Conocimiento Especializado de Futuros Profesores en una Tarea de FuncionesRESUMEN
Este estudio exploró el nivel de conocimiento especializado de 48 futuros profesores chilenos de Educación Primaria al resolver una tarea que involucró la función f(x) = 2x + 6. El análisis cualitativo reveló que predomina el nivel básico, usando represent aciones pictóricas y verbales. Sin embargo, también se observó nivel intermedio y avanzado, con uso de estrategias de correspondencia y covariación, alcanzando la generalizando de la función. Se concluye que es crucial investigar más a fondo el conocimiento especializado de los futuros profesores para mejorar su formación.
Palabras-clave
Álgebra Temprana; Pensamiento Funcional; Conocimiento Especializado
ABSTRACT
This study explored the level of specialized knowledge of 48 Chilean prospective teachers in solving a task involving the function f(x) = 2x + 6. The qualitative analysis revealed that the basic level predominates, using pictorial and verbal representations. However, intermediate and advanced levels were also observed, with the use of correspondence and covariation strategies, developing functional generalization. It is concluded that it is crucial to further investigate the specialized knowledge of future teachers in order to improve their training.
Keywords
Early Algebra
; Functional Thinking; Specialized Knowledge
Introducción
El álgebra escolar ha despertado un creciente interés tanto en el ámbito de la enseñanza como en la investigación educativa, al ser reconocida como una herramienta clave para el desarrollo del pensamiento matemático (Kaput, 2000; Brizuela, 2024). Este interés se ha visto impulsado por investigaciones que destacan la importancia de integrar contenidos algebraicos desde las primeras etapas escolares, evidenciando que, incluso niños pequeños, pueden desarrollar formas de pensamiento algebraico cuando se les ofrecen experiencias adecuadas (Brizuela, 2024). Sin embargo, su enseñanza ha estado tradicionalmente relegada a los niveles de secundaria, con un enfoque centrado en los procedimientos mecánicos y la manipulación simbólica para resolver tareas algebraicas (Kaput, 2008; Blanton et al., 2015). Este enfoque ha generado serias dificultades para que los estudiantes comprendan los conceptos algebraicos, limitando sus habilidades para aplicarlos en contextos variados (Kieran, 2007). Por ejemplo, algunos estudiantes perciben la resolución de una ecuación de primer grado como un proceso meramente mecánico, donde solo es necesario trasladar términos de un lado al otro del signo igual y realizar las operaciones correspondientes que determinen el valor de la incógnita, sin una comprensión profunda del significado de estas acciones (Shliemann et al., 2008). En la misma línea, diversos investigadores, con el afán de revertir tal situación, han apuntado a la estimulación del álgebra a partir de las primeras edades educativas, destacando los beneficios que esto aporta al aprendizaje matemático (Cañadas; Castro, 2007; Strachota, 2020). La literatura sugiere que, estimular el pensamiento algebraico en los primeros niveles educativos enriquece el conocimiento y facilita el progreso en el aprendizaje de las matemáticas (Mejías; Alsina, 2020). Es así como surge la propuesta curricular conocida como early algebra, que promueve la "algebrización" del currículo (Kaput, 2000), integrando formas de pensamiento algebraico en los niveles educativos previos a la Educación Secundaria (Cañadas; Molina, 2016).
Esta investigación centra su interés en el pensamiento funcional, uno de los enfoques del early algebra considerada como eje central para abordar el pensamiento algebraico en Educación Primaria (Kaput, 2000; Blanton, 2010; Cañadas; Molina, 2016). Este tipo de pensamiento tiene como protagonista al concepto de función, el cual se entiende como una relación entre cantidades covariables. El pensamiento funcional busca fomentar ideas clave del pensamiento algebraico, como las relaciones entre cantidades y la variación conjunta de estas (Rico, 2006; Smith, 2008; Brizuela, 2024). Este enfoque considera que no solo se trata de introducir las funciones tal como se abordan en la Educación Secundaria, sino de presentarlas de manera intuitiva, a través de tareas adaptadas a las primeras etapas educativas, con el fin de que los estudiantes observen relaciones entre las cantidades y logren generalizar tales relaciones (Cañadas; Molina, 2016).
En diversas actualizaciones curriculares, tareas de pensamiento funcional han sido consideradas como elementos clave para la promoción de nociones algebraicas y habilidades matemáticas como: justificar, representar, razonar con estructuras y relaciones matemáticas y generalizar (Rico, 2006; Blanton et al., 2011; Strachota, 2020; Stephens et al., 2021). Las razones anteriores hacen que diversos países como Australia, Canadá, China, Chile, Corea, Estados Unidos, Japón, Portugal y España, hayan incorporado en sus currículos objetivos asociados a este tipo de pensamiento a partir de los primeros niveles educativos (Merino et al., 2013; MINEDUC, 2023). Por ejemplo, el currículo chileno de Educación Primaria sugiere que los estudiantes deben identificar relaciones entre cantidades a través de la exploración de cómo cambia una cantidad en relación a otra (MINEDUC, 2012; Morales; Parra-Fica, 2022). Así también lo manifiestan los Estándares Orientadores para la formación docente en Chile, que destacan el dominio del contenido algebraico para su enseñanza a partir de los primeros niveles educativos (MINEDUC, 2021). A pesar que las orientaciones curriculares chilenas incorporan elementos de pensamiento funcional, en el contexto investigador es limitado el cuerpo de conocimiento en futuros profesores de Educación Primaria, sobre todo en la forma en que comprenden y utilizan tareas de este tipo de pensamiento en su formación (Morales; Parra-Fica, 2022). Este vacío impide que se obtenga evidencias que impacten en los programas de pedagogía en torno al desarrollo del conocimiento matemático especializado que los futuros profesores requieren para enseñar álgebra escolar. Desde este prisma, nuestro estudio cobra sentido, dado que busca aportar evidencia en este ámbito, constituyéndose en un aporte específico al contexto nacional e internacional. El futuro profesor de Educación Primaria debe adquirir conocimiento matemático especializado de una manera práctica y amplia consignando utilidad en que lo aprende como forma de favorecer el aprendizaje algebraico en sus estudiantes (Ball et al., 2008; Blanton; Kaput, 2005; Sánchez; Llinares, 2003). Con base en los argumentos anteriores, nos planteamos como objetivo de investigación: determinar niveles de conocimiento del contenido especializado que evidencian futuros profesores de Educación Primaria cuando resuelven una tarea de pensamiento funcional.
Elementos Teóricos
Pensamiento funcional
El pensamiento funcional se considera un tipo de pensamiento algebraico el cual es propicio para introducir el álgebra a partir de los primeros niveles educativos, y cuyo contenido matemático principal es la función (Blanton; Kaput, 2011; Cañadas; Molina, 2016). Se centra en la relación entre variables, donde el énfasis puede estar en casos particulares o en el caso general (Smith, 2008). Este pensamiento centraliza su mirada en cómo las cantidades varían de manera conjunta y en el énfasis de la correspondencia entre valores de las variables involucradas en la relación funcional, además del uso de diferentes sistemas de representación en un contexto de resolución de problemas (Cañadas; Molina, 2016). Para el pensamiento funcional, la generalización de la relación funcional es un elemento importante, así como su justificación y el uso de representaciones que pueden abarcar tanto el lenguaje natural, como el pictórico, tabular, gráfico, simbólico o algebraico. En este sentido, Ureña et. al (2024) plantea que desarrollar el pensamiento funcional implica, identificar patrones de cambio, relacionar diferentes representaciones entre sí y construir generalizaciones significativas desde el punto de vista matemático. Por ello, en una tarea de pensamiento funcional se espera que el estudiante pueda razonar con fluidez a través de estas representaciones generalizadas con el fin de comprender y predecir el comportamiento de la función (Blanton et al., 2015).
Blanton (2008), define tres tipos de relaciones que se pueden establecer en una tarea de pensamiento funcional, los cuales son: a) recurrencia o patrón recursivo, b) covariación y c) correspondencia. La recurrencia es la relación que se define con base en los valores de un mismo conjunto de valores (Johnsonbaugh, 2005), es decir, solo describe la variación de las cantidades de una sola variable, como por ejemplo ir agregando una unidad. De esta manera, este patrón es el más elemental y no se considera una relación funcional (Morales; Parra-Fica, 2022). Por ejemplo, en un problema donde se relacionan las edades de Álvaro y Carmen, siendo Carmen 5 años mayor que Álvaro (f[x] = x + 5) un estudiante podría hallar la edad de Carmen sumando una unidad a la edad anterior de Carmen, tal como se observa en la Figura 1
Es importante mencionar que la recurrencia obstaculiza la generalización porque es necesario saber un valor anterior de la variable dependiente para dar una respuesta satisfactoria (Morales et al., 2018). Por lo mismo, autores como Smith (2008) no la consideran como una relación funcional, aunque esté dentro de un contexto funcional.
En el sentido anterior, diversos autores (p. ej., Blanton et al., 2011; Morales et al., 2018; Smith, 2008) sugieren que tanto la covariación como la correspondencia son relaciones funcionales claves, para determinar pensamiento funcional en un resolutor, dado que involucran relaciones entre los valores de ambas variables. Desde esta mirada, la covariación, se centra en la variación de forma simultánea y coordinada de las cantidades de ambas variables (Blanton et al., 2011). Por ejemplo, en la Figura 2, se observa que, al aumentar la edad de Álvaro, también aumenta la de Carmen, manteniéndose constante la diferencia entre ambas. En este caso, ambas variables aumentan en uno.
Por último, la correspondencia es una regla que asocia a cada valor de la variable independiente un único valor de la variable dependiente (Clapham, 1998). Identificar la correspondencia implica hallar aquella regla que permite determinar un valor de la variable dependiente dado un valor de la independiente (Blanton et al., 2011). Por ejemplo, si consideramos la misma situación de las edades, evidenciamos la correspondencia al momento de relacionar las cantidades de ambas variables, de tal modo que, para hallar la edad de Carmen debemos sumar 5 a la edad de Álvaro. En la Figura 3 observamos una relación de correspondencia del ejemplo anterior, la edad de Carmen se obtiene sumando 5 a la edad de Álvaro.
Generalización
La generalización se considera como un núcleo del álgebra y como un iniciador del aprendizaje algebraico (Mason, 1996; Strachota, 2016). Es una actividad situada en la que emerge un razonamiento centrado no tan solo en casos particulares, sino que en los patrones y las relaciones que se establecen en esos casos particulares y los procesos de comunicación del mismo (Strachota, 2020). Esto implica que generalizar exige el cumplimiento de la propiedad para todos los elementos de una colección determinada (Villa-Ochoa, 2006).
Desde el contexto de pensamiento funcional, la generalización alude tanto a un fin, como un proceso (Ayala-Altamirano; Molina, 2021). Por ejemplo, se puede llegar a alcanzar la generalización a través de la exploración de casos particulares y descubrimiento de patrones. Esto significa que, para lograr la generalización, se debe vincular el patrón identificado con una regla general que considere no solo a casos aislados si no que a todos los casos (Cañadas; Castro, 2007). Por otro lado, Mason (1996) argumenta que la generalización también puede derivarse de un único ejemplo o caso particular con características específicas, conocido como ejemplo genérico. La generalización puede expresarse a través de diversas representaciones.
Representaciones
Se puede identificar el pensamiento funcional cuando los estudiantes expresan de manera explícita la relación entre cantidades (relaciones funcionales), la cual puede ser a través de diversas representaciones que incluyen el lenguaje natural, símbolos, tablas, gráficas y dibujos (Merino et al., 2013; Morales et al., 2018). Molina (2014) menciona que los tipos de representaciones puede ser clasificado en: verbal, concreto, pictórico, tabular y simbólico, cada una de las cuales permite abordar la comprensión de relaciones funcionales desde diferentes perspectivas, facilitando el paso gradual de lo concreto a lo abstracto. Esto coincide con la propuesta de Duval (2016), quien subraya que la diversidad de representaciones es fundamental para la comprensión matemática, ya que cada sistema aporta una forma distinta de abordar y entender las relaciones entre variables. La combinación de estas representaciones no solo favorece el desarrollo de un pensamiento funcional, sino que también permite a los estudiantes identificar patrones y generalizar relaciones, elementos cruciales en el aprendizaje de conceptos algebraicos (Brizuela; Earnest, 2019).
En este sentido, resulta pertinente detallar las características de cada tipo de representación. La representación verbal corresponde a la expresión natural por medio del lenguaje verbal o escrito de acuerdo a la relación entre variables (Morales et al., 2018). Por su parte, la representación concreta se refiere a la manipulación de objetos que activan las relaciones matemáticas, facilitando la comprensión de conceptos abstractos a través de experiencias prácticas (Clements; Sarama, 2020). La representación pictórica emplea recursos visuales, sin notación simbólica, lo que permite a los estudiantes visualizar patrones y relaciones sin la intervención de códigos formales (Duval, 2016). Además, la representación tabular organiza la información en un formato rectangular, con filas y columnas, para identificar relaciones estructuradas, lo cual es útil para comparar valores y observar la regularidad entre ellos (Stein, 2019). Finalmente, la representación simbólica utiliza expresiones alfanuméricas, es decir, combinaciones de números y letras para expresar relaciones entre cantidades, una representación que facilita la generalización de relaciones funcionales a través de notaciones algebraicas (Rico, 2009). En un sentido amplio, Kaput et al. (2017) señala que las expresiones numéricas y operacionales también constituyen formas de representación simbólica cuando se emplean para expresar relaciones y patrones.
Conocimiento del profesor de matemática
El Conocimiento Matemático para la Enseñanza (MKT) es un modelo teórico que se refiere al conocimiento que todo profesor de matemática debe poseer (Hill et al., 2005). Este incide directamente en el aprendizaje de sus estudiantes (Lins; Kaput, 2004). En el contexto de la enseñanza de las matemáticas, el conocimiento profesional del profesor debe abarcar tanto el dominio del contenido disciplinar como el manejo de estrategias pedagógicas. El conocimiento del contenido disciplinar, referido al entendimiento profundo de conceptos y estructuras propias de la matemática, permite a los docentes comprender y transmitir con precisión los conocimientos matemáticos (Shulman, 1986). Asimismo, el conocimiento de la enseñanza del contenido implica la habilidad de presentar estos conceptos de manera accesible para los estudiantes, adaptando estrategias y enfoques según el contexto del aula (Ball et al., 2008). De este modo, el conocimiento del profesor se estructura en distintos dominios y subdominios que abarcan tanto el contenido matemático como los enfoques pedagógicos necesarios para su enseñanza (ver Figura 4).
Esta investigación se centra en el dominio del conocimiento del contenido en el cual distinguimos tres subdominios: a) conocimiento del contenido común, b) conocimiento del contenido especializado y c) conocimiento del contenido del horizonte (Ball et al., 2008). El primer subdominio, abarca el conocimiento y las habilidades matemáticas que posee cualquier persona y que pueden manifestarse en contextos ajenos a la enseñanza. Este tipo de conocimiento se refleja en la capacidad para calcular respuestas correctas o resolver problemas de manera eficaz, habilidades que se desarrollan a través de la educación formal (Ball et al., 2008). En segundo lugar, el conocimiento del contenido especializado corresponde a las habilidades y al conocimiento matemático que son exclusivos de la enseñanza, es decir, aquellos conocimientos específicos que el profesor utiliza en su práctica diaria. Este conocimiento le permite al docente realizar tareas fundamentales como representar con precisión ideas matemáticas, ofrecer explicaciones claras para reglas y procedimientos comunes, y entender métodos de solución inusuales para diversos problemas matemáticos (Ball et al., 2008; Hill et al., 2005). Finalmente, el conocimiento del contenido del horizonte se refiere a la capacidad del docente para relacionar temas matemáticos con el currículo de manera integral. Este conocimiento le permite establecer conexiones entre los contenidos matemáticos y otros temas del currículo, favoreciendo una comprensión holística de la matemática y su relación con otras áreas del conocimiento (Shulman, 1986).
Específicamente en esta investigación se centra en explorar el conocimiento del contenido especializado en relación al pensamiento funcional, específicamente enfocado en las estrategias y las justificaciones que realizan los futuros profesores de Educación Primaria, así como en las representaciones que emplean al resolver tareas que involucran relaciones funcionales. Abordar este tipo de conocimiento busca aportar una comprensión más profunda sobre cómo los profesores pueden movilizan esos conocimientos en la enseñanza del pensamiento funcional en el aula (Cañadas; Molina, 2016).
Antecedentes
La literatura existente sugiere que los docentes con un alto nivel de conocimiento especializado pueden ayudar a los estudiantes a superar la visión estática de las funciones, promoviendo una comprensión más relacional de los conceptos, lo cual es fundamental para el desarrollo del pensamiento funcional (Oliveira; Mestre, 2014). En el contexto del álgebra escolar autores como Blanton y Kaput (2011) y Ellis (2011) sugieren a los profesores guiar a los estudiantes hacia el uso de representaciones múltiples (tablas, gráficos, y expresiones simbólicas) para una mejor comprensión de una relación funcional. Así mismo, Hauck y Alsina (2021) resaltan la necesidad de profundizar en la formación en álgebra de los futuros profesores de Educación Primaria, dado que existen limitaciones considerables en la habilidad que ellos presentan para interpretar y utilizar representaciones algebraicas.
En este contexto, estudios previos abordan el conocimiento del profesor de matemática en Educación Secundaria centrado en álgebra escolar (p. ej., Flores et al., 2018). Sin embargo, los estudios específicos en Educación Primaria, y en particular sobre futuros profesores, siguen siendo limitados. Los estudios disponibles indican que estos futuros docentes enfrentan diversas dificultades y errores en la resolución de tareas algebraicas. Por ejemplo, Morales y Parra-Fica (2022) reportan que los futuros profesores de Educación Primaria presentan dificultades para utilizar la representación simbólica en la generalización de relaciones funcionales simples, como f(x)=2x+2. De manera similar, Aké (2021) muestra que, en una tarea basada en f(x)=4x+2, solo 18 de 40 futuros profesores lograron resolverla correctamente, apoyándose principalmente en la representación verbal para formular una regla general en lugar de emplear una representación simbólica. Además, 11 futuros profesores lograron una solución parcial al abordar solo casos específicos, y otros 11 aplicaron conceptos algebraicos de forma inadecuada. De la misma forma, Polo-Blanco et al. (2019), revelan que futuros profesores de Educación Primaria en España y Portugal experimentan dificultades para establecer generalizaciones mediante relaciones de correspondencia en contextos geométricos. Los participantes tienden a utilizar estrategias de tipo recursivo y covariacional, lo cual limita su capacidad para formular reglas generales. En una línea similar, Wilkie (2014) encontró que, solo el 30% de 105 profesores australianos mostró un nivel adecuado de pensamiento funcional al extender un patrón geométrico, empleando en su mayoría estrategias recursivas; únicamente el 2% de la muestra utilizó una representación simbólica para generalizar la relación funcional.
Dado estos antecedentes, se sugiere que, enfocar la formación sobre el conocimiento del contenido especializado en el contexto del pensamiento funcional, no solo facilita una comprensión más sólida de las nociones algebraicas y las habilidades para generalizar, sino que también prepara a los docentes para enfrentar las dificultades que los estudiantes suelen tener al interpretar representaciones gráficas y simbólicas que implica el aprendizaje algebraico (McAuliffe; Vermeulen, 2018; Strand; Mills, 2014).
Método
Tipo de investigación
Nuestra investigación es de tipo exploratorio y descriptivo. Los estudios exploratorios indagan en temas pocos estudiados y sobre los cuales existen inquietudes para abrir nuevas perspectivas del fenómeno a estudiar (Hernández et al. 2014). Esta investigación pretende indagar en el conocimiento del contenido especializado de futuros profesores de Educación Primaria en el contexto funcional del álgebra escolar, dado que, investigaciones previas sugieren su abordaje debido a la escasez de información referida a este tema existente en la comunidad científica. Este estudio busca abrir nuevas perspectivas que contribuyan a la obtención de orientaciones para la formación de futuros profesores e investigaciones futuras, mediante la exploración y la descripción del pensamiento funcional de los mismos.
Participantes
Los sujetos de estudio corresponden a 48 futuros profesores que cursan el primer año de la carrera de Pedagogía General Básica con Mención en una universidad chilena. La selección de los sujetos fue de carácter intencional, de acuerdo con los objetivos de la investigación, la disponibilidad del centro universitario, y la motivación que estos estudiantes tenían para participar en el estudio. Se destaca que los sujetos de investigación solo han recibido instrucción en álgebra durante su Educación Primaria y Secundaria, no así en sus estudios de pedagogía.
Instrumento de recogida de información
El instrumento de recogida de información fue una prueba escrita que respondió individualmente cada futuro profesor. La prueba contenía un problema adaptado de Pinto y Cañadas (2017) que involucra una relación funcional del tipo (f[x] = 2x + 6). En este problema se relaciona la cantidad de baldosas blancas (variable independiente) y la cantidad de baldosas grises (variable dependiente) de un pasillo de un colegio. Para que los futuros profesores evidenciaran la relación funcional implicada en la tarea, se plantearon distintas preguntas siguiendo el modelo de razonamiento inductivo de Cañadas y Castro (2007). Esto es que, a partir de casos cercanos y a continuación a casos lejanos, se buscaba la generalización de la relación funcional implicada en el problema. Las preguntas de la tarea fueron revisadas por expertos en didáctica de la matemática con experiencia en el enfoque MKT, lo que permitió asegurar su coherencia y pertinencia. Antes de la aplicación del instrumento, a cada futuro profesor, se le solicitó el consentimiento informado quienes firmaron un documento que explicitaba los aspectos éticos de la investigación y garantizaba la privacidad y confidencialidad de los datos recogidos. La aplicación se llevó a cabo en una de las dependencia de la universidad citada y tuvo una duración de 90 minutos. La Figura 5, muestra el problema que se presentó a los futuros profesores.
Como una manera de conocer el tipo de razonamiento que los futuros profesores ponen en funcionamiento al momento de resolver la situación problema planteada, se realizan preguntas que permitan guiar el trabajo de acuerdo con el modelo de razonamiento inductivo. En la Tabla mostramos el tipo de pregunta junto a su ejemplo utilizado en el instrumento de recogida de datos.
Análisis de datos
Para el análisis de los datos empleamos la técnica del análisis de contenido (Fernández, 2002). Las unidades de análisis que consideramos en esta investigación provienen de dos fuentes de información que tienen que ver con las producciones a cada una de las preguntas de la tarea, estas son: a) producciones verbales (escritas) y b) producciones pictóricas. Las respuestas fueron analizadas de acuerdo las categorías que se describen en la Tabla 2. Las categorías fueron construidas considerando: a) el marco conceptual, b) un previo análisis de la misma tarea y, c) mediante un análisis a priori de los datos. Específicamente, estas categorías fueron construidas con base en: a) el enfoque del Conocimiento del Contenido Especializado del MKT (Ball et al., 2008), b) investigaciones previas (Wilkie, 2014). Además, se adaptaron y contextualizaron al pensamiento funcional, atendiendo a las estrategias centrada en las relaciones funcionales y sus distintas formas de representación. Así mismo, se realizó un análisis entre pares, dentro del equipo de investigación, como una estrategia para contrastar las interpretaciones y favorecer la saturación de la información.
Para el proceso de análisis, a cada uno de los futuros profesores se le asignó un código para identificarlo. Por ejemplo, un determinado futuro profesor, se asignó como P(N°). A continuación, codificamos las respuestas de cada uno de ellos con relación a cada una de las preguntas de la tarea. Para este proceso, utilizamos las categorías de nivel de conocimiento del contenido especializado: básico (B), intermedio (I), avanzado (A), sin respuesta (SR) y respuesta sin sentido al problema (RSSP). Finalmente, se determinó la movilidad de nivel de conocimiento del contenido matemático de cada uno de los futuros profesores cuando resolvieron la tarea propuesta.
Resultados
A continuación, se presentan resultados en relación a los niveles de conocimiento del contenido especializado que manifestaron los futuros profesores de Educación Primaria en cada una de las preguntas de la tarea de pensamiento funcional. A su vez, presentamos ejemplos representativos de cada uno de estos niveles.
Conocimiento del contenido especializado en pregunta A
En la Tabla 3 se muestran resultados generales de la pregunta A.
En esta pregunta, correspondiente a un caso particular cercano consecutivo, el nivel de conocimiento especializado más evidenciado fue el básico (B), dado que 26 de los 48 futuros profesores lo aplicaron. La representación más usada por estos futuros profesores fue la pictórica. Los futuros profesores que utilizaron esta estrategia, en ocasiones, también la complementaron con una representación verbal e incluso numérica. Tal respuesta la observamos en la producción de P7 (ver Figura 6) donde dibujó el diseño de las baldosas considerando las 6 baldosas blancas y las 18 baldosas grises que las rodeaban a las que le fue agregando representaciones numéricas llegando así a la respuesta de la pregunta (18 baldosas).
Por su parte, en esta pregunta el nivel de conocimiento intermedio (I) fue el segundo más evidenciado, identificado en 20 de las respuestas analizadas. Estos emplearon diversas estrategias en este nivel, destacando particularmente las asociadas con la relación funcional, utilizada por 14 futuros profesores, donde la covariación fue la más predominante. Un ejemplo de covariación lo observamos en la respuesta de P12 (ver Figura 7) donde se evidencia la variación entre los valores de las variables de la tarea del tal modo que, cuando agregó 1 baldosa blanca, aumentó en 2 las baldosas grises.
Por su parte, la estrategia de correspondencia fue utilizada solo por 4 de los 48 futuros profesores. Ellos determinaron que para encontrar la cantidad de cerámicas grises debían multiplicar las 6 baldosas blancas por 2, y luego al producto agregar los 3 de cada lado, es decir, sumar 6 baldosas grises en total, resultando finalmente 18. La Figura 8 muestra la respuesta de P7, el cual aparte de utilizar la estrategia de correspondencia, utilizó apoyo de dos representaciones para contestar, estas son la representación verbal y pictórica, respectivamente.
Además, cabe mencionar que solo 2 futuros profesores emplearon la estrategia de patrón recursivo, indicando que para encontrar la cantidad de baldosas grises es necesario sumar dos baldosas al caso consecutivo anterior. Tal situación se puede observar en la respuesta de P3 (ver Figura 9), quien explicó mediante una representación pictórica y verbal, que se debe agregar dos baldosas grises alrededor.
Por último, es importante destacar que no se registraron futuros profesores en el nivel avanzado, ya que, no se identificaron respuestas que incluyeran una generalización o el uso de una representación algebraica.
Conocimiento del contenido especializado en pregunta B
En la Tabla 4 se muestran resultados generales sobre el conocimiento especializado del contenido a la pregunta B que abordó un caso particular cercano no consecutivo.
Como se observa en la Tabla 4, 25 de los 48 futuros profesores se agrupan en el nivel básico. Esto se debe a que emplearon únicamente representaciones pictóricas y/o verbales, como lo evidencia la respuesta de P23 (ver Figura 10), quien justificó cuando son ocho blancas las grises que las rodean deben ser 22.
Con respecto al nivel intermedio de conocimiento, fueron 20 futuros profesores que lo manifestaron, de los cuales 12 emplearon una relación de covariación, 7 utilizaron una relación de correspondencia y 1 aplicó un patrón recursivo.
Por otro lado, el nivel de conocimiento avanzado fue evidenciado por 2 futuros profesores, quienes generalizaron la relación funcional de correspondencia, haciendo uso de la representación verbal y simbólica. Un ejemplo de representación verbal de generalización se observa en la respuesta de P11 (ver Figura 11), quien describió la regla general a partir de un caso particular (8 baldosas blancas) y lo hizo duplicando la cantidad de baldosas blancas más otras 6.
Finalmente, en esta pregunta, solo un futuro profesor (P43) evidenció una respuesta sin sentido (ver Figura 12), dado que señaló que las baldosas de la parte superior e inferior de la representación pictórica, deben tener 10 grises cada una. Dada esta respuesta, no se observa que este futuro profesor logre establecer una relación entre las baldosas grises y las blancas.
Conocimiento del contenido especializado en pregunta C
En la Tabla 5 se presentan los resultados generales sobre el conocimiento especializado del contenido a la pregunta C, que abordó un caso particular lejano no consecutivo.
En la Tabla 5 se observa que, el nivel de conocimiento con mayor frecuencia es el nivel básico, con 24 futuros profesores, que no logran evidenciar una relación funcional. Un ejemplo característico de este nivel de conocimiento fue la respuesta de P23 (ver Figura 13), quien utilizó una representación pictórica al dibujar las 25 baldosas blancas y rodearlas con 56 grises (pintadas en amarillo) siguiendo la configuración pictórica dada al inicio de la tarea las que finalmente cuenta marcando con un punto cada una de ellas para determinar la cantidad total de baldosas grises.
A continuación, le sucede las 22 respuestas de futuros profesores que están en el nivel intermedio. Estas respuestas se caracterizaron principalmente porque se evidenció una relación funcional. En particular, se observó un uso predominante de la estrategia de correspondencia, la cual fue empleada por 12 futuros profesores. Un ejemplo de esto fue la respuesta de P14 (ver Figura 14), que utilizó la representación simbólica para duplicar las 25 baldosas blancas y luego agrega otras 6 (3+3).
Otra estrategia utilizada por los futuros profesores en el nivel de conocimiento intermedio, aunque en menor medida, fue la de covariación, presente en 8 respuestas. Tal estrategia se muestra en la respuesta de P21 (ver Figura 15) quien, de manera pictórica, simbólica y tabular manifestó que cada vez que las baldosas blancas aumentan en una, las baldosas grises aumentan en dos. +
La estrategia menos utilizada por los futuros profesores (2), en el nivel de conocimiento intermedio, fue el uso del patrón recursivo. Esta estrategia se ejemplifica en la respuesta de P20 (ver Figura 16), quien explicó que hay que agregar 2 más que la cantidad de baldosas anterior.
En cuanto al nivel avanzado este fue el menos evidenciado en esta pregunta, dado que 2 futuros profesores lo manifestaron. En las respuestas de estos futuros profesores se destaca el uso de la representación simbólica tal como se observa en la respuesta de P11 (ver Figura 17), que usó la letra (X) representar la cantidad de baldosas blancas dentro de una expresión algebraica que permite determinar la cantidad de baldosas grises.
Conocimiento del contenido especializado en pregunta D
En la Tabla 6 se muestran los resultados generales relacionados con el conocimiento especializado del contenido, en la pregunta D, la cual abordó un caso particular lejano no consecutivo.
En la Tabla 6, se observa que en esta pregunta el nivel de conocimiento con mayor frecuencia fue el nivel intermedio, con un total de 23 respuestas. Este nivel agrupa las respuestas que evidencian una relación funcional. En este nivel la estrategia preponderante fue la correspondencia con 17 que la manifestaron, otros 5 utilizaron la covariación y solo uno uso el patrón recursivo. Las estrategias usadas por los futuros profesores en esta pregunta son similares a las descritas en la pregunta anterior.
El nivel básico de conocimiento en esta pregunta fue alcanzado por 22 futuros profesores que se valieron de las representaciones pictóricas y/o verbales, sin evidenciar una relación entre las cantidades involucradas en la tarea. Entre las respuestas se observan aquellas directas dado que solamente se limitan a expresar una respuesta correcta, pero sin justificación, tal como se observa en la respuesta de P2 (ver Figura 18), quien indicó que son 106 baldosa grises cuando hay 50 blancas.
El nivel avanzado de conocimiento en esta pregunta fue alcanzado por 2 futuros profesores. Sus respuestas evidencian una generalización y la capacidad para usar una representación simbólica que permite ilustrar la relación entre las cantidades de baldosas blancas y grises. Tal representación atiende a la siguiente expresión X * 2 + 6 donde X representa a la cantidad de baldosas blancas y el 6 a las baldosas de los extremos de la configuración pictórica de la tarea.
Conocimiento del contenido especializado en pregunta E
En la Tabla 7 se muestran los resultados generales relacionados con el conocimiento especializado del contenido en la pregunta E, la cual abordó la identificación de variables (dependiente e independiente) presente en la tarea y la relación entre ellas.
En esta pregunta se destaca que la mayoría de los futuros profesores (16) no la respondieron. La segunda categoría más frecuente fue el nivel básico manifestada por 14 futuros profesores. Si bien estos identificaron la variables dependiente e independiente, no explicaron cuál fue la relación de dependencia entre ellas. Un ejemplo de lo anterior fue la respuesta de P13 (ver Figura 19) quien no fundamentó la forma en que se relacionan las baldosas blancas y las baldosas cuando ambas aumentan.
A continuación, le sucede la categoría de respuesta sin sentido, identificada en 12 de las respuestas analizadas. En ellas, los futuros profesores entregaron argumentos ambiguos que no permiten reconocer claramente las variables involucradas ni la forma en que se relacionan entre sí. Un ejemplo de este tipo de respuesta es la de P2 (ver Figura 20), quien, aunque reconoce la existencia de una relación de dependencia, no detalla cuáles son las variables independiente y dependiente, ni explica la forma en que ambas se relacionan.
En cuarto lugar, se encuentra el nivel intermedio con tres futuros profesores que la manifestaron. Estos en sus respuestas no logran manifestar cual es la variable dependiente e independiente, aunque aluden explícitamente una relación de las variables involucradas en la tarea. Un ejemplo característico es la respuesta de P26 (ver Figura 21), dado que explicó que hay una relación de dependencia entre variables, pero no explicitó cual es la independiente y dependiente y la forma en que se relacionan. Más bien, hizo mención a la configuración pictórica de la tarea, es decir, mencionó que debe haber la cantidad de baldosas grises arriba y abajo tantas como baldosas blancas hay en el centro y otras tres grises en cada costado.
Por último, también otros tres futuros profesores manifestaron respuestas de nivel avanzado. Estas evidencian la identificación de variables involucradas en la tarea y la forma en que se relacionan. Un ejemplo característico es la producción de P38 (ver Figura 22), quien explicó la dependencia entre variables, mencionando que las baldosas grises son dependientes de las blancas. Por su parte, en su explicación se observa la forma en que se relacionan ambas variables, de modo que, si las blancas aumentan en una, las grises aumentan en dos, evidenciando así una relación de covariación.
Conocimiento del contenido especializado en pregunta F
En la Tabla 8 se muestran los resultados generales relacionados con el conocimiento especializado del contenido en la pregunta F, que busca una regla general para calcular la cantidad de baldosas grises dada una cantidad desconocida de baldosas blancas.
En la Tabla 8 se observa que la categoría con mayor frecuencia corresponde a las respuestas sin sentido a la pregunta planteada, dado que 15 futuros profesores la manifestaron. Un ejemplo representativo de esta categoría fue la respuesta de P47 (ver Figura 23), quien explicó que la cantidad de baldosas blancas se obtiene dividiendo la cantidad de baldosas grises, pero no menciona la cantidad con la cual se debe dividir. Por tanto, esta respuesta carece de significado para el abordaje de la pregunta planteada.
En segundo lugar, 12 futuros profesores no respondieron la pregunta. Por otro lado, 10 futuros profesores presentan respuestas en el nivel avanzado, las que evidencian la generalización de la relación funcional implicada en el problema. Un ejemplo de este nivel es la respuesta de P36 (ver Figura 24), quien expresa a través de una representación simbólica (algebraica) la relación funcional y explica lo que significa cada término de dicha expresión.
Las respuestas de cinco futuros profesores se categorizan en el nivel intermedio. Ellos evidenciaron relaciones funcionales utilizando estrategias específicas basada en casos particulares. Por ejemplo, de estos cinco, tres de ellos emplearon la estrategia de covariación, como lo demuestra la respuesta de P20 (ver Figura 25), quien explicó usando una representación simbólica x+1 (siendo las baldosas blancas) y x +2 (siendo las baldosas grises), notando que cuando la cantidad de baldosas blancas aumenta en uno, la cantidad de baldosas grises aumenta en dos. No obstante, se observa un error conceptual, ya que ambas variables son representadas con el mismo simbolismo algebraico (X). Posteriormente, este futuro profesor fundamentó con un caso particular, es decir, cuando hay 10 baldosas blancas son 26 baldosas grises y cuando hay 11 baldosas blancas corresponden 28 baldosas grises.
Por su parte, en el mismo nivel intermedio dos futuros profesores hicieron uso de un patrón recursivo, como se observa en la respuesta de P6 quien explicó de la siguiente manera “si se desconoce la cantidad de blancas podemos hallar la relación […] lleva un patrón de dos en dos”, por tanto, este futuro profesores calcula la cantidad de baldosas grises a través del patrón de sumar dos a la cantidad anterior.
Finalmente, las respuestas de cinco futuros profesores se categorizan en el nivel básico, caracterizándose por el uso de representaciones pictóricas y/o verbales, sin evidenciar una generalización de una relación funcional. Un ejemplo representativo de esta categoría se presenta la respuesta de P18 (ver Figura 26), en la que se evidencia el uso de una representación verbal para describir el procedimiento de cálculo y así encontrar la cantidad de baldosas grises, a partir de la representación pictórica de la tarea.
Conocimiento del contenido especializado en pregunta G
En la Tabla 9 se muestran los resultados generales relacionados con el conocimiento especializado del contenido en la pregunta G, que busca representaciones diversas para la generalización de la relación funcional de la tarea.
La Tabla 9 muestra que la categoría con mayor frecuencia corresponde a las respuestas sin sentido frente al problema planteado, registrándose en 16 de las respuestas analizadas. Un ejemplo representativo de esta categoría fue la respuesta de P30 (ver Figura 25), quien desarrolló representaciones relacionadas con el concepto de razón tal como se aprecia en la imagen izquierda y central de la Figura 27, mientras que en la imagen derecha de la misma Figura hace uso de la multiplicación (2 * 3 = 6). Por tanto, las representaciones usadas por P30 no consideran la relación funcional exigida en la tarea.
En esta misma pregunta, 12 futuros profesores no respondieron. Le sucede a los anteriores, 11 futuros profesores, cuyas respuestas fueron categorizadas en nivel avanzando, dado que usaron representaciones diversas para generalizar la relación funcional implicada en la tarea. Un ejemplo de lo anterior es la respuesta de P36, quien representó la relación funcional mediante una expresión simbólica (algebraica), (ver imagen izquierda, Figura 28), la cual se compone por la letra “X” que representa las baldosas blancas (tal como se muestra también en la Figura 22) multiplicada por dos más 3 * 2 (baldosas de los extremos de la representación pictórica). Por su parte, P36 representó verbalmente la representación pictórica de la relación funcional (ver imagen derecha, Figura 28).
Dentro del nivel intermedio, tres futuros profesores proporcionaron respuestas que evidencian una relación funcional utilizando dos representaciones. Un ejemplo, de respuesta de este nivel es la manifestada por P24 (ver Figura 27) quien hizo uso de la representación verbal (imagen izquierda, Figura 29) y de una representación pictórica que configura la distribución de las dos baldosas blancas con las diez baldosas grises (imagen derecha, Figura 29).
Finalmente, hubo una cantidad menor de futuros profesores (4) que evidenciaron un nivel básico de conocimiento especializado. Dado que sus respuestas se limitaron al uso de representaciones verbales o pictóricas para mostrar un caso particular. Un ejemplo de este nivel es la respuesta de P15 (ver Figura 30), quien realizó una representación pictórica para ilustrar la cantidad de baldosas blancas y grises, y su posterior conteo para determinar la cantidad total de baldosas grises.
Discusión y Conclusiones
En este estudio se analizó el conocimiento especializado de futuros profesores de Educación Primaria al resolver una tarea de pensamiento funcional, a través de las estrategias y representaciones utilizadas en las siete preguntas de la tarea propuesta. Se observó que las representaciones pictóricas predominaron en las preguntas iniciales (A y B), asociadas a casos particulares, mientras que en las preguntas posteriores una parte importante de los futuros profesores empleó representaciones simbólicas relacionadas con respuestas de tipo funcional de correspondencia. Este resultado refuerza la importancia del razonamiento inductivo planteado por Cañadas y Castro (2007), el cual fomenta la transición de casos particulares a generalizaciones.
Con respecto a las representaciones utilizadas, los resultados evidencian un uso reducido de las simbólicas para expresar la generalización de la relación funcional implicada en la tarea. Este resultado está en línea con Aké (2021) y Morales y Parra-Fica (2022), quienes identificaron dificultades similares para expresar la generalización a través de representaciones simbólicas. Por otro lado, la capacidad de algunos futuros profesores participantes, para utilizar representaciones diversas, sugiere la necesidad de seguir profundizando en el desarrollo de este tipo de tarea tal como mencionan Polo-Blanco et al. (2019) y Wilkie (2014), quienes subrayan la necesidad de fortalecer el pensamiento funcional mediante estrategias formativas enfocadas en la diversidad de representaciones.
En cuanto a los distintos niveles de conocimientos manifestados por los futuros profesores, se puede concluir que predomina el de nivel básico, caracterizado por el uso de representaciones pictóricas para casos particulares o respuestas directas sin hacer mención de las estrategias utilizadas. Sin embargo, hubo una cantidad reducida de futuros profesores que alcanzaron niveles intermedios y avanzados, quienes evidenciaron el uso de estrategias basadas en relaciones de correspondencia y covariación, demostrando una comprensión más profunda de la relación funcional implicada en la tarea. El resultado anterior podría estar condicionado por la concepción tradicional de la enseñanza del álgebra en la que fueron formados estos futuros profesores. Esto implica que el conocimiento de estos futuros profesores podría estar sustentado por aquel enfoque mecánico centrado en procedimientos algorítmicos y la manipulación del simbolismo algebraico, en lugar de una compresión de estructuras y relaciones matemáticas existentes en las tareas algebraicas, así como en el uso adecuado de representaciones cada vez más sofisticadas (Blanton; Kaput, 2011; Cañadas; Molina, 2016; Morales; Parra-Fica, 2022). Las ideas anteriores están en línea con los hallazgos encontrados en la literatura (p. ej., Ellis, 2011; Blanton; Kaput, 2011; Morales y Parra-Fica 2022) que sugieren diseñar intervenciones formativas que permitan a los futuros profesores transitar hacia niveles más sofisticados de razonamiento matemático, promoviendo el uso de generalizaciones y diversas representaciones para expresarla. Por su parte, aquellos futuros profesores que alcanzaron un nivel avanzado de conocimiento se caracterizaron por combinar distintas estrategias y representaciones para abordar la tarea. Este aspecto resulta relevante, ya que sugiere que el diseño de este tipo de actividades puede favorecer el desarrollo de un conocimiento especializado del contenido más profundo en los futuros profesores, al promover el uso articulado de diversos enfoques para resolver problemas funcionales.
A medida que los futuros profesores avanzaron en el desarrollo de la tarea, se observó que lograron movilizar distintos niveles de conocimiento especializado del contenido. Por ejemplo, algunos iniciaron la tarea manifestando un nivel de conocimiento básico y finalizaron evidenciando un nivel de conocimiento intermedio y avanzado. Este resultado supone que la tarea implicada en este estudio puede favorecer la movilización de conocimiento especializado sobre las relaciones funcionales en el futuro profesorado. Esto podría ser un aliciente para incorporar tareas de este tipo en los programas de formación inicial docente, lo que es apoyado por Oliveira y Mestre (2014) y Hauck y Alsina (2021), quienes argumentan que un conocimiento especializado sólido es esencial para superar una visión estática de las funciones y los conceptos algebraicos.
Este estudio abre varias líneas de acción tanto para la formación inicial de profesores como para la investigación educativa en el álgebra escolar. En el área de la formación docente, se sugiere integrar sistemáticamente tareas de pensamiento funcional en los programas de formación inicial, no solo como recursos de evaluación, sino como instrumentos didácticos que permitan a los futuros profesores desarrollar una comprensión profunda y flexible de la función como contenido matemático. Estas tareas deben diseñarse de manera que favorezcan el tránsito de representaciones concretas hacia formas más abstractas, promoviendo así un uso articulado de representaciones que implica una el conceto de función. También se propone que la formación docente incorpore instancias explícitas para el análisis y la discusión de errores conceptuales, como los identificados en este estudio (uso del simbolismo algebraico), y que se diseñen espacios de trabajo colaborativo donde los futuros profesores puedan justificar, contrastar y refinar sus estrategias de resolución. Esto no solo contribuye al desarrollo del conocimiento especializado del contenido, sino que también fortalece competencias metacognitivas y pedagógicas fundamentales para la enseñanza del álgebra.
No obstante, este estudio presenta algunas limitaciones. Una de ellas es el tamaño reducido de la muestra, lo que dificulta la generalización de los resultados a una población más amplia. Asimismo, el análisis se centró en una única tarea de pensamiento funcional, lo que limita la variedad de contextos y estrategias que podrían haberse explorado.
En este sentido, se plantea como proyección la realización de estudios cuantitativos o mixtos con muestras más amplias y diversifiquen los instrumentos utilizados. También sería pertinente desarrollar investigaciones que consideren una mayor variedad de tareas en un contexto funcional del álgebra escolar con el fin de confirmar, profundizar y enriquecer los hallazgos obtenidos.
Disponibilidad de los datos de investigación
El conjunto de datos que respalda los resultados de este estudio se publica en el propio artículo.
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Editora a cargo:
Elizabeth Macedo
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