Influência do número de pavimentos no parâmetro de instabilidade de edifícios contraventados por pórticos de concreto armado

Resumo

Este trabalho investiga a influência do número de pavimentos no limite α₁ do parâmetro de instabilidade de edifícios contraventados por pórticos de concreto armado; trata-se da seqüência de uma linha de estudos, na qual esta mesma questão foi investigada em edifícios contraventados por paredes e/ou núcleos. Inicialmente, mostra-se como a ABNT NBR 6118:2014 (norma de projeto de estruturas de concreto) define a necessidade ou não de se realizar uma análise de segunda ordem. Apresentam-se também tópicos relativos à consideração da não linearidade física e às componentes da deformação lateral dos pórticos. Segue-se um estudo analítico que resultou num método de determinação do limite α₁ em função do número de andares e da relação entre as rigidezes à flexão e ao corte. Na seqüência, são apresentados exemplos cujos resultados servem para aferir o grau de precisão do método investigado.

Palavras-chave:
instabilidade; estruturas de contraventamento; análise segunda ordem

Abstract

This work aims to investigate the floors number influence on the instability parameter limit α₁ of reinforced concrete frame-braced buildings; it succeeds another work in this field of knowledge, in which the same question was investigated for wall- and core-braced buildings. Initially, it is showed how the ABNT NBR 6118:2014 (Brazilian code for concrete structures design) defines when a second order analysis is needed. Topics concerning to physical nonlinearity consideration and to the lateral deflection components of frames are also presented. It follows an analytical study that led to the derivation of a method for determining the limit α₁ as a function of the floors number and the relation between bending and shear stiffness. Finally, some examples are presented and their results are used for checking the method accuracy.

Keywords:
instability; bracing structures; second order analysis.

1. Introdução

1.1 Efeitos de segunda ordem e o parâmetro de instabilidade

A estrutura de contraventamento de um edifício, ao ser submetida simultaneamente às ações gravitacionais e do vento, pode desenvolver efeitos adicionais em relação aos que são usualmente determinados em uma análise linear ou de primeira ordem. Tratam-se dos efeitos de segunda ordem, em cuja determinação (análise de segunda ordem) o comportamento não linear dos materiais e a configuração deformada na análise do equilíbrio (não linearidades física e geométrica) devem ser considerados.

Ellwanger [¹] e Ellwanger [²] apresentam um resumo da evolução da teoria e prática da análise da estabilidade global de edifícios altos, tendo por base o modelo discreto de Beck e König, mostrado na figura 1. Neste modelo, com andares igualmente espaçados, todas as subestruturas de contraventamento são agrupadas num único pilar e os elementos contraventados (elementos portantes que não participam do contraventamento) são representados por um conjunto de barras bi-rotuladas. W representa as ações devidas ao vento, aplicadas em cada andar. P e V representam as cargas verticais totais, por andar, transmitidas respectivamente às subestruturas de contraventamento e aos elementos contraventados. As ações W, P e V são consideradas com seus valores característicos.

Figura 1
Modelo discreto de Beck e König

Os artigos recém citados também mostram que, para efeitos de determinação dos momentos fletores globais da estrutura do edifício, incluindo os efeitos de segunda ordem, tudo se passa como se as cargas verticais atuantes no sistema de contraventamento fossem dadas pela soma de suas próprias ações P com as ações V.

No desenvolvimento da já mencionada teoria da análise de estabilidade, surge uma constante α, em função da carga vertical total atuante no edifício, da altura e da rigidez horizontal do sistema de contraventamento. Essa constante é conceituada como parâmetro de instabilidade, estando expressa na equação (1). Outra importante contribuição da referida teoria foi o estabelecimento do critério segundo o qual a análise de segunda ordem é desnecessária quando, em relação às solicitações mais importantes da estrutura, os efeitos de segunda ordem não excedem os 10 % dos de primeira ordem. Ao aplicar esse critério ao momento fletor global na base do sistema, resultam determinados limites de valores aos quais o parâmetro de instabilidade fica sujeito.

O critério recém mencionado foi adotado pela ABNT NBR 6118:2014, atual norma para projeto de estruturas de concreto (ABNT [³]), ao estabelecer, em sua seção 15, que os efeitos globais de segunda ordem são desprezíveis sempre que inferiores a 10% dos respectivos efeitos de primeira ordem. Para verificar esta possibilidade, a norma apresenta dois processos aproximados, um dos quais é baseado no parâmetro de instabilidade; é estabelecido que uma estrutura reticulada simétrica pode ter seus efeitos de segunda ordem desconsiderados sempre que seu parâmetro de instabilidade α for menor que o valor a₁, conforme as expressões:

$\alpha =H_{tot}\sqrt{N_k/\left(E_{cs}{I}_c\right)}$ (1)

${\alpha }_1=\mathrm{0,2}+\mathrm{0,1}nparan\le 3\wedge {\alpha }_1=\mathrm{0,6}paran\ge 4$ (2)

n é o número de andares acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo. H _tot é a altura da estrutura, medida a partir deste mesmo nível. N _k é o somatório de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (ao longo da altura H _tot), com seu valor característico. E _CS I _C representa o somatório dos valores de rigidez de todos os pilares na direção do contraventamento. Por sua vez, I _C é o momento de inércia considerando as seções brutas dos pilares e E _CS é o módulo de elasticidade secante, expresso por:

$E_{CS}=r{E}_{Ci}=\left(\mathrm{0,8}+\mathrm{0,0025}{f}_{ck}\right)E_{Ci}\le E_{Ci}$ (3)

f_ck é a resistência característica do concreto à compressão. E _Ci é o módulo de elasticidade tangente, sendo dependente de f _ck e do tipo de agregado utilizado, de acordo com as fórmulas apresentadas no item 8.2.8 da ABNT [³]. r é um coeficiente que relaciona E _CS com E _Ci , estando expresso na segunda igualdade da equação (3) e sendo representado por a_i na referida norma. E _CS, E _Ci e f _ck são dados em MPa.

A referida norma ainda estabelece diferentes valores de α₁ em função do tipo de estrutura de contraventamento: o valor limite 0,6, prescrito para n > 4, deve ser adotado para associações de pilares-parede e para pórticos associados a pilares-parede; deve ser aumentado para 0,7 no caso de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede e deve ser reduzido para 0,5 quando só houver pórticos.

Mesmo não fazendo parte do escopo deste trabalho, merece menção o método baseado no coeficiente de amplificação de momentos g_z, o qual é empregado com o auxílio de computador. Apresentado em 1991 por Franco e Vasconcelos [⁴], ele também aplica o critério do acréscimo de 10% em relação aos efeitos de primeira ordem para definir a necessidade ou não de uma análise de segunda ordem. Além disso, encontra-se atualmente disponível uma grande variedade de sofisticados softwares de análise estrutural, permitindo uma simulação precisa das estruturas de edifícios.

Apesar da existência de recursos mais avançados de análise, o parâmetro de instabilidade conserva sua importância. Em sua aplicação, conforme pode ser visto em Ellwanger [¹], a estrutura do edifício é modelada como uma simples barra. A extrema simplicidade deste modelo facilita a compreensão do comportamento global do sistema, especialmente da influência do peso total e da rigidez lateral na estabilidade do mesmo. Desta forma, o parâmetro de instabilidade tem se mostrado bem apropriado na fase de concepção inicial ou pré-definição da estrutura, principalmente pela rapidez de sua aplicação. Além disso, pode-se isolar I_C na equação (1), dando origem a uma forma bastante simples de se determinar, na fase de pré-dimensionamento, a rigidez horizontal mínima necessária para que possa ser dispensada a análise de segunda ordem.

No meio científico, o parâmetro de instabilidade tem sido abordado em diversos artigos que tratam da estabilidade global de estruturas de edifícios. A esse respeito, cabe mencionar os trabalhos de Alves e Feitosa [⁵], sobre estruturas com lajes protendidas, de Cicolin e Figueiredo Filho [⁶], sobre estruturas formadas por faixas de lajes e vigas invertidas nas bordas, e de Freitas et ali [⁷], sobre a influência da tensão de compressão nos pilares.

1.2 Justificativa e objetivos do trabalho

O trabalho de Ellwanger [¹] teve por objetivo pesquisar uma forma de definição do limite α₁ do parâmetro de instabilidade para sistemas de contraventamento formados por associações de pórticos com paredes e/ou núcleos, variável com a relação entre as rigidezes horizontais dos mesmos. Constatou-se que a fórmula deduzida para esta finalidade se mostrou adequada apenas para edifícios com grande número de andares, resultando em erros significativos para menos de 30 pavimentos. Uma das conclusões do trabalho é que a referida formulação deveria necessariamente levar em consideração o número de andares do edifício.

Em um trabalho subseqüente, Ellwanger [²] pesquisou uma forma de previsão do limite α₁ para edifícios contraventados exclusivamente por paredes e/ou núcleos, variável com o número de andares. A pesquisa resultou na dedução de uma fórmula, a qual proporcionou uma precisão muito boa para os exemplos testados. Dando seqüência a esta linha de estudos, o presente trabalho tem como foco os sistemas de contraventamento formados exclusivamente por pórticos.

No que diz respeito ao parâmetro de instabilidade em função do número de andares, a ABNT [³] dá um tratamento diferenciado apenas para edifícios com menos de quatro andares. Para um número maior, a norma estabelece valores fixos (0,5, 0,6 ou 0,7, dependendo do tipo de sistema de contraventamento), o que é questionável.

Por exemplo, Ellwanger [¹], ao analisar um edifício contraventado exclusivamente por pórticos, encontrou diferenças na ordem de 15 % entre os coeficientes limites α₁, fazendo variar o número de andares de 5 a 30. Considerando que a determinação do parâmetro de instabilidade envolve a extração de uma raiz quadrada, a diferença nas correspondentes razões carga vertical/rigidez horizontal atinge 32 %. Assim, ao se verificar a dispensa da necessidade de uma análise de segunda ordem, o erro na determinação da rigidez necessária pode tornar-se relevante.

O presente trabalho tem por objetivo pesquisar uma forma de definição do limite α₁ do parâmetro de instabilidade de edifícios contraventados por pórticos, variável com o número de andares. Inicialmente, apresentam-se tópicos relativos à consideração da não linearidade física e às componentes da deformação lateral dos pórticos, os quais servem de subsídio ao desenvolvimento de um método de obtenção do limite α₁ para edifícios com um número qualquer de andares. O método, envolvendo computação, é aplicado para uma série de quantidades de andares, gerando-se séries de valores de α₁, os quais são organizados em tabelas. Na seqüência, a precisão destas séries de valores é avaliada através da análise de dois exemplos de edifícios contraventados por pórticos, realizando-se 10 testes, com o número de andares variando entre 5 e 50.

2 Consideração da não linearidade física

Em uma análise de segunda ordem, devem ser considerados simultaneamente os efeitos das não-linearidades física e geométrica. A ABNT NBR 6118:2014, em seu item 15.7.3, permite que a não-linearidade física seja considerada de forma aproximada, mediante uma redução das rigidezes dos elementos estruturais em função de E _Ci I _C, ou de E _CS I _C se for aplicada a equação (3). Apesar de a norma limitar este procedimento a estruturas com quatro ou mais andares, o mesmo será adotado neste trabalho também em edifícios com três ou menos andares. Portanto, deve-se ter este fato em mente ao analisar resultados de exemplos com número reduzido de andares.

Considerando a variável r definida na equação (3) e representando as áreas das armaduras longitudinais de tração e de compressão, respectivamente, por A _s e A _s’, resultam as seguintes expressões para as rigidezes reduzidas:

- vigas:

${\left(EI\right)}_{\sec }=\mathrm{0,4}{E}_{Ci}{I}_C=\mathrm{0,4}{E}_{CS}{I}_C/r\left(A_s\ne A_s^{\text{'}}\right)$ (4)

${\left(EI\right)}_{\sec }=\mathrm{0,5}{E}_{Ci}{I}_C=\mathrm{0,5}{E}_{CS}{I}_C/r\left(A_s=A_s^{\text{'}}\right)$ (5)

- pilares:

${\left(EI\right)}_{\sec }=\mathrm{0,8}{E}_{Ci}{I}_C=\mathrm{0,8}{E}_{CS}{I}_C/r$ (6)

No desenvolvimento do presente estudo, surge a necessidade de se determinar a relação (EI)_sec / E _CS I _C do conjunto de barras do pórtico. Na verdade, trata-se de um valor meramente representativo, pois esta relação não pode ser considerada fixa; ela pode variar em função de vários fatores, como número e altura dos andares, número e extensão dos vãos, relação entre as dimensões transversais de vigas e pilares etc. Pinto e Ramalho [⁸] mostram que a influência da não linearidade física na rigidez lateral dos pórticos depende principalmente das taxas de armadura e da magnitude do carregamento aplicado, tendo obtido relações (EI)_sec / E _CS I _C para o estado limite último variando entre 0,51 e 0,75.

Taranath [⁹] afirma que a deformação global por corte de um pórtico pode representar até 80 % de sua deformação lateral total, sendo 60 % devidos à flexão das vigas e 20 % devidos à dos pilares; a deformação por flexão global do pórtico, devida às deformações axiais dos pilares, pode chegar a 20 %. Por outro lado, Smith and Coull [¹⁰] limitam esta última componente a 10 % da deformação global por corte, com exceção de pórticos muito altos e esbeltos. Com base nessas considerações, no estudo que segue, será estimada em 65 % a contribuição da flexibilidade das vigas para a deformação lateral do pórtico e em 35 % a dos pilares.

No projeto de um pórtico esbelto, a predominância dos efeitos do vento leva a uma tendência de igualdade entre as armaduras A _s e A _s’ das vigas. Assim, podem-se utilizar as equações (5) e (6) para relacionar as parcelas dos deslocamentos horizontais, relativas à flexibilidade de vigas e de pilares, resultantes da análise não linear física, com as correspondentes parcelas resultantes da análise linear. Simultaneamente, aplicando as recém mencionadas proporções de 65% e 35% de contribuição destas parcelas para os deslocamentos horizontais totais e seguindo a mesma linha dedutiva apresentada na seção 4 de Ellwanger [¹], pode-se mostrar que:

${\left(EI\right)}_{\sec }=\mathrm{0,5755}{E}_{CS}{I}_C/r$ (7)

3. Componentes da deformação lateral de um pórtico

Em subestruturas do tipo pórtico plano, predominam as deformações por flexão das barras individuais de viga e pilar. Quando um pórtico é submetido a ações horizontais, o momento fletor global é predominantemente absorvido na forma de forças normais nos pilares, para as quais a estrutura proporciona uma considerável rigidez. Assim, é a força cortante global que causa a maior parte das deformações horizontais do pórtico.

Além disso, existe um fator causador de deformações, cuja importância aumenta com a altura e a esbeltez do pórtico. Associado ao recém mencionado momento fletor global, ele consiste no encurtamento de alguns pilares e alongamento de outros, causando flexão no pórtico como um todo. Assim, segundo Taranath [⁹], os pórticos podem ser modelados por barras verticais, engastadas na base e livres no topo, nas quais ocorrem simultaneamente deformações por flexão e por corte.

A figura 2-a mostra um pórtico plano submetido a uma ação horizontal uniformemente distribuída de taxa w, bem como uma barra vertical de seção transversal constante, equivalente ao pórtico. Os deslocamentos y(x) dos pontos do eixo da barra e as respectivas derivadas φ(x) podem ser expressos pela soma das componentes devidas aos efeitos de flexão e de corte, identificados respectivamente pelos subíndices F e C:

$y\left(x\right)=y_F\left(x\right)+y_C\left(x\right)$ (8)

$\varphi \left(x\right)={\varphi }_F\left(x\right)+{\varphi }_C\left(x\right)$ (9)

Figura 2
Barras equivalentes a um pórtico plano

Convém observar que φ_F (x) corresponde efetivamente às rotações das seções da barra causadas pela flexão, enquanto φ_C (x) representa simplesmente a declividade da deformada causada pelo efeito de corte. O comportamento da barra sob o efeito da flexão é expresso por:

$EJ{d}^2{y}_F/d{x}^2=-M\left(x\right)=w{\left(\mathcal{l}-x\right)}^2/2$ (10)

l é o comprimento da barra, E é o módulo de elasticidade longitudinal do material e M(x) é o momento fletor global, considerado negativo quando causar tração na face esquerda da barra; J é o momento de inércia de sua seção transversal, o qual pode ser obtido em função das áreas das seções dos pilares do pórtico e das distâncias entre seus eixos e o centróide dessas áreas.

Para expressar o comportamento da estrutura sob o efeito de corte, utiliza-se um coeficiente de proporcionalidade S entre a força cortante global Q(x) e a declividade da deformada, dada pela componente φ_C (x). Assim, o coeficiente S representa a rigidez do sistema (pórtico plano) à força cortante global. Constata-se que, na verdade, ele pode sofrer variações ao longo da altura do pórtico, as quais são mais pronunciadas junto à base. Smith and Coull [¹⁰] apresenta uma expressão aproximada para a obtenção de S em um pavimento qualquer i (i > 1):

$S_i=\frac{12E}{h_i\left(1/G_i+1/C_i\right)}$ (11)

h_i é a altura do pavimento i. G _i representa o somatório das razões I/L, sendo I o momento de inércia e L o comprimento de cada barra de viga do pavimento i; C _i tem o mesmo significado de G _i em relação às barras de pilar. Para o primeiro pavimento, no caso de todos os pilares serem engastados na base, a expressão de S assume a forma:

$S_1=\frac{12E\left(1+C_1/6G_1\right)}{h_1\left(2/3G_1+1/C_1\right)}$ (12)

Os exemplos deste trabalho, apresentados na seção 5, caracterizam-se pela repetição da geometria de vigas e pilares em todos os pavimentos. Assim, aplicando as equações (11) e (12), resulta, para cada exemplo, um valor único de S _i (i > 1), além de um valor de S ₁. Por sua vez, a relação S ₁/S _i , calculada para cada exemplo, varia significativamente, apresentando uma mediana de 2,17. No presente estudo, para fins de simplicidade da formulação, será feita uma experiência com a adoção de um valor fixo para a relação S ₁/S _i . Será adotado o valor 2, por ser o inteiro mais próximo da mediana recém mencionada. Por se tratar de aproximação baseada numa simples amostra, fica passível de aferição a repercussão da mesma nos resultados de exemplos, não só deste trabalho, como também de quaisquer outros em que o método aqui proposto continue sendo pesquisado.

Desta forma, aplicando a condição de proporcionalidade entre Q(x) e φ_C (x), o comportamento da barra equivalente ao pórtico, devido ao efeito de corte, pode ser expresso por:

${\varphi }_C\left(x\right)=Q\left(x\right)/mS=w\left(\mathcal{l}-x\right)/mS$ (13)

Diante do que foi exposto no penúltimo parágrafo, m será considerado igual a dois para o primeiro pavimento e igual à unidade para os demais. Realizando a integração das equações (10) e (13), aplicando as condições de contorno e de continuidade pertinentes, obtêm-se as funções y _F (x) e y _C (x). Substituindo-as em (8), determina-se y(x); aplicando esta função para x = l, resulta:

${\Delta }_T=y\left(\mathcal{l}\right)=\frac{w{\mathcal{l}}^4}{8EJ}+\frac{w{\mathcal{l}}^{4}N}{4S{\mathcal{l}}^2}$ (14)

onde

$N=1+{\left(1-1/n\right)}^2$ (15)

Seja agora a barra mostrada na figura 2-b, também equivalente ao pórtico da figura 2-a, submetida ao mesmo carregamento, porém sem a consideração da deformação por corte. Sendo I o momento da inércia da seção transversal, o deslocamento horizontal no topo será dado por:

${\overline{\Delta }}_T=\overline{y}\left(\mathcal{l}\right)=w{\mathcal{l}}^4/8EI$ (16)

O item 15.5.2 da ABNT [³], ao tratar do parâmetro de instabilidade, estabelece uma metodologia de determinação do fator E _CS I _C de um pilar de seção constante, equivalente a um dado pórtico plano. Segundo esta metodologia, a referida rigidez deve ser obtida calculando-se, inicialmente, o deslocamento horizontal no topo da estrutura de contraventamento (pórtico) sob a ação do carregamento horizontal, que vem a ser o D_T dado pela equação (14). Em seguida, obtém-se a rigidez de um pilar equivalente de seção constante tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento horizontal no topo o que, neste caso, vem a ser o $\overline{K}$ da equação (16). Isto implica na igualdade entre as duas expressões, o que leva a:

$S{\mathcal{l}}^2=\frac{2NEIJ}{J-I}$ (17)

4. Os efeitos de segunda ordem no modelo discreto

De acordo com o modelo de Beck e König, descrito na subseção 1.1, um sistema de contraventamento pode ser modelado por uma simples barra de pilar. A figura 3 mostra uma barra engastada-livre, de comprimento H _tot , simulando o sistema de contraventamento de um edifício com n andares de mesma altura h, submetido à ação de cargas gravitacionais F (dadas pela soma das ações P e V da figura 1) e de vento (W/2 no topo e W nos demais andares); as ações são consideradas com seus valores característicos. Considera-se que a barra tem momento de inércia J constante ao longo de seu comprimento; a rigidez à força cortante é 2S no trecho n e S nos demais trechos.

Figura 3
Barra equivalente a um sistema de contraventamento com n pavimentos

4.1 Interação entre trechos consecutivos

Levando em conta a deformação da barra (não-linearidade geométrica), o comportamento de um trecho qualquer i sob o efeito de corte é expresso por:

$mS{\varphi }_{Ci}\left(x\right)=Q_i\left(x\right)=W\left(i-1/2\right)+iF{\varphi }_i\left(x\right)$ (18)

Aplicando a equação (9) para o trecho i, substituindo-a em (18) e isolando φ_Fi (x), resulta:

${\varphi }_{Fi}\left(x\right)=\left(1-iF/mS\right){\varphi }_i\left(x\right)-\left(W/mS\right)\left(i-1/2\right)$ (19)

Derivando a equação (19) em relação a x, obtém-se:

$d{\varphi }_{Fi}/dx=d^2{y}_{Fi}/d{x}^2=\left(1-iF/mS\right)d^2{y}_i/d{x}^2$ (20)

O comportamento do mesmo trecho i sob o efeito da flexão é expresso por:

$EJ{d}^2{y}_{Fi}/d{x}^2=-M_i\left(x\right)$ (21)

Introduzindo (20) em (21) e expressando M _i (x) em função das ações, resulta:

$\begin{array}{l}EJ\left(1-iF/mS\right)d^2{y}_i/d{x}^2=W\left\{\left(nh-x\right)/2+{\displaystyle \sum }_{j=1}^{i-1}\left[\left(n-j\right)h-x\right]\right\}\\ -F\left\{i{y}_i\left(x\right)-{\displaystyle \sum }_{j=0}^{i-1}{y}_{i+1}\left[\left(n-j\right)h\right]\right\}\end{array}$ (22)

A solução de (22) e sua derivada são dadas por:

$\begin{array}{l}{y}_i\left(x\right)=\frac{1}{i}{\displaystyle \sum }_{j=0}^{i-1}{y}_{i+1}\left[\left(n-j\right)h\right]+C_{2i-1}sen\left(\sqrt{i}{a}_{i}x\right)+C_{2i}\cos \left(\sqrt{i}{a}_{i}x\right)+\\ +\frac{W}{iF}\left\{\frac{nh-x}{2}+{\displaystyle \sum }_{j=1}^{i-1}\left[\left(n-j\right)h-x\right]\right\}\end{array}$ (23)

$\frac{d{y}_i}{dx}={\varphi }_i\left(x\right)=\sqrt{i}{a}_i\left[C_{2i-1}\cos \left(\sqrt{i}{a}_{i}x\right)-C_{2i}sen\left(\sqrt{i}{a}_{i}x\right)\right]-\frac{W}{iF}\left(i-\frac{1}{2}\right)$ (24)

C_2i−1 e C _2i são constantes de integração e o coeficiente a _i é dado por:

$a_1^2=F/EJ\left(1-iF/mS\right)$ (25)

Aplicando a equação (23) para o topo do sistema (x = nh e i = 1), obtém-se:

$C_2=-C_1\tan \left(n{a}_{1}h\right)$ (26)

Tendo sido obtida uma relação entre C ₁ e C ₂, será demonstrado a seguir como as constantes de integração relativas a um trecho qualquer da barra podem ser expressas em função das constantes relativas ao trecho imediatamente anterior. Na equação (23), ao substituir i por i + 1, obtém-se a função y_i+1 (x). Expressando sucessivamente y _i(x) e y _i+1(x) para x = (n - i)h (transição entre os trechos i e i + 1) e seguindo a mesma linha dedutiva apresentada por Ellwanger [²], pode-se demonstrar que:

$C_{2i+1}sen\left[\sqrt{i+1}\left(n-i\right)a_{i+1}h\right]+C_{2i+2}\cos \left[\sqrt{i+1}\left(n-i\right)a_{i+1}h\right]=B_1$ (27)

onde

$B_1=\frac{i}{i+1}\left\{C_{2i-1}sen\left[\sqrt{i}\left(n-i\right)a_{i}h\right]+C_{2i}\cos \left[\sqrt{i}\left(n-i\right)a_{i}h\right]\right\}$ (28)

Na transição entre dois trechos quaisquer, a variação brusca da força cortante acarreta um salto na componente φ_C (x) da inclinação da deformada; por sua vez, a componente φ_F (x) no final de um trecho é igual à componente no início do trecho seguinte. Substituindo (24) em (19), obtém-se:

${\varphi }_{Fi}\left(x\right)=\left(1-\frac{iF}{mS}\right)\sqrt{i}{a}_i\left[C_{2i-1}\cos \left(\sqrt{i}{a}_{i}x\right)-C_{2i}sen\left(\sqrt{i}{a}_{i}x\right)\right]-\frac{W}{iF}\left(i-\frac{1}{2}\right)$ (29)

Na equação (29), ao substituir i por i + 1, obtém-se φ_F,i+1 (x). A condição de continuidade das rotações φ_F implica na igualdade entre estas funções para x = (n−i)h, resultando:

$C_{2i+1}\cos \left[\sqrt{i+1}\left(n-i\right)a_{i+1}h\right]-C_{2i+2}sen\left[\sqrt{i+1}\left(n-i\right)a_{i+1}h\right]=B_2$ (30)

onde

$\begin{array}{l}{B}_2=\frac{\sqrt{i}}{\sqrt{i+1}}\frac{\sqrt{1-iF/mS}}{\sqrt{1-\left(i+1\right)F/mS}}\left\{C_{2i-1}\cos \left[\sqrt{i}\left(n-i\right)a_{i}h\right]-C_{2i}sen\left[\sqrt{i}\left(n-i\right)a_{i}h\right]\right\}+\\ +\frac{Wh}{2i{\left(i+1\right)}^{3/2}{a}_{i+1}hF\left[1-\left(i+1\right)F/mS\right]}\end{array}$ (31)

A partir das equações (27), (28), (30) e (31), podem-se expressar C _2i+1 e C _2i+2 em função de C _2i-1 e C _2i:

$C_{2i+1}=B_2\cos \left[\sqrt{i+1}\left(n-i\right)a_{i+1}h\right]+B_{1}sen\left[\sqrt{i+1}\left(n-i\right)a_{i+1}h\right]$ (32)

$C_{2i+2}=B_1\cos \left[\sqrt{i+1}\left(n-i\right)a_{i+1}h\right]-B_{2}sen\left[\sqrt{i+1}\left(n-i\right)a_{i+1}h\right]$ (33)

4.2 Obtenção e comparação entre momentos fletores na base

Uma vez obtida a relação entre as constantes de integração referentes a dois trechos consecutivos da barra, será deduzida a seguir uma expressão para o momento fletor na base da mesma. A condição de rotação φ_F nula na base é imposta, aplicando a equação (29) para x = 0, i = n (último trecho) e m = 2. Em seguida, pode-se isolar C _2n−1 :

$C_{2n-1}=\frac{\left(n-1/2\right)W}{n\sqrt{n}{a}_{n}F(1-nF/2S}$ (34)

Ellwanger [²] mostra que, combinando as equações (20) e (21) com a derivada da (24), obtém-se a seguinte expressão para o momento fletor na base:

$M\left(0\right)=M_n\left(0\right)=nF{C}_{2n}$ (35)

A dedução da expressão de M(0) para um número qualquer n de pavimentos inicia com a aplicação da equação (26), ficando C ₂ expresso em função de C ₁. Assim, ao aplicar as equações (32) e (33) para a transição entre o primeiro e o segundo trecho (i = 1), resultarão expressões para C₃ e C₄ contendo C ₁ como única constante de integração. O mesmo acontecerá com as demais constantes ao aplicar essas equações para os demais trechos. Além disso, em virtude da última parcela da expressão de B ₂, dada por (31), as sucessivas aplicações de (32) e (33) geram para as expressões das demais constantes de integração um termo independente de C ₁, o qual aparece multiplicado por Wh/F. Assim, ao final deste processo, terão sido geradas expressões para C _2n−1 e C _2n (trecho n), as quais podem ser postas na forma:

$C_{2n-1}=A_1{C}_1+D_{1}Wh/F$ (36)

$C_{2n}=A_2{C}_1+D_{2}Wh/F$ (37)

Os termos A ₁, A ₂, D ₁ e D ₂ resultam das sucessivas aplicações das equações (32) e (33). Combinando as equações (34), (35), (36) e (37), obtém-se a seguinte expressão para o momento fletor na base, incluindo os efeitos de segunda ordem:

$M^{II}=M\left(0\right)=\frac{Wh{A}_2\left(n-1/2\right)}{\sqrt{n}{a}_{n}h{A}_1\left(1-nF/2S\right)}+Whn\left(D_2-\frac{A_2{D}_1}{A_1}\right)$ (38)

Levando em consideração a equação (25), o termo a _n h que aparece em (38) pode ser posto na forma:

$a_{n}h=\sqrt{\left(F/S\right)/(\overline{K}\left(1-nF/2S\right)}$ (39)

onde

$\overline{K}=EJ/S{h}^2$ (40)

Por sua vez, os termos a _i h e a _i+1 h que constam em vários trechos deste trabalho terão uma expressão semelhante à (39), apenas alterando o quociente nF/2S para iF/S ou (i+1)F/S, respectivamente. Por outro lado, o momento fletor na base, incluindo apenas os efeitos de primeira ordem, é dado por:

$M^I=-Wh\left(n/2+{\displaystyle \sum }_{i=1}^{n-1}i\right)$ (41)

Para a verificação da dispensa de consideração dos efeitos de segunda ordem, o critério do acréscimo dos 10 %, mencionado na subseção 1.1, será aplicado para o momento fletor na base, com os módulos de M ^I e M ^II dados respectivamente por (41) e (38) (com os sinais invertidos, uma vez que a aplicação destas equações resulta em valores negativos para ambos os momentos). Além disso, sendo este critério aplicado para o estado limite último, de acordo com o item 11.7.1 da ABNT NBR 6118:2014, as cargas W e F das equações (38), (39) e (41) devem ser majoradas por 1,4. Portanto:

$\frac{-\mathrm{1,4}Wh{A}_2\left(n-1/2\right)}{\sqrt{n}{a}_{n}h{A}_1\left(1-\mathrm{1,4}nF/2S\right)}-\mathrm{1,4}Whn\left(D_2-\frac{A_2{D}_1}{A_1}\right)\le \mathrm{1,1}\times \mathrm{1,4}Wh\left(n/2+{\displaystyle \sum }_{i=1}^{n-1}i\right)$ (42)

É tacitamente assumido que o termo a _n h, que consta na equação (38), terá sido obtido aplicando-se a equação (39) com 1,4F no lugar de F. A mesma alteração deve ser feita na obtenção dos termos a _i h e a _i+1 h que constam nas equações (28), (31), (32) e (33), para fins de obtenção de A ₁, A ₂, D ₁ e D ₂. Efetuando-se os devidos algebrismos, a inequação (42) transforma-se em:

$\frac{-A_2\left(n-1/2\right)}{\sqrt{n}{a}_{n}h{A}_1\left(1-\mathrm{1,4}nF/2S\right)}-n\left(D_2-\frac{A_2{D}_1}{A_1}\right)\le \mathrm{1,1}\left(n/2+{\displaystyle \sum }_{i=1}^{n-1}i\right)$ (43)

4.3 Obtenção de α₁

Para um pequeno número de andares, podem-se deduzir expressões de A₁, A₂, D₁ e D₂, como funções de F/S, e substituí-las no membro esquerdo de (43). Em seguida, a inequação (43) pode ser resolvida por tentativas, obtendo-se F/S. Todavia, para uma quantidade maior de andares, é necessário aplicar as equações (32) e (33) por múltiplas vezes, o que resulta em expressões muito extensas para A ₁ e A ₂, tornando o procedimento inviável.

Diante dessa situação, foi desenvolvido um método alternativo de obtenção de F/S para edifícios com um número qualquer de andares, pelo qual a solução também é obtida por meio de tentativas. Porém, no lugar de se deduzirem expressões cada vez mais extensas para A ₁, A ₂, D ₁ e D ₂, atribuem-se sucessivamente valores iniciais (tentativas) ao quociente F/S e determinam-se valores numéricos para aquelas variáveis. Em cada tentativa, aplica-se o formulário visto até aqui, de forma a obter valores numéricos para os membros à direita e à esquerda da inequação (43). Quando estes valores forem suficientemente próximos, de maneira a poderem ser considerados iguais, o quociente F/S terá sido determinado. Convém ressaltar que na aplicação do processo deve ser previamente fixado o valor de da equação (40).

Devido à grande quantidade de operações, o método é aplicado com o auxílio de computador. A título de ilustração, apresenta-se na figura 4 um fluxograma com a seqüência de operações de obtenção de F/S por meio de tentativas.

Figura 4
Sequência de operações para a solução da inequação (43)

Representando por b a solução de (43) pelo método recém descrito e introduzindo sucessivamente as equações (40) e (17), pode-se escrever:

$\frac{F}{S}=\frac{F{\mathcal{l}}^2}{EI\left(2N+n^2/\overline{K}\right)}\le b$ (44)

Pode-se observar na figura 3 que ℓ = H_tot/n e F = N_k/n, conforme definição de N _k na subseção 1.1. Por sua vez, a não linearidade física pode ser considerada substituindo-se EI por (EI)_sec dado por (7). Introduzindo essas alterações e extraindo a raiz quadrada de ambos os membros da inequação (44), resulta:

$H_{tot}\sqrt{N_k/E_{CS}{I}_C}/\sqrt{\mathrm{0,5755}n(2N+n^2/\overline{K}/r}\le \sqrt{b}$ (45)

Comparando (45) com as equações (1) e (2), conclui-se que o limite α₁ do parâmetro de instabilidade pode ser expresso por:

${\alpha }_1=\sqrt{\mathrm{0,5755}bn(2N+n^2/\overline{K}/r}$ (46)

Assim, entrando-se com o número de andares desejado (n), pode-se obter b por meio do processo de tentativas já descrito e, em seguida, o valor do coeficiente limite α₁, aplicando-se a equação (46). Isto foi feito para uma série de quantidades de andares e para diferentes valores de $\overline{K}$. Considerou-se, para efeitos de estudo, um f _ck de 20 MPa, levando o coeficiente r a assumir o valor de 0,85, de acordo com a equação (3). Conseqüentemente, a relação EI/E_CS I_C expressa por (7) resulta em 0,677.

Constatou-se que, para um número de andares inferior a quatro e igual ou superior a 200, a variação de α₁ em função de $\overline{K}$ é muito pequena, podendo ser desprezada. Assim, estes valores de α₁, que podem ser considerados independentes de $\overline{K}$, são mostrados na tabela 1. Para um número de andares superior a três e inferior a 200, a₁ varia com $\overline{K}$. A tabela 2 mostra um resumo dos resultados obtidos, onde cada coluna contém valores de α₁ relativos a um valor fixo de $\overline{K}$. Para não tornar esta exposição demasiadamente extensa, os valores de α₁ são apresentados para uma série de quantidade de andares representativa do intervalo considerado; por sua vez, o conjunto de valores de $\overline{K}$ da tabela representa a faixa de abrangência dos valores de $\overline{K}$ obtidos nos exemplos que se encontram descritos na próxima seção.

Tabela 1
Valores de α₁ independentes de $\overline{K}$

Número de andares	α1
1	0,42
2	0,47
3	0,49
≥ 200	0,65

Tabela 2
Valores de α₁, variando-se $\overline{K}$ e o número de andares

Número de andares	Valores de $\overline{K}$
	500	300	250	200	150	100	80	60	40	20
4	0,493	0,494	0,494	0,494	0,495	0,496	0,497	0,498	0,500	0,506
5	0,498	0,499	0,499	0,499	0,500	0,502	0,503	0,505	0,509	0,518
6	0,501	0,502	0,503	0,503	0,505	0,507	0,509	0,512	0,516	0,528
8	0,505	0,507	0,508	0,510	0,512	0,516	0,519	0,523	0,531	0,548
10	0,509	0,512	0,513	0,516	0,519	0,525	0,529	0,535	0,545	0,564
12	0,512	0,516	0,518	0,521	0,526	0,534	0,539	0,546	0,557	0,578
16	0,519	0,526	0,529	0,533	0,540	0,551	0,557	0,566	0,579	0,598
20	0,526	0,535	0,540	0,545	0,553	0,566	0,573	0,582	0,595	0,611
25	0,535	0,548	0,553	0,560	0,569	0,582	0,590	0,598	0,609	0,622
30	0,544	0,559	0,565	0,573	0,582	0,596	0,602	0,610	0,619	0,629
40	0,563	0,580	0,586	0,594	0,603	0,614	0,619	0,624	0,631	0,638
50	0,579	0,596	0,602	0,609	0,616	0,625	0,629	0,633	0,637	0,642
100	0,623	0,633	0,636	0,639	0,642	0,645	0,646	0,647	0,649	0,650
150	0,639	0,644	0,645	0,647	0,648	0,650	0,650	0,651	0,652	0,652

5. Exemplos

5.1 Descrição dos testes

A figura 6 mostra a configuração básica, em planta, do sistema de contraventamento transversal de um edifício de planta retangular, o qual é constituído por pórticos com vão único de 7,5 m. Da mesma forma, pode-se observar na figura 7 a configuração básica do sistema de contraventamento transversal de um edifício de planta octogonal alongada, sendo formado por pórticos com três vãos iguais de 5 m. Em ambos os casos, os pórticos apresentam-se igualmente espaçados e os vãos são considerados de eixo a eixo de pilar; os elementos contraventados não estão representados. Cada um destes sistemas foi empregado em edifícios de 5, 10, 20, 30 e 50 andares com pé direito de 3 m, constituindo os exemplos 1 a 10, cujas informações gerais constam na tabela 3.

Tabela 3
Informações gerais dos exemplos 1 a 10

Exemplo	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N° de andares	5	5	10	10	20	20	30	30	50	50
Altura (m)	15	15	30	30	60	60	90	90	150	150
N° de pórticos	3	3	5	3	5	5	9	7	13	11
Espaçamento (m)	10	7,5	7,5	7,5	7,5	4	3,75	5	2,5	3
N° de vãos	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3
Dimensão l1 (m)	12	16	12	16	12	18	12	23	20	23
Dimensão l2 (m)	−	10	−	10	−	12	−	17	−	17

Figura 5
Gráficos α₁ x número de andares

Figura 6
Sistema de contraventamento transversal: exemplos 1, 3, 5, 7 e 9

Figura 7
Sistema de contraventamento transversal: exemplos 2, 4, 6, 8 e 10

Considerou-se a utilização de um concreto com f _ck = 40 MPa e agregado constituído por basalto, resultando em um módulo E_CS = 38000 MPa. Foi considerada uma carga vertical total (valor característico) de 10 kN/m² por pavimento. Adotou-se uma força devida à pressão do vento de 1,5 kN/m² (valor característico), constante ao longo da altura. Esta consideração foi feita por tratar-se de experiência com formulação baseada em modelo com força de vento de taxa constante.

Cada um dos 10 sistemas de contraventamento foi testado com o objetivo de se determinar a relação entre cargas verticais e rigidez horizontal que resultasse em um acréscimo de 10% no momento global da base do edifício, em relação à análise de primeira ordem; com isso, determinava-se o limite α₁ do parâmetro de instabilidade. O procedimento aplicado em cada teste consistiu em atribuir dimensões iniciais às seções das barras dos pórticos e realizar uma análise de segunda ordem, empregando-se o método P-Δ com processamento em precisão dupla. Por se tratar de sistemas de contraventamento com dupla simetria, adotou-se para a análise, no lugar da estrutura tridimensional, um modelo formado pelos pórticos transversais dispostos num mesmo plano e unidos por bielas.

Em seguida, realizaram-se novas análises de segunda ordem, ajustando-se as dimensões das seções até resultar o acréscimo desejado de 10% no momento global da base. A tabela 4 apresenta as dimensões das seções resultantes desse processo. Foram consideradas seções retangulares para todas as barras, com exceção das vigas dos exemplos 9 e 10, para as quais foram adotadas seções T. Apesar de não se mostrar adequada nos exemplos com maior número de andares, a estruturação em pórticos de vão único e de três vãos foi mantida para fins de comparação.

Tabela 4
Dimensões (cm) das seções transversais

Exemplo	Vigas	Pilares
1	25 x 68	25 x 47
2	19 x 47	19 x 47
3	25 x 68	25 x 68
4	20 x 60	20 x 60
5	40 x 76	40 x 100
6	23 x 60	30 x 89
7	33 x 78	40 x 130
8	29 x 65	29 x 117
9	64 x 193	64 x 130
10	+ abas 45 x 12	32 x 82
	32 x 125
	+ abas 30 x 12

A obtenção do parâmetro de instabilidade através da equação (1) requer que tenha sido determinada a inércia I_C de um pilar equivalente ao conjunto de pórticos transversais. Isto foi feito efetuando-se o procedimento prescrito pelo item 15.5.2 da ABNT NBR 6118:2014. Assim, para cada exemplo, a inércia equivalente foi obtida a partir da comparação entre os deslocamentos horizontais no topo, resultantes da análise linear do próprio sistema de contraventamento e de um pilar de referência, submetidos ao carregamento de vento. Os valores de I_C obtidos por meio deste processo encontram-se na tabela 5. O coeficiente $\overline{K}$ de cada sistema de contraventamento foi determinado mediante a aplicação da equação (40), tendo J e S sido obtidos conforme o exposto na seção 3. Os valores de $\overline{K}$ também se encontram na tabela 5.

Tabela 5
Parâmetros de inércia dos exemplos

Exemplo	IC (m4)	$\overline{K}$	(EI)sec / ECSIC
1	0,422	169	0,687
2	0,517	456	0,670
3	3,268	173	0,650
4	3,952	280	0,673
5	22,17	175	0,700
6	35,15	449	0,641
7	66,81	244	0,727
8	133,4	375	0,696
9	299,7	19,5	0,986
10	342,5	69,5	0,967

A não-linearidade física foi considerada por meio da redução da rigidez das barras individuais, expressa pelas equações (5) e (6). Além da aplicação do método P-Δ, também foi realizada uma análise não linear física de cada sistema submetido exclusivamente ao carregamento de vento; trata-se, na verdade, de uma análise linear com a recém mencionada redução das rigidezes. Em seguida, foi obtida a relação (EI)_sec / E _CS I _C do conjunto de barras dos pórticos de cada exemplo, por meio da comparação entre os deslocamentos horizontais no topo resultantes das análises com e sem redução das rigidezes. Os valores dessa relação constam na última coluna da tabela 5.

5.2 Análise dos resultados

As tabelas 1 e 2 apresentam valores do coeficiente limite α₁, obtidos por meio da seqüência de operações da figura 4, seguida da aplicação da equação (46). Por sua vez, a figura 5 mostra curvas representando a variação de α₁ com o número de andares, para três diferentes valores de $\overline{K}$. Observa-se que os valores de α₁ são crescentes com o número de andares, variando entre 0,42 (um pavimento) e 0,655 (para o número de andares tendendo ao infinito). Entretanto, conforme foi salientado no final da seção 4, estes valores foram obtidos para uma relação (EI)_sec / E _CS I _C = 0,677. Alterando-se esta relação, alterar-se-ão os valores de a₁ na proporção da raiz quadrada da mesma.

A tabela 2 e a figura 5 também mostram que, para um mesmo número de andares, os valores de a₁ são crescentes com a diminuição de $\overline{K}$, ou seja, com a diminuição da rigidez dos pórticos à flexão em relação à rigidez ao corte e, portanto, com o aumento da flexibilidade à flexão em relação à flexibilidade ao corte. Uma maior flexibilidade à flexão está associada à tendência da deformada em apresentar deslocamentos horizontais importantes somente na região superior do edifício, ao contrário da deformada de uma estrutura mais flexível ao corte, na qual os referidos deslocamentos já ocorrem a partir da região inferior. Esta diminuição do número de pavimentos com deslocamentos horizontais importantes faz diminuir a parcela do momento fletor global devida aos efeitos de segunda ordem, levando a um aumento no coeficiente limite α₁.

Os gráficos da figura 5 mostram que a variação de α₁ com $\overline{K}$ é mais pronunciada numa faixa intermediária da quantidade de pavimentos. Por exemplo, para 25 andares, a diferença entre os valores de α₁ referentes a $\overline{K}$ igual a 20 e a 500 é de 16 %, correspondendo a uma diferença de 35 % entre as respectivas razões carga vertical/rigidez horizontal.

Por sua vez, os valores de α obtidos nos exemplos constam na segunda coluna da tabela 6, podendo se observar que eles também aumentam com o número de andares. Para um mesmo número de andares, os valores relativos aos exemplos de vão único tendem a ser superiores aos de três vãos, ocorrendo o contrário com os valores de $\overline{K}$, conforme consta na tabela 5. Isto está coerente com o exposto anteriormente, pois nos pórticos de vão único, devido ao número menor de pilares, a deformação axial nos mesmos tende a ser maior, levando a uma maior deformabilidade devida à flexão global.

Tabela 6
Valores de α₁ previstos e encontrados

Exemplo	α 1	α1 2	α1 3	Diferença 4
1	0,503	0,500	0,503	0
2	0,499	0,498	0,496	0,60%
3	0,511	0,518	0,508	0,59%
4	0,511	0,512	0,511	0
5	0,555	0,549	0,558	0,54%
6	0,517	0,528	0,514	0,58%
7	0,587	0,566	0,587	0
8	0,556	0,553	0,561	0,90%
9	0,770	0,642	0,775	0,65%
10	0,747	0,631	0,754	0,94%

• ¹
  Valores encontrados nos exemplos;
• ²
  Valores previstos pela tabela 2;
• ³
  α₁ (2) com a correção do fator (EI)_sec / E_CSI_C;
• ⁴
  Diferenças entre α¹ e α₁ ³.

A terceira coluna da tabela 6 apresenta os valores de α₁ obtidos por interpolação dos valores constantes na tabela 2, em função do número de andares e do coeficiente $\overline{K}$ de cada exemplo. Constatou-se que estes valores apresentam, em alguns casos, diferenças significativas em relação aos valores de α encontrados nos exemplos.

Em seguida, os valores de α₁ foram recalculados, substituindo-se o fator 0,5755/r das equações (7) e (46) pelos fatores (EI)_sec / E _CS I _C constantes na tabela 5. Estes valores recalculados de α₁, juntamente com as diferenças entre eles e os valores de α obtidos nos exemplos, constam respectivamente na quarta e quinta colunas da tabela 6. Constata-se que estas diferenças são inferiores a 1 % para todos os casos. As figuras 8 (exemplos de vão único) e 9 (exemplos de três vãos) demonstram graficamente o bom grau de precisão obtido na previsão dos valores de a₁.

Figura 8
Valores de α₁: exemplos de vão único

Figura 9
Valores de α₁: exemplos de três vãos

A necessidade de se recalcular α₁ em função dos fatores (EI)_sec / E _CS I _C deveu-se basicamente à diferença entre o valor de f _ck adotado na construção das tabelas 1 e 2 (20 MPa) e o adotado nos exemplos (40 MPa). Assim, foi principalmente essa diferença que levou à constatação de que, para se atingir um bom grau de precisão na predição do limite α₁ de um edifício com certo número de andares e determinada razão de rigidezes $\overline{K}$, é necessário avaliar a não linearidade física com um bom grau de aproximação.

Constata-se ainda que os valores de α₁ obtidos nos exemplos mostram uma variabilidade que vai de um mínimo de 0,499 no exemplo 2 até um máximo de 0,770 no exemplo 9. A proporção entre estes valores extremos é de aproximadamente 1,5:1. Considerando que a obtenção dos mesmos envolve a extração de uma raiz quadrada, a proporção entre os radicandos (relações carga vertical/rigidez horizontal) associados a esses extremos é superior a 2:1.

Essa variabilidade mostra a importância de se ter uma forma de prever um limite α₁ apropriado à razão $\overline{K}$ e ao número de andares de um dado edifício a ser projetado, no lugar dos valores fixos estabelecidos na seção 15 da ABNT [³]. Assim, por exemplo, em relação ao valor fixo 0,5 (prescrito para 4 ou mais andares), a tabela 2 fornece valores variáveis entre 0,493 (4 andares e $\overline{K}$ = 500) e 0,652 (150 andares e $\overline{K}$ = 40 ou 20); estes valores foram obtidos para uma relação fixa (EI)_sec / E _CS I _C = 0,677. Determinando essa relação para cada caso, podem-se obter valores ainda maiores de a₁, conforme se pode constatar nos exemplos apresentados.

6. Conclusões

No presente trabalho, foi desenvolvido um método baseado no modelo discreto de Beck e König (Figura 1), considerando pé-direito constante e força de vento uniforme. O método consiste em resolver a inequação (43) por meio de tentativas e utilizar o resultado na aplicação da equação (46), obtendo-se α₁. Como o método é aplicado com o auxílio de computador, pode-se obter α₁ para qualquer número de andares e qualquer valor de $\overline{K}$, conforme se pode observar nas tabelas 1 e 2.

No estudo voltado para sistemas de contraventamento formados exclusivamente por paredes e/ou núcleos, realizado por Ellwanger [²], foram deduzidas fórmulas para a previsão do limite α₁, dependentes unicamente do número de andares. Por sua vez, os sistemas formados por pórticos, objeto deste trabalho, requerem a definição prévia de dois parâmetros adicionais para se obter α₁.

O primeiro destes parâmetros é a relação $\overline{K}$ entre as rigidezes do sistema à flexão e ao corte, expressa pela equação (40), sendo J e S obtidos de acordo com o exposto na seção 3. O segundo parâmetro é a relação (EI)_sec / E _CS I _C do sistema de contraventamento (influência da não linearidade física). Uma forma de obtenção da mesma é submeter o sistema a uma nova análise linear, considerando a redução das seções das barras, expressa pelas equações (4) a (6). A relação (EI)_sec / E _CS I _C é então determinada por meio da comparação entre os deslocamentos horizontais no topo obtidos pelas análises com as seções reduzidas e com as originais.

Um tema para a continuidade da pesquisa nesta área é investigar a viabilidade de se estabelecerem limites inferiores da relação (EI)_sec / E _CS I _C para determinadas situações (faixas de número de andares, número de vãos, relação altura/largura do edifício, igualdade ou não entre as áreas de armadura A_s e A_s’ das vigas etc.) e introduzi-los na equação (46), por meio da substituição do termo 0,5755/r. Assim, o projetista teria a opção de submeter a estrutura à análise com as seções reduzidas ou simplesmente adotar a estimativa de (EI)_sec / E _CS I _C recém mencionada.

No estudo voltado a sistemas formados por paredes e/ou núcleos, Ellwanger [²] abordou casos de força de vento uniforme e com variação segundo as prescrições da ABNT NBR 6123:1988 - Forças Devidas ao Vento em Edificações (ABNT [¹¹]). Constatou-se que os valores de α₁, obtidos para estes dois padrões de carregamento, apresentam valores muito próximos entre si, com diferenças inferiores a 1,7%. Assim, este trabalho não abordou casos de força de vento com taxa variável. Entretanto, na continuidade da pesquisa neste tema, é recomendável verificar se a proximidade entre os valores de α₁ para os dois padrões de carregamento também se verifica nos sistemas formados por pórticos.

Os bons resultados obtidos neste trabalho e no de Ellwanger [²] recomendam a adoção do método proposto para pesquisar formas de definição de α₁ também para sistemas formados por associações de pórticos com paredes e/ou núcleos. Casos de variação no pé direito e na rigidez horizontal ao longo da altura também podem ser abordados. Pode-se investigar ainda a viabilidade de se determinarem fórmulas de interpolação que reproduzam as séries de valores das tabelas 1 e 2. Cabe destacar que tudo isto deve ser feito de forma a manter a simplicidade da formulação, justamente uma das maiores virtudes da utilização do parâmetro de instabilidade.

Convém salientar que os resultados obtidos no presente trabalho referem-se a sistemas estruturais constituídos por pórticos repetitivos e regularmente distribuídos. Para que a adoção de um limite variável para o parâmetro de instabilidade venha a ser incorporada à prática do projeto de estruturas é necessário, contudo, que o método desenvolvido neste trabalho seja testado por meio de uma série de exemplos bem mais abrangente, incluindo pórticos diferenciados e irregularmente distribuídos. Além disso, recomenda-se para os testes um modelo mais realístico de análise, com a simulação da estrutura como um reticulado tridimensional, considerando o comportamento dos pavimentos como diafragmas rígidos.

7. References

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  Ellwanger, R.J.; Floors number influence on the instability parameter of reinforced concrete wall- or core-braced buildings. In: Revista IBRACON de Estruturas e Materiais, vol. 6, n^o 5, pp. 797-810 , São Paulo, 2013.
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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  11 Nov 2019
• Data do Fascículo
  Sep-Oct 2019

Histórico

• Recebido
  15 Mar 2018
• Aceito
  18 Maio 2018