Termodinâmica estendida para materiais viscoelásticos com condução de calor

^IDepartamento de Engenharia e Ciências Exatas da UFES, 29933-480 São Mateus, ES, Brasil. [e-mail]

^IIInstituto de Matemática da UFRJ, 21945-970 Rio de Janeiro, RJ, Brasil. [e-mail]

RESUMO

Nesse artigo será apresentada uma formulação de termodinâmica estendida para materiais viscoelásticos com condução de calor. O requerimento da invariância Galileana sobre as equações de balanço e o princípio de entropia conduzem à introdução de multiplicadores de Lagrange, que estabelecem equações constitutivas para os fluxos. Uma condição de hiperbolicidade do sistema de equações é obtido por meio da concavidade da densidade de entropia.

Palavras-chave: Entropia, multiplicadores de Lagrange, gases, fluidos.

ABSTRACT

In this paper an extended thermodynamic formulation for viscoelastic materials with heat conduction is presented. The requirement of Galilean invariance on the balance equations and the entropy principle lead to the introduction of Lagrange multipliers, which provide constitutive equations for the flux. A hyperbolic condition of the equations system is obtained through the concavity of the entropy density.

Keywords: Entropy, Lagrange multipliers, gases, fluids.

1. Introdução

A termodinâmica estendida é uma teoria que complementa as leis usuais de conservação de massa, momento e energia, empregadas na termodinâmica clássica, com um conjunto de equações de balanço adicionais que envolvem o fluxo de calor. Em um total de 13 equações de balanço são determinados 13 momentos: densidade, velocidade, tensor tensão e fluxo de calor [9], [12].

A termodinâmica estendida tem sido aplicada a gases [3], [11], [12], assim como fluidos [10], [13] e sólidos viscoelásticos [6],[7],[8]. Em particular, Vignatti e Liu [13] consideraram a energia como um campo independente e aumentaram a equação da energia total, resultando em um sistema de 14 equações de balanço. O requerimento da invariância Galileana sobre o sistema de equações implica na decomposição dos momentos e fluxos como produtos de duas funções em que uma delas independe do campo velocidade [9], [15].

Este artigo dá continuidade ao trabalho apresentado em [13], seguindo o procedimento nas referências ali citadas. A diferença significativa do artigo [13] para este está na inclusão da equação (?), o que caracteriza a teoria para sólidos. Admitindo a concavidade da densidade entropia, foi possível mostrar a positividade do calor específico, a volume constante.

Será usada a mesma notação indicial utilizada em [13]. Em particular A_(ij) = e o símbolo 〈 〉 indica a simetrização sem traço

2. Equações de Balanço

As leis de conservação de massa, momento e energia em um sistema de coordenadas espaciais (x_i, t) relativo a um referencial inercial, podem ser escritas como

onde é a densidade de massa, v_i a velocidade, T_ik o tensor tensão de Cauchy, q_k o fluxo de energia, e = (v²/2 + ε) é a energia total específica e ε a energia interna específica.

A fim de obter um modelo matemático hiperbólico para materiais viscoelásticos com condução de calor são acrescentadas as equações de balanço

para os momentos u_ij, u_iij, seus fluxos G_ijk, G_iijk e produções P_ij e P_iij. Estas equações são acrescentadas para ser construída uma teoria estendida de 14 momentos para materiais viscoelásticos com condução de calor, por exemplo sólidos. Ao contrário das teorias ordinárias a inclusão das equações (2.2) para u_ij e u_iij são particulares da teoria estendida. Elas não são leis de conservação devido à presença dos termos de produção P_ij e P_iij no membro direito.

Analogamente a [13], as partes independentes da velocidade, conhecidas como partes internas dos momentos u_ij e u_iij serão denotadas por _iij e _iij , dos fluxos G_ijk e G_iijk por p_ijk e p_iijk das produções P_ij e P_iij por _ij e _iij, respectivamente.

Motivado pela teoria cinética de gases, os termos u_ij, G_ijk, P_ij, u_iij, G_iijk, P_iij serão admitidos simétricos nos índices i, j. Será admitido ainda que _i = 0 e q ue as quantidades assim como , ε T_ik,q_k são quantidades objetivas.

O requerimento da invariância Galileana implica na dependência explícita da velocidade v_i[15] (para mais detalhes, ver [12]), e portanto o sistema (2.1) e (2.2) pode ser escrito no sistema de coordenadas materiais como

onde

O sistema (2.3) é equivalente ao sistema de equações de balanço consistindo de (2.1) e (2.2). O tensor é o tensor tensão Piola-Kirchoff e é algumas vezes chamado por fluxo de energia material.

Para materiais viscoelásticos, um estado pode ser caracterizado pelos seguintes campos termodinâmicos:

Obviamente, o gradiente de deformação está sendo considerado no lugar da densidade, como um campo termodinâmico para que os sólidos possam ser incluídos na teoria.

O sistema (2.3) deve ser completado por relações constitutivas que em termodinâmicas estendidas são assumidas serem locais e instantâneas.

Equações constitutivas não são inteiramente arbitrárias. Elas estão restritas por um princípio físico universal e, em particular o princípio de entropia e objetividade material. Mais a frente será imposta uma condição de hiperbolicidade.

3. Princípio de Entropia

O princípio de entropia estabelece que para todo processo termodinâmico a inequação de entropia deve ser válida

Esta também está escrita no sistema de coordenadas materiais e similarmente é introduzido , onde é o fluxo de entropia. Além disso, a função n é admitida ser côncava nas variáveis-campo básicas e tanto n quanto são admitidas ser objetivas. A produção de entropia s é uma quantidade não negativa.

Observe que os campos F_sa e v_s não são inteiramente independentes. De acordo com suas definições, eles estão relacionados pela seguinte identidade

Observe ainda que a primeira equação de (2.3), , meramente afirma que _k é um campo independente do tempo. Juntando as outras equações de (2.3) com (3.2) obtém-se um sistema que pode ser escrito na forma

Isto e a objetividade de ε e implicam na existência de multiplicadores de Lagrange [5] tais que

4. Equilíbrio

O equilíbrio é definido como um processo termodinâmico sem produção de entropia. De acordo com [13], temos que a condição necessária para o mínimo da produção de entropia implica que

Tanto |_E quanto o índice o denotarão a avaliação no equilíbrio. De (3.3)₂ tem-se .

Avalie a relação (3.3)₁ no equilíbrio e use (3.3)₄ para ter

Comparando com a relação de Gibbs[14]

para materiais elásticos, decorrente da teoria ordinária [9], tem-se as identificações

onde θ é a temperatura. Por (3.3)₄

Cada um dos termos, definidos abaixo,

se anula no equilíbrio e herdarão o nome de multiplicadores de Lagrange.

Analogamente a [13], a função

e a conjugada do fluxo de entropia

satisfazem

e assumindo que são quantidades de ordem 1, obtem-se (veja [9]),

onde os coeficientes são funções de . A notação o(n) representa termos de ordem maior ou igual a n nas quantidades e .

5. Equações Constitutivas de Primeira Ordem

Comparando (4.9) com (4.10)₁ obtem-se as expressões

para os multiplicadores de Lagrange. A equação (5.1)₂ avaliada no equilíbrio revela que k₀ = 0, e como conseqüência

onde, Usando (3.3)₂ encontra-se

Comparando (4.9) com (4.10)₂ obtem-se as expressões

para os fluxos. Já é sabido, (4.6)₁ e (4.1)₁, que os multiplicadores de Lagrange se anulam no equilíbrio. Logo

As duas primeiras equações de (5.4), implicam

Substituindo uma na outra, tem-se

O traço e a parte simetrizada sem traço da equação (3.3)₄, fornecerão relações de interesse. Ao calcular a simetrização sem traço de cada um dos membros de (3.3)₄, será obtida a equação

A parte linear do traço de (3.3)₄ reduz-se a

Em (4.6) foi definido o tensor Ŝ, mais conhecido como tensor viscoso. A partir deste tensor, é definida a pressão dinâmica É evidente que a pressão dinâmica herda do tensor viscoso a propriedade de se anular no equilíbrio. Por

e as relações (5.3)₃, (5.1)_2,3, (5.2)₁ tem-se que

Há ainda, mais uma equação a ser obtida usando as representações (4.10) de η e , somente até segunda ordem. A saber, a equação c escrita mediante termos de segunda ordem que, pela independência linear dos tensores , implica

Em resumo, as equações constitutivas para os fluxos são

com

6. Produção de Entropia

Foi visto na Seção 4 que a produção de entropia s é mínima no estado de equilíbrio. Além da condição (4.1), para que s seja mínima no equilíbrio, é exigido também que

onde X_A é da forma .

As funções

_ij e _iij dependem de e conseqüentemente, dependem de . Portanto as representações lineares de _ij e _iij são dadas por

onde r₁, r₂, r₃ e são funções de (F_ij θ) Então a expressão (3.3)₅ para a produção de entropia torna-se

A inequação (6.1) é agora rescrita como

para todo vetor . Particularizamos os vetores w e obtivemos restrições sobre os coeficientes r₁, r₂, r₃ e . De fato, fizemos somente não nulo e obtivemos r₁≥ 0. Fizemos somente ≥ não nulo e obtivemos ≥ 0 e por último, tomamos w cujas coordenadas _p para p = 1, 2, 3, _klpara k ≠ l, e concluímos que

λ

para todo e _ε. Fizemos _ε= 0 e obtivemos r₂ = 0 e por conseguinte que r₃ = 0.

Da invertibilidade de

_ij na variável _ij, e de _iijna variável _j, tem-se

7. Concavidade da Densidade de Entropia

Uma condição suficiente para que o sistema (2.1) e (2.2) seja hiperbólico é h(u) ser uma função côncava [10]. Isto ocorrerá se, e somente se

onde

Por se tratar de uma forma quadrática, e supondo e det F > 0, a expressão é posta na forma w.Aw onde e é uma matriz negativa definida composta de blocos e coeficientes .

Da relação de Gibbs (4.3), tira-se

Pela expressão de c₀, tem-se que

É sabido que uma matriz negativa definida possui os coeficientes da diagonal negativos. Portanto,

Em particular,

A relação (7.4)₂ juntamente com a (7.1)₁ implicam que

além de mostrar que o calor específico a volume constante, é positivo.

8. Conclusão

Esse trabalho, feito para materiais viscoelásticos, é uma ampliação do trabalho feito em [13] feito para fluidos. Pelo fato do esperado ter ocorrido, ou seja, obter os resultados (5.12), (6.4) e (7.5) com similaridade aos obtidos em [13], ficamos satisfeitos com os resultados. Aqui, a originalidade é, no mínimo, a mesma que em [13], ou seja, com um menor número de variáveis, foram obtidos os resultados em (5.12), (5.13). Uma extensão direta desse trabalho seria usar os termos de ordem 3 para a densidade e fluxos de entropia em (4.10) e uma outra extensão seria encontrar um sistema de equações diferenciais parciais quase-linear para um sólido com condução de calor.

9. Apêndice

A matriz A da seção 7 é igual a

onde os seus coeficientes desconhecidos são apresentados abaixo:

Recebido em 16 Junho 2011

Aceito em 09 Dezembro 2011.

• [1] G.M. Kremer, Extended thermodynamics of ideal gases with 14 fields, Ann. Inst. Henri Poincaré, 45 (1986), 419440.
• [2] G.M. Kremer, Extended thermodynamics of non-ideal gases, Physica, 144A (1987), 156178.
• [3] G.M. Kremer, Extended thermodynamics of molecular ideal gases, Continuum Mech. Thermodyn., 1 (1989), 2145.
• [4] G.M. Kremer, C. Beevers, Extended thermodynamics of dense gases, Lecture Note in Physics, 199 (1984), 429436.
• [5] I-Shih Liu, Method of Lagrange multipliers for exploitation of the entropy principle, Arch. Rational Mech. Anal., 46 (1972), 131148.
• [6] I-Shih Liu, An extended field theory of viscoelastic materials, Int. J. Engng Sci., 26 (1988), 331342.
• [7] I-Shih Liu, Extended thermodynamics of viscoelastic materials, Continuum Mech. Thermodyn, 1 (1989), 143164.
• [8] I-ShihLiu, Extended thermodynamics of viscoelasticity, Proceedings of the 5^th Bilateral Polish-Italian Meeting, Thermodynamics and kinetic theory. World Scientific Publishing, Singapore, (1990) 93106 .
• [9] I-Shih Liu, "Continuum Mechanics", Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York (2002).
• [10] I-Shih Liu, G.M. Kremer, Hyperbolic system of field equations for viscous fluids, Mat. Aplic. Comp., 9 (1990), 123135.
• [11] I-Shih Liu, I. Müller, Extended thermodynamics of classical and degenerate gases, Arch. Rational Mech. Anal., 83 (1983), 285332.
• [12] I. Müller, T. Ruggeri, "Rational Extended Thermodynamics", Second Edition, Springer-Verlag, New York (1998).
• [13] A. Vignatti, I-Shih Liu, Termodinâmica estendida de fluidos viscosos com condução de calor, TEMA, SBMAC, numero 2 (2006), 381390.
• [14] R. Resnick, D. Halliday, "Física", v2 4Ş ed., Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. (1984).
• [15] T. Ruggeri, Galilean invariance and entropy principle for systems of balance laws, Continuum Mech. Thermodyn., 1 (1989), 320.

Termodinâmica estendida para materiais viscoelásticos com condução de calor

A. Vignatti^I; I-Shih Liu^II

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  05 Out 2012
• Data do Fascículo
  Abr 2012

Histórico

• Recebido
  16 Jun 2011
• Aceito
  09 Dez 2011