Resumos
Redução de ordem de modelos monovariáveis, de sistemas lineares invariantes no tempo, contínuos, descritos por uma função de transferência racional, é uma técnica amplamente difundida na simplificação de modelos, como forma de reduzir complexidade envolvida em análise e projeto. Um método simples para redução de ordem baseado na minimização da norma dos coeficientes do numerador do polinômio de erro é proposto, e diversos resultados apresentados demonstram a validade e o mérito da abordagem.
Redução de ordem; sistemas lineares; domínio da freqüência; polinômios; minimização
Model order reduction for linear-time invariant systems, SISO, given by a rational transfer function, is a well-known technique for model simplification, as a way to reduce complexity involved in analysis and design. A simple method for model order reduction by norm minimization of the error polynomial numerator coefficients is proposed, and many presented results show the validity and quality of this approach.
order reduction; linear systems; frequency domain; polynomials; minimization
SISTEMAS DINÂMICOS E SISTEMAS DE CONTROLE
Redução de ordem no domínio da freqüência baseada na minimização da norma dos coeficientes polinomiais do erro
José M. Araújo; Alexandre C. Castro; Eduardo T. F. Santos
Grupo de Pesquisa em Sinais e Sistemas (GPSS) Departamento de Tecnologia em Eletro-Eletrônica, Centro Federal de Educação Tecnológica da Bahia Rua Emídio dos Santos, S/N, Barbalho, Salvador-BA, Brasil CEP 40301-015, jomario@cefetba.br, castro@cefetba.br, eduardo.telmo@terra.com.br
RESUMO
Redução de ordem de modelos monovariáveis, de sistemas lineares invariantes no tempo, contínuos, descritos por uma função de transferência racional, é uma técnica amplamente difundida na simplificação de modelos, como forma de reduzir complexidade envolvida em análise e projeto. Um método simples para redução de ordem baseado na minimização da norma dos coeficientes do numerador do polinômio de erro é proposto, e diversos resultados apresentados demonstram a validade e o mérito da abordagem.
Palavras-chave: Redução de ordem, sistemas lineares, domínio da freqüência, polinômios, minimização.
ABSTRACT
Model order reduction for linear-time invariant systems, SISO, given by a rational transfer function, is a well-known technique for model simplification, as a way to reduce complexity involved in analysis and design. A simple method for model order reduction by norm minimization of the error polynomial numerator coefficients is proposed, and many presented results show the validity and quality of this approach.
Keywords: order reduction, linear systems, frequency domain, polynomials, minimization.
1 INTRODUÇÃO
Redução de ordem para simplificação de sistemas lineares é uma técnica conhecida de longa data, e os métodos para simplificação são bastante diversificados. O truncamento modal, com retenção de pólos dominantes é uma técnica interessante, mas é limitado ao caso em que há dominância modal (Aguirre,1993). Diversos métodos baseados em otimização foram propostos, onde alguma função é minimizada ou maximizada com respeito aos parâmetros do modelo (El-Attar e Vidyasagar, 1979; Hsia, 1972). Métodos baseados na descrição no espaço de estados também são muito aplicados, sendo que os mais utilizados são fundamentados na realização balanceada (Moore, 1981; Perenbo e Silverman, 1982; Muscato, 2000)
A redução de ordem tanto pode aplicar-se a modelos de larga escala, ou seja, de ordem muito elevada (Mansour e Mehrotra, 2003), como para modelos de ordem moderada, em aplicações típicas de sistemas de controle. O método que será discutido a seguir é sugerido para redução de modelos estáveis, de fase mínima, e com ordem moderada. A proposta consiste basicamente em considerar uma função de erro entre o modelo real e o de ordem reduzida, para a partir da minimização da norma dos coeficientes do polinômio do numerador desta função, encontrar os parâmetros desconhecidos do modelo de ordem reduzida.
2 PRELIMINARES
Seja a função de transferência de um sistema linear, próprio invariante no tempo:
O problema de redução de ordem consiste em obter uma função de transferência que aproxime aquela da Eq. 1, de acordo com uma determinada métrica:
O polinômio tem grau r < n e tem grau l < m. É importante destacar que certos pólos do sistema, como os dominantes, podem ser retidos na solução, assim como alguns zeros, ou o grau relativo da função de tranferência original pode ser preservado, o que resulta em diferentes formas de redução. Tal decisão é atribuída ao que se deseja como modelo reduzido. Entretanto, em muitos casos, como será visto a seguir, não há pólos dominantes e nem sempre é possível realizar cancelamento de zeros e pólos, o que justifica abordagens baseadas em problemas de otimização.
3 METODOLOGIA PROPOSTA
A função de transferência original pode ser escrita como a de ordem reduzida mais um erro:
Manipulando esta equação com o uso das Eq. 1 e Eq. 2, obtém-se:
A aproximação pela redução é tanto melhor quanto menor for e(s) em alguma métrica. Seja o numerador da função e(s):
O método proposto para redução do modelo consiste na solução do seguinte problema:
A proposta tem, de forma geral, uma estrutura semelhante a metodologia desenvolvida por Sou et al (2005); porém, há diferenças em relação ao domínio, pois no trabalho de Sou a abordagem é para sistemas de tempo discreto, ou sistemas discretizados pela aproximação de Tustin, e também no que diz respeito à norma utilizada para função objetivo. Diversas restrições que visem reter certas características do sistema original podem ser consideradas, além da restrição que garante a estabilidade do modelo reduzido. O número de variáveis da função objetivo depende da ordem desejada e da quantidade de zeros considerada, e são os coeficientes de e . A função objetivo é quadrática, logo, a convergência dos algoritmos para uma única solução, se a mesma existir, é assegurada para uma boa escolha de condições iniciais.
4 EXEMPLOS
4.1 Sistema de ordem mínima
Uma forma interessante de validar a proposição é verificar sua eficácia em um sistema com cancelamento exato de zeros e pólos, o que leva a um modelo exato de ordem mínima. Seja a função de transferência:
Utilizando o método proposto, será obtido um modelo reduzido de primeira ordem. O modelo reduzido é dado por:
O problema de minimização para encontrar os parâmetros a e b é dado por:
A solução do problema leva a função de transferência e ao erro seguintes:
Mostrando a validade do método. A seguir, uma pletora de exemplos será apresentada para validar diferentes situações.
4.2 Sistema de terceira ordem
O sistema de terceira ordem a seguir foi utilizado como exemplo por El-Attar e Vidyasagar (1978), cuja metodologia é baseada na minimização das normas l1 - l∞. Tal modelo não apresenta pólos dominantes, nem zeros para justificar quasi-cancelamentos. A função de transferência adotada é dada por:
Considere o modelo reduzido de segunda ordem, com um zero, dado por:
A solução da Eq. 6 leva à função de transferência:
O modelo reduzido de Vidyasagar é dado por:
A Fig. 1 mostra a resposta em freqüência para o sistema original e para as aproximações obtidas com a metodologia proposta e pelo modelo de Vidyasagar. A magnitude do erro é vista na Fig. 2 e a resposta ao degrau dos três modelos é vista na Fig. 3. As duas aproximações são bastante consistentes, inclusive quanto à fase. Os dois sistemas apresentam um zero no semi-plano direito do plano complexo, sendo de fase não-mínima. Ambos os modelos são estáveis, o que mostra o mérito da metodologia. A magnitude do erro em baixas frequências é constante no modelo de Vidyasagar, pois na sua metodologia, a restrição de mesmo ganho DC não é imposta ao problema de otimização resultante. Este fato também fica nítido pela observação da resposta ao degrau dos dois modelos reduzidos.
4.3 Sistema de quarta ordem
Seja a função de transferência de 4ª ordem (Hsia, 1972), dada por:
Dois modelos reduzidos serão estudados, um de primeira e um de segunda ordem, com preservação do grau de McMillan. Tem-se então modelos reduzidos com as formas:
A metodologia proposta será comparada ao método de Hsia e com o método da realização balanceada e redução a partir de perturbação singular. A tabela 1 mostra os resultados obtidos, e algumas comparações podem ser estabelecidas. Para segunda ordem, o método da realização balanceada apresenta melhor desempenho no domínio do tempo, quando observa-se uma integral do erro quadrático da resposta ao degrau com menor valor dentre os três métodos; o método proposto é o que apresenta segunda melhor performance neste critério, ainda assim comparável em termos de qualidade ao método da realização balanceada. O método de Hsia também tem um bom desempenho neste critério, porém é o pior dentre os três. Quando passa-se ao critério da integral da norma ao quadrado da função erro , a metodologia proposta apresenta o melhor desempenho, haja vista que a minimização da norma dos coeficientes do numerador de tal função assegura uma melhor aproximação no domínio da freqüência. No caso de primeira ordem, o método proposto e o de Hsia apresentam melhores resultados, com a realização balanceada sendo o de desempenho inferior.
4.4 Sistemas compartimentais
Este exemplo é abordado por Araújo et al (2006), onde é demonstrado um comportamento aproximado como de primeira ordem em sistemas compartimentais. A função de transferência em questão é dada por:
Aplicando o método proposto, obtemos como modelo reduzido de primeira ordem:
No método da aproximação compartimental foi obtido:
4.5 Outro sistema de quarta ordem
A função de transferência de quarta ordem abaixo é usada como exemplo em Muscato (1990):
Aplicando a metodologia proposta, com restrições adicionais , obtém-se:
A aproximação é excelente, como pode ser visto na Fig. 5. A Fig. 6 mostra a comparação do erro entre o método proposto e o da realização balanceada aplicando truncamento direto e também perturbação singular.
4.6 Sistema de sexta ordem
Este caso é descrito por Muscato (2000), com uma função de transferência dada por:
Obtém-se os modelos de 5ª até 2ª ordem:
As Figs. 7 e 8 mostram, respectivamente, as respostas dos modelos reduzidos de 4ª e 5ª ordens, e para 2ª e 3ª ordens. Um fato interessante é que os sistemas reduzidos de 5ª e 3ª ordem obtidos não foram de ordem mínima, onde ambos apresentaram um zero e um pólo sobre a origem. Como consequência, os modelos reduzidos, se simplificados, resultam nos obtidos para 4ª e 2ª ordem, respectivamente.
5 UMA DISCUSSÃO SOBRE A ESTABILIDADE DO MODELO REDUZIDO
Neste ponto, após vários exemplos, faz-se mister discutir a imposição da restrição de o denominador no modelo reduzido ser Hurwitz, de forma a assegurar a estabilidade da solução. A mesma introduz não-convexidade ao problema de otimização, caso a ordem desejada do modelo reduzido seja maior ou igual a 3, com desigualdades no mínimo bilineares. Será feita a seguir uma tentativa de relaxar esta restrição para obter condições suficientes, o que irá se mostar não-trivial até para um caso extremamente simples.
Considere a redução para 1ª ordem de um sistema originalmente de 2ª ordem, ou seja:
O problema de otimização sem restrições consiste em:
A solução pode ser obtida de forma direta:
É possível notar que, até para um caso bastante simples, é difícil estabelecer condições sobre o sistema original de forma a preservar a estabilidade do modelo reduzido. Isto justifica o uso da restrição imposta. Seja por exemplo a função de transferência:
A solução para o problema de minimização sem restrições é:
Que é instável, ainda que a função de transferência original seja estável e de fase mínima. Isto justifica o uso da restrição imposta. A metodologia perde então a elegância da otimização convexa, além de existir a possibilidade de o método de otimização utilizado atingir mínimos locais. Entretanto, a busca do mínimo global pode ainda ser feita através de algoritmos consagrados, como o determinístico branch and bound ou o estocástico simulated anealing.
6 CONCLUSÃO
Uma metodologia para redução de ordem de funções de transferência estáveis de sistemas lineares invariantes no tempo, a parâmetros concentrados, baseada na minimização da norma dos coeficientes do polinômio do numerador do erro em frequência foi apresentada, e a aplicação do mesmo numa pletora de exemplos deixou clara a validade do método. Até mesmo quando a ordem do modelo reduzido é aparentemente proibitiva o método mostrou-se efetivo, culminando em um modelo reduzido estável. A comparação com métodos baseados em realização balanceada e outros também já consolidados, tradicionais em aplicações de redução de ordem, mostrou que o método aproxima adequadamente a função de transferência, sendo aplicável e demostrando bom desempenho, conforme mostrado nos diversos exemplos discutidos neste trabalho.
AGRADECIMENTOS
Os autores gostariam de agradecer ao Centro Federal de Educação Tecnológica da Bahia, pelo incentivo à condução de pesquisas em sinais e sistemas.
Artigo submetido em 24/01/2007
1a. Revisão em 21/05/2007
2a. Revisão em 12/09/2007
3a. Revisão em 13/03/2008
Aceito sob recomendação do Editor Associado Prof. Liu Hsu
- Aguirre, L. A. (1993). Quantitative measure of modal dominance for continuous systems. Proceedings of the 32nd IEEE Conference on Decision and Control, pp 2405-2410. San Antonio, Texas, USA.
- Araújo, J.M., Castro, A. C., Silva, F.G.S. e Santos, E.T.F (2006). Redução de ordem em sistemas lineares compartimentais. Anais do XVI Congresso Brasileiro de Automática, Salvador, Bahia, Brasil.
- El-Attar, R. A. and Vidyasagar, M (1978). Order reduction by l1,- and l∞,-nom minimization. . IEEE Transaction on Automatic Control, Vol. 23, nş 04, pp. 731-734.
- Hsia, T.C. On the simplification of linear systems (1972). IEEE Transaction on Automatic Control, Vol. 17, nş 04, pp372-374.
- Mansour, M. M. and Mehrotra, A. (2003). Model-Order reduction based on PRONY's method. Proceedings of the Design, Automation and Test in Europe Conference and Exhibition
- Moore, B. C. (1981). Principal component analysis in linear systems: controlability, observability and model reduction. IEEE Transaction on Automatic Control, Vol. 26, nş 01, pp. 17-32.
- Muscato, G. (2000) Parametric generalized singular perturbation approximation for model order reduction. IEEE Transactions On Automatic Control, Vol. 45, nş. 02, pp. 339-343.
- Pernebo, L. and Silverman (1982). Model reduction via balanced state-space representations. IEEE Transaction on Automatic Control, Vol. 27, nş 02, pp. 382-387.
- Sou, K. C., Megretski, A. and Daniel, L. (2005). A quasi-convex optimization approach to parameterized model order reduction. In: Proceedings of The IEEE/ACM Design Automation Conference, vol. 01, pp. 933-938.
Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
29 Out 2008 -
Data do Fascículo
Set 2008
Histórico
-
Recebido
24 Jan 2007 -
Aceito
13 Mar 2008