Investigações acerca da Massa e o Peso da Luz

An inquiry into the Mass and Weight of Light

Resumo

A questão da massa e do peso da luz tem sido objeto de polêmica recorrente e frequentemente marcada por equívocos conceituais. Inspirados pela terapia linguística de Wittgenstein, propusemos reconstruir a gramática do termo “massa” nos jogos de linguagem da física, a fim de esclarecer em que condições é legítimo afirmar, ou negar, que a luz possui massa e peso. A pesquisa formulou a seguinte questão: em que sentido a noção de massa pode ser aplicada à luz e quais consequências conceituais decorrem dessa aplicação para a atribuição de peso à radiação luminosa? Como metodologia, adotamos a análise gramatical, compreendida como elucidação das regras de uso científico dos conceitos em diferentes quadros teóricos: da mecânica clássica à relatividade e à física de partículas. O objetivo principal foi dissolver ambiguidades conceituais. Identificamos que a luz pode ser associada a uma massa maupertuisiana, vinculada ao momento, e, pelo princípio da equivalência fraca, também a uma massa gravitacional, responsável pela deflexão luminosa em campos gravitacionais. Não é possível atribuir-lhe uma massa acelerativa, pois o fóton não pode ser acelerado no vácuo. Quanto à massa de repouso, permanece em aberto: se existir, deve ser inferior a 10^-54 kg, valor sem efeitos mensuráveis. Concluímos que a luz tem peso em sentido gravitacional, embora o consenso científico a considere desprovida de massa de repouso. Entre as limitações, destacamos a ênfase conceitual em detrimento da análise experimental. Futuras investigações poderão integrar limites empíricos mais recentes e aplicar outros conceitos fundamentais da física, como energia e campo.

Palavras-chave:
Massa da Luz; Peso da Radiação; Relatividade; Epistemologia da Física; História da Ciência

Abstract

The question of the mass and weight of light has been the object of recurrent controversy, often marked by conceptual misunderstandings. Inspired by Wittgenstein’s linguistic therapy, we proposed to reconstruct the grammar of the term “mass” within the language-games of physics, in order to clarify under which conditions it is legitimate to affirm, or deny, that light possesses mass and weight. The research formulated the following question: in what sense can the notion of mass be applied to light, and what conceptual consequences follow from this application for attributing weight to luminous radiation? As methodology, we adopted grammatical analysis, understood as the elucidation of the rules governing the scientific use of concepts in different theoretical frameworks: from classical mechanics to relativity and particle physics. The main objective was to dissolve conceptual ambiguities. We identified that light can be associated with a Maupertuisian mass, linked to momentum, and, by the weak equivalence principle, also with a gravitational mass, responsible for light deflection in gravitational fields. It is not possible, however, to assign it an accelerative mass, since the photon cannot be accelerated in a vacuum. As for the rest mass, the issue remains open: if it exists, it must be less than 10−54 kg, a value without measurable effects. We conclude that light has weight in the gravitational sense, although scientific consensus still regards it as massless. Among the limitations, we highlight the emphasis on conceptual rather than experimental analysis. Future research may integrate more recent empirical bounds and extend the method to other fundamental concepts in physics, such as energy and field.

Keywords:
Mass of Light; Radiation Weight; Relativity; Epistemology of Physics; History of Science

1. Introdução

A questão da massa e do peso da luz tem sido objeto de recorrente polêmica no âmbito da divulgação e da reflexão científica. Há alguns anos, foi tema de controvérsia relatada na revista Super Interessante [¹], e ainda hoje permanece marcada por interpretações equívocas e compreensões parciais. Em nossa perspectiva, tais mal-entendidos decorrem sobretudo de confusões semânticas, que não se resolvem no plano empírico, mas exigem um exame conceitual mais rigoroso. À luz da terapia linguística proposta por Wittgenstein, sustentamos que é necessário reconstruir a gramática do termo massa nos jogos de linguagem próprios da física, a fim de determinar em que condições é legítimo afirmar, ou negar, que a luz possui massa e peso.

Dessa forma, a presente investigação formula a seguinte questão de pesquisa: em que sentido a noção de massa pode ser aplicada à luz, e quais consequências conceituais decorrem dessa aplicação para a atribuição de peso à radiação luminosa? Para enfrentar essa questão, adotamos como método a análise gramatical inspirada em Wittgenstein [², ³], compreendida como um procedimento de elucidação das regras de uso dos termos científicos no interior dos jogos de linguagem da física clássica e da física contemporânea. Tal abordagem não busca fornecer uma resposta empírica definitiva, mas dissolver confusões conceituais que emergem do uso indistinto e não esclarecido de noções como massa gravitacional, massa inercial, massa relativística e massa de repouso.

Assim, a referência a Wittgenstein [², ³] não tem por finalidade desenvolver uma reconstrução filosófica exaustiva, mas operar como instrumento analítico para explicitar as diferenças nos usos do conceito de massa em distintos contextos teóricos. Assim, mais do que descrever a evolução histórica do conceito, buscamos evidenciar que tais transformações implicam alterações nas regras de uso que conferem sentido ao termo, o que permite compreender por que enunciados aparentemente equivalentes assumem significados distintos quando mobilizados em diferentes quadros da física.

2. Percurso Metodológico

O chamado método gramatical surge nas Investigações Filosóficas [²] e em textos posteriores, como Sobre a Certeza [³], quando Wittgenstein abandona a busca por fundamentos lógicos universais e passa a compreender a filosofia como uma atividade de elucidação conceitual. Nesse novo horizonte, em vez de construir teorias, a tarefa filosófica consiste em descrever os usos efetivos da linguagem e mostrar como os mal-entendidos emergem do deslocamento de termos de um contexto para outro.

É necessário enfatizar que Wittgenstein nunca codificou formalmente o método gramatical. Diferentemente de outras tradições filosóficas, que propõem regras metodológicas explícitas e sistemáticas, Wittgenstein apresenta sua reflexão em fragmentos, exemplos e observações que mais sugerem uma prática do que um manual de aplicação. Assim, o que aqui denominamos “método gramatical” é uma reconstrução racional inspirada nos procedimentos recorrentes de suas análises, especialmente em Investigações Filosóficas [²], onde a ênfase recai sobre a descrição dos jogos de linguagem, e em Sobre a Certeza [³], obra póstuma que pode ser lida como um estudo de caso desses mesmos procedimentos. A ausência de um corpo metodológico explícito não deve ser entendida como uma fragilidade, mas como parte da própria concepção wittgensteiniana da filosofia: não uma doutrina, mas uma atividade de esclarecimento.

A gramática, nesse sentido, não é normativa nem prescritiva, mas descritiva: ela explicita as regras de uso de uma palavra dentro de um jogo de linguagem. Analisar gramaticalmente um conceito significa, portanto, identificar o jogo de linguagem em que o termo aparece, descrever seus usos legítimos nesse contexto, contrastar usos distintos que possam gerar confusão e, finalmente, evitar hipóteses metafísicas que pretendam apreender uma essência por trás das práticas de linguagem.

Aplicado ao termo massa, o método gramatical exige mapear os diferentes jogos de linguagem científicos em que a palavra se insere, como a mecânica newtoniana, a relatividade restrita, a relatividade geral e a física de partículas. Cada um desses domínios estabelece condições específicas para o emprego do conceito. Na física newtoniana, distingue-se entre massa inercial e massa gravitacional; na relatividade restrita, introduz-se a noção de massa de repouso, associada ao espaço-tempo minkowskiano, e sua relação com a energia; na relatividade geral, examina-se a equivalência entre massa inercial e gravitacional e se a energia pode ser considerada portadora de peso gravitacional; e, finalmente, em certas hipóteses da física de partículas, como no tratamento das equações de Proca, discute-se a possibilidade de atribuir ao fóton uma massa não nula.

Dessa forma, a análise mostra que a pergunta “a luz tem massa?” não possui um único sentido, mas varia conforme a gramática científica em jogo. Em alguns contextos, a questão perde significado; em outros, pode ser respondida negativamente; e, em hipóteses específicas, pode ser transformada em um problema empírico de grande relevância. O resultado do método gramatical não é oferecer uma resposta factual definitiva, mas dissolver confusões conceituais, permitindo que se veja com clareza em quais condições a questão é significativa e em quais se torna um falso problema.

Na seção seguinte, daremos início ao desenvolvimento da gramática do conceito de massa. Sempre que possível, recorreremos a fontes primárias, de modo a preservar a fidelidade terminológica e conceitual. Quando necessário, lançaremos mão de fontes secundárias, especialmente naquelas passagens em que a interpretação histórica ou filosófica se mostrar indispensável para esclarecer o contexto e a evolução do conceito.

3. Conceitos de Massa

Seguindo a abordagem wittgensteiniana [², ³], somos compelidos a não buscar uma definição essencial do termo massa, mas a examinar os diferentes modos em que ele aparece nos jogos de linguagem empregados pelos físicos. Esse expediente metodológico corresponde, em linhas gerais, ao que Jammer [⁴] adotou em seu clássico Concepts of Mass, ainda que sem referência explícita a Wittgenstein.

Com base na leitura de fontes primárias, entre as quais se destacam Poincaré [⁵, ⁶, ⁷], Abraham [⁸], Hasenöhrl [⁹, ¹⁰], Lorentz [¹¹, ¹²], Einstein [¹³, ¹⁴, ¹⁵, ¹⁶], Planck [¹⁷], Lewis [¹⁸], Langevin [¹⁹], Tolman [²⁰], Proca [²¹, ²², ²³, ²⁴], De Broglie [²⁵], Schrödinger [²⁶, ²⁷, ²⁸], Bass e Schrödinger [²⁹] e Bass [³⁰]; e de fontes secundárias: Ives [³¹], Whittaker [³²], Fadner [³³], Martins [³⁴, ³⁵, ³⁶, ³⁷, ³⁸], Costa [³⁹], Darrigol [⁴⁰, ⁴¹], Jammer [⁴], Vieira et al. [⁴²], Goldhaber e Nieto [⁴³], Dugas [⁴⁴] e Nunes e Queirós [⁴⁵], identificamos três categorias em que o termo massa adquire relevância conceitual.

Massa inercial: É a grandeza associada à inércia de um corpo. Pode ser caracterizada de três maneiras: (i) pela sua resposta a uma força, como coeficiente de proporcionalidade entre força e aceleração na segunda lei de Newton $\left(F=ma\right)$; (ii) pela sua relação com a quantidade de movimento, definida como $p=mv$; e (iii) pela sua ligação com a energiacinética, expressa por $w=1/2m{v}^2$ [¹⁹]. Na mecânica racional clássica, essas três definições coincidem e descrevem uma única grandeza [⁴, ¹⁹]. No entanto, no âmbito da teoria da relatividade, essa equivalência deixa de ser válida, e as noções de força, momento e energia passam a requerer distinções conceituais mais rigorosas [¹⁹, ³⁷, ³⁹].

Massa Minkowskiana ($m_M$): é a grandeza introduzida nas expressões relativísticas da quantidade de movimento e da energia total [¹²]. Ela é invariante nas transformações de Lorentz, ou seja, tem o mesmo valor para diferentes observadores em movimento relativo, e deve ser considerada constante para um ponto material [¹²]. Essa massa serve como parâmetro fundamental que conecta a velocidade, a energia cinética e a quantidade de movimento, permitindo também extrair a energia interna de um corpo [¹²]. Na linguagem atual da física, isso corresponde exatamente à massa invariante ou de repouso em contraste com concepções antigas de “massa relativística” que variava com a velocidade [⁴].

Massa Gravitacional ($m_g$): é o parâmetro teórico que descreve o comportamento de um corpo em relação a campos gravitacionais, podendo assumir dois papéis distintos. Fala-se em massa gravitacional ativa para designar a capacidade de um corpo de gerar um campo gravitacional, isto é, de atuar como fonte de gravidade. Já a massa gravitacional passiva refere-se à resposta de um corpo a um campo gravitacional externo, ou seja, à sua suscetibilidade em sofrer aceleração sob a influência desse campo [⁴], p. 32].

Portanto, ao buscarmos responder à questão acerca da massa e do peso da luz, torna-se necessário identificar, em primeiro lugar, quais categorias de massa poderiam ser-lhe atribuídas e, em particular, se faria sentido conceber a luz como possuindo massa gravitacional ativa ou massa gravitacional passiva. Nas seções seguintes, examinaremos cada uma dessas categorias de modo sistemático, a fim de avaliar em que medida é legítimo, ou não, atribuir algum tipo de massa à luz.

4. Conceitos de Massa Inercial

Para começarmos a nossa Gramática da Massa, recorremos à distinção conceitual proposta por Paul Langevin [¹⁹]. Como observam Langevin [¹⁹] e Jammer [⁴], o conceito de massa não possui uma definição única e invariável, mas depende do quadro conceitual em que é empregado, podendo ser caracterizado a partir de três grandezas físicas distintas. Em primeiro lugar, pela energia cinética, onde a massa surge como medida da capacidade de um corpo em armazenar e transformar trabalho em movimento; em segundo lugar, pela quantidade de movimento ou impulso, em que a massa atua como coeficiente que relaciona o momento linear à velocidade; e, por fim, pela força aplicada, que conduz à definição newtoniana clássica da massa como coeficiente de proporcionalidade entre força e aceleração.

Cada uma dessas definições, que coincidem no âmbito da mecânica clássica, deixa de ser equivalente no contexto da teoria da relatividade. Assim, enquanto no quadro newtoniano massa, energia cinética, momento e aceleração remetem a uma única grandeza, no domínio relativístico essas relações se bifurcam em noções conceituais distintas, exigindo uma análise minuciosa de seus significados e condições de aplicabilidade.

5. Massa Cinética

Denominada por Paul Langevin [¹⁹, p. 555] de capacidade de energia cinética, trata-se da massa deduzida a partir de considerações relativas à energia cinética. No artigo original, o autor escreve:

Assim como a noção de impulso comunicado por uma força levou a enunciar o princípio de conservação da quantidade de movimento, a noção de trabalho levou a enunciar, sob uma forma cada vez mais geral, o princípio de conservação da energia.

Por definição, a energia cinética de um ponto material em movimento é igual à soma algébrica dos trabalhos das forças que atuaram sobre ele a partir do repouso. Se se trata de um corpo de dimensões finitas, essa definição só subsiste sem modificações caso a colocação em movimento não tenha sido acompanhada de nenhuma deformação, isto é, caso o corpo tenha permanecido o mesmo para os observadores a ele ligados. Observa-se que não é necessário introduzir nenhuma restrição desse tipo na definição anterior do impulso: veremos que a mesma simplicidade se reencontra na relação da massa com a energia quando se faz intervir a energia total do corpo em movimento em vez da energia cinética.

Enquanto isso, definiremos, como de costume, a energia cinética w de um corpo pelo trabalho total que é preciso despender para levá-lo, em seu estado atual de movimento, a partir do repouso em sua configuração atual.

Nessas condições, em Mecânica racional, se m é a massa do corpo e v sua velocidade:

$$w=1/2m{v}^2,$$

Pode-se também utilizar essa relação para definir a massa como capacidade de energia cinética, isto é, como o quociente do dobro da energia cinética ou força viva pelo quadrado da velocidade (massa cinética de H. Poincaré) [¹⁹, p. 555].

Para calcular a expressão da massa cinética, recorremos ao teorema trabalho-energia: o trabalho realizado por uma força ao longo de um deslocamento é igual à variação da energia cinética da partícula ($\mathrm{\Delta }w$). Formalmente, essa relação pode ser expressa da seguinte forma:

(1) $$\mathrm{\Delta }w={\int }_{x_1}^{x_2}\overrightarrow{F}\cdot \mathit{d}\overrightarrow{x},$$

onde F representa a força aplicada e $d\mathit{\text{x}}$ o deslocamento infinitesimal ao longo do caminho percorrido.

Sabendo que a força é a variação do momento linear, $\mathit{\text{F}}=d\mathit{\text{G}}/dt$, e usando mudança de variável $d\mathit{\text{x}}=\mathit{\text{v}}dt$:

(2) $$\mathrm{\Delta }w={\int }_{v_1}^{v_2}\mathit{d}\overrightarrow{G}\cdot \overrightarrow{v}.$$

Supondo que o corpo parte do repouso, com a força atuando na mesma direção do deslocamento, e atinge uma velocidade final $v_2=v$ a partir da velocidade inicial $v_1=0$, a equação correspondente pode ser escrita como:

(3) $$w={\int }_0^{v}v\mathit{d}G.$$

A expressão clássica da energia cinética é dada por

(4) $$w=\frac{m_c{v}^2}{2}={\int }_0^{v}v\mathrm{}dG.$$

Isolando a capacidade de energia ou massa cinética ($m_c$), obtemos o seu valor para um corpo material [¹⁹, p. 571]:

(5) $$m_c=\frac{2w}{v^2}=\frac{2}{v^2}{\int }_0^{v}v\mathrm{}dG.$$

Para o caso clássico, envolvendo a massa minkowskiana, seu valor será:

(6) $$m_c=\frac{2}{v^2}{\int }_0^{v}vd\left(m_{M}v\right).$$

Considerando que a massa minkowskiana é constante, temos:

(7) $$m_c=\frac{2}{v^2}{m}_M{\int }_0^{v}v\mathrm{}dv=\frac{2}{v^2}{m}_M\frac{v^2}{2}=m_M.$$

O que demonstra que, no regime clássico, os conceitos de massa cinética e massa minkowskiana coincidem.

No caso relativístico, devemos utilizar a forma relativística do momento, que é dada por [³⁴,³⁷]:

(8) $$G=\frac{m_{M}v}{\sqrt{1-{\beta }^2}},{\beta }^2=\frac{v^2}{c^2}.$$

A diferenciação em relação a $v$ nos dá

(9) $$dG=d\left(\frac{m_{M}v}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\right)=m_M\frac{dv}{{\left(1-{\beta }^2\right)}^{3/2}}.$$

Agora devemos integrar a seguinte expressão:

(10) $$\frac{2}{v^2}{\int }_0^{v}v\frac{m_M}{{\left(1-{\beta }^2\right)}^{3/2}}\mathrm{}dv.$$

Podemos refazer a integral de forma direta usando a substituição.

(11) $$u=1-\frac{v^2}{c^2},vdv=-\frac{c^2}{2}du.$$

Substituindo na integral

(12) $$\frac{2m_M}{v^2}{\int }_1^{1-{\beta }^2}-\frac{c^2}{2}\frac{du}{u^{3/2}}.$$

Integrando:

(13) $${\frac{2m_M{c}^2}{v^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{u}}|}_{=1}^{=1-{\beta }^2}=\frac{2m_M}{{\beta }^2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}-1\right).$$

Portanto, na teoria da relatividade, a massa cinética será dada por [¹⁹, p. 572; ³⁹, p. 49]:

(14) $$m_K=\frac{2m_M}{{\beta }^2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}-1\right).$$

A noção de massa cinética é pouco explorada na literatura especializada. Mesmo a obra clássica de Jammer [⁴], inteiramente dedicada à análise histórica e conceitual da massa, faz apenas duas menções ao termo. Embora não seja usual como conceito físico autônomo, a ideia remete a uma intuição importante: na teoria da relatividade, algumas formas de energia contribuem para a inércia [³⁵,³⁷]. O quatro-momento permanece não nulo mesmo quando a partícula se encontra em repouso, em virtude de sua energia de repouso [³⁷]. Quando o corpo está em movimento, acrescenta-se a essa contribuição fundamental a energia cinética, que participa da inércia total do sistema [¹²,¹³,¹⁴,¹⁵,¹⁹,³⁷,³⁹].

Nesse sentido, embora não seja usual empregar a expressão massa cinética como conceito técnico autônomo, é legítimo compreender a energia cinética como responsável por uma parcela efetiva da inércia total do corpo. A noção, ainda que marginal na literatura, pode, portanto, ser útil como ferramenta conceitual para descrever de forma intuitiva a relação entre energia e inércia em processos relativísticos, especialmente no tratamento de colisões e interações de alta energia.

6. Massa Maupertuisiana

Outra maneira de se definir a massa é a partir do seu momento linear. Esse tipo de massa foi denominado por Langevin [¹⁹, p. 554] capacidade de impulso ou de massa maupertuisiana de Poincaré, devido ao conceito de momentum formalizado por Pierre Louis Moreau de Maupertuis e que permitiu a Poincaré [⁵] associar uma massa à energia em seu ensaio de 1900. Em seu artigo original, Langevin [¹⁹, p. 554] descreve essa massa como segue:

A cada porção de matéria, a cada ponto material em movimento, pode-se fazer corresponder uma grandeza dirigida, sua impulsão G, nula no repouso e cuja variação por unidade de tempo é dada, em grandeza e direção, pela força resultante que age sobre essa porção de matéria. Em outras palavras, a impulsão comunicada por uma força f durante o tempo dt é definida, em grandeza e direção, pelo produto fdt; a impulsão de um corpo é, por definição, a soma geométrica das impulsões elementares que lhe foram comunicadas a partir do repouso pelas diferentes forças que atuaram sobre ele.

Para um sistema de corpos, suscetíveis em geral de agir uns sobre os outros, a impulsão total é definida como soma geométrica das impulsões individuais. Resulta do princípio da igualdade da ação e da reação que, se o sistema é fechado, subtraído a toda ação exterior, essa impulsão total permanece invariante, conserva-se ao longo do tempo. Ela não muda, embora as impulsões individuais das partes do sistema mudem em razão das forças que exercem umas sobre as outras.

Resulta da lei da inércia que a impulsão G sofrida por um corpo a partir do repouso é igual à sua quantidade de movimento, isto é, ao produto de sua massa pela sua velocidade e dirigida segundo esta, donde a relação vetorial:

$$G=mv.$$

Pode-se também definir a massa por essa relação, como capacidade de impulsão, como quociente da impulsão pela velocidade (massa maupertuisiana de H. Poincaré). Pode-se ainda dizer capacidade de quantidade de movimento, se se considerar esta última expressão como sinônimo de impulsão.

Insisto neste ponto: o princípio da conservação da impulsão ou quantidade de movimento total transportada pela matéria em um sistema fechado é uma consequência do princípio da igualdade da ação e da reação e deixaria de ser exato ao mesmo tempo que este.

Para corpos materiais, define-se a massa maupertuisiana a partir da seguinte lei [¹⁹, p. 569; [³⁷, p. 115]:

$$m_p=\frac{G}{v}.$$

Para o caso clássico, envolvendo a massa minkowskiana, seu valor será:

(15) $$m_p=\frac{m_{M}v}{v}=m_M.$$

Isso demonstra que, no regime clássico, os conceitos de massa maupertuisiana e massa minkowskiana coincidem.

No caso relativístico, devemos utilizar a forma relativística do momento, que é dada por [⁴⁶]:

(16) $$G=\frac{m_{M}v}{\sqrt{1-{\beta }^2}}.$$

Dividindo o momento relativístico pela velocidade, obtemos a expressão da massa maupertuisiana:

(17) $$m_p=\gamma m_M,\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}.$$

Isso implica que a massa cinética de um corpo pode ser expressa como proporcional à diferença entre a massa maupertuisiana e a massa minkowskiana.

(18) $$m_K=\frac{2}{{\beta }^2}\left(m_p-m_M\right).$$

Isolando a diferença entre as massas, obtemos a relação fundamental que evidencia o papel da massa cinética.

(19) $$\frac{{\beta }^2{m}_K}{2}=\left(m_p-m_M\right),$$

(20) $$\frac{m_K{v}^2}{2c^2}=\left(m_p-m_M\right),$$

(21) $$\frac{m_K{v}^2}{2}=\left(m_p-m_M\right)c^2.$$

Portanto, a nova expressão da energia cinética conserva certa semelhança estrutural com a fórmula clássica. Ao substituir-se o valor da massa cinética na relação obtida, verifica-se que a energia cinética de uma partícula pode ser interpretada como a diferença entre a massa maupertuisiana e a massa minkowskiana, multiplicada pelo quadrado da velocidade da luz.

(22) $$K=\left(m_p-m_M\right)c^2=m_M{c}^2\left(\gamma -1\right).$$

Expandindo a expressão em série de potências e desconsiderando os termos de segunda ordem e superiores, obtemos uma aproximação que recupera a forma clássica da energia cinética.

(23) $$K\cong m_M{c}^2\left(1+\frac{v^2}{2c^2}-1\right)=m_M\frac{v^2}{2}.$$

Esse é precisamente o resultado obtido por Einstein [¹³,¹⁵].

7. Massa Acelerativa

Outra forma de definir a massa é a partir do conceito de força. Essa grandeza, denominada por Langevin [¹⁹, p. 553] de coeficiente de inércia, é estabelecida da seguinte maneira:

Entende-se, em geral, por inércia a propriedade que possui a matéria de tender a conservar o movimento adquirido; ela resiste às mudanças de sua velocidade, de modo que uma ação exterior ou força é necessária para modificar a grandeza ou a direção desta.

Newton admitiu que há proporcionalidade entre a força que age sobre um corpo e a variação de velocidade que ela lhe comunica, por unidade de tempo, ou aceleração; o quociente constante dessas duas grandezas serviu-lhe para definir a massa do corpo. Resulta necessariamente da lei fundamental admitida por Newton (independência dos efeitos das forças e do movimento anteriormente adquirido) que a aceleração é sempre dirigida segundo a força que a produz, qualquer que seja sua direção em relação à velocidade adquirida, seja ela longitudinal (aceleração tangencial), transversal (aceleração normal) ou oblíqua à trajetória. (Langevin, 1913, p. 553–554).

Portanto, de acordo com a direção da força em relação ao deslocamento, definem-se a massa longitudinal e a massa transversal [⁸]. Na mecânica clássica, não há distinção prática entre elas, mas na eletrodinâmica e, posteriormente, na relatividade restrita, essa diferença torna-se significativa, como evidenciado pelos experimentos de Kaufmann no início do século XX [³⁶,³⁸].

O conceito de massas longitudinal e transversal foi introduzido originalmente por Abraham [⁸], mas a formulação que acabou prevalecendo historicamente é a de Lorentz [¹¹].

Quando uma partícula está sujeita a forças ao longo de sua trajetória, é conveniente decompor a força total nas direções tangencial e normal ao movimento. A componente tangencial atua ao longo da trajetória, alterando a velocidade da partícula, enquanto a componente normal atua perpendicularmente, modificando apenas a direção do movimento. Em termos de momento linear, essa decomposição pode ser expressa como a soma vetorial das contribuições nas direções tangencial e normal [⁸,¹¹,¹⁹,⁴⁴]:

(24) $$\overrightarrow{F}=\frac{dG}{dt}\widehat{t}+G\frac{d\theta }{dt}\widehat{n},$$

onde t e n são os versores tangencial e normal à trajetória, $G$ é o momento da partícula e o ângulo $d\theta$ é dado pelo deslocamento ao longo do arco do círculo de raio R:

(25) $$d\theta =\frac{vdt}{R}.$$

Portanto, a expressão da força pode ser escrita da seguinte forma:

(26) $$\overrightarrow{F}=\frac{dG}{dt}\widehat{t}+G\frac{v}{R}\widehat{n}.$$

A primeira componente será denominada força longitudinal, atuando ao longo da trajetória da partícula, enquanto a segunda componente será chamada de força transversal, atuando perpendicularmente à trajetória.

(27) $${\overrightarrow{F}}_{\parallel }=\frac{dG}{dt}\widehat{t},$$

(28) $${\overrightarrow{F}}_{\perp }=\frac{Gv}{R}\widehat{n}.$$

Aplicando a formulação inercial da segunda lei de Newton, obtemos:

(29) $$m_{\parallel }{\overrightarrow{a}}_t=\frac{dG}{dt}\widehat{t},$$

(30) $$m_{\perp }{\overrightarrow{a}}_c=G\frac{v}{R}\widehat{n}.$$

Para obtermos as transformações das massas longitudinal e transversal, faremos as seguintes observações.

1. Inicialmente, registramos que, como G é função de v, podemos aplicar a regra da cadeia e obter, na primeira equação, a seguinte expressão:

(31) $$m_{\parallel }{\overrightarrow{a}}_t=\frac{dG}{dv}\frac{dv}{dt}\widehat{t}.$$

A derivada $dv/dt$ representa a magnitude da aceleração. Multiplicando-a pelo versor tangencial t, obtemos a aceleração tangencial da partícula.

(32) $$m_{\parallel }{\overrightarrow{a}}_t=\frac{dG}{dv}{\overrightarrow{a}}_t.$$

Por inspeção, concluímos que a massa longitudinal da partícula deve ser dada por [⁸,¹¹,¹⁹]:

(33) $$m_{\parallel }=\frac{dG}{dv}.$$

2. A aceleração centrípeta, ou normal, de um corpo é dada por [⁴⁴]:

(34) $$a_c=\frac{v^2}{R}\widehat{n}.$$

Substituindo essa expressão na equação da força transversal, obtemos a relação:

(35) $$m_{\perp }\frac{v^2}{R}\widehat{n}=G\frac{v}{R}\widehat{n}.$$

Após realizar as simplificações, chegamos ao seguinte resultado:

(36) $$m_{\perp }\widehat{n}=\frac{G}{v}\widehat{n}.$$

Por inspeção, concluímos que a massa transversal da partícula deve ser dada por [⁸,¹¹,¹⁹]:

(37) $$m_{\perp }=\frac{G}{v}.$$

Isso significa que a massa transversal é equivalente à massa maupertuisiana, de modo que todas as propriedades e considerações já discutidas para esta última também se aplicam à massa transversal. Portanto, no regime clássico, a massa transversal coincide com a massa minkowskiana. No caso relativístico, ela é dada por ([¹⁹, p. 571; ³⁷, p. 113]):

(38) $$m_{\perp }=\frac{G}{v}=\gamma m_M.$$

Resta-nos analisar apenas o caso da massa longitudinal. No regime clássico, ela coincide com a massa minkowskiana, pois:

(39) $$m_{\parallel }=\frac{dG}{dv}=\frac{d\left(m_{M}v\right)}{dv}=m_M.$$

Isso demonstra que, no regime clássico, as massas cinética, maupertuisiana e acelerativa são equivalentes para os corpos materiais.

Por outro lado, no caso relativístico, a situação é diferente. Como a equação do momento depende de ${\beta }^2=v^2/c^2$, obtemos a seguinte diferencial:

(40) $$m_{\parallel }=\frac{dG}{dv}=\frac{d}{dv}\left(\frac{m_{M}v}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\right)=\frac{m_M}{{\left(1-{\beta }^2\right)}^{3/2}}.$$

Portanto, de acordo com essa formulação, a massa longitudinal é dada por [¹⁹, p. 570; [³⁷, p. 113]:

(41) $$m_{\parallel }=\frac{dG}{dv}={\gamma }^3{m}_M.$$

A análise dessas equações mostra que a inércia longitudinal é significativamente maior que a inércia transversal. Isso implica que é relativamente mais difÃcil acelerar ou desacelerar um corpo ao longo da direção de seu movimento do que desviá-lo de sua trajetória. Desse modo, a equação da massa cinética de um corpo material pode ser formulada em função de sua massa acelerativa transversal, estabelecendo uma conexão conceitual entre essas duas formas de caracterizar a inércia.

(42) $$m_K=\frac{2}{{\beta }^2}\left(m_{\perp }-m_M\right).$$

Isolando a massa acelerativa nas expressões anteriores, obtemos uma relação direta entre essa grandeza e a energia cinética do corpo.

(43) $$m_{\perp }=\frac{{\beta }^2{m}_K}{2}+m_M.$$

Usando a expressão da energia cinética deduzida anteriormente, a relação assume uma forma equivalente, estabelecendo de maneira explícita o vínculo entre a massa acelerativa e a energia cinética do corpo.

(44) $$m_{\perp }=\frac{K}{c^2}+m_M.$$

Dessa equação conclui-se que o aumento da massa na direção transversal está diretamente relacionado à energia cinética de translação adquirida pelo sistema. No caso transversal, contudo, a interpretação é diferente: quando uma força atua perpendicularmente ao movimento da partícula, ela altera a direção da velocidade sem modificar seu módulo. Assim, a energia cinética total permanece constante, mas a resistência à deflexão cresce devido ao fator relativístico. Essa diferença entre massa longitudinal e transversal foi precisamente o que motivou os experimentos de Kaufmann no início do século XX [³⁶,³⁸].

8. Massa Inercial da Luz: A Análise de Poincaré

Na seção anterior identificamos três conceitos distintos de massa inercial. A partir dessa diferenciação, podemos retomar a questão central: é possível atribuir uma massa inercial à luz? Em conformidade com Martins [³⁷, p. 118], entendemos que a resposta depende do conceito considerado. Não se pode atribuir à luz uma massa acelerativa, pois, no vácuo, ela não pode ser acelerada [³⁷, p. 118]. No entanto, é possível associar-lhe uma massa maupertuisiana. A primeira demonstração dessa possibilidade foi apresentada por Henri Poincaré em 1900 em Le principe de réaction et la théorie de Lorentz [⁵].

O ensaio de Poincaré [⁵] é basicamente uma crítica à eletrodinâmica de Lorentz por ela não comportar a terceira lei de Newton. Poincaré [⁵] logo no início avisa que essa crítica não tem como intuito desmerecer a grandiosidade da teoria, mas torná-la mais consistente.

Na formulação original da teoria do elétron de Lorentz, a soma de todas as forças eletromagnéticas que atuam sobre os íons não precisava ser nula, pois era definida como o integral da força de Hertz em todo o espaço. Isso implicava que a emissão de radiação em uma direção determinada deveria provocar um recuo da fonte, configurando assim uma violação do princípio clássico de ação e reação [⁴⁰,⁴¹]].

Para Poincaré [⁵,⁴⁰,⁴¹], a conservação do momento tinha o mesmo estatuto das leis de conservação da energia e da massa, constituindo um princípio basilar. Ele tratava as dificuldades ligadas ao princípio da reação em Lorentz como parte de um problema mais amplo: a presença excessiva do éter, ora como referência para o movimento, ora como depósito de quantidade de movimento.

De acordo com Darrigol [⁴⁰], diferentes autores buscaram maneiras de lidar com as dificuldades impostas pelo princípio da reação no âmbito da eletrodinâmica. Hertz, por exemplo, manteve a ideia de movimento do éter, ainda que com implicações problemáticas; Cohn e Poincaré reinterpretaram a velocidade nas equações de Hertz como sendo a da matéria; já Drude e Föppl evitaram introduzir velocidades em regiões sem matéria, mesmo sacrificando a completude da teoria; e Helmholtz tentou compensar a força de Hertz com hipóteses adicionais. A partir dessa diversidade de respostas, pode-se sintetizar três alternativas interpretativas: propor uma teoria eletrodinâmica alternativa, como fizeram Hertz, Cohn ou Helmholtz; elaborar uma teoria inteiramente nova; ou modificar a teoria de Lorentz para compatibilizá-la com o princípio da reação. Foi essa última via que Poincaré procurou seguir, ao tentar ajustar a teoria de Lorentz para compatibilizá-la formalmente com o princípio da reação, ainda que por meio de construções convencionais como o fluido fictício do campo eletromagnético [⁵, p. 40; [⁴¹]].

Para identificar quais modificações seriam necessárias, Poincaré [⁵] iniciou sua análise examinando a interação de um elétron em um elemento de volume e determinando a ação de todas as forças ponderáveis sobre as normais das superfícies, recorrendo às chamadas pressões de Maxwell. A seguir, introduziu a equação de Poynting, a partir da qual obteve a seguinte expressão [⁵, p. 256]:

(45) $$\int \int \int \frac{dJ}{dt}\mathrm{}dV=\frac{c}{4\pi }\oint \left(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}\right)\cdot \widehat{n}\mathrm{}dS-\int \int \int \rho \left(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{E}\right)\mathrm{}dV.$$

A partir dessa equação, Poincaré [⁵] introduziu o conceito de fluido fictício. A primeira integral no lado direito representa a quantidade de energia eletromagnética que atravessa a superfície e penetra no volume considerado, enquanto o segundo termo corresponde à energia eletromagnética gerada no interior desse volume pela transformação de outras formas de energia. Poincaré propôs que se poderia imaginar a energia eletromagnética como um fluido fictício, de densidade J, que se propaga pelo espaço em conformidade com a lei de Poynting. Esse fluido, entretanto, não é indestrutível: em cada elemento de volume dV, durante uma unidade de tempo, uma quantidade proporcional a $\rho \left(\mathit{\text{v}}\cdot \mathbf{\text{E}}\right)dV$ é destruída ou, se o sinal for negativo, criada em igual magnitude. É precisamente essa característica que impede sua interpretação como um fluido real no sentido físico estrito [⁵].

Poincaré [⁵] agora precisa provar se para este fluido fictício se verificam as leis ordinárias da física de forças centrais, em especial, se o centro de gravidade percorre uma trajetória retilínea e uniforme quando o momento linear for constante. Para isso Poincaré utiliza dinâmica e equilíbrio dos fluidos para descrever seu centro de massa e suas equações de movimento. Sua análise leva à s seguintes conclusões:

Segundo Poincaré [⁵] se a energia eletromagnética não for criada nem destruída em nenhum ponto do espaço, o último termo da equação desaparece, e o centro de gravidade do sistema, composto pela substância material e pela energia, considerada como um fluido fictício, move-se de modo retilíneo e uniforme. Poincaré [⁵] acrescenta que, se em certos locais houver destruição de energia eletromagnética, transformando-se em energia não elétrica, o sistema a ser considerado deve incluir não apenas a substância e a energia eletromagnética, mas também essa energia não elétrica resultante da transformação. Ele [⁵] propõe, nesse caso, a convenção de que a energia não elétrica permanece fixa no ponto em que ocorre a transformação, sem ser transportada juntamente com a matéria. Trata-se, segundo Poincaré [⁵], de uma ficção matemática aceitável, pois permite concluir que o centro de gravidade do sistema continua a se mover de forma retilínea e uniforme.

Poincaré [⁵] observa ainda que, se em vez de destruição houver criação de energia eletromagnética, basta supor que em cada ponto exista uma certa quantidade de energia não elétrica da qual a energia eletromagnética se origina. Mantida a convenção de que essa energia não elétrica é imobilizada, obtém-se novamente o resultado de que o centro de gravidade do sistema conserva o movimento retilíneo uniforme. Para Poincaré [⁵], como esse movimento obedece às leis ordinárias da dinâmica das forças centrais, o momento linear deve serconservado.

A partir dessa análise, Poincaré [⁵] afirma que, se o fluido fictício associado à energia eletromagnética possui momento linear, então é necessário atribuir-lhe também uma inércia, a que, posteriormente Langevin [¹⁹] denominará de massa maupertuisiana de Poincaré. Para defini-la, Poincaré [⁵] assume que o fluido criado a partir da transformação de energia não elétrica surge em repouso e adquire sua velocidade do fluido já existente. Assim, quando a quantidade de fluido aumenta sem variação de velocidade, existe uma inércia a ser vencida, já que o novo fluido “empresta” sua velocidade ao antigo. De modo análogo, quando há destruição de energia eletromagnética, o fluido aniquilado deve perder sua velocidade antes de desaparecer, transferindo-a ao restante. Dessa forma, Poincaré [⁵] conclui que a inércia desse fluido fictício deve ser medida pelo conteúdo energético da radiação eletromagnética.

Por fim, Poincaré [⁵] destaca a consequência prática de sua proposta: se a energia eletromagnética se comporta como um fluido dotado de inércia, então qualquer dispositivo que produza radiação e a emita em uma direção deve sofrer recuo, tal como um canhão ao disparar um projétil. Esse efeito não se manifestará, contudo, se a radiação for emitida simetricamente em todas as direções. O recuo só ocorre em situações de emissão assimétrica, como no caso de um excitador hertziano colocado no foco de um espelho parabólico.

Poincaré [⁵, p. 258] deriva a relação massa-energia a partir de uma equação integral que expressa o movimento do centro de gravidade do fluido fictício de energia eletromagnética.

(46) $$\int \overrightarrow{x}\frac{J}{c^2}\mathrm{}dV=M_1{\overrightarrow{R}}_1,$$

onde $J$ é a densidade de energia, x é a posição do centro de massa do fluido, $M_1$ é a sua massa total, ${\mathbf{\text{R}}}_1$ são as coordenadas do centro de massa.

Uma vez que a densidade de energia J é definida como a variação de energia $dE$ por unidade de volume $dV$, a integral pode ser reescrita em termos dessas grandezas

(47) $$\int \overrightarrow{x}\frac{1}{c^2}\left(\frac{dE}{dV}\right)\mathrm{}dV=M_1{\overrightarrow{R}}_1.$$

Aplicando a regra da cadeia do cálculo diferencial, a integral assume uma forma mais simples e diretamente interpretável.

(48) $$\int \overrightarrow{x}\frac{dE}{c^2}=M_1{\overrightarrow{R}}_1.$$

A razão $dE/c^2$ corresponde à taxa de variação da inércia do fluido fictício $dM$. Portanto a energia é uma medida de sua inércia:

(49) $$dM=\frac{dE}{c^2}.$$

Poincaré (1900) estava plenamente consciente das implicações de sua formulação. Logo após afirmar que a energia da radiação eletromagnética deve ser entendida como a medida do conteúdo inercial do fluido fictício, ele apresenta um exemplo quantitativo destinado a ilustrar concretamente essa conclusão.

É simples calcular esse recuo de maneira quantitativa. Se o dispositivo tiver uma massa de 1 kg e emitir três milhões de joules em uma única direção, à velocidade da luz, a velocidade de recuo será de aproximadamente 1 cm por segundo. Em outros termos, se a energia produzida por uma máquina de 3.000 watts for irradiada em uma única direção, será necessária uma força de apenas 1 dine para manter a máquina em repouso apesar do recuo. É evidente que uma força tão pequena não poderia ser detectada com os instrumentos de medida disponíveis em sua época. Contudo, podemos imaginar, ainda que de modo idealizado, a existência de dispositivos suficientemente sensíveis para detectar tais efeitos. Nesse caso, seria possível demonstrar que o princípio da reação se aplica não apenas à substância material, mas também à radiação. Tal resultado representaria uma confirmação da teoria de Lorentz e, ao mesmo tempo, a refutação de outras formulações concorrentes. (Poincaré, 1900, p. 260).

Podemos agora realizar o cálculo proposto por Poincaré (1900). Pelo princípio da conservação do momento, o recuo de um dispositivo de massa m deve ser igual ao momento associado à energia eletromagnética por ele emitida.

(50) $$mv=Mc.$$

A inércia da radiação eletromagnética é determinada pelo seu conteúdo energético, conforme estabelecido pela relação massa-energia. Assim, o lado direito da equação pode ser reescrito de modo a explicitar que a razão $E/c$ corresponde ao momento transportado pela radiação eletromagnética.

(51) $$mv=\left(\frac{E}{c^2}\right)c,$$

(52) $$G=mv=\frac{E}{c},$$

onde a razão E/c representa o momento associado à radiação eletromagnética.

(53) $$G_{luz}=\frac{E}{c}.$$

Ao dividir a equação dos momentos pela massa do emissor de radiação, obtém-se a expressão que permite determinar a velocidade de recuo do dispositivo.

(54) $$v=\frac{E}{mc}.$$

Podemos, então, realizar o cálculo proposto por Poincaré. Os dados são [⁵, p. 260]:

(55) $$\{\begin{array}{c}M={10}^3\mathrm{gramas}\hfill \\ E=3\times {10}^6\mathrm{joules}=3\times {10}^{13}\mathrm{ergs}\hfill \\ c=3\times {10}^{10}\mathrm{cm}\mathrm{por}\mathrm{segundo},\hfill \end{array}.$$

Substituindo os valores numéricos na equação, obtemos a velocidade de recuo do dispositivo, que coincide com a previsão apresentada por Poincaré [⁵, p. 260]:

(56) $$v=\frac{3\times {10}^{13}}{{10}^3\times 3\times {10}^{10}}=1\mathrm{cm}/\mathrm{seg}.$$

Seis anos após essa dedução, Einstein [¹⁴], apoiando-se nesse resultado, apresentou uma derivação alternativa da relação massa-energia. Não nos deteremos nessa formulação; remetemos o leitor interessado ao próprio artigo de Einstein [¹⁴], bem como à análise de Vieira et al. [⁴²].

Em 1908, partindo do princípio de que a radiação carrega não apenas energia, mas também momento, Lewis [¹⁸] assume como postulado que a luz possui massa que se move com a velocidade da luz. Dessa hipótese, deduz que a absorção ou emissão de energia radiante implica uma variação correspondente de massa, formulada como $dm=dE/c^2$. Assim, a massa de um corpo deve ser entendida como dependente de seu conteúdo energético.

Esse episódio histórico revela que Poincaré [⁵] foi o primeiro a reconhecer que a energia traduz o conteúdo inercial de uma onda eletromagnética, ou seja, que à radiação eletromagnética pode ser associada uma massa maupertuisiana [³¹,³³,³⁸]. Esse resultado seria posteriormente retomado por Einstein [¹⁴], por Lewis [¹⁸] e, como veremos na próxima seção, também por Hasenöhrl [⁹,¹⁰,³¹,³³].

9. Massa Inercial da Luz: A Análise de Hasenöhrl

Hasenöhrl [⁹,¹⁰,³¹,³⁶,³⁸] analisou o equilíbrio dinâmico de uma caixa cheia de radiação, cujas paredes eram formadas por espelhos perfeitamente refletores, e chegou às seguintes conclusões. Quando a caixa está em repouso, a radiação exerce pressões iguais em todas as faces. No entanto, se a caixa, inicialmente em repouso, for acelerada paralelamente ao eixo x, a pressão da radiação sobre a face posterior será maior do que no estado de repouso, enquanto a pressão sobre a face anterior será menor. Isso ocorre porque, no intervalo entre a reflexão da radiação em uma das paredes e sua chegada à parede oposta, a caixa adquire velocidade adicional. Em consequência, a radiação gera uma força resultante contrária ao movimento, de modo que acelerar a caixa com radiação exige uma força maior do que acelerar a mesma caixa vazia. Em outras palavras, a presença de radiação aumenta a inércia do sistema [⁹,¹⁰,³¹,³⁶,³⁸].

Hasenöhrl [⁹,¹⁰,³¹,³⁶,³⁸] também calculou a variação da energia da radiação devida à aceleração da caixa. Demonstrou que a energia total da radiação depende da velocidade do sistema e que, portanto, parte do trabalho realizado pelas forças externas é convertido em energia adicional da radiação. Como a inércia da radiação é proporcional à sua energia, e essa energia cresce com a velocidade da caixa, a inércia total do sistema aumenta com a velocidade. Quando a velocidade da caixa se aproxima da velocidade da luz, a inércia tende ao infinito. Além disso, se a temperatura interna da caixa aumenta, a energia da radiação também cresce. Dessa forma, Hasenöhrl [⁹,¹⁰,³¹,³³,³⁶,³⁸] concluiu que a massa de um corpo depende tanto de sua energia cinética quanto de sua temperatura.

Nesse ensaio, Hasenöhrl [⁹] derivou que o aumento da inércia da caixa cheia de luz deveria ser expresso pela seguinte relação:

(57) $$\mathrm{\Delta }m=\frac{8}{3}\frac{E}{c^2}.$$

Esse resultado não se mostrou consistente com análises anteriores, uma vez que Hasenöhrl [⁹] havia cometido um erro de integração [⁹,¹⁰,³⁶,³⁸]. Abraham escreveu a Hasenöhrl apontando um erro de cálculo e, com base em considerações sobre o momento eletromagnético, obteve a expressão correspondente para a variação da massa maupertuisiana de uma cavidade cheia de radiação [¹⁰]

(58) $$\mathrm{\Delta }m=\frac{4}{3}\frac{E}{c^2}.$$

No ano seguinte, Hasenöhrl publicou um artigo de retratação, no qual reconheceu a falha e confirmou o resultado previamente alcançado por Abraham [⁹,¹⁰,³³,³⁶,³⁸].

À exceção do fator 4/3, trata-se da mesma relação massa-energia deduzida por Poincaré. Esse fator não resulta de erro ou inconsistência, mas da necessidade de compensação por tensões não elétricas na superfície do elétron, introduzidas por Poincaré em 1905. Essas chamadas tensões de Poincaré reduzem em 1/3 a inércia total do elétron, restabelecendo a proporcionalidade direta entre massa e energia [⁶,⁷,³⁶,³⁸,⁴⁵].

Registre-se que os conceitos de massa calculados por Abraham e Hasenöhrl não são idênticos. Abraham [¹⁰] partiu de considerações sobre o momento da radiação contida na caixa e, a partir delas, determinou a massa maupertuisiana. Hasenöhrl [⁹], por sua vez, examinou a contribuição da radiação para a aceleração da caixa, o que o levou ao cálculo da massa acelerativa.

Portanto, a partir da análise de Abraham sobre a caixa cheia de radiação, e considerando também as tensões introduzidas por Poincaré, podemos concluir que a luz apresenta uma massa inercial maupertuisiana. Esse resultado contribui para esclarecer parcialmente nossa questão de pesquisa.

Em termos físicos, isso significa que a radiação carrega inércia e pode transferir momento à matéria, como evidenciado pela pressão de radiação; em interações de alta energia, a energia radiante atua de modo análogo a massas materiais. Uma análise detalhada da pressão da luz sobre corpos encontra-se no próximo segmento.

10. Massa Inercial da Luz: A Análise de Martins

Em Teoria da Relatividade Especial, Martins [³⁷, p. 118–120] apresenta um argumento adicional em favor da massa inercial da luz. Para tanto, adotamos a hipótese de Maxwell de que a radiação pode exercer pressão sobre uma superfície arbitrária de área total $S$. Definimos, então, a força exercida por um corpo sobre essa superfície como o produto da pressão pelo valor da área de contato.

(59) $$F=P\cdot S.$$

No caso da radiação, a pressão exercida deve ser igual à densidade de energia da radiação incidente sobre a superfície.

(60) $$P=\epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }E}{\mathrm{\Delta }V}.$$

Consideremos que a radiação eletromagnética se comporta de maneira análoga a um gás ideal, ocupando um volume $\mathrm{\Delta }V=S\cdot \mathrm{\Delta }L$. Assumimos que, durante a emissão e absorção da radiação, há conservação do momento. Introduzimos, então, a variação do momento da luz a partir do impulso.

(61) $$G=F\mathrm{\Delta }t.$$

O tempo necessário para que a radiação seja totalmente absorvida pela superfície é dado por:

(62) $$\mathrm{\Delta }t=\frac{\mathrm{\Delta }L}{c}=\frac{\mathrm{\Delta }V}{S\cdot c}.$$

Substituindo os valores de $\mathrm{\Delta }$t e da força na equação do momento, obtemos:

(63) $$G=\left(P\cdot S\right)\frac{\mathrm{\Delta }V}{S\cdot c}=P\frac{\mathrm{\Delta }V}{c}.$$

Expressando a pressão em termos da densidade de energia da radiação, chega-se à expressão do momento da radiação eletromagnética:

(64) $$G=\left(\frac{E}{\mathrm{\Delta }V}\right)\frac{\mathrm{\Delta }V}{c}=\frac{E}{c}.$$

A partir disso, podemos definir a massa maupertuisiana de Poincaré [¹⁹, p. 568] em função do momento linear:

(65) $$m_p=\frac{G}{c}.$$

Substituindo a lei do momento da radiação eletromagnética que deduzimos anteriormente, obtemos a massa da luz:

(66) $$m_p=\frac{E}{c^2}.$$

Fica estabelecido que a luz possui massa maupertuisiana. No próximo segmento, analisaremos se ela também apresenta massa cinética.

11. Massa Cinética da Luz a Partir da Abordagem de Lorentz

A luz se propaga com velocidade constante no vácuo e, portanto, possui energia cinética e uma massa cinética associada. Toda sua energia cinética corresponde à energia total transportada. Para demonstrar isso, consideremos a luz com momento linear g. Quando interage com um corpo, por exemplo ao ser absorvida por uma placa, realiza trabalho sobre ele, que pelo teorema trabalho-energia é igual à variação da energia cinética do corpo. Como o momento linear da luz é transportado à velocidade da luz, o trabalho realizado ao transferir todo o momento para o corpo é dado pelo produto do momento pela velocidade de transmissão. Dessa forma, a energia cinética adquirida pelo corpo é igual ao momento da luz multiplicado pela velocidade da luz, coincidindo exatamente com a energia total transportada pela luz.

Lorentz [¹²], em seu experimento mental, demonstrou que a energia absorvida por um corpo é equivalente à energia transportada pela radiação, podendo ser associada a uma massa cinética. Dessa forma, a relação entre energia e massa cinética da luz é dada por $E=m{c}^2$. Ele [¹²] inicia sua análise considerando um corpo material com massa, velocidade ao longo do eixo z e energia interna. No referencial em que o corpo se move com velocidade v, a quantidade de movimento e a energia total do corpo são compatíveis com o princípio da relatividade, expressas em termos de massa, velocidade e energia interna. Essas expressões fornecem o ponto de partida para a dedução da relação entre energia e massa.

No experimento conceitual, um feixe de luz se propaga ao longo do eixo z e é totalmente absorvido pelo corpo. Para um observador no referencial do corpo, o feixe transporta energia e momento linear. Como consequência da absorção, o corpo passa de um estado com massa, energia interna e velocidade iniciais para um estado levemente modificado, considerando apenas variações de primeira ordem. O balanço da quantidade de movimento leva em conta pequenas mudanças de massa e velocidade, enquanto o balanço da energia total considera alterações na energia mecânica e interna. A luz entrega ao corpo tanto momento quanto energia, de modo que essas variações se igualam às contribuições do feixe de luz.

Para determinar a variação da velocidade, Lorentz [¹²] troca para o referencial em que o corpo está inicialmente em repouso. Nesse referencial, o pulso de luz apresenta energia transformada e momento correspondente. Após a absorção, o corpo adquire uma velocidade muito pequena, determinada pelo balanço de momento, e a composição de velocidades permite calcular a variação de velocidade no referencial original. Substituindo essa variação nos balanços diferenciais, é possível resolver para a variação de massa e de energia interna. Para primeira ordem, a variação da energia interna no referencial original desaparece, enquanto no referencial do corpo em repouso toda a energia do pulso se transforma em energia interna. A massa do corpo aumenta exatamente de acordo com a energia recebida dividida por c².

Lorentz [¹²] discute ainda casos particulares, como a iluminação bilateral simultânea, em que feixes opostos se anulam, e a energia interna sob forma de gás ou radiação em cavidade. Em ambos os casos, a análise detalhada de energia e momento e a aplicação das transformações para um observador em movimento confirmam que qualquer incremento de energia interna resulta em aumento proporcional de massa.

O ponto central da dedução de Lorentz [¹²] é separar o balanço diferencial em um referencial arbitrário, que combina contribuições cinéticas e de repouso, da identificação operacional da energia interna no repouso do corpo. Dessa forma, a relação entre variação de massa e energia interna surge naturalmente, independentemente do estado de movimento, mostrando que qualquer acréscimo de energia interna corresponde a um aumento equivalente de massa, conforme ele [¹²] argumenta para diferentes esquemas de absorção e formas de energia interna.

A partir da análise apresentada, é possível concluir que a energia cinética da luz é dada por E $=$ mc². Consequentemente, a massa cinética associada à luz pode ser expressa como m $=$ E/c², coincidindo com sua massa maupertuisiana. Esse resultado pode ser recuperado e confirmado por outro experimento mental, desta vez proposto por Langevin [¹⁹], que amplia a compreensão da equivalência entre energia e massa na radiação eletromagnética, como veremos a seguir.

12. Massa Cinética da Luz a partir da Abordagem de Langevin

Uma nova demonstração surgiu um ano após o trabalho de Lorentz. Em 1913, Langevin [¹⁹] apresentou outra dedução sobre o aumento da energia interna de um corpo. Sua análise acerca da inércia da energia pode igualmente ser reinterpretada a partir do conceito de energia cinética aplicado à radiação eletromagnética, o que permite estabelecer a equação da massa cinética da luz.

A onda eletromagnética transporta não apenas energia, mas também quantidade de movimento, como se verifica no fenômeno da pressão de radiação [³⁷, p. 118–120]. Para uma onda plana, a densidade de energia u e a densidade de momento g obedecem à relação $u=Vg$, de modo que, para um pacote de energia $E$, o momento associado é [¹⁹, p. 568]:

(67) $$G=\frac{E}{c}.$$

Consideremos, então, uma fonte que emite simetricamente, em seu repouso, uma energia total $E_0$, distribuída em duas direções opostas. Nesse referencial, a emissão não produz momento líquido. Entretanto, para um observador em relação ao qual a fonte se move com velocidade $v$, os trens de ondas emitidos à frente e atrás não mais se compensam. Como resultado, a radiação transporta um momento total [¹⁹, p. 580]:

(68) $$G=\frac{E_0}{c^2}v.$$

Pela conservação do momento, a fonte deve perder exatamente essa quantidade de momento. Como a velocidade de deslocamento da fonte permanece inalterada, a única variável que pode se ajustar é a massa. Isso conduz à relação

(69) $$G=mv=\frac{E_0}{c^2}v\Rightarrow m=\frac{E_0}{c^2}.$$

Se, em vez de emitir radiação, o corpo a absorve, o sinal da variação inverte-se, resultando em um aumento de massa,

(70) $$\mathrm{\Delta }m=\frac{E_0}{c^2}.$$

Nesse sentido, a energia luminosa pode ser compreendida como energia de movimento do campo eletromagnético. Ao ser absorvida, ela se converte em energia interna do corpo e acrescenta-lhe inércia. Assim, confirma-se a identidade fundamental estabelecida pela teoria da relatividade: qualquer acréscimo de energia corresponde a um acréscimo proporcional de massa cinética da luz, segundo a relação

(71) $$m_k=\frac{E_0}{c^2}.$$

Novamente, esse resultado permite interpretar a massa cinética da luz como coincidente com sua massa maupertuisiana, associada ao momento que ela transporta. Essa massa efetiva se manifesta na transferência de momento para os corpos com os quais interage. Convém, entretanto, observar que possuir massa cinética e massa maupertuisiana não autoriza concluir diretamente sobre seu peso. A relação entre massa inercial e massa gravitacional será tratada na seção seguinte.

13. O Peso da Luz

Vimos que é possível atribuir à luz uma massa inercial, a partir da análise de seu momento. Mas permanece a questão: será que também podemos atribuir-lhe uma massa gravitacional? Em termos mais diretos: a luz tem peso?

Desde Newton busca-se estabelecer uma equivalência entre a massa inercial e a massa gravitacional. Foi o físico experimental Eötvös quem realizou as medições mais precisas a esse respeito, confirmando a equivalência entre ambas [¹⁹,³²]. Mais tarde, em 1907, Max Planck [¹⁷] argumentou que a energia deveria igualmente contribuir para o peso dos corpos. A esse respeito, ele escreve:

($\dots$) a inércia e a gravitação estão, em todos os aspectos e segundo toda a nossa experiência, para os mais variados materiais e dos mais leves aos mais pesados, tão intimamente ligadas entre si que podemos procurar sem receio a origem desses dois efeitos no mesmo lugar, a saber, na energia latente dos átomos químicos. Admitindo que a gravidade seja diretamente proporcional à energia latente, então a massa dependente da temperatura é apenas ligeiramente maior que a massa ponderável, a qual é bastante independente da temperatura. Em qualquer caso, porém, uma redução notável da energia latente também resultaria em uma redução notável da massa ponderável [¹⁷, p. 568–569].

Entretanto, o argumento mais decisivo em favor da equivalência entre massa gravitacional e massa inercial surgiu no final daquele mesmo ano, pela pena de Albert Einstein. Foi nesse contexto que ele enunciou o que mais tarde se consolidaria sob a designação de Princípio da Equivalência Fraca, apresentado da seguinte maneira:

Até aqui aplicamos o princípio da relatividade, isto é, a suposição da independência das leis naturais do estado de movimento do sistema de referência, apenas a sistemas de referência livres de aceleração. Pode-se imaginar que o princípio da relatividade também valha para sistemas que estão acelerados relativamente uns aos outros?

Não é este o lugar para um tratamento detalhado dessa questão. Mas, como ela deve ser levantada por qualquer um que tenha acompanhado as aplicações anteriores do princípio da relatividade, não quero deixar de tomar posição sobre o assunto.

Consideremos dois sistemas de movimento ${\mathrm{\Sigma }}_1$ e ${\mathrm{\Sigma }}_2$. ${\mathrm{\Sigma }}_1$ é acelerado na direção de seu eixo X, e seja $\gamma$ a grandeza (constante no tempo) dessa aceleração. ${\mathrm{\Sigma }}_2$ está em repouso; encontra-se, porém, em um campo gravitacional homogêneo, que confere a todos os objetos a aceleração $-\gamma$ na direção do eixo X.

Até onde sabemos, as leis físicas em relação a ${\mathrm{\Sigma }}_1$ não se distinguem daquelas em relação a ${\mathrm{\Sigma }}_2$; isso se deve ao fato de que todos os corpos são igualmente acelerados em um campo gravitacional. No estado atual de nossa experiência, não temos, portanto, nenhum motivo para supor que os sistemas ${\mathrm{\Sigma }}_1$ e ${\mathrm{\Sigma }}_2$ diferem de algum modo entre si, e, por isso, queremos assumir a completa equivalência física entre campo gravitacional e a correspondente aceleração do sistema de referência.

Essa suposição amplia o princípio da relatividade para o caso de movimentos de translação uniformemente acelerados do sistema de referência. O valor heurístico dessa suposição reside na ideia de que um campo gravitacional uniforme não pode ser distinguido de um sistema de referência uniformemente acelerado [¹⁵, p. 454].

Quando esse raciocínio é aplicado à luz, o resultado assume papel central. A radiação transporta energia e quantidade de movimento e, por isso, pode-se estabelecer uma correspondência entre seu conteúdo energético e aquilo que, em outros contextos, se denomina massa inercial. Como a massa inercial é equivalente à massa gravitacional, segue-se que a radiação também se insere no domínio dos fenômenos gravitacionais.

Assim, a luz não apenas manifesta inércia, mas também apresenta “peso”, no sentido de que sua trajetória é afetada pela estrutura do espaço-tempo, como se observa no desvio da luz estelar ao passar nas proximidades do Sol [¹⁶,¹⁹]. Nesse caso, contudo, não se trata da ação de um campo gravitacional no sentido clássico, mas do fato de que a luz percorre geodésicas nulas definidas pela geometria do espaço-tempo. Essa conclusão encontra respaldo na análise desenvolvida por Paul Langevin [¹⁹, p. 589–590].

A energia contida na matéria é pesada ao mesmo tempo que inerte; deve-se considerar que o mesmo ocorre com a energia radiante que se propaga livremente; deve-se considerar que as ondas luminosas ou eletromagnéticas são sensíveis à ação de um campo de gravitação, como o seria uma massa no interior da matéria? É muito verossímil que devamos responder afirmativamente, que os raios luminosos são desviados na vizinhança da matéria em virtude da gravitação, e que a lei da atração universal de Newton exprimia, no fundo, a atração da energia pela energia. Essa é a conclusão a que chegou Einstein: ele conseguiu calcular a refração que resultaria, para a luz proveniente de uma estrela vista em uma direção próxima à do Sol, de sua propagação no campo de gravitação produzido por este.

Em síntese, diante da questão “a luz tem peso?” ou “a luz gravita?”, a resposta deve ser afirmativa. Se a energia é portadora de inércia, e se inércia e gravidade têm a mesma origem, então toda forma de energia deve igualmente estar sujeita à gravitação. Como a luz transporta energia e momento, pode-se atribuir-lhe uma massa inercial correspondente ao seu conteúdo energético, o que implica que, na presença de um campo gravitacional, manifesta também uma massa gravitacional.

Afirmar que a luz “tem peso” significa precisamente isso: não que possa ser pesada como um corpo ordinário em uma balança, mas que sofre a ação da gravidade, tendo sua trajetória desviada em campos gravitacionais intensos. Foi nesse sentido que Einstein concluiu que os raios luminosos deveriam ser defletidos ao passarem nas proximidades de grandes massas, como o Sol [¹⁶,¹⁹].

No artigo On the Weight of Heat and Thermal Equilibrium in General Relativity, Tolman [²⁰] argumenta que, sendo a energia dotada de inércia, ela também deve possuir peso gravitacional, o que implica que tanto o calor quanto a radiação luminosa participam da gravitação. A partir dessa premissa, ele demonstra que, em um campo gravitacional, o equilíbrio térmico não corresponde a uma temperatura uniforme: a temperatura deve ser maior em regiões de menor potencial para impedir o fluxo espontâneo de energia. Esse resultado, confirmado por um tratamento rigoroso na relatividade geral, mostra que a radiação e o calor contribuem efetivamente para o campo gravitacional, fundamentando teoricamente a noção de “peso da luz”.

Em síntese, a luz exerce efeito gravitacional devido à energia e ao momento linear que transporta. No contexto da relatividade geral, essa propriedade é denominada massa gravitacional, que, segundo o princípio da equivalência, é equivalente à massa inercial – representada pela massa cinética ou maupertuisiana da luz. Assim, enquanto a massa cinética se manifesta na transferência de momento e energia durante interações físicas, a massa gravitacional descreve a capacidade da luz de curvar o espaço-tempo. Essa diferenciação conceitual é útil para evitar confusões com o “peso clássico”, permitindo compreender que a luz contribui para o campo gravitacional sem depender de repouso ou peso convencional, embora, na prática, a massa gravitacional e inercial sejam equivalentes.

Resta, então, examinar se a luz pode possuir uma massa minkowskiana, isto é, uma massa de repouso, e quais seriam suas implicações físicas.

14. A Massa de Repouso da Luz

A luz, ou mais precisamente o fóton, é convencionalmente considerada desprovida de massa de repouso, isto é, sem massa minkowskiana. Essa posição é majoritária entre os físicos e é respaldada por análises experimentais e teóricas [⁴³]. Entretanto, a possibilidade de o fóton possuir uma pequena massa de repouso tem sido considerada seriamente na literatura científica [⁴³].

A hipótese de que o fóton pudesse ter massa diferente de zero remonta a Louis de Broglie [²⁵], que sugeriu que a luz poderia estar associada a uma massa extremamente pequena. Essa conjectura abriu caminho para modificações nas equações de Maxwell, uma vez que a existência de massa implicaria dispersão da velocidade da luz em função da frequência [⁴³].

Foi o físico romeno Alexandru Proca [²¹,²²,²³,²⁴] quem formalizou essa hipótese de modo sistemático, elaborando as equações de Proca, uma versão modificada das equações de Maxwell que inclui um termo de massa. O raciocínio de Proca consiste [²¹,²²,²³,²⁴,⁴³] em redefinir a lagrangeana do campo eletromagnético, com o tensor de Minkowski definido em função do quadrivetor potencial.

(72) $$L=\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }+\frac{1}{2{\left(\hslash c\right)}^2}{m}^2{c}^4{A}_{\mu }{A}^{\mu },$$

em que

(73) $$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\upsilon }-{\partial }_{\upsilon }{A}_{\mu }.$$

Agora, consideremos a equação de Euler-Lagrange na forma tensorial.

(74) $${\partial }_{\nu }\left(\frac{\partial L}{\partial \left({\partial }_{\nu }{A}_{\mu }\right)}\right)-\frac{\partial L}{\partial A_{\mu }}=0.$$

Substituindo a lagrangeana de Proca na equação de Euler-Lagrange, obtemos a equação de movimento:

(75) $${\partial }_{\nu }{F}^{\nu \mu }-\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}{A}^{\mu }=0.$$

O segundo termo possui exatamente a mesma forma de um termo de massa na equação de Klein–Gordon, sugerindo que, nesse formalismo, o fóton apresenta massa de repouso não nula. Ao tomarmos o divergente dessa equação, obtemos:

(76) $${\partial }_{\nu }{\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}{\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0.$$

O primeiro termo é nulo devido à antissimetria do tensor de Minkowski. Isso nos leva à expressão que corresponde à condição de Lorenz.

(77) $${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0.$$

Portanto, na eletrodinâmica de Proca, a condição de Lorenz não é apenas uma escolha de gauge, mas surge como consequência necessária da equação de movimento, assegurando a consistência do formalismo com o termo de massa.

A seguir, vamos mostrar que o fóton apresenta um termo de dispersão massivo. Para isso, ao expandir a derivada do tensor de Minkowski, chegamos à seguinte equação:

(78) $${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=\square A^{\mu }-{\partial }^{\mu }\left({\partial }_{\nu }{A}^{\nu }\right).$$

Considerando a condição de Lorenz e substituindo-a na equação de movimento, obtemos:

(79) $$\left(\square +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\right)A^{\mu }=0.$$

Para uma onda plana, a solução deve ser da forma:

(80) $$A^{\mu }\left(x\right)={\epsilon }^{\mu }{e}^{i\left(k_{\nu }{x}^{\nu }\right)}.$$

Aplicando o operador d’alembertiano, chegamos à seguinte relação:

(81) $$k_{\nu }{k}^{\nu }=\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}.$$

Escrevendo em termos de energia e momento:

(82) $$\underset{energia}{k_0{k}^0}+\underset{momento}{k_i{k}^i}=\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\Rightarrow \frac{{\omega }^2}{c^2}+{\Vert \overrightarrow{k}\Vert }^2=\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}.$$

Multiplicando por ${\hslash }^2{c}^2$ e aplicando a lei de Planck e a relação de de Broglie, em que a energia e o momento do fóton são dados por $E=\hslash \omega$ e $p=\hslash \Vert \mathbf{\text{k}}\Vert$, respectivamente, obtemos:

(83) $$E^2={\left(pc\right)}^2+{\left(m{c}^2\right)}^2.$$

Trata-se da mesma relação de dispersão de uma partícula massiva. Ou seja, cada modo do campo $A^{\mu }$ se comporta exatamente como uma partícula com massa m.

Como o quadrivetor possui quatro componentes, e considerando a condição de Lorenz, além da ausência de invariância de gauge (quebrada pelo termo de massa) [⁴³], restam três graus de liberdade ou três componentes espaciais independentes. A terceira componente corresponde a um novo modo de polarização do fóton, denominado polarização longitudinal ou onda-L [²⁹].

As equações de Maxwell no vácuo também devem ser modificadas. Podemos obter sua nova formulação a partir das equações de movimento. Ajustando o índice $\mu$ igual a zero, obtemos a equação do campo elétrico de Proca.

(84) $${\partial }_i{F}^{i0}+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}{A}^0=0\Rightarrow \nabla \cdot \overrightarrow{E}+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\varphi =0.$$

Para $\mu =i$, recuperamos a Lei de Ampère–Maxwell modificada

(85) $${\partial }_v{F}^{\nu i}+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}{A}^i=0\Rightarrow \nabla \times \overrightarrow{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\overrightarrow{A}=0.$$

Demonstra-se que a lei de Gauss para o magnetismo e a lei de Faraday não são modificadas, pois elas não decorrem das equações de movimento, mas sim da definição do tensor eletromagnético de Minkowski.

Portanto, as equações de Maxwell-Proca no vácuo são [⁴³, p. 2]:

(86) $$\nabla \cdot \overrightarrow{E}+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\varphi =0,$$

(87) $$\nabla \times \overrightarrow{H}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\overrightarrow{A}=0,$$

(88) $$\nabla \cdot \overrightarrow{H}=0,$$

(89) $$\nabla \times \overrightarrow{E}+\frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}=0.$$

Erwin Schrödinger [²⁶,²⁷,²⁸] retomou essa linha de investigação e reformulou as equações de Maxwell em um formato próximo ao de Proca. Mostrou que, se o fóton tivesse massa, o alcance das interações eletromagnéticas seria finito, substituindo a lei de Coulomb por um potencial de Yukawa.

Para demonstrar isso, consideremos a equação de Maxwell modificada para uma carga pontual:

(90) $$\nabla \cdot \overrightarrow{E}+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\varphi =\frac{q}{{\epsilon }_0}{\delta }^3\left(\overrightarrow{r}\right).$$

Escrevendo o campo elétrico em função do gradiente do potencial elétrico, obtemos a seguinte equação diferencial:

(91) $${\nabla }^2\varphi -\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\varphi =-\frac{q}{{\epsilon }_0}{\delta }^3\left(\overrightarrow{r}\right).$$

A solução dessa equação diferencial (usando função de Green do operador de Helmholtz) é o potencial de Yukawa:

(92) $$\varphi \left(r\right)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^{-\frac{mc}{\hslash }r}}{r},$$

Ter um potencial de Yukawa significa que o alcance da interação é limitado: o eletromagnetismo não se estenderia por todo o espaço, mas apenas até uma distância $\ell$. Isso implica uma quebra da universalidade, já que efeitos de longo alcance, como campos elétricos de estrelas ou campos magnéticos galácticos, não existiriam além de $\ell$. Além disso, o fato de o potencial ser do tipo Yukawa indica, novamente, que a partícula mediadora da interação, ou seja, o fóton, possui massa não nula.

Posteriormente, Bass e Schrödinger [²⁹] discutiram os limites superiores possíveis para a massa do fóton a partir de dados experimentais, demonstrando que, embora a massa seja extremamente pequena, não pode ser descartada de forma absoluta. Os autores [²⁹] concluem que, do ponto de vista teórico e experimental, é legítimo considerar a existência de um fóton massivo, ainda que suas consequências práticas sejam limitadas devido ao valor muito reduzido dessa massa.

Por fim, Bass [³⁰] aplica a teoria do fóton com massa de repouso finita ao problema do balanço térmico da Terra. O autor mostra que a pequena perda de calor por condução observada na superfície poderia ser explicada mesmo com uma distribuição uniforme de elementos radioativos no interior do planeta, se se considerar uma pequena massa de repouso do fóton. Nesse caso, o excesso de energia seria transportado por fótons longitudinais diretamente do núcleo quente da Terra, sem interagir significativamente com a matéria, explicando o mecanismo de resfriamento e a ausência de detecção direta desses fótons. O autor [³⁰] utiliza o limite superior da massa do fóton ($\sim {10}^{-47}$ g) e discute como essa hipótese permite compatibilizar a teoria da radiação de fótons massivos com os dados observacionais sobre a condução de calor na Terra.

Revisões recentes, como a de Goldhaber e Nieto [⁴³] em 2010, indicam que a massa minkowskiana do fóton é menor que ${10}^{-51}$ g, confirmando que, caso possua massa, ela é extremamente pequena e permanece indetectável.

15. Resultados

Antes de apresentarmos as considerações finais, julgamos oportuno sintetizar os resultados alcançados em nossa investigação por meio do Quadro 1 a seguir. Nele reunimos as principais categorias de massa discutidas ao longo do artigo, indicando suas definições conceituais, a possibilidade ou não de aplicação à luz e as implicações decorrentes dessa atribuição. Essa sistematização busca oferecer ao leitor uma visão panorâmica do percurso analítico desenvolvido, ressaltando tanto as convergências quanto as limitações encontradas em cada conceito.

Quadro 1
Resultados da Investigação sobre a Massa e Peso da Luz. Fonte: Autoral (2025).

Categoria de Massa	Definição	Aplicabilidade à Luz	Observações Conceituais
Cinética	Capacidade de energia cinética.	Sim.	Refere-se à energia total transportada pela luz, que é inteiramente associada ao seu movimento, ou seja, toda a energia do fóton se manifesta como energia cinética.
Maupertuisiana	Capacidade de quantidade de movimento.	Sim	Significa que sua energia de movimento contribui para sua inércia efetiva, de modo análogo ao que ocorre com partículas materiais.
Acelerativa	Capacidade de inércia transversal ou longitudinal	Não	O fóton não pode ser acelerado no vácuo, já que se move sempre a $c$.
Gravitacional	Responsável pela interação com campos gravitacionais.	Sim	Pelo princípio da equivalência fraca, a energia da luz curva-se em campos gravitacionais (deflexão).
Minkowskiana	Grandeza invariante da partícula.	Em Aberto	Se existir, deve ser $<{10}^{-54}$ kg (${10}^{-51}$ g), sem efeitos mensuráveis.

A conclusão de Langevin [¹⁹, p. 590] é esclarecedora: “a radiação é inercial e pesada e possui todos os atributos pelos quais, antes, se distinguia a matéria”. Para ele, a diferença entre matéria e radiação reside em que a primeira pode mover-se com velocidade variável, ao passo que a segunda se propaga, no vácuo, sempre à velocidade da luz, c.

Aplicando aqui o método terapêutico de Wittgenstein [²,³], percebemos que muitas disputas sobre “a massa da luz” decorrem de confusões de linguagem, onde o mesmo termo “massa” é usado em jogos de linguagem distintos. Quando não distinguimos a massa cinética da massa acelerativa, ou a massa maupertuisiana da massa gravitacional, corremos o risco de exigir da luz propriedades que pertencem apenas a corpos materiais ordinários. O quadro apresentado atua como um exercício terapêutico: em vez de propor novas teorias, ele organiza e compara usos, dissipando mal-entendidos e mostrando como cada categoria de massa tem sua gramática própria.

Esse esclarecimento não resolve a questão substituindo uma resposta definitiva, mas dissolve a confusão mostrando que falar da “massa da luz” não é uma afirmação única e universal, mas depende do jogo de linguagem em que estamos inseridos. Assim, a análise wittgensteiniana [²,³] nos ajuda a compreender que não há uma essência única da massa, mas uma rede de semelhanças parciais entre conceitos distintos, cuja aplicação à luz deve ser cuidadosamente delimitada.

16. Considerações Finais

Nossa questão de pesquisa, em que sentido a noção de massa pode ser aplicada à luz e quais consequências conceituais decorrem dessa aplicação para a atribuição de peso à radiação luminosa, levou-nos a explorar os jogos de linguagem da física. Seguindo o espírito da terapia filosófica de Wittgenstein [²,³], buscamos dissolver ambiguidades conceituais por meio da reconstrução da Gramática da Massa, distinguindo seus diferentes usos em contextos teóricos específicos: massa inercial (tanto na acepção maupertuisiana, ligada ao momento linear, quanto na cinética, associada à energia de movimento), massa acelerativa, massa de repouso (minkowskiana) e massa gravitacional. Ao explicitar essas distinções, procuramos esclarecer em quais condições é legítimo afirmar e em quais não é que a luz possui massa e peso. Essa estratégia, inspirada em Wittgenstein [²,³], não visa propor uma teoria alternativa, mas elucidar os modos de uso do conceito, prevenindo confusões que surgem quando categorias herdadas da física clássica são aplicadas de forma indiscriminada a fenômenos do domínio relativístico.

Nesse enquadramento, a luz pode ser associada a uma massa maupertuisiana, na medida em que sua energia corresponde a uma quantidade de movimento. Também se pode falar em uma massa cinética, entendida como a expressão da energia transportada na forma de movimento. A partir dessas concepções e em virtude do princípio da equivalência fraca, a luz pode ainda ser associada a uma massa gravitacional, responsável por efeitos gravitacionais como a deflexão da radiação luminosa por corpos massivos, conforme previsto pela relatividade geral. A massa inercial da luz pode, assim, ser expressa pela relação $m=E/c^2$. Por exemplo, um fóton de energia de 1 eV corresponde a uma massa inercial da ordem de ${10}^{-36}$ kg, e um feixe de 1 J de energia equivale a aproximadamente ${10}^{-17}$ kg.

Em contrapartida, não se pode atribuir à luz uma massa acelerativa, já que o fóton se desloca invariavelmente à velocidade da luz no vácuo, sem possibilidade de aceleração no sentido clássico. Quanto à massa de repouso, a gramática científica vigente a considera nula. Contudo, na hipótese de que o fóton possua uma massa de repouso, os limites experimentais atuais indicam um valor máximo da ordem de ${10}^{-54}$ kg, isto é, aproximadamente ${10}^{-51}$ g, magnitude tão ínfima que não produz efeitos mensuráveis.

No que se refere a perspectivas futuras, destacamos três direções. A primeira consiste em integrar a análise conceitual aqui desenvolvida a um estudo sistemático dos limites experimentais mais recentes para a massa do fóton, a fim de articular com maior precisão a relação entre a Gramática dos Conceitos e as Medições Físicas. A segunda envolve investigar como a distinção entre massa maupertuisiana, massa cinética, massa acelerativa e massa gravitacional pode contribuir para debates atuais em cosmologia e astrofísica, em especial no que diz respeito à propagação da luz em meios gravitacionais intensos. Uma terceira linha de pesquisa diz respeito ao próprio estatuto filosófico do método gramatical: seria possível estendê-lo para outros conceitos fundamentais da física, como carga, campo ou energia, visando dissolver ambiguidades similares às que cercam o conceito de massa?

Por fim, uma quarta linha, e conforme sugestão do parecerista, consideramos promissora a ampliação desta investigação em direção a uma análise que incorpore as dimensões contextuais, históricas e sociopolíticas da constituição dos conceitos físicos aqui examinados. Tal desdobramento permitiria articular a reconstrução gramatical desenvolvida neste trabalho com uma compreensão mais ampla da ciência como prática social, evidenciando como as transformações na gramática da massa se inscrevem em contextos históricos específicos, atravessados por relações institucionais, políticas e culturais. Ademais, uma investigação dessa natureza poderia explorar as ausências e silenciamentos que marcam a narrativa tradicional da física, incluindo a sub-representação de mulheres, bem como de outros grupos historicamente marginalizados nos processos de produção e legitimação do conhecimento científico, ampliando, assim, o alcance epistemológico e formativo da análise. Nesse sentido, o presente estudo pode ser compreendido como um primeiro recorte, de caráter técnico-epistêmico, a ser aprofundado em trabalhos subsequentes que visem integrar dimensões conceituais e contextuais da produção do conhecimento científico.

Disponibilidade de Dados

Todo o conjunto de dados que dá suporte aos resultados deste estudo foi publicado no próprio artigo.

References

• ^[1] M. Schlindwein, Qual é o peso da luz?, Superinteressante, São Paulo, 18 de abril de 2011, disponível em: https://super.abril.com.br/mundo-estranho/qual-e-o-peso-da-luz/
  » https://super.abril.com.br/mundo-estranho/qual-e-o-peso-da-luz/
• ^[2] L. Wittgenstein, Investigações Filosóficas (Editora Fósforo, São Paulo, 2022).
• ^[3] L. Wittgenstein, Sobre a certeza (Editora Fósforo, São Paulo, 2023).
• ^[4] M. Jammer, Concepts of Mass in Contemporary Physics and Philosophy (Princeton University Press, Princeton, 2000).
• ^[5] H. Poincaré, Arch. Néerl. Sci. Exactes Nat. 5, 252 (1900).
• ^[6] H. Poincaré, C.R. Acad. Sci. 140, 1504 (1905).
• ^[7] H. Poincaré, Rend. Circ. Mat. Palermo 21, 129 (1906).
• ^[8] M. Abraham, Phys. Z. 4, 57 (1902).
• ^[9] F. Hasenöhrl, Ann. Phys. 15, 344 (1904).
• ^[10] F. Hasenöhrl, Ann. Phys. 321, 589 (1905).
• ^[11] H.A. Lorentz, Proc. KNAW 12, 986 (1904).
• ^[12] H.A. Lorentz, Arch. Néerl. Sci. Exactes Nat. 2, 139 (1912).
• ^[13] A. Einstein, Ann. Phys. 322, 891 (1905).
• ^[14] A. Einstein, Ann. Phys. 325, 627 (1906).
• ^[15] A. Einstein, Jahrb. Radioaktivität Elektronik 4, 411 (1907).
• ^[16] A. Einstein, Ann. Phys. 354, 769 (1916).
• ^[17] M. Planck, Sitzungsber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin 29, 542 (1907).
• ^[18] G.N. Lewis, Philos. Mag. 16, 705 (1908).
• ^[19] P. Langevin, J. Phys. Théor. Appl. 3, 553 (1913).
• ^[20] R.C. Tolman, Phys. Rev. 35, 904 (1930).
• ^[21] A. Proca, J. Phys. Radium 7, 347 (1936).
• ^[22] A. Proca, C. R. Acad. Sci. 203, 709 (1936).
• ^[23] A. Proca, J. Phys. Radium 8, 23 (1937).
• ^[24] A. Proca, J. Phys. Radium 9, 61 (1938).
• ^[25] L. de Broglie, La mécanique ondulatoire du photon, une nouvelle théorie de la lumière (Hermann, Paris, 1940).
• ^[26] E. Schrödinger, Proc. R. Irish Acad. Sect. A 47, 1 (1941).
• ^[27] E. Schrödinger, Proc. R. Irish Acad. Sect. A 49, 43 (1943).
• ^[28] E. Schrödinger, Proc. R. Irish Acad. Sect. A 49, 135 (1943).
• ^[29] L. Bass e E. Schrödinger, Proc. R. Soc. Lond. A 232, 1 (1955).
• ^[30] L. Bass, Il Nuovo Cimento 3, 1204 (1956).
• ^[31] H.E. Ives, J. Opt. Soc. Am. 42, 540 (1952).
• ^[32] E.T. Whittaker, A History of the Theories of Aether and Electricity (AIP, London, 1953), v. 2.
• ^[33] W.L. Fadner, Am. J. Phys. 56, 114 (1988).
• ^[34] R.A. Martins, Rev. Bras. Fís. 10, 315 (1980).
• ^[35] R.A. Martins, Cad. Catarin. Ens. Fís. 6, 56 (1989).
• ^[36] R.A. Martins, Rev. Bras. Ens. Fís. 27, 11 (2005).
• ^[37] R.A. Martins, Teoria da relatividade especial (Livraria da Física, São Paulo, 2012).
• ^[38] R.A. Martins, A origem histórica da relatividade especial (Livraria da Física, São Paulo, 2015).
• ^[39] M.A. Costa, Introdução à teoria da relatividade (Editora da Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 1995), 2 ed.
• ^[40] O. Darrigol, Hist. Stud. Phys. Biol. Sci. 26, 241 (1996).
• ^[41] O. Darrigol, Philos. Scientiæ 27, 63 (2023).
• ^[42] S. Vieira, A. Barros, I. Araújo e J.C.T. Oliveira, Rev. Bras. Ens. Fís. 26, 93 (2004).
• ^[43] A.S. Goldhaber e M.M. Nieto, Rev. Mod. Phys. 82, 939 (2010).
• ^[44] R. Dugas, A History of Mechanics (Dover, New York, 2011).
• ^[45] C.L.C. Nunes e W.P. Queirós, Rev. Bras. Hist. Ciênc. 16, 765 (2023).
• ^[46] L. Peliti, Rev. Bras. Ensino Fís. 38, e2312 (2016).

Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  26 Jun 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  25 Fev 2026
• Revisado
  16 Abr 2026
• Aceito
  21 Maio 2026