A aproximação de campo médio de Bethe-Peierls

The Bethe-Peierls mean-field approximation

ARTIGOS GERAIS

A aproximação de campo médio de Bethe-Peierls

The Bethe-Peierls mean-field approximation

Alzira C.M. Stein-Barana^I; Makoto Yoshida^I; Valter L. Líbero^II

^IDepartamento de Física, Instituto de Geociências e Ciências Exatas, UNESP, Rio Claro, SP, Brasil

^IIDepartamento de Física e Informática, Instituto de Física de São Carlos, USP, São Carlos, SP, Brasil

^{Endereço para correspondência}

RESUMO

As aproximações de campo médio de Pierre Weiss e de Bethe-Peierls são implementadas para o modelo de Ising para ferromagnetismo, salientando-se o papel das flutuações espaciais dos momentos magnéticos localizados. Na aproximação de Bethe-Peierls, embora a Hamiltoniana não seja de partículas independentes, nós mostramos uma forma simples de se obter a energia média da rede utilizando a função de correlação spin-spin. Nós também comparamos a correlação de spins primeiros vizinhos calculada em ambas as aproximações com a solução exata para o sistema bidimensional de spins 1/2. Essa comparação deixa clara a supremacia da aproximação Bethe-Peierls sobre a de Pierre Weiss.

Palavras-chave: campo médio, Bethe-Peierls, Ising.

ABSTRACT

The Pierre Weiss and Bethe-Peierls mean-field approximations are implemented for the ferromagnetic Ising model, with emphasis in the spatial fluctuations of the localized magnetic moments. Although in the Bethe-Peierls approximation we do not have a single-particle Hamiltonian, we present a simple way to obtain the mean energy of the lattice using the spin-spin correlation function. We also compare the next-nearest neighbor spin-spin correlation calculated in both mean-field approximations with the exact result for the two-dimensional lattice of 1/2 spin. This comparison shows clearly the supremacy of the Bethe-Peierls method over the Pierre Weiss one.

Keywords: mean-field, Bethe-Peierls, Ising.

1. Introdução

O começo do século passado marca o início da aplicação da Mecânica Estatística ao estudo dos materiais ferromagnéticos, ou seja, daqueles materiais que abaixo (acima) de determinada temperatura apresentam (não apresentam) magnetização espontânea, isto é, magnetização mesmo na ausência de campo externo. Exemplos eram conhecidos, como Fe, Ni e Co, e ligas contendo esses materiais. O grande nome nesse estudo é o de Pierre Weiss, que introduziu a idéia de que cada domínio magnético num material está sujeito a um campo proporcional à magnetização total da amostra [1]. Esse campo, denominado molecular ou de Weiss, deve-se às interações de troca entre os momentos magnéticos do material, algo que na época de Weiss era desconhecido e cuja origem foi elucidada somente com a teoria de Heisenberg [2]. A teoria de Weiss é aproximada e constata-se que melhorias são necessárias quando se confronta as suas previsões com os resultados experimentais. Dentre as muitas tentativas para se construir uma teoria melhor está a aplicação feita por P.R. Weiss [3] (que não é o Pierre Weiss) da teoria de Bethe e Peierls [4, 5], cuja idéia para descrever o ferromagnetismo é bem simples: considera-se de forma exata a interação entre um determinado momento magnético e seus primeiros vizinhos, enquanto estes por sua vez são submetidos a um campo molecular análogo aquele proposto por Pierre Weiss. Como veremos, esse procedimento fornece temperaturas críticas mais próximas dos valores exatos e descreve bastante bem as propriedades termodinâmicas longe da criticalidade, onde as flutuações espaciais do parâmetro de ordem são menores. Por exemplo, a teoria de Bethe-Peierls (BP), também as vezes denominada de Bethe-Peierls-Weiss, prevê corretamente que a temperatura crítica do modelo de Ising [6] em uma dimensão seja nula, enquanto a teoria de Pierre Weiss (PW) prevê erroneamente uma temperatura crítica não nula.

Por mais que se melhore uma técnica de campo médio ela nunca competirá com as abordagens exatas. No entanto, ela permite que se faça um estudo preliminar do modelo com um esforço relativamente pequeno, e que pode servir de base para implementações mais sofisticadas. Vamos ver detalhadamente como essas duas teorias de campo médio, a de PW e a de BP, se aplicam no caso de um modelo bem simples mas de grande importância: o modelo de Ising. Os resultados aqui demonstrados podem ser encontrados em diversas referências [7, 8, 9, 10]. No entanto, comumente as teorias de campo médio são apresentadas utilizando-se análise combinatorial (isto é, atráves de contagens de spins, ou pares de spins, numa determinada rede), nem sempre tão óbvia [7, 8]. Acreditamos que nossa abordagem seja bem mais transparente ao enfatizar o papel das flutuações do parâmetro de ordem. Além disso, apresentamos uma formulação simples para se obter a energia média da rede na aproximação BP, utilizando a função de correlação de pares de spins vizinhos próximos. Por fim, fazemos uma comparação, rara de se encontrar na literatura, entre a função de correlação de primeiros vizinhos exata com as advindas das duas aproximações de campo médio, o que permite dar os devidos créditos à aproximação BP quando comparada com a de PW.

2. Modelo de Ising para ferromagnetismo

O modelo de Ising descreve a interação entre N spins fixos numa rede. As variáveis de spin são clássicas, ao contrário do que ocorre no modelo de Heisenberg [2] que tem o mesmo objetivo mas os spins são quânticos. O modelo é definido pela Hamiltoniana [6]

onde S_i, chamado spin de Ising, pode ter valores inteiros ou semi-inteiros no intervalo –S < S_i < S, com S também inteiro ou semi-inteiro. Os índices i ou j rotulam os N sítios de uma rede com número de coordenação q (isto é, cada sítio tem q vizinhos). A interação entre um par de spins primeiros vizinhos, denotado por < ij > , é dada pela constante J. Quando J for positivo (negativo) os spins tendem a se orientar paralelamente (antiparalelamente) uns aos outros e assim formar uma fase ferromagnética (antiferromagnética). Neste artigo vamos trabalhar apenas com J > 0.

Em 1925 Ernst Ising, então aluno de doutorado de Wilhelm Lenz, resolveu analiticamente o modelo unidimensional descrito pela Hamiltoniana acima, modelo esse que hoje leva o seu nome. Concluiu corretamente que o modelo tinha uma transição ferromagnética à temperatura zero. Conjecturou, erroneamente, que o mesmo aconteceria em duas dimensões. A solução exata em duas dimensões, obtida por Onsager [11] em 1944, mostrou que a temperatura crítica é dada por 2k_BT_c= J/ln( + 1). Pouco antes, em 1941, utilizando argumentos de dualidade, Kramers e Wannier encontraram esse mesmo valor e em 1936 Peierls já havia conjecturado que, ao contrário da previsão de Ising, essa temperatura crítica seria não nula. A Ref. [12] apresenta uma revisão história sobre o modelo de Ising.

Nas seções seguintes apresentamos duas aproximações ao modelo de Ising, que ao contrário das soluções exatas, podem ser implementadas para qualquer valor de spin, em qualquer dimensão, com ou sem campo externo. Dessa forma constituem abordagens importantes, mesmo sendo aproximações, particularmente quando se estuda modelos mais sofisticados.

3. Campo médio de Pierre Weiss

A idéia de Pierre Weiss (PW) é considerar que cada spin da rede esteja submetido a um campo proporcional à magnetização da amostra. Como magnetização é uma média sobre todos os spins, ao se fazer tal hipótese despreza-se flutuações espaciais desse campo. É essa aproximação que torna a teoria de campo médio (TCM) simples e atraente, porém, de aplicabilidade reduzida muito próximo a uma transição de fase já que neste caso as flutuações espaciais dos spins são enormes.

Desviando-nos do procedimento usual de se escrever esse campo médio como sendo proporcional à magnetização, vamos implementar a TCM de maneira a enfatizar o papel das flutuações espaciais dos spins. Definindo a flutuação do spin do i-ésimo sítio como sendo

onde i é o valor médio termodinâmico de S_i (definido na Eq. (7) abaixo), podemos reescrever a Eq. (1) da seguinte maneira

Desprezando-se todos os termos envolvendo produtos de flutuações espaciais em sítios dististos, isto é, todos os termos DS_iDS_j, teremos a Hamiltoniana na aproximação PW:

onde já trocamos DS_i por S_i – _i na última igualdade. Para o caso ferromagnético, invariância translacional implica que _i = _j º , sendo a magnetização do sistema em unidades de gm_B e por spin, e portanto

sendo que a última igualdade define a Hamiltoniana . Observe que nessa Hamiltoniana aproximada cada spin S_i está submetido a um campo magnético efetivo dado por Jq, portanto proporcional à magnetização média. Daí o nome de aproximação de campo médio para o procedimento. Essa Hamiltoniana é bem mais simples que a inicial, uma vez que não contém termos quadráticos; é uma Hamiltoniana de spins independentes. Seu espectro de energias é dado pela soma dos autovalores das Hamiltonianas . Para uma dada configuração de spins {S} = {S₁, S₂,..., S_N}, a energia total é E{S} = å_i, sendo os autovalores de dados por

Portanto, a magnetização em unidades de gm_B, e por spin, é (novamente usando invariância translacional)

sendo g = Jqb e Z_i a função de partição do i-ésimo sítio dada por

A última soma acima é simples de ser feita [13]. Levando Z_i à Eq. (7) obtemos

onde a última igualdade define a função de Brillouin B_S(x) [13]. Lembrando que g = Jqb, a Eq. (9) implica que a solução pode ser obtida resolvendo-se a equação = SB_S(JqbS), que tem solução não nula (ou nula) se a inclinação da função SB_S(JqbS) em = 0 for maior (ou menor) que a unidade, como ilustra a Fig. 1.

Sendo assim, a temperatura crítica, , é aquela que torna essa inclinação igual à unidade [14]:

Esse resultado foi obtido em 1907 de forma equivalente à apresentada acima [1]. Nossa dedução, no entanto, enfatiza que a aproximação de campo médio de Pierre Weis despreza as flutuações espaciais dos spins, quando retira de H termos proporcionais a DS_iDS_j. Para enfatizar isso, calculemos a correlação G_i,j entre um spin S_i e outro S_j, situados em pontos distintos na rede, que é definida por

Na aproximação PW, H » å_k , e assim

e portanto G_i,j = 0 qualquer que seja a separação (não nula) entre os spins S_i e S_j, ou seja, não há correlação espacial entre os spins nessa aproximação de campo médio, sendo esse o seu maior defeito.

O fato da magnetização ser não nula para temperaturas abaixo de , e ser nula para temperaturas acima desse valor, confere a ela a denominação parâmetro de ordem, pois ela nos indica que acima de os spins estão desordenados, enquanto que abaixo de existe alguma ordem. Um dos aspectos mais fascinantes da teoria das transições de fase está em prever como o parâmetro de ordem (ou mesmo outras funções termodinâmicas) se comporta próximo da temperatura crítica. No caso da magnetização obtida pela aproximação de PW é fácil mostrar, utilizando as Eqs. (9) e (10), que para T tem-se (usa-se que B_S(gS ® 0) » (S + 1)g/3 (2S³ + 4S² + 3S + 1)g³/90):

O expoente na expressão acima é sempre 1/2, independente do acoplamento J, da dimensão da rede, ou mesmo do spin; dizemos, então, que ele é universal (o coeficiente, no entanto, é não universal). O valor exato desse expoente depende da dimensão, sendo em duas dimensões 1/8 e em três 0.313 (conforme a dimensão da rede aumenta o expoente se aproxima do valor 1/2 de campo médio). Será que a aproximação de Bethe-Peierls, implementada abaixo, melhora o valor de campo médio desse expoente?

A energia média por sítio da rede é fácil de ser calculada utilizando a Eq. (6):

onde usamos que independe do sítio i como decorrência de _i = qualquer que seja i. É oportuno enfatizar que esse cálculo de é simples basicamente porque nossa Hamiltoniana de campo médio é de spins independentes, e portanto, a energia de uma configuração da rede pode ser expressa como soma das energias de cada sítio (E{S} = å_i ).

Na seção seguinte vamos mostrar como a aproximação de Bethe-Peierls modifica esses resultados. Veja que para o caso S = 1/2 e unidimensional (q = 2) tem-se k_B = J/2, enquanto que o valor exato é zero. A aproximação de Bethe-Peierls prevê corretamente esse resultado exato. O cálculo da energia média da rede exigirá um cuidado especial, visto que a aproximação de Bethe-Peierls introduz parte da correlação entre os spins, ou, em outras palavras, a Hamiltoniana resultante não mais será de spins independentes como anteriormente.

4. Aproximação de Bethe-Peierls

O próximo passo além do campo médio de Pierre Weiss seria considerar uma aproximação para o termo desprezado DS_iDS_j em H^PW. A maneira mais simples de se fazer isso, que é conhecida como aproximação de Bethe-Peierls (BP), é eleger um spin da rede como central, digamos o da posição i = 0, e tratar exatamente a interação entre ele, S₀, e seus q vizinhos, formando assim um aglomerado de q + 1 spins. Com isso a Eq. (3), a mesma que deu origem à aproximação PW, torna-se

Para levar em conta o restante da rede, os spins do aglomerado, com exceção do central, são submetidos a um campo médio ou molecular, , produzido pelo restante da rede. Dessa forma, H_a passa a ser

A magnetização e o campo médio são obtidos impondo-se novamente a condição de invariância translacional

Para uma dada configuração de spins {S} do aglomerado, {S} = {S₀, S₁, S₂, ...., S_q}, a energia é expressa por

e, portanto, a magnetização será

com

e

Aqui usamos que as somas em S_i, i = 1,..., q, são independentes e todas iguais a F(S₀).

Por outro lado, para j ¹ 0,

sendo aqui g = b(JS₀ + ). Agora usamos que exceto as somas em S₀ e S_j as demais q – 1 são independentes e iguais a F(S₀). Substituindo as Eqs. (22) e (19) na Eq. (17) obtemos

que deve ser resolvida (numericamente) para o campo médio .

A equação acima vale para qualquer spin S com qualquer número de coordenação q da rede. Vamos, no entanto, por praticidade, resolvê-la para o modelo de Ising com S = 1/2, ou seja, S_i = ±1/2. A função F(S₀), Eq. (20), torna-se então

que levada à Eq. (23) fornece a seguinte equação para o campo molecular [7, 15]:

Solução não-trivial, ¹ 0, é possível apenas se a inclinação da função (de ) do lado direito for maior que a unidade (raciocínio análogo aquele feito na Fig. 1). A temperatura crítica, , é obtida igualando-se essa inclinação à unidade:

Na Tabela 1 podemos comparar as temperaturas críticas obtidas nas duas aproximações de campo médio com os respectivos valores exatos [16] para diversas redes (para as redes tridimensionais os valores exatos se referem aos obtidos por métodos de expansões em série). Em particular, para redes quadradas, q = 4, k_B/J = 0.7213, a ser comparado com o valor exato 0.5673. Um erro de 27 %, bem menor que o erro de 76 % da aproximação de PW. Em uma dimensão, ou seja, q = 2, a aproximação de BP prevê corretamente = 0, enquanto a aproximação de PW prevê erroneamente ¹ 0. Ambas as aproximações não distinguem redes diferentes mas com o mesmo número de coordenação q, como as redes triangular e cúbica simples. A medida que a coordenação da rede aumenta, as temperaturas críticas de campo médio tendem ao valor exato. Para as redes triangular e fcc a aproximação BP na verdade não pode ser implementada como fizemos acima, já que a interação entre dois vizinhos, de um certo sítio central, não pode ser desprezada; nessas redes ela é de mesma intensidade que a interação entre o sítio central e qualquer um de seus vizinhos. Veja, pela Tabela 1, que mesmo fechando os olhos a isso o erro é bem menor que aquele correspondente à aproximação PW.

A magnetização é obtida das Eqs. (19) e (21):

Utilizando a Eq. (24) para F(±1/2) e escrevendo a Eq. (25) na forma

tem-se que [15]

Para cada temperatura T resolvemos numericamente a Eq. (25) para , que substituido na equação acima fornece (T). A Fig. 2 mostra que a aproximação BP (•) para se aproxima mais do resultado exato (linha cheia) do que a aproximação PW (). Por conveniência, listamos no ^Apêndice algumas relações exatas para o modelo Ising em duas dimensões.

O detalhe da Fig. 2 mostra que o campo molecular vai a zero em junto com . Sendo assim, para T ® , a Eq. (25) se torna

com os coeficientes A e B independentes de . Só temos potências ímpares de pois o lado direito da Eq. (25) é ímpar em . Cancelando de ambos os lados teremos que b = A + B ², ou seja, o coeficiente A é igual a = 1/k_B (pois quando b ® temos ® 0). Dessa forma,

Levando esse à Eq. (29) teremos que µ ( – T)^1/2. Então, embora o valor da temperatura crítica seja melhor na aproximação BP, ela não melhora o valor do expoente da magnetização, que continua valendo 1/2, enquanto por exemplo em duas dimensões vale 1/8.

O cálculo da energia média por sítio requer algum cuidado, uma vez que a Hamiltoniana não é mais de spins independentes, já que ela contém o termo S₀S_j e nem é a Hamiltoniana da rede e sim de um aglomerado. No entanto, o que queremos calcular é a quantidade

onde H é dado pela Eq. (1). Esses valores médios são calculados com base nas configurações de toda a rede, mas como mede a correlação de curto alcance entre os spins S_i e S_j (os sítios i e j são vizinhos próximos), é bastante plausível, e é uma premissa da aproximação de BP, que essa correlação calculada na rede seja igual àquela calculada no aglomerado entre o sítio central, S₀, e qualquer um dos seus q primeiros vizinhos (por exemplo, S₁). Desse modo, a equação anterior pode ser reescrita como

Utilizando e Z_a para o cálculo dessa média temos

sendo aqui g = b(JS₀ + ) e F(S₀) dada pela Eq. (20). Exceto as somas em S₀ e S₁, todas as demais q-1 são idênticas a F(S₀). A soma em S₁ foi expressa como ¶F(S₀)/¶g.

No caso de spins S_i = ±1/2, podemos usar a Eq. (24) e obter que [7, 15]

A Fig. 3 compara a energia média obtida das aproximações de PW () ou BP (•) com o resultado exato (linha contínua). Para k_BT < J/2 ou k_BT > 3J/2 a aproximação BP praticamente coincide com a solução exata. A aproximação de PW, no entanto, fornece bons resultados somente para k_BT < J/3.

Próximo da temperatura crítica exata T_c ambas as aproximações erram o valor de , sendo a de BP bem melhor. Isso era de se esperar uma vez que é na temperatura crítica que os spins estão mais correlacionados espacialmente e portanto o produto DS_iDS_j, desprezado em PW e parcialmente levado em conta em BP, é mais importante. Isso pode ser melhor apreciado calculando-se a correlação de primeiros vizinhos na aproximação BP (para spin 1/2 na rede quadrada):

onde usamos as Eqs. (29), (33) e (35). A Fig. 4 compara essa correlação com a exata [17]. Lembrando que na aproximação PW obtivemos G₀₁ = 0, vemos que a aproximação BP apresenta uma significativa melhora na descrição do sistema, com indicação clara de transição de fase. Novamente, as discrepâncias aparecem próximo da temperatura crítica, onde os spins estão pelo menos duas vezes mais correlacionados do que a aproximação BP prescreve. Ambas as correlações, exata ou BP, são funções contínuas, com derivadas descontínuas em suas respectivas temperaturas críticas.

A solução exata do modelo de Ising mostra que a correlação G(r) entre dois spins separados pela distância r numa rede é proporcional a e^–r/x, onde xé denominado comprimento de correlação[10]. Dois spins separados por r < x estão fortemente correlacionados. Próximo de uma transição de fase (de segunda ordem) x é muito grande e exatamente em T_c ele diverge. Sendo assim, próximo ou em T_c nunca poderemos desprezar as flutuações espaciais dos spins, e portanto, qualquer procedimento que o faça levará à imprecisões. Uma evidência disso é o expoente de campo médio da magnetização, que mesmo na aproximação BP continuou sendo 1/2, enquanto o exato em duas dimensões vale 1/8.

Deixamos para o leitor mais interessado obter, diretamente das equações acima, as curvas de calor específico e suscetibilidade magnética em função da temperatura. A extensão dos nossos resultados para spins outros que S = 1/2 exigirá esforço adicional, visto que a solução numérica das equações acima é mais elaborada. É um bom projeto para estudantes com afinidade para trabalhar com softwares de manipulação simbólica. Uma tarefa simples é aplicar o formalismo acima no caso unidimensional (q = 2), onde a aproximação BP produz soluções exatas para as funções termodinâmicas estudas. Para aqueles interessados em estudar a aproximação BP num contexto mais elaborado que o apresentado acima sugerimos a Ref. [18].

5. Conclusão

Calculamos os valores de temperatura crítica e energia média em função da temperatura para uma rede de spins localizados, utilizando duas aproximações de campo médio para o modelo de Ising. Na aproximação de Pierre Weiss as flutuações espaciais dos spin são totalmente desconsideradas, enquanto que na aproximação de Bethe-Peierls trata-se exatamente a interação de um spin central com seus primeiros vizinhos e portanto está resguardada a correlação entre esses spins. A energia média da rede na aproximação BP foi calculada de forma simples via função de correlação de primeiros vizinhos. Naturalmente que tratar exatamente um conjunto maior de spins, por exemplo incluindo na aproximação BP a interação dos q – 1 vizinhos de cada um dos q vizinhos do sítio central, melhoraria a determinação das propriedades termodinâmicas. No entanto, as dificuldades algébricas crescem enormemente e via de regra paramos na aproximação de BP.

A importância da TCM não se restringi ao seu passado. Modelos sofisticados, como o de Heisenberg quântico, podem partir da aproximação de campo médio na implementação de novas técnicas [19]. A dependência com a dimensionalidade da rede, ausente nas aproximações de PW e BP, foi recentemente introduzida numa versão extendida da aproximação de Bethe-Peierls [20]. Sendo assim, exemplos não faltam onde a TCM nos ajuda a explorar modelos mais realistas [21].

Agradecimentos

A.C.M. Stein-Barana e M. Yoshida agradecem o apoio da Fundação para o Desenvolvimento da Unesp (Fundunesp). V.L. Líbero agradece o incentivo do CNPq.

Referências

[1] P. Weiss, J. Phys. 6, 667 (1907).

[2] W. Heisenberg, Z. Physik 49, 619 (1928).

[3] P.R. Weiss, Phys. Rev. 74, 1493 (1948).

[4] H.A. Bethe, Proc. Roy. Soc. London A 150, 552 (1935).

[5] R.E. Peierls, Proc. Roy. Soc. (London) A-154, 207 (1936).

[6] E. Ising, Z. Physik 31, 253 (1925).

[7] R.K. Pathria, Statistical Mechanics, International Series in Natural Philosophy (Pergamon Press 1988), v. 45.

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[10] J.M. Yeomans, Statistical Mechanics of Phase Transitions) Oxford University Press, 1991).

[11] L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944). Veja também B. Kaufmann, Phys. Rev. 76, 1232 (1949).

[12] S.G. Brush, Rev. Mod. Phys. 39, 883 (1967).

[13] H. Eugene Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena (Oxford University Press, 1971).

[14] Essa equação aparece na Ref. [13], tópico 6.4, ao fazermos lá J ® J/2, uma vez que lá não foi compensada a dupla contagem na rede.

[15] Essa equação aparece na Ref. [7], tópico 12.8, após fazermos lá J ® J/4 e ® /2, uma vez que lá os spins de Ising são ±1 em vez dos nossos ±1/2.

[16] M.E. Fisher, Rep. Prog. Phys. 30, 615 (1967).

[17] Barry M. McCoy e Tai Tsun Wu, The Two-Dimensional Ising Model (Harvard University Press, 1973), p. 200.

[18] G.G. Cabrera, Am. J. Phys. 46, 1062 (1978).

[19] Valter L. Líbero e K. Capelle, Phys. Rev. B68, 024423 (2003).

[20] A. Du, Y. Q. Yü e H.J. Liu, Physica A320, 387 (2003).

[21] Neemias A. de Lima e Valter L. Líbero, Phys. Rev. B61, 3425 (2000).

Recebido em 15/01/2004; Revisado em 27/08/2004; Aceito em 14/09/2004

Para completeza, damos aqui algumas fórmulas exatas para o modelo Ising, S = ±1/2, na rede quadrada [7]. Para T < T_c, onde

a magnetização, por sítio e em unidades de gm_B, é dada por

sendo h = exp(–b/2). Para T > T_c temos = 0. Em qualquer temperatura, a energia média, por sítio, é dada por

sendo

com K(x) a integral elíptica completa de primeira espécie. Para T < T_c, [17] a correlação entre primeiros vizinhos vale

com z = sinh²(bJ/2). Para T > T_c,

Apêndice

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  20 Abr 2005
• Data do Fascículo
  Dez 2004

Histórico

• Recebido
  15 Jan 2004
• Revisado
  27 Ago 2004
• Aceito
  14 Set 2004