Problema Creep-Térmico na dinâmica de gases rarefeitos baseado no modelo BGK

Problema Creep-Térmico na dinâmica de gases rarefeitos baseado no modelo BGK

R.F. Knackfuss; I.B. Aseka

Departamento de Matemática, CCNE, UFSM, 97105-900 Santa Maria, RS, Brasil. [e-mail]; [e-mail]

RESUMO

Neste trabalho, apresenta-se resultados numéricos para o perfil de velocidade e o perfil de fluxo de calor, relativas ao movimento de um gás rarefeito através de um canal plano sujeito a um gradiente de temperatura. Considera-se, aqui, o canal definido por duas placas paralelas com diferentes constituições químicas, isto é, com coeficientes de acomodação diferentes. Para solucionar este problema, denominado de Creep-Térmico, inicialmente a equação de Boltzmann é aproximada pelas equações cinéticas que, neste caso, são baseadas no modelo BGK. O processo de interação entre o gás e a superfície é descrito pelo modelo de Maxwell e pela condição generalizada de Cercignani-Lampis. A solução do problema é encontrada através de uma versão analítica do método de ordenadas discretas (ADO).

Palavras-chave: Dinâmica de Gases Rarefeitos, Método de Ordenadas Discretas, Modelo de Maxwell, Modelo de Cercignani-Lampis.

ABSTRACT

In this work, numerical results are presented for velocity and heat-flow profiles and particle and heat-flow rates of a rarefied gas confined in a plane channel defined by two parallel plates subject to a temperature gradient. The problem is modeled by the BGK kinetic equation and two different types of surface-gas interaction law are analyzed, i. e., the Cercignani-Lampis model that is defined in terms of normal and tangential accommodation coefficients and the usual Maxwell model. Here, the two parallel plates have different chemical compositions, i. e., with different accommodation coefficients. A modern analytical version of the discrete-ordinates method (ADO) is used to solve this problem and a detailed analysis is performed in regard to the influence of the surfaces on the physical quantities.

Keywords: Rarefied gas dynamics, the analytical method of discrete-ordinates, the Maxwell model, the Cercignani-Lampis kernel.

1. Introdução

Problemas que envolvem dinâmica de gases rarefeitos são frequentemente modelados pela equação de Boltzmann que pode ser aproximada por equações cinéticas. Nestes problemas, as interações dos gases com a superfície têm função importante, visto que, a temperatura da superfície bem como sua rugosidade e sua constituição química influenciam diretamente nestas interações (gás-superfície) conduzindo a diferentes coeficientes de acomodação [5]. Nos modelos matemáticos, as condições de contorno levam em consideração o tipo de superfície através dos núcleos de espalhamento. Dentre os diferentes tipos de núcleo de espalhamento que expressam as diferentes interações entre o gás e a superfície, destacam-se o núcleo de espalhamento de Maxwell [17], que considera a fração (1 — α) de partículas refletidas especularmente e o restante α refletida difusivamente e o núcleo de espalhamento de Cercignani-Lampis [6], que diferentemente do núcleo de Maxwell, para uma melhor representação das propriedades físicas da superfície, apresenta dois coeficientes de acomodação: o coeficiente de acomodação do momento tangencial (α_t) e o coeficiente de acomodação da energia cinética devido a componente normal da velocidade (α_n).

Em recentes trabalhos, o núcleo de Cerciganni-Lampis associado ao método de ordenadas discretas analítico (ADO) [2] foi usado para solução de uma classe de problemas baseados nas equações cinéticas [8, 9] visando encontrar resultados para análise dos efeitos da superfície, que são importantes em fenômenos que envolvem a dinâmica de gases rarefeitos. Neste sentido, é de suma importância a consideração de diferentes coeficientes de acomodação. Com este objetivo, usa-se, neste trabalho, as condições de contorno de Maxwell e de Cercignani-Lampis (que descrevem a interação gás-superfície) associadas ao método de ordenadas discretas analítico (ADO) [2] para obter a solução do problema Creep-Térmico, baseado no modelo BGK [3], sendo que as placas por onde o gás flui, possuem diferentes constituições químicas.

Vários trabalhos já foram desenvolvidos com o objetivo de resolver problemas da dinâmica de gases rarefeitos com outros métodos, outras equações cinéticas e/ou outros núcleos de interação gás-superfície. Pode-se destacar:

• Barichello et al. [1], onde usa-se o modelo BGK, o método ADO e o núcleo de Maxwell.

• Sharipov [12], onde é usado o modelo S, o método da velocidade discreta e o núcleo de Cercignani-Lampis.

• Garcia e Siewert [7], onde usa-se a equação linearizada de Boltzmann, o método ADO e o núcleo de Cercignani-Lampis.

• Cabrera e Barichello [4], onde é usado o modelo S, o método ADO e o núcleo de Maxwell.

De acordo com Sharipov e Seleznev [13], para o modelo BGK, o número de Prandtl é igual a um. Entretanto, o valor correto desse número é 2/3. A escolha do modelo BGK justifica-se pela possibilidade de estabelecer comparações com futuros trabalhos propostos pelos autores, utilizando outros modelos (S e Gross-Jackson). Além disso, analisar o erro desse modelo com outros modelos que apresentam o número de Prandtl correto.

2. Formulação Matemática

Considera-se a equação cinética escrita em termos da perturbação h(y, c) para a função distribuição de uma Maxwelliana local, como

onde o núcleo de espalhamento, para o modelo BGK, é dado por

Além disso, considera-se o caso unidimensional para a variável adimensional y (medida em termos do livre caminho médio l), as componentes do vetor velocidade (c_x,c_y,c_z) expressas em unidades adimensionais,

sendo que σ₀ é o diâmetro de colisão das partículas de gás na aproximação de esferas rígidas e n₀ é a densidade de equilíbrio das partículas de gás.

Neste trabalho, investiga-se o problema Creep-Térmico para gases rarefeitos entre placas paralelas situadas em -a e a. Considera-se dois problemas específicos, ambos descritos pela Eq. (2.1) e diferenciados pelas condições de contorno. Para um dos problemas toma-se as condições de contorno de Maxwell e para o outro as de Cercignani-Lampis [5, 6] que são dadas, respectivamente, por

onde l = 1 representa a placa situada em -a e l = 2 representa a placa situada em velocidade da placa e To é a temperatura constante de referência, e

sendo

e

Para efeitos computacionais escreve-se

onde I₀(w) é a função de Bessel modificada

Nota-se que na Eq. (2.4), o núcleo de Cercignani-Lampis inclui dois coeficientes de acomodação definidos como: coeficiente de acomodação da energia cinética devido a componente normal da velocidade (a_n ∈ [0,1]) e coeficiente de acomodação do momento tangencial (α_t ∈ [0,2]) [5, 6]. Fisicamente, o núcleo de Cercignani-Lampis admite a reflexão para trás que pode ocorrer em superfícies rugosas. No caso limite quando α_t = 2 e α_n = 0, a velocidade troca de sinal após uma colisão com uma superfície, trocando, assim, a sua direção. Quando α_t = 1 e α_n = 1 o núcleo de Cercignani-Lampis Eq. (2.4) coincide com uma reflexão difusa, por outro lado, no caso limite α_t = 0 e α_n = 0, o mesmo torna-se uma reflexão especular.

Para avaliar as grandezas físicas, segue-se Siewert [15] e admite-se, para o perfil de velocidade

e para o perfil de fluxo de calor

Tendo em vista a definição das grandezas físicas em termos de momentos da função h, multiplica-se, respectivamente, a Eq. (2.1) por

integra-se em relação introduz-se a nova notação ξ = c_y, define-se

e

e encontra-se as equações

e

3. Formulação Vetorial

Considerando-se H(y,ξ) um vetor com componentes h₁(y,ξ) e h₂(y, ξ), pode-se reescrever as Eqs. (2.7) e (2.8) na forma vetorial como

onde

A metodologia usada na obtenção da Eq. (3.1) é também aplicada nas condições de contorno. Assim, para as condições de contorno de Maxwell, Eq. (2.2) encontra-se, a equação na forma vetorial

Para as condições de contorno de Cercignani-Lampis, Eq. (2.3) tem-se

onde

e

com l = 1, 2.

Baseado na notação vetorial, pode-se expressar as grandezas físicas, Eqs. (2.5) e (2.6), como

e

que representam, respectivamente, o perfil de velocidade e o perfil de fluxo de calor.

4. Desenvolvimento da Solução

O problema definido pela Eq. (3.1) é não-homogêneo, então sua solução é escrita na forma

Para o problema não-homogêneo encontra-se a solução particular

Substituindo-se a Eq. (4.1) nas Eqs. (3.1), (3.3) e (3.4), conclui-se que a solução homogênea deve satisfazer a equação

as condições de contorno de Maxwell

e as condições de contorno de Cercignani-Lampis

onde Ψ(ξ') é dada pela Eq. (3.2),

e

Aqui, A_l e f_i(ξ',ξ) são dadas, respectivamente, pelas Eqs. (3.5) e (3.6).

Observa-se que l nas Eqs. (4.3)-(4.6) assume os valores 1 ou 2 representando as paredes do canal.

4.1. Solução em ordenadas discretas

Os problemas homogêneos, Eqs. (4.2)-(4.4), são resolvidos através do método de ordenadas discretas analítico. Para isto, define-se um esquema de quadratura e reescreve-se a Eq. (4.1) na versão de ordenadas discretas como

para i = 1,2 · ··, N.

Para as Eqs. (4.7) propõe-se as soluções

que substituindo-se na Eq. (4.7) encontra-se

Tem-se, agora, os vetores Φ₊(ν) e Φ_(ν) de dimensão 2N x 1, com N componentes, 2 x 1, definidas, respectivamente, por Φ(ν, ξ_i) e Φ (ν, —ξ_i. Após algumas manipulações algébricas, encontra-se o problema de autovalores, com autovalores 1/v², obtendo-se, assim, os valores da constante de separação v. Logo, a solução em ordenadas discretas para a equação homogênea é dada por

onde introduz-se as soluções exatas, Φ¹ e Φ²_± de dimensões 2N x 1, definidas, respectivamente, por N (vetores) componentes da forma

Agora, com o objetivo de encontrar as grandezas físicas, levando em consideração gases rarefeitos confinados entre placas paralelas com constituições químicas diferentes, não usa-se, aqui, a condição de simetria, H(y, ξ) = H(—y, —ξ), como usada em Knackfuss e Barichello [8]. Este fato ocasiona uma alteração no número de constantes arbitrárias presentes na solução do problema homogêneo, ou seja, analiticamente, obtém-se um sistema algébrico quadrado de ordem 4N, diferentemente, do sistema 2N obtido em Knackfuss e Barichello [8].

Para determinar as constantes arbitrárias A_j e B_j, j = 1,..., 2N, para o caso de condições de contorno de Maxwell, substitui-se a Eq. (4.8) na Eq. (4.3) e para o caso das condições de Cercignani-Lampis substitui-se a Eq. (4.8) na Eq. (4.4) obtendo-se dois sistemas de equações algébricas lineares.

Finalmente, encontra-se a solução completa

Aqui, H ^p_± (y) = H ^p(y, ±ξ_i) denota um vetor 2N x 1 com N componentes 2 x 1.

5. Grandezas Físicas de Interesse

Para obter as grandezas físicas, na versão em ordenadas discretas, substitui-se a Eq. (4.10) nas Eqs. (3.7) e (3.8).

No que segue usa-se as seguintes definições

com componentes N₁(v_j) e N₂(v_j), onde

e as expressões

para escrever:

perfil de velocidade

perfil de fluxo de calor

6. Resultados Numéricos

A implementação computacional, para avaliar os resultados numéricos, foi desenvolvida através de programas em linguagem FORTRAN. Para implementar as soluções, inicialmente, define-se o esquema de quadratura associado ao método de ordenadas discretas analítico (ADO). Para muitos problemas na dinâmica de gases rarefeitos, a utilização do procedimento a seguir, tem se mostrado adequado [8, 9]. Objetivando-se calcular as integrais no intervalo [0, ∞), usa-se a transformação não-linear

para mapear sob , e então usa-se o esquema de quadratura de Gauss-Legendre mapeado linearmente no intervalo [0, 1]. O próximo passo é a determinação das constantes de separação. Por fim, encontra-se as constantes arbitrárias para, então, obter-se as grandezas físicas de interesse.

Os resultados são apresentados nas Tabelas 1 a 2 e nas Figuras 1 a ³ para diferentes gases, obtidos com N = 60 pontos de quadratura. Os números entre parênteses que aparecem nestas tabelas representam potências de dez. As notações DE e CL representam, respectivamente, condições de contorno difuso-especular (Maxwell) e condições de contorno de Cercignani-Lampis. Na equação cinética, dada pela Eq. (2.1), o parâmetro de adimensionalização ε foi considerado arbitrário. No caso do modelo BGK, quando ε é avaliado em termos da viscosidade ou da condutividade térmica, o seu valor é igual a 1, isto é, ε

Na obtenção dos resultados numéricos apresentados nas tabelas e nos gráficos que seguem, considera-se os seguintes gases nobres: Ne (Neônio), Xe (Xenônio) e Ar (Argônio). Os valores para os coeficientes de acomodação tangencial (α_t1) e coeficiente de acomodação (α₁), para a superfície 1, são formulados em termos de valores experimentais dados por Lord [10]. Para a superfície 2, os valores dos coeficientes (α_t2 e α2) foram reproduzidos de Sharipov [14] que segue o trabalho experimental de Porodnov et al. [11].

Em relação ao coeficiente de acomodação normal (α_n1 e α_n2), acredita-se não existirem resultados experimentais, assim, escolhe-se valores numéri-cos baseados no coeficiente de acomodação térmico dos gases listados acima, apresentados no trabalho de Thomas [16].

Para enfatizar os resultados obtidos, reproduz-se abaixo alguns gráficos, Figs. 1 a ³.

Nas Figs. 1 e 2, observa-se que os resultados não são sensíveis aos coeficientes de acomodação tangencial e normal. Na ^{Fig. 3}, nota-se que tanto em ^3(a) como em ^3(b) há uma similaridade entre as curvas quando usados diferentes núcleos de espalhamento (Maxwell e Cercignani-Lampis), mostrando que os resultados das grandezas físicas não são sensíveis às condições de contorno adotadas, quando considerados α_t = α.

7. Considerações Finais

A versão analítica do método de ordenadas discretas (ADO), baseado no esquema de quadratura do tipo half-range, foi usado para desenvolver a solução para o problema Creep-Térmico na dinâmica de gases rarefeitos, com a interação gás-superfície modelada através do núcleo de Maxwell e de Cercignani-Lampis, considerando-se superfícies com composições químicas diferentes.

Os resultados baseados no modelo BGK com condições de contorno de Maxwell não apresentaram uma diferença significativa quando comparados com os resultados usando as condições de contorno de Cercignani-Lampis.

A condição de simetria não utilizada neste trabalho, torna flexível a análise do comportamento da dinâmica de gases rarefeitos, no sentido de se poder variar os materiais das placas entre as quais o gás flui.

Recebido em 20 Junho 2011

Aceito em 05 Fevereiro 2012

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  05 Out 2012
• Data do Fascículo
  Abr 2012

Histórico

• Recebido
  20 Jun 2011
• Aceito
  05 Fev 2012