Análise granulométrica por técnicas que se baseiam na sedimentação gravitacional: Regime turbulento e intermediário

Análise granulométrica por técnicas que se baseiam na sedimentação gravitacional: Regime turbulento e intermediário

José Aurélio Medeiros da Luz

Professor substituto - DEMIN/UFOP

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Rosa Malena Fernandes Lima

Professora adjunta - DEMIN/UFOP

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Resumo

Nesse trabalho, é abordada a análise granulométrica de partículas, usando o diâmetro de esfera equivalente, em regime turbulento (Re > 3000), onde se aplica a lei de Newton. No caso de regime de escoamento intermediário (0,2< Re <3000), pode-se usar, por exemplo, a equação de Abraham, que dá excelentes resultados até Re = 5000. Faz-se necessário, porém, a aplicação de um coeficiente de arraste, que é função do número de Reynolds, o qual, por sua vez, depende da velocidade de queda da partícula, devendo o cálculo ser feito por um algoritmo iterativo, como apresentado em anexo. São apresentadas, também, correções, em virtude da interação interparticular em dispersões concentradas das partículas e da influência da forma das partículas na velocidade terminal de sedimentação das mesmas.

Palavras-chave: sedimentação, partículas em fluido viscoso, arraste fluidodinâmico

Abstract

In this work is presented particles size analyses techniques under turbulent flow using the equivalent sphere diameter (Re > 3000) where the Newton law is applied. In the case of intermediary flow (0,2 < Re < 3000) it can be used for example Abraham's equation, which gives excellent results until Re = 5000. But it is necessary to use a drag coefficient that depend on Reynolds number and the Reynolds number depends on particle settling velocity. This calculation should be done by iterative process like the one presented in appendix. It is presented also corrections because of particles concentration and the influence of particle shape on terminal falling velocity of those particles.

Keywords: settling, particles in viscous fluid, drag force.

Mineração

1. Introdução

Além dos métodos de determinação granulométrica por sedimentação descritos na Parte I (béquer de sedimentação, pipeta de Andreasen e sedigraph), há outros de usos mais restritos, dois dos quais estão brevemente comentados, a seguir: a balança de sedimentação e a determinação por meio de densímetros (Orr Jr. & DallaValle, 1959).

A balança de sedimentação consiste em prover um tubo de sedimentação com um prato suspenso no fundo e ligado ao mecanismo de pesagem. É possível, portanto, determinar a distribuição granulométrica da amostra pelo monitoramento da evolução da massa depositada sobre o prato da balança.

Densímetro é um instrumento que se baseia no empuxo arquimediano. É um bulbo cilíndrico de vidro, selado e preenchido por lastro, munido de uma haste com escala, que dá o valor da densidade da suspensão na cota do centro de massa do densímetro, em função da fração de submergência. No caso de uso de densímetros, tem-se uma proveta com polpa em repouso (inicialmente homogênea), na qual se mergulha um densímetro. Essa técnica, portanto, consiste em monitorar a mudança de massa específica da suspensão em uma cota específica, abaixo da superfície, e correlacioná-la com a fração remanescente de sólidos na suspensão naquela cota. Deve-se fazer uma correção para a distância efetiva de sedimentação, levando-se em conta a mudança de cota da superfície com a imersão do densímetro.

2. Aplicação da Lei de Stokes para fluxo não laminar

Na primeira parte desse trabalho, foi feita uma breve revisão dos métodos de análise granulométrica, utilizando a lei de Stokes, que é aplicada para fluxo laminar (Re<0,2).

Quando o regime é turbulento, a velocidade da partícula isolada é dada pela equação de Newton (baseada na premissa de que a resistência ao movimento é inteiramente devida aos microturbilhões). Nesse caso, a resistência friccional é proporcional à área de ataque frontal e ao quadrado da velocidade, afetados por um coeficiente empírico. Para esfera (Gaudin,1957): R_f = fprd²v²/8. O coeficiente de resistência friccional, ou de arraste, f, é aproximadamente igual a 4,4 (para esfera). Analogamente à dedução da lei de Stokes, para a velocidade terminal de esfera rígida isolada no regime de Newton obtém-se:

(2.01)

Dezenas de equações para o regime de escoamento intermediário (0,2 < Re < 3000) têm sido propostas. Exemplos podem ser vistos em Almendra, 1979, Williams e Amarasinghe, 1989. É comum, entretanto, essas equações apresentarem (além de maior complexidade) problemas de aderência com os dados experimentais, quando se considera toda a faixa entre os regimes de Stokes e de Newton. Cita-se, a título de exemplo, a equação de Abraham (Almendra, 1979), a qual dá excelentes resultados até Re = 5000:

(2.02)

Onde o chamado coeficiente de arraste é dado em função do número de Reynolds, por:

(2.03)

Note-se que, como o coeficiente de arraste depende do número de Reynolds, o qual, por sua vez, depende da velocidade de queda da partícula, o cálculo deve ser feito através de um algoritmo iterativo. O apêndice 1 apresenta uma versão sucinta de um programa em Pascal for Windows^â para a execução de tal algoritmo de cálculo.

Quando as partículas não estão isoladas (isto é, depositam-se segundo uma concentração volumétrica, c_v), a interação entre as linhas de fluxo resultantes do movimento de cada uma delas gera uma certa turbulência devido ao fluxo intersticial, a qual leva a um desvio acentuado nas equações precedentes, sendo necessária a aplicação, nelas, de um fator de correção do tipo: v_s = v_o x f (c_v). Entre as diversas propostas para essa função, citam-se (Gaudin, 1957,Orr & Dallavalle, 1959):

• Correção de Gaudin:

(2.04)

• Correção de Steinour:

(2.05)

Além disso, partículas minerais usualmente não são esféricas. Analogamente a Stokes, Overbeck (apud Gaudin,1957) obteve as duas equações seguintes para a resistência viscosa sobre partículas placoidais (discos de raio r) em regime lamelar:

i. Com fluxo ortogonal ao plano basal: Rf = 16rhv

ii. Com fluxo paralelo ao plano basal: Rf = 10,67rhv

Entretanto, de um modo geral, para partículas não esféricas, é usual afetar a equação da velocidade terminal de Stokes com um fator de correção, para uma descrição mais realista do sistema particulado. Gaudin (Gaudin, 1957) recomenda uma constante de valor: f_f = 0,65 para partículas irregulares. Pettyjohn e Crhistiansen (apud Almendra, 1972) obtiveram as seguintes expressões:

• Velocidade terminal no regime de Stokes:

(2.06)

• Velocidade terminal no regime de Newton:

(2.07)

Onde a chamada esfericidade y é dada por:

(2.08)

A Tabela 2.01 sistematiza algumas propriedades geométricas de formas idealizadas, cujas esfericidades podem ser extrapoladas para alguns sólidos imperfeitos encontradiços em polpas minerais. De um modo geral, a não esfericidade impacta a orientação e a trajetória das partículas em movimento em um fluido. Becker sistematiza as tendências de alinhamento em função do número de Reynolds, conforme apresentado na Tabela 2.02.

Tabela 2.02
- Propriedades geométricas e esfericidade de alguns sólidos típicos (e* é a excentricidade).

Tabela 2.01
- Orientação preferencial de partículas não esféricas (fonte: Becker, apud Sakiadis, 1984).

Convém lembrar que a discussão anterior aplica-se à granulação em que a difusão browniana seja desprezível, o que é o caso para a maioria das aplicações em processamento de minerais. Se as partículas forem demasiadamente pequenas, a sedimentação gravitacional sofre a oposição da difusão, resultando, no equilíbrio, um gradiente de concentração (mesmo para sistema monodisperso). Nesse caso, após tempo infinito, as concentrações C₁ e C₂, correspondentes a duas cotas y₁ e y₂, estão relacionadas pela expressão (Himenz, 1977):

(2.09)

Onde:

k - constante de Boltzmann (1,380658 x 10^-23) [J/K];

T - temperatura absoluta [K];

m - massa de cada partícula [kg];

g - aceleração da gravidade (9,81) [m/s²];

r₁- massa específica do fluido [kg/m³];

r₂- massa específica da partícula[kg/m³].

Outra premissa que também foi adotada é a de que as partículas se comportam como sólidos, isto é, não há correntes de convecção no seio das mesmas (o que minimizaria o fator friccional).Para um tal caso, por exemplo, para bolhas (em líquido sem surfactantes), deve-se aplicar a correção de Rybczynski-Hadamard à equação de velocidade de sedimentação de Stokes (Becher, 1972). A velocidade, nesse caso, passa a ser:

(2.10)

Na equação precedente, os índices d e c se referem, respectivamente, às fases dispersa e contínua (os demais símbolos têm o mesmo significado das equações anteriores).

Numa cuba de flotação, os tensoativos presentes tendem a enrijecer a superfície das bolhas, tornando esse efeito de convecção interna muito menos pronunciado.

3. Conclusões

Na maioria das vezes, as partículas minerais possuem forma irregular. Logo a determinação de seu tamanho e a determinação da distribuição de tamanho devem ser feitas pelo conselho de tamanho equivalente, como é o caso do diâmetro equivalente, usado pelas leis de Stokes, Newton, ou Abraham. Há de se lembrar, no entanto, que a concentração e forma das partículas têm influência sobre os resultados.

5. Referências Bibliográficas

Artigo recebido em 01/09/2000

• ALMENDRA, E. R. Velocidade de sedimentação de sistemas particulados Rio de Janei-ro: UFRJ, 1979. (Dissertação de Mestrado)
• BECHER, P. Emulsiones - teoría y práctica Madrid: Blume, 1972.
• GAUDIN, A. M. Principles of mineral dressing New Delhi: 1957.
• HIMENZ, P. C. Principles of colloid and surface chemistry New York: Marcel Dekker, 1977.
• ORR JR., C., DALLAVALLE, J. M. Fine particle measurement New York: MacMillan, 1959.
• SAKIADIS, B. C. Fluid and particle mechanics (Section 5). In: WILLIAMS, R. A., AMARASINGHE, P. K. Measurement and simulation of sedimentation behavior of concentrated polydisperse suspension Transactions of Institute of Mining and Metallurgy (Section C). v. 98, January-April, 1989.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  27 Jun 2002
• Data do Fascículo
  Jul 2001