Determinação da razão de hedge: um estudo sobre as teorias de hedging

ARTIGO

Determinação da razão de hedge: um estudo sobre as teorias de hedging

Francisco Carlos Gomes

Mestre em administração pela EAESP/FGV e professor no Departamento de Informática e Métodos Quantitativos Aplicados à Administração, da EAESP/FGV

1. INTRODUÇÃO

Em termos bastante gerais, o hedging consiste na manutenção de posições opostas nos mercados spof e futuro, no sentido de se obter uma "proteção" (imperfeita) contra os prejuízos provenientes das eventuais flutuações adversas nos preços da mercadoria.

Se o hedger mantém uma determinada quantidade da mercadoria em estoque (i.é., está long ou comprado no mercado spof), a posição oposta é estabelecida através da venda de outra quantidade (não necessariamente idêntica à anterior) da mercadoria no mercado futuro (i.é., está short ou vendido nesse mercado), e vice-versa.

De modo geral, embora não necessariamente, os preços da mercadoria se movimentam na mesma direção em ambos os mercados; logo, os prejuízos associados à manutenção de uma posição comprada (vendida) no mercado spof diante de uma queda (alta) dos preços da mercadoria são (imperfeitamente) protegidos pelos lucros associados à manutenção de uma posição vendida (comprada) no mercado futuro.

Os contratos futuros estabelecem de forma clara e padronizada as características da mercadoria (quantidade, qualidade, etc), bem como as características da transação (prazo, local de entrega, etc). As transações com esses contratos não implicam, antes da sua expiração, o pagamento da mercadoria pelo comprador, nem a sua entrega por parte do vendedor. Em certo sentido, representam simplesmente compromissos de compra e venda que podem ser "cancelados" em qualquer instante através da assunção da posição oposta no próprio mercado futuro (como de fato ocorre com a maioria das transações).

Concluímos, portanto, que as transações com esses contratos se prestam para fixar os preços futuros da mercadoria e que, em última instância, são os riscos associados às flutuações de preço, e não a própria mercadoria, que são negociados nesses mercados.

Estabelecida a magnitude (tamanho) da posição que o hedger mantém no mercado spof, a determinação da razão de hedge corresponde à determinação da magnitude da posição (oposta) que manterá no mercado futuro.

O problema de determinação da razão de hedge surge do fato de, usualmente, os preços em ambos os mercados não apresentarem idênticas variações (absolutas ou relativas).

Se para cada variação unitária de $ 1 no preço da mercadoria no mercado spof ocorresse semelhante variação no seu preço futuro, a determinação da razão de hedge seria trivial (se o objetivo fosse a eliminação dos riscos) bastaria a manutenção de posições opostas de igual magnitude em ambos os mercados para que os eventuais prejuízos em um dos mercados fossem completamente compensados pelos lucros auferidos no outro.

Alternativamente, se para cada variação unitária de 1% no preço da mercadoria no mercado spof (p.ex., $100) ocorresse semelhante variação relativa no seu preço futuro (p.ex., $200), a determinação da razão de hedge também seria simples - bastaria a manutenção de posições opostas cuja razão fosse idêntica à razão entre os preços da mercadoria nos dois mercados (p.ex., 1/2 = $100/$200).

O problema da determinação da razão de hedge traz à tona a questão da definição dos objetivos do hedge.

Se o hedger mantém uma posição comprada (vendida) no mercado spot, então lucrará (perderá) diante dos aumentos nos preços da mercadoria e sofrerá prejuízos (lucros) na situação inversa. Entretanto, se estabelece a posição oposta no mercado futuro (i.é., faz o hedge), deixará de auferir os eventuais lucros decorrentes dos movimentos favoráveis nos preços mas, também, não sofrerá os prejuízos associados aos movimentos desfavoráveis.

Em suma, o hedge não afeta somente o risco, mas também o retorno associado à posição mantida e existe uma relação de troca (trade-off) entre ambos.

Na definição dos objetivos do hedge, temos duas abordagens fundamentais. A primeira atenta exclusivamente para o risco, enquanto que a segunda considera tanto o risco como o retorno.

Tendo em vista que as decisões de hedging são adotadas a priori, os retornos da mercadoria, do contrato futuro e do hedge, são considerados como retornos esperados (médios) e os correspondentes riscos são definidos como a variabilidade ou dispersão dos possíveis retornos em torno dos retornos médios (variâncias).

Contudo, o risco do hedge é uma composição do risco da mercadoria e do respectivo contrato futuro; logo, depende da ordem de grandeza e da direção das variações conjuntas dos preços em ambos os mercados (covariância ou correlação).

Assim, se os preços em ambos os mercados se movimentam na mesma direção, dizemos que são positivamente correlacionados; caso contrário, dizemos que são negativamente correlacionados. Usualmente, os preços nos mercados spot e futuro são (imperfeita e) positivamente correlacionados. Entretanto, convém notar que, mesmo que os preços fossem perfeitamente correlacionados, as respectivas variações absolutas não seriam necessariamente idênticas, e este aspecto é de fundamental importância na determinação do risco do hedge e, conseqüentemente, da razão de hedge.

A teoria clássica postula simplesmente que, para cada quantidade da mercadoria mantida no mercado spot, o hedger deve manter a mesma quantidade na posição oposta estabelecida no mercado futuro, isto é, deve empregar uma razão de hedge igual à unidade.

Mostramos que, no âmbito da teoria clássica, o risco do hedge só é eliminado se o hedger o conduzir até a expiração do contrato futuro (abstraindo-se o efeito das margens de performance) ou, alternativamente, se os preços da mercadoria em ambos os mercados apresentarem idênticas variações absolutas ou forem perfeita e positivamente correlacionados e apresentarem idêntica dispersão (variâncias), condições raras de serem encontradas.

Observamos que está implícito na teoria clássica que o hedger retém o risco decorrente das eventuais variações na diferença entre os preços nos mercados futuro e spot (risco da base).

A teoria minimizadora utiliza-se do fato de o risco do hedge depender da correlação entre os preços nos mercados spot e futuro para determinar uma razão que o minimize, além de mostrar que a razão de hedge postulada pela teoria clássica é desnecessariamente elevada, reduzindo inutilmente o retorno do hedge e elevando os custos de transação. Postula, fundamentalmente, o emprego de uma razão de hedge correspondente ao beta da mercadoria (coeficiente angular da reta que associa os preços do mercado spot aos do mercado futuro).

Observamos que, no âmbito da teoria minimizadora, o risco do hedge só será eliminado se o hedge for conduzido até a expiração do contrato futuro ou, alternativamente, se os preços nos mercados spot e futuro forem perfeita e positivamente correlacionados, condições restritivas embora menos que as exigidas pela teoria clássica.

De qualquer forma, a principal crítica a ambas teorias é que não atentam para o retorno esperado do hedge, ao postularem as respectivas razões de hedge.

A teoria da especulação na base não é, exatamente, uma teoria de determinação da razão de hedge mas, partindo do fato de que, usualmente, o risco do hedge não pode ser completamente eliminado, propõe a sua administração ativa de sorte a lhe aumentar os retornos.

Essa teoria propõe simplesmente que o hedger deve aproveitar-se das diferenças significativas entre os preços da mercadoria nos mercados futuro e spot (base) para auferir lucros.

Assim, se essa diferença for expressiva, deve efetuar o hedge para, em seguida, desfazê-lo, realizando os correspondentes lucros, quando essa diferença diminuir significativamente, e assim sucessivamente.

Duas objeções podem ser levantadas contra a teoria da especulação na base. A primeira diz respeito às dificuldades de se determinar quando a base é significativamente grande ou pequena. A segunda está relacionada com o fato de que entre transações sucessivas o hedger pode ficar exposto aos riscos de flutuações adversas nos preços da mercadoria no mercado spot.

A teoria do portofolio propõe, fundamentalmente, a determinação da razão de hedge que satisfaça as preferências do investidor quanto ao risco e ao retorno.

Para tanto, aborda o hedging como uma decisão de investimento onde os diversos ativos são de fato diferentes proporções de dois ativos básicos:

a) a mercadoria (não-hedge);

b) o hedge completo (teoria clássica).

Nesse contexto, existirá uma razão ótima de hedge para cada hedger, já que estes possuem diferentes estruturas de preferência quanto ao risco. Entretanto, se admitirmos a existência de uma taxa de juros livre de risco, então o teorema da separação conduz à determinação de uma única razão de hedge, independentemente das diferentes preferências dos hedgers.

De um modo geral, esta última versão da teoria do portfolio parece abordar a questão de forma mais sistemática e abrangente que as demais teorias.

A justificativa econômica clássica para a existência dos mercados futuros é que estes facilitam o hedging, i.é., permitem aos hedgers - os agentes econômicos envolvidos com a estocagem de determinada mercadoria - transferirem os riscos associados às flutuações de preço a outros agentes denominados especuladores.

Parcela significativa do problema de hedging corresponde à determinação da proporção entre as quantidades (opostas) da mercadoria que o hedger manterá nos mercados físicos (ou spof) e futuro: a razão de hedge.

Este artigo abordará a determinação da razão de hedge de um ponto de vista normativo e com um certo rigor na sua apresentação.

Contrariamente às teorias de equilíbrio geral, o hedging será considerado uma atividade específica do mercado de capitais - i.é., as oportunidades de investimento disponíveis não o reduzem a uma mera diversificação entre os ativos de capital existentes (Stoll, 1979).

As teorias de hedging, podem ser classificadas em dois grandes grupos, segundo a ênfase dos modelos que empregam:

a) sobre o risco - teoria clássica e teoria minimizadora;

b) sobre o risco-retorno - teoria da especulação na base e teoria do portfolio.

2. RISCO E RETORNO

O retornos aleatórios da mercadoria (s) e do respectivo contrato futuro (f), durante um período de comprimento t, podem ser definidos por:

Onde P e F denotam os preços da mercadoria nos mercados spof e futuro, respectivamente, nos instantes 0 e t (o símbolo "˜" denota as variáveis aleatórias).

O retorno de um contrato futuro não é um conceito bem definido, já que não ocorre um investimento inicial na aquisição do contrato. Entretanto, para fins analíticos, é conveniente "supor" que ocorre tal investimento e que sua magnitude é igual ao preço da mercadoria no mercado spot (Dusak, 1973; Black, 1976; Scholes, 1981).

Seja h a razão de hedge, então o retorno do hedge ( h) é estabelecido por:

Presumindo-se que prevaleçam as condições para a utilização da variância como medida de risco (Tobin, 1958; Markowitz, 1959), podemos estabelecer os pares de risco-retorno (esperado) da mercadoria e respectivo contrato futuro, como se segue:

Usualmente Var(f) é maior que Var(r), já que os preços futuros correspondem à capitalização dos preços presentes por uma determinada taxa ajustada ao risco. Logo, o risco do contrato futuro é superior ao da mercadoria, Var(f) maior que Var(s).

Por outro lado, o par de risco-retorno do hedge é dado por:

Onde:

É importante notar que o risco do hedge depende também da covariância entre os retornos da mercadoria e do contrato futuro ou, em última instância, da covariância entre os preços nos mercados spot e futuro. Tanto menor será o risco do hedge quanto maior a correlação entre esses preços.

2.1 Base

Em algumas circunstâncias é conveniente expressar-se o problema de hedging em termos da base (B) - a diferença entre os preços da mercadoria nos mercados futuros e spot(B = F-P).

Podemos definir o retorno da base como:

E o correspondente par de risco-retorno:

onde:

O retorno do contrato futuro passa a ser abordado como constituído pelos retornos da mercadoria e da base, (f = s+ b) logo:

onde:

Note-se que o risco da base depende também da covariância entre os retomos da mercadoria e da base.

Da mesma forma, o retorno do hedge passa a ser expresso como uma espécie de ponderação entre os retornos da mercadoria e da base, logo:

Igualmente, o risco do hedge depende da covariância entre os retornos da mercadoria e da base.

3. AS TEORIAS COM ÊNFASE SOBRE O RISCO

3.1 A teoria clássica

Tradicionalmente, o hedge tem sido abordado como urna espécie de seguro contra as variações de preço da mercadoria (Samuelson, 1973) e a avaliação da sua eficácia tem sido relacionada à eliminação desse risco, qualquer que seja-a sua definição.

Essa abordagem pressupõe implicitamente que o hedger não é capaz de (ou não deseja) formar expectativas acerca dos movimentos dos preços e que seus lucros derivam exclusivamente de algum processo de "transformação" da mercadoria, qualquer que seja - estocagem ou produção de outra mercadoria (Ward e Schimkat, 1979).

Segundo a teoria clássica, o hedger deve assumir posições opostas e de igual magnitude nos mercados spot e futuro; i.é., deve empregar uma razão de hedge igual à unidade (h* = 1).

Subjacente a essa abordagem estão as suposições de que os preços em ambos os mercados são perfeitamente correlacionados e que suas variações se compensam mutuamente.

Empregando-se as relações estabelecidas em (4), temos:

Evidentemente, o risco do hedge só será eliminado se:

onde Cor(s, f) representa o coeficiente de correlação entre os retornos nos mercados spot e futuro.

Por outro lado, analisando-se a teoria clássica em termos da base, através das relações estabelecidas em (8), temos:

Tendo, em vista que os preços nos mercados spot e futuro não são perfeitamente correlacionados nem apresentam idêntica variância, observamos que a teoria clássica não é suficiente para eliminar o risco do hedge (nem para minimizá-lo).

De fato, observamos que o hedger retém o risco da base.

Contudo, a favor dessa abordagem, existe a possibilidade de se conduzir o hedge até a expiração do contrato futuro, o que torna a base não-estocâstica (t = t e, conseqüentemente, t = 0), de sorte que:

Entretanto, usualmente o hedge não é mantido até a expiração do contrato futuro e a teoria clássica fica sujeita a duas objeções fundamentais:

a) não proporciona a adequada redução de risco;

b) não atenta para o retorno esperado do hedge.

Em resposta à primeira objeção, foi desenvolvida a teoria minimizadora que veremos a seguir.

3.2 A teoria minimizadora

Somente após o desenvolvimento da moderna teoria do portfolio é que a variância dos retornos foi definida como medida de risco e foi aplicada ao problema de hedging.

Em conseqüência, o hedge passou a ser encarado como um portfolio constituído por dois ativos fundamentais:

a) a mercadoria (não-hedge);

b) o hedge completo (h = 1).

Logo, se o hedger é infinitamente avesso ao risco, basta determinarmos o portfolio de mínima variância entre todas as infinitas combinações dos dois ativos fundamentais (Johnson, 1960; Stein, 1961).

Desta forma, a razão de hedge que minimiza o risco é obtida através de:

obtendo-se

Note-se que h* corresponde à volatilidade - Beta (s) dos retornos (ou preços) da mercadoria em relação aos retornos (preços) do respectivo contrato futuro (observe-se que é idêntico ao coeficiente angular da regressão de s em i ou de em f).

Tendo em vista que usualmente os preços presentes são menos voláteis que os preços futuros, então a razão de hedge que minimiza o risco será inferior à postulada pela teoria clássica (h* é menor que 1).

O par de risco-retorno associado à teoria minimizadora é expresso por:

Portanto, o risco do hedge só será eliminado se e somente se os preços nos mercados spot e futuro forem perfeitamente correlacionados -Cor(s,f) = 1.

Alternativamente, a expressão (7) permite a representação de h* em termos da base:

Se o hedge for conduzido até a expiração do contrato futuro, então a expressão acima se reduz a h* = 1, já que a base deixa de ser estocástica. Nessas circunstâncias, a teoria minimizadora é equivalente à teoria clássica.

Tendo em vista que os hedgers não são infinitamente avessos ao risco, a principal crítica à teoria minimizadora é que esta não considera o retorno esperado do hedge.

4. AS TEORIAS COM ÊNFASE SOBRE O RISCO-RETORNO

4.1 A teoria da especulação na base

A teoria da especulação na base não é exatamente uma teoria de determinação da razão de hedge. Trata-se de uma teoria que explicitamente considera o aspecto especulativo do hedging - i.é., em qualquer combinação da mercadoria e respectivo contrato futuro, as variações dos preços não se compensam perfeitamente.

Como vimos no exame da teoria clássica, o hedger retém o risco da base.

Em conseqüência, essa abordagem considera a possibilidade de se aumentar o-retorno através do hedging seletivo ou especulação na base, decorrente das variações relativas entre os preços nos mercados spot e futuro (Working, 1953).

Ademais, essa abordagem admite uma eventual "superioridade informacional" do hedger, proveniente da sua especialização na transformação da mercadoria, que lhe permitiria prever com maior precisão as variações da base.

Em suporte a essas considerações, Working constatou que uma base "suficientemente" ampla (pequena) é submetida a uma significativa variação negativa (positiva).

Esta abordagem pode ser sumariada pela seguinte regra decisória:

"Se a base for superior a B', faça o hedge. Caso contrário, desfaça-o."

B* representa o tamanho que distingue uma base "suficientemente" ampla de outra "suficientemente" pequena. Evidentemente, o sucesso dessa estratégia é extremamente dependente da escolha de B*.

Usualmente, essa estratégia emprega uma razão de hedge igual à unidade (h* = 1), embora esta não seja uma condição necessária.

A principal característica diferenciadora da especulação na base é que ela propõe uma administração ativa do hedge, aproximando-se mais aos modelos dinâmicos de hedging.

Em virtude das suas características, essa abordagem não pode ser avaliada em termos dos pares de risco-retorno ex-ante. Entretanto, de um modo geral, podemos afirmar que proporciona um retorno esperado superior ao da teoria clássica, evidentemente às custas de um maior risco.

4.2 A teoria do portfolio

Finalmente, observou-se que a moderna teoria do portfolio poderia ser aplicada ao problema de hedging, de sorte a incorporar explicitamente no modelo decisório considerações acerca do retorno e do risco do hedge, bem como da estrutura de preferências do hedger.

Diversas variantes do modelo fundamental foram desenvolvidas para lidar com aspectos específicos do hedging, como capacidade de estocagem, estoques mínimos, custos de estocagem, etc. (Rutledge, 1972; Peck, 1975; Holthausen, 1979; Feder, Just e Schmitz, 1980; Rolfo, 1980; Anderson e Danthine, 1980,1981).

Para apresentarmos o modelo básico, convém explicitar os seguintes pressupostos:

ou

Desta forma, para se determinar a fronteira eficiente dos pares de risco-retorno estabelecidos em (4), basta variar parametricamente Rh e obter as variâncias associadas, empregando:

Entretanto, convém notar que existirá um limite superior a h, justamente o associado ao hedge de mínima variância:

Observamos, então, que o par de risco-retorno da teoria clássica não pertence à fronteira eficiente. Por outro lado, os valores de h pertencentes ao intervalo (0, hmàx) correspondem às diversas combinações de hedge, enquanto os valores de h menores que 0 estão associados a posições especulativas (long ou comprada) em ambos os mercados.

O par de risco-retorno correspondente ao ponto onde a inclinação da fronteira eficiente é igual à inclinação da curva de isoutilidade do hedger que determina a razão ótima de hedge.

onde:

Figura 1 A razão ótima de hedge (h*)

Entretanto, se admitirmos que o hedger pode emprestar ou tomar emprestado qualquer importância à taxa de juros livre de risco (r), podemos introduzir o teorema da separação (Lintner, 1965) ao problema de hedging.

Desta forma, existirá uma única razão ótima de hedge independentemente da estrutura de preferências do hedger, já que este poderá satisfazer suas preferências quanto ao risco através da adequada divisão do investimento entre o ativo livre de risco e o hedge ótimo.

Para se determinar essa razão ótima de hedge, basta maximizar a função objetivo (θ) definida por Lintner (1965):

E a razão ótima de hedge (h*) será dada por?

A figura 2 ilustra a determinação da razão ótima de hedge a partir do teorema da separação.

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

De modo geral, a teoria do portfolio parece ser superior às teorias clássica e minimizadora, por considerar de forma sistemática o risco e o retomo do hedge à luz da estrutura de preferências do hedger.

De resto, a teoria minimizadora lhe é apenas um caso particular, enquanto o par de risco-retorno associado à teoria clássica corresponde a uma alternativa dominada de investimento.

Por outro lado, tendo em vista que a teoria da especulação na base propõe um modelo dinâmico de hedge, não pode ser comparada com as demais. Entretanto, é importante notar que é a teoria que mais se aproxima do comportamento efetivo dos agentes econômicos.

Finalmente, abordamos um aspecto da decisão de hedging a partir de uma perspectiva determinada (estática). Abordaremos outros aspectos desse tipo de decisão em artigos posteriores; entre eles, convém destacar:

a) a determinação da razão de um hedge cruzado (i.é., aquele onde a mercadoria objeto do contrato futuro não corresponde exatamente à mercadoria retida no mercado spot, como, por exemplo, o uso de contratos futuros de índices no hedging de carteiras de ações);

b) a determinação de uma medida avaliadora da eficácia ex-post das diversas estratégias de hedging, já que cada estratégia é ótima a partir de seu próprio critério de eficácia avaliado ex-ante;

c) a precificação da mercadoria nos mercados spot e futuro, à luz da moderna teoria de equilíbrio, no mercado de capitais, sob condições de incerteza;

d) os modelos dinâmicos de hedging que propõem um ajustamento contínuo das variáveis decisórias, reconhecendo a estrutura temporal do problema;

e) o efeito das margens de performance (ajustes diários) nas decisões de hedging em condições de inflação ou taxas de juros elevadas (note-se que os modelos examinados abstraem esse fluxo de caixa intermediário);

f) a avaliação empírica das diversas teorias de hedging nas condições predominantes nos mercados futuros do Brasil.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  19 Jun 2013
• Data do Fascículo
  Dez 1987