Aplicações da função de progresso da produção

ARTIGOS

Aplicações da função de progresso da produção

Dayr Américo dos Reis

Professor do Departamento de Administração da Produção e Operações Industriais (POI)

Em artigo anterior foram abordados o desenvolvimento histórico e aspectos teóricos da função de progresso da produção.¹

O primeiro modelo de função de progresso surgiu na indústria aeronáutica americana (Wright-1936). A partir de então, outras indústrias começaram a utilizá-lo, mormente em virtude de subcontratos que mantinham com os principais fabricantes de aeronaves e material aeronáutico em geral.

Superada a fase de importação de conhecimento, essas indústrias desenvolveram modelos próprios, vindo a empregar o conceito de melhoria da produção segundo as características que lhes fossem peculiares.

No presente trabalho o autor pretende descrever e exemplificar algumas aplicações da função de progresso em planejamento e controle de recursos.

1. DESCRIÇÃO DO MODELO

Nesta seção serão descritas as seguintes aplicações da função de progresso da produção: a) determinação do custo de introdução de um produto novo ou de modificações a serem efetuadas em produtos já existentes; b) planeja mento e controle das necessidades de mão-de-obra, espaço, esforços de engenharia e administração, durante a fase de implementação de novos produtos ou de modificações em produtos anteriormente existentes.

11 Forma da função de progresso

Na presente exposição a função de progresso será da forma:

onde:

y : número de homens-hora despendido na produção da x-ésima unidade fabricada sem sofrer solução de continuidade.

x : número de unidades produzidas consecutivamente.

b : parâmetro que depende do tipo de atividade considerado, do seu grau de complexidade e de outros fatores.

a : número de homens-horas despendido na produção da primeira unidade.

1.2 Determinação do custo de introdução

O método tratado a seguir depende do conhecimento dos valores de x_u (isto é, a unidade de produção em que teria início o platô na curva de progresso) e y_u (isto é, o valor da mão-de-obra correspondente a x_u), e do parâmetro b (a razão ou ritmo de progresso), valores esses determinados para as várias atividades que irão constituir o processo produtivo (fabricação de peças e componentes, submontagem, montagem final, etc.). Supõe-se aqui que a empresa interessada já disponha dos referidos dados ou que possa vir a obtê-los. A metodologia de pesquisa que conduz à estimação dos valores mencionados já foi exposta no artigo citado.²

Seja estimar o custo de introdução de um produto novo, recém-projetado e testado, (ou de modificações importantes a serem introduzidas em produtos que já vêm sendo fabricados). O significado deste custo será melhor compreendido adiante. Ás curvas de progresso para as diversas atividades podem ser obtidas conforme segue.

O setor especializado, em geral a engenharia de custos, elabora estimativas da mão-de-obra relativa a cada uma das atividades que integram o processo de produção do produto considerado. Para tal finalidade, empregam-se tabelas de tempos predeterminados. Tem-se, destarte, e para cada atividade, o valor da mão-de-obra (y_u), referente àquela unidade de produção (x_u) a partir da qual o número de homens-horas por unidade começa a nivelar-se.³

O próximo passo será determinar, em unidades de produção, quando a curva de progresso deverá nivelar-se. Para tanto, compara-se o produto estudado com produtos anteriormente (ou atualmente) fabricados, dos quais já se conheçam as razões de progresso.

Convém recordar que a determinação de x_u baseia-se em três fatores, a saber: a) grau relativo de complexidade ou dificuldade das operações de produção; b) grau de semelhança do produto considerado, quando comparado com produtos anteriores ou atuais; c) produção mensal durante o mês em que teria início o platô na curva de progresso.

Da pesquisa já referida resultaram tabelas que fornecem o valor de x_u atinente a um produto específico (máquinas de processamento de dados) e em função dos fatores mencionados.⁴

Uma vez estimado x_u para cada uma das atividades em que se dividiu o processo produtivo, poder-se-á localizar o ponto (x_u, y_u), conforme se vê na figura 2.

A inclinação da reta de progresso (em papel log-log) é igual a (- b) e corresponde à tangente trigonométrica do ângulo Φ. Convém recordar que as "inclinações" percentuais de Wright e as tangentes trigonométricas estão relacionadas pela equação a seguir:

Daí, será possível calcular os ângulos Φ para cada uma das atividades de produção, mediante a fórmula seguinte:

As "inclinações" seriam fornecidas pela pesquisa, segundo as diversas atividades consideradas, conforme já se viu em artigo anterior.

Conhecidos um ponto (x_u, y_u) e o ângulo Φ, a reta de progresso poderá ser traçada, determinando-se assim o valor do parâmetro a.

Conhecidos a e b para cada uma das atividades de produção, poder-se-á levantar as curvas de progresso respectivas, em papel de gráfico aritmético.

1.3 Significado e cálculo do custo de introdução

É fácil agora calcular o custo associado à função de progresso da produção - CFPP - para o programa considerado. O leitor fará bem em voltar ao artigo atrás mencionado e rever as definições ali apresentadas.⁵ A área hachurada (figura 5) representa o número de homenshoras associados à função de progresso - HFPP - que excedem a mão-de-obra estimada (x_u, y_u) e que decorrem da introdução de novas operações no sistema de produção.

O custo CFPP poderia ter sido denominado "custo de aprendizagem" ou "custo de progresso", designações talvez mais sugestivas do que "custo de introdução"

A área já descrita será obtida conforme segue:

Subtraindo-se da área total compreendida abaixo da curva de progresso, dada pela expressão (4), a área retangular (x_u, y_u), que representa a mão-de-obra estimada para a produção acumulada até a unidade x_u, como se não houvesse o fenômeno de progresso da produção, ter-se-á a expressão da mão-de-obra associada à função de progresso:

Tendo em vista que a = y_u x, vem:

O fator entre colchetes em (6) pode ser tabelado e será representado por E. A notação deixa claro que tal fator depende de x_u e do ritmo de progresso b. Tem-se então, sinteticamente:

Exemplo: Seja calcular o número de homens-hora associado à função de progresso da produção para uma dada categoria de atividade (montagem elétrica). Sejam ainda: x_u = 2.000 unidades, y_u = 3,0 h/horas para a x_u-ésima unidade. A "inclinação" de Wright para esse tipo de atividade e produto específicos é igual a 90%. O valor de E será calculado segundo a expressão do fator em (6) ou simplesmente tudo em tabelas especiais.

Daí:

HFPP = 0,1784 x 2 000 x 3,0 = 1 070

Repetindo-se tal procedimento para cada atividade, calcular-se-á a mão-de-obra total associada à função de progresso, referente a um programa completo.

Os custos correspondentes serão obtidos através da multiplicação do número de horas-homens previsto por categoria de atividade pelas respectivas taxas horárias de remuneração da mão-de-obra direta e de overhead. O custo total de introdução do produto novo (ou de modificações de produtos já existentes) será dado pela soma dos custos destarte calculados para as várias atividades consideradas.

A curva total de progresso do produto completo será levantada agregando-se as curvas individuais referentes às operações integrantes do progresso produtivo.⁶

Todas as etapas de cálculo mencionadas poderiam ser vantajosamente executadas com auxílio de um programa especial de processamento de dados, escrito, por exemplo, em linguagem FORTRAN, e cuja feitura não apresentaria problemas a um analista treinado.

1.4 Procedimento de cálculo manual

No caso em que não se disponha de equipamentos de cálculo mais sofisticados, ou de tabelas para os valores de E, a fórmula (6), onde o limite inferior de integração foi tomado de modo a melhorar a precisão, apresenta complexidades de resolução. Sugerimos a seguinte aproximação, sempre que x_u seja um valor vizinho das primeiras unidades.⁷

A mão-de-obra despendida na produção das x_u primeiras unidades poderá ser expressa por:

,

ou de acordo com (1)

A mão-de-obra que teria sido despendida na produção das x_u primeiras unidades, caso não houvesse o fenômeno de progresso, pode ser assim escrita:

Subtraindo-se (9) de (8), obtém-se aquela mão-de-obra "a mais" para se chegar a produzir as x_u primeiras unidades da série:

que é a fórmula proposta pelo autor.

No exemplo numérico já relatado, o cálculo pela fórmula (6) ou (7) fornece: HFPP = 1 070 h/horas. A fórmula (10) dá:

HFPP =

x 2 000 x 3,0 = 1 075 (h/horas),

portanto, com boa aproximação.

1.5 Planejamento e controle de recursos

Anteriormente mencionou-se que a função de progresso também poderia ser utilizada para planejar e controlar as necessidades de mão-de-obra e espaço, assim como os esforços de engenharia e supervisão, pertinentes a um dado programa de produção. O aprazamento e o controle destes recursos poderão ser efetuados segundo o procedimento a seguir descrito.

Divide-se a área situada abaixo da curva de progresso (figura 6) de acordo com a produção prevista para períodos predeterminados (dias, semanas ou meses). A área individual, correspondente a cada período de produção, pode ser estimada, com facilidade, por métodos aproximados, analíticos ou gráficos. Tal área mede a mão-deobra direta requerida durante cada período considerado.

Conhecendo-se a mão-de-obra necessária por período de produção, estimar-se-á o número de pessoas que lhe corresponde. Quando for preciso qualquer treinamento prévio, este será realizado antes de se transferir definitivamente o operador para a área de trabalho. Sabendo-se o, número de pessoas necessárias em cada período e, ademais, conhecendo-se o coeficiente "espaço por pessoa" relativo à atividade considerada, poder-se-á calcular as necessidades de espaço, antes do início da produção, evitando-se desse modo quaisquer modificações dispendiosas no decorrer daquela.

Uma vez determinados os custos associados à função de progresso da produção para as diversas atividades envolvidas, o setor de custos disporá de uma base de comparação em relação aos custos realmente gravados. Se os custos daquelas atividades forem superiores ao esperado, a administração será avisada, desencadeando-se, destarte, as medidas corretivas adequadas. Maior esforço de engenharia e/ou de supervisão poderão ser as medidas cabíveis (reprojeto de ferramenta ou gabaritos, ou supervisão mais cerrada em certas horas da jornada de trabalho).

A bem da precisão, a função de progresso só deverá ser aplicada às operações e aos produtos para os quais já existam os resultados de pesquisa requeridos. Outrossim, faz-se imprescindível uma verificação estatística dos programas, tendo em vista determinar se as mudanças ou modificações de produtos, p surgimento de novos métodos e outros fatores, terão tido influência sobre as inclinações b e os valores de (x_u y_u) para as várias atividades consideradas, ou se haverá necessidade de estabelecer novas categorias de atividades, ou ainda de modificar aquelas já existentes. Destarte, poder-se-á assegurar que os dados mais recentes também estarão sendo utilizados na tarefa de planejamento.

1.6 Estudos preliminares

Sempre que não disponha dos valores de b, determinados segundo a metodologia de pesquisa já referida em artigo anterior, a empresa poderá valer-se de resultados obtidos em pesquisas conduzidas por outras empresas. Recomenda-se tal procedimento somente quando se tratar de estimativas preliminares, de caráter grosseiro. A tabela 1 reúne alguns valores da "inclinação" de Wright segundo a proporção entre o trabalho manual e o de máquina, envolvidos no processo de produção do produto considerado.

A tabela 2 apresenta diversos valores da "inclinação" de Wright e os correspondentes valores de b.

A tabela 3 permite determinar o ângulo Φ conhecido o valor da "inclinação" de Wright e vice-versa.

2. EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Uma empresa deverá optar entre a manufatura de dois produtos, P₁ e P₂. O processo de produção de P₁ é constituído pelas seguintes atividades ou operações: 1. fabricação de peças e componentes; 2. montagem mecânica; 3. teste e controle de qualidade final. O processo de produção de Pt é mais elaborado, sendo integrado pelas seguintes atividades: 1. fabricação de peças e componentes; 2. submontagem; 3. montagem mecânica; 4. montagem elétrica; 5. teste e controle de qualidade final.

Sendo decisivo o custo associado à função de progresso da produção (CFPP), calculá-lo para ambos os produtos, supondo-se conhecidas as informações constantes das tabelas 4, 5 e 6, a seguir.

Na tabela 4, T_u é o período de tempo previsto, desde o início do processo, com a produção da primeira unidade da série, até a unidade x_u, a partir da qual a curva começaria a nivelar-se.⁸ O valor r (em unidades monetárias) corresponde à taxa de remuneração e overhead por homem-hora, para cada atividade tratada.

Os programas de produção que atenderiam às demandas estimadas de P₁ e P₂ aparecem na tabela 5.

A tabela 6 fornece a mão-de-obra final (y_u), estimada através do estudo de tempos (tempos predeterminados), para cada uma das atividades e produtos mencionados.

Ainda considerando-se o mesmo problema, deseja-se determinar para o produto 2 a atividade de montagem mecânica: a mão-de-obra, o número de montadores e a área de montagem requeridos mês a mês, durante o ano 1. Para efeito de cálculo, admitiremos que um montador trabalha 198 horas por mês (um turno) e que o coeficiente de área de montagem mecânica por montador seja igual a 6 m² por pessoa.

Solução

1. Determinação de x_u

Considerando-se o programa de produção proposto, devemos determinar a unidade (x_u) para a qual y_u seria atingido, tendo em vista os valores dos períodos de "aprendizagem" ou progresso (T_u). Por exemplo, no caso da atividade "fabricação de peças e componentes", o período de progresso é: T_u = 12 meses (ver tabela 4). No cronograma de produção de P₁(ver tabela 5), o valor y_u = 400 homens-horas/unidade (tabela 6) somente seria atingido após 12 meses de produção, isto é, após fabricadas 1.200 unidades do produtoP₁. Daí, tem-se: x_u = 1.200. Analogamente, no cronograma de produção de P₁, os 300 homens-horas/unidade só seriam conseguidos após 12 meses de produção, isto é, após fabricadas também 1.200 unidades. Portanto, x_u = 1.200.

Mediante raciocínio semelhante, sempre consultando a coluna T_u (tabela 4) e o cronograma de produção (tabela 5), teríamos os seguintes valores de x_u que colocamos, juntamente com os y que lhes correspondem, em uma única tabela (a de número 7), para maior facilidade de visualização.

2. Determinação da mão-de-obra adicional (HFPP) e do custo de progresso (CFPP)

Já dispomos dos valores de x_u, y_u e b, correspondentes às diversas atividades e produtos considerados. O procedimento de cálculo a seguir (tabela 8) baseia-se naquele descrito anteriormente (subseção sobre a determinação do custo de introdução, parágrafo correspondente ao procedimento de cálculo manual).

A coluna (6) é obtida multiplicando-se as colunas (3), (4) e (5), de acordo com a fórmula (10). A coluna (8) resulta da multiplicação das colunas (6) e (7), onde r já foi dado na tabela 4.

Os totais extraídos na coluna (8) revelam que o custo de introdução de P₁é superior ao de P₂.

É interessante comparar os custos de P₁ e P₂, baseados tão-somente na mão-de-obra final (x_u y_u), isto e, como se não ocorresse o fenômeno de progresso da produção.

Tabela 7

A tabela 9 ilustra esta conjectura. Observa-se ali que a mão-de-obra final (x_u y_u) para P₁ é inferior àquela despendida com P₂(totais na coluna 5). A avaliação empfégando-se as taxas r (coluna 7) não altera, por enquanto, a conclusão de que P₂ é menos interessante do que P₁, também sob o ponto de vista do custo da mão-de-obra final.

A tabela 10 fornece a mão-de-obra total durante o período de implementação, calculada conforme a fórmula (8), e o custo total correspondente. O leitor deve notar que a situação agora se inverte, passando o produto P₂ a ser o mais interessante, do ponto de vista da mão-de-obra total despendida no decorrer do período de progresso da produção e do custo total relativo a essa mão-de-obra. É que a mão-de-obra total e o custo total incluem, agora, também a parcela atribuível ao fenômeno de progresso da produção, neste caso decisiva.

3. Planejamento de mão-de-obra e espaço requeridos pela montagem mecânica de P₂ no ano 1

Para se determinar a mão-de-obra total mês a mês, utiliza-se a fórmula (4) ou tabelas apropriadas. O objetivo é calcular as áreas situadas abaixo da curva de progresso, correspondentes às quantidades de produção mensais. O ^{apêndice 3} exemplifica o procedimento de cálculo via fórmula. Os resultados aparecem na tabela 11, coluna 5.

Para se obter o número de montadores, mês a mês, divide-se a coluna 5 por 198 e arredonda-se para o número inteiro mais próximo (coluna 6).

Finalmente, multiplicando-se a coluna 6 por 6, teremos a área mensal necessária à montagem mecânica de P₂ durante o ano 1.

A apuração da mão-de-obra realmente despendida mês, a mês fecharia o ciclo, permitindo desse modo o planejamento e controle integrados desse recurso produtivo.

Finalmente, cabe ressaltar que o confronto entre os insumos reais e planejados possibilita corrigir os coeficientes e parâmetros a serem usados no próximo período de planejamento (coeficientes de espaço ocupado por pessoa em determinada atividade, parâmetros a e b da curva de progresso e outros dados básicos).

3. CONCLUSÃO E SUMÁRIO

Neste artigo foram descritas e exemplificadas as seguintes aplicações da função de progresso da produção: a) determinação do custo de introdução de um produto novo ou de modificações a serem efetuadas em produtos já existentes; b) planejamento e controle de recursos produtivos tais como: mão-de-obra direta, espaço, esforços de engenharia e supervisão, durante a fase de implementação de novos produtos ou de modificações efetuadas em produtos já fabricados regularmente.

O custo de introdução de produtos novos pode ser estimado a priori desde que se conheçam: um ponto particular da reta de progresso de cada atividade que constitui o processo de produção do produto considerado e o ângulo formado pela reta de progresso com o ramo positivo do eixo dos x. O ponto particular escolhido (x_u y_u) é aquele a partir do qual a curva de progresso tende a nivelar-se. A metodologia de pesquisa que conduz à determinação dos valores de x_u y_u e da razão de progresso b já foi exposta em artigo anterior, conforme citado.

O custo de introdução do produto novo nada mais é do que a parcela de custo atribuível ao progresso da produção e pode ser obtido, para cada categoria de atividade, subtraindo-se a mão-de-obra que teria sido despendida na produção das x_u primeiras unidades (caso não houvesse o fenômeno de melhoria da produtividade) da mão-de-obra total requerida pela produção daquelas unidades, e multiplicando-se esse resultado pela correspondente taxa de remuneração e de overhead. O custo de introdução do produto será dado pela soma dos custos individuais referentes a cada atividade considerada.

O planejamento e o controle da mão-de-obra, do espaço, dos esforços de engenharia e da supervisão podem ser efetuados com auxilio das curvas de progresso de cada atividade. Basta dividir a área abaixo da curva segundo o cronograma de produção proposto. Cada subárea será a medida da mão-de-obra a ser despendida na produção do lote mensal que lhe corresponde.

Conhecidos a mão-de-obra para cada lote programado, o número de horas que um operador trabalha em um mês e o coeficiente de área por pessoa, determinam-se facilmente o número de operadores e o espaço requeridos mês a mês.

A apuração da mão-de-obra mensal realmente despendida fecharia o ciclo, permitindo destarte o planejamento e controle integrados desse recurso produtivo e a tomada de decisões de caráter técnico e administrativo com vistas a corrigir, em tempo hábil, as discrepâncias surgidas.

BIBLIOGRAFIA

• Reis, D. A. dos. Extensão da função de progresso da produção a algumas indústrias brasileiras. Dissertação de mestrado em administração, EAESP/FGV, out. 1973.
• Reis, D. A. dos. A função de progresso da produção: desenvolvimento e aspectos teóricos. RAE, Rio de Janeiro, FGV.ago. 1975.
• Schreiner, D. A. The manufacturing progress function, its application to operations at IBM-Endicott. Trabalho apresentado na XII Convenção Anual da ASQC, Boston, Mass. May 1958.
• Schultz, A. Jr. & Conway, R W. The manufacturing progress function. The Journal of Industrial Engineering, v. 10, Jan./Feb. 1959.
• Wright, T. P. Factors affecting the cost of airplanes. Journal of the Aeronautical Sciences, Inst. of the Aer. Sci., v. 3, n. 4, p. 122-8, Feb. 1936.

apêndice 3

1

Reis, D. A. dos. A função de progresso da produção: desenvolvimento e aspectos teóricos.

RAE, Rio de Janeiro, FGV, ago. 1975.

2

Ibid. subseção 1.4.

3

Ibid. subseção 1.4.

4

Ibid. subseção 1.4.

5

Ibid. subseção 1.4.

6

A curva composta

não é da mesma forma algébrica que as curvas individuais, exceto em situações particulares.

7

Reis, D. A. dos. Extensão da função de progresso da produção a algumas indústrias brasileiras. Tese de mestrado, EAESP/FGV, São Paulo, out. 1973.

8

A rigor, a curva de progresso, representada por

y = ax ^-b, é assintótica a zero, não existindo propriamente um começo de nivelamento (nem um fim). Para efeitos práticos, toma-se como início do nivelamento aquele ponto a partir do qual a redução da mãode-obra por unidade desde o início até o fim do subperíodo (no caso, um mês) é de 2 a 3%, podendo assim ser considerada desprezível.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  09 Ago 2013
• Data do Fascículo
  Abr 1976