Produtos de grafos Zm-bem-cobertos

Resumos

A graph is Zm-well-covered if |I| ≡ |J| (mod m), for all I, J maximal independent sets in V(G). A graph G is strongly Zm-well-covered if G is a Zm-well-covered graph and G\{e} is Zm-well-covered, ∀ e ∈ E(G). A graph G is Zm-well-covered if G is Zm-well-covered and G\{v} is Zm-well-covered, ∀ e ∈ V(G). We prove that K1 and K² are the only 1-Zm-well-covered graphs with girth > 6. They are also the only ones with girth > and strongly Zm-well-covered. We show a necessary and sufficient condition for the lexicographic product of graphs to be a Zm-well-covered one and some properties for the cartesian product of cycles.

Graph theory; independent sets in graphs; graph products

Instituto de Informática, INF, UFG - Universidade Federal de Goiás, 74001-970 Goiânia, GO, Brasil. [e-mail]; [e-mail]

RESUMO

Um grafo é Z_m-bem-coberto se |I| ≡ |J|, (mod m), m > 2, para todo I, J conjuntos independentes maximais em V(G). Um grafo G é fortemente Z_m-bem-coberto se G é um grafo Z_m-bem-coberto e G\{e} é Z_m-bem-coberto, ∀ e ∈ E(G). Um grafo G é 1-Z_m-bem-coberto se G é Z_m-bem-coberto e G\{v} é Z_m-bem-coberto, ∀ e ∈ V(G). Mostramos que os grafos 1-Z_m-bem-cobertos, bem como os fortemente Z_m-bem-cobertos, com exceção de K₁ e K₂, têm cintura < 5. Mostramos uma condição necessária e suficiente para que produtos lexicográficos de grafos sejam Z_m-bem-cobertos e algumas propriedades para o produto cartesiano de ciclos.

Palavras-chave: Teoria dos Grafos, Conjuntos Independentes em Grafos, Produtos de Grafos.

ABSTRACT

A graph is Z_m-well-covered if |I| ≡ |J| (mod m), for all I, J maximal independent sets in V(G). A graph G is strongly Z_m-well-covered if G is a Z_m-well-covered graph and G\{e} is Z_m-well-covered, ∀ e ∈ E(G). A graph G is Z_m-well-covered if G is Z_m-well-covered and G\{v} is Z_m-well-covered, ∀ e ∈ V(G). We prove that K₁ and K² are the only 1-Z_m-well-covered graphs with girth > 6. They are also the only ones with girth > and strongly Z_m-well-covered. We show a necessary and sufficient condition for the lexicographic product of graphs to be a Z_m-well-covered one and some properties for the cartesian product of cycles.

Keywords: Graph theory, independent sets in graphs, graph products.

1. Introdução

Os grafos aqui considerados são grafos simples. As definições e notações utilizadas seguem [7].

Denotamos o conjunto de vértices de um grafo G por V(G) e o conjunto de arestas por E(G). N(v) é o conjunto de vértices adjacentes a v em G. Um conjunto é independente se quaisquer dois vértices de I não são adjacentes. Denotamos por a cardinalidade do maior conjunto independente de vértices de G. A cintura de um grafo com um ciclo é o tamanho de seu menor ciclo. Um grafo sem ciclo tem cintura infinita. Um grafo é bem-coberto se todo conjunto independente maximal de vértices em G tiver mesma cardinalidade. Um grafo G é um grafo Zm-bem-coberto, (mod m), para todos I, J conjuntos independentes maximais em V, (G). Estes grafos foram introduzidos em [9]. Caracterizações de grafos Zm-bem-cobertos cúbicos foram dadas em [4], com cintura > em [10], cordais, simpliciais e arco-circulares em [6] e livres de K_1,3 em [5]. O problema de determinação do número de independência de um grafo é um problema NP-Completo [14] para grafos em geral. Para grafos bem-cobertos este problema torna-se mais simples, pois é suficiente encontrar qualquer conjunto independente maximal, visto que todos tem a mesma cardinalidade. Caro [8] provou que o problema de reconhecimento de grafos bem-cobertos é Co-NP-completo mesmo para grafos Zm-bem-cobertos que são livres de K_1,3m+1. Pinter [16] definiu um grafo fortemente bem-coberto G como um grafo que é bem-coberto e G\{e} é bem-coberto para qualquer . De forma similar, foi definido em [2, 3] que um grafo G é fortemente Zm-bem-coberto se G é um grafo Zm-bem-coberto e G é Zm-bem-coberto, ∀ e ∈ E(G). Um grafo G é 1-Zm-bem-coberto se G\{v} é Zm-bem-coberto e G\{v} é Zm-bem-coberto, ∀v e ∈ V(G). Uma folha é um vértice de grau 1, um talo é um vértice adjacente a uma folha e um arbusto é um subgrafo induzido por um talo e suas folhas. Vértices x e y de um grafo G são ditos ser conectados por uma 2-ponte se existem vértices u e y ∈ V (G) com grau de x e y igual a 2 e com N (u) = {x, v} e N (v) = {u, y}.

O Teorema 1.1, provado em [10], fornece uma caracterização de grafos Zm-bem-cobertos de cintura > 5.

Teorema 1.1. [10] Um grafo e Z_m-bem-coberto conexo de cintura > 5 se e somente se G e K₁, C₇ ou um grafo conexo de cintura pelo menos seis, que consiste de uma união finita de arbustos B_i, cada um com talo x_i, onde cada talo tem r_i congruente a 1 (mod m) folhas e onde, para cada i e j, uma e somente uma das seguintes condições e satisfeita:

1. x_i e x_j são unidos por uma aresta e qualquer outro caminho, caso exista, unindo x_i e x_j deve incluir pelo menos um talo diferente de x_i e x_j;

2. x_i e x_j são conectados por km 2-pontes, k ∈ N, e qualquer outro caminho unindo x_i e x_j deve incluir outro talo além de x_i e x_j;

3. Todo caminho unindo x_i e x_j contém pelo menos um talo diferente de x_i e x_j.

Na figura 1 temos um exemplo de um grafo Z₃-bem-coberto conexo de cintura 6, com conjuntos independentes maximais de cardinalidades 4, 7 e 10.

A classe de grafos Zm-bem-cobertos inclui todos os grafos bem-cobertos, já que em todo grafo bem-coberto os conjuntos independentes maximais têm a mesma cardinalidade e, portanto, são congruentes módulo qualquer natural m. Alguns resultados sobre grafos bem-cobertos podem ser estendidos para os grafos Zm-bem-cobertos. Como principais contribuições, mostramos que se G é 1-Zm-bem-coberto e não é K₁ nem K₂, então G tem cintura < 5 e apresentamos também uma condição necessária e suficiente para que produtos lexicográficos de grafos sejam Zm-bem-cobertos. Ainda, mostramos que o produto cartesiano de dois ciclos C_n e C_m é Zm-bem-coberto se e somente se ele é bem-coberto.

Outros resultados válidos para grafos bem-cobertos não podem ser estendidos aos grafos Zm-bem-cobertos. Na Proposição 3.2, mostramos que podemos construir infinitos grafos fortemente Zm-bem-cobertos que sejam planares. Há apenas 4 grafos planares fortemente bem-cobertos, o que foi provado por Pinter [16].

2. Produto Lexicográfico

Propriedades relacionadas a produtos lexicográficos de grafos foram provadas para problemas de coloração [1] e cobertura por ciclos [15]. Alguns resultados sobre produtos de grafos e algumas aplicações podem ser encontradas em [12].

Topp e Volkmann [17] mostram quando o produto lexicográfico de grafos é bem-coberto. Como uma generalização deste resultado, apresentamos uma condição necessária e suficiente para construção de grafos Zm-bem-cobertos a partir do produto lexicográfico de grafos.

Dados um grafo H e uma família de grafos não vazios indexados pelos vértices de H, o produto lexicográfico é o grafo tendo o conjunto de vértices sendo que dois vértices são adjacentes se ou . Se todos os grafos da família G são isomorfos entre si, escrevemos o produto lexicográfico entre H e a família G como .

Um exemplo de produto lexicográfico pode ser visto na figura 2, onde .

Para um subconjunto S de , denotamos para todo . No grafo da figura 2 (b), se, .

Os conjuntos independentes maximais nos produtos lexicográficos de grafos podem ser descritos como na Proposição 2.1.

Proposição 2.1. [17] Dados é um conjunto independente maximal em se e somente se, X_H(S) é um conjunto independente maximal em H, e para todo o conjunto X_Gv (S) é um conjunto independente maximal em G_v.

De forma similar a apresentada por Topp e Volkmann [17], o Teorema 2.2 nos fornece uma condição necessária e suficiente para o produto de grafos ser -bem-coberto.

Teorema 2.2. Seja H um grafo é uma familia de grafos não vazios. O produto lexicográfico é um grafo Z_m-bem-coberto, para um dado m > 2, se e somente se satisfazem as seguintes condições:

1. G_i e Z_m-bem-coberto para i = 1, . . . , |V (H)|, para um m qualquer > 2.

2. conjuntos independentes maximais de H.

Demonstração. Suponha que e Z^m-bem-coberto e que existe G_v0 que não é Z_m-bem-coberto. Então Gv0 tem dois conjuntos independentes maximais de vertices I_v0 e J_v0 tais que (mod m). Estenda {v₀} a um conjunto independente maximal L em V (H). Para qualquer , seja I_v um conjunto independente maximal em G_v. Então, pela Proposição 2.1, são conjuntos independentes maximais em tal que (mod m). Isto e uma contradição. Logo, G_i deve ser Z_m-bem-coberto para todo i = 1, 2, . . . , |V (H)|.

Sejam I e J dois conjuntos independentes maximais de vertices em H. Provaremos que (mod m). Seja R_v um conjunto independente maximal em . Então, são conjuntos independentes maximais em . Então (mod m). Mas, (mod m),, segue que (mod m).

Seja I um conjunto independente maximal em . Pela Proposição 2.1, X_H(I) é um conjunto independente maximal em H e X_Gv (I) é um conjunto independente maximal em G_v para todo . Ja que(mod m), temos |I| =. Então, pela condição (2), quaisquer dois conjuntos independentes maximais em são congruentes (mod m) e portanto é um grafo Z_m-bem-coberto.

3. Grafos Z_m-bem-cobertos Conforme a Cintura

Pinter [16] provou que há somente 4 grafos fortemente bem-cobertos que são planares. Diferentemente, podemos construir infinitos grafos fortemente Z_m-bem-cobertos que sejam planares e de cintura 4, para l e m inteiros naturais, m ≥ 2, através do produto (K_1,ml+1) ▫ 2K₁. Na figura 3. podemos observar a forma geral destes grafos (a) e em (b) temos um grafo K_1,3 ▫ 2K₁ que é fortemente Z₂-bem-coberto planar.

Proposição 3.2. Há um número infinito de grafos planares fortemente Z_m-bem-cobertos com cintura 4.

Demonstração. Sejam l e m inteiros naturais, m ≥ 2. Pela forma de construção, os grafos (K_1,ml+1) ▫ 2K₁ são fortemente Z_m-bem-cobertos, planares e com cintura 4.

Os grafos Z_m-bem-cobertos de cintura ≥ 6 caracterizados no Teorema 1.1, com exceção de K₁ e K₂, não são 1-Z_m-bem-cobertos e nem fortemente Z_m-bem-cobertos, e, portanto, os outros grafos com estas propriedades devem ter cintura ≤ 5.

Teorema 3.3. K₁ e K₂ são os únicos grafos conexos fortemente Z_m-bem-cobertos com cintura ≥ 6.

Demonstração. Se G e um grafo Z_m-bem-coberto com cintura ≥ 6, G atende ao Teorema 1.1. C₇ não é um grafo fortemente Z_m-bem-coberto e K₁ é. Suponha que G seja diferente de C₇ e K₁. Logo, G e uma união finita de arbustos. Se G consiste de apenas um talo com uma folha, G ≅ K₂ que e um grafo fortemente Z_m-bem-coberto. Considere que G e diferente de C₇, K₁ e K₂. Ao removermos uma aresta que une uma folha x a um talo v_i, teremos um componente H em G, H = G - {x} com o talo v_i e ml folhas, l ≥ 0, e então H não é Z_m-bem-coberto e portanto G tambem não é.

Teorema 3.4.K₁ e K₂ são os únicos grafos conexos 1-Z_m-bem-cobertos com cintura ≥ 6.

Demonstração. Seja G um grafo Z_m-bem-coberto com cintura ≥ 6. Pelo Teorema 1.1, G e K₁, C₇ ou uma união finita de arbustos sendo que cada talo tem 1 (mod m) folhas. Por inspeção, C₇ não e 1-Z_m-bem-coberto e K₁ e 1-Z_m-bem-coberto. Se G consiste de apenas um talo com uma folha, G ≅ K₂ que e um grafo 1-Z_m-bem-coberto. Suponha, então, que G e uma união finita de arbustos. Ao removermos uma folha x de um arbusto B qualquer com talo v_i, este tera apenas ml folhas l ≥ 0 e não mais satisfaz ao Teorema 1.1. Portanto, G não é 1-Z_m-bem-coberto.

4. Produto Cartesiano

O produto cartesiano G₁ x G₂ de dois grafos G₁ e G₂ é o grafo contendo conjunto de vértices V (G₁ x G₂) = V (G₁) x (G₂) , e dois vértices (v₁, v₂) e (u₁, u₂) de G₁ x G₂ são adjacentes se ou . Na figura 4. temos um grafo C₃ x C₄.

Uma questão sobre o produto cartesiano de dois grafos G e H é saber se é possível que G x H seja bem-coberto quando G e H não são bem-cobertos. Fradkin [11] respondeu parcialmente esta questão para uma grande classe de grafos que inclui todos os grafos não-bem-cobertos livres de triângulo. Topp e Volkman [17] apresentaram alguns resultados sobre o produto cartesiano de alguns grafos, incluindo os grafos bipartidos e ciclos.

Teorema 4.5.[17] O produto cartesiano G₁× G₂ de grafos G₁e G₂bipartidos diferentes de K₁é bem-coberto se e somente se G₁ = G₂= K₂.

Proposição 4.3.[17] O produto cartesiano C_n × C_k de ciclos C_n e C_k é bem-coberto se e somente se n = 3 ou k = 3.

O produto cartesiano de um ciclo C_n × K₂ é um grafo cúbico que é Z₂-bem-coberto e todos os seus conjuntos independentes maximais têm cardinalidade par. Os grafos cúbicos Z_m-bem-cobertos foram caracterizados por Barbosa e Ellingham [6].

Na Observação 1, temos uma forma de obter um conjunto independente maximal em um grafo C_n × C_k.

Observação 1. [17] Sejam C_n e C_k dois ciclos com vértices x₁, x₂, . . . , x_n e y₁, y₂, . . . , y_k, respectivamente, e arestas x₁x₂, x₂x₃ . . . , x_nx₁ e y₁y₂, y₂y₃ . . . , y_ky₁. Seja I_n,k o conjunto dos vértices (x_i, y_j) de C_n × C_k tal que i = 1, . . . , 2 ⌊n/2⌋, j = 1, . . . , 2 ⌊k/2⌋, e i + j é um inteiro par. Se n e k são ambos ímpares, acrescente a I_n,k o vértice (x_n, y_k). O conjunto I_n,k é independente maximal em C_n × C_k.

O produto cartesiano de dois ciclos C_n e C_k é bem-coberto se e somente se n = 3 ou k = 3. Estes grafos possuem tanto C₃ quanto C₄ induzidos e estão numa classe de grafos que ainda não foi caracterizada para grafos bem-cobertos e Z_m-bem-cobertos. Este resultado pode ser estendido para os grafos Z_m-bem-cobertos, como mostramos na Proposição 4.4.

Proposição 4.4. O produto cartesiano C_n × K₂ de ciclos C_n e C_k e Z_m-bem-coberto se e somente se ele é bem-coberto.

Demonstração. O produto C_n × K₂, quando n = 3 ou k = 3 e bem-coberto pela Proposição 4.3 e portanto, Z_m-bem-coberto.

É necessário considerar apenas n ou k impares, já que, pelo Teorema 4.5, quando os grafos são ambos bipartidos, seu produto cartesiano não é bem-coberto e portanto, não é Z_m-bem-coberto. Restam, então, dois casos a considerar: se n e k são ímpares e se apenas um deles é ímpar.

Caso n e k sejam ímpares, podemos encontrar um conjunto independente maximal em que |J₁|=|I_n,k|- 1 e portanto, |J₁| e |I_n,k| não são congruentes módulo m, pois são consecutivos.

Para o segundo caso, exatamente um de n e k e ímpar. Neste caso, como C_n × C_k é isomorfo a C_k × C_n, vamos assumir que k é ímpar. Sejam J₂ = , . Logo, J₃ e J₂ são independentes maximais em C_n × C_k com cardinalidades consecutivas e, portanto, G não é Z_m-bem-coberto.

Embora os grafos C_n × C_kZ_m-bem-cobertos sejam também bem-cobertos, mostramos na Proposição 4.5 que eles não são 1-Z_m-bem-cobertos.

Proposição 4.5. Se G e o produto cartesiano C_n × C_k de ciclos C_n e C_k, então G não é 1-Z_m-bem-coberto.

Demonstração. Pela Proposição 4.4, C_n × C_k é Z_m-bem-coberto se e somente se n = 3 ou k = 3. Vamos mostrar que ao removermos um vértice deste grafo, o grafo resultante não é Z_m-bem-coberto.

Considere o grafo G = C₃ × C_k, já que ele é isomorfo a C_k × C₃. Remova de G o vértice (x₁, y₁). Novamente, vamos considerar dois casos. Primeiro, considere que k é ímpar. Podemos verificar que C₃ × C₃ não é 1-Z_m-bem-coberto. Para k ≥ 5, seja J₁ = I_3,k\{(x₁, y₁)} que é maximal em G\{(x₁, y₁)}. Agora, seja o conjunto J₂ = I_3,k\{(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₁, y₃)} ∪ {(x₁, y₂), (x₂, y₁), (x₃, y₃)}. J₂ também é maximal em G\{(x₁, y₁)}. J₁ e J₂ tem cardinalidades consecutivas.

Considere, agora, que k é par. Sejam J₁ = I_3,k\{(x₁, y₁), } ∪ {(x₃, y₁)} e J₂ = J₁\{(x₂, y₄), (x₃, y₁)} ∪ {(x₃, y₄)}. Logo, J₂ e J₁ são independentes maximais em G\{(x₁, y₁)}, com cardinalidades consecutivas e, portanto, G não é Z_m-bem-coberto.

5. Considerações Finais

Apresentamos uma forma de construção de grafos Z_m-bem-cobertos a partir do produto lexicográfico de um grafo H e uma família de grafos Z_m-bem-cobertos. Para os grafos bem-cobertos, o problema foi resolvido por Topp e Volkmann [17].

Há um número finito de grafos planares fortemente bem-cobertos, como provado por Pinter [16]. Porém, mostramos que existe um número infinito de grafos planares que são fortemente Z_m-bem-cobertos que tem, ainda, cintura 4 (Proposição 3.2).

Mostramos que um grafo 1-Z_m-bem-coberto, diferente de K₁ e K₂ tem cintura ≤ 5, porém ainda não é conhecida uma caracterização destes grafos. Especificamente para os grafos com cintura 5, o problema é saber se existe um grafo 1-Z_m-bem-coberto que não seja 1-bem-coberto. Caso este grafo não exista, vale a conjectura 5.1. Outro problema é saber se há um grafo fortemente Z_m-bem-coberto com cintura 5 que não seja fortemente bem-coberto (conjectura 5.1).

Conjectura 5.1. Se G é um grafo 1-Z_m-bem-coberto com cintura 5, então G é 1-bem-coberto.

Conjectura 5.2. Se G é um grafo fortemente Z_m-bem-coberto com cintura 5, então G é fortemente bem-coberto.

Se G é o produto cartesiano de dois ciclos C_n e C_k, mostramos que G é Z_m-bem-coberto se e somente se G é bem-coberto. Estes grafos não são 1-Z_m-bem-cobertos.

Recebido em 02 Maio 2011

Aceito em 24 Fevereiro 2012

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Produtos de grafos Z_m-bem-cobertos

R.M. Barbosa; M.R.C. Santana

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  05 Out 2012
• Data do Fascículo
  Abr 2012

Histórico

• Recebido
  02 Maio 2011
• Aceito
  24 Fev 2012