Redução de ordem no domínio da freqüência baseada na minimização da norma dos coeficientes polinomiais do erro

SISTEMAS DINÂMICOS E SISTEMAS DE CONTROLE

Redução de ordem no domínio da freqüência baseada na minimização da norma dos coeficientes polinomiais do erro

José M. Araújo; Alexandre C. Castro; Eduardo T. F. Santos

Grupo de Pesquisa em Sinais e Sistemas (GPSS) Departamento de Tecnologia em Eletro-Eletrônica, Centro Federal de Educação Tecnológica da Bahia Rua Emídio dos Santos, S/N, Barbalho, Salvador-BA, Brasil CEP 40301-015, [e-mail], [e-mail], [e-mail]

RESUMO

Redução de ordem de modelos monovariáveis, de sistemas lineares invariantes no tempo, contínuos, descritos por uma função de transferência racional, é uma técnica amplamente difundida na simplificação de modelos, como forma de reduzir complexidade envolvida em análise e projeto. Um método simples para redução de ordem baseado na minimização da norma dos coeficientes do numerador do polinômio de erro é proposto, e diversos resultados apresentados demonstram a validade e o mérito da abordagem.

Palavras-chave: Redução de ordem, sistemas lineares, domínio da freqüência, polinômios, minimização.

ABSTRACT

Model order reduction for linear-time invariant systems, SISO, given by a rational transfer function, is a well-known technique for model simplification, as a way to reduce complexity involved in analysis and design. A simple method for model order reduction by norm minimization of the error polynomial numerator coefficients is proposed, and many presented results show the validity and quality of this approach.

Keywords: order reduction, linear systems, frequency domain, polynomials, minimization.

1 INTRODUÇÃO

Redução de ordem para simplificação de sistemas lineares é uma técnica conhecida de longa data, e os métodos para simplificação são bastante diversificados. O truncamento modal, com retenção de pólos dominantes é uma técnica interessante, mas é limitado ao caso em que há dominância modal (Aguirre,1993). Diversos métodos baseados em otimização foram propostos, onde alguma função é minimizada ou maximizada com respeito aos parâmetros do modelo (El-Attar e Vidyasagar, 1979; Hsia, 1972). Métodos baseados na descrição no espaço de estados também são muito aplicados, sendo que os mais utilizados são fundamentados na realização balanceada (Moore, 1981; Perenbo e Silverman, 1982; Muscato, 2000)

A redução de ordem tanto pode aplicar-se a modelos de larga escala, ou seja, de ordem muito elevada (Mansour e Mehrotra, 2003), como para modelos de ordem moderada, em aplicações típicas de sistemas de controle. O método que será discutido a seguir é sugerido para redução de modelos estáveis, de fase mínima, e com ordem moderada. A proposta consiste basicamente em considerar uma função de erro entre o modelo real e o de ordem reduzida, para a partir da minimização da norma dos coeficientes do polinômio do numerador desta função, encontrar os parâmetros desconhecidos do modelo de ordem reduzida.

2 PRELIMINARES

Seja a função de transferência de um sistema linear, próprio invariante no tempo:

O problema de redução de ordem consiste em obter uma função de transferência que aproxime aquela da Eq. 1, de acordo com uma determinada métrica:

O polinômio tem grau r < n e tem grau l < m. É importante destacar que certos pólos do sistema, como os dominantes, podem ser retidos na solução, assim como alguns zeros, ou o grau relativo da função de tranferência original pode ser preservado, o que resulta em diferentes formas de redução. Tal decisão é atribuída ao que se deseja como modelo reduzido. Entretanto, em muitos casos, como será visto a seguir, não há pólos dominantes e nem sempre é possível realizar cancelamento de zeros e pólos, o que justifica abordagens baseadas em problemas de otimização.

3 METODOLOGIA PROPOSTA

A função de transferência original pode ser escrita como a de ordem reduzida mais um erro:

Manipulando esta equação com o uso das Eq. 1 e Eq. 2, obtém-se:

A aproximação pela redução é tanto melhor quanto menor for e(s) em alguma métrica. Seja o numerador da função e(s):

O método proposto para redução do modelo consiste na solução do seguinte problema:

A proposta tem, de forma geral, uma estrutura semelhante a metodologia desenvolvida por Sou et al (2005); porém, há diferenças em relação ao domínio, pois no trabalho de Sou a abordagem é para sistemas de tempo discreto, ou sistemas discretizados pela aproximação de Tustin, e também no que diz respeito à norma utilizada para função objetivo. Diversas restrições que visem reter certas características do sistema original podem ser consideradas, além da restrição que garante a estabilidade do modelo reduzido. O número de variáveis da função objetivo depende da ordem desejada e da quantidade de zeros considerada, e são os coeficientes de e . A função objetivo é quadrática, logo, a convergência dos algoritmos para uma única solução, se a mesma existir, é assegurada para uma boa escolha de condições iniciais.

4 EXEMPLOS

4.1 Sistema de ordem mínima

Uma forma interessante de validar a proposição é verificar sua eficácia em um sistema com cancelamento exato de zeros e pólos, o que leva a um modelo exato de ordem mínima. Seja a função de transferência:

Utilizando o método proposto, será obtido um modelo reduzido de primeira ordem. O modelo reduzido é dado por:

O problema de minimização para encontrar os parâmetros a e b é dado por:

A solução do problema leva a função de transferência e ao erro seguintes:

Mostrando a validade do método. A seguir, uma pletora de exemplos será apresentada para validar diferentes situações.

4.2 Sistema de terceira ordem

O sistema de terceira ordem a seguir foi utilizado como exemplo por El-Attar e Vidyasagar (1978), cuja metodologia é baseada na minimização das normas l₁ - l_∞. Tal modelo não apresenta pólos dominantes, nem zeros para justificar quasi-cancelamentos. A função de transferência adotada é dada por:

Considere o modelo reduzido de segunda ordem, com um zero, dado por:

A solução da Eq. 6 leva à função de transferência:

O modelo reduzido de Vidyasagar é dado por:

A Fig. 1 mostra a resposta em freqüência para o sistema original e para as aproximações obtidas com a metodologia proposta e pelo modelo de Vidyasagar. A magnitude do erro é vista na Fig. 2 e a resposta ao degrau dos três modelos é vista na Fig. 3. As duas aproximações são bastante consistentes, inclusive quanto à fase. Os dois sistemas apresentam um zero no semi-plano direito do plano complexo, sendo de fase não-mínima. Ambos os modelos são estáveis, o que mostra o mérito da metodologia. A magnitude do erro em baixas frequências é constante no modelo de Vidyasagar, pois na sua metodologia, a restrição de mesmo ganho DC não é imposta ao problema de otimização resultante. Este fato também fica nítido pela observação da resposta ao degrau dos dois modelos reduzidos.

4.3 Sistema de quarta ordem

Seja a função de transferência de 4ª ordem (Hsia, 1972), dada por:

Dois modelos reduzidos serão estudados, um de primeira e um de segunda ordem, com preservação do grau de McMillan. Tem-se então modelos reduzidos com as formas:

A metodologia proposta será comparada ao método de Hsia e com o método da realização balanceada e redução a partir de perturbação singular. A tabela 1 mostra os resultados obtidos, e algumas comparações podem ser estabelecidas. Para segunda ordem, o método da realização balanceada apresenta melhor desempenho no domínio do tempo, quando observa-se uma integral do erro quadrático da resposta ao degrau com menor valor dentre os três métodos; o método proposto é o que apresenta segunda melhor performance neste critério, ainda assim comparável em termos de qualidade ao método da realização balanceada. O método de Hsia também tem um bom desempenho neste critério, porém é o pior dentre os três. Quando passa-se ao critério da integral da norma ao quadrado da função erro , a metodologia proposta apresenta o melhor desempenho, haja vista que a minimização da norma dos coeficientes do numerador de tal função assegura uma melhor aproximação no domínio da freqüência. No caso de primeira ordem, o método proposto e o de Hsia apresentam melhores resultados, com a realização balanceada sendo o de desempenho inferior.

4.4 Sistemas compartimentais

Este exemplo é abordado por Araújo et al (2006), onde é demonstrado um comportamento aproximado como de primeira ordem em sistemas compartimentais. A função de transferência em questão é dada por:

Aplicando o método proposto, obtemos como modelo reduzido de primeira ordem:

No método da aproximação compartimental foi obtido:

4.5 Outro sistema de quarta ordem

A função de transferência de quarta ordem abaixo é usada como exemplo em Muscato (1990):

Aplicando a metodologia proposta, com restrições adicionais , obtém-se:

A aproximação é excelente, como pode ser visto na Fig. 5. A Fig. 6 mostra a comparação do erro entre o método proposto e o da realização balanceada aplicando truncamento direto e também perturbação singular.

4.6 Sistema de sexta ordem

Este caso é descrito por Muscato (2000), com uma função de transferência dada por:

Obtém-se os modelos de 5ª até 2ª ordem:

As Figs. 7 e 8 mostram, respectivamente, as respostas dos modelos reduzidos de 4ª e 5ª ordens, e para 2ª e 3ª ordens. Um fato interessante é que os sistemas reduzidos de 5ª e 3ª ordem obtidos não foram de ordem mínima, onde ambos apresentaram um zero e um pólo sobre a origem. Como consequência, os modelos reduzidos, se simplificados, resultam nos obtidos para 4ª e 2ª ordem, respectivamente.

5 UMA DISCUSSÃO SOBRE A ESTABILIDADE DO MODELO REDUZIDO

Neste ponto, após vários exemplos, faz-se mister discutir a imposição da restrição de o denominador no modelo reduzido ser Hurwitz, de forma a assegurar a estabilidade da solução. A mesma introduz não-convexidade ao problema de otimização, caso a ordem desejada do modelo reduzido seja maior ou igual a 3, com desigualdades no mínimo bilineares. Será feita a seguir uma tentativa de relaxar esta restrição para obter condições suficientes, o que irá se mostar não-trivial até para um caso extremamente simples.

Considere a redução para 1ª ordem de um sistema originalmente de 2ª ordem, ou seja:

O problema de otimização sem restrições consiste em:

A solução pode ser obtida de forma direta:

É possível notar que, até para um caso bastante simples, é difícil estabelecer condições sobre o sistema original de forma a preservar a estabilidade do modelo reduzido. Isto justifica o uso da restrição imposta. Seja por exemplo a função de transferência:

A solução para o problema de minimização sem restrições é:

Que é instável, ainda que a função de transferência original seja estável e de fase mínima. Isto justifica o uso da restrição imposta. A metodologia perde então a elegância da otimização convexa, além de existir a possibilidade de o método de otimização utilizado atingir mínimos locais. Entretanto, a busca do mínimo global pode ainda ser feita através de algoritmos consagrados, como o determinístico branch and bound ou o estocástico simulated anealing.

6 CONCLUSÃO

Uma metodologia para redução de ordem de funções de transferência estáveis de sistemas lineares invariantes no tempo, a parâmetros concentrados, baseada na minimização da norma dos coeficientes do polinômio do numerador do erro em frequência foi apresentada, e a aplicação do mesmo numa pletora de exemplos deixou clara a validade do método. Até mesmo quando a ordem do modelo reduzido é aparentemente proibitiva o método mostrou-se efetivo, culminando em um modelo reduzido estável. A comparação com métodos baseados em realização balanceada e outros também já consolidados, tradicionais em aplicações de redução de ordem, mostrou que o método aproxima adequadamente a função de transferência, sendo aplicável e demostrando bom desempenho, conforme mostrado nos diversos exemplos discutidos neste trabalho.

AGRADECIMENTOS

Os autores gostariam de agradecer ao Centro Federal de Educação Tecnológica da Bahia, pelo incentivo à condução de pesquisas em sinais e sistemas.

Artigo submetido em 24/01/2007

1a. Revisão em 21/05/2007

2a. Revisão em 12/09/2007

3a. Revisão em 13/03/2008

Aceito sob recomendação do Editor Associado Prof. Liu Hsu

• Aguirre, L. A. (1993). Quantitative measure of modal dominance for continuous systems. Proceedings of the 32nd IEEE Conference on Decision and Control, pp 2405-2410. San Antonio, Texas, USA.
• Araújo, J.M., Castro, A. C., Silva, F.G.S. e Santos, E.T.F (2006). Redução de ordem em sistemas lineares compartimentais. Anais do XVI Congresso Brasileiro de Automática, Salvador, Bahia, Brasil.
• El-Attar, R. A. and Vidyasagar, M (1978). Order reduction by l₁,- and l_∞,-nom minimization. . IEEE Transaction on Automatic Control, Vol. 23, nş 04, pp. 731-734.
• Hsia, T.C. On the simplification of linear systems (1972). IEEE Transaction on Automatic Control, Vol. 17, nş 04, pp372-374.
• Mansour, M. M. and Mehrotra, A. (2003). Model-Order reduction based on PRONY's method. Proceedings of the Design, Automation and Test in Europe Conference and Exhibition
• Moore, B. C. (1981). Principal component analysis in linear systems: controlability, observability and model reduction. IEEE Transaction on Automatic Control, Vol. 26, nş 01, pp. 17-32.
• Muscato, G. (2000) Parametric generalized singular perturbation approximation for model order reduction. IEEE Transactions On Automatic Control, Vol. 45, nş. 02, pp. 339-343.
• Pernebo, L. and Silverman (1982). Model reduction via balanced state-space representations. IEEE Transaction on Automatic Control, Vol. 27, nş 02, pp. 382-387.
• Sou, K. C., Megretski, A. and Daniel, L. (2005). A quasi-convex optimization approach to parameterized model order reduction. In: Proceedings of The IEEE/ACM Design Automation Conference, vol. 01, pp. 933-938.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  29 Out 2008
• Data do Fascículo
  Set 2008

Histórico

• Recebido
  24 Jan 2007
• Aceito
  13 Mar 2008