomial distribution function with its parameters adjusted to a periodic funtion with the first two harmonics. The amount of rain was well described by the gamma distribution; the shape parameter (g) remaining constant but the scale parameter (b) had a periodic variation which could be represented by a periodic function with two harmonics. Analysis of the data shows that the rainfall series for Piracicaba (1917 to 1944 and 1945 to 1989) can be considered omogeneus, even though the weather station had been moved from its original location.

Key Words: rain, rainfall, gamma distribution, truncated negative binomial distribution

INTRODUÇÃO

Os dados de chuva tanto do ponto de vista da sua ocorrência quanto da sua quantidade podem ser analisados mediante a obtenção das freqüências observadas dos seus registros históricos ou através da elaboração de um modelo teórico. STERN & COE (1982) bem como STERN et al. (1982a; 1982b), discutem estes aspectos evidenciando o fato de que o modelo teórico apresenta a vantagem de sumarizar os dados de uma série histórica de forma bastante concisa.

Provavelmente o primeiro modelo matemático para descrever a ocorrência de dias sem chuva e/ou chuvosos em seqüências foi desenvolvido por GABRIEL & NEUMANN (1962) com dados de Israel. Eles mostraram que existia uma forte persistência entre dias chuvosos consecutivos e obtiveram um bom ajuste teórico utilizando um modelo com base na cadeia de Markov de primeira ordem. WILLIAMS, (1952), analisando dados da Inglaterra, verificou que a distribuição de freqüência de dias chuvosos e, principalmente de dias sem chuva, ajustou-se muito bem a distribuição logarítmica. Para LONGLEY (1953) a relação entre o comprimento das seqüências de dias sem chuva ou chuvosos e o logaritmo de suas freqüências é linear. Isto significa que se um dia for chuvoso, a probabilidade de chover no dia seguinte é constante, isto é, independe do número de dias chuvosos precedentes. Tal modelo foi considerado satisfatório para modelar as seqüências de dias sem chuva (CASTRO NETO et al. 1980a) e com chuva (CASTRO NETO et al. 1980b) de Lavras-MG.

A segunda parte do modelo, representando a quantidade de chuva, geralmente é expressa por uma função de distribuição cumulativa de probabilidade. Neste caso diversas distribuições de probabilidade são utilizadas mas a distribuição gama (THOM, 1958; 1966) pode ser considerada como a mais adequada para períodos curtos (1 semana, 5 dias, 1 dia). VIVALDI (1973), utilizou a distribuição gama e fez uma análise das estimativas dos parâmetros, concluindo que o modelo mostrou-se eficiente, independentementedo tamanho do período considerado (1 a 25 dias). BARGER et al. (1959) usaram a distribuição gama para analisar dados de precipitação de 2 e 3 semanas na região central dos EUA, enquanto AZEVEDO (1974) utilizou a mesma distribuição para modelar a chuva mensal de 403 localidades brasileiras.

O principal objetivo do presente trabalho é testar um modelo para descrever a ocorrência e a quantidade de chuva em Piracicaba-SP com vistas ao planejamento das atividades dela dependentes.

MATERIAL E MÉTODOS

Os dados analisados neste trabalho foram obtidos na Estação Agroclimatológica de Piracicaba-SP (Latitude 21°42'30", Longitude 47°38> e Altitude 546 m) no período de 1917 a 1989. As observações de chuva em Piracicaba foram iniciadas em 1917 no Posto Meteorológico localizado próximo ao atual Instituto Zimotécnico. Entre 11 de Setembro e 15 de Outubro de 1945 foi deslocado para a posição atual, menos de 2Km. Entre Novembro de 1972 e Março de 1973 ocorreu interrupção nas observações quando suas instalações passaram por uma reforma.

Admitiu-se que a precipitação diária é uma variável aleatória (Z_t) = X_tY_t onde X_t representa a ocorrência e Y_t a quantidade de chuva. Assumiu-se que X_t = 1 quando P>1 ,0mm e X_t = 0 em caso contrário. Na análise de Z_t foram considerados 36 períodos de 31 dias, iniciados nos dias 1, 11 e 21 de cada mês.

Na representação do processo X_t consideraram-se as seqüências de dias com chuva e sem chuva bem como as probabilidades de chover ou não em determinado dia nos 36 períodos considerados.

Na modelagem das probabilidades de ocorrência de seqüências de dias sem chuva ou com chuva foi utilizada a função de distribuição de probabilidade Binomial Negativa Truncada (DBNT), aplicada a cada um dos 36 períodos considerados, com W e K estimados por um método descrito por BRASS (1958).

onde x = 1,2,3.....

Na modelagem do processo Y_t, ou seja, quando X_t = 1, foi utilizado um modelo misto segundo o qual

onde Pr(Xt=0) é a probabilidade de não chover no dia t e Pr(Xt = 1),o seu complemento .G(y)é a função cumulativa de probabilidade Gama na forma

com os parâmetros g e b estimados segundo o método de THOM (1958).

A variação estacionai dos parâmetros g e b, este através da média diária dos dias com chuva, bem como dos parâmetros W e K da DBNT foram modeladas pela série de Fourier expressa na forma

onde Y_t representou quaisquer dos parâmetros e W, foi dado por: W = pt/365, com t = 15, 25, 35....., onde t é o valor numérico central de cada período iniciado nos dias 1, 11 e 21 de cada mês. Os coeficientes A₀, A₁, A₂, B₁, B₂ foram obtidos pelo método dos mínimos quadrados

Para testar a adequabilidade da distribuição gama para modelar a quantidade de chuva nos dias com chuva e da DBNT para modelar as seqüências de dias sem chuva ou com chuva, foi adotado o seguinte critério: a) o ajuste entre os valores observados e estimados pelas distribuições de probabilidade foi avaliado pelo teste de Kolmogorov-Smirnov (CAMPOS, 1979); b) a série total dos dados foi subdividida em duas, tendo como critério de partição o ano em que o posto de observação foi mudado de local; c) em uma das subséries, arbitrariamente a mais antiga - 1917 a 1944 - e denominada de série A, estimou-se os parâmetros da distribuição Gama e da DBNT; d) compararam-se, pelo teste de Kolmogorov-Smirnov, as probabilidades teóricas, estimadas com os parâmetros das distribuições determinadas nas séries A, com as probabilidades empíricas, obtidas na série denominada de B - 1945 a 1989. Este teste foi aplicado apenas nos períodos iniciados sempre no primeiro dia de cada mês, já que tais períodos envolveram todos os valores das séries de dados.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

Cerca de 78% do total de chuva do ano concentra-se entre os meses de outubro e março; Janeiro, o mês mais chuvoso, apresenta 18% da chuva anual e julho, o mês menos chuvoso, apenas 2%. (TABELA 1). A distribuição anual da quantidade de chuva está naturalmente associada à distribuição dos dias com chuva. Em média, Piracicaba tem cerca de 93 dias com chuva com uma distribuição ao longo do ano bastante desuniforme (TABELA 2): 15 dias com chuva em janeiro com apenas 3 dias em julho e agosto.

Na TABELA 2 encontram-se as informações mais relevantes com respeito as seqüências de dias chuvosos e sem chuva. Observa-se, ali, que as maiores seqüências de dias sem chuva ocorrem entre março e agosto, com média da ordem de 8 a 16 dias. Com respeito às seqüências de dias com chuva os dados analisados apresentam menor variação ao longo do ano, em relação às seqüências de dias sem chuva, com média de 1 a 3 dias.

Os parâmetros estimados da DBNT ajustada às seqüências de dias chuvosos ou sem chuva em 12 dos 36 períodos considerados ao longo do ano, também estão indicados na TABELA 2. Naquela tabela estão representados os valores de Dmax do teste de Kolmogorov-Smirnov.

Em nenhum período o valor de Dmax foi significativo ao nível de 5%.

O resultado da segunda parte do teste de adequabilidade da DBNT para modelar as seqüências de dias sem chuva ou chuvosos estão indicados na TABELA 3. Verifica-se, que a distribuição teórica representa a empírica na maioria dos períodos analisados. Deve-se lembrar que os períodos iniciados no dia primeiro de cada mês representam todos os valores das subséries A e B. Desse modo, pode-se concluir que a DBNT pode representar as séries de dados com o objetivo de se modelar as seqüências de dias sem chuva ou chuvosos.

Os coeficientes da eq. (4), utilizada para modelar a variação estacional dos parâmetros W e K da DBNT, são apresentados na TABELA 6. Utilizando-se os valores modelados de W e K estimou-se, através da eq. (1), as probabilidades de ocorrer seqüências de dias chuvosos e sem chuva de diversos comprimentos, nos 36 períodos ao longo do ano.

Os resultados, na forma de gráfico estão indicados na Figura 1. Observa-se, que existe três picos de máxima probabilidade de ocorrência de dias chuvosos em Piracicaba. O primeiro e mais intenso, ocorre no início de fevereiro; o segundo, no final de outubro e o terceiro entre julho e agosto. Pode-se observar na Figura 1 que entre janeiro e março, a chance de ocorrer 2 ou mais dias chuvosos é de no máximo 40%. Isso significa que, em média, num conjunto de 10 anos, em 6, as sequências de dias chuvosos têm no máximo 2 dias. Observe-se, ainda, que na Figura 1 estão representadas apenas as probabilidades de ocorrência de sequência de dias chuvosos com no mínimo 2, 3, 4 e 5 dias. As demais são desprezíveis. Pode-se ainda considerar como desprezíveis as probabilidades de ocorrência de sequências de dias com chuva com 4 ou mais dias entre abril e setembro.

As probabilidades de ocorrência de sequências de dias sem chuva também estão indicadas na Figura 1. Verifica-se, que são desprezíveis (<5%) as probabilidades de ocorrência de sequências de dias sem chuva com mais de 10 dias entre novembro e janeiro.

Em Piracicaba, em média, num conjunto de 10 anos, em 4, ocorrem seqüências de dias sem chuva com 7 ou mais dias entre o final de setembro e início de março.

Na TABELA 4 encontram-se os dados mais relevantes do ajuste da função de densidade de probabilidade Gama, na forma da equação (3), em 12 dos 36 períodos considerados. Verifica-se que, em nenhum período, o valor de Dmax do teste de Kolmogorov-Smirnov foi significativo.

Os resultados da comparação entre as probabilidades teóricas, estimadas com os parâmetros da distribuição das séries A, com aquelas empíricas, estimadas nas séries B, estão indicados na TABELA 10. A despeito do fato de que dos 12 períodos analisados, em dois o valor Dmax tenha sido significativo ao nível de 5%, no conjunto dos dados aceita-se a hipótese de que a distribuição de probabilidade gama é adequada para representar a distribuição das chuvas diárias nos períodos analisados. Tal resultado também conduz a conclusão de que a série de dados é homogênea, apesar da mudança do posto de observação.

Assim sendo, modelou-se, através da equação 4, a variação estacional da média diária de chuva dos dias chuvosos, do parâmetro g e da probabilidade de chover. Os coeficientes da equação 4 são mostrados na TABELA 6. Com a média e o parâmetro g obtém-se o parâmetro b. A probabilidade de chover complementa o modelo segundo a equação 2.

A Figura 2 mostra a variação estacional da média diária de chuva, do parâmetro g. e da probabilidade de chover (Pc) em determinado dia de cada um dos 36 períodos. Observe-se que Pc oscila em torno do valor médio de 0,2508 com uma amplitude de variação entre 0,47 em janeiro-dezembro e 0,10 em junho-julho.

A análise visual da Figura 3 sugere que, em face da pequena oscilação do parâmetro g em torno de sua média, poder-se-ia admiti-lo como constante para todos os períodos. A análise da eq. (4) com seus coeficientes dados na TABELA 6 mostra que o parâmetro g oscila entre 1,05, no período final de janeiro, e 1,38, no início de agosto com média da ordem de 1,14. Tomando-se a média e os valores extremos do parâmetro g conclui-se que praticamente não existe diferença entre as curvas de probabilidade acumulada como pode ser observado na Figura 3. Assim sendo pode-se assumir que a quantidade de chuva nos dias com chuva de quaisquer um dos períodos estudados pode ser estimada pela distribuição gama com o parâmetro g constante e igual a 1,1415.

O que se consegue em termos de compactação dos dados com um modelo teórico é realmente surpreendente. Por exemplo: a série de dados analisada, constituída por aproximadamente 26658 dados diários, foi reduzida para apenas 21 informações: 10 para modelar os parâmetros W e K da DBNT, 10 para os parâmetros da distribuição gama, mais o numero de ordem do dia do ano. Admita-se que se deseje conhecer o comportamento da variável "dias sem chuva" em determinado período do ano. Tomemos como exemplo os 31 dias seguintes a l de fevereiro. Os valores dos parâmetros W e K da DBNT ajustada a sequências de dias sem chuva podem ser estimados com base na eq. 4 e seus coeficientes dados na TABELA 6; W = 0,1874 e K = 0,4586. Com base neste valores e na equação (1) construiu-se a TABELA 7 de onde pode-se obter uma série de informações. A coluna A dá duração de uma seqüência de dias sem chuva. As colunas B e F fornecem o número, arredondados até o inteiro mais próximo, de seqüências de dias sem chuva de duração especificada ou maior, respectivamente, que ocorreram nos 72 anos analisados. Estas colunas foram calculadas com base no conhecimento de que o número de seqüências observadas, neste período, foi de 453 (TABELA 2). O total 451 na coluna F resulta de erro de ajuste, uma vez que os valores de W e K foram estimados a partir de suas curvas suavizadas. As colunas C e G mostram as estimativas das probabilidades de que, dado uma seqüência de dias sem chuva essa tenha a duração de k dias (coluna C) e k ou mais dias (coluna G). As colunas D e H dão o número médio de dias por seqüência de duração especificada e de duração especificada ou maior, respectivamente, para um ano médio. Estes valores foram calculados dividindo-se as colunas B e F por 72. No ano médio hipotético, poder-se-ia prever uma (0,944) seqüência de dias sem chuva com sete ou mais dias; três (3,028) sequências com três ou mais dias e assim por diante. As colunas E e I apresentam, respectivamente, o número de anos para que uma certa seqüência de k dias e de k dias ou mais. É o período de retorno, definido como o período de T anos em que a magnitude de uma certa sequência é igualada ou excedida uma vez, em média, a cada T anos. As sequências com 11 ou mais dias têm um período de retorno de 3 anos, enquanto as sequências com no mínimo 15 dias são esperadas a cada 9 anos e as sequências com exatos 15 dias a cada 36 anos. Exemplo semelhante pode ser dado para o caso de sequências de dias chuvosos.

De modo análogo pode-se modelar a quantidade de chuva nos dias com chuva e com base nos resultados obtidos foi elaborada a TABELA 8 que permite estimar as probabilidades de chover um valor igual ou menor do que o especificado em cada dia dos 36 períodos analizados. Na última coluna da TABELA 8 encontram-se os valores das probabilidades de chover [Pc] e do seu complemento, ou seja, [Ps] estimadas e modeladas (eq. 4) para cada período.

A probabilidade total, P, de chover, menos do que certa quantidade de chuva, ou de não chover, é calculada pela relação, P = Ps + Pc.Pr, que tem como base a eq. (2). Destaca-se na TABELA 8 a coluna correspondente a Pr = 0,625 cujos valores de chuva correspondem, com boa aproximação, ao valor da média diária no período considerado.

Entregue para publicação em 24.01.94

Aceito para publicação em 27.02.94

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1

Parte da lese do primeiro autor apresentada a ESALQ/USP para obtenção do título de Doutor.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  05 Jul 2005
• Data do Fascículo
  Abr 1995

Histórico

• Aceito
  27 Fev 1994
• Recebido
  24 Jan 1994