Configurações centrais planares do tipo pipa

Kite planar central configurations

ARTIGOS GERAIS

Configurações centrais planares do tipo pipa

Kite planar central configurations

Luis Fernando MelloI,¹; Felipe Emanoel Chaves^I; Antonio Carlos Fernandes^II

^IInstituto de Ciências Exatas, Universidade Federal de Itajubá, Itajubá, MG, Brasil

IIInstituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, SP, Brasil

RESUMO

Neste artigo estudamos configurações centrais planares do tipo pipa para o problema de quatro corpos. Mostramos a existência de tais configurações para as pipas côncavas, quando uma das massas está no interior do triângulo formado pelas outras três massas, e para as pipas convexas, quando uma das massas está no exterior do triângulo formado pelas outras três massas.

Palavras-chave: problema de n-corpos, configurações centrais planares do tipo pipa.

ABSTRACT

In this paper we study the kite planar central configurations for the 4-body problem. We show the existence of such configurations for the 4-body problem in two cases: kite concave and kite convex.

Keywords: n-body problem, kite planar central configurations.

1. Introdução

Considere n partículas de massas positivas m_i ocupando posições r_i∈ ^d , i =1, 2,...,n. Usualmente d =2 ou d = 3. O clássico problema de n corpos em mecânica celeste consiste no estudo da dinâmica dessas n massas interagindo de acordo com lei da gravitação universal proposta por Newton [1].

O centro de massa do sistema, dado por , onde M = m₁ + ··· + m_n é a massa total, será considerado na origem de nosso referencial inercial, o qual é usualmente chamado referencial inercial baricêntrico.

Deste modo, as equações diferenciais que regem o problema de n corpos são dadas por

para i =1, 2,...,n, onde r_ij = |r_i - r_j| é a distância Euclidiana entre m_i e m_j . Na Eq. (1) estamos adotando um referencial em relação ao qual a constante de gravitação universal tem 1 unidade.

Dizemos que as n massas formam uma configuração central se o vetor aceleração de cada partícula é proporcional ao seu vetor posição relativo ao centro de massa do sistema, ou seja, se existir λ positivo tal que

para todo i =1, 2,...,n. Assim, da Eq. (1), as equações que regem o problema de n corpos numa configuração central são dadas por

para i = 1, 2,..., n.

As soluções colineares encontradas por Euler [2] para o problema de três corpos bem como as soluções triangulares equilãteras encontradas por Lagrange [3] para o problema de três corpos são exemplos clássicos de configurações centrais. Recomendamos os livros de Wintner [4] e Hagihara [5], bem como o artigo de Moeckel [6] e as referências lá citadas para um estudo abrangente das configurações centrais.

As configurações centrais permitem obter as únicas soluções explícitas do problema de n corpos conhecidas até hoje, que são as chamadas soluções homográficas, para as quais as razões das distâncias mútuas entre os corpos permanecem constantes. Além do mais, as configurações centrais estão relacionadas com algumas modificações topológicas dos conjuntos de nível de energia h e de momento angular c do problema de n corpos [7].

Pouco se sabe a respeito das configurações centrais para n arbitrário. Para o caso colinear, Moulton [8] mostrou que existem n!/2 possíveis configurações centrais, uma para cada ordenação das massas, para qualquer escolha de massas positivas. Para o caso das configurações centrais planares, onde as partículas estão num mesmo plano (d = 2), sabe-se, entre outras coisas, que n partículas de massas iguais sobre os vértices de um n-ágono regular formam uma configuração central, generalizando assim o resultado de Lagrange quando n = 3 para massas iguais. Vale observar que uma configuração central planar dá origem a uma família de órbitas na qual cada partícula descreve uma cônica com um foco no centro de massa.

A importância dada ao estudo das configurações centrais pode ser exemplificada pelo sexto problema de uma lista proposta por Smale [9] como desafios matemáticos para o século XXI. Smale coloca uma questão levantada por Wintner para as configurações centrais planares: para um dado conjunto de n massas positivas, o número de configurações centrais planares não equivalentes (módulo rotações, translações e dilatações) é finito?

Para o caso de 3 corpos há somente 5 classes de equivalência de configurações centrais, sendo 3 de Euler e 2 de Lagrange. Recentemente, Hampton e Moeckel em [10] responderam afirmativamente a questão acima para n = 4, mostrando que, neste caso, o número de configurações centrais planares não equivalentes está entre 32 e 8472. A questão acima ainda está aberta para n> 4.

Neste artigo estudaremos configurações centrais planares não colineares do problema de 4-corpos que têm a forma de pipa, ou simplesmente configurações centrais do tipo pipa, as quais podem ser definidas como aquelas que têm um eixo de simetria passando por duas das massas. A configuração do tipo pipa é chamada convexa se nenhum dos corpos está localizado no interior do fecho convexo dos outros três (Fig. 1). Caso contrário, dizemos que a configuração do tipo pipa é côncava (Fig. 2). Para maiores detalhes, veja a Ref. [11].

Neste artigo consideraremos que as massas m₃ e m₄ estarão sobre a reta de simetria das configurações do tipo pipa, sendo que a posição de m₃ estará fixa, conforme a Fig. 3. O principal resultado deste artigo está colocado no teorema a seguir.

Teorema 1 Considere quatro massas m₁, m₂, m₃ e m₄ localizadas em (-x, 0), (x, 0), (0, /2) e (0,y), com x > 0 e y< /2 , de acordo com a Fig. 3. Valem as seguintes afirmações:

1. Para cada

existe um intervalo aberto não vazio Ix₀ tal que, para cada y₀ ∈ Ix₀ , existem massas positivas m₁ = m₂, m₃ e m₄ de modo que os quatro corpos, como na Fig. 3, estão numa configuração central do tipo pipa;

2. Para x₀ =1/2 e y₀ =/6, existem massas positivas m₁ = m₂ = m₃ e m₄ de modo que os quatro corpos , como na Fig. 3 estão numa configuração central do tipo pipa côncova.

3. Para x₀ =/2 e y₀ = - /2, existem massas positivas m₁ = m₂ = m₃ = m₄ de modo que os quatro corpos, como na Fig. 3, estã o numa configuração central do tipo pipa convexa.

A prova deste teorema está colocada na seção 3. Na seção 2 enunciamos e demonstramos um importante resultado sobre as equações que regem as configurações centrais planares, conhecidas como equações de Dziobek. Aproveitamos ainda para ilustrar com dois exemplos as aplicações dessas equações. Na seção 4 apresentamos os comentários finais e colocamos alguns problemas abertos relativos às configurações centrais planares.

2. Equações de Dziobek

As Eqs. (3) formam um conjunto de 2n equações para o caso de configurações planares. Alternativamente, vamos trabalhar aqui com um sistema equivalente de n(n- 1)/2 equações proposto por Dziobek (veja, por exemplo, a Ref. [5], p. 241)

para 1 < i < j < n, onde R_ij = , Δ_ijk = (ri - rj) ^ (ri - rk). Observe que na Eq. (4), Δ_ijk é o dobro da área orientada do triângulo com vértices em r_i, r_j e r_k, nesta ordem. Assim, Δ_ijk = Δ_kij e Δ_ijk = Δ_ikj , para todo i; j; k. É claro que R_ij = R_ji, para todo i,j. De fato, temos a seguinte proposição.

Proposição 2 Considere n massas m₁;m₂, ..., m_n num mesmo plano e não colineares, localizadas, respectivamente, em r₁; r₂,..., r_n. Então, o sistema da Eq. (3) é equivalente ao sistema da Eq. (4).

Prova. Suponhamos que as n massas formem uma configuração central planar. Portanto, existe λ positivo tal que Utilizando a Eq. (3), temos, para i = 1,2,..., n,

Naturalmente, podemos retirar um termo da soma acima, para j ≠ i, obtendo

Analogamente, para rj e para j ≠ i, obtemos

Podemos, então, subtrair a Eq. (6) da Eq. (5), de modo a obter, para i ≠ j,

Tomando produto o vetorial por ri - rj em ambos os membros da Eq. (7), decorre

Portanto, f_ij = 0, para todo 1 < i < j < n.

Reciprocamente, consideremos as equações de Dziobek

para 1 < i < j < n, as quais podem ser escritas da forma

No membro esquerdo podemos incluir o termo em j sem alterar a igualdade. Da mesma forma, podemos inserir o termo em i no membro direito. Assim, temos

ou seja

Notemos que a igualdade acima pode ser escrita como

Podemos inserir à direita da igualdade o termo -r_j sem alterrá-la, obtendo

Disto, segue

de onde temos

a qual implica que

Efetuando o produto vetorial membro a membro, obtemos

Somando em j para j ≠ i, temos

onde M é a massa total. Como o centro de massa está na origem do referencial, temos

Visto que o espaço é homogêneo e isotrópico e o sistema é isolado, temos que as quantidades de momento linear e momento angular são conservadas. Então, respectivamente, temos

e

Substituindo as Eqs. (13), (14) e (15) na Eq. (12), obtemos

Desta forma, Mr_i ^ F_i = 0, o que implica em r_i e F_i serem paralelos, ou seja, F_i = λ_ir_i, ou ainda = (λ_i=m_i)ri. Da Eq. (11), decorre

Assim

o que implica em

Se r_j é paralelo a r_i, a igualdade acima se verifica facilmente. Se r_i e r_j são não colineares, temos que

para todo i, j. Portanto,

para todo i = 1; 2,..., n, como queríamos provar.

Faremos, a seguir, aplicações das Eqs. (4) nos exem plos de configurações centrais planares de Lagrange [3] e de Roberts [12]. Considere 3 corpos de massas positivas e não colineares. Das Eqs. (4), temos

Como m_i> 0 e Δ_ijk ≠ 0, segue que R₁₂ = R₁₃ = R₂₃. Em outras palavras, as massas estão sobre os vértices de um triângulo equilátero.

Considere 5 corpos de massas m₁, m₂, m₃ e m₄ = m e m₅ = p, nas posições (1, 0), (-1, 0), (0, k), (0,-k) e (0, 0), respectivamente, de acordo com a Fig. 4.

Queremos encontrar valores para m, p e k de modo que os 5 corpos com as massas e as posições de acordo com a Fig. 4 estejam em configuração central. Para este caso, o conjunto de Eqs. (4) é um conjunto de 10 equações. No entanto, pelas simetrias envolvidas, resulta que f₁₃ = 0, f₁₅ = 0, f₂₄ = 0, f₂₅ = 0, f₃₅ = 0 e f₄₅ = 0 são trivialmente satisfeitas. As outras 4 equações, f₁₂ = 0, f₁₄ = 0, f₂₃ = 0 e f₃₄ = 0 são equivalentes a f₁₂ = 0, a qual pode ser escrita como

ou, equivalentemente, como

Para m = 1 e p = -1=4, a equação acima é satisfeita, para todo k ∈

⁺. Ou seja, há um contínuo de configurações centrais não equivalentes.

3. Demonstração do Teorema 1

Nesta seção faremos a prova do Teorema 1 utilizando as equações de Dziobek (4). Para o problema planar de 4-corpos (4) é um conjunto de 6 equações. As configurações do tipo pipa, como na Fig. 3, sem colisões, devem satisfazer, entre outras, as seguintes relações

Consideremos as equações de Dziobek de nosso problema

Usando as relações acima, podemos reescrever a Eq. (21) da seguinte maneira

Nas hipóteses do Teorema 1, o termo Δ134 nunca se anula, daí m₁ = m₂, ou R₁₃ = R₁₄. Se R₁₃ = R₁₄, temos um quadrado, que é uma configuração central se, e somente se, m₁ = m₂, m₃ e m₄ (veja item 3 do Teorema 1). Assim, podemos supor, sem perda de generalidade, que

A Eq. (16) é trivialmente satisfeita. Usando as relações de simetria acima, temos

e

Portanto, é suficiente encontrar soluções para as Eqs. (17) e (18), com valores positivos para as massas m₃ e m₄. Vamos reescrever estas equações de modo a obter m₃e m₄ como funções das posições

Desejamos encontrar, se existirem, as regiões no semi- plano x > 0 para as quais teremos valores positivos para ambas as massas. Devemos, então, estudar o sinal dos termos envolvidos nas expressões de m₃e m₄ nas Eqs. (22) e (23), respectivamente.

Substituindo as coordenadas, conforme indicações da Fig. 3, temos

Para o sinal das áreas orientadas consideremos primeiramente 0 < y< /2. Neste caso, nas expressões (22) e (23) vale

Assim, comparando o sinal de cada um dos termos das Eqs. (22) e (23), teremos que se (x, y) ∈ A₁∪ A₂, as massas m₃ e m₄ serão positivas, onde

Consideremos agora y < 0. Neste caso, nas expressões (22) e (23), temos

Novamente, comparando o sinal de cada um dos termos das Eqs. (22) e (23), teremos que se x, y) ∈ A₃= B₁∪ B₂ as massas m₃e m₄ serão positivas, onde

O caso y = 0 não precisa ser considerado, pois, não ocorre configuração central do tipo pipa, devido ao Teorema da Reta Perpendicular Bissetora, conforme [6].

Finalmente, concluímos que se (x₀, y₀) ∈ A₁∪ A₂∪ A₃, vide Fig. 5, então as massas

com posições

formam uma configuração central do tipo pipa, como mostrada na Fig. 3. O intervalo I_x0 do enunciado do teorema é obtido tomando a interseção da reta x = x_x0 com a região aberta A_i, i = 1, 2, 3. Isso demonstra o item 1 do Teorema 1.

Para a prova do item 2, observemos que, neste caso, valem r₁₂ = r₁₃ = r₂₃ = 1, r₁₄ = r₂₄ e Δ₁₄₃ = Δ₂₃₄. Assim, f₁₂ = 0 é trivialmente satisfeita. De f₁₃ = 0 e de f₂₃ = 0 resultam, respectivamente, R₁₄ = R₃₄ e R₂₄ = R₃₄. Portanto, R₁₄ = R₂₄ = R₃₄. Assim, de f₂₄ = 0 e f₃₄ = 0, temos m₁= m₃ e m₁ = m₂, respectivamente. Logo, m₁ = m₂ = m₃. De posse dessas conclusões sobre as massas e sobre as distâncias, segue que f₁₄= 0 também é trivialmente satisfeita. Isso conclui a prova do item 2 do Teorema 1.

Passemos agora à prova do item 3 do Teorema 1. Neste caso, os 4 corpos estão sobre os vértices de um quadrado, de modo que as seguintes igualdades são obtidas: r₁₂ = r₃₄ = r₁₃ = r₂₃ = r₂₄ e e Δ₁₂₃ = Δ₁₄₃ = Δ₂₃₄ = Δ₁₄₂. Substituindo essas informações nas equações de Dziobek resulta que f₁₂ = 0 e f₃₄ = 0 são trivialmente satisfeitas, enquanto que de f₁₃ = 0, f₁₄ = 0, f₂₃ = 0 e f₂₄ = 0 resultam m₂= m₄, m₂ = m₃, m₁= m₂, m₃ = m₄ respectivamente. Portanto, m₁= m₂= m₃ = m₄ e o item 3 do Teorema 1 está demonstrado.

Baseados no Teorema 1, seguem os seguintes corolários.

Corolário 3 Para cada 1=2 < x₀ < p =2, existem dois intervalos abertos disjuntos I_x0⁺ e I_x0^- , tal que para cada existem massas positivas m₁= m₂, m₃ e m₄, de modo que os quatro corpos, como na Fig. 3, estejam numa configuração central do tipo pipa. Mais especificamente, se y₀ ∈ I_x0⁺ a configuração central é do tipo pipa côncava e se y₀∈ I_x0^- a configuração central é do tipo pipa convexa.

Corolário 4 Considere 0 < x < (2 - 3)/2. Então, não existem y ∈ e massas positivas m₁, m₂, m₃ e m₄, de modo que os quatro corpos, como na Fig. 3, estejam numa configuração central do tipo pipa.

Corolário 5 Considere y </2. Então, se x > (2 p +3)/2, não existem massas positivas m₁, m₂, m₃ e m₄, de modo que os quatro corpos, como na Fig. 3, estejam numa configuração central do tipo pipa.

4. Observações finais

Neste artigo estudamos as configurações centrais planares do tipo pipa para o problema de 4-corpos. Outras classes de configurações centrais podem interessar ao leitor, tais como as configurações centrais planares encaixantes [13].

Deixamos ao leitor o estudo das configurações centrais planares do tipo pipa para o caso em que y > /2, completando assim os resultados do Teorema 1 (vide Fig. 3).

Como problemas abertos, podemos colocar os dois seguintes:

1. Dar um exemplo analítico de uma configuração central planar para o problema de 4-corpos que não apresente reta de simetria. Um exemplo numérico pode ser encontrado em [11];

2. Inspirado no exemplo de Roberts com uma massa negativa, prove a existência (ou não) de um contínuo de configurações centrais planares não equivalentes para o problema de 4-corpos.

5. Agradecimentos

O primeiro autor desenvolveu este trabalho com auxílio do CNPq, projeto 473747/2006-5. O segundo autor é bolsista da CAPES/REUNI. O terceiro autor é bolsista da FAPESP, projeto 2007/58037-6.

Recebido em 29/7/2008

Aceito em 24/9/2008

Publicado em 30/4/2009

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• [13] L.F. Mello e A.C. Fernandes, Revista Brasileira de Ensino de Física 29, 385 (2007).

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  28 Maio 2009
• Data do Fascículo
  Abr 2009

Histórico

• Recebido
  29 Jul 2008
• Aceito
  24 Set 2008