Uma Nova Proposta para a Obtenção da Complexidade de Pior Caso do ShellSort

SOUZA, R. M.; OLIVEIRA, F. S.; PINTO, P. E. D.

doi:10.5540/tema.2019.020.03.0457

Acessibilidade / Reportar erro

Brasil

Español English

sumário « anterior atual seguinte »

Sumário

Articles • TEMA (São Carlos) 20 (3) • Sep-Dec 2019 • https://doi.org/10.5540/tema.2019.020.03.0457 copiar

Uma Nova Proposta para a Obtenção da Complexidade de Pior Caso do ShellSort

Autoria SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

RESUMO

A complexidade de pior caso do ShellSort, um algoritmo de ordenação por comparação, depende de uma sequência de passos dada de entrada. Cada passo consiste de um inteiro representando a diferença de índices dos pares de elementos que devem ser comparados durante a ordenação de um vetor de entrada. Tal complexidade é conhecida somente para algumas sequências específicas. Neste trabalho, usamos uma relação entre ShellSort e o número de Frobenius para apresentar um novo algoritmo que provê um limite superior no número de comparações que o ShellSort perfaz, para dados vetor e sequência de passos. Aplicamos este algoritmo, em conjunto com uma análise de complexidade empírica, para estudar sequências cujas complexidades de pior caso são conhecidas através do método analítico. Mostramos que a abordagem empírica foi bem sucedida em determinar tais complexidades. Baseado nestes resultados positivos, estendemos o estudo para sequências para as quais as complexidades de pior caso estão em aberto.

Palavras-chave
complexidade de algoritmos; método empírico; ShellSort

Autor, Ano	Passos ${p_{1}, \dots, p_{k}}$	Pior caso
Shell, 1959^[16][16] D.L. Shell. A high-speed sorting procedure. Communications of the ACM, 2(7) (1959), 30–32.	${⌊ n / 2^{i} ⌋ : 0 < i \leq ⌊ {log}_{2} n ⌋}$	$Θ (n^{2})$
	Ex.: ${1, 2, 5, 10, 21}$ , para $n = 43$	$Θ (n^{2})$
Frank e Lazarus, 1960^[5][5] R.M. Frank & R.B. Lazarus. A high-speed sorting procedure. Communications of the ACM, 3(1) (1960), 20–22.	${2 \cdot ⌊ n / 2^{i} ⌋ + 1 : 1 < i \leq ⌊ {log}_{2} n ⌋}$	$Θ (n^{3 / 2})$
	Ex.: ${1, 3, 5, 11, 21}$ , para $n = 43$	$Θ (n^{3 / 2})$
Hibbard, 1963^[8][8] T.N. Hibbard. An empirical study of minimal storage sorting. Communications of the ACM, 6(5) (1963), 206–213.	${2^{i} - 1 : 0 < i \leq ⌊ {log}_{2} n ⌋}$	$Θ (n^{3 / 2})$
	${1, 3, 7, 15, 31, \dots}$	$Θ (n^{3 / 2})$
Papernov e Stasevich, 1965^[12][12] A.A. Papernov & G.V. Stasevich. A method of information sorting in computer memories. Problemy Peredachi Informatsii, 1(3) (1965), 81–98.	${1} \cup {2^{i - 1} + 1 : 1 < i \leq ⌊ {log}_{2} n ⌋}$	$Θ (n^{3 / 2})$
	${1, 3, 5, 9, 17, \dots}$	$Θ (n^{3 / 2})$
Pratt, 1972^[14][14] V.R. Pratt. “Shellsort and sorting networks”. Ph.D. thesis, Universidade de Stanford (1972).	${q = 2^{r} 3^{s} : r, s \geq 0 ∣ q < n}$	$Θ (n {log}^{2} n)$
	${1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, \dots}$	$Θ (n {log}^{2} n)$
Knuth, 1973^[10][10] D.E. Knuth. “The Art of Computer Programming 3: Sorting and Searching”. Addison-Wesley, EUA (1998).	${q = (3^{i} - 1) / 2 : i > 0 ∣ q \leq ⌈ n / 3 ⌉}$	$Θ (n^{3 / 2})$
	${1, 4, 13, 40, 121, \dots}$	$Θ (n^{3 / 2})$
Incerpi e Sedgewick, 1983^[9][9] J. Incerpi & R. Sedgewick. Improved upper bounds on Shellsort. In “Anais do 24º Annual Symposium on Foundations of Computer Science, 1983”. IEEE (1983), pp. 48–55.	${p_{1} = 1} \cup {p_{i + 1} = p_{i - r + 1} q_{r} :$	$O (n^{1 + \sqrt{\frac{8 \ln (5 / 2)}{\ln n}}})$
	$i > 0$ , onde
	$r$ tal que $(\binom{r}{2}) < i \leq (\binom{r + 1}{2})$ ,
	onde $(\binom{r}{s}) = 0$ , se $r < s$ , e
	$q_{r}$ é o menor inteiro $\geq (5 / 2)^{r}$
	tal que $M D C (q_{r}, q_{r - 1}, \dots, q_{1}) = 1}$
	${q_{1} = 3, q_{2} = 7, q_{3} = 16, q_{4} = 41, \dots}$
	${1, 3, 7, 21, 48, \dots}$
Sedgewick, 1986^[15][15] R. Sedgewick. A new upper bound for ShellSort. Journal of Algorithms, 7(2) (1986), 159–173.	${1} \cup {q = 4^{i} + 3 \cdot 2^{i - 1} + 1 :$	$O (n^{4 / 3})$
	$i > 0 ∣ q < n}$
	${1, 8, 23, 77, 281, \dots}$
Gonnet e Baeza-Yates, 1991^[6][6] G.H. Gonnet & R.A. Baeza-Yates. “Handbook of Algorithms and Data Structures: in Pascal and C”. Addison-Wesley, EUA (1991).	${⌊ (0, 45454)^{i} \cdot n ⌋ :$	em aberto
	$0 < i \leq ⌊ {log}_{2, 2} n ⌋}$
	Ex.: ${1, 3, 8, 19}$ , para $n = 43$
Tokuda, 1992^[19][19] N. Tokuda. An improved Shellsort. Anais do 12º IFIP World Computer Congress on Algorithms, Software, Architecture-Information Processing, 1 (1992), 449–457.	${q = ⌈ (9^{i} - 4^{i}) / (5 \cdot 4^{i - 1}) ⌉ :$	em aberto
	$i > 0 ∣ q < n}$
	${1, 4, 9, 11, 26, \dots}$
Ciura, 2001^[2][2] M. Ciura. Best increments for the average case of shellsort. In “Fundamentals of Computation Theory”. Springer (2001), pp. 106–117.	${1, 4, 10, 23, 57, 132, 301, 701, 1750}$	em aberto
	(sequência finita)	em aberto

ShellSort							InsertionSort
$p_{3} = 4$	$\underset{̲}{𝟓}$	$6$	$1$	$4$	$\underset{̲}{𝟑}$	$2$	$\underset{̲}{5}$	$\underset{̲}{6}$	$1$	$4$	$3$	$2$
$p_{3} = 4$	$3$	$\underset{̲}{𝟔}$	$1$	$4$	$5$	$\underset{̲}{𝟐}$	$5$	$\underset{̲}{𝟔}$	$\underset{̲}{𝟏}$	$4$	$3$	$2$
$p_{2} = 2$	$\underset{̲}{𝟑}$	$2$	$\underset{̲}{𝟏}$	$4$	$5$	$6$	$\underset{̲}{𝟓}$	$\underset{̲}{𝟏}$	$6$	$4$	$3$	$2$
	$1$	$\underset{̲}{2}$	$3$	$\underset{̲}{4}$	$5$	$6$	$1$	$5$	$\underset{̲}{𝟔}$	$\underset{̲}{𝟒}$	$3$	$2$
	$1$	$2$	$\underset{̲}{3}$	$4$	$\underset{̲}{5}$	$6$	$1$	$\underset{̲}{𝟓}$	$\underset{̲}{𝟒}$	$6$	$3$	$2$
	$1$	$2$	$3$	$\underset{̲}{4}$	$5$	$\underset{̲}{6}$	$\underset{̲}{1}$	$\underset{̲}{4}$	$5$	$6$	$3$	$2$
$p_{1} = 1$	$\underset{̲}{1}$	$\underset{̲}{2}$	$3$	$4$	$5$	$6$	$1$	$4$	$5$	$\underset{̲}{𝟔}$	$\underset{̲}{𝟑}$	$2$
	$1$	$\underset{̲}{2}$	$\underset{̲}{3}$	$4$	$5$	$6$	$1$	$4$	$\underset{̲}{𝟓}$	$\underset{̲}{𝟑}$	$6$	$2$
	$1$	$2$	$\underset{̲}{3}$	$\underset{̲}{4}$	$5$	$6$	$1$	$\underset{̲}{𝟒}$	$\underset{̲}{𝟑}$	$5$	$6$	$2$
	$1$	$2$	$3$	$\underset{̲}{4}$	$\underset{̲}{5}$	$6$	$\underset{̲}{1}$	$\underset{̲}{3}$	$4$	$5$	$6$	$2$
	$1$	$2$	$3$	$4$	$\underset{̲}{5}$	$\underset{̲}{6}$	$1$	$3$	$4$	$5$	$\underset{̲}{𝟔}$	$\underset{̲}{𝟐}$
							$1$	$3$	$4$	$\underset{̲}{𝟓}$	$\underset{̲}{𝟐}$	$6$
							$1$	$3$	$\underset{̲}{𝟒}$	$\underset{̲}{𝟐}$	$5$	$6$
							$1$	$\underset{̲}{𝟑}$	$\underset{̲}{𝟐}$	$4$	$5$	$6$
							$\underset{̲}{1}$	$\underset{̲}{2}$	$3$	$4$	$5$	$6$

	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
Início	V	F	F	F	F	F	F	F	F	F	F	F	F
$5$	V	F	F	F	F	V	F	F	F	F	V	F	F
$7$	V	F	F	F	F	V	F	V	F	F	V	F	V
$9$	V	F	F	F	F	V	F	V	F	V	V	F	V
	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$	$22$	$23$
Início	F	F	F	F	F	F	F	F	F	F	F
$5$	F	F	V	F	F	F	F	V	F	F	F
$7$	F	V	V	F	V	F	V	V	F	V	F
$9$	F	V	V	V	V	V	V	V	V	V	V
Retorno	13

Sequência	Analítico	Empírico
Shell, 1959 ^[16][16] D.L. Shell. A high-speed sorting procedure. Communications of the ACM, 2(7) (1959), 30–32.	$Θ (n^{2})$
${1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, \dots}$		$O (n^{2})$
${1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, \dots}$		$O (n^{1, 5})$
Frank e Lazarus, 1960 ^[5][5] R.M. Frank & R.B. Lazarus. A high-speed sorting procedure. Communications of the ACM, 3(1) (1960), 20–22.	$Θ (n^{1, 5})$
${1, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257, 513, \dots}$		$O (n^{1, 5})$
${1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, \dots}$		$O (n^{1, 5})$
Hibbard, 1963 ^[8][8] T.N. Hibbard. An empirical study of minimal storage sorting. Communications of the ACM, 6(5) (1963), 206–213.	$Θ (n^{1, 5})$
${1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, \dots}$		$O (n^{1, 5})$
Papernov e Stasevich, 1965 ^[12][12] A.A. Papernov & G.V. Stasevich. A method of information sorting in computer memories. Problemy Peredachi Informatsii, 1(3) (1965), 81–98.	$Θ (n^{1, 5})$
${1, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257, 513, \dots}$		$O (n^{1, 5})$
Pratt, 1972 ^[14][14] V.R. Pratt. “Shellsort and sorting networks”. Ph.D. thesis, Universidade de Stanford (1972).	$Θ (n {log}^{2} n)$
${1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, \dots}$		$O (n {log}^{2} n)$
Knuth, 1973 ^[10][10] D.E. Knuth. “The Art of Computer Programming 3: Sorting and Searching”. Addison-Wesley, EUA (1998).	$Θ (n^{1, 5})$
${1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, 3280, 9841, 29524, \dots}$		$O (n^{1, 5})$
Incerpi e Sedgewick, 1983 ^[9][9] J. Incerpi & R. Sedgewick. Improved upper bounds on Shellsort. In “Anais do 24º Annual Symposium on Foundations of Computer Science, 1983”. IEEE (1983), pp. 48–55.	$O (n^{1, 597})$
${1, 3, 7, 21, 48, 112, 336, 861, 1968, 4592, \dots}$		$O (n^{1, 411})$
Sedgewick, 1986 ^[15][15] R. Sedgewick. A new upper bound for ShellSort. Journal of Algorithms, 7(2) (1986), 159–173.	$O (n^{1, 333 \dots})$
${1, 8, 23, 77, 281, 1073, 4193, 16577, 65921, \dots}$		$O (n^{1, 329})$
Gonnet e Baeza-Yates, 1991 ^[6][6] G.H. Gonnet & R.A. Baeza-Yates. “Handbook of Algorithms and Data Structures: in Pascal and C”. Addison-Wesley, EUA (1991).	em aberto
${1, 2, 5, 12, 27, 60, 133, 293, 645, 1420, \dots}$		$O (n^{1, 145})$ ,
		$O (n {log}^{3} n)$
${1, 4, 11, 26, 59, 132, 292, 644, 1419, 3124, \dots}$		$O (n^{1, 129})$
		$O (n {log}^{3} n)$
Tokuda, 1992 ^[19][19] N. Tokuda. An improved Shellsort. Anais do 12º IFIP World Computer Congress on Algorithms, Software, Architecture-Information Processing, 1 (1992), 449–457.	em aberto
${1, 4, 9, 20, 46, 103, 233, 525, 1182, 2660, \dots}$		$O (n^{1, 255})$ ,
		$O (n {log}^{5, 5} n)$
Ciura, 2001 ^[2][2] M. Ciura. Best increments for the average case of shellsort. In “Fundamentals of Computation Theory”. Springer (2001), pp. 106–117.	em aberto
${1, 4, 10, 23, 57, 132, 301, 701, 1750, 3937, \dots}$		$O (n^{1, 372})$

Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional Rua Maestro João Seppe, nº. 900, 16º. andar - Sala 163 , 13561-120 São Carlos - SP, Tel. / Fax: (55 16) 3412-9752 - São Carlos - SP - Brazil
E-mail: sbmac@sbmac.org.br

Acompanhe os números deste periódico no seu leitor de RSS

[1] *Autor correspondente: Raquel Marcolino de Souza – E-mail: raquelmarcolino25@gmail.com – https://orcid.org/0000-0002-8834-9172