Accessibility / Report Error

Uma Demonstração de como o Método da Função Zeta para o Potencial Efetivo Elimina as Divergências

Demonstration of how the zeta function method for effective potential removes the divergences

Resumos

O cálculo do potencial efetivo usando o método da função zeta é extremamente vantajoso, porque a função zeta é regular em s = 0, e nós obtemos imediatamente um resultado finito para o potencial efetivo sem a necessidade de subtração de qualquer pólo ou a adição de contratermos infinitos. O propósito deste artigo é mostrar explicitamente como ocorre o cancelamento das divergências e que o método da função zeta implicitamente usa o mesmo procedimento usado por Bollini-Giambiagi e Salam-Strathdee para obter a parte finita de funções com um pólo simples.


The calculation of the minimum of the e ective potential using the zeta function method is extremely advantagous, because the zeta function is regular at s = 0 and we gain immediately a finite result for the effective potential without the necessity of subtratction of any pole or the addition of infinite counter-terms. The purpose of this paper is to explicitly point out how the cancellation of the divergences occurs and that the zeta function method implicitly uses the same procedure used by Bollini-Giambiagi and Salam-Strathdee in order to gain -nite part of functions with a simple pole.


Uma Demonstração de como o Método da Função Zeta para oPotencial Efetivo Elimina as Divergências

(Demonstration ofhow the zeta function method for effective potential removes thedivergences)

José Alexandre Nogueira

Departamento de Física, Centro de Ciências Exatas,

Universidade Federal do Espirito Santo,

29.060-900 - Vitória-ES - Brasil,

E-mail: nogueira@cce.ufes.br

Adolfo Maia Jr.

Instituto de Matemática, Universidade Estadual de Campinas,

13.081-970 - Campinas-SP - Brasil

E-mail: maia@ime.unicamp.br

Recebido em 27 de janeiro, 2002. Aceito em 22 de maio, 2002.

O cálculo do potencial efetivo usando o método da função zeta é extremamente vantajoso, porque a função zeta é regular em s = 0, e nós obtemos imediatamente um resultado finito para o potencial efetivo sem a necessidade de subtração de qualquer pólo ou a adição de contratermos infinitos. O propósito deste artigo é mostrar explicitamente como ocorre o cancelamento das divergências e que o método da função zeta implicitamente usa o mesmo procedimento usado por Bollini-Giambiagi e Salam-Strathdee para obter a parte finita de funções com um pólo simples.

The calculation of the minimum of the e ective potential using the zeta function method is extremely advantagous, because the zeta function is regular at s = 0 and we gain immediately a finite result for the effective potential without the necessity of subtratction of any pole or the addition of infinite counter-terms. The purpose of this paper is to explicitly point out how the cancellation of the divergences occurs and that the zeta function method implicitly uses the same procedure used by Bollini-Giambiagi and Salam-Strathdee in order to gain -nite part of functions with a simple pole.

I Introdução

Os físicos de altas energias foram os primeiros a perceberem a necessidade de uma teoria quântica de campos relativística emais tarde físicos de outras especialidades encontraram nela umapoderosa ferramenta. Indubitavelmente a teoria quântica de camposobteve seu primeiro sucesso na eletrodinâmica quântica (QED) e seu maior sucesso no modelo padrão.

A teoria quântica de campos é fundamentalmente de aspecto perturbativo.Portanto, as quantidades com maior interesse físico, as funçõesde Green, são construídas por meio de séries perturbativas.Contudo, a teoria quântica de campos tem enormes problemas de divergências em todos seus aspectos perturbativos. O tratamento dessesinfinitos ainda é um dos maiores desafios em teoria quântica de campos. A natureza matemática do problema é clara. Divergências ocorremnos cálculos perturbativos porque duas distribuições não podemser multiplicadas no mesmo ponto. Vários métodos têm sidos porpostos para eliminar esse problema. Entretanto, somente tem sido possíveleliminar esses infinitos consistentemente e de uma maneira fisicamenteaceitável absorvendo-os nos parâmetros nus da teoria (aqueles não físicos).

Uma quantidade de considerável importância física é a densidade de energia do vácuo que está associada com interessantes efeitos físicos, tais como ''Lamb Shift" e o Efeito Casimir, os quais ocorremdevido às flutuações do vácuo. Porém, existem diversas variações sobre a determinação da energia do vácuo em uso.Entre elas, o mínimo do potencial efetivo obtido da abordagem demétodos funcionais da teoria quântica de campos é extensivamente usada.A principal aplicação do potencial efetivo está associada coma quebra espontânea de simetria. O potencial efetivo é obtido de ummétodo não perturbativo como uma série em ''loop" (). No limite clássico, que é a chamada aproximação em árvore, o potencial efetivo torna-se igual ao potencial clássico, portanto ele é opotencial clássico mais correções quânticas. O potencial efetivotambém sofre os mesmos problemas de divergências já citados.

O procedimento usual para tratar estas divergências tem sido empregarum método de regularização (dimensional, "cut-off", etc) a fim deisolar as divergências e tornar a teoria finita fazendo-se o uso de umregulador e, depois, usando-se uma prescrição de renormalização,subtração dos pólos ou adição de contratermos, de forma a ajustar os parâmetros da teoria àqueles físicos (observados), eliminar as divergências isoladas e restabelecer a teoria originalcom a eliminação do regulador. Uma vez que a subtração dospólos ou a adição de contratermos infinitos, embora bem fundamentadaem espaços planos (''flat"), é dúbia em espaços curvos.O cálculo do mínimo do potencial efetivo usando-se o método da função zeta é vantajoso, pois a função zeta é regularem s = 0 e nós obtemos um resultado finito para o potencial efetivosem a aparente necessidade de subtração de qualquer pólo ou aadição de contratermos infinitos. Contudo, é óbvio que implicitamente no método da função zeta deve existir o cancelamento das divergências.

O trabalho está organizado da seguinte forma: na seção 2 nósexplicitamente mostramos o cancelamento das divergências no método da função zeta; na seção 3 nós mostramos que o método da função zeta é equivalente ao bem conhecido procedimento para obter a parte finita de funções com um pólo simples (neste caso, aquele relacionado á energia de ponto zero) usado por Bollini-Giambigi e Salam-Strathee, isto porque o método da função zeta é um procedimento de regularização analítica; na seção 4 nós fazemos nossas conclusões.

II O cancelamento das divergências

Na abordagem de métodos funcionais da teoria quântica de campos, a densidade de energia do vácuo pode ser determinada pelo cálculo do mínimo do potencial efetivo [1-7]. A densidade de energia desta forma determinada é uma expansão em loop (ou equivalentemente em potências de ), isto é, sua parte clássica mais correções quânticas.

Seja f(x) um campo real escalar em um espaço-tempo de Minkowski,sujeito ao potencial V(f). O mínimo do potencial efetivo paraprimeira ordem na expansão em ''loop" é dado por

onde = < f > é o valor esperado do vácuo, S[f] é a ação clássica, W = VT é o volume do espaço-tempo, e nopotencial clássico Vcl(f) estão incluídos termos de massae auto-interação.

Fazendo-se a usual continuação analítica para o espaço-tempo euclidiano [2,4], a ação clássica pode ser escrita como

onde uma convenção de somatório euclidiana para índices repetidos está implícita. Da eq.(2) nós obtemos a matriz m(x,y) da segunda variação da ação S[f]

O campo clássico fcl(x) = < f(x) > J é o valor esperado do vácuo na presença de uma fonte externa J(x). Quando J(x) ® 0, fcl(x) torna-se uma constante, fc.

Agora, m é um operador real, elíptico e auto-adjunto (por causa da continuação analítica), e para estes tipos de operadores nós podemos definir a assim chamada função zeta generalizada. Seja {i} os autovalores do operador m(x,y). A função zeta generalizada associada ao operadorM(x,y) (m ® M = ) édefinida por

onde nós introduzimos um parâmetro de escala desconhecido m, com dimensões de inverso do comprimento ([L]–1) oumassa ([M]) para manter a função zeta adimensional paratodo s. A introdução do parâmetro de escala m, podeser mais bem compreendido quando nós observamos que existeescondida uma divisão da integral divergente no procedimento deregularização da função zeta, isto é, umaseparação das partes divergente e finita doVef(fc) (em [4], pág. 208 e em [5], pág. 88). É bem conhecida a relação [2]

Agora, o potencial efetivo para a primeira ordem na expansão em "loop"pode ser escrito como

O cálculo do potencial efetivo, usando-se a eq.(6), conduz a um resultadofinito sem a necessidade de subtração de qualquer pólo ou aadição de contratermos infinitos. Isso é devido ao fato de que afunção zeta generalizada como definida na eq.(4) é regular em s = 0 [2, 8]. Evidentemente, a necessidade de ajustar os parâmetrosda teoria aos resultados observados nos leva a impor condiçõesde renormalização, tais como

onde mR é a massa renormalizada, R é a constantede acoplamento renormalizada e < f > é o ponto de mínimo do potencial efetivo (ponto de subtração ou renormalização) [6, 9].

No caso de teorias de massa nula, o ponto de subtração para a condição de renormalização (8) não pode ser tomado em < f > = 0 devido à singularidade logarítmica. Porém, nos casosde teorias de massa nula não existe uma escala intrínseca de massa,portanto todos os pontos de renormalização são equivalentes e acondição (8) é trocada por

onde M é um ponto de renormalização flutuantearbitrário [4].

Alternativamente, nós podemos usar a relação

e obtermos [4]

onde kE é o quadrimomento e o subíndice E denotaespaço-tempo euclidiano. Como pode ser visto, a integral da eq.(11) é claramente divergente e, portanto, nós necessitamosum procedimento de regularização para isolar asdivergências. Disto nós concluímos que a determinação do potencialefetivo, usando-se a função zeta , eq.(6), deve esconder ocancelamento das divergências de algum modo.

Com o propósito de mostrarmos explicitamente como o cancelamentodas divergências ocorre, nós escrevemos os autovalores dooperador m(x,y) como

onde hi são os autovalores do operador hamiltoniano H e w é um parâmetro contínuo designando a parte temporal dosautovalores do operador m(x,y).

A função zeta associada ao operador M(x,y), definida pela eq.(4), pode ser escrita, usando-se a eq.(12), como

Usando a relação [10]

nós podemos realizar a integral acima em dw e obtermos

onde zH(s-1/2) é a função zeta generalizadaassociada ao operador hamiltoniano H, definida por

É bem conhecido que zM(s) é analítica em s = 0[8, 11, 12]. Portanto, zM(0) é finita. Assim, ou zH(s-1/2) é analítica em s = 0 e zM(0)é zero ou zH(s-1/2) não é analítica em s = 0 e neste caso zH(s-1/2) deve ter a mesma estrutura de pólos simplesda função gama G(s), tal que zM(s) seja analítica em s = 0. Assim, a função zeta generalizada associadaao operador H pode ser escrita como

onde F(s) e D(s) são funções analíticas em s = 0.Note-se que s é o regulador usado no procedimento deregularização analítica da soma da energia deponto-zero.

A eq.(17) é evidente quando nós realizamos a expansão em série deLaurent

onde D(s) e F(s) são auto-evidentes. Uma vez que zH(s-1/2)tem somente um pólo simples, a expansão é univocamente determinada.

Agora, diferenciando-se a eq.(15) e usando-se a eq.(17), nós obtemos

Observe-se que os termos em negrito são divergentes e cancelam-semutualmente. Finalmente nós encontramos

O resultado acima explicitamente mostra como as divergências sãocanceladas na determinação do potencial efetivo usando-se a eq.(6).Portanto, é claro que escondido em (0)existe um procedimento para obter a parte finita da eq.(11).

III Equivalência

Uma vez que a eq.(6) fornece um resultado finito, deve existir, é claro,algum procedimento pelo qual se obtém, sem ambigüidades, a parte finitada teoria. Este procedimento foi empregado por Salam-Strathdee [13] e provado por Bollini-Giambiagi ser solução matemática para o problema [14].O procedimento é muito simples: se Y(s) é uma função com somente um pólo simples em, digamos, s = 0, então sua parte finita édefinida como

É importante notar que a eq.(21) tem fornecido a continuaçãoanalítica necessária para restabelecer a teoria original.

Agora, nós sabemos que a função zeta zM(s) é analítica em s = 0. Portanto, nós podemos escrevê-la como

onde a função f(s) tem um pólo simples em s = 0 para que aeq.(21) seja satisfeita.

O mínimo do potencial efetivo é a densidade de energia do vácuo que pode ser identificado à energia de ponto-zero (ZPE) [15]. A energia de ponto-zero é definida como

onde hi são os autovalores do operador hamiltoniano osquais são dados por

Assim,

Naturalmente, o somatório (integral) acima é claramente divergente.

A fim de regularizarmos a expressão acima, vamos usar o conceito de continuação analítica1 1 Seja F1 uma função analítica em um domínio D 1 e F 2 uma função analítica em um domínio D 2. Se os domínios D 1 e D 2 se interceptam e em cada ponto da intersecção D 1 D 2 as funções F 1 e F 2 são iguais, dizemos que F 2 é continuação analítica de F 1. É importante ressaltar o fato que a continuação F 2 de F 1 é única. . A idéia é trocarmos a expressão original com um somatório(integral) divergente por uma função analítica bem comportadade um parâmetro complexo. O somatório (integral) agora é convergentee pode ser realizada formalmente sem ambigüidades. Após isso, pode-se,então, continuar analiticamente a expressão resultante para um valor do parâmetro complexo que restabeleça a teoria original. A divergênciaultravioleta original reaparece como pólo neste valor do parâmetrocomplexo. A subtração deste pólo, por fim, conduz a um resultado finito [16]

Desta forma, vamos trocar e por sua continuaçãoanalítica dada por

Em um procedimento de regularização analítica , como já dissemos, a divergência aparece como pólo simples no valor físicodo parâmetro de regularização, s. Portanto, (s) éuma função meromórfica com um pólo simples em s = 0 e, então,nós podemos escrevê-la como

Para restabelecer a teoria original, livre de divergências, nós usamoso procedimento da eq.(21) na eq.(27). Nós obtemos a energia de ponto-zero renormalizada

Uma vez que

R é a densidade de energia do vácuo, segue daseqs. (6) e (22) que

A eq.(29) pode ser facilmente provada usando-se a eq.(15) e a identidade

para obtermos

Comparando-se a eq.(22) e a eq.(31), nós encontramos o resultado da eq.(29).Agora, usando-se a eq.(31), nós podemos escrever

Realizando um expansão em série de Laurent de (s)

e usando a eq.(21), nós obtemos

Portanto, quando nós usamos o método da função zeta, nós estamos,implicitamente, realizando um procedimento de regularização analítica, cuja parte finita é obtida como

Naturalmente, a multiplicação de (s) por s cancela o pólo evitando-se as possíveis divergências. Assim, nós afirmamos que ométodo da função zeta é completamente equivalente ao procedimento de regularização analítica para obtermos a energia do vácuo (ou energia de ponto-zero). Nós não estamos afirmando aqui a equivalência entre o potencial efetivo e a energia de ponto-zero, uma vez que esta é uma afirmação mais profunda e já bem conhecida [16 - 18].

IV Conclusão

O procedimento de regularização do mínimo do potencial efetivo usando-se o método da função zeta nos fornece um resultado finito sem a necessidade de subtração de qualquer pólo ou a adição de contratermos infinitos.

Isso é devido ao fato de que a função zeta é regular em s = 0. Desta maneira procedimentos dúbios usados para obter-se um resultado finito para o mínimo do potencial efetivo são evitados, uma vez que, como nós mostramos, as divergências são implicitamente canceladas pelo método da função zeta.

O método da função zeta para a determinação do potencial efetivo é implicitamente equivalente a um procedimento de regularização analítica para obter-se a energia de ponto-zero, cuja parte finita é obtida da eq.(21). Além disso, a eq.(21) fornece a continuação analítica necessária para restabelecermos a teoria original no caso da regularização analítica da energia de ponto-zero.

Agradecimentos

Nós gostariamos de agradecer à Agência Nacional para Pesquisa (CNPq)(Brasil) pelo suporte parcial deste trabalho.

  • [1]L.H. Ryder, Quantum Field Theory, Cambridge University Press, Cambridge (1985).
  • [2]P. Ramond, FIELD THEORY A Modern Primer, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., Massachusetts (1981).
  • [3]R.J. Rivers, Path Integral Methods in Quantum Field Theory, Cambridge University Press, Cambridge (1987).
  • [4]K. Huang, Quarks Leptons & Gauge Fields, Word Scientific Publishing Company, Singapore (1982).
  • [5]J.V. Narlikar and T. Padmanabhan, Gravity, Gauge Theories and Quantum Cosmology, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht (1986).
  • [6]J. Iliopoulos, C. Itzykson and A. Martin, Rev. Mod. Phys., 47, (1975) 165.
  • [7]R. Jackiw, Phys. Rev. D 9(6), (1974) 1686.
  • [8]S. Hawking, Commun. Math. Phys. 55, (1977) 133.
  • [9]S. Coleman and E. Weinberg, Phys. Rev. D7(6), (1973) 1888.
  • [10]E. Myers, Phys. Rev. Lett. 54, (1987) 165.
  • [11]N. D. Birrell and P. C. W. Davies, Quantum Fields in Curved Space, Cambridge University Press, Cambridge, (1982).
  • [12]S. K. Blau, M. Visser and A. Wipf, Nucl. Phys. B 310, (1988) 163.
  • [13]A. Salam and J. Strathdee, Nucl. Phys. B90, (1975) 203.
  • [14]C. G. Bollini and J. J. Giambiagi, Il Nuovo Cimento 31(3), (1964) 550.
  • [15]T. H. Boyer, Ann. Phys. 56, (1970) 474.
  • [16]G. Leibbrandt, Rev. Mod. Phys. 47(4), (1975) 849.
  • [17]T. Treml, Can. J. Phys. 68, (1990) 91.
  • [18]J. A. Nogueira and A. Maia Jr., Phys. Lett. B358, (1995) 56.
  • [19]J. A. Nogueira and A. Maia Jr., Phys. Lett. B394, (1997) 371.
  • 1
    Seja
    F1 uma função analítica em um domínio
    D
    1 e
    F
    2 uma função analítica em um domínio
    D
    2. Se os domínios
    D
    1 e
    D
    2 se interceptam e em cada ponto da intersecção
    D
    1
    D
    2 as funções
    F
    1 e
    F
    2 são iguais, dizemos que
    F
    2 é continuação analítica de
    F
    1. É importante ressaltar o fato que a continuação
    F
    2 de
    F
    1 é única.
  • Datas de Publicação

    • Publicação nesta coleção
      20 Jan 2003
    • Data do Fascículo
      Set 2002

    Histórico

    • Aceito
      22 Maio 2002
    • Recebido
      27 Jan 2002
    Sociedade Brasileira de Física Caixa Postal 66328, 05389-970 São Paulo SP - Brazil - São Paulo - SP - Brazil
    E-mail: marcio@sbfisica.org.br