Resumos
São apresentados os métodos tradicionais utilizados para a avaliação de sistemas de medição. Esses métodos tradicionais apresentam deficiências quando a característica a ser medida é do tipo acumulativa (Exemplo: Torque). Para lidar com esse tipo de característica sugere-se o uso de um método alternativo, baseado em Quadrados Latinos. São discutidos os resultados de aplicações práticas que demonstram a validade do método proposto.
avaliação; sistema; medição; repetibilidade; reprodutibilidade; quadrado latino; torque
Traditional methods used for the evaluation of measurement systems are presented. These traditional methods present deficiencies when the measured characteristic is cumulative (ex.: torque). An alternative method based on Latin Squares is suggested to deal with this type of characteristic. Practical cases, confirming the proposed method's effectiveness, are presented.
analysis; system; measurement; repeatability; reproducibility; Latin square; torque
Avaliação de sistemas de medição utilizando quadrados latinos
Measurement system analysis using latin squares method
José Roberto do RegoI; Pedro Luiz de Oliveira Costa NetoII
IEngenheiro de Produção - Escola Politécnica da USP Autolatina Operações de Caminhões e Ônibus Av. Henry Ford, 1787 - São Paulo - SP. F: (011) - 915 - 2414
IIProfessor Doutor do Departamento de Engenharia de Produção Escola Politécnica da Universidade de São Paulo
RESUMO
São apresentados os métodos tradicionais utilizados para a avaliação de sistemas de medição. Esses métodos tradicionais apresentam deficiências quando a característica a ser medida é do tipo acumulativa (Exemplo: Torque). Para lidar com esse tipo de característica sugere-se o uso de um método alternativo, baseado em Quadrados Latinos. São discutidos os resultados de aplicações práticas que demonstram a validade do método proposto.
Palavras-chave: avaliação, sistema, medição, repetibilidade, reprodutibilidade, quadrado latino, torque.
ABSTRACT
Traditional methods used for the evaluation of measurement systems are presented. These traditional methods present deficiencies when the measured characteristic is cumulative (ex.: torque). An alternative method based on Latin Squares is suggested to deal with this type of characteristic. Practical cases, confirming the proposed method's effectiveness, are presented.
Key-words: analysis, system, measurement, repeatability, reproducibility, Latin square, torque.
1. Introdução:
Com a intensificação da utilização do Controle Estatístico do Processo, uma atenção maior vem sendo dada à avaliação das propriedades dos sistemas de medição. Entre as diversas propriedades destacam-se duas: Repetibilidade e Reprodutibilidade (R&R). A avaliação de R&R é feita mediante de estudos (AUTOMOTIVE, 1990) que detectam a influência dos operadores (Reprodutibilidade) e a influência do equipamento (Repetibilidade) sobre a variação de uma série de medições, conforme as figuras abaixo.
Esses estudos vêm sendo largamente utilizados, mas, em determinadas situações, existe a necessidade de se adotar um modelo de estudo diferente, devido à presença de um acúmulo após cada medida efetuada. Por exemplo, para a medição do torque aplicado a uma junta aparafusada podemos utilizar um torquímetro; porém, devido à natureza da característica medida, a cada medição acaba-se adicionando mais torque à junta. Para uma única medição, o efeito pode ser desprezado mas para um estudo de R&R, deve -se realizar uma série de medições sobre os mesmos pontos. Este efeito do reaperto ou acúmulo na junta acaba influenciando grandemente o resultado do estudo, como veremos a seguir.
2. Métodos tradicionais para cálculo de R&R:
Para um dado sistema de medição utilizado para avaliar uma característica, efetua-se uma série de medições organizadas de forma a permitir separar os seguintes efeitos:
- efeito das peças (VP);
- efeito dos avaliadores (VA);
- efeito do equipamento (VE);
- efeito da interação peça * avaliador (INT);
- efeito avaliador + equipamento + interação (R&R);
- efeito total (VT).
Todos estes efeitos são medidos em termos de variância. Para efeito comparativo e definição de um critério de aceitação utiliza-se uma faixa de ± 2,575 (total de 5,15) desvios-padrão, correspondendo a 99% da área sob a curva Normal.
onde:
p = desvio-padrão devido às peças;
a = desvio-padrão devido aos operadores;
e = desvio-padrão devido ao equipamento;
ap = desvio-padrão devido à interação. Para obter as estimativas p, a, e e ap utiliza-se tradicionalmente o seguinte modelo:
[10 PEÇAS] * [2 ou 3 AVALIADORES] * [2 ou 3 REPLICAÇÕES]
Para o caso de 2 operadores com 2 replicações, o estudo é realizado da seguinte forma:
Tendo obtido estes dados, pode-se utilizar duas formas de obter o valor de R&R:
- Método da ANOVA (Análise da Variância);
- Método das amplitudes.
A referência AUTOMOTIVE (1990) detalha extensamente cada método utilizado e os critérios de aprovação.
* Método da ANOVA:
Este é o método mais completo, porém é de cálculo mais complexo e requer maior conhecimento para a análise dos resultados. A grande vantagem está na obtenção de uma estimativa para ap (desvio-padrão das medições devido à interação peça * avaliador), que não é possível pelo método das amplitudes. Utilizando a técnica da Análise de Variância, monta-se um quadro do qual se obtêm as estimativas p, a, e e ap, e portanto o valor de R&R.
* Método das amplitudes:
Este método é muito mais utilizado devido à sua simplicidade de cálculo, porém não permite obter estimativa da interação peça * avaliador. O método consiste em calcular as amplitudes entre as médias de cada operador, entre as médias de cada peça e a amplitude média de cada operador sobre cada peça. Com estas três amplitudes pode- se obter VA, VE e VP, e portanto o valor de R&R.
* Critério de aprovação:
Pelos 2 métodos iremos obter estimativas do R&R, porém tais estimativas estarão na mesma grandeza dos valores em que foram medidas (Exemplo: Lbs-pé, mm, Ph). Para estabelecer um critério, devemos dividir o R&R por uma base de mesma grandeza, obtendo um número adimensional. As tabelas a seguir trazem as bases utilizadas em cada situação e o critério de aprovação utilizado.
Bases utilizadas para cálculo das porcentagens de R&R.
SITUAÇÃO
BASE UTILIZADA
Tolerância bilateral
Tolerância
Processos instáveis ou incapazes
Variação Total (VT) do estudo de R&R
Processos estáveis e capazes
5,15 desvios-padrão do processo
Critérios de aprovação das porcentagens de R&R.
% ENCONTRADA
RESULTADO
de 0 % até 10 %
Sistema aprovado.
de 10 % até 30 %
Sistema requer melhoria mas pode ser aprovado.
mais do que 30 %
Sistema rejeitado.
* Exemplos Numéricos:
A seguir dois exemplos de cálculo realizados pelo método das amplitudes (no primeiro não existe o efeito acumulativo e o segundo é um exemplo típico desse efeito).
Exemplo 1: medição da folga do cubo da roda de 10 eixos de caminhões.
Exemplo 2: medição do torque de fixação do conjunto de embreagem de 10 pickups.
Como se vê, o efeito do "reaperto" no caso do torque inflaciona tremendamente os resultados, resultando na rejeição do sistema. Esse "reaperto" fica evidente se calcularmos as médias de cada linha (série de medições):
Dados e médias de cada série de medições, mostrando o efeito do "reaperto".
O método tradicional revela-se inadequado para lidar com essa situação, sendo portanto necessário buscar-se um novo modelo.
3. Método dos Quadrados Latinos:
Evidencia-se no caso anterior a presença de uma variável (ordem) além das já citadas (peças, operadores e equipamento). Há necessidade, portanto, da adoção de um modelo que permita separar estes efeitos.
A influência do equipamento estará presente em todas as medições e portanto será avaliada pela variação residual, ou seja, a parte da variância não explicada pelas demais variáveis (peças, operadores, ordem). Um modelo que poderia ser usado para a separação dos efeitos e de suas interações seria um delineamento fatorial completo, porém, dada a natureza da variável "ordem" não é possível realizar todas as combinações necessárias (Exemplo: ao medir a peça "1" com o operador "A" pela "primeira" vez, torna-se impossível medir novamente a peça "1" com o operador "B" pela "primeira" vez. Neste caso já perdemos a "primeira" vez e esta é a "segunda"). Para resolver este problema precisamos adotar a "blocagem" das variáveis. Um modelo que permite simultaneamente bloquear 2 fontes de variação, além do tratamento principal, é o delineamento do tipo Quadrado Latino. Este modelo tem a desvantagem de pressupor a não existência de interação entre as variáveis, o que não parece ser um grande empecilho devido à natureza das variáveis (peça * ordem, peça * operador, operador * ordem). Isso poderá ser comprovado na análise dos resultados.
Quadrados Latinos existem para tamanhos "p 2" e consistem na colocação de uma variável com diferentes níveis a cada linha, uma com diferentes níveis a cada coluna e uma com diferentes níveis a cada letra do alfabeto latino, de forma a manter o mesmo número de níveis para as três variáveis.
Pode-se notar que cada tratamento (letra) aparece uma única vez em cada coluna e uma única vez em cada linha. No nosso caso decidimos utilizar uma estrutura com "p = 3" pois tradicionalmente este é o número de operadores utilizados num estudo de sistemas de medição. Neste caso as linhas representam a ordem, as colunas representam as peças e as letras os operadores:
Intuitivamente podemos perceber que se calcularmos as médias de cada linha (primeira, segunda e terceira), estas médias terão todas o efeito somado dos operadores A, B e C e das peças 1,2 e 3, ou seja, se houver diferença significativa entre estas médias das linhas, esta não poderá ser atribuída às variáveis operador e peças pois ambas agem igualmente na primeira, segunda e terceira linhas (o que não ocorria no modelo tradicional de R&R). O mesmo raciocínio pode ser estendido para os operadores e as peças, avaliando-se as médias das letras e das colunas. Temos agora, portanto, como separar os efeitos das variáveis operador, peças e ordem, sendo que o do equipamento será mensurado pelo resíduo.
Estatisticamente temos o seguinte modelo:
onde:
Yijk = observação na linha i, coluna j, letra k;
m = média global;
ai = efeito da linha "i" (ordem); bj = efeito da coluna "j" (peças);
gk = efeito da letra "k" (avaliador); Eijk = erro "ijk" (resíduo/equipamento);
A análise de variância consistirá em particionar a soma total de quadrados das N=p2 observações nos componentes letras, colunas, linhas e resíduo.
SQtotal = SQlinhas + SQcolunas + SQletras + SQerro
ou
SQT = SQO + SQP + SQA + SQE
Uma desvantagem de se utilizar um Quadrado Latino pequeno (p = 3 ou 4) é o pequeno número de graus de liberdade do resíduo (para p = 3 temos apenas 2 g.l. para o resíduo). Isso pode ser resolvido adotando-se diversos Quadrados Latinos (replicações). No nosso caso optamos por replicar utilizando os mesmos operadores e ordem, tomando novas peças, totalizando 5 Quadrados Latinos:
Para adicionar mais aleatoriedade ao estudo deve -se utilizar diferentes Quadrados Latinos do mesmo tamanho (para p=3 existem 12 Quadrados diferentes). Neste caso, o quadro de Análise de Variância será:
onde:
e:
Ti = soma dos valores da linha "i" (i = 1,2,3)
Tj = soma dos valores da coluna "j" (j = 1,2...,15)
Tk = soma dos valores da letra "k" (k = A,B,C)
T = soma de todos os valores
Q = soma dos quadrados de todos os valores
Pelo modelo adotado, o quadrado médio esperado para cada variável será:
Portanto, quando dividimos estes quadrados médios pelo erro ou resíduo (equipamento) devemos obter:
Intuitivamente vemos que os valores Fcalc serão tão maiores que 1 quanto mais significativa for a variável em questão, ou seja, quanto maior for o quociente entre a variância em análise e a variância residual. É evidente que quando Fcalc < 1, isto só pode ser atribuído ao acaso. Numa Análise de Variância, tradicionalmente testa-se a significância das variáveis envolvidas a um determinado nível pré-estabelecido (geralmente 5% ou 1%). Quando se rejeita a hipótese testada (ou seja, quando há evidência da significância da correspondente variável) obviamente o modelo não se altera, podendo-se obter as estimativas de todos os desvios-padrão necessários ao cálculo de R&R. Porém, nada se pode afirmar quando a hipótese é aceita, ou seja, quando não há evidência de que determinada variável seja significativa (o que não equivale a afirmar que há evidência de que determinada variável não é significativa).
Se tivermos razões para supor uma variável como não significativa podemos acrescentar sua soma de quadrados e graus de liberdade ao resíduo e refazer a análise de variância. A referência AUTOMOTIVE (1990) sugere utilizar um nível de 25% de significância mas PAULL (1950) demonstra ser melhor utilizar o critério de Fcalc<2*F50%, 1, 2 e portanto adotaremos este procedimento neste estudo (" 1" e " 2" são os graus de liberdade do numerador e do denominador, respectivamente), substituindo o critério tradicional da Análise de Variância com base nos níveis de significância usuais pela idéia de se considerar significativo o efeito da variável, de acordo com o procedimento acima mencionado.
Tendo concluído quanto à significância ou não das variáveis, podemos então calcular as estimativas de o, a, p e e, necessárias para o cálculo de R&R. Temos:
Novamente temos:
e mais:
Não há estimativa da interação pois esta foi considerada inexistente.
O R&R e a variação total serão dados por:
Como se vê, o método dos Quadrados Latinos também se utiliza da técnica de Análise de Variância para obter os resultados, mas distingue-se do método tradicionalmente chamado de "ANOVA" pelo arranjo das medições.
* Exemplo numérico:
Portanto, pelo critério adotado, o sistema pode ser aprovado mas requer melhorias.
4. Análise dos resultados:
No modelo adotado existem algumas hipóteses básicas:
- distribuição Normal da característica;
- todas as populações com mesma variância residual (homocedasticidade);
- resíduos com distribuição Normal (0, e2);
- não existência de interação entre as variáveis.
A técnica de Análise de Variância, porém, é suficientemente robusta para permitir algum afastamento dessas hipóteses com razoável aproximação dos resultados. MONTGOMERY (1983) sugere a técnica de calcular e analisar graficamente os resíduos do modelo, para verificar se as hipóteses são válidas. Para o modelo de Quadrados Latinos os resíduos podem ser obtidos da seguinte forma:
onde:
Eijk = resíduo da posição "i,j,k"
Yijk = valor medido na posição "i,j,k"
= média da linha "i"
= média da coluna "j"
= média da letra "k"
= média total
Para o exemplo da porca da caixa de câmbio temos os seguintes resíduos:
Plotando os resíduos em relação às variáveis envolvidas temos:
Podemos também plotar os resíduos encontrados contra os valores previstos pelo modelo:
Ordenando os resíduos e calculando os median-ranks (anexo 1 anexo 1 ), podemos plotar os resíduos num papel de probabilidade Normal. Uma alternativa para não necessitar do papel Normal (que possui escala não-linear) é plotar os resíduos contra a variável "Z" (Normal padronizada) correspondente a cada "median-rank":
Pelos gráficos percebe-se que não há nenhuma tendência ou comportamento estranho dos resíduos e que há uma boa aproximação para a reta Normal. Conclui-se, então, que as hipóteses básicas são válidas e o modelo adotado é adequado.
Além de ser adequado, o modelo, ao separar o efeito da ordem do das outras variáveis, permite uma estimativa realista do valor de R&R. Alguns resultados comparativos:
O gráfico a seguir mostra os resultados de 15 estudos realizados pelo método das amplitudes e 41 estudos pelo método dos Quadrados Latinos, todos sobre operações de torque:
Pode-se perceber que o método das amplitudes sistematicamente superestima os quocientes R&R/Tolerância ou R&R/VT; isso acontece porque esse método não leva em conta o efeito da ordem de medição. O método dos Quadrados Latinos, por outro lado, considera o efeito da ordem de medição e assim fornece estimativas confiáveis dos quocientes R&R/Tolerância e R&R/VT.
Uma análise residual completa é muito útil para se testar a validade do modelo, porém, como o utilizamos para situações muito semelhantes adotamos como simplificação plotar apenas "resíduos * valores previstos" e "resíduos * % papel Normal".
5. Conclusão:
Este trabalho discute a variabilidade de Sistemas de Medição. Tradicionalmente, peças, operadores e equipamento são as fontes de variabilidade consideradas. Contudo, em determinadas situações percebe-se um acúmulo após cada medida efetuada. Para lidar com essa variável adicional, sugere-se o uso do método dos Quadrados Latinos.
O método é adequado e deve ser utilizado nos casos em que se suspeita do efeito da ordem sobre as medições. A complexidade de cálculo é bem maior que a do método das amplitudes mas é bem semelhante à do método ANOVA. Com a possibilidade de utilizar computadores (planilhas eletrônicas e outros softwares estatísticos) toda a complexidade de cálculo desaparece, restando o cuidado na análise dos resultados.
Este trabalho foi todo desenvolvido para operações de medição de torque, porém, durante o desenvolvimento surgiram outras situações em que este modelo foi utilizado com sucesso. Algumas características químicas, por exemplo, alteram-se rapidamente após a retirada das amostras e portanto cada medição se encontra em uma faixa de valores. Para poder "descontar" este efeito e avaliar o R&R deste sistema de medição, o modelo dos Quadrados Latinos é adequado.
Como parte deste trabalho foi desenvolvida uma planilha eletrônica que efetua os cálculos e imprime os resultados (exemplo no anexo 2 anexo 2 ).
6. Anexos:
ANEXO 1
O trabalho desenvolvido por JOHNSON (1951) sugere a utilização dos "median-ranks " ou "medianas de ordem" para plotar a função de densidade de probabilidade acumulada [F(x)] de amostras pequenas (N < 50). Tais "median-ranks" são obtidos em função do tamanho da amostra "N" e da posição "i" de cada elemento, após terem sido ordenados de forma crescente. Existem tabelas para os "median-ranks" mas pode-se utilizar a fórmula aproximada:
A fórmula produz resultados muito próximos aos valores tabelados, sendo de muito mais fácil utilização.
Plotando os dados (x) versus os "median-ranks" [F(x)] podemos analisar o com portamento dos dados e estimar parâmetros.
ANEXO 2
Bibliografia Complementar:
- AUTOMOTIVE INDUSTRY ACTION GROUP: Measurement Systems Analysis - Reference Manual Troy, 1990.
- JOHNSON, L.G: "The median ranks of sample values in their population with an application to certain fatigue studies". Industrial Mathematics, Vol.2, p.1-9, 1951.
- MONTGOMERY, Douglas C.: Designand Analysis of Experiments, 2nd edition. John Wiley & Sons, Singapore, 1983.
- PAULL, A. E.: "On a preliminary test for pooling mean squares in the Analysis of Variance". Annals of MathematicalStatistics, Vol. 21, s.l, p. 539, 1950.
- COCHRAN, Willian G. & COX,Gertrude M.: Experimental Designs, (2nd edition). John Wiley & Sons, New York, 1957.
- COSTA NETO, Pedro L.O.: Estatística Edgard Blucher, São Paulo, 1977.
anexo 1
anexo 2
Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
08 Jun 2010 -
Data do Fascículo
Abr 1995