Algoritmo QAOA como ferramenta de otimização estrutural: aplicação em modelagem por elementos finitos no aerodesign

The QAOA algorithm as a structural optimization tool: application to finite element modeling in aerodesign

Resumo

Neste trabalho estudamos a aplicação do Algoritmo Quântico de Otimização Aproximada, ou Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA), em um problema de análise estrutural na área de aerodesign. O estudo foi conduzido a partir da modelagem de uma triquilha^‡ simplificada projetada pela equipe Acauã Aerodesign, do Campus UFV Florestal. O problema de otimização foi formulado com base no Método dos Elementos Finitos, cujo objetivo consiste em determinar os deslocamentos nodais que minimizam a energia potencial da estrutura. Como a formulação original envolve variáveis contínuas, foi necessário realizar um mapeamento para a forma binária, atribuindo um conjunto de qubits a cada variável. Os resultados obtidos mostram que o aumento do número de qubits por variável conduz a uma redução do erro quadrático médio (MSE). Além disso, a análise da distribuição de probabilidades revelou que os estados mais prováveis tendem a concentrar-se em menores valores de energia e de MSE, indicando que o QAOA direciona a busca para candidatos mais promissores. Esses achados reforçam o potencial do QAOA para fornecer aproximações de soluções ótimas em problemas de análise estrutural, com desempenho que tende a evoluir de forma consistente com os avanços da tecnologia quântica.

Palavras-chave:
Computação Quântica; QAOA; Elementos Finitos; Aerodesign

Abstract

In this work, we study the application of the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) to a structural analysis problem in the field of aerodesign. The study was carried out through the modeling of a simplified tricycle landing gear designed by the Acauã Aerodesign team at the UFV Florestal Campus. The optimization problem was formulated using the Finite Element Method, aiming to determine the nodal displacements that minimize the potential energy of the structure. Since the original formulation involves continuous variables, it was necessary to map the problem into a binary form, assigning a set of qubits to each variable. The results show that increasing the number of qubits per variable leads to a reduction in the mean squared error (MSE). Furthermore, the analysis of the probability distribution revealed that the most probable states tend to concentrate at lower values of energy and MSE, indicating that QAOA guides the search toward more promising candidates. These findings reinforce the potential of QAOA to provide approximate solutions to structural analysis problems, with performance that is expected to improve consistently as quantum technology advances.

Keywords:
Quantum Computing; QAOA; Finite Element Method; Aerodesign

1. Introdução

A computação quântica é uma das áreas mais inovadoras e promissoras da ciência contemporânea, trazendo novas possibilidades para a resolução de problemas que desafiam os métodos clássicos de computação. Elementos exclusivos de sistemas quânticos, como a superposição de estados^‡ e o emaranhamento quântico^‡ (expressões marcadas com ^‡ são explicadas brevemente em um glossário ao final do trabalho), permitem explorar espaços de soluções de forma mais eficiente, o que pode tornar o processamento de informações mais eficaz em certas tarefas. Um exemplo marcante é o algoritmo de Shor [¹], que demonstra como um computador quântico pode fatorar números inteiros grandes de maneira exponencialmente mais rápida do que os melhores algoritmos clássicos conhecidos. Essa capacidade tem implicações diretas, por exemplo, para a segurança de sistemas criptográficos baseados na fatoração [²]. No entanto, a implementação prática desse algoritmo em casos relevantes exige computadores quânticos com muitos qubits^‡ físicos, além de sofisticadas técnicas de correção de erros [³]. O progresso contínuo na área aponta para a possibilidade de, no futuro, algoritmos como o de Shor se tornarem aplicáveis em cenários de relevância prática.

Atualmente, os computadores quânticos disponíveis ainda estão em estágios iniciais, com um número limitado de qubits e sujeitos a ruído. Esse estágio, caracterizado por John Preskill sob o termo Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ^‡) [⁴], descreve máquinas com dezenas a algumas centenas de qubits, mas sem correção de erro completa, o que limita a profundidade e confiabilidade dos circuitos quânticos. Mesmo nesse estágio inicial de desenvolvimento, tais máquinas podem trazer, em um futuro próximo, contribuições significativas no campo de otimização e simulação, solucionando problemas específicos de forma mais eficiente do que os métodos clássicos. Recentemente, em um artigo entitulado “Beyond-Classical Computation in Quantum Simulation”[⁵], os autores afirmam demostrar uma vantagem quântica real. No estudo em sistemas de spin glasses^‡, o processador quântico utilizado (quantum annealing^‡) demonstrou desempenho superior às simulações clássicas. Os autores mostram que diversos métodos avançados, baseados em redes tensoriais^‡ e redes neurais^‡, não conseguem alcançar a mesma precisão em um tempo computacional viável.

Um elemento importante que pode acelerar o impacto da computação quântica na área de otimização, mesmo na era NISQ, são os algoritmos híbridos [⁶]. Nesses algoritmos, algumas etapas são executadas em computadores clássicos e outras em computadores quânticos, permitindo explorar ao máximo as vantagens que os sistemas quânticos oferecem em tarefas específicas. Entre os exemplos mais conhecidos desses algoritmos estão o VQE^‡ (Variational Quantum Eigensolver) [⁷], algoritmos quânticos genéticos^‡ [⁸] e o próprio QAOA^‡ [⁹].

O QAOA (Quantum Approximate Optimization Algorithm) se destaca como um algoritmo promissor para a resolução de problemas de otimização combinatória, como o Corte-Máximo^‡ (Max Cut) [¹⁰], o Problema do Caixeiro Viajante^‡ (Travelling Salesman Problem) [¹¹] e problemas de alocação de recursos [¹²]. Esse algoritmo é inspirado na computação quântica adiabática, mas é implementado em computadores quânticos por meio de circuitos parametrizados de baixa profundidade (low-depth circuits), isto é, circuitos com poucas camadas de portas quânticas, o que os torna menos sensíveis a ruído e mais adequados à era NISQ. O QAOA combina operações quânticas controladas por parâmetros clássicos com um loop de otimização híbrido, onde um computador clássico ajusta os parâmetros para minimizar a função custo do problema. Uma característica importante do QAOA é sua capacidade de explorar o espaço de soluções através das superposições quânticas e emaranhamento. Além disso, o algoritmo pode ser generalizado para diferentes tipos de problemas de otimização combinatória, tornando-o uma das abordagens mais estudadas e aplicáveis no contexto da computação quântica prática [⁶, ¹³, ¹⁴, ¹⁵].

Algoritmos quânticos também têm sido aplicados em problemas de otimização com variáveis contínuas, como na área de análise estrutural [¹⁶, ¹⁷, ¹⁸]. Entretanto, algoritmos como QAOA e quantum annealing exigem que o problema de otimização seja formulado de acordo com o modelo de Ising^‡ [⁶], o que requer algumas modificações na formulação do problema para adequá-lo ao formato compatível com esses algoritmos. Em [¹⁶], os autores propuseram um método de otimização topológica de treliças usando quantum annealing, no qual deslocamentos nodais e áreas de seção transversal são representados por variáveis binárias. Eles mostraram que o procedimento iterativo permite encontrar a estrutura ótima sob condições de contorno prescritas.

No contexto da engenharia aeronáutica, a análise estrutural de componentes é uma etapa fundamental para garantir segurança, eficiência e conformidade com regulamentos técnicos [¹⁹, ²⁰]. Um exemplo é o dimensionamento da triquilha, o trem de pouso dianteiro de uma aeronave, e que possui a função de contribuir, com o trem de pouso principal, para sustentar o seu peso e direcioná-la quando no solo. Como parte do trem de pouso de aeronaves, ela está sujeita a cargas intensas durante manobras de decolagem e pouso [²¹]. Tais análises são realizadas, em geral, por métodos clássicos, como o Método dos Elementos Finitos [²², ²³], que permitem obter deslocamentos nodais e deformações com precisão. Contudo, a crescente demanda por otimização estrutural em tempo reduzido abre espaço para a investigação de abordagens híbridas que combinem métodos quânticos e clássicos [¹⁶].

Neste trabalho, investigamos a aplicação do algoritmo QAOA na modelagem de uma triquilha simplificada utilizada pela equipe Acauã Aerodesign, do Campus UFV Florestal. A equipe Acauã Aerodesign projeta aeronaves radio-controladas para a competição SAE Brasil Aerodesign^‡ [²⁰] desde 2010. Atualmente, a competição possui três classes: micro, regular e advanced. Desde 2019, a equipe baseia seus projetos nos regulamentos da classe micro, os quais impõem novos desafios a cada ano. Para este estudo, consideramos o projeto de 2024, cuja missão exigia montar a aeronave em 2 minutos (a aeronave inicialmente estava desmontada, com todas as peças numa caixa de 36 litros) e desmontá-la em 1 minuto e 30 segundos. Além da montagem/desmontagem, a competição de voo consistia em decolar a aeronave de uma plataforma de 4,2 m de comprimento [²⁰]. Dessa forma, a configuração geométrica da triquilha foi definida para atender aos requisitos dessa missão específica.

A análise apresentada neste trabalho, através do Método dos Elementos Finitos, foi formulada como um problema de otimização, cujo objetivo consiste em determinar os deslocamentos nodais que minimizam a energia potencial de uma triquilha projetada para a Equipe Acauã Aerodesign. Como o problema envolve variáveis contínuas, foi necessário realizar um mapeamento para a forma binária, de modo que cada variável contínua fosse representada por um conjunto de qubits. Essa transformação é necessária para a aplicação do algoritmo QAOA. Os resultados mostrados neste trabalho indicam que o aumento do número de qubits por variável contínua conduz a uma redução do erro quadrático médio (MSE), em concordância com estudos anteriores baseados em quantum annealing (ver por exemplo [¹⁶]). Além disso, a análise da distribuição de probabilidades dos estados mostra que os estados mais prováveis tendem a se concentrar em menores valores de energia e de MSE, sugerindo que o QAOA orienta a busca para candidatos mais promissores. Esses achados reforçam o potencial do QAOA para fornecer aproximações de soluções ótimas em problemas de análise estrutural, com desempenho que tende a melhorar de forma consistente com a evolução dos computadores quânticos.

Além do desenvolvimento técnico e numérico, este trabalho também propõe uma reflexão sobre a transposição didática desses temas de fronteira para o Ensino Superior. A complexidade intrínseca à computação quântica e à modelagem de estruturas pode, muitas vezes, afastar estudantes de graduação de possíveis aplicações práticas imediatas. Apesar da existência de trabalhos didáticos na literatura sobre computação quântica e possíveis aplicações, por exemplo [²⁴, ²⁵, ²⁶, ²⁷, ²⁸, ²⁹, ³⁰, ³¹, ³², ³³, ³⁴, ³⁵, ³⁶, ³⁷], ainda há uma carência de trabalhos que possam vislumbrar aplicações da computação quântica em contextos de engenharia e, mais especificamente para este trabalho, em contexto de aeronática. Ao articular conceitos consolidados de mecânica clássica e elementos finitos com algoritmos quânticos modernos, como o QAOA, buscamos oferecer oportunidades para uma aprendizagem significativa. Essa abordagem permite integrar o saber teórico à resolução de problemas reais de engenharia e física computacional, dando espaço uma visão crítica sobre as tecnologias emergentes e suas possibilidades pedagógicas.

Este artigo está organizado da seguinte forma. Na Seção 2, apresentamos conceitos fundamentais de dois modelos de computação: a computação por portas lógicas e a computação adiabática. Em seguida, a Seção 3 descreve detalhadamente o algoritmo QAOA. A Seção 4 apresenta os fundamentos do método de elementos finitos utilizado na modelagem estrutural. Na Seção 5, mostramos a aplicação do algoritmo QAOA na otimização de uma triquilha simplificada da equipe Acauã Aerodesign. Na Seção 6, discutimos as extensões didáticas e as perspectivas educacionais da abordagem proposta. Finalmente, apresentamos as principais conclusões do trabalho. Apresentamos também Apêndices didáticos contendo exemplos sobre: fundamentos básicos sobre qubit e esfera de Bloch (Apêndice A), QUBO e Modelo de Ising (Apêndice B), um exemplo simples do Max Cut usando QAOA (Apêndice C) e um glossário com expressões e termos técnicos usados (Apêndice D). Durante o texto, as expressões assinaladas com (^‡) encontram-se definidos no glossário apresentado ao final do artigo.

2. Computação Quântica – Dois modelos

Precisamos inicialmente definir o que trataremos como um problema de otimização: ele consiste em encontrar, entre todas as soluções possíveis de um sistema, aquela que produz o melhor valor para uma função chamada função objetivo. De forma geral, definem-se variáveis de decisão, uma função a ser minimizada ou maximizada juntamente com restrições que limitam o espaço de soluções.

Um problema de otimização pode ser escrito como (no caso de minimização):

(1) $$\underset{\mathbf{x}}{\min }f\left(\mathbf{x}\right)\text{sujeito a}\mathbf{x}\in 𝒞,$$

onde $f\left(\mathbf{x}\right)$ é a função objetivo e $𝒞$ representa o conjunto de soluções permitidas. Problemas desse tipo aparecem em praticamente todas as áreas da ciência e engenharia, sempre que se busca a melhor configuração possível para um sistema dentro de certascondições.

Existem várias formas de se transpor um problema de otimização clássica para o contexto quântico [⁶]. Uma das maneiras envolve reescrever o problema em uma forma binária e quadrática conhecida como QUBO (Quadratic Unconstrained Binary Optimization) [⁶] ou, de modo equivalente, como um Hamiltoniano do modelo de Ising [³⁸]. Cada variável binária é associada a um qubit e a função objetivo é convertida em um operador Hermitiano cuja energia codifica a qualidade da solução. Assim, o estado de menor energia do Hamiltoniano corresponde à solução ótima do problema clássico, permitindo que algoritmos quânticos, como o QAOA, busquem esse estado usando a dinâmica do sistema quântico. Para uma abordagem inicial sobre como construir problemas tipo QUBO e sua relação com o modelo de Ising, além de como utilizá-los para problemas em computação quântica, ver Apêndice B.

Considerando assim uma abordagem quântica a problemas de otimização, podemos ter duas modalidades principais: a computação por portas lógicas e a computação adiabática. A computação por portas lógicas possui caráter geral e pode ser aplicada a uma ampla variedade de tarefas computacionais [⁶, ³⁹], não se restringindo apenas a problemas de otimização. Por outro lado, a computação quântica adiabática é, em grande parte, formulada com foco em problemas de otimização [⁶]. Nessa abordagem, a função objetivo é mapeada para um Hamiltoniano cuja energia fundamental corresponde à solução do problema. Apesar dessa estrutura estar naturalmente adaptada a tarefas de otimização, a computação quântica adiabática também é computacionalmente universal, portanto, pode realizar qualquer computação que um computador quântico baseado em portas lógicas seja capaz de executar [⁴⁰]. Abordaremos brevemente ambas nas seções a seguir.

2.1. Computação por portas lógicas

Um dos modelos mais relevantes e amplamente empregados de computação quântica é o modelo de circuitos, no qual um algoritmo é implementado por meio da aplicação sucessiva de portas lógicas quânticas sobre um estado inicial, conduzindo sua evolução até a obtenção do resultado desejado.

No contexto da computação quântica, a informação é representada em termos de qubits (quantum bits, ver Apêndice A e também [⁴¹, ³⁷]), que constituem a unidade mínima de informação quântica, em analogia ao bit na computação clássica. Consideremos inicialmente o caso de um único qubit. Na computação clássica, o bit é limitado a assumir o valor $0$ ou $1$. Já no caso do qubit, os dois estados fundamentais são representados por $|0⟩$ e $|1⟩$, que correspondem diretamente aos valores $0$ e $1$ da computação clássica. A principal diferença reside no fato de que o qubit pode estar em um estado quântico superposto, expresso como uma combinação linear:

(2) $$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩,$$

em que $\alpha$ e $\beta$ são números complexos tais que ${\left|\alpha \right|}^2+{\left|\beta \right|}^2=1$, garantindo que o estado $|\psi ⟩$ seja normalizado. Assim, o estado de um qubit é formalmente descrito como um vetor em um espaço vetorial complexo de dimensão 2, denominado espaço de Hilbert [³⁹].

Os vetores $|0⟩$ e $|1⟩$ são conhecidos como os estados da base computacional, uma base ortonormal para o espaço de Hilbert. Ao realizar-se uma medida no estado $|\psi ⟩$, o sistema colapsa para um dos estados de base, com probabilidade ${\left|\alpha \right|}^2$ de se obter o resultado $|0⟩$ e ${\left|\beta \right|}^2$ de se obter o resultado $|1⟩$. A propriedade de superposição é um dos elementos centrais que fundamentam a expectativa de que a computação quântica possa oferecer vantagens em relação à computação clássica [³⁹].

Embora o qubit seja formalmente descrito como um vetor em um espaço vetorial complexo, ele também admite uma representação geométrica intuitiva. Nesse contexto, cada estado de um qubit pode ser associado a um ponto na chamada esfera de Bloch, que fornece uma visualização da sua estrutura quântica. Dessa forma, a evolução temporal de um estado quântico pode ser visualizada como uma trajetória na superfície dessa esfera. No contexto da computação quântica baseada em portas lógicas, a evolução do estado ocorre pela aplicação de portas quânticas, que correspondem a operadores lineares que atuam sobre o espaço de estados do qubit.

As portas lógicas quânticas correspondem a transformações reversíveis que devem preservar a probabilidade total associada aos possíveis resultados de uma medida, garantindo que a soma das probabilidades seja sempre igual a 1. Consequentemente, essas portas são representadas por operadores unitários ($U{U}^{†}=I$) que atuam sobre os estados quânticos. As portas apresentadas a seguir fazem parte dos circuitos quânticos utilizados na implementação do algoritmo QAOA. As portas serão apresentadas em sua forma matricial, considerando como referência a base computacional.

As portas $X$, $Y$ e $Z$ correspondem às matrizes de Pauli, que são operadores unitários e hermitianos amplamente conhecidos na mecânica quântica, sendo fundamentais para a construção de circuitos quânticos.

(3) $$X={\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

A porta $X$ é análoga à porta NOT da computação clássica, ela inverte os estados da base computacional:

(4) $$X|0⟩=|1⟩,X|1⟩=|0⟩.$$

Na representação da esfera de Bloch, a aplicação da porta $X$ corresponde a uma rotação de $\pi$ radianos em torno do eixo $x$, invertendo os polos da esfera.

As portas $Z$ e $Y$ são representadas pelas seguintes matrizes de Pauli:

(5) $$Z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),Y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right).$$

Note que: $Z|0⟩=|0⟩,Z|1⟩=-|1⟩,Y|0⟩=-i|1⟩,Y|1⟩=i|0⟩.$

Outra porta lógica fundamental, presente em inúmeros algoritmos quânticos, é a porta Hadamard[⁶, ³⁹]. Ela é representada pela matriz:

(6) $$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

A aplicação da porta Hadamard nos estados da base computacional $|0⟩$ e $|1⟩$ gera os estados $|+⟩$ e $|-⟩$, respectivamente:

(7) $$H|0⟩=|+⟩,H|1⟩=|-⟩,$$

onde $|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0⟩+|1⟩\right)$ e $|-⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0⟩-|1⟩\right)$. Portanto a aplicação de uma porta Hadamard em $|0⟩$ e $|1⟩$ acaba por gerar estados de superposição na base computacional.

Para a execução de tarefas mais complexas em computação quântica, é necessária a utilização de múltiplos qubits em um mesmo circuito. Do ponto de vista matemático, essa generalização é obtida por meio do produto tensorial, que permite expandir o espaço vetorial e descrever estados compostos por vários qubits [³⁹]. Nesse contexto, a aplicação da porta Hadamard a um sistema de $N$ qubits, todos inicialmente no estado $|0⟩$, é expressa pela seguinte relação:

(8) $$\begin{array}{l}{H}^{\otimes N}{|0⟩}^{\otimes N}\\ =\left(H|0⟩\right)\otimes \left(H|0⟩\right)\otimes \cdots \otimes \left(H|0⟩\right)\\ =\frac{1}{\sqrt{2^N}}\left(|00\cdots 0⟩+|10\cdots 0⟩+\cdots +|11\cdots 1⟩\right).\end{array}$$

Podemos observar que a aplicação da porta Hadamard ao sistema de $N$ qubits resulta na preparação de um estado correspondente a uma superposição uniforme de todos os estados da base computacional. Esse estado desempenha um papel fundamental em diversos algoritmos quânticos. Como veremos posteriormente, essa operação é particularmente relevante na implementação do QAOA.

Outra operação envolvendo múltiplos qubits, e que também desempenha um papel relevante no contexto do QAOA, é a porta CNOT (Controlled-NOT). A porta CNOT atua sobre dois qubits, um qubit de controle e um qubit alvo. Sua ação consiste em aplicar uma operação $X$ no qubit alvo sempre que o qubit de controle estiver no estado $|1⟩$. A transformação sobre os estados da base computacional é dada por:

$$\begin{array}{l}CNOT|00⟩=|00⟩,\\ CNOT|01⟩=|01⟩,\\ CNOT|10⟩=|11⟩,\\ CNOT|11⟩=|10⟩.\end{array}$$

As portas lógicas introduzidas nesta seção são aquelas geralmente utilizadas na implementação do algoritmo QAOA. Na Figura 1 mostramos como estas portas são apresentadas nos circuitos quânticos correspondentes. Exemplos destas portas são encontrados diretamente na aplicação deste trabalho (ver seção 5.2) e também no Apêndice C.

Figura 1
Exemplo de apresentação de portas lógicas em circuitos quânticos. Cada linha representa um qubit. Em cima, duas representações de portas $CNOT$. No meio, uma representação da porta Hadamard. Abaixo, à esquerda, a representação da porta $R_Z$, e à direita da porta $R_X$. Nestas últimas, abaixo do nome da porta em geral apresenta-se o ângulo de rotação relacionado. Observe que a porta $CNOT$ envolve dois qubits. Em geral o circuito é “lido” da esquerda para a direita, como se fosse a “evolução” do estado, ou do qubit. Ou seja, por exemplo na porta Hadamard ($H$), o qubit “entra” pela esquerda na porta, e “sai” transformado pela porta $H$, de acordo com o que consta no texto. O mesmo com todas as outras portas.

Embora o QAOA seja executado por meio de portas lógicas em circuitos quânticos, ele é conceitualmente inspirado na computação quântica adiabática. Portanto, antes de descrevermos o funcionamento do QAOA, apresentaremos uma breve introdução à computação quântica adiabática.

2.2. Computação adiabática

A computação quântica adiabática, diferentemente da computação baseada em portas lógicas, realiza transformações contínuas sobre o estado do sistema [⁶]. Essa abordagem fundamenta-se no teorema adiabático [⁶, ³⁸], que assegura que, se o estado inicial de um sistema é o estado fundamental de um Hamiltoniano inicial $H\left(0\right)$ e este Hamiltoniano evolui lentamente no tempo, então o estado final do sistema permanecerá no estado fundamental do Hamiltoniano final $H\left(T\right)$ (para detalhes sobre o teorema adiabático, sua história e aplicação à computação quântica, ver [²⁹]).

Neste cenário, a condição necessária para que a evolução adiabática ocorra é que o processo seja suficientemente lento. O tempo de evolução deve ser inversamente proporcional ao quadrado da diferença de energia, ou do gap entre os níveis de energia do sistema quântico em questão [⁶, ⁴², ⁴³]. Isso ocorre porque, quando o gap de energia é muito pequeno, torna-se mais fácil para o sistema realizar transições indesejadas do estado fundamental para estados excitados durante a evolução temporal. Dessa forma, a evolução precisa ocorrer mais lentamente para garantir que o sistema permaneça próximo do estado fundamental ao longo do processo. Entretanto, essa exigência torna a computação quântica adiabática inviável para a solução prática de muitos problemas, pois o tempo de processamento se tornaria excessivamente longo. Para contornar essa limitação e possibilitar a utilização de elementos da computação adiabática, a técnica conhecida como quantum annealing busca aproximar a evolução ideal prevista pelo teorema adiabático.

No quantum annealing, a ideia central é mapear a função a ser otimizada em um Hamiltoniano final $H_I$, que codifica o problema de otimização [⁶, ²⁹]. A esse Hamiltoniano adiciona-se um Hamiltoniano inicial $H_0$, cujos autovalores são conhecidos, de modo que a evolução do sistema global seja descrita por um Hamiltoniano dependente do parâmetro $s$:

(9) $$H\left(s\right)=A\left(s\right)H_0+B\left(s\right)H_I,$$

onde $s$ é uma parametrização do tempo, seus valores variam entre $0$ e $1$. Dessa forma, $A\left(s\right)$ e $B\left(s\right)$ são funções que controlam a evolução temporal do Hamiltoniano, obedecendo às condições:

(10) $$A\left(0\right)=1,B\left(0\right)=0,A\left(1\right)=0,B\left(1\right)=1.$$

Assim, no instante inicial $t=0$, o Hamiltoniano $H_0$ domina a dinâmica do sistema, enquanto no instante final $t=t_f$, o Hamiltoniano $H_I$ se torna dominante.

Se a evolução for suficientemente lenta, o estado final do sistema se aproxima do estado fundamental de $H_I$, que corresponde à solução do problema de otimização. Embora o quantum annealing não garanta exatamente que o estado final seja o estado fundamental, quanto mais próximo estiver das condições ideais do teorema adiabático, maior será a probabilidade de alcançar a solução ótima.

A aplicação do quantum annealing baseia-se na evolução adiabática de um Hamiltoniano dependente do tempo, formulado no modelo de Ising [⁴⁴, ³⁸]. Para isso, problemas clássicos de otimização são inicialmente convertidos para a forma de Quadratic Unconstrained Binary Optimization (QUBO), cuja estrutura pode ser mapeada diretamente para um Hamiltoniano cujos estados de menor energia representam as soluções ótimas. Ressaltamos que exemplos didáticos envolvendo problemas QUBO, modelo de Ising e sua relação com algoritmos quânticos de otimização são apresentados nos Apêndices A e C, com o objetivo de auxiliar o leitor na compreensão dos conceitos utilizados nesta seção.

A forma geral do Hamiltoniano de annealing, já expressa no modelo de Ising, é dada por

(11) $$\begin{array}{l}H\left(t\right)=-A\left(t\right)H_0+B\left(t\right)H_I\\ =-A\left(t\right){\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}{X}_j}-B\left(t\right){\displaystyle \sum _{j,k}}{J}_{jk}{Z}_j{Z}_k\\ -B\left(t\right){\displaystyle \sum _j}{h}_j{Z}_j,\end{array}$$

onde $J_{jk}$ e $h_j$ são coeficientes que codificam as interações e pesos provenientes do problema original.

O uso dos operadores de Pauli $X$ e $Z$ decorre do fato de que o modelo de Ising aplicado na formulação QUBO exige dois elementos fundamentais: (i) um Hamiltoniano inicial $H_0$ que introduza transições entre estados computacionais, garantindo uma superposição quântica, obtida pelo operador $X$; (ii) um Hamiltoniano final $H_I$ cuja energia represente a função objetivo do problema, sendo implementado pelos operadores $Z_j$ e $Z_j{Z}_k$, pois seus autovalores $\pm 1$ codificam diretamente variáveis binárias e suas interações no modelo QUBO/Ising. Assim, a evolução adiabática conduz o sistema de um estado superposto inicial para o estado de menor energia do Hamiltoniano final, correspondente à solução ótima.

Portanto, para resolver um problema de otimização via quantum annealing, é necessário que ele seja reescrito na forma quadrática, binária e sem restrições (QUBO), de modo a permitir o uso das ferramentas características desse modelo de computação. Como será detalhado a seguir, o algoritmo QAOA pode ser entendido como uma discretização da computação adiabática, aproximando a evolução contínua por meio de operadores unitários aplicados em sequência.

3. O Algoritmo QAOA

O algoritmo QAOA pertence à classe de algoritmos híbridos, nos quais o processamento é dividido entre computadores clássicos e quânticos. A parte quântica do algoritmo é responsável por preparar estados quânticos que codificam soluções potenciais do problema de otimização, utilizando sequências de operadores unitários parametrizados. A parte clássica, por sua vez, ajusta iterativamente os parâmetros desses operadores com base nos resultados das medições quânticas, de modo a maximizar a função objetivo. Dessa forma, o QAOA busca encontrar soluções aproximadas para problemas de otimização [⁶].

O QAOA possui uma relação bem direta com Computação Quântica Adiabática, no sentido de que um dos processos necessários para a obtenção da solução pelo algoritmo pode ser encarado com uma discretização aproximada da evolução temporal contínua que caracteriza a Computação Adiabática. Essa discretização é realizada utilizando a expansão denominada de Expansão de Suzuki-Trotter [⁴⁵].

Para compreender melhor a expansão de Suzuki-Trotter, consideremos o Hamiltoniano apresentado na (equação 9). A evolução temporal do sistema é governada pela equação de Schrödinger dependente do tempo. No entanto, se considerarmos um intervalo de tempo suficientemente pequeno, é possível aproximar o Hamiltoniano $H\left(t\right)$ como constante no intervalo $[t,t+\Delta t]$. De maneira geral, o operador que descreve a evolução temporal do sistema pode ser escrito de forma análoga à solução da equação de Schrödinger (com $H$ independente do tempo):

(12) $$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi ⟩=H|\psi ⟩\to {|\psi ⟩}_t=U\left(t\right){|\psi ⟩}_0=e^{-i\frac{H}{\hslash }t}{|\psi ⟩}_0.$$

Já no caso da aproximação citada, e usando a (equação 9), teremos:

(13) $$U\left(\Delta t\right)\approx e^{\frac{-i}{\hslash }\Delta t\left(A\left(t\right)H_i+B\left(t\right)H_f\right)},$$

Nestas condições, a evolução temporal ao longo de um período $T=n\Delta t$ pode ser aproximada como a aplicação sucessiva do operador $U\left(\Delta t\right)$:

(14) $$|\psi \left(T\right)⟩\approx \prod _{k=0}^{n-1}\exp \left[-\frac{i}{\hslash }\Delta t\left(A\left(t_k\right)H_i+B\left(t_k\right)H_f\right)\right]|{\psi }_0⟩,$$

onde $|{\psi }_0⟩$ é o estado inicial do sistema, e $t_k=k\Delta t$. Se $\Delta t$ é suficientemente pequeno, podemos aproximar a evolução temporal usando a fórmula de Lie–Trotter [⁶]:

(15) $$\begin{array}{l}\exp \left[-\frac{i}{\hslash }\Delta t\left(A\left(t_k\right)H_0+B\left(t_k\right)H_1\right)\right]\\ \approx \exp \left[-\frac{i}{\hslash }\Delta tA\left(t_k\right)H_0\right]\exp \left[-\frac{i}{\hslash }\Delta tB\left(t_k\right)H_1\right],\end{array}$$

A evolução temporal em um intervalo total $T=n\Delta t$ pode então ser escrita como uma sequência de operadores unitários aplicados ao estado inicial $|{\psi }_0⟩$:

(16) $$\begin{array}{l}{\displaystyle \prod _{k=1}^n}\exp \left(-\frac{i}{\hslash }\Delta t\left[A\left(t_k\right)H_i+B\left(t_k\right)H_f\right]\right)|{\psi }_0⟩\\ \approx {\displaystyle \prod _{k=1}^n}\exp \left(-\frac{i}{\hslash }\Delta tA\left(t_k\right)H_i\right)\\ \times \exp \left(-\frac{i}{\hslash }\Delta tB\left(t_k\right)H_f\right)|{\psi }_0⟩.\end{array}$$

A partir dessa aproximação, obtemos uma sequência de operações unitárias alternadas, que podem ser escritas na forma:

(17) $$\begin{array}{l}U(\mathit{\beta },\mathit{\gamma })|{\psi }_0⟩=e^{-i{\beta }_n{H}_i}{e}^{-i{\gamma }_n{H}_f}\cdots \\ e^{-i{\beta }_2{H}_i}{e}^{-i{\gamma }_2{H}_f}{e}^{-i{\beta }_1{H}_i}{e}^{-i{\gamma }_1{H}_f}|{\psi }_0⟩,\end{array}$$

onde $n$ representa o número de camadas de evolução (ou iterações) e, portanto, $n\ge 1$.

É importante destacar que os parâmetros variacionais ${\beta }_k$ e ${\gamma }_k$ incorporam a dependência temporal $\Delta t$, bem como os coeficientes $A\left(t_k\right)$ e $B\left(t_k\right)$. Dessa forma, a discretização da evolução temporal permite expressar o processo contínuo em termos de portas unitárias, ou em formato de circuitos, o que estabelece a base para a formulação do algoritmo QAOA [⁶].

Em um contexto de ensino, o QAOA pode ser apresentado como um algoritmo variacional fisicamente motivado (por exemplo pelo Teorema Variacional^‡), permitindo aos estudantes interpretar seus parâmetros como quantidades a serem otimizadas em estreita analogia com métodos variacionais clássicos.

3.1. O funcionamento e os passos do algoritmo QAOA

Para nossa implementação, a primeira etapa para a utilização do algoritmo QAOA consiste em reescrever o problema de interesse no formato de um problema do tipo QUBO. Nesse contexto, é fundamental que as variáveis que participam do processo de otimização sejam binárias. Entretanto, em diversas situações práticas, como por exemplo na situação trabalhada neste texto, as variáveis originais podem ser discretas ou contínuas^‡, o que exige um processo de transformação entre variáveis contínuas e binárias, que será apresentado na seção seguinte.

Uma vez obtida a formulação em termos de QUBO, o objetivo do QAOA é encontrar os valores ótimos dos parâmetros variacionais $\beta$ e $\gamma$, presentes nas unitárias decorrentes da discretização descrita na subseção anterior, de modo a minimizar o valor esperado da energia associado ao Hamiltoniano de custo $H_f$ no qual o problema foi modelado.

Como mencionado anteriormente, o QAOA é um algoritmo híbrido variacional, no qual algumas etapas são realizadas em um computador clássico e outras em um computador quântico. Primeiramente, são escolhidos valores iniciais de ${\beta }_0$ e ${\gamma }_0$, que servem como inputs para um algoritmo de otimização clássico. Esse algoritmo propõe atualizações sucessivas desses parâmetros e, a cada iteração, solicita-se ao computador quântico a avaliação do valor esperado $E(\beta ,\gamma )$. Para isso, o computador quântico prepara o estado parametrizado $|\beta ,\gamma ⟩$ (mostrado na (equação 17)) e realiza a estimativa de energia.

O valor obtido $E(\beta ,\gamma )$ é então devolvido ao computador clássico, que o utiliza para atualizar os parâmetros e continuar o processo de otimização até encontrar uma combinação ótima ${\beta }^{\ast }$ e ${\gamma }^{\ast }$. Uma vez determinados, o computador quântico prepara o estado final $|{\beta }^{\ast },{\gamma }^{\ast }⟩$, associado ao menor valor de energia esperado, o qual corresponde a uma solução aproximada do problema original. De maneira resumida, o funcionamento do QAOA baseia-se no mapeamento do problema de otimização em um Hamiltoniano de custo $H_f$, de forma que o menor autovalor $E({\beta }^{\ast },{\gamma }^{\ast })$ desse operador representa a solução codificada do processo.

Na implementação realizada neste trabalho, o circuito QAOA segue a estrutura padrão composta por três etapas principais: (i) preparação do estado inicial, (ii) aplicação alternada dos operadores de custo e mistura, e (iii) medição final.

Inicialmente, o estado ${|0⟩}^{\otimes N}$ é preparado e, em seguida, portas de Hadamard são aplicadas a todos os qubits, gerando uma superposição uniforme dos estados da base computacional. Posteriormente, são aplicadas camadas do QAOA compostas pelos operadores unitários $U_C\left(\gamma \right)=e^{-i\gamma H_C}$ e $U_B\left(\beta \right)=e^{-i\beta H_B}$.

O operador de custo $U_C\left(\gamma \right)$ é implementado por meio de rotações do tipo $R_Z$ e portas $CNOT$, que codificam as interações do Hamiltoniano do problema. Já o operador de mistura $U_B\left(\beta \right)$ é implementado por rotações $R_X$ aplicadas a cada qubit.

Ao final das camadas, o estado quântico é medido na base computacional, gerando distribuições de probabilidade associadas às soluções do problema.

Apresentamos o Algoritmo QAOA no esquema abaixo [⁶], e um exemplo simples para o problema do Corte Máximo (Max Cut) no Apêndice C:

Algoritmo 1 Algoritmo básico do QAOA: 1: Escolher a profundidade n 2: Escolher parâmetros iniciais β=(β1,…,βn) e γ=(γ1,…,γn) 3: enquanto o critério de parada não for satisfeito faça 4: Preparar o estado variacional |β,γ⟩ no computador quântico 5: A partir das medidas de |β,γ⟩, estimar a energia esperada E⁢(β,γ) 6: Atualizar os parâmetros β e γ com um algoritmo clássico de minimização 7: fim enquanto 8: Obter β∗ e γ∗ que o algoritmo clássico retornou 9: Preparar o estado final |β∗,γ∗⟩ no computador quântico 10: Medir o estado para obter uma solução aproximada

Algoritmo 1 Algoritmo básico do QAOA:

1: Escolher a profundidade $n$

2: Escolher parâmetros iniciais $\mathit{\beta }=({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n)$ e $\mathit{\gamma }=({\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n)$

3: enquanto o critério de parada não for satisfeito faça

4: Preparar o estado variacional $|\mathit{\beta },\mathit{\gamma }⟩$ no computador quântico

5: A partir das medidas de $|\mathit{\beta },\mathit{\gamma }⟩$, estimar a energia esperada $E(\mathit{\beta },\mathit{\gamma })$

6: Atualizar os parâmetros $\mathit{\beta }$ e $\mathit{\gamma }$ com um algoritmo clássico de minimização

7: fim enquanto

8: Obter ${\mathit{\beta }}^{\ast }$ e ${\mathit{\gamma }}^{\ast }$ que o algoritmo clássico retornou

9: Preparar o estado final $|{\mathit{\beta }}^{\ast },{\mathit{\gamma }}^{\ast }⟩$ no computador quântico

10: Medir o estado para obter uma solução aproximada

De forma a fazer uma apresentação ainda mais didática do algoritmo QAOA, apresentamos na Figura 2 um diagrama de fluxo para o algoritmo acima apresentado.

Figura 2
Fluxograma do algoritmo híbrido QAOA. Os blocos em azul representam as etapas de processamento e otimização executadas em um computador clássico, enquanto os blocos em rosa indicam as etapas de preparação de estado e medição realizadas no hardware quântico. O losango central em verde ilustra o critério de parada do loop de otimização.

4. Elementos Finitos

O método dos elementos finitos é uma técnica poderosa e, por isso, muito utilizada em diversas situações na Engenharia [²²]. O seu poder está centrado na possibilidade de solucionar numericamente problemas que são de difícil solução por processos tradicionais. De forma grosseira, o método consiste em discretizar regiões complexas e contínuas em pequenos elementos, os quais são denominados como Elementos Finitos [²³]. A divisão de um corpo em pequenas partes facilita a análise e fornece soluções aproximadas do caso contínuo. Ainda, os problemas em elementos finitos podem ser estudados de maneira unidimensional, bidimensional e tridimensional [²²]. Essas diferentes maneiras fazem referência a quantidade de graus de liberdade de um nó (junção entre dois ou mais elementos), ou seja, as direções e formas de movimento que o mesmo será submetido. Na Figura 3 mostramos um diagrama simplificado de como o método de Elementos Finitos é utilizado: uma barra que está engastada, fixada rigidamente, e que possui diversas forças aplicadas a ela ($F_1,F_2,F_3$), é “dividida” em diversas partes, é “recortada” artificialmente. Cada pequena parte, ou cada elemento finito, está conectado a outro, de forma que as Forças aplicadas possam ser distribuídas em todo o material. A análise de como o material se deforma, como as forças se distribuem, etc., são portanto os objetivos principais deste tipo de estudo.

Figura 3
Modelo de Elementos Finitos (MEF) de uma viga engastada/fixa, com carregamento de forças ($F_1,F_2,F_3$). O detalhe ilustra um zoom de um único elemento hexaédrico da malha, com seus nós (pontos) e arestas. A notação de forças segue a deste trabalho (equação (22)).

Em diversas situações de análise estrutural, se busca obter o menor valor de energia potencial total associada ao deslocamentos nodais do sistema submetido a uma determinada força externa [⁴⁶]. Para melhor entendimento, a energia potencial total de um sistema elástico é composta por duas partes principais que são a energia armazenada internamente somada ao trabalho realizado pelas forças externas. A primeira é composta pela energia de deformação elástica como, por exemplo, a energia de uma mola simples ($U=\frac{1}{\text{2}}k{x}^2$). Essa é a energia que fica “armazenada” na estrutura quando ela se deforma (dobra, estica, comprime). Na análise estrutural, nós generalizamos isso para múltiplas dimensões e vários nós. A constante da mola $k$ se torna a matriz de rigidez $K$, e o deslocamento $x$ o vetor $Q$. O trabalho tem sinal negativo porque a energia potencial diminui à medida que a força externa realiza trabalho sobre o sistema (deslocando-o na mesma direção da força). Assim, a energia potencial de um sistema unidimensional é definida como [²²]:

(18) $$\text{Π}=\frac{1}{\text{2}}{Q}^{T}KQ-Q^{T}F$$

Escrevendo cada termo de forma explícita:

(19) $$Q=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ ⋮\\ q_n\end{array}\right),$$

(20) $$K=\left(\begin{array}{cccc}{K}_{11}& K_{12}& \cdots & K_{1n}\\ K_{21}& K_{22}& \cdots & K_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ K_{n1}& K_{n2}& \cdots & K_{nn}\end{array}\right),$$

onde, para cada elemento $e$,

(21) $$K^{\left(e\right)}=\frac{A_e{E}_e}{l_e}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right).$$

(22) $$F=\left(\begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\\ ⋮\\ F_n\end{array}\right),$$

com

(23) $$F_n=\frac{A_e{l}_{e}f}{2}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+\sum F_{\text{ext}}.$$

De maneira que $Q$ é o vetor deslocamento global, $K$ é a matriz de rigidez e $F$ é o vetor força global. As entradas de $Q$, $K$ e $F$ são, respectivamente, os deslocamentos nodais, a rigidez de cada elemento do corpo associada ao módulo de elasticidade do material e, por último, as forças de corpo associadas às forças externas. Nota-se também que cada elemento de caráter estrutural, onde denotamos por $A_e$ a área da seção transversal do elemento $e$, enquanto $l_e$ representa o seu comprimento. O termo $E_e$ corresponde ao módulo de elasticidade (módulo de Young) do material do elemento, e $f$ indica a densidade de peso do material. Por fim, $F_{\text{ext}}$ representa o conjunto de forças externas concentradas que atuam nos nós, contribuindo diretamente para o vetor global de carregamento. Na Figura 4, apresentamos um diagrama esquemático dos principais conceitos introduzidos neste parágrafo.

Figura 4
Representação esquemática das variáveis $A_e$, $l_e$, $E_e$, $f$, $F_{ext}$ e dos deslocamentos nodais utilizados na formulação do MEF.

É possível obter os valores de deslocamentos nodais que minimizam a energia potencial total por meio do método da eliminação. De acordo com [²²], se considerarmos apenas uma condição de contorno, ou seja, $q_1=b_1$, substituirmos as (equações 19),(20) e (22) em (18) e fizermos uma expansão, obtém-se:

(24) $$\begin{array}{l}\text{Π}=\frac{1}{\text{2}}(b_1{K}_{11}{a}_1+b_1{K}_{12}{q}_2+\cdots +b_1{K}_{1n}{q}_n+\\ +q_2{K}_{21}{b}_1+q_2{K}_{22}{q}_2+\cdots +q_2{K}_{2n}{q}_n+\\ +q_n{K}_{n1}{b}_1+\cdots +q_n{K}_{nn}{q}_n)\\ -\left(b_1{F}_1+q_2{F}_2+\cdots +q_n{F}_n\right)\end{array}$$

Como desejamos obter o valor mínimo de $\text{Π}$, segue-se:

(25) $$\frac{d\text{Π}}{\text{d}{q}_i}=0,$$

onde $i=\mathrm{2,3,4},\cdots ,n$. Portanto, é possível obter a seguinte equação, tal como mostrado por [²²]:

(26) $$\begin{array}{c}{K}_{22}{q}_2+K_{23}{q}_3+\cdots +K_{2n}{q}_n=F_2-K_{21}{b}_1\\ K_{32}{q}_2+K_{33}{q}_3+\cdots +K_{3n}{q}_n=F_3-K_{31}{b}_1\\ K_{n2}{q}_2+K_{n3}{q}_n+\cdots +K_{nn}{q}_n=F_n-K_{n1}{b}_1\end{array}$$

Ou escrevendo na forma matricial:

(27) $$\left(\begin{array}{cccc}{K}_{22}& K_{23}& \cdots & K_{2n}\\ K_{32}& K_{33}& \cdots & K_{3n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ K_{n2}& K_{n3}& \cdots & K_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{q}_2\\ q_3\\ ⋮\\ q_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{F}_2-K_{21}{b}_1\\ F_3-K_{31}{b}_1\\ ⋮\\ F_n-K_{n1}{b}_1\end{array}\right).$$

Que pode ser escrita como:

(28) $$KQ=F$$

Com esse ferramental é possível trabalhar um problema de elementos finitos e obter os valores de deslocamentos nodais que minimizam a energia potencial.

5. Aplicação do Algoritmo QAOA no Aerodesign

Para a aplicação apresentada neste trabalho, modelamos um problema simples, porém importante, que visa analisar a performance do Algoritmo QAOA mediante a comparação com resultados obtidos analiticamente. Os parâmetros utilizados para nossa análise, como massa, velocidade, ângulos, etc., foram obtidos da aeronave construída pela equipe Acauã Aerodesign no ano de 2024.

O algoritmo QAOA foi implementado por meio do simulador local Aer Simulator, disponível na plataforma Qiskit^‡ da IBM [⁴⁷]. Esta plataforma faz parte de um conjunto de ferramentas de código aberto destinado ao desenvolvimento e execução de algoritmos quânticos. O Aer Simulator, por sua vez, é um simulador de alta performance projetado para reproduzir, em hardware clássico, o comportamento de circuitos quânticos com elevada fidelidade. Atualmente, a execução de problemas nesse simulador encontra-se limitada a um máximo de 28 qubits. Em função dessa restrição, consideramos um sistema físico adaptado a essa capacidade computacional. Convidamos às pessoas interessadas a consultarem a plataforma através do link em [⁴⁷], ou também a verificarem o arquivo $Python$ disponível no repositório citado na seção “Disponibilidade de dados”, e o Apêndice C.

5.1. Solução analítica do problema

Nosso objetivo consiste em determinar os deslocamentos nodais que minimizam a energia potencial de uma triquilha projetada para a Equipe Acauã Aerodesign que é composta por um tubo vertical no qual, em sua extremidade inferior, passa um eixo em que a roda é instalada como ilustrado na Figura 5-b. A força de contato da roda com o solo vai ser transmitida para o tubo. Para fins de modelagem, a triquilha foi idealizada como uma barra cilíndrica com 14 cm de altura e 1,6 cm de diâmetro, conforme ilustrado na Figura 5-a. Esta barra cilíndrica representa o tubo vertical da triquilha mostrado em 5-b. Compararemos a solução analítica para os deslocamentos, apresentada nesta seção, com a solução utilizando o algoritmo QAOA (próxima seção).

Figura 5
Figura 3D da triquilha utilizada em nossa simulação(a). Em (b) está a triquilha usada na aeronave.

Para a análise de elementos finitos vamos considerar a seção transversal da triquilha apresentada na Figura 5-a, de maneira que escolhemos uma divisão do corpo em apenas dois elementos e três nós, visando simplicidade, mas sem perder o foco da análise, isto é, o uso de elementos finitos e a otimização por algoritmo quântico. Importante destacar que o modelo com poucos nós não é o ideal para uma análise estrutural, haja vista que os resultados podem não ter correspondência com a realidade. No entanto, o intuito do modelo é a explorar a validade do Algoritmo QAOA quando comparado ao resultado analítico que é fundamentado pelo Método de Elementos Finitos. Por isso, apesar do uso de poucos nós dificilmente fornecer resultados confiáveis para a aplicação prática do aerodesign, o modelo proposto se encaixa bem para a avaliação da capacidade que o Aer Simulator pode ter em um problema de engenharia aeronáutica de dimensões reduzidas. Outro fator importante para a escolha de tal modelo é que o mesmo permite um estudo dentro da capacidade do simulador e permite explorar as diferenças de resultados quando a quantidade de qubits por nó é variada. Dessa forma, na Figura 6 apresentamos o modelo matemático da estrutura projetada na Figura 5-a. Observe que apresentamos os parâmetros relacionados à estrutura, e os nós utilizados em nosso modelo.

Figura 6
Seção transversal – triquilha.

Note na Figura 6 que foi considerada a aplicação de uma força no nó $q_2$. Esta é a força máxima ($F_p$) do contato entre os trens de pouso da aeronave com o solo, ou seja, o esforço sofrido durante o pouso. A aplicação de $F_p$ em $q_2$ se deu pelo fato de essa ser a região na qual a roda dianteira foi fixada à triquilha na modelagem do problema. Para estimar essa força, assumimos que o toque da triquilha e do trem de pouso principal ocorre simultaneamente e modelamos o pouso como uma colisão completamente inelástica. Essa idealização é adequada para o objetivo deste trabalho, pois considera a situação em que a aeronave, após o contato inicial com o solo, permanece em contato com ele, caracterizando uma condição típica de pouso bem-sucedido. Uma modelagem mais abrangente, contemplando diferentes condições de pouso e impactos não simultâneos, aumentaria significativamente a complexidade do problema sem contribuir diretamente para os objetivos deste estudo. Na Figura 7 mostramos uma aeronave em uma atitude de aproximação típica para o pouso.

Figura 7
Atitude da aeronave no momento que antecede o pouso.

Usamos o teorema Impulso-Momento linear para essa colisão (pouso) considerando apenas o movimento da aeronave perpendicularmente ao plano da pista (eixo z na Figura 7 e com isto obtemos:

(29) $$\begin{array}{l}{F}_p\Delta t=m_{MTOW}\cdot V_d\cdot sen\left({\gamma }_d\right)\\ F_p=\frac{m_{MTOW}\cdot V_d\cdot sen\left({\gamma }_d\right)}{\Delta t}.\end{array}$$

onde $m_{MTOW}$ é a massa máxima de decolagem (MTOW, do inglês Maximum Takeoff Weight, é uma notação padrão da literatura aeronáutica) da aeronave, $V_d$ é a velocidade de descida no momento do pouso, ${\gamma }_d$ é o ângulo de impacto com o solo, e $\Delta t$ representa o intervalo de tempo característico da desaceleração durante o contato. Para a aeronave que usamos os valores são:

• $m_{MTOW}$ (Massa do avião + Massa da carga) = $\mathrm{3,34}$ Kg;

• $V_d$(Velocidade de descida) = $\mathrm{12,73}$ m/s;

• ${\gamma }_d$ (Ângulo de descida) = ${\mathrm{6,38}}^{\circ }$;

• $\Delta t$ (Variação do tempo na colisão) = $\mathrm{0,1}$s.

Portanto encontramos:

(30) $$F_p=\mathrm{47,25}N$$

Com o valor de $F_p$, é possível modelar as camadas do problema referentes ao método dos elementos finitos. Primeiramente, destacamos que o material escolhido para o projeto e sua aplicação é o Nylon 101, cujas propriedades mecânicas relevantes são: módulo de elasticidade$E=1\times {10}^{\text{9}}\text{Pa}$ e densidade de peso$\rho =11270\frac{N}{m^3}$.

Lembremos que o objetivo central deste estudo consiste em determinar os valores de $Q$ que minimizam a energia potencial $\text{Π}$. Para alcançar esse resultado, é necessário obter as entradas da matriz de rigidez global $K$ e da matriz de forças globais $F$. Considerando as (equações 20) e (21), a matriz de rigidez global do sistema pode ser expressa como:

(31) $$K=E\left(\begin{array}{ccc}\frac{A_1}{l_1}& -\frac{A_1}{l_1}& 0\\ -\frac{A_1}{l_1}& \left(\frac{A_1}{l_1}+\frac{A_2}{l_2}\right)& -\frac{A_2}{l_2}\\ 0& -\frac{A_2}{l_2}& \frac{A_2}{l_2}\end{array}\right),$$

Sendo que $A_i$ e $l_i$ são respectivamente a área e o comprimento de cada elemento $i$. A primeira entrada da matriz é:

(32) $$\frac{A_1}{l_1}=\frac{\left(\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-2}\right)\left(\mathrm{7,0}\cdot {10}^{-2}\right)}{\mathrm{7,0}\cdot {10}^{-2}}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-2}m.$$

Como todos os elementos possuem a mesma dimensão:

(33) $$\frac{A_1}{l_1}=\frac{A_2}{l_2}$$

Substituindo então o resultado da (equação 32) e o valor de $E$ na (equação 31), obtemos:

(34) $$K=1.6\times {10}^{\text{7}}\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right).$$

Para a obtenção do vetor de força global utiliza-se a equação 22, encontrando:

(35) $$F=\left(\begin{array}{c}\frac{A_1{l}_{1}f}{2}\\ \frac{A_1{l}_{1}f}{2}+\frac{A_2{l}_{2}f}{2}\\ \frac{A_2{l}_{2}f}{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{F}_{ext}\left(q_1\right)\\ F_{ext}\left(q_2\right)\\ F_{ext}\left(q_3\right)\end{array}\right)$$

A primeira entrada do primeiro vetor de (35) é:

(36) $$\frac{A_1{l}_{1}f}{2}=\mathrm{4,4}\cdot {10}^{-1}N=\mathrm{0,44}N$$

Novamente, como todos os elementos possuem a mesma dimensão:

(37) $$\frac{A_1{l}_{1}f}{2}=\frac{A_2{l}_{2}f}{2}$$

Além disso, a primeira entrada e terceira entrada do vetor que representa a atuação de forças externas (segundo vetor de (35)) são nulas, haja vista que a força de impacto com o solo no instante de pouso foi concentrado apenas em $q_2$. Diante disso, $F_{ext}\left(q_2\right)=F_p$. Assim, a (equação 35) resulta em:

(38) $$F=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,44}\\ \mathrm{0,88}\\ \mathrm{0,44}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{47,25}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,44}\\ \mathrm{48,13}\\ \mathrm{0,44}\end{array}\right)$$

É importante destacar que o deslocamento de $q_1=0$, ou seja, a extremidade está fixa e não desloca com o impacto. Diante disso, temos a condição de contorno apresentada na seção anterior e podemos, finalmente, utilizar a (equação 28). Assim, eliminando a primeira linha/coluna de cada uma das matrizes, obtemos:

(39) $$1.6\times {10}^{\text{7}}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{q}_2\\ q_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48.13\\ 0.44\end{array}\right).$$

Portanto, os valores analíticos de $q$, que serão utilizados para comparação com o QAOA, são:

$$\begin{array}{c}{q}_1=\mathrm{3,04}\cdot {10}^{-6}m\\ q_2=\mathrm{3,06}\cdot {10}^{-6}m\end{array}$$

5.2. Solução usando o QAOA

Para a implementação do QAOA, é imprescindível que o problema seja mapeado na forma QUBO. Assim, a função objetivo deve ser expressa em termos binários e quadráticos, sem estar sujeita a restrições adicionais. A função objetivo considerada é apresentada na (equação 18), e já se encontra em formato quadrático. Entretanto, os deslocamentos nodais ($q_n$) assumem valores contínuos, o que inviabiliza, em princípio, a resolução direta do problema pelo algoritmo QAOA.

O algoritmo foi implementado utilizando o Aer Simulator da biblioteca Qiskit (IBM), executado em ambiente clássico. A plataforma Qiskit é de código aberto e pode ser acessada livremente, permitindo a reprodução dos resultados apresentados neste trabalho. As simulações foram realizadas com um total de $500.000$ medições (shots) na etapa final do circuito quântico. Os parâmetros variacionais do QAOA foram otimizados por um algoritmo clássico padrão disponível na biblioteca, conforme o esquema híbrido descrito na Seção 3.

Para contornar esse problema, foi realizada uma transformação das variáveis contínuas em variáveis binárias, seguindo a abordagem apresentada em [¹⁶].

(40) $$r=a\left(2\sum _{\alpha \in n}{ϵ}_{\alpha }{q}_{\alpha }/\sum _{\alpha \in n}{ϵ}_{\alpha }\right)-1$$

onde $ϵ$ é uma distribuição uniforme de números aleatórios presentes no intervalo entre 0 e 1 e $r$ é a variável transformada em binária. A constante a faz referência ao intervalo no qual os valores de deslocamentos nodais da triquilha de Nylon 101 estão contidos. Ainda, o $n$ faz referência a quantidade de variáveis por nó.

A utilização de múltiplos qubits por variável contínua está diretamente associada à discretização do espaço de soluções. Especificamente, ao representar uma variável por $k$ qubits, obtém-se uma resolução de $2^k$ níveis discretos possíveis para essa variável. Dessa forma, o aumento do número de qubits por nó implica um refinamento da discretização dos deslocamentos nodais, permitindo uma aproximação mais precisa das soluções contínuas do problema original.

Assim, obtemos a função objetivo em variáveis binárias e, portanto, o problema agora está mapeado na forma QUBO, e pode ser otimizado pelo Algoritmo QAOA. Estados da base computacional serão indicados pelo QAOA como soluções para o problema de otimização. As bitstrings (os estados resultantes do algoritmo QAOA) associadas à esses estados representam os deslocamentos $q_1$ e $q_2$. De forma que a primeira metade de cada bitstring está associada a $q_1$, enquanto a segunda metade corresponde a $q_2$.

Para a análise do algoritmo híbrido, foram propostas três configurações, tal que, num primeiro momento utilizamos 2 variáveis binárias por nó. Dessa forma, utilizando o simulador, o QAOA apresenta os seguintes valores de deslocamentos nodais que minimizam a energia:

$$\begin{array}{l}{q}_1=\mathrm{2,4}\cdot {10}^{-5}m\\ q_2=\mathrm{5,0}\cdot {10}^{-5}m\end{array}$$

As operações realizadas para a obtenção dos resultados são mostradas no circuito na Figura 8. Agora, ao considerarmos 3 variáveis binárias para representar cada nó, os resultados obtidos foram:

Figura 8
Circuito quântico utilizado na implementação do QAOA, ilustrando a codificação de duas variáveis binárias por nó e as portas lógicas utilizadadas (Hadamard em vermelho, $Z$ ($R_Z$) em azul, $X$ ($R_X$) em roxo, $CNOT$ ligando dois qubits em azul), além da medida ao final (em cinza).

$$\begin{array}{l}{q}_1=\mathrm{4,2}\cdot {10}^{-5}m\\ q_2=\mathrm{5,2}\cdot {10}^{-6}m\end{array}$$

O circuito correspondente é semelhante ao apresentado na Figura 8, mas com um número maior de qubits e operações. Por último, utilizamos 10 variáveis binárias para representar cada nó. Os deslocamentos obtidos obtidos foram:

$$\begin{array}{l}{q}_1=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-6}m\\ q_2=\mathrm{1,3}\cdot {10}^{-5}m\end{array}$$

5.3. Comparação entre resultado analíticoe usando QAOA

Para avaliar os resultados obtidos nas três implementações do algoritmo QAOA, realizamos uma comparação com os valores obtidos analiticamente. Para quantificar a diferença entre os resultados, utilizamos o erro quadrático médio (MSE), definido pela equação:

(41) $$MSE=\frac{1}{2n}\sum _i^n{\mid \mid q_i^{\ast }-q_i\mid \mid }^2$$

Onde $n$ é o número de nós, $q_i^{\ast }$ são os deslocamentos nodais obtidos pelo QAOA e $q_i$ são os valores dos deslocamentos alcançados por meios analíticos.

Em [¹⁶], os autores mostram, utilizando quantum annealing, que o erro quadrático médio (MSE) diminui à medida que o número de qubits por nó aumenta. Dessa forma o algoritmo tende a se tornar mais preciso à medida que ampliamos a quantidade de variáveis por nó. Observamos o mesmo comportamento na aplicação do algoritmo QAOA, com valores de MSE obtidos de $\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-10}{m}^2$ para 2 qubits por nó, $\mathrm{3,9}\cdot {10}^{-10}{m}^2$ para 3 qubits por nó, e $\mathrm{2,9}\cdot {10}^{-11}{m}^2$ para 10 qubits por nó, conforme mostrado na Tabela 1.

Tabela 1
Valores do erro quadrático médio (MSE) obtidos para diferentes números de qubits por nó na aplicação do algoritmo QAOA.

Número de qubits por nó	MSE ($m^2$)
2	$\mathrm{6,7}\times {10}^{-10}$
3	$\mathrm{3,9}\times {10}^{-10}$
10	$\mathrm{2,9}\times {10}^{-11}$

Embora os valores de MSE obtidos sejam pequenos em termos absolutos, é importante destacar que os deslocamentos nodais envolvidos possuem magnitudes da ordem de ${10}^{-6}$ m. Dessa forma, diferenças aparentemente pequenas podem corresponder a variações percentuais significativas quando comparadas aos valores analíticos utilizados como referência.

Essas discrepâncias são mais evidentes nos casos com menor número de qubits por variável, refletindo a limitação da discretização binária mais grosseira. Além disso, deve-se destacar que o modelo de elementos finitos empregado neste trabalho utiliza apenas três nós, constituindo uma discretização extremamente simplificada da estrutura. Assim, parte das diferenças observadas em relação aos valores analíticos deve ser atribuída à própria discretização adotada, e não exclusivamente ao algoritmo QAOA. À medida que o número de qubits aumenta, observa-se uma tendência de melhoria na aproximação, conforme esperado.

Consideremos a implementação do QAOA com 10 qubits por nó, que se mostrou mais eficiente para o problema de otimização. Uma outra forma de avaliar o desempenho do algoritmo QAOA é analisar se a distribuição de probabilidade dos estados da base computacional, obtida a partir da medição do estado quântico final, reflete a minimização da função objetivo. Em outras palavras, verificamos se os estados mais prováveis correspondem de fato às menores energias.

Como estamos lidando com um sistema de 20 qubits (10 qubits para cada nó $q_i$), o estado final do QAOA, expresso na base computacional, é uma superposição de até $2^{\text{20}}$ estados. Após a preparação desse estado final, na última etapa do QAOA são realizadas medidas na base computacional. O objetivo dessas medidas é construir uma distribuição de probabilidades, que indica qual estado da base computacional é mais provável. Esse estado mais provável pode ser interpretado como a solução do problema de otimização binária considerado.

Neste trabalho, realizamos no simulador $500.000$ medições na etapa final. Para ilustrar de forma mais explícita a tendência de que os estados mais prováveis correspondem aos menores valores de energia, selecionamos os $200.000$ estados mais prováveis obtidos a partir dessas medições. Agrupamos os estados segundo suas probabilidades, empregando intervalos de largura ${10}^{-6}$. Dessa forma, probabilidades próximas, como $2.1\times {10}^{-6}$ e $2.3\times {10}^{-6}$, foram alocadas no mesmo grupo. Esse procedimento resultou em oito grupos de probabilidade, com valores aproximados de $2\times {10}^{-6}$, $3\times {10}^{-6}$, $4\times {10}^{-6}$, $5\times {10}^{-6}$, $6\times {10}^{-6}$, $7\times {10}^{-6}$, $8\times {10}^{-6}$ e $9\times {10}^{-6}$.

A Figura 9 apresenta a relação entre a probabilidade média dos estados da base computacional, agrupados, e seus respectivos valores médios de energia. Neste contexto, a energia associada a cada estado da base computacional corresponde ao valor da função objetivo do problema, expressa na forma QUBO. Já a probabilidade é estimada a partir da frequência de ocorrência de cada estado nas medições realizadas ao final do circuito quântico. Observa-se que os grupos de estados mais prováveis tendem a corresponder a valores médios de energia menores. Esse comportamento sugere que o algoritmo concentra maior probabilidade nos estados associados a menores energias.

Figura 9
Relação entre valor médio de energia e probabilidade dos estados agrupados.

Observa-se também, na Figura 9, a presença de um ponto isolado associado à menor energia média entre todos os grupos analisados. Esse ponto corresponde ao grupo de probabilidade igual a $9\times {10}^{-6}$, que aparece apenas uma vez no conjunto de $200.000$ estados mais prováveis. Apesar de sua baixa ocorrência, esse grupo apresenta energia média igual a $-2.327\times {10}^{-3}$, valor significativamente inferior aos demais grupos. Esse comportamento reforça que, mesmo para estados raros, o QAOA é capaz de identificar estados associados a menores energias. Embora tais estados ocorram com baixa frequência, eles permanecem consistentes com a tendência geral observada nos dados.

No gráfico mostrado na Figura 10, utilizamos o mesmo agrupamento dos estados da base computacional, mas agora considerando os valores médios de MSE. Podemos observar que os estados mais prováveis tendem a apresentar menores valores médios de MSE, o que constitui um resultado positivo para a análise da eficiência do QAOA.

Figura 10
Relação entre valor MSE e probabilidade dos estados agrupados.

Na Figura 10, dois pontos se destacam por apresentarem valores de MSE significativamente distintos dos demais grupos analisados. O primeiro deles corresponde ao grupo de probabilidade $8\times {10}^{-6}$, que apresenta o maior valor médio de MSE entre todos os grupos analisados, aproximadamente $4.98\times {10}^{-11}$. Esse ponto está associado a apenas seis ocorrências no conjunto dos $200.000$ estados mais prováveis, de modo que a baixa amostragem contribui para a maior dispersão observada em relação ao comportamento predominante dos demais grupos. Por outro lado, o grupo de probabilidade $9\times {10}^{-6}$, que aparece apenas uma única vez nas medições, apresenta o menor MSE médio, igual a $2.56\times {10}^{-11}$. Esse grupo está relacionado ao estado de menor energia identificado na Figura 9, o que explica a forte queda em relação aos demais pontos. A presença desses dois valores extremos é, portanto, consequência direta da baixa frequência de ocorrência desses grupos, que amplifica as flutuações estatísticas e acentua seu afastamento da tendência geral.

Ainda, como o intuito deste estudo não envolvia o uso prático dos resultados diretamente no aerodesign, mas sim uma abordagem teórica para entender o funcionamento e capacidade do Algoritmo QAOA, o uso de softwares de simulação computacional avançada como o Ansys Structural não foi considerado. Além disso, o problema construído envolve poucos nós, o que por sua vez permite a utilização do meio analítico sem maiores dificuldades. Além do mais, o emprego de apenas três nós na geometria 3D proposta não se encaixa ao escopo do software. Dessa forma, caso fosse utilizada uma maior quantidade de nós, a análise da quantidade de qubits por nó seria impossibilitada pela limitação do Aer Simulator e, consequentemente, tornaria o processo analítico proposto em [²²] inviável.

As simulações foram realizadas em ambiente clássico, apresentando tempo de execução compatível com simulações de circuitos quânticos de até 20 qubits, limitado pela capacidade computacional do simulador.

6. Extensões Didáticas e Perspectivas Educacionais

Trazer temas modernos como a computação quântica e a otimização estrutural para as aulas de Física é um desafio, mas é também uma oportunidade excelente para atualizar o currículo e torná-lo mais atraente [⁴⁸, ⁴⁹, ³⁰, ⁵⁰]. A proposta deste trabalho pode oferecer uma base prática para desenvolver conceitos e métodos científicos em diferentes níveis de formação, ajudando o estudante a entender como a teoria se aplica a problemas reais [⁴⁸, ⁵⁰].

6.1. Implicações curriculares e conceituais

A abordagem apresentada neste trabalho é adequada a contextos educacionais, em especial do Ensino Superior, especialmente em cursos de graduação e pós-graduação em Física, Engenharia e Ciências Computacionais. Ela pode ser incorporada de forma natural em disciplinas como Física Computacional, Métodos Numéricos, Mecânica, Métodos de Otimização, Pesquisa Operacional e cursos introdutórios de Computação Quântica. Do ponto de vista curricular, o esquema proposto permite aos estudantes explorar uma conexão direta entre a modelagem por elementos finitos e técnicas modernas de otimização inspiradas em computação quântica; mas não somente em otimização usando algoritmos quânticos, sendo que inclusive técnicas de otimização clássica podem ser usadas para comparação.

Sob uma perspectiva didática, a metodologia proposta oferece ambiente para discussão de conceitos físicos fundamentais. O problema de otimização estrutural é formulado em termos de uma função de custo associada à energia do sistema, o que permite uma articulação direta com conceitos da mecânica clássica, física estatística e com processos de minimização de energia. A interpretação da função objetivo como um Hamiltoniano de custo possibilita compreender o problema de otimização como uma busca pelo estado de menor energia, reforçando analogias entre métodos clássicos de otimização e conceitos da mecânica quântica [⁶]. Nesse sentido, o algoritmo QAOA não é apresentado apenas como uma ferramenta computacional, mas como um processo físico associado a evoluções quânticas parametrizadas [⁶].

6.2. Atividades didáticas e reflexões pedagógicas

Diversas atividades didáticas podem ser derivadas do modelo apresentado neste trabalho, pensando tanto no período de início de graduação (em Física, Engenharias, Matemática, etc.), quanto em disciplinas mais avançadas. Em um nível introdutório, os estudantes podem implementar o modelo por elementos finitos e analisar a influência de parâmetros estruturais na função objetivo [⁵¹]. Em um nível intermediário, técnicas clássicas de otimização podem ser comparadas com a abordagem baseada em QAOA, promovendo discussões sobre convergência, escalabilidade e custo computacional [⁵²]. Para estudantes em nível avançado, o fluxo híbrido completo, combinando modelagem por elementos finitos e circuitos quânticos variacionais, pode ser explorado como uma atividade baseada em projetos, incentivando o desenvolvimento de competências interdisciplinares em física, modelagem numérica e computação quântica [⁶].

Do ponto de vista pedagógico, a abordagem proposta favorece metodologias de ensino ativas [⁵³], baseadas em resolução de problemas e projetos [⁵⁴]. Ao trabalhar com um problema realista inspirado em aplicações de engenharia, os estudantes são estimulados a integrar conceitos teóricos com implementações computacionais. Além disso, a estrutura híbrida clássico-quântica do algoritmo pode oferecer uma oportunidade real, atual e relevante para discutir as limitações e perspectivas das tecnologias quânticas contemporâneas, promovendo uma formação crítica e conceitualmente fundamentada, em vez de uma aprendizagem meramente instrumental [⁵⁵, ⁵⁶].

7. Conclusão

Nesse trabalho analisamos a aplicação do QAOA em um problema de otimização de variáveis contínuas na área de aerodesign. O algoritmo foi implementado utilizando um simulador local. O objetivo do problema de otimização é determinar os deslocamentos nodais que minimizam a energia potencial de uma triquilha projetada para a Equipe Acauã Aerodesign.

Para mapear o problema na forma QUBO, necessária para a execução do QAOA, realizamos a transformação de variáveis contínuas em variáveis binárias, de modo que um determinado número de qubits seja atribuído a cada nó. Observamos que, à medida que o número de qubits por nó aumenta, o MSE diminui, confirmando que o algoritmo se torna mais preciso com maior disponibilidade de recursos quânticos. Esse comportamento é consistente com os resultados obtidos por [¹⁶] utilizando quantum annealing.

A análise da distribuição de probabilidades dos estados da base computacional obtidos pelo QAOA revelou que os estados mais prováveis apresentam, em geral, os menores valores de energia e MSE. Isso mostra que o algoritmo concentra a probabilidade nos candidatos mais promissores. Essa tendência decrescente indica que o QAOA realiza a busca por soluções próximas do ótimo para o problema de otimização considerado, embora não garanta atingir a solução exata. Esta tendência do QAOA não o inviabiliza como promissor na tarefa de otimização, e este trabalho demonstra isso.

É importante destacar que os resultados apresentados foram obtidos a partir de um modelo de elementos finitos altamente simplificado, composto por apenas três nós. Essa discretização reduzida foi adotada para viabilizar a implementação do problema no contexto dos recursos computacionais disponíveis para a simulação quântica. Consequentemente, parte das discrepâncias observadas em relação aos valores analíticos deve ser atribuída à própria simplificação do modelo estrutural, e não exclusivamente às limitações do algoritmo QAOA. Trabalhos futuros poderão explorar discretizações mais refinadas e um maior número de variáveis, permitindo uma avaliação mais abrangente do potencial de algoritmos quânticos aplicados à análise estrutural.

Por fim, destacamos que este trabalho pode ir além do uso de técnicas de otimização quânticas para análise estrutural. A integração entre a modelagem por elementos finitos e o algoritmo QAOA abre um caminho para uma integração entre ensino de Física Moderna/Contemporânea e Engenharia. Ao aplicar esses conceitos em problemas reais de aerodesign, estamos também promovendo aprendizagem significativa e crítica, permitindo que o estudante compreenda as potencialidades e os limites das tecnologias quânticas atuais. Assim, a proposta deixa de ser somente uma avançada ferramenta computacional para se tornar uma estratégia didática que pode preparar estudantes para os desafios tecnológicos atuais, fugindo de uma formação meramente instrumental.

Agradecimentos

R. R. Jr. agradece ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq). L. S. A. agradece à Fundação de Amparo a Pesquisa de Minas Gerais (FAPEMIG), ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e à Universidade Federal de Viçosa – Campus UFV Florestal (UFV-CAF). L. A. M. S. agradece ao Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia – Informação Quântica (INCT-IQ) e FAPEMIG/MCI-Confap (APQ-06255-25).

A. Fundamentos Teóricos do Qubit e a Esfera de Bloch

Neste breve apêndice, apresentamos brevemente uma formulação matemática do bit quântico (qubit) e sua representação geométrica. O qubit é a unidade fundamental da informação quântica, diferenciando-se do bit clássico por permitir estados de sobreposição. Para detalhes mais técnicos, aconselhamos as referências [⁴¹, ⁵⁷].

A.1. Postulados e representação de estadoQuântico

De acordo com o formalismo da Mecânica Quântica, o estado de um sistema de dois níveis é descrito por um vetor de estado $|\psi ⟩$ em um espaço de Hilbert complexo bidimensional. Dados os estados de base ortonormais $\{|0⟩,|1⟩\}$, que representam os autovetores do observável ${\widehat{\sigma }}_z$ com autovalores $+1$ e $-1$, respectivamente, um estado genérico é escrito como:

(A.1) $$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩,\text{onde}\alpha ,\beta \in ℂ.$$

A condição de normalização exige que $⟨\psi |\psi ⟩=1$, o que implica em ${\left|\alpha \right|}^2+{\left|\beta \right|}^2=1$. O significado físico desta expressão reside no postulado que diz: a probabilidade de detecção do estado $|0⟩$ após uma medição na base computacional realizada em $|\psi ⟩$ é $P\left(0\right)={\left|\alpha \right|}^2$, enquanto para $|1⟩$ é $P\left(1\right)={\left|\beta \right|}^2$.

A.2. A geometria da Esfera de Bloch

Para visualizar o estado de um qubit, utilizamos uma parametrização que remove graus de liberdade redundantes. Como uma fase global não possui significado físico observável [⁴¹], podemos reescrever o estado utilizando apenas dois parâmetros reais, $\theta$ e $\varphi$:

(A.2) $$|\psi ⟩=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)|0⟩+e^{i\varphi }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)|1⟩,$$

onde $0\le \theta \le \pi$ representa o ângulo polar e $0\le \varphi <2\pi$ o ângulo azimutal. Esta parametrização mapeia univocamente cada estado quântico puro a um ponto na superfície de uma esfera de raio unitário, denominada Esfera de Bloch. Observe na Figura 11 que um estado (puro) quântico é completamente mapeado na superfície desta esfera, bastando sabermos quem são os ângulos $\theta$ e $\varphi$.

Figura 11
Representação de um estado quântico puro na Esfera de Bloch. Os estados $|0⟩$ e $|1⟩$ ocupam os polos norte e sul, enquanto estados de sobreposição de $|0⟩$ e $|1⟩$ (como os autovetores de ${\widehat{\sigma }}_x$) localizam-se, por exemplo, no equador da esfera.

A.3. Operadores de Pauli e evolução temporal

A manipulação de qubits é realizada através de operadores unitários. As matrizes de Pauli $\{{\widehat{\sigma }}_x,{\widehat{\sigma }}_y,{\widehat{\sigma }}_z\}$ formam uma base para operadores hermitianos neste espaço. Um aspecto crucial é a relação entre esses operadores e rotações na esfera. Por exemplo, a evolução temporal sob um Hamiltoniano constante $\widehat{H}$ é dada pelo operador de evolução [⁴¹]:

(A.3) $$\widehat{U}\left(t\right)=e^{-i\widehat{H}t/\hslash }.$$

Sendo assim, operações unitárias em qubits podem sempre ser visualizadas como rotações do estado na superfície da esfera de Bloch [⁴¹, ⁵⁷].

Considerando como exemplo o caso de um campo magnético alinhado ao eixo $z$, o Hamiltoniano é proporcional a ${\widehat{\sigma }}_z$[⁴¹]. A evolução de um estado inicial $|{\psi }_0⟩$ resulta em uma precessão ao redor do eixo $z$ na Esfera de Bloch (ver Figura 12), alterando a fase relativa $\varphi$ linearmente com o tempo, mas mantendo a probabilidade de ocupação de $|0⟩$ e $|1⟩$ constante (ângulo $\theta$ fixo).

Figura 12
Representação de evoluções na Esfera de Bloch: (a) precessão de Larmor e (b) aplicação de porta lógica Hadamard.

B. QUBO e Modelo de Ising

Propomos neste apêndice uma introdução a como matematizar problemas tipo QUBO a partir de um exemplo simples de otimização: o problema de Corte Máximo (ou Max Cut) [⁶]. O problema de Corte Máximo pode ser escrito como: dado um grafo (conjunto de vértices e arestas ligando estes vértices), divida o total de vértices em dois grupos apenas, tal que o número de arestas que liga os dois subconjuntos é máximo. Por exemplo na Figura 13, temos um grafo simples, composto de três vértices e duas arestas [⁶]. A pergunta é: qual das três opções na Figura 13 maximiza o número de arestas cortadas, tal que os três vértices serão separados em dois grupos de vértices.

Figura 13
Um grafo simples para o estudo do Corte Máximo. Notamos que a opção (c) é a que maximiza o número de arestas cortadas, separando o grafo em dois grupos de vértices.

• Opção (a): subconjunto A $\to$ vértice 1, subconjunto B $\to$ vértices 0 e 2, uma aresta cortada;

• Opção (b): subconjunto A $\to$ vértices 0 e 1, subconjunto B $\to$ vértice 2, uma aresta cortada;

• Opção (c): subconjunto A $\to$ vértices 1 e 2, subconjunto B $\to$ vértice 0, duas arestas cortadas.

Apesar deste exemplo ser simples, este problema é caracterizado como NP-Difícil [⁶], ou seja, ele se torna exponencialmente complexo a medida que o número de vértices e arestas aumenta. Matematizando o problema:

• a cada vértice vamos associar uma variável $z_i,i=\mathrm{0,1},\dots ,n-1$;

• cada variável pode assumir os valores +1 ou -1, sendo +1 qdo o vértice estiver no subgrupo A e -1 qdo estiver no subgrupo B;

• a aresta entre dois vértices estará cortada se, e somente se: $z_j{z}_k=-1$;

• então o problema pode ser escrito como:

  com $E$ sendo o grupo de arestas no grafo.

$$\begin{array}{l}\text{Minimize}{\displaystyle \sum _{(j,k)\in E}}{z}_j{z}_k\\ \text{sujeito a}{z}_j\in \{-1,+1\},j=\mathrm{0,1},\dots ,n-1\end{array}$$

Sendo assim, o problema do Corte Máximo é: (i) quadrático nas variáveis $z_i$, (ii) as variáveis $z_i$ são binárias (+1 ou -1), (iii) sem restrições nas variáveis e (iv) é um problema de otimização. Portanto é um problema tipo QUBO. No caso da Figura 13, o problema se torna:

(A.4) $$\begin{array}{l}\text{Minimize}{z}_0{z}_1+z_0{z}_2\\ \text{sujeito a}{z}_j\in \{-1,+1\},j=\mathrm{0,1,2}\end{array}$$

Nas opções de corte da Figura 13, teremos:

• Opção (a): $z_0=z_2=+1;z_1=-1.$ Então: $z_0{z}_1+z_0{z}_2=\left(-1\right)+\left(+1\right)=0.$

• Opção (b): $z_0=z_1=+1;z_2=-1.$ Então: $z_0{z}_1+z_0{z}_2=\left(+1\right)+\left(-1\right)=0.$

• Opção (c): $z_0=+1;z_1=z_2=-1.$ Então: $z_0{z}_1+z_0{z}_2=\left(-1\right)+\left(-1\right)=-2.$

• Portanto a opção (c) é a opção que minimiza o problema e dá a solução ótima para este grafo específico.

Podemos então definir os problemas gerais do tipo QUBO da seguinte forma:

$$\begin{array}{l}\text{Minimize}q(x_0,x_1,\dots ,x_m)\\ \text{onde}{x}_j\in \left\{\mathrm{0,1}\right\},j=\mathrm{0,1},\dots ,m\end{array}$$

onde $q(x_0,x_1,\dots ,x_m)$ (a função objetivo) é uma função no máximo quadrática nas variáveis $x_j$. Tanto o problema de Corte Máximo quanto o problema tratado neste trabalho se encaixam como problemas tipo QUBO. Notamos também que é possível, em situações específicas, incluirmos restrições aos problemas de otimização, e mesmo assim reescrevermos como problemas tipo QUBO, como penalidades na função objetivo, por exemplo (ver [⁶] para detalhes da inclusão de penalidades e exemplos).

A analogia com o modelo de Ising acaba se tornando direta. O modelo de Ising [³⁸] é paradigmático na física estatística por ser exatamente solúvel e exibir uma transição de fase de segunda ordem para uma fase ferromagnética em temperaturas finitas. Matematicamente, ele consiste em uma rede de spins clássicos que assumem valores ${\sigma }_i=\pm 1$ e interagem via acoplamento de primeiros vizinhos sob a Hamiltoniana (ver Figura 14):

(A.5) $$\widehat{H}=-\sum _{j,k}{J}_{jk}{\sigma }_j{\sigma }_k-\sum h_j{\sigma }_j,$$

Figura 14
Diagrama esquemático de um modelo de Ising. Em cada vértice há uma partícula, que pode ter spin “para cima” ou “para baixo”, caracterizado por ${\sigma }_i=\pm 1$. Cada partícula pode interagir somente com seus primeiros vizinhos.

onde $J_{jk}$ representa a interação entre partículas adjacentes (negligenciando efeitos de longo alcance), enquanto $h_j$ a atuação de campo externo atuando na partícula $j$.

Ora, se $J_{jk}=-1$ e $h_j=0$, o problema se torna matematicamente equivalente ao Corte Máximo em um grafo. Podemos ainda notar que a Hamiltoniana de Ising (A.5) é quadrática em ${\sigma }_i$. Ainda no modelo de Ising, uma pergunta que podemos fazer é, dada uma configuração de spins, qual a Energia mínima? Portanto, estudar o modelo de Ising, neste contexto, equivale a estudar a minimização da Energia, relacionada a um Hamiltoniano quadrático, sem restrições, envolvendo variáveis binárias. Exatamente o que pede um problema tipo QUBO.

Até então apresentamos o problema de Corte Máximo e até o modelo de Ising sem, necessariamente, tratá-lo quanticamente. Para compreender a relação entre estados quânticos e o problema de Corte Máximo (ou mesmo o modelo de Ising), iniciamos com um cálculo fundamental, do valor esperado em um estado da base computacional (ver (equações 5)):

(A.6) $$\begin{array}{c}⟨010|\left(Z\otimes Z\otimes I\right)|010⟩=⟨0|Z|0⟩⟨1|Z|1⟩⟨0|I|0⟩\\ =1\cdot \left(-1\right)\cdot 1=-1.\end{array}$$

Este tipo de cálculo de valores esperados em estados quânticos será essencial para o que veremos adiante.

A hipótese principal para a generalização para o domínio quântico consiste na substituição de variáveis binárias clássicas $x_j\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}$ por operadores de Pauli $Z$:

(A.7) $$x_j\mapsto {\widehat{n}}_j=\frac{\mathbf{1}-Z_j}{2},$$

onde $Z_j$ é o operador que atua no $j$-ésimo qubit. Dessa forma, o problema de minimizar a função de custo clássica $q(x_0,x_1,\dots ,x_m)$ é traduzido na busca pelo estado fundamental da Hamiltoniana correspondente:

(A.8) $$\widehat{H}=q({\widehat{n}}_0,{\widehat{n}}_1,\dots ,{\widehat{n}}_m).$$

Vamos trabalhar esta hipótese com o problema do Corte Máximo.

Analisando o grafo da Figura 13quanticamente, sendo um qubit por vértice. Podemos interpretar o estado $|010⟩={|0⟩}_0\otimes {|1⟩}_1\otimes {|0⟩}_2$ (onde os subíndices indicam o vértice do grafo) como uma partição onde os qubits/vértices $0$ e $2$ pertencem ao subgrupo $A$ (“marcados” por $|0⟩$) e o qubit/vértice $1$ ao subgrupo $B$ (“marcado” por $|1⟩$) (isto é, $|0⟩$ e $|1⟩$ indicarão cada partição). O valor esperado da Equação (A.6) ser igual a $\left(-1\right)$ indica que a aresta $\left(\mathrm{0,1}\right)$ foi cortada. Porque? Pois podemos identificar o valor esperado como (aqui a notação talvez fique pesada, mas necessária para uma primeira leitura no assunto):

$$\begin{array}{l}⟨010|ZZI|010⟩\\ =⟨010|Z\otimes Z\otimes I|010⟩\\ =⟨0_{\text{vért.}0}|⟨1_{\text{vért.}1}|⟨0_{\text{vért.}2}|{\left(Z_0\otimes Z_1\otimes I_2\right)}_{\text{aresta}\left(\mathrm{0,1}\right)}\\ \times |0_{\text{vért.}0}⟩|1_{\text{vért.}1}⟩|0_{\text{vért.}2}⟩.\end{array}$$

Portanto, o valor esperado $⟨010|ZZI|010⟩$ indica uma análise da aresta $\left(\mathrm{0,1}\right)$, indicada por $ZZI$, com as partições dadas por vértices 0 e 2 na partição A, e vértice 1 na partição B, indicada por $|010⟩$. Como já notamos que $⟨010|ZZI|010⟩=-1$, isto indica que a aresta $\left(\mathrm{0,1}\right)$ foi “cortada”. Se fizermos o cálculo, com as mesmas partições, correspondendo à aresta $\left(\mathrm{0,2}\right)$ encontraremos:

$$\begin{array}{l}⟨010|ZIZ|010⟩\\ =⟨010|Z\otimes I\otimes Z|010⟩\\ =⟨0_{\text{vért.}0}|⟨1_{\text{vért.}1}|⟨0_{\text{vért.}2}|{\left(Z_0\otimes I_1\otimes Z_2\right)}_{\text{aresta}\left(\mathrm{0,2}\right)}\\ \times |0_{\text{vért.}0}⟩|1_{\text{vért.}1}⟩|0_{\text{vért.}2}⟩\\ =+1\to \text{aresta não cortada}.\end{array}$$

Em geral, em livros texto, utiliza-se uma notação simplificada $Z_j{Z}_k$ para representar o produto de operadores de Pauli $Z$ nos qubits/vértices $j$ e $k$[⁶]. Sendo assim, em geral escrevemos, por exemplo:

$$\begin{array}{c}⟨010|Z_0{Z}_1|010⟩=⟨010|ZZI|010⟩=-1\\ ⟨010|Z_0{Z}_2|010⟩=⟨010|ZIZ|010⟩=+1\end{array}$$

Generalizando para o problema do Corte Máximo, para qualquer estado de base $|x⟩$, com $x\in {\left\{\mathrm{0,1}\right\}}^n$, temos que $⟨x|Z_j{Z}_k|x⟩=-1$ se a aresta $(j,k)$ for cortada e $\left(+1\right)$ caso contrário. Isso ocorre porque, se $j$ e $k$ estiverem em partes diferentes do corte, seus qubits terão “valores” opostos, resultando em um produto de autovalores negativo. Como estados distintos de uma base são ortogonais ($⟨x|y⟩=0$ para $x\ne y$), segue que $⟨y|Z_j{Z}_k|x⟩=0$. Como podemos sempre expandir um estado quântico como uma superposição linear em alguma base $|\psi ⟩={\sum }_x{a}_x|x⟩$, o valor esperado pode ser escrito como:

$$\begin{array}{l}⟨\psi |Z_j{Z}_k|\psi ⟩={\displaystyle \sum _y}{\displaystyle \sum _x}{a}_y^{\ast }{a}_x⟨y|Z_j{Z}_k|x⟩\\ ={\displaystyle \sum _x}{\left|a_x\right|}^2⟨x|Z_j{Z}_k|x⟩.\end{array}$$

Aplicando este resultado à soma das arestas que definem o problema do grafo na Figura 13, equação (A.4), obtemos:

$$⟨\psi |\left(Z_0{Z}_1+Z_0{Z}_2\right)|\psi ⟩=\sum _x{\left|a_x\right|}^2⟨x|\left(Z_0{Z}_1+Z_0{Z}_2\right)|x⟩.$$

Finalmente, como o valor esperado de uma mistura estatística é sempre maior ou igual ao seu valor mínimo individual, observamos que:

$$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _x}{\left|a_x\right|}^2⟨x|\left(Z_0{Z}_1+Z_0{Z}_2\right)|x⟩\\ \ge ⟨x_{\text{min}}|\left(Z_0{Z}_1+Z_0{Z}_2\right)|x_{\text{min}}⟩.\end{array}$$

Onde $|x_{\text{min}}⟩$ identifica o estado da base que minimiza a energia da Hamiltoniana de Ising correspondente, revelando a configuração que fornece o Corte Máximo do grafo. Sendo asism, a versão quântica do problema de Corte Máximo da equação (A.4) é escrito como:

$$\begin{array}{l}\text{Minimize}⟨\psi |(Z_0{Z}_1+Z_0{Z}_2)|\psi ⟩=⟨\psi |Z_0{Z}_1|\psi ⟩+⟨\psi |Z_0{Z}_2|\psi ⟩.\\ \text{onde}|\psi ⟩\text{é um estado quântico de 3 qubits}.\end{array}$$

Como queeremos deixar explícito neste texto, para as três opções da Figura 13, temos:

• Opção (a). Particionamento: $|010⟩$. Função objetivo “quantizada”:

$$\begin{array}{l}⟨010|\left(Z_0{Z}_1+Z_0{Z}_2\right)|010⟩\\ =⟨010|Z_0{Z}_1|010⟩+⟨010|Z_0{Z}_2|010⟩\\ =\left(-1\right)+\left(+1\right)=0\end{array}$$

• Opção (b). Particionamento: $|001⟩$. Função objetivo “quantizada”:

$$\begin{array}{l}⟨001|\left(Z_0{Z}_1+Z_0{Z}_2\right)|001⟩\\ =⟨001|Z_0{Z}_1|001⟩+⟨001|Z_0{Z}_2|001⟩\\ =\left(+1\right)+\left(-1\right)=0\end{array}$$

• Opção (c). Particionamento: $|100⟩$. Função objetivo “quantizada”:

$$\begin{array}{l}⟨100|\left(Z_0{Z}_1+Z_0{Z}_2\right)|100⟩\\ =⟨100|Z_0{Z}_1|100⟩+⟨100|Z_0{Z}_2|100⟩\\ =\left(-1\right)+\left(-1\right)=-2\end{array}$$

• Portanto, novamente a Opção (c) se torna a que minimiza o problema, a solução ótima.

Desta forma, um problema de Corte Máximo pode ser escrito da seguinte forma geral (com n vértices):

$$\begin{array}{l}\text{Minimize}{\displaystyle \sum _{(j,k)\in E}}⟨\psi |Z_j{Z}_k|\psi ⟩\\ \text{onde}|\psi ⟩\text{é um estado quântico de n qubits}.\end{array}$$

Trazendo agora para o modelo de Ising (que de fato “guia” os problemas tipo QUBO), podemos escrevê-lo de uma forma a ser analisada através dos protocolos propostos neste trabalho como:

$$\begin{array}{l}\text{Minimize}-\sum _{(j,k)\in E}{J}_{jk}⟨\psi |Z_j{Z}_k|\psi ⟩-\sum _j{h}_j⟨\psi |Z_j|\psi ⟩\\ \text{onde}|\psi ⟩\text{é um estado quântico de n qubits}.\end{array}$$

Sendo assim, reescrever problemas tipo QUBO como problemas de otimização da Energia, para todos os estados quânticos possíveis para o problema (desde que o problema seja quadrático, sem restrição e binário). É a partir deste tipo de estratégia que este trabalho foi baseado.

C. Exemplo Simples de Aplicação do QAOA – Corte Máximo

Detalhes sobre o QAOA são dados na seção 3 e no Algoritmo 1 deste trabalho. Aqui vamos apresentar um exemplo da aplicação do Algoritmo 1, baseado no problema de Corte Máximo apresentado no Apêndice B. Seja o grafo da Figura 13, e reescrevendo matematicamente o grafo como $G=(V,E)$, sendo os três vértices $V=\left\{\mathrm{0,1,2}\right\}$ (portanto 3 qubits) e arestas $E=\{\left(\mathrm{0,1}\right),\left(\mathrm{0,2}\right)\}$. Novamente, mencionamos que o objetivo do problema de Corte Máximo é particionar todos os vértices em dois conjuntos, de modo que o número de arestas conectando esses conjuntos seja maximizado.

Para o grafo da Figura 13, e considerando a Hamiltoniana como:

(A.9) $$H=Z_0{Z}_1+Z_0{Z}_2,$$

teremos os seguintes passos (alguns parâmetros foram escolhidos arbitrariamente para este exemplo específico, como a profundidade $n$):

1. Escolher a profundidade: $n=5$

2. Escolher parâmetros iniciais. Para nosso caso, $\beta$ e $\gamma$ foram vetores de $n$ entradas, cada entrada sendo: ${\beta }_i={\gamma }_i=\frac{\pi }{4}\approx 0.785$

3. Preparar o estado $|\beta ,\gamma ⟩$ num computador quântico (ou fazer uma simulação por exemplo usando o AerSimulator() - ver [⁶] ou no repositório de dados trabalho).

4. Estimar a Energia através de $⟨\beta ,\gamma |H|\beta ,\gamma ⟩$

5. Utilizar um otimizador clássico (por exemplo COBYLA, SPSA, Nelder-Mead, etc.) para encontrar novos valores de $\beta$ e $\gamma$ e iterar/reaimentar no algoritmo. Em nosso caso usamos o COBYLA.

6. Encontrar os valores de ${\beta }^{\ast },{\gamma }^{\ast }$. Em nosso exemplo encontramos, após a otimização clássica:

   sendo um valor de $\beta$ e $\gamma$ para cada $n$.

7. Preparar o estado $|{\beta }^{\ast },{\gamma }^{\ast }⟩$ (ver Equação (17)) em um computador quântico (ou no simulador AerSimulator()).

8. Medir o estado para encontrar uma solução aproximada.

(A.10) $${\mathit{\beta }}^{\ast }=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,9927}\\ \mathrm{0,4523}\\ \mathrm{0,8160}\\ \mathrm{0,8433}\\ \mathrm{1,1038}\end{array}\right),{\mathit{\gamma }}^{\ast }=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,8294}\\ \mathrm{0,8286}\\ \mathrm{1,6092}\\ \mathrm{1,0304}\\ \mathrm{1,2073}\end{array}\right),$$

Por exemplo, rodamos o problema 2000 vezes, com profundidade $n=5$, e encontramos os resultados nas Figuras 15 e 16. Em 15 podemos notar que os resultados mais encontrados foram de fato os estados $|001⟩$ e $|110⟩$, que identificam justamente os subconjuntos ótimos para

Figura 15
Histograma mostrando a contagem de soluções encontradas com relação a cada estado. Observe que não são somente os estados ótimos que são encontrados, porém são com maior probabilidade.

Figura 16
Circuito quântico para o problema de Corte Máximo do grafo da Figura 13 (3 qubits), com profundidade $n=5$.

este problema. Já em 16 mostramos o circuito formado para este problema, com profundidade $n=5$. Note em 16 os ângulos encontrados em (A.10) em cada unitária mostrada.

D. Glossário de Alguns Termos e Conceitos

Apresentamos um glossário simples com alguns dos termos e expressões técnicas usados neste trabalho.

Algoritmos Genéticos: Métodos de otimização inspirados na evolução biológica, que utilizam mecanismos como seleção, cruzamento e mutação para “evoluir” soluções ao longo de gerações.

Algoritmo Genético Quântico: Variante que incorpora princípios da mecânica quântica (como superposição e qubits) para representar indivíduos, permitindo uma exploração mais paralela do espaço de soluções.

Corte-Máximo (Max-Cut): Problema de otimização que busca dividir os pontos de um grafo em dois grupos, maximizando o número de conexões entre eles.

Emaranhamento (Entanglement): Correlação quântica onde o estado de uma partícula não pode ser descrito independentemente da outra, sendo um recurso fundamental para o processamento de informação quântica.

Modelo de Ising: Modelo da mecânica estatística que descreve interações entre spins binários ($\pm 1$), utilizado para mapear problemas de otimização em Hamiltonianos quânticos.

NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum): Era atual da computação quântica com dispositivos de escala intermediária, sujeitos a ruído e que operam sem correção de erros total.

Problema do Caixeiro Viajante: Problema clássico que busca determinar a rota mais curta para visitar um conjunto de cidades e retornar à origem, passando por cada uma exatamente uma vez.

QAOA (Quantum Approximate Optimization Algorithm): Algoritmo híbrido que alterna operações quânticas e otimização clássica para encontrar soluções aproximadas em problemas combinatórios.

Qiskit: Kit de desenvolvimento (SDK) de código aberto da IBM para programação quântica. Permite criar e executar circuitos em hardware real ou simuladores. Disponível em: ibm.com/quantum/qiskit.

Quantum Annealing: Técnica que utiliza flutuações quânticas para navegar em uma paisagem de energia e encontrar o estado de equilíbrio ou mínimo global de um sistema.

Qubit: Unidade fundamental da informação quântica que, devido à superposição, pode representar os estados 0 e 1 simultaneamente.

Redes Neurais: Modelos computacionais inspirados no sistema nervoso que aprendem padrões complexos através do ajuste de pesos numéricos.

Redes Tensoriais: Ferramentas matemáticas que compactam dados de sistemas quânticos de muitos corpos, tornando simulações complexas computacionalmente viáveis.

SAE Brasil Aerodesign: Competição de engenharia onde estudantes projetam e constroem aeronaves rádio-controladas, visando otimização estrutural sob restrições regulamentares.

Spin Glasses: Sistemas magnéticos com interações desordenadas, usados como modelos para representar problemas de otimização de alta complexidade.

Superposição: Propriedade que permite a um sistema quântico existir em múltiplos estados simultaneamente até que uma medição seja realizada.

Teorema Variacional: Princípio que garante que a energia de um estado de tentativa é sempre maior ou igual à do estado fundamental, justificando a busca por mínimos via parâmetros ajustáveis.

Triquilha: Componente do trem de pouso situado no nariz da aeronave, responsável pelo suporte de carga frontal e pelo direcionamento em solo.

Variáveis Contínuas e Discretas: Variáveis contínuas assumem qualquer valor num intervalo (ex: deslocamentos), enquanto discretas assumem valores isolados. O QAOA mapeia o contínuo para o binário (discreto).

VQE (Variational Quantum Eigensolver): Algoritmo quântico que busca o estado de menor energia de um sistema através de um circuito parametrizado e um otimizador clássico.

Disponibilidade de Dados

Todo o conjunto de dados que dá suporte aos resultados deste estudo foi disponibilizado em um Repositório de Dados:

• Nome do repositório: Zenodo

• DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.21510726

• Data do depósito: 23 de julho de 2026

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Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  07 Set 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  23 Dez 2025
• Revisado
  09 Jun 2026
• Aceito
  07 Jul 2026