O gato de Schrödinger como ferramenta no ensino de conceitos e postulados da mecânica quântica

Schrödinger’s cat as a tool for teaching concepts and postulates of quantum mechanics

Resumo

O experimento mental do gato de Schrödinger, concebido originalmente por Erwin Schrödinger para criticar a interpretação de Copenhagen da mecânica quântica quando aplicada a sistemas macroscópicos, frequentemente se tornou um símbolo das “estranhezas” quânticas, especialmente para o público leigo. Este artigo propõe uma ressignificação pedagógica deste famoso paradoxo. Argumentamos que, ao invés de apenas ilustrar um debate histórico ou as dificuldades conceituais da mecânica quântica, o gato de Schrödinger pode ser uma ferramenta didática eficaz para introduzir e exemplificar os seus postulados fundamentais. Através da análise do estado do gato na caixa, exploramos como os conceitos de estado quântico, superposição, operadores, autovalores, probabilidades de medição, colapso da função de onda e evolução temporal podem ser apresentados de forma mais concreta e instigante para estudantes de física.

Keywords
Mecânica quântica; gato de Schrödinger; ensino de física; postulados da mecânica quântica

Abstract

Schrödinger’s Cat, a thought experiment originally conceived by Erwin Schrödinger to critique the Copenhagen interpretation of quantum mechanics when applied to macroscopic systems, has often become a symbol of quantum “weirdness,” especially for the lay audience. This article proposes a pedagogical reframing of this famous paradox. We argue that, rather than merely illustrating a historical debate or the conceptual difficulties of quantum mechanics, Schrödinger’s Cat can be an effective didactic tool for introducing and exemplifying its fundamental postulates. By analyzing the state of the cat in the box, we explore how the concepts of quantum state, superposition, operators, eigenvalues, measurement probabilities, wave function collapse, and time evolution can be presented in a more concrete and engaging manner for physics students.

Keywords
Quantum mechanics; Schrödinger’s cat; physics education; postulates of quantum mechanics

1. Introdução

Quando a mecânica quântica (MQ) começou a ser formulada no início do século XX, algumas das suas ideias pareciam desafiar a lógica de muitos conceitos já estabelecidos pela física clássica. Diante disso, algumas interpretações para os seus resultados começaram a ser propostas, acendendo um intenso debate filosófico que dividiu muitos cientistas e gerou embates emblemáticos na história da física [¹].

Uma das correntes mais famosas foi a interpretação de Copenhagen, defendida principalmente pelos pioneiros Niels Bohr e Werner Heisenberg [², ³]. De acordo com essa interpretação, um sistema quântico é inicialmente formado por todos os resultados possíveis coexistindo ao mesmo tempo, e somente após uma medição é que um desses resultados se manifesta. Essa ideia funcionava bem para átomos e partículas subatômicas, mas parecia bastante irrealista quando aplicada a objetos do mundo macroscópico [⁴].

Foi justamente para destacar essa aparente contradição com o que observamos no dia a dia que Erwin Schrödinger propôs seu famoso experimento mental do gato em 1935 [⁵]. O objetivo não era propor um experimento real que testasse a MQ, mas sim ilustrar, por meio de uma situação absurda, como a interpretação de Copenhagen era incoerente com o mundo clássico.

O ensino de conceitos da mecânica quântica pode se beneficiar enormemente do uso de experimentos, sejam eles reais ou mentais. Experimentos reais, mesmo que adaptados por simuladores virtuais, podem ser usados para enriquecer o debate sobre as interpretações da MQ [⁶], e o uso de experimentos mentais segue um caminho similar. Apesar de menos palpável, estes experimentos oferecem novas possibilidades de explorar cenários extremos ou idealizados sem as limitações práticas do laboratório [⁷, ⁸].

Ainda que não fosse o objetivo inicial de Schrödinger, o seu experimento mental pode ser muito útil para exemplificar alguns dos principais conceitos da mecânica quântica, entre eles os seus postulados fundamentais [⁹, ¹⁰, ¹¹], e dessa forma o gato pode ser transformado em uma ferramenta poderosa no ensino da MQ.

Um objetivo secundário dessa aplicação é ressignificar o gato de Schrödinger e desmistificar as interpretações erradas que ele recebeu com o passar do tempo, principalmente com a popularização de seu lado paradoxal em meios não-científicos [¹²].

2. O Experimento

É crucial ressaltar que o “gato de Schrödinger” é um experimento mental, concebido para fins de argumentação teórica e jamais realizado ou proposto para realização prática, devido a óbvias considerações éticas e à sua natureza puramente ilustrativa.

O cenário proposto por Schrödinger consiste em uma caixa selada, isolada do ambiente externo, contendo um gato vivo e um aparato que conta com um contador Geiger, uma quantidade ínfima de substância radioativa e um frasco de veneno bastante volátil. A quantidade de material radioativo é tal que, no decorrer de um determinado tempo, existe uma probabilidade de exatamente 50% de que um de seus átomos decaia, e 50% de que nenhum átomo decaia. Se um átomo decai, o contador Geiger detecta a partícula emitida e abre o frasco, liberando dentro da caixa o veneno mortal capaz de matar o gato instantaneamente. Se nenhum átomo decair, o mecanismo não é acionado e o gato permanece vivo.

De acordo com a interpretação de Copenhagen da mecânica quântica, o átomo radioativo, antes de ser medido, não está nem no estado “decaído” nem no estado “não decaído”, mas sim em uma superposição de ambos os estados. Como a situação de vida ou morte do gato está ligada a essa condição, a lógica sugere que o sistema inteiro dentro da caixa – incluindo o gato – também deveria ser descrito por uma superposição. Assim, o gato estaria simultaneamente vivo e morto até que a caixa seja aberta, o que configura uma medida e portanto “força” o sistema a assumir um único estado.

Com essa explicação, Schrödinger não estava exemplificando conceitos da MQ, muito menos fazendo críticas aos seus princípios. Seu objetivo era expor como a aplicação das regras da MQ, concebidas em escala atômica, não faziam sentido no mundo macroscópico. Ele pretendia problematizar a noção de superposição quando extrapolada para a escala de nossa experiência cotidiana e, ao mesmo tempo, criticar a falta de clareza sobre o que constitui uma “medição” e como (ou quando) ocorre a transição de um estado de superposição para um estado definido e clássico.

Diante do fato de que o gato de Schrödinger está longe de possuir qualquer propriedade de um sistema quântico, seja no exemplo original ou no mundo real, devemos deixar claro que a sua aplicação neste artigo é apenas como uma ferramenta pedagógica. Como os postulados da MQ, por definição do termo, não demandam demonstração, o objetivo é utilizar a idealização dessa ferramenta para fornecer uma visão mais concreta e intuitiva sobre alguns de seus conceitos abstratos ou que pareçam puramente matemáticos.

3. Os Postulados da Mecânica Quântica

Os postulados da mecânica quântica formam um dos possíveis pontos de partida para entender o alicerce da teoria. Apesar da abordagem axiomática dos postulados ser comum em livros tradicionais, ela não é a única forma de construir um formalismo para a MQ. Exemplos de outras abordagens podem ser consultados nas Refs. [¹³, ¹⁴, ¹⁵].

No decorrer dessa seção, seguiremos a ordem e os tópicos apresentados na Ref. [⁹], com complementos das Refs. [¹⁰, ¹¹].

3.1. Primeiro postulado

O primeiro postulado estabelece que qualquer sistema da mecânica quântica pode ser completamente descrito por um estado quântico, denotado por um símbolo chamado ket, como $|\mathrm{\Psi }⟩$. Esse objeto existe em um palco matemático chamado espaço de Hilbert, um espaço que especifica todas as regras que o estado deve obedecer.

Associado a cada ket $|\mathrm{\Psi }⟩$, existe um dual no espaço dual de Hilbert, denominado bra, e escrito como $⟨\mathrm{\Psi }|$. O produto interno entre um bra $⟨\mathrm{\Phi }|$ e um ket $|\mathrm{\Psi }⟩$, i.e. $⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Psi }⟩$, resulta em um número complexo. Uma propriedade fundamental é que os estados físicos geralmente são normalizados,

(1) $$⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Psi }⟩=1,$$

e ortogonais

(2) $$⟨{\mathrm{\Psi }}_i|{\mathrm{\Psi }}_j⟩={\delta }_{ij},$$

onde δ_ij é o delta de Kronecker.

Uma das principais propriedades desse espaço é o chamado princípio da superposição. Ele nos diz que se um sistema pode existir em um estado $|{\mathrm{\Psi }}_1⟩$ e também pode existir em um estado $|{\mathrm{\Psi }}_2⟩$, então ele também pode existir em uma combinação linear de ambos, como $|\mathrm{\Psi }⟩=c_1|{\mathrm{\Psi }}_1⟩+c_2|{\mathrm{\Psi }}_2⟩$. Os coeficientes c₁ e c₂ são números complexos e estão relacionados com a probabilidade de acontecer cada um dos estados individuais, como veremos mais adiante. Portanto, de maneira geral, um estado em superposição de n estados pode ser escrito como

(3) $$|\mathrm{\Psi }⟩=\sum _i^n{c}_i|{\mathrm{\Psi }}_i⟩.$$

Analogamente, o bra pode ser escrito como

(4) $$⟨\mathrm{\Psi }|=\sum _i^n{c}_i^{\ast }⟨{\mathrm{\Psi }}_i|,$$

onde $c_i^{\ast }$ é o complexo conjugado de c_i.

A partir das equações acima e das condições de normalização e ortogonalidade (1,2) é possível obter uma expressão para os coeficientes,

(5) $$c_i=⟨\mathrm{\Psi }|{\mathrm{\Psi }}_i⟩,$$

e também encontrar uma condição para os mesmos,

(6) $$\sum _i^n{|c_i|}^2=1.$$

As implicações maiores desses resultados serão observadas no quarto postulado.

No experimento mental de Schrödinger, existem inicialmente dois estados possíveis para o gato na caixa: ele pode estar vivo, um estado que vamos chamar de $|{\mathrm{\Psi }}_{\text{vivo}}\rangle$, assim como também pode estar morto, $|{\mathrm{\Psi }}_{\text{morto}}\rangle$. Devido à natureza quântica do gatilho (o decaimento do átomo radioativo), o estado do gato antes da observação fica intrinsecamente ligado ao estado do átomo. Assim, pelo princípio da superposição, é correto dizer que o gato está no estado

(7) $$|{\mathrm{\Psi }}_{\text{gato}}\rangle =c_{\text{vivo}}|{\mathrm{\Psi }}_{\text{vivo}}\rangle +c_{\text{morto}}|{\mathrm{\Psi }}_{\text{morto}}\rangle ,$$

Os coeficientes c_vivo e c_morto associados à probabilidade de cada estado do gato serão calculados mais adiante. O importante é que essa proposição (que faz todo o sentido dentro da mecânica quântica) é a base para a conclusão de que o gato está “vivo e morto ao mesmo tempo”.

3.2. Segundo postulado

Como um objeto matemático que descreve completamente o sistema, o estado quântico guarda informações que podem ser obtidas por meio de medições.

Qualquer quantidade ou propriedade de um sistema que conseguimos medir no nosso mundo real é chamada de observável. É o caso, por exemplo, da posição, energia ou momento linear de uma partícula. O segundo postulado estabelece que para cada observável existe um operador correspondente na mecânica quântica. Esses operadores são as ferramentas matemáticas que representam as medições que podemos realizar sobre o sistema.

Por exemplo, para expressar simbolicamente o ato de medir o momento linear de uma partícula definida pelo estado $|\mathrm{\Psi }⟩$, basta aplicar sobre ele o operador momento linear $\widehat{p}$, o que significa fazer $\widehat{p}|\mathrm{\Psi }⟩$. Outros operadores muito importantes são o de posição, normalmente chamado pela coordenada que representa, como $\widehat{x}$, e o operador de energia $\widehat{H}$, mais conhecido como Hamiltoniano.

Dentre as medidas possíveis de serem feitas com relação ao gato na caixa, vamos escolher a mais importante no experimento: a que determina se o gato está vivo ou morto. Para esse observável, definimos um operador que chamaremos de vitalidade, denotado por $\widehat{V}$. Portanto, de acordo com o segundo postulado, aplicar o operador $\widehat{V}$ no estado que descreve o gato, $\widehat{V}|{\mathrm{\Psi }}_{\mathrm{gato}}⟩$, é o equivalente na matemática da mecânica quântica a abrir a caixa e descobrir se o gato está vivo ou morto.

3.3. Terceiro postulado

Complementando diretamente o postulado anterior, o terceiro postulado especifica quais são os resultados possíveis de serem obtidos em uma medição.

Em espaços vetoriais complexos como o espaço de Hilbert, um operador qualquer $\widehat{A}$ está associado a um conjunto de vetores especiais chamados autovetores do operador $\widehat{A}$[¹⁰]. Podemos representá-los pelos kets $|{\varphi }_i⟩$. Quando autovetores correspondem a estados físicos eles também podem ser chamados de autoestados.

Esses vetores são especiais porque, ao aplicarmos o operador $\widehat{A}$ sobre um deles, o resultado é o mesmo vetor multiplicado por um número real a_i correspondente. Os números a_i são conhecidos como autovalores do operador $\widehat{A}$ e essa propriedade fundamental é matematicamente expressa pela equação de autovalores:

(8) $$\widehat{A}|{\varphi }_i⟩=a_i|{\varphi }_i⟩.$$

O terceiro postulado estabelece que os autovalores são os únicos resultados possíveis para uma medição representada pelo operador correspondente.

É importante ressaltar que somente quando um sistema se encontra em um autoestado de um operador é que a medição do observável correspondente resultará com certeza no autovalor associado a esse autoestado. Se o sistema estiver em um estado geral $|\mathrm{\Psi }⟩$, que é uma superposição de autoestados de $\widehat{A}$, i.e.

(9) $$|\mathrm{\Psi }⟩=\sum _i{c}_i|{\varphi }_i⟩,$$

então a medição de A ainda resultará em um dos autovalores a_i, mas o resultado específico será probabilístico, como detalhado no próximo postulado.

No caso do gato de Schrödinger, o operador de vitalidade $\widehat{V}$ definido anteriormente possui dois autoestados bem definidos, $|{\mathrm{\Psi }}_{\text{vivo}}\rangle$ e $|{\mathrm{\Psi }}_{\text{morto}}\rangle$. Se o gato estivesse definitivamente vivo, ou seja, no estado $|{\mathrm{\Psi }}_{\text{vivo}}\rangle$, uma medição de sua vitalidade retornaria o autovalor que representa “vivo”. Similarmente para o estado $|{\mathrm{\Psi }}_{\text{morto}}\rangle$. Podemos escrever as equações de autovalor como:

(10) $$\widehat{V}|{\mathrm{\Psi }}_{\text{vivo}}⟩=c_{\text{vivo}}|{\mathrm{\Psi }}_{\text{vivo}}⟩,$$

(11) $$\widehat{V}|{\mathrm{\Psi }}_{\text{morto}}⟩=c_{\text{morto}}|{\mathrm{\Psi }}_{\text{morto}}⟩.$$

Aqui, c_vivo e c_morto são os autovalores reais que representam as condições “vivo” e “morto”, respectivamente.

Mas como antes da observação o estado associado ao gato é uma superposição de dois estados, a medição da sua vitalidade não terá um resultado determinístico, mas sim probabilístico, regido pelo quarto postulado.

3.4. Quarto postulado

Este postulado, frequentemente chamado de regra de Born [¹⁶], estabelece a conexão entre os coeficientes da superposição e as probabilidades de medição.

Se um sistema está no estado normalizado $|\mathrm{\Psi }⟩$, e este estado é expandido na base de autoestados ortonormais $|{\varphi }_i⟩$ de um operador $\widehat{A}$ (9), então a probabilidade $𝒫(a_i)$ de se obter o autovalor a_i como resultado de uma medição do observável A é dada por:

(12) $$𝒫(a_i)={|c_i|}^2={|⟨{\varphi }_i|\mathrm{\Psi }⟩|}^2.$$

Para trabalhar com as propriedades no exemplo do gato de Schrödinger, primeiro é preciso identificar os coeficientes. Sabendo que as chances do gato estar vivo ou morto são iguais, é possível usar a condição (6) e obter $|c_{\text{vivo}}{|}^2+|c_{\text{morto}}{|}^2=1$, o que implica em $c_{\text{vivo}}=c_{\text{morto}}=1/\sqrt{2}$. Portanto, o estado de superposição do gato dentro da caixa é

(13) $$|{\mathrm{\Psi }}_{\text{gato}}\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}|{\mathrm{\Psi }}_{\text{vivo}}\rangle +\frac{1}{\sqrt{2}}|{\mathrm{\Psi }}_{\text{morto}}\rangle ,$$

Logo, as probabilidades do gato estar vivo ou morto são:

(14) $$𝒫(vivo)=𝒫(morto)=\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|=\frac{1}{2}=50\%.$$

Esses resultados são coerentes com o que diz o enunciado do experimento, de que há 50% de chance do átomo decair e levar à morte do gato, e também 50% de chance de não decair, mantendo o gato vivo.

3.5. Quinto postulado

O que acontece após uma medição é definido pelo quinto postulado. Ele estabelece que se a medição de um observável A foi feita sobre um sistema que estava no estado $|\mathrm{\Psi }⟩$ resultou no autoestado a_i, então, imediatamente após a medição, o estado “colapsa” para o autoestado que corresponde ao autovalor obtido, ou seja $|{\varphi }_i⟩$.

Isso significa que, ao abrirmos a caixa e determinarmos a situação do gato (ou seja, realizarmos a medida), o estado de superposição deixa de existir e colapsa para um novo estado que depende do resultado obtido.

Vamos supor que ao abrirmos a caixa encontramos o gato vivo. Matematicamente falando, isso é simbolizado por uma aplicação do operador $\widehat{V}$ sobre o estado $|{\mathrm{\Psi }}_{\text{g⁢a⁢t⁢o}}\rangle$ e o resultado foi c_vivo, que corresponde ao autoestado $|{\mathrm{\Psi }}_{\text{viv⁢o}}\rangle$. Pelo quinto postulado, o estado em que o gato se encontra imediatamente após a medida é justamente $|{\mathrm{\Psi }}_{\text{vivo}}\rangle$, não mais $|{\mathrm{\Psi }}_{\text{gato}}\rangle$. Por se tratar de um autoestado do operador de vitalidade, qualquer aplicação de $\widehat{V}$ sobre $|{\mathrm{\Psi }}_{\text{vivo}}\rangle$ resulta no mesmo autoestado, portanto não há mais superposição e podemos dizer que o gato está definitivamente vivo daqui em diante. O análogo vale para caso tenhamos encontrado o gato morto ao abrir a caixa no início.

3.6. Sexto postulado

Até agora em nenhum momento levamos em consideração o fato de que o sistema quântico poderia mudar com o tempo. Primeiro, escrevemos explicitamente a dependência temporal no estado como $|\mathrm{\Psi }(t)⟩$. O sexto postulado estabelece que a evolução temporal desse estado é governada pela equação de Schrödinger dependente do tempo:

(15) $$i\mathrm{\hslash }\frac{d}{dt}|\psi (t)⟩=\widehat{H}|\psi (t)⟩,$$

onde $\widehat{H}$ é o operador Hamiltoniano do sistema, que corresponde à sua energia total, e $\mathrm{\hslash }$ é a constante de Planck reduzida. É essencial que o estado $|\mathrm{\Psi }(t)⟩$ corresponda a um sistema isolado, pois interações externas podem alterar a dependência funcional do Hamiltoniano.

A solução da equação (15) é expressa por meio de um operador de evolução temporal $\widehat{U}(t,t_0)$, que propaga o estado do sistema de um instante inicial t₀ para um instante posterior t:

(16) $$|\psi (t)⟩=\widehat{U}(t,t_0)|\psi (t_0)⟩.$$

No caso especial em que o Hamiltoniano não depende explicitamente do tempo, o operador de evolução temporal assume uma forma relativamente mais simples:

(17) $$\widehat{U}(t,t_0)=e^{-i\widehat{H}(t-t_0)/\mathrm{\hslash }}.$$

Contudo, se o Hamiltoniano varia com o tempo, o operador $\widehat{U}(t,t_0)$ assume uma forma mais complexa e geralmente requer métodos aproximados, como a teoria de perturbações dependente do tempo, para ser calculado.

Pensando nesse postulado no contexto do gato de Schrödinger, é necessário relembrar que o estado do gato depende da situação em que os átomos do material radioativo se encontram. Logo, o sistema é dependente do tempo, pois o decaimento radioativo é um processo probabilístico que se desenrola no tempo. Com isso é possível concluir que o operador em sua forma mais simples (17) não é adequado para esse problema.

A evolução temporal governada pela equação de Schrödinger (15) descreve, por exemplo, como o sistema avança de um estado inicial a partir do selamento da caixa (com o gato vivo e o material intacto) para outro momento posterior no tempo, onde passamos a ter uma incerteza sobre o estado do material e, consequentemente, do gato. A mesma equação pode ainda descrever todas as demais passagens de tempo dentro da caixa selada sem jamais acabar com a incerteza. Somente a ação do operador de vitalidade é capaz de colapsar o estado do gato.

O experimento mental do gato de Schrödinger deixa bastante claro o contraste entre essas duas formas de transformação. A evolução do sistema quântico descrita pela solução da equação de Schrödinger com o operador $\widehat{U}$ é contínua e reversível, enquanto a transformação determinada pela medição (como visto no quarto e quinto postulado) é abrupta, irreversível e possui um caráter probabilístico.

4. Considerações Finais

Apesar de possuir muitas interpretações equivocadas, o gato de Schrödinger pode ir além da sua proposição original como instrumento de debate e se tornar uma ferramenta pedagógica bastante útil em uma introdução aos principais conceitos da mecânica quântica. Reiteramos que o gato, da maneira que originalmente proposto, é um sistema macroscópico e não apresenta as propriedades de um sistema quântico. Assim, a versão apresentada neste artigo é apenas um artifício pedagógico. Ao associar as propriedades desse artíficio com os postulados da MQ, é possível notar como a sua descrição torna mais palpável algumas das conclusões puramente matemáticas desse formalismo, ainda que sem perder sua estranheza característica causada pela diferença entre o mundo quântico e o clássico.

Dessa forma, o experimento mental transcende seu papel original de crítica e pode despertar no estudante novas intuições sobre os conceitos sem perder o rigor que eles exigem. Além disso, o gato de Schrödinger pode servir como um excelente ponto de partida para discussões mais amplas sobre a natureza da ciência, os limites do conhecimento e as diferentes interpretações da realidade física originadas pelas várias interpretações da MQ. Ele convida à reflexão crítica sobre o que significa “medir”, o que constitui um “estado” físico e como a linguagem e os modelos clássicos se mostram inadequados para descrever completamente o domínio quântico. Ao engajar os alunos com essa “estranheza” de forma estruturada e conectada aos postulados, esperamos não apenas facilitar a aprendizagem dos fundamentos da teoria, mas também fomentar uma apreciação mais profunda pela revolução conceitual que a mecânica quântica representa.

Disponibilidade de Dados

Este artigo é de natureza puramente conceitual e teórica. Os conceitos e informações discutidos estão amplamente disponíveis na literatura científica aberta.

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Editado por

• Editor-in-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  10 Out 2025
• Data do Fascículo
  2025

Histórico

• Recebido
  03 Jun 2025
• Revisado
  15 Jul 2025
• Aceito
  29 Ago 2025