Simulação numérica de movimento de água em solo não-saturado

Numerical simulation of water movement in an unsaturated soil

MANEJO DE ÁGUA E SOLO

Simulação numérica de movimento de água em solo não-saturado

Numerical simulation of water movement in an unsaturated soil

Paulo C. Oliveira^I; José L. Lima^II

^IProf. Adjunto, Depto Eng. Rural, CCAUFES/UFES. E-mail: [e-mail]

^IIBolsista de PIBIC (CNPq-UFES), Graduando em Agronomia. E-mail: [e-mail]

RESUMO

Neste trabalho, o método de volumes finitos foi utilizado com esquema de discretização mais elaborado, chamado Flux-Spline, a fim de simular numericamente problemas unidimensionais não lineares de infiltração de água em solo hidraulicamente homogêneo não-saturado. Problemas-teste foram apresentados e resolvidos para alguns valores e combinações dos dois parâmetros adimensionais de governo, para demonstrar as vantagens do novo esquema quando comparado ao tradicional esquema de diferença central. Os resultados obtidos mostraram melhor desempenho do esquema quando comparado à diferença central, em todos os casos simulados, demonstrando que o esquema pode ser recomendado para a simulação numérica de movimentação de água em solo hidraulicamente homogêneo não-saturado.

Palavras-chave: difusão, volumes finitos, movimento de água no solo

ABSTRACT

In this work the finite volume method was used with an improved scheme of discretization called Flux-Spline, for the numerical study of non-linear problems in uni-dimensional water flow in hydraulically homogeneous unsaturated soil. Test-problems were presented and resolved to some values and combinations of the two governing non-dimensional parameters to demonstrate the advantages of the new scheme when compared to the traditional central difference scheme. The results obtained showed a better performance of the new scheme when compared to the central difference scheme in all simulated cases, demonstrating that the scheme can be recommended for numerical simulation of water movement in hydraulically homogeneous unsatured soil.

Key words: diffusion, finite volumes, water movement in soil

INTRODUÇÃO

Processos físicos, governados por difusão pura aparecem em fenômenos de interesse prático como: escoamentos em meios porosos, em solos agrícolas, no processamento de alimentos, na condução de calor em sólidos, em processos metalúrgicos contendo mudanças de fase, nos escoamentos potenciais ou completamente desenvolvidos em dutos.

Embora em alguns casos particulares se conheça a solução analítica para as equações que governam tais fenômenos, a presença de geometrias não-regulares e/ou não-linearidades devido à forte variação das propriedades do meio (caso de solos agrícolas) e/ou condições de contorno particulares, impossibilita a solução desses problemas, com os métodos analíticos atualmente conhecidos, tornando obrigatória a utilização de métodos numéricos.

O esquema de discretização Flux-Spline foi desenvolvido por Varejão (1979). Nieckele (1985) comparou este esquema a outros dezesseis utilizados na literatura da área térmica e de fluidos em problemas envolvendo convecção-difusão. Em trabalhos posteriores, Varejão et al. (1991a), Varejão et al.(1991b), Oliveira (1997) e Oliveira (1999) mostraram que o esquema apresenta desempenho superior para problemas de escoamento bidimensional em regime permanente.

Devido ao bom desempenho do esquema em problemas de grande complexidade, como os acima citados, tal esquema será aqui empregado com o objetivo de simular o comportamento da equação diferencial parcial não-linear que governa o movimento de água em solo hidraulicamente homogêneo não-saturado.

MATERIAL E MÉTODOS

Discretização de difusão unidimensional em regime permanente por volumes finitos

A equação de governo para o caso geral de um fenômeno difusivo unidimensional, em regime permanente, é:

(1)

em que S^f é o termo fonte distribuído ao longo do domínio da variável dependente f linearizado na forma S^f = Sc_i + Sp_if_i, de acordo com Patankar (1980); J é o fluxo difusivo na direção x dado por:

(2)

Integrando a equação de governo (1), sob a hipótese de que o termo fonte S^f e o coeficiente de difusão k são constantes em cada volume de controle de comprimento Dx_i e que os fluxos são distribuídos uniformemente nas interfaces dos volumes de controle, obtendo-se, pelo método dos volumes finitos, a expressão:

(3)

A variável dependente f_i, a ser calculada quando da simulação, é posicionada no centro do volume de controle correspondente em x_i = Dx_i/2. Maiores detalhes do esquema Flux-Spline podem ser obtidos em Oliveira (1999). A equação para os fluxos na direção da coordenada x é:

(4)

em que:

(5)

(6)

(7)

(8)

A expressão (4) quando substituída na equação de governo integrada (3) fornece a equação de discretização da variável dependente, representada por:

(9)

em que:

(10)

(11)

(12)

(13)

O método de resolução do sistema de equações algébricas, para o fluxo J e a variável dependente f, é descrito em detalhes por Oliveira (1999).

Discretização de problema difusivo transiente utilizando-se o método de volumes de controle, com esquema Flux-Spline

A discretização proposta por Patankar (1980), para casos transientes, é totalmente implícita no tempo, o que faz com que se obtenha, aproveitando-se a dedução anterior para o caso de regime permanente, as seguintes expressões:

(14)

(15)

em que f_i é o valor da variável dependente no tempo atual, f_i^old é o valor da variável dependente no tempo anterior e Dt é o intervalo de tempo adimensional.

Equação de conservação de massa para a umidade no solo em regime transiente

A movimentação de água em solos não-saturados hidraulicamente homogêneos é regida pela equação de Richards:

(16)

O modelo aqui usado é válido somente para solo hidraulicamente homogêneo onde, de acordo com Prevedello (1996), o potencial mátrico h(U)[m], a condutividade hidráulica k(U) [m s¹] e a umidade dimensional do solo U(x, t)[m³_H2O m^-3_solo] são funções contínuas e deriváveis

O fluxo total de água no solo é = -kÑH_T [m s^-1]. O potencial total atuando sobre a água no solo é a soma do potencial mátrico h mais o potencial gravitacional z e, portanto, H_T = h + z [m]. Na direção z, o sentido positivo foi arbitrado seguindo-se a gravidade e, desta forma, o fluxo total na direção z, descrito pela equação de Buckingham-Darcy, é:

(17)

em que, neste caso, D = k(dh/dU) [m² s^-1] é a difusividade hidráulica com dh/dU obtido da curva de retenção do solo. Para o caso unidimensional na direção z, obtém-se então a seguinte equação de governo:

[m

(18)

que pode ser escrita na forma:

[m

(19)

Se o fluxo difusivo dimensional de umidade na direção z devido ao gradiente de umidade, é jz^U = -D(¶U/¶z), obter-se-á:

[m

(20)

Procedimento de adimensionalização

Este procedimento será executado de forma a se obter os parâmetros adimensionais que regem o fenômeno de movimento de água em solo hidraulicamente homogêneo, não-saturado. Para a adimensionalização do tempo usar-se-á: t = tD_satL_C^-2 em que D^sat, é a difusividade hidráulica na umidade de saturação U_sat admitindo que a curva de retenção e a curva da condutividade hidráulica deste solo, são contínuas e deriváveis em todos os pontos (Prevedello, 1996) e a curva de retenção é aproximadamente linear na iminência de saturação. Para o espaço, tem-se: Z = Z/L_C. A condutividade hidráulica adimensional é K = k/k_sat em que k_sat é a condutividade hidráulica na umidade de saturação U_sat. A umidade é adimensionalizada usando-se: q = (U - U₀)/(U_sat - U₀) em que U₀ é a umidade residual do modelo de van Genuchten (1980). A substituição das expressões em (20) fornece:

(21)

em que H_mat = h/L_C é o potencial mátrico adimensionalizado. Definindo-se D/D_sat como o coeficiente de difusão G^q, obter-se-á:

(22)

Com isto, a equação de governo pode ser colocada na forma:

(23)

Definir-se-á [(1/K)][¶K/¶q)][(¶H_mat/¶q)]^-1como o parâmetro adimensional de solo PAS, notando-se que seu valor define a importância do termo fonte (devido ao potencial gravitacional) com relação ao fluxo difusivo, atuando num determinado volume de controle.

O coeficiente de difusão G^q e o parâmetro PAS podem ser calculados, num caso geral, pelas equações combinadas de van Genuchten (1980). Sob adimensionalização, estas equações ficam na forma:

e

em que U₀, U_sat, M, N e a são os parâmetros independentes para cada tipo de solo. Valores desses parâmetros podem ser encontrados em Centurion & Andrioli (2000) para solos de Jaboticabal, SP. Usando-se os dados de Prevedello & Balena (2000) para areia marinha e Latossolo Vermelho é mostrado, na Figura 2, o comportamento conjunto da tangente à curva de retenção, da condutividade e da difusividade hidráulica G^q, em função da umidade adimensional q.

Como o comportamento do produto K[(¶H_mat)/ ¶q]{[(¶H_mat)/ ¶q]|_sat}^-1 é marcadamente exponencial assumir-se-á, para a difusividade hidráulica, um modelo similar ao usado em Bacchi et al.(1991) para condutividade hidráulica.

Neste modelo, k = k_sat e^{g(U – Usat)} resulta numa condutividade hidráulica adimensional K = e^{(gDU)(q - 1)} e, sob esta hipótese, Gq @ e^{(gCDU)(q - 1)} em que o novo g_C reúne a influência conjunta da condutividade hidráulica e da tangente à curva de retenção do solo. Desta forma obtém-se, para solo hidraulicamente homogêneo, a equação de governo:

(24)

em que o fluxo difusivo de umidade é expresso por:

JZ^q = -e^(gC^{DU)(q - 1)} [¶q/¶Z] (25)

Influência do parâmetro g_CDU sobre a equação de governo

Sob as hipóteses simplificadoras anteriormente descritas e impostas, o parâmetro g_CDU define o comportamento da difusividade hidráulica adimensional G^q.

Pode-se observar, na Figura 3, que para altos valores de g_CDU, um elemento de solo se comporta de forma a absorver toda a umidade que nele chega, "isolando"o elemento seguinte, até que se atinjam altos valores de umidade, pois o valor da difusividade somente se afasta de zero perto da saturação.

Este procedimento visa facilitar a simulação numérica da influência das várias combinações possíveis entre os dois parâmetros G^q e PAS, presentes na equação diferencial de governo, sem a necessidade de dados específicos oriundos de diferentes tipos de solo.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

Aplicação do esquema de discretização a problemas teste

Os problemas-teste, a seguir, foram construídos de forma a se mostrar o comportamento da equação diferencial de governo com relação a diferentes combinações dos parâmetros g_CDU e PAS. Concomitantemente, será avaliado o desempenho de cada esquema de discretização, em função dessas combinações.

Problema-teste 1

Infiltração vertical unidimensional de água em solo não-saturado, para um valor de g_CDU igual a 13,5 e PAS igual a um. O domínio do tempo t foi feito igual a 25 e dividido em 2000 partes. O domínio em Z foi feito igual a 0,30.

Foram comparadas malhas de 25 e 50 volumes de controle sob os dois esquemas (Dif. Central e Spline) utilizando-se a malha de 100 volumes de controle com o esquema de Diferença Central, aqui considerado como uma solução de "referência", no sentido de apontar o comportamento do fenômeno.

A condição inicial do solo é q(Z, t = 0) = 0,0 e as condições de contorno são q(Z = 0, t > 0) = 1,0 e q(Z = 0,25, t > 0) = 0,0.

Observa-se, na simulação numérica e tendo em vista os resultados gráficos apresentados na Figura 4, uma precisão menor para o esquema de Diferenças Centrais, devido ao fato de que, no caso de grandes valores do parâmetro g_CDU, o fenômeno assume comportamento em degrau, gerando grande gradiente na frente de molhamento e dificultando sua simulação.

Observa-se que uma malha de 50 volumes de controle com o esquema Flux-Spline, fornece boa aproximação do resultado obtido com o esquema de Diferença Central com malha de cem volumes de controle (referência), implicando em menor esforço computacional, principalmente em problemas multidimensionais transientes.

Com o objetivo de mostrar a dominância do comportamento exponencial da difusividade hidráulica sobre a equação de governo, a Figura 5 demonstra, usando-se 50 volumes de controle e esquema Flux-Spline, a pequena influência, neste caso, do parâmetro PAS sobre a frente de molhamento.

Os problemas-teste adiante são propostos com o objetivo de se avaliar o desempenho numérico dos esquemas de discretização para várias combinações dos parâmetros PAS⁰ e PAS, que podem surgir durante a simulação de um caso real, em que os mesmos variam com a umidade, ao longo do espaço e do tempo.

Problema-teste 2

Infiltração vertical unidimensional de água em solo não-saturado, impondo-se saturação em Z=0, para um valor de PAS⁰ = 4,94 e PAS = 1. As condições, inicial e de contorno, são as mesmas do caso anterior. A solução numérica foi executada utilizando-se os esquemas de Diferença Central e Flux-Spline, com malhas de 10 e 30 volumes de controle. Na solução de referência utilizou-se o esquema de Diferenças Centrais com 120 volumes de controle. Para o tempo adimensional t = 0,25 dividido em 240 intervalos, obteve-se a solução descrita pela Figura 6. Os demais problemas-teste serão resolvidos para este tempo.

Observa-se, na Figura 6, que para esses valores de PAS⁰ e PAS, o refinamento das malhas, tanto para Diferença Central como para Flux-Spline, conduz rapidamente a uma solução bastante aproximada daquela tida como referência devido ao comportamento "suave"do fenômeno. O esquema Flux-Spline mostra-se para determinada malha, sempre mais próximo da solução de referência que o esquema de Diferenças Centrais, confirmando novamente, neste caso, seu melhor desempenho.

Problema-teste 3

Infiltração vertical unidimensional de água em solo não-saturado, a partir de imposição de saturação em Z igual a zero e Z igual a um, para PAS⁰ = 4,94 e vários valores de PAS.

- Condição inicial: q(Z, t = 0) = 0,0

- Condições de contorno: q(Z = 0, t > 0) = 1,0 e q(Z = 1, t > 0) = 1,0

Visto seu melhor desempenho, confirmado nos casos anteriores, utilizou-se o esquema Flux-Spline com uma malha de 200 volumes de controle e 240 intervalos de tempo, para geração das soluções para PAS igual a um, dez e quinze.

A Figura 7 mostra o comportamento do fenômeno para a combinação de baixo valor de PAS⁰, em função da variação do parâmetro PAS. Valores menores de PAS⁰ ao lado de valores altos de PAS, configuram um fenômeno onde o potencial gravitacional se sobrepõe ao potencial mátrico. A ação de PAS é, neste caso, afastar a curva de qualquer simetria. Note-se que, para valores menores de PAS, a curva tende a ser simétrica e o fenômeno passa a ser novamente dominado por difusão pura.

Problema-teste 4

O objetivo deste problema foi verificar as dificuldades na simulação numérica de problemas de infiltração de água no solo governados pelo potencial gravitacional. A avaliação dos esquemas de Diferença Central e Flux-Spline para infiltração de água em solo não saturado, com PAS⁰ igual a 4,94 e PAS igual a 15, será conduzida para várias malhas, de forma a se visualizar, neste caso, o desempenho dos dois esquemas. As condições de contorno e inicial são as mesmas do caso anterior.

A Figura 8 mostra a dificuldade dos esquemas de Diferença Central e Flux-Spline para se aproximarem da solução de referência, aqui obtida com 240 volumes de controle. Nota-se que, para uma mesma malha, o esquema Flux-Spline está mais próximo da solução de referência que o esquema de Diferença Central.

CONCLUSÕES

1. Os resultados das simulações numéricas confirmam o bom desempenho do esquema Flux-Spline para problemas difusivos unidimensionais transientes não-lineares, em comparação com o tradicional esquema de Diferença Central usado por grande parte da literatura de volumes finitos e diferenças finitas.

2. Dependendo da combinação entre os dois parâmetros adimensionais, denominados G^q e PAS, é necessário o emprego de malhas mais refinadas para um tratamento numérico adequado da equação que governa o fenômeno de infiltração de água no solo.

3. No modelo aqui apresentado, o formato da frente de molhamento é governado pelo valor de PAS⁰, pois o mesmo define o comportamento exponencial da difusividade hidráulica G^q. Para baixos valores do parâmetro PAS⁰, a frente sofre influência marcante do parâmetro PAS.

LITERATURA CITADA

Protocolo 117 - 21/8/2002

Aprovado em 29/4/2003

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  24 Ago 2004
• Data do Fascículo
  Ago 2003

Histórico

• Recebido
  29 Abr 2003