Estudo didático do Efeito Doppler e implementação numérica de um analisador Espectral-Temporal

Didactic study of Doppler effect and numerical implementation of a Spectral-Temporal analyzer

Resumo

Neste trabalho, apresentamos uma análise teórica, experimental e computacional do efeito Doppler. Especificamente, analisamos as flutuações na frequência do som emitido por uma fonte sonora em movimento oscilatório de pêndulo físico. Um modelo teórico e cinemático foi desenvolvido para prever a variação da frequência medida por um observador estático em relação à fonte emissora. O estudo experimental do movimento foi feito por meio do software Tracker, desta maneira a posição angular da fonte sonora e sua velocidade foram obtidas a partir da vídeoanálise cinemática. Para realizar a análise acústica de alta precisão do sinal sonoro, dois métodos distintos foram contemplados. Inicialmente foi desenvolvido um algoritmo em Python para a análise da frequência de som em função do tempo. Para implementar o analisador Espectral-Temporal do sinal acústico, utilizou-se a transformada de Fourier de curto prazo (STFT), com janelas longas e sobreposição significativa, que permitiram medir com precisão de $\pm 3$ Hz ($\sim$0,14%) as sutis variações de frequência. Na etapa seguinte, para ter um comparativo com um recurso pronto e acessível, empregou-se o aplicativo Phyphox, valendo-se dos sensores de smartphones para a aquisição de dados da frequência sonora do sinal gravado durante um intervalo de tempo dado. Os resultados obtidos em nossas análises demonstraram uma excelente concordância entre as frequências medidas experimentalmente e as previsões do modelo teórico. O estudo em questão valida os modelos aqui propostos e destaca uma abordagem de baixo custo e alta precisão para investigar fenômenos físicos complexos, reforçando seu grande potencial didático e tornando a física experimental acessível a um público mais amplo.

Palavras-chave:
Efeito Doppler; ondas sonoras; software Tracker; aplicativo Phyphox; Python

Abstract

In this work, we present a theoretical, experimental, and computational analysis of the Doppler effect. More specifically, we analyze the fluctuations in the emitted sound frequency by a source undergoing oscillatory motion similar to a physical pendulum. A theoretical and kinematic model was then developed to predict the modification in the frequency perceived by a stationary observer. The experimental study of the motion was conducted using the Tracker software, while the angular position of the sound source and its velocity were obtained through kinematic video analysis. To perform a high-precision acoustic analysis of the sound signal, two distinct methods were developed. First, a Python-based algorithm was developed to analyze the sound frequency as a function of time. To implement the spectral-temporal analyzer of the acoustic signal, the short-time Fourier transform (STFT) was used, with long windows and significant overlap, allowing subtle frequency variations to be measured with a precision of $\pm 3$ Hz ($\sim$0,14%). In a second stage, for comparison with a readily available and accessible tool, the Phyphox application was used, leveraging smartphone sensors to acquire frequency data from the recorded signal over a given time interval. The results obtained in our analyses demonstrated excellent agreement between the experimentally measured frequencies and the predictions of the theoretical model. This study validates the models proposed here and highlights a low-cost, high-precision approach to investigating complex physical phenomena, reinforcing its great didactic potential and making experimental physics accessible to a wider audience.

Keywords:
Doppler effect; sound waves; Tracker software; Phyphox mobile app; Python

1. Introdução

O efeito Doppler é um fenômeno ondulatório universal a todos os tipos de ondas, sejam elas mecânicas, eletromagnéticas ou gravitacionais [¹, ²]. Este efeito acontece quando há um movimento relativo entre o observador e a fonte emissora, causando uma mudança na frequência recebida [³]. No cotidiano, um exemplo bastante conhecido é quando uma pessoa, em repouso na calçada, e um carro da polícia em movimento relativo, com a sirene ligada, passa por ela na rua [⁴]. Para o observador estático, o som da sirene é percebido com uma frequência mais alta durante a aproximação do veículo, resultando em um som mais agudo. Inversamente, quando o veículo afasta-se, a frequência diminui, tornando o som mais grave [⁵].

O fenômeno acima descrito foi previsto, em 1842, pelo físico e matemático austríaco Christian Andreas Doppler, em seus estudos sobre aberrações estelares [⁶, ⁷, ¹, ⁸]. No seu trabalho intitulado Sobre a luz colorida das estrelas duplas e algumas outras estrelas dos céus[⁹], Doppler propôs uma compreensão dos eventos descobertos por James Bradley, em 1728, em que a posição das estrelas em relação à sua posição real apresentava uma aparente mudança quando se considerava o movimento da Terra ao redor do Sol [¹⁰, ¹¹]. Especificamente, Doppler buscou compreender, por meio de cenários hipotéticos, como a aproximação e o afastamento relativo de fontes emissoras de ondas e observadores poderia levar a modificações na frequência e no comprimento de onda. Concluiu que o movimento entre fonte, no caso, a luz das estrelas, e observador poderia afetar a cor de determinada estrela. Dito de outra forma, Doppler descobriu que a luz emitida, esta definida por uma frequência específica [¹²], seria deslocada em direção ao azul caso a fonte de luz se aproximasse do observador e, para o vermelho, caso se afastasse [⁴].

Alguns anos depois, em 1845, o efeito Doppler é então verificado acusticamente pelo cientista holandês Christophorus Henricus Diedericus Buys Ballot [¹³]. No experimento, foi utilizado um vagão aberto em movimento, com trompetistas tocando constantemente a mesma nota, enquanto músicos na plataforma tentavam identificar o tom tocado. No momento da aproximação do vagão à plataforma, notas mais agudas eram escutadas, enquanto no afastamento, tons mais graves eram ouvidos, dando suporte, desta maneira, à previsão de Doppler para ondas sonoras. Contudo, mesmo com esta evidência em favor das previsões de Doppler, sua proposta teórica permaneceu no exílio por um longo período. Em 1848, de forma totalmente independente, o físico francês Armand Hippolyte Louis Fizeau descobriu o mesmo fenômeno na análise das raias espectrais de objetos estelares, o que permitiria a determinação da velocidade das estrelas em movimento na direção de observação [¹⁴]. Esse efeito é muitas vezes também chamado de Doppler-Fizeau [¹⁵].

As ideias de Doppler seriam resgatadas a partir do experimento realizado por um jovem físico austríaco chamado Ernst Waldfried Josef Wenzel Mach. Estimulado por seu professor, Mach desenvolveu, em 1860, um aparato mecânico que consistia em uma palheta rotativa com tubos de ar, fazendo-a vibrar com uma frequência bem definida [⁸]. As ondas sonoras eram, então, direcionadas a um observador. O artefato tinha a vantagem de ser facilmente reproduzido em outros laboratórios, o que permitia a investigação experimental de forma independente do efeito Doppler por outros pesquisadores. Mais tarde, no ano de 1887, em colaboração com Peter Salcher, Mach registra balas supersônicas através de fotografias de alta velocidade, revelando a existência de ondas de choque, e mostrando que o efeito Doppler era também válido no regime de ondas supersônicas.

O entendimento deste fenômeno físico levou a uma série de contribuições para a física moderna. Desta forma, no intuito de obter uma melhor compreensão a respeito da recessão de galáxias distantes, em 1929, o astrônomo estadunidense Edwin Hubble realiza uma série de observações e mostra que existe uma relação aproximadamente linear entre as distâncias de nebulosas e seu desvio para o vermelho (deslocamento das frequências predito pelo efeito Doppler aplicado a fontes de luz em movimento de afastamento). Embora cauteloso em relação aos resultados obtidos, as observações de Hubble davam suporte à ideia de um universo em expansão.

Assim, as previsões de Hubble serviram como base para a teoria do Big Bang [¹⁶, ¹⁷]. Resultados mais recentes sobre o afastamento de galáxias distantes levaram à descoberta da expansão acelerada do universo, sendo atualmente um dos maiores enigmas da física a origem deste efeito [¹⁸, ¹⁹]. A explicação mais simples para este fenômeno é através da constante cosmológica introduzida por Einstein nas equações da Relatividade Geral.

O efeito Doppler é hoje amplamente usado na Astronomia, Astrofísica e Cosmologia, levando a uma série de dados que dão suporte à existência de Matéria Escura, detecção de exoplanetas, determinação de velocidade de rotação de objetos estelares, entre outras. Além de fornecer ferramentas para a compreensão do universo e seus objetos, atualmente o efeito Doppler é extremamente útil em diversas outras áreas, possuindo inúmeras aplicações, como na medicina, em que é utilizado na ultrassonografia, auxiliando na determinação do fluxo sanguíneo [²⁰, ²]. Recentemente, esse fenômeno foi implementado em algumas rodovias com os chamados radares Doppler, que emitem ondas que, ao serem refletidas pelos veículos, permitem calcular suas velocidades [²¹] a uma distância de até 100 metros do radar. Também é possível determinar se um veículo está na contramão, se houve uma troca indevida de faixa ou mesmo uma ultrapassagem em sinal vermelho. Tudo isso associado à utilização de uma câmera digital, permitindo, desta forma, detectar a placa do veículo e aplicar a devida infração.

Dentro do contexto acima apresentado, observa-se que o fenômeno de mudança de frequência devido ao movimento da fonte ou do observador é um tópico interessante a ser explorado. Assim sendo, propomos um estudo do efeito Doppler a partir do uso de softwares educativos e elaboramos numericamente um Analisador Espectral-Temporal [²²] para verificar experimentalmente este fenômeno.

Paralelamente, a intenção é também proporcionar aos professores do ensino fundamental e médio ferramentas práticas para discussões que possam ser úteis, na prática docente, assim como o estímulo a estes estudantes em questões ligadas às ciências naturais. Ademais, práticas semelhantes podem ser igualmente contempladas pelos estudantes de graduação em ciências exatas, uma vez que o cenário aqui proposto apresenta o efeito Doppler de uma maneira não convencional e por meio do uso de ferramentas de fácil acesso. Vale ressaltar que este trabalho insere-se na proposta de utilização de Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDIC) nos processos de ensino-aprendizagem de conceitos físicos abstratos, no caso em questão, o efeito Doppler para ondas sonoras.

Visando a este propósito, inicialmente apresentamos os principais elementos teóricos relativos ao efeito Doppler. Em seguida, a metodologia experimental utilizada em nosso estudo é então discutida. Posteriormente, apresentamos o desenvolvimento do algoritmo numérico, em linguagem Python, assim como o processamento e análise espectral dos dados obtidos. As considerações finais e perspectivas futuras seguem-se a estas seções apresentadas.

2. Fundamentação Teórica

Nesta seção, discutiremos os principais conceitos relacionados ao efeito Doppler. Vamos analisar o caso da emissão de uma onda sonora com uma frequência bem definida, $f_0$, e como o valor desta frequência é alterado ao ser medido por um observador em movimento relativo à fonte. Na primeira etapa, o movimento relativo entre a fonte e o observador é frontal, ou seja, o observador aproxima-se ou afasta-se, movendo-se ao longo da direção entre os dois corpos. Posteriormente, será analisada a situação em que o observador está em repouso e a fonte emissora realiza um movimento oscilatório pendular.

2.1. Fonte em movimento e observador estático

Inicialmente, vamos levar em conta o cenário no qual a fonte está em movimento e o observador está em repouso. A convenção utilizada será tal que a velocidade da fonte é positiva, $v_{fon}>0$, se ela se aproxima do observador e negativa, $v_{fon}<0$, se ela se afasta do observador, como observado na Figura 1.

Figura 1
Representação do efeito Doppler para o caso de uma fonte em movimento e observadores estáticos.

Para analisar o efeito Doppler, é essencial definir as propriedades da onda no referencial do meio em que ela se propaga [¹², ²³]. Considera-se, então, uma fonte que emite uma onda sonora com frequência constante, $f_0$, período, $T_0=1/f_0$, e que se propaga com velocidade $v_0$ (velocidade do som). O comprimento de onda no meio, ${\lambda }_0$, é, portanto, dado pela relação ${\lambda }_0=v_0{T}_0$[⁶].

Quando a fonte sonora está em movimento em relação ao meio, a distância entre as frentes de onda consecutivas é modificada [³]. Se a fonte se aproxima do observador, o comprimento de onda aparente da fonte emissora diminui (${\lambda }_{\text{aprox}}<{\lambda }_0$), e quando se afasta, o comprimento de onda aumenta (${\lambda }_{\text{afast}}>{\lambda }_0$) [¹²].

Considerando o período de emissão $T_0$, o movimento da fonte altera o espaçamento entre as frentes de onda. No caso em que a fonte se aproxima do observador com velocidade $v_{fon}$, o novo comprimento de onda percebido, ${\lambda }_{\text{aprox}}$, é dado por

(1) $${\lambda }_{\text{aprox}}=\left(v_0-v_{fon}\right)T_0.$$

A frequência aparente, $f_{\text{aprox}}$, percebida pelo observador estático é, por sua vez, $f_{\text{aprox}}=v_0/{\lambda }_{\text{aprox}}$. Combinando este fato com a Equação (1) e a relação $T_0=1/f_0$, obtém-se a frequência para o caso de aproximação da fonte emissora:

(2) $$f_{\text{aprox}}=f_0\left(\frac{v_0}{v_0-v_{fon}}\right).$$

Desta forma, tem-se um aumento aparente da frequência, $f_{\text{aprox}}>f_0$, quando a fonte se aproxima do observador, $v_{fon}>0$.

É importante notar que no caso de termos uma fonte com velocidade supersônica $v_{fon}>v_0$ e um observador parado a fórmula do efeito Doppler, mostrada acima, nos indica a possibilidade de frequências negativas. Assim, para um observador de quem a fonte supersônica se aproxima, temos que a frequência percebida é negativa necessariamente, $f_{\text{aprox}}=f_0{\left(1-v_{fon}/v_0\right)}^{-1}<0$. Este resultado, visto superficialmente parece não ter sentido físico, mas ele indica basicamente que, neste caso, as frentes de onda percebidas serão retrasadas em relação ao movimento da fonte, que viaja a uma velocidade maior que o som. Assim um observador estático na frente da fonte de som supersônica não perceberá nenhum som. Só serão percebidos sons, depois que a fonte ultrapassa o observador e se afasta dele. Nesse caso, pela convenção, o sinal da velocidade da fonte será invertido, e o observador percebe apenas uma frequência menor $f_{\text{afast}}<f_0$ dada pela fórmula $f_{\text{afast}}=f_0{\left(1+v_{fon}/v_0\right)}^{-1}$.

Um fato conhecido de uma fonte de ondas que viaja a velocidade supersônica é o aparecimento do chamado Cone de Mach. Este cone é a superfície tangente a todas as ondas sucessivas e possui o eixo na linha de movimento da fonte. A abertura deste cone de Mach é dada pela expressão do ângulo

$$\sin \alpha =v_0/v_{fon},$$

esta onda cônica de Mach é também chamada onda de choque e constitui o som repentino e violento que ouvimos quando um avião supersônico passa por perto.

2.2. Fonte estática e observador em movimento

Vamos agora analisar o caso em que a fonte está parada e o observador em movimento. A convenção utilizada será a de que a velocidade do observador é positiva $v_{obs}>0$ se ele se aproxima da fonte de ondas e negativa $v_{obs}<0$ se ele se afasta, como observado na Figura 2. Devido ao movimento relativo, quando o observador se aproxima da fonte, será detectada uma frequência maior, $f_{\text{aprox}}>f_0$, pois o período de chegada de frentes de onda consecutivas nessa situação é menor. Por sua vez, se o observador se afasta da fonte, o período, tempo de chegada entre duas frentes de onda consecutivas é maior, gerando uma frequência aparente da onda menor, isto é, $f_{\text{afast}}<f_0$.

Figura 2
Representação do efeito Doppler para o caso de uma fonte em repouso e observadores em movimento.

Quando o observador se aproxima da fonte, o período percebido por ele, $T_{\text{aprox}}$, é menor pois a onda e o observador viajam ao encontro e as suas respectivas velocidades somam-se, diminuindo, desta forma, o tempo. Assim, o tempo entre duas frentes de onda terá que respeitar a relação

$${\lambda }_0=\left(v_0+v_{obs}\right)T_{\text{aprox}}.$$

Comparando com a relação anterior temos que $v_0{T}_0=\left(v_0+v_{obs}\right)T_{\text{aprox}}$, ou em termos de frequências,

$$f_{\text{aprox}}=f_0\left(\frac{v_0+v_{obs}}{v_0}\right).$$

O caso geral, que considera tanto o movimento da fonte quanto o do observador, é descrito pela expressão

(3) $$f=f_0\left(\frac{v_0\pm v_{obs}}{v_0\mp v_{fon}}\right),$$

em que as convenções de sinais para as velocidades do observador, $v_{obs}$, e da fonte, $v_{fon}$, devem ser aplicadas.

2.3. Efeito Doppler no movimento de umpêndulo

As equações descritas previamente só podem ser aplicadas no caso em que o movimento relativo entre a fonte e o observador é frontal. Em situações em que isso não acontece, temos que considerar somente a componente da velocidade diretamente orientada na linha que separa os dois objetos. Nesta seção, vamos então descrever o efeito Doppler no caso de termos um movimento oscilatório bem-comportado, conforme mostra o esquema da Figura 3.

Figura 3
Esquema da montagem experimental do efeito Doppler para uma fonte em movimento pendular e um observador estático no eixo do pêndulo. Os parâmetros geométricos e as componentes da velocidade em relação à linha que conecta a fonte ao observador são indicados.

Consideraremos, então, o cenário em que a fonte emissora de ondas oscila como um pêndulo físico enquanto o receptor mantém-se estático em uma posição próxima do ponto de equilíbrio do pêndulo. Assim, o ponto de apoio, $O$, a posição de equilíbrio do pêndulo, $P_0$ (ponto de mínima altura), e a posição do observador, $Q$, estão numa mesma linha reta normal à superfície. A posição geral da trajetória do pêndulo será denotada pelo ponto $P$ de tal forma que o ângulo ${\theta }_1$ que o pêndulo, $\overline{OP}$, faz com a reta $\overline{OQ}$ oscila no tempo com a frequência natural do pêndulo, ${\omega }_0$, segundo a relação

(4) $${\theta }_1\left(t\right)={\theta }_{\max }\sin \left({\omega }_{0}t+\varphi \right).$$

É importante salientar que a aproximação de pêndulo simples é válida somente quando a amplitude das oscilações, ${\theta }_{\max }$, é pequena, isto é, ${\theta }_{\max }\ll 1$, de tal forma que a aproximação $\sin \theta \approx \theta$ seja respeitada.

Outro fator relevante refere-se ao intervalo de tempo de análise, o qual não pode ser muito longo. Para grandes tempos de oscilação, o amortecimento dinâmico com o ar não pode ser desprezado e a Equação (4) deveria incorporar um decaimento exponencial dependente do tempo. Esta situação física não é objeto de estudo neste trabalho.

Uma vez obtida a lei de movimento do nosso sistema, a velocidade angular do pêndulo pode ser obtida por derivação direta, sendo dada por:

(5) $$\dot{{\theta }_1}\left(t\right)={\theta }_{\max }{\omega }_0\cos \left({\omega }_{0}t+\varphi \right),$$

que também oscila no tempo. A velocidade tangencial do pêndulo é simplesmente dada por $v\left(t\right)=l_0\dot{{\theta }_1}\left(t\right)$, em que $l_0$ é o comprimento do pêndulo. Se considerarmos que o receptor de som encontra-se a uma distância $d$ abaixo do ponto de equilíbrio $P_0$, temos que a reta $\overline{QP}$, que passa pelo receptor em $Q$, está orientada na direção do emissor de som, fazendo um ângulo ${\theta }_2$ com a horizontal, o qual também será uma função do tempo.

Utilizando os valores dos ângulos ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$, podemos encontrar o ângulo $\alpha$ que o vetor velocidade do pêndulo faz com a reta $\overline{QP}$. A velocidade do pêndulo é tangente à sua trajetória e seu prolongamento intercepta a reta $\overline{OQ}$ no ponto $S$. Analisando o triângulo $QPS$, a relação entre os ângulos é dada por

(6) $$\alpha \left(t\right)={\theta }_2\left(t\right)-{\theta }_1\left(t\right).$$

Sabendo-se todas as distâncias envolvidas, podemos obter a dependência temporal de $\alpha$, visto que pelo triângulo $OPQ$, podemos relacionar ${\theta }_2$ com ${\theta }_1$ por meio da relação:

(7) $$l_0\sin {\theta }_1=\left(d+l_0-l_0\cos {\theta }_1\right)\cot {\theta }_2.$$

Isolando-se a variável ${\theta }_2\left(t\right)$, obtém-se:

(8) $${\theta }_2\left(t\right)=\frac{\pi }{2}-\arctan \left(\frac{l_0\sin {\theta }_1\left(t\right)}{d+l_0\left(1-\cos {\theta }_1\left(t\right)\right)}\right).$$

O ângulo $\alpha$ indica a projeção da velocidade da fonte de emissão sonora na direção do observador. Desta forma, a velocidade relativa da fonte em relação ao observador, $v_{\parallel }\left(t\right)$, será dada pela seguinte expressão

(9) $$v_{\parallel }\left(t\right)=v\left(t\right)\cos \left[\alpha \left(t\right)\right].$$

Substituindo a velocidade tangencial $v\left(t\right)$ e a expressão para o ângulo $\alpha \left(t\right)$, obtida a partir da Equação (6) na Equação (9), podemos escrever a forma explícita desta componente da velocidade do emissor de ondas sonoras na direção do receptor, a qual assume a seguinte forma:

(10) $$v_{\parallel }\left(t\right)=\left({\theta }_{\max }{\omega }_0{l}_0\right)\cos \left({\omega }_{0}t+\varphi \right)\cos \left[{\theta }_2\left(t\right)-{\theta }_1\left(t\right)\right].$$

A partir disso, possuindo a velocidade relativa do emissor em relação ao observador, temos que a frequência aparente esperada no receptor é modificada pelo efeito Doppler, segundo a relação:

(11) $$f\left(t\right)=f_0\left(\frac{v_0}{v_0+v_{\parallel }\left(t\right)}\right).$$

3. Metodologia Experimental

O pêndulo utilizado é um pêndulo físico e não um pêndulo simples. Este pêndulo é formado por um braço de alumínio fixo a uma roldana que gira livremente sem atrito considerável. Na extremidade do braço, existe um suporte para smartphone que fixa a fonte, o qual é colocado para oscilar, como observado na Figura 4(a). Devido à composição heterogênea e assimetria do pêndulo físico, seu período não pode ser calculado previamente e as principais características das oscilações serão medidas experimentalmente por meio de análise de imagens do movimento por meio do software Tracker, conforme mostra a Figura 4(b).

Figura 4
Montagem experimental e análise de movimento. (a) Esquema do arranjo físico utilizado. (b) Interface do software Tracker com a trajetória do emissor mapeada para a extração de dados.

Para a análise cinemática do movimento oscilatório, utilizou-se o software de código aberto Tracker (v. 6.2). Por sua vez, o comportamento da frequência sonora no tempo foi obtido experimentalmente por meio de duas metodologias. Na primeira etapa,

com o intuito de melhorar a aquisição da frequência sonora e para ter mais liberdade nas definições do processo de medida, foi desenvolvido um algoritmo numérico [²²], implementado em linguagem Python, para gerar os pontos de frequência-tempo a partir do arquivo de áudio gravado. Logo disto, para ter um comparativo com um recurso pronto e acessível, utilizou-se o aplicativo para celular Phyphox, que permite obter a frequência sonora do sinal gravado durante um intervalo de tempo dado. Um smartphone atuou como receptor de som estacionário.

Como fonte sonora, foi utilizada uma caixa de som (modelo JBL GO), conectada via Bluetooth a um tablet. O sinal emitido, de frequência pura e ajustável, era gerado pelo aplicativo Phyphox (v. 1.1.16). A escolha deste modelo de caixa de som deveu-se a duas características principais: o fato de possuir apenas um alto-falante, que se aproxima de uma fonte de emissão pontual, e a capacidade de gerar volumes elevados, visando à melhoria da relação sinal-ruído da medição.

4. Implementação Numérica

Para analisar os valores de frequência ao longo do tempo com maior precisão e controle sobre o número de pontos analisados, a partir de um arquivo de áudio, foi desenvolvido um algoritmo numérico, implementado em linguagem Python (versão 3.11.5) com o auxílio das bibliotecas especializadas Librosa (versão 0.11.0), NumPy (versão 1.26.0) e SciPy (versão 1.11.3) para filtragem de sinais. Todo o procedimento metodológico para estimar a frequência ao longo do tempo é detalhado nas subseções subsequentes.

4.1. Aquisição e pré-processamento do sinal

O arquivo de áudio de cada ensaio é inicialmente carregado utilizando-se a biblioteca Librosa (é recomendado utilizar arquivos de áudio no formato. wav), extraindo-se a série temporal do sinal, $y\left(t\right)$, e sua taxa de amostragem original, $s_r$ (Hz). A fim de otimizar a análise, um filtro digital passa-banda Butterworth de 4ª ordem (SciPy) pode ser aplicado em $y\left(t\right)$. Este filtro busca atenuar eventuais ruídos que estão fora da faixa de frequência de interesse.

A frequência base, $f_{base}$, é informada pelo usuário, funcionando como um referencial em caso de aplicação do filtro, e sendo definida por $f_{base}\pm \Delta f_{filtro}$ (p.ex., $\Delta f_{filtro}=50$ Hz). Esse filtro apenas elimina valores discrepantes e não esperados, devido a ruídos externos durante a gravação do áudio. Ressalta-se que este filtro não altera nenhuma frequência na faixa da frequência base ou aplica qualquer tipo de média, ousuavização.

4.2. Análise espectral tempo-frequência

A Transformada de Fourier Rápida (FFT, do inglês Fast Fourier Transform) é um algoritmo eficiente para calcular o espectro de frequências de um sinal. No entanto, a FFT fornece apenas uma representação global do espectro, sem informação sobre como as frequências variam ao longo do tempo. Para contornar essa limitação, utiliza-se a Transformada de Fourier de Curto Prazo (STFT, do inglês Short-Time Fourier Transform), que divide o sinal em janelas temporais curtas e aplica a FFT em cada uma delas, gerando uma representação tempo-frequência do sinal.

O tamanho da janela ($N_{FFT}$) determina a resolução da análise: janelas maiores fornecem maior resolução em frequência, porém menor resolução temporal, e vice-versa. O parâmetro hop_length ($H$) define o deslocamento entre janelas consecutivas: quanto menor seu valor em relação a $N_{FFT}$, maior a sobreposição entre janelas e mais densa a análise temporal. No presente trabalho, adotou-se $N_{FFT}=16384$ pontos e $H=N_{FFT}/8$ (sobreposição de 87,5%), escolhas que garantem alta resolução em frequência ($\Delta f_{bin}\approx \mathrm{2,7}$ Hz para $s_r=44100$ Hz) e rastreamento preciso da evolução temporal da frequência.

A representação do sinal, seja ele original ou filtrado, $y_{proc}\left(t\right)$, na forma Tempo-Frequência é obtida por meio da STFT, calculada utilizando-se a biblioteca Librosa. Essa transformada segmenta $y_{proc}\left(t\right)$ em quadros sobrepostos, aplicando uma transformada discreta de Fourier a cada um, com os parâmetros $N_{FFT}$ e $H$ definidos anteriormente. Essa abordagem resulta na capacidade de distinguir valores de frequência muito próximos entre si, essencial para rastrear com precisão a evolução da frequência ao longo do tempo.

4.3. Geração e armazenamento dos dados

Os instantes de tempo $t\left(m\right)$, correspondentes ao centro de cada quadro STFT analisado, são determinados utilizando funções da biblioteca Librosa (considerando $s_r$ e $H$). A série temporal resultante da frequência instantânea estimada, $f_{est}\left(m\right)$, é associada com $t\left(m\right)$ e exportada para um arquivo de texto (.txt). Este arquivo apresenta os dados em formato tabular (tempo em segundos, frequência em Hertz) e inclui um cabeçalho com os principais parâmetros da análise, como: nome do arquivo de áudio de entrada, frequência base informada, taxa de amostragem, a fim de assegurar a rastreabilidade e reprodutibilidade dos resultados.

A interface de carregamento do arquivo de áudio e geração da análise temporal da frequência do som é apresentada na Figura 5.

Figura 5
Interface principal do software desenvolvido. A janela permite a importação de arquivos de áudio (formatos. wav ou.mp3) e a definição dos parâmetros de frequência base e faixa de análise.

5. Resultados Experimentais

Nesta seção serão apresentados os principais resultados obtidos. A partir das informações da cinemática do movimento obtidas por vídeo-análise, usando-se o software Tracker, foram obtidas medidas experimentais da posição angular da fonte sonora em cada instante de tempo. Além disto, após ter sido feita a marcação dos pontos do movimento, foi possível alterar a localização da origem do sistema de coordenadas no Tracker e, assim, obter a posição da fonte em relação a qualquer outro ponto de referência.

A Figura 6 apresenta os valores experimentais da posição angular da fonte em relação ao ponto fixo do pêndulo (ponto $O$ na Figura 3). A partir da análise da Figura 6, nota-se que os dados ajustam-se bem ao esperado teoricamente para o movimento oscilatório do pêndulo descrito pela Equação (4), isto é, ${\theta }_1\left(t\right)={\theta }_{\max }\sin \left({\omega }_{0}t+\varphi \right)$, a qualidade do ajuste é indicada pelo parâmetro $R^2=\mathrm{0,9999}\approx 1$.

Figura 6
Posição angular da fonte de som em relação à origem do pêndulo (ponto $O$), ver Fig. (4). Em azul, apresentam-se os dados experimentais discretos, e em vermelho, a curva teórica com valores de ajuste ${\theta }_{\max }={\mathrm{19,25}}^o$, ${\omega }_0=\mathrm{4,43}$rad/s, $\varphi =\mathrm{3,23}$rad. A qualidade do ajuste é indicada pelo valor $R^2=\mathrm{0,9999}$.

Com os dados de posição angular em função do tempo é possível obter, por derivação direta, curvas de ajuste para os valores experimentais de velocidade angular e, portanto, conhecer a velocidade do movimento da fonte de ondas sonoras em qualquer instante.

Por outro lado, alterando a origem do sistema de coordenadas no programa Tracker, podemos obter dados experimentais da posição angular da fonte em relação à posição onde se encontra o receptor (observador) do som, ou seja, a posição angular ${\theta }_2$ em relação ao ponto $Q$, como mostrado na Figura 3. Na Figura 7, temos os resultados para a posição angular da fonte em relação ao observador. Os valores experimentais dos ângulos foram obtidos com o software Tracker, enquanto o ajuste dos dados foi realizado com a Equação (8), a qualidade do ajuste é medido pelo parâmetro $R^2=\mathrm{0,9992}$. Para obter um ajuste mais adequado, os valores experimentais do braço de alavanca do pêndulo, $l_0=\mathrm{55,5}\text{cm}$, e da distância entre o ponto mínimo do pêndulo, $P_0$, e a posição, $Q$, do receptor de som, $d=\mathrm{15,0}\text{cm}$, foram então refinados.

Figura 7
Posição angular da fonte de som vista em relação ao receptor de som (ponto $Q$), ver Fig. (4). Os dados experimentais discretos são apresentados em vermelho, enquanto a curva azul representa o ajuste teórico aos dados usando a Eq. (8), a qualidade do ajuste é medido pelo parâmetro $R^2=\mathrm{0,9992}$.

Os dados da orientação angular ${\theta }_2$ são necessários para obter a componente da velocidade da fonte na direção do receptor $v_{\parallel }$.

Da Equação (9), temos que $v_{\parallel }\left(t\right)=v\cos \left[\alpha \left(t\right)\right]$, em que $\alpha \left(t\right)={\theta }_2\left(t\right)-{\theta }_1\left(t\right)$, e a velocidade tangencial do pêndulo é simplesmente o produto da velocidade angular, $\dot{{\theta }_1}$, com o braço de alavanca do pêndulo, $l_0$, ou seja, $v=l_0\dot{{\theta }_1}$. É importante salientar que tanto os ângulos ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$, quanto a velocidade angular $\dot{{\theta }_1}$, são obtidos experimentalmente por videoanálise usando-se o software Tracker. Desta forma, tem-se valores experimentais da velocidade tangencial $v$ da fonte sonora e da componente desta velocidade na direção do receptor de som $v_{\parallel }$.

O valor teórico da velocidade da fonte em relação ao receptor é dado pela Equação (10), na qual se indica que

$v_{\parallel }\left(t\right)=\left({\theta }_{\max }{\omega }_0{l}_0\right)\cos \left({\omega }_{0}t+\varphi \right)\cos \left[{\theta }_2\left(t\right)-{\theta }_1\left(t\right)\right]$, sendo que os valores dos ajustes foram obtidos previamente, gerando, assim, uma curva de ajuste para a velocidade $v_{\parallel }$. Na Figura 8 são apresentados tanto os resultados experimentais da componente da velocidade da fonte em relação ao observador fixo, assim como a respectiva curva de ajuste teórica (em vermelho). A precisão do ajuste dos valores experimentais à curva teórica é atestada pelo parâmetro $R^2=\mathrm{0,959}$. Nota-se que esta componente da velocidade oscila em função do tempo devido ao movimento pendular da fonte.

Figura 8
Frequência da fonte de som em movimento pendular medida pelo observador estático no eixo do pêndulo (azul). Os pontos discretos (azul claro) correspondem aos dados experimentais da frequência obtidos com o software em Python. A linha contínua (azul escuro) representa a curva teórica esperada para o efeito Doppler, ver Eq. (11), a qualidade do ajuste indica $R^2=\mathrm{0,920}$. A velocidade relativa da fonte emissora de som na direção do observador é mostrada em vermelho. Os pontos discretos (triângulos vermelhos claro) são medidas experimentais da velocidade obtidas por videoanálise usando-se o software Tracker. A curva em linha tracejada (vermelho escuro) representa o ajuste teórico da velocidade, ver Eq. (10), a qualidade do ajuste indica $R^2=\mathrm{0,959}$.

Finalmente, de posse dos dados da frequência base do som emitido, $f_0=2200\text{Hz}$, e obtidos os valores experimentais da velocidade da fonte do som em relação ao observador, podemos aplicar a teoria do efeito Doppler, Equação (11), e comparar o resultado teórico, obtido utilizando as curvas de ajuste do movimento, com os dados experimentais da análise acústica de frequência-tempo. A análise acústica do comportamento temporal da frequência foi obtida gravando-se o som da fonte durante o movimento de oscilação. Após, o sinal era processado usando-se o Analisador Espectral-Temporal desenvolvido neste trabalho, cujos resultados são mostrados também na Figura 8. Decidimos mostrar os valores experimentais das velocidades e frequências num gráfico unificado, para facilitar a comparação e perceber o efeito do afastamento $v_{\parallel }>0$ com a correspondente diminuição da frequência percebida pelo observador $f<f_0$. Da mesma forma, na aproximação $v_{\parallel }<0$, vemos que existe um aumento na frequência percebida $f>f_0$. Por outro lado, quando não exite componente paralela da velocidade $v_{\parallel }=0$ vemos que não existe deslocamento da frequência $f=f_0$. Mais especificamente, na Figura 8 observa-se que, embora a fonte emita um sinal de frequência $f_0=2200\text{Hz}$, deslocamentos oscilatórios da frequência são percebidos, obtendo-se frequências na faixa $f=\left(2200\pm 3\right)\text{Hz}$, comprovando, assim, as previsões do efeito Doppler e a precisão do analisador espectral-temporal construído. A precisão do modelo teórico e seu ajuste aos resultados experimentais é constatado pelo parâmetro de qualidade de ajuste $R^2=\mathrm{0,920}$.

Desta forma, percebe-se uma excelente concordância entre as previsões teóricas e os resultados experimentais.

6. Discussões e Conclusões

Neste trabalho, analisamos o efeito Doppler aplicado ao movimento oscilatório de um pêndulo físico de três maneiras: teórica, computacional e experimental. Foi possível, então, validar o modelo cinemático proposto, derivado da análise de vídeo e comparar suas previsões com a variação de frequência medida diretamente a partir do sinal acústico. A decomposição vetorial da velocidade da fonte, isolando a componente efetiva ao longo da linha que conecta a fonte ao observador, mostrou-se conveniente para descrever a modulação da frequência observada.

A implementação computacional, em Python, demonstrou excelente desempenho na análise espectral de sinais acústicos, convertendo dados brutos de áudio em séries tempo-frequência com alta resolução. O uso da transformada de Fourier de curto prazo com janelas longas e sobreposição significativa garantiu precisão na identificação de pequenas variações de frequência. No experimento realizado, a magnitude da variação de frequência foi pequena, o que tornou necessária uma alta sensibilidade na detecção. O algoritmo também foi eficaz em eliminar ruídos externos durante as gravações, especialmente após o pré-processamento com filtragem Butterworth, que se revelou uma ferramenta eficiente e acessível para aplicações de espectroscopia acústica em contextos educacionais e laboratoriais. Entre as principais limitações do método, destaca-se que a resolução espectral mínima é determinada por $\Delta f_{bin}=s_r/N_{FFT}\approx \mathrm{2,7}$ Hz, e que a estabilidade de $f_0$ está condicionada ao desempenho do aplicativo utilizado como gerador de tom. Em comparação com trabalhos correlatos [²], utilizaram uma fonte sonora em movimento circular com frequência de aproximadamente 7470 Hz e obtiveram um desvio espectral estimado de $\sim$6,5 Hz ($\sim$0,09%) na análise do espectrograma via Audacity. No presente trabalho, com frequência base de 2200 Hz e variações de $\pm 3$ Hz ($\sim$0,14%), obteve-se precisão comparável utilizando um pipeline automatizado em Python com resolução espectral de $\Delta f_{bin}\approx \mathrm{2,7}$ Hz, com a vantagem adicional de dispensar a extração manual de pontos do espectrograma.

Um aspecto importante deste trabalho é a capacidade de investigar fenômenos físicos complexos com um grau de precisão notável utilizando apenas ferramentas gratuitas ou de fácil acesso, como softwares livres, smartphones, tablets e gravadores de voz. A metodologia apresenta um potencial didático significativo, permitindo que escolas ou laboratórios com recursos limitados explorem experiências físicas relevantes.

Com o intuito de deixar ao alcance de um amplo público a possibilidade de replicar este trabalho ou mesmo de gerar novos cenários, disponibilizamos o software Analisador Espectral-Temporal [²²] para uso gratuito e com as devidas menções e agradecimentos. Este software foi registrado no Instituto Nacional de Propriedade Industrial (INPI), com o número de registro BR512025004210-8.

Cabe ressaltar que este software foi criado com o intuito de melhorar a aquisição da frequência do som ao longo de cada instante de tempo e para ter mais liberdade nas definições do processo de medição. Assim, este algoritmo numérico foi implementado em linguagem Python, para a geração de pontos de tempo-frequência, a partir do arquivo de áudio gravado. Logo disto, para ter um comparativo com um recurso pronto e acessível, utilizou-se o aplicativo para celular Phyphox, que permite obter a frequência sonora do sinal gravado durante um intervalo de tempo dado. Um smartphone atuou como receptor de somestacionário.

Sendo assim, a análise realizada em linguagem Python pode ser também feita usando-se o aplicativo Phyphox. Ambas as tecnologias possuem a vantagem de serem disponibilizadas gratuitamente. Contudo, o software Phyphox oferece menos flexibilidade para definir os parâmetros de medição. Para mostrar o desempenho do aplicativo Phyphox, o experimento foi repetido, considerando a mesma frequência base de $f_0=2200\text{Hz}$. Utilizando o software Tracker para fazer a análise do movimento, obtemos a velocidade relativa da fonte na direção do observador, mostrada na Figura 9.

Figura 9
Frequência da fonte de som em movimento pendular medida pelo observador estático no eixo do pêndulo (verde). Os pontos discretos (verde claro) correspondem aos dados experimentais da frequência obtidos com o aplicativo Phyphox. A linha contínua (verde escuro) representa a curva teórica esperada, ver Eq. (11), para o efeito Doppler, a qualidade do ajuste indica $R^2=\mathrm{0,765}$. A velocidade relativa da fonte emissora de som na direção do observador é mostrada em cinza. Os pontos discretos (triângulos cinza claro) são medidas experimentais da velocidade obtidas por videoanálise usando-se o software Tracker. A curva em linha tracejada (cinza escuro) representa o ajuste teórico da velocidade, ver Eq. (10), a qualidade do ajuste indica $R^2=\mathrm{0,996}$.

Na Figura 9 é ilustrado o gráfico de frequências no tempo obtido pelo Phyphox, para o movimento indicado da fonte. Os valores experimentais das frequências oscilam e ajustam-se com precisão às previsões do efeito Doppler nestas condições. Neste caso o ajuste ao modelo teórico, Equação (11), tem precisão $R^2=\mathrm{0,765}$. Na Figura 9 nota-se ainda que existe um decréscimo na frequência captada pelo observador quando a velocidade da fonte, $v_{\parallel }$, é positiva e se afasta, enquanto nos intervalos em que a fonte se aproxima e possui velocidade relativa negativa, $v_{\parallel }<0$, existe um aumento na frequência.

Isto demonstra a pertinência e eficacia de utilizar o Phyphox.

Finalmente, cabe alertar o leitor que pretende replicar este experimento sobre alguns cuidados necessários para que o experimento seja realizado de forma satisfatória. Em primeiro lugar, é necessário centralizar de forma adequada o receptor de som, de tal forma que ele esteja alinhado na linha vertical de equilíbrio do pêndulo. O segundo ponto crucial é utilizar uma fonte de som que não seja do tipo stereo e que se assemelhe o máximo possível a uma fonte de som pontual.

O uso de smartphones como fonte de som é desencorajado para este propósito, uma vez que

a maioria dos celulares possui duas saídas de som para criar espacialidade. Esta característica implica que a hipótese de fonte pontual não seria mais adequada, caso se use um celular. Além disto, embora interessante, o caso do movimento de duas fonte de som pode causar superposições ou interferências nas previsões do efeito Doppler, hipóteses estas que se encontram fora do escopo do presente trabalho.

Na Figura 10 são representados uma fonte de som não-pontual, do tipo stereo, e um receptor não centralizado, deslocado uma distância $D$ do eixo de simetria do pêndulo. No caso ideal de termos uma fonte de som pontual e um receptor alinhado no eixo de simetria, como mostrado na Figura 3, o resultado para as oscilações de frequência causadas pelo efeito Doppler podem ser verificadas de forma clara.

Figura 10
Efeito Doppler no caso de uma fonte de som do tipo estéreo (conformada por duas fontes pontuais) em movimento pendular. Além disso, ilustra-se o observador estático, mas deslocado do eixo do pêndulo uma distância $D$.

Para o caso de uma fonte pontual emitindo uma frequência base $f_0=2000\text{Hz}$, temos os resultados mostrados na Figura 11(a). No entanto, se o receptor de som estiver desalinhado, teremos que a trajetória da fonte pendular, no referencial do receptor, não será mais uma trajetória simétrica, fazendo com que num lado as oscilações sejam mais curtas e rápidas e no outro lado as oscilações sejam mais longas e lentas. Esta assimetria do movimento pode ser percebida no gráfico da frequência no tempo mostrado na Figura 11(b), onde se considerou uma frequência base da fonte de $f_0=2000\text{Hz}$ e no qual o receptor encontrava-se deslocado uma distância de $D=5$ cm.

Figura 11
Comportamento temporal dos dados de frequência obtidos com fontes de som tipo pontual e tipo stereo e considerando um receptor de som alinhado ou desalinhado com respeito ao eixo do pêndulo. Em (a), o efeito Doppler de uma fonte pontual oscilante com o receptor centralizado. Em (b), fonte pontual com receptor deslocado do centro. Em (c), fonte stereo (duas fontes pontuais) com receptor centralizado. Em (d), fonte stereo com receptor não centralizado.

As configurações mais problemáticas de análise são os casos nos quais o som é gerado por duas fontes pontuais (fonte de som tipo stereo). Neste caso, mesmo mantendo o alinhamento do receptor na linha vertical de simetria do pêndulo, existe interferência entre os sons emitidos pelas duas fontes ao chegarem no receptor. Um resultado do comportamento temporal da frequência sonora obtido neste caso de uma fonte de som tipo stereo é mostrado na Figura 11(c). Quando se utiliza uma fonte sonora stereo e o receptor de som encontra-se desalinhado, o comportamento temporal da frequência sonora é severamente comprometido, obtendo-se resultados como o mostrado na Figura 11(d).

Desta forma, é importante salientar que a fonte sonora utilizada reproduza, da forma mais próxima possível, uma fonte pontual de som. O uso do celular como fonte, neste caso, não é aconselhável, sobretudo porque estes dispositivos possuem duas regiões pelas quais o som é emitido.

Nestes aparelhos, com som stereo, pode haver interferência entre os sons emitidos por cada uma das fontes, prejudicando desta forma os resultados.

Para orientar professores na abordagem do efeito Doppler em sala de aula, recomenda-se um roteiro estruturado em três etapas: (i) problematização inicial com exemplos cotidianos (como sirenes), seguida de (ii) atividade experimental investigativa e (iii) análise e sistematização dos resultados. A aula pode começar com perguntas como “por que o som muda quando a fonte se aproxima ou se afasta?"e “o que exatamente está variando: velocidade da onda ou frequência percebida?”. Em seguida, propõe-se uma atividade prática inspirada no artigo: utilizar uma fonte sonora em movimento oscilatório (como um pêndulo com uma caixa de som) e um smartphone como receptor, explorando aplicativos como Phyphox ou gravações simples de áudio. A videoanálise com Tracker pode ser incorporada para relacionar movimento e frequência, promovendo integração entre conceitos de cinemática e ondas. Ao final, os alunos devem comparar qualitativamente (ou quantitativamente, quando possível) os dados obtidos com as previsões teóricas, consolidando a compreensão do fenômeno.

Do ponto de vista experimental, alguns cuidados são essenciais para garantir resultados significativos: alinhar o receptor com o eixo do movimento, utilizar uma fonte sonora aproximadamente pontual (evitando dispositivos estéreo como celulares) e minimizar ruídos externos durante a coleta de dados. Professores devem estimular perguntas investigativas ao longo da atividade, como “o que acontece se o receptor estiver fora do eixo?” ou “como a amplitude do movimento afeta a variação de frequência?”. Em contextos com poucos recursos, adaptações viáveis incluem o uso exclusivo de smartphones (como gravadores e analisadores), substituição do pêndulo por movimentos manuais controlados e análise qualitativa do som. Essas estratégias mantêm o caráter investigativo e permitem explorar o efeito Doppler de forma acessível, reforçando o potencial didático de experimentos de baixo custo aliados a tecnologias digitais.

Como perspectiva para trabalhos futuros, pode-se explorar movimentos oscilatórios mais complexos, com pêndulos amortecidos ou em duas dimensões.

É fundamental, contudo, garantir que todas as investigações futuras mantenham o foco no uso de ferramentas de baixo custo e alta acessibilidade, a fim de preservar o caráter didático, um dos focos centrais deste trabalho.

Agradecimentos

M.L. Silva gostaria de agradecer à InovUerj pelo auxílio através da bolsa QUALITEC no contexto do projeto. E. Arias gostaria de agradecer o financiamento da UERJ via Projeto PRODOCENCIA Edital PR1-35/2021. J. P. F. Fonseca gostaria de agradecer o financiamento da UERJ via Projeto PRODOCENCIA Edital PR1-35/2021. R. Turcati gostaria de agradecer o suporte financeiro do Programa de Capacitação Institucional (PCI) do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq).

Disponibilidade de Dados

Os dados experimentais brutos (arquivos de áudio, vídeos e resultados de análise cinemática) neste trabalho estão disponíveis mediante solicitação aos autores correspondentes. O software Analisador Espectral-Temporal foi registrado no Instituto Nacional de Propriedade Industrial (INPI) sob o número BR512025004210-8 e pode ser obtido para fins acadêmicos e educacionais no repositório Zenodo sob o DOI 10.5281/zenodo.18382413.

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Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  22 Jun 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  27 Jan 2026
• Revisado
  22 Abr 2026
• Aceito
  27 Maio 2026