Composição de portfólios por pairs trading com critério de volatilidade no mercado brasileiro^*,**

RESUMO

O objetivo do trabalho foi compreender de que forma a volatilidade das ações afetam a dinâmica dos portfólios formados com uso do modelo de arbitragem por pares ou pairs trading no mercado acionário brasileiro. Este artigo diferenciou-se por trazer novas evidências acerca dos efeitos da volatilidade no modelo de pairs trading não abrangidos por estudos anteriores, ampliando o tamanho da amostra analisada no mercado acionário brasileiro. A relevância do tema escolhido reside no fato de modelos de arbitragem por pairs trading ou long-short serem utilizados por investidores para construção de suas carteiras. A utilização dos conceitos de cointegração contribui probabilisticamente para a formação de portfólios fracamente correlacionados aos índices de mercado com desempenho superior. Este artigo tem impacto na área por contribuir com novas evidências para uma melhor utilização do modelo na análise de investimentos. Analisou-se, no período de janeiro de 2016 até dezembro de 2018, os 90 ativos mais líquidos da Bolsa, Brasil, Balcão (B3), totalizando 5.927.400 pares possíveis. Para avaliação dos critérios de cointegração utilizou-se o teste Dickey-Fuller Aumentado e posterior backtesting dos pares no período proposto. A análise estatística foi realizada por testes paramétricos e não paramétricos e análises de correlações de Pearson e Spearman. Os resultados encontrados indicaram que a formação de carteiras por pairs trading com ativos dependentes com critério de maiores níveis de volatilidade (20 períodos) apresentaram um desempenho superior. Esses achados podem ser justificados por uma melhor relação de risco e retorno para a carteira, mensurada pelo Índice de Sharpe dos retornos obtidos em relação à volatilidade da carteira, quando comparada a uma formação das carteiras baseada em uma seleção aleatória dos pares. Além disso, os resultados também apresentaram baixa correlação dos retornos em relação ao índice de mercado. Constatou-se, assim, que apenas a aplicação da metodologia de análise por cointegração estatística não garante resultados diferenciados da média de mercado.

Palavras-chave:
pairs trading ; seleção de portfólios; volatilidade

ABSTRACT

The objective of this study was to understand how the shares’ volatility affects the portfolios’ dynamics formed using the model of pairs trading in the Brazilian stock market. This article distinguished itself by bringing new evidence about the effects of volatility in the pairs trading model not covered by previous studies, expanding the sample size analyzed in the Brazilian stock market. The chosen theme’s relevance is that investors can use pairs trading or long-short models to build their portfolios. The use of cointegration concepts probabilistically contributes to portfolios’ formation weakly correlated to the market indexes with superior performance. This article impacts the area by contributing new evidence for better use of the model in the analysis of investments. From January 2016 to December 2018, the 90 most liquid assets of Bolsa, Brasil, Balcão (B3) were analyzed, totaling 5,927,400 possible pairs. The Augmented Dickey-Fuller test and subsequent backtesting of the pairs in the proposed period were used to evaluate the cointegration criteria. Statistical analysis was performed by parametric and non-parametric tests and Pearson and Spearman correlation analyses. The results found indicated that the formation of portfolios by pairs trading with dependent assets with the criterion of higher levels of volatility (20 periods) presented a superior performance. These findings can be justified by a better risk and return ratio for the portfolio, measured by the Sharpe Index of the returns obtained concerning the portfolio’s volatility, compared to a portfolio formation based on a random selection of the pairs. In addition, the results also showed a low correlation of returns concerning the market index. Therefore, the application of the statistical cointegration analysis methodology alone does not guarantee results that are different from the market average.

Keywords:
pairs trading; portfolio selection; volatility

1. INTRODUÇÃO

A hipótese da eficiência de mercado (ou dos mercados eficientes) baseia-se na afirmação de que o preço de uma ação reflete as informações disponíveis a respeito da empresa emissora, ou seja, que novas informações no mercado de capitais são rapidamente incorporadas e ajustadas aos preços, afetando o fluxo de caixa e as expectativas futuras dos investidores (Fama, 1970).

Essa questão é discutida aos milhares, mas sem um consenso acerca da matéria (Fama, 1998), visto que somente a possibilidade de capturar ineficiências na precificação dos ativos é o que permitiria a obtenção de lucros sistemáticos por meio de algum método de negociação de ativos (Pontuschka & Perlin, 2015). Uma das estratégias aplicadas partiria da abertura de uma posição comprada (long) e, no mesmo instante, uma posição vendida (short), partindo-se da busca em obter lucros a partir da convergência dos preços dos ativos negociados. Essas operações, também conhecidas como estratégias de pairs trading, ou long-short, esperam que a divergência observada retorne ao equilíbrio de longo prazo, vendendo-se o ativo sobrevalorizado e comprando-se o outro subvalorizado, encerrando a operação quando a divergência entre os ativos cessa (Santos & Pessoa, 2017).

O desenvolvimento do modelo de arbitragem estatística em pairs trading é atribuído à Nunzio Tartaglia e ao seu grupo de trabalho composto de matemáticos, físicos e programadores no banco Morgan Stanley, que aplicaram essa estratégia em meados de 1987, com a finalidade de permitir entradas e saídas autômatas do mercado pelos investidores, beneficiando-se das ineficiências desse mercado. Desde então, segue disseminando-se entre hedge funds e investidores institucionais na visão de Vidyamurthy (2004), Figueiredo (2017) e Yoshikawa (2017).

Nesse contexto, o presente artigo busca responder ao seguinte problema: Como os níveis de volatilidade dos ativos afetam a composição de portfólios de ações por pairs trading no mercado acionário brasileiro?

Para a modelagem e o estudo dos padrões entre os ativos são utilizadas técnicas econométricas aplicadas a séries temporais com o auxílio de ferramentas de análise estatística que validem se seu comportamento é estacionário e, portanto, que não propaguem eventuais choques prejudiciais à modelagem do comportamento futuro ocasionadas, por exemplo, por mudanças nas condições de negociação do ativo ou redução substancial da liquidez operacional, em especial no momento pós-abertura das posições, quebrando a condição de estacionariedade histórica do período de análise. Para isso, uma opção é o modelo por cointegração, que analisa os movimentos conjuntos dos preços dos ativos em longo prazo, visando a obter a distribuição estacionária dos resíduos da sua regressão, buscando retornos financeiros quando da reversão dos resíduos à média de longo prazo (Gujarati, 2011).

A vantagem principal do modelo é sua objetividade e generalidade da análise entre os pares de ações estudados, podendo ser utilizado para grande parte dos ativos, não importando outros fatores econômico-financeiros, como, por exemplo, se os ativos analisados são do mesmo setor, se há boas perspectivas para os setores em que os ativos se inserem; ou, ainda, se seu grau de endividamento está elevado. A cointegração não se refere aos movimentos conjuntos dos retornos, mas sim aos movimentos conjuntos dos preços dos ativos (ou taxas de câmbios). Se os spreads apresentam reversão à média, então os preços dos ativos estão ligados, em longo prazo, por uma tendência estocástica comum e, nesse caso, pode-se dizer que os preços são cointegrados (Alexander, 2005).

Para isso, este trabalho está dividido em mais quatro seções, além desta introdução. O próximo tópico trata do referencial teórico, abordando um survey sobre pairs trading por cointegração, além de estudos relacionados à temática. No terceiro tópico, os procedimentos metodológicos, seguido dos resultados, considerações finais e referências.

2. REVISÃO DA LITERATURA

2.1 Pairs Trading Baseadas em Cointegração

Constantemente, agentes de mercado buscam uma estrutura ótima para a minimização das incertezas e da alocação de seus recursos, equilibrando as suas relações de risco com o retorno e, por consequência, uma utilidade esperada (Copeland et al., 2005). Com isso, esses agentes buscam detectar oportunidades por meio do uso de séries históricas de ativos que possam refletir as movimentações aleatórias de seus valores conforme o feeling de mercado e variáveis exógenas, como eventos político-econômicos (Cutler et al., 1990) ou de indicadores fundamentais das companhias como preço por ação, lucro da ação, risco ativos-mercado, entre outros, a fim de margear sua volatilidade (Fortuna, 2008).

Nesse contexto, a abordagem quantitativa por pairs trading com cointegração visa a explorar a lógica em mercados financeiros fora de seu equilíbrio, culminando em estratégia de negociação ou investimento oriunda de operações long-short, que trata da compra dos ativos subvalorizados e, simultaneamente, venda dos ativos sobrevalorizados; mais especificamente, de pares de ativos financeiros com séries históricas e movimentações similares com o intuito de verificar desvios de curto prazo e a influência no equilíbrio de longo prazo de seus preços (Pucciarelli, 2014; Yoshikawa, 2017).

A aplicação do conceito de vetores cointegrados é iniciada nos estudos de Granger (1981), Granger e Weiss (1983), Granger e Engle (1985) e Engle e Granger (1987), que propuseram a concretização da conexão entre modelos de correção de erros e sistemas cointegrados, passando também pelos estudos de Johansen (1988) e adições por outros autores, com as propriedades do método dos mínimos quadrados na cointegração (Stock, 1987) e aspectos de tendências das variáveis em séries temporais (Davidson & Hall, 1991; Stock, 1987).

Essa última correção de erros permitiu observar que a série temporal em curto prazo se comporta de forma dinâmica e flexível; em outra perspectiva, séries de longo prazo obedecem a algumas restrições para que o modelo em análise chegue a um equilíbrio regressivo satisfatório. Conforme Murray (1994), o conceito é probabilístico e as regressões que envolvem mudanças nas variáveis cointegradas devem apresentar esses níveis de defasagem, bem como as restrições de suas relações, corroborando o trabalho de Engle e Granger (1987). Entretanto, Philips (1989) efetua comparações ao modelo Engle-Granger propondo um novo mecanismo de correção de erros e sinalizando que sua análise tratava de parâmetros de cointegração lineares, divergindo, em alguns aspectos, do modelo Engle-Granger que trata de aspectos não lineares dos parâmetros, e que, ao se basear em modelo único, pode envolver vieses e perder a otimização de sua aplicabilidade.

Por outro lado, avanços de sua aplicação trazem estudos de estratégias pairs trading juntamente com a adoção da técnica da cointegração. Isso remonta ao esforço de Lucas (1997) ao observar a geração de cenários a partir do comportamento de modelos baseados em séries temporais multivariadas. O autor buscou evidenciar a correlação dos cenários com resultados passados das séries temporais analisadas, trazendo a noção da correção de seus erros e descrevendo seus efeitos na tomada de decisões financeiras em curto e em longo prazos.

Ademais, outra contribuição para o modelo cointegrado baseia-se em Alexander (1999), que traz a importância da técnica na diferenciação de resultados a partir do uso da correlação e dos modelos cointegrados. Ao destacar que, ao gerir o risco do portfólio, relaciona-se a análise da correlação de seus retornos esperados; já quando envolve o preceito de cointegração, baseia-se em dados brutos de preço dos ativos e de seus rendimentos, tendo esta última técnica ampliado atuação enquanto abordagem predominante na econometria de séries temporais, principalmente com base nos estudos de Murray (1994), Hamilton (1994) e Hendry (1986, 1995).

Tendo em vista sua evolução em pesquisas de alcance mundial, o presente estudo está relacionado à aplicação de pairs trading com cointegração no mercado acionário brasileiro. Assim, as evidências deste artigo centram-se na observação do comportamento de ativos diante da estratégia long-short firmada com ativos negociados na Brasil, Bolsa, Balcão (B3), que justifiquem o modelo econométrico adotado, em termos de estimação e validação.

2.2 Estudos Correlatos

Na sequência, é possível identificar trabalhos recentes que explorem a produção científica sobre pairs trading por cointegração no mercado brasileiro, em segmentos, agrupamentos e períodos diferentes. Cabe ressaltar que ainda existem lacunas na literatura acadêmica que tratem da relação entre a volatilidade dos ativos e a composição de portfólios de ações a partir do pairs trading, visto que os trabalhos nacionais analisam, isoladamente, o comportamento de um desses atributos.

As estratégias de arbitragem estatística por pairs trading e suas generalizações dependem da construção de spreads estacionários com certo grau de previsibilidade. O trabalho de Caldeira e Moura (2013) aplicou testes de cointegração para identificar ativos para serem usados em estratégias de pairs trading com dados diários dos 50 ativos mais líquidos da Bovespa, entre janeiro de 2005 e outubro de 2012. A ideia dos autores foi a de estimar o equilíbrio de longo prazo e de modelar os resíduos resultantes, com os pares de ações selecionados baseados em um indicador de lucratividade para compor um portfólio de pares. A análise empírica mostrou que a estratégia proposta obteve excessos de retorno da ordem de 16,38% ao ano, índice de Sharpe de 1,34 e uma baixa correlação com o Ibovespa. Além disso, os autores aplicaram para estratégia dos pares a cointegração com a máxima estacionaridade e a mínima variância tracking error, percebendo descolamentos e aderências em relação ao benchmark, sendo esta última com maior incidência auferindo baixo nível de volatilidade.

Pontuschka e Perlin (2015) buscaram analisar o desempenho da estratégia de pares em diferentes frequências de dados no mercado acionário brasileiro, estendendo o leque de frequências e entrando no universo intradiário com frequências de amostragem em 1, 5, 15, 30, 60 minutos e diários, no período entre 2008 e 2011. Para compor a base de dados, foram utilizados os 20 ativos com maior número de contratos negociados no período, aplicando a técnica de períodos de treinamento e de negociação, comparando os índices de informação da estratégia de pares nas diferentes frequências de dados. Os resultados da pesquisa confirmaram a hipótese primária de que quanto maior a frequência de amostragem, maiores as evidências de ineficiência de mercado.

Sampaio (2016) centrou suas pesquisas em um método simples centrado em duas fases principais: a primeira é a escolha dos pares no horizonte de 12 meses; e a segunda, a estratégia de investimento nos pares em um ciclo mensal, com repetições sucessivas posteriores desta, até o uso em sua totalidade dos dados do estudo, coletados na Economática® - preços de fechamento e volume diário de todos os ativos negociados na Ibovespa (50 ações com maior volume, excluindo o critério da setorização em sua análise) entre 2006 (período de teste) e 2015. Os resultados com os retornos entre os anos de 2007 e 2015 apresentaram um total de 108 janelas mensais estudadas, das quais, de um total de 1.225 pares, 130 deles demonstraram cointegração, delineando um lucro líquido acumulado de 46,3% no período analisado. O autor destaca os resultados encontrados em relação ao mercado, observando, entretanto, que se tornam desinteressantes os retornos esperados diante de outros fatores, como movimentos inflacionários e juros do período.

Oliveira (2017) buscou verificar a performance do método de distância da estratégia de pairs trading no mercado brasileiro, no período entre 2004 e 2017, tentando identificar se essas estratégias trouxeram retornos consistentes, apesar das diversas crises econômicas e políticas brasileiras. Diversamente da vasta literatura que busca modelos mais complexos que possam atuar nas estratégias de pairs trading, esse estudo se concentrou apenas no método de distância, sem a incidência de custos de transação, nesse horizonte mais recente ainda não estudado, fazendo-se necessário, então, entender seu comportamento nas crises. A metodologia utilizada foi extraída dos artigos de Gatev et al. (2006) e Rad et al. (2016) com apenas uma modificação no critério de encerramento das posições. Como resultado, a estratégia estudada não apresentou perdas estatisticamente significantes em períodos de crise.

Santos e Pessoa (2017) investigaram o desempenho do pairs trading utilizando os testes de cointegração para ações negociadas na Bovespa no período de 2003 a 2014. Foram testadas diferentes bandas de abertura, fechamento e stop. A partir desses resultados, separaram-se três estratégias diferentes para a análise de desempenho. As estratégias 1, 2 e 3 obtiveram um retorno líquido médio de 5,24%, 5,1% e 8,29% ao ano e Índice de Sharpe (IS) anualizado médio de 0,33, 0,31 e 0,54, respectivamente. Com isso, demonstrou-se que a performance da carteira composta pela estratégia 1 foi superior às demais, confirmando a hipótese do desvio ótimo de Vidyamurthy (2004) e reforçando a importância do uso da cointegração em estratégias pairs trading.

3. METODOLOGIA

3.1 Amostra da Pesquisa

Este artigo consiste, resumidamente, em obter os preços de fechamentos da quantidade inicial proposta dos ativos no período de janeiro de 2015 até dezembro de 2018, realizando a análise dos pares entre janeiro de 2016 e dezembro de 2018, de acordo com os critérios de cointegração para cada dia do intervalo proposto, selecionando os pares cointegrados e observando seu comportamento posterior ao dia de análise, na forma de uma simulação histórica (backtesting), realizando a aquisição dos dados para posterior demonstração dos resultados de cada variação proposta do modelo.

Tabela 1
Ativos analisados

ABEV3	BRAP4	CMIG4	ELET3	GFSA3	KROT3	ODPV3	RENT3	TIMP3
ALPA4	BRFS3	CPFE3	ELET6	GGBR4	LAME4	PCAR4	SANB11	TOTS3
ALUP11	BRKM5	CPLE6	ELPL3	GOAU4	LIGT3	PETR3	SAPR4	TRPL4
ARZZ3	BRML3	CSAN3	EMBR3	GOLL4	LREN3	PETR4	SBSP3	UGPA3
BBAS3	BRSR6	CSNA3	ENBR3	HGTX3	MDIA3	POMO4	SEER3	USIM3
BBDC3	BTOW3	CVCB3	EQTL3	HYPE3	MRFG3	PSSA3	SMLS3	USIM5
BBDC4	B3SA3	CYRE3	ESTC3	ITSA4	MRVE3	QUAL3	SULA11	VALE3
BBSE3	CCRO3	DTEX3	EZTC3	ITUB4	MULT3	RADL3	SUZB3	VIVT4
BEEF3	CESP6	ECOR3	FIBR3	JBSS3	MYPK3	RAIL3	TAEE11	VLID3
BOVA11	CIEL3	EGIE3	FLRY3	KLBN11	NATU3	RAPT4	TIET11	WEGE3

• Fonte:Elaborado pelos autores.

Serão utilizadas as cotações históricas diárias dos preços de fechamento dos ativos, obtidas por meio de arquivos disponibilizados no site da B3, ajustados os proventos, agrupamentos e desdobramentos ocorridos no passado. Todos os cálculos foram realizados com algoritmos em linguagem Python para a coleta e tratamento dos dados, estudo dos critérios estatísticos e a avaliação de entrada e saída das posições, para cada par de ativos avaliado e armazenamento dos parâmetros das regressões, testes de cointegração, volatilidades e resultados operacionais das carteiras em Microsoft Excel com o auxílio do SPSS Statistics para a realização dos testes estatísticos finais.

A escolha dos ativos será definida com base na média de liquidez diária apresentada no final do intervalo, propondo a escolha dos 90 ativos mais líquidos, que possuam dados históricos suficientes para a avaliação proposta. A liquidez diária é importante para uma estratégia de pairs trading, dado que a falta representa um risco elevado para as operações (Pontuschka & Perlin, 2015; Santos & Pessoa, 2017).

3.2 Análise dos Pares

Em sequência, os ativos serão avaliados aos pares, sem restrições relacionadas aos ativos de mesmo setor, serão avaliados todos os pares possíveis, com amostras dos preços de fechamento dos 252 dias anteriores, incluindo o dia estudado, para a estimação dos parâmetros de uma regressão linear múltipla por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) para séries temporais, conforme a Equação 1.

$${ativo\_dep}_t={\beta }_0+{{\beta }_{1}ativo\_ind}_t+{\beta }_{2}t+{\epsilon }_t$$ (1)

em que ativo_dep _t são os preços do ativo dependente no tempo t; ativo_ind _t são os preços do ativo independente no tempo t; 𝛽₀ o coeficiente linear entre os preços; 𝛽₁ o coeficiente de hedge; 𝛽₂ o coeficiente temporal; t o tempo e ε _t o resíduo que será analisado da regressão.

A composição das equações para cada preço de fechamento diário para o período de 252 pregões forma matrizes dos valores de Y, X, 𝛽 e dos resíduos ε _i , conforme a Equação 2.

$$\underset{Y}{\underbrace{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{c}{ativo\_dep}_1\\ {ativo\_dep}_2\\ \dots \\ {ativo\_dep}_{252}\end{array}\end{array}\right|}}=\underset{X}{\underbrace{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& {ativo\_ind}_1& 1\\ 1& {ativo\_ind}_2& 2\\ \dots & \dots & \dots \\ 1& {ativo\_ind}_{252}& 252\end{array}\end{array}\right|}}\times \underset{\beta }{\underbrace{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\\ {\beta }_2\end{array}\end{array}\right|}}+\left|\begin{array}{c}{\epsilon }_1\\ \begin{array}{c}{\epsilon }_2\\ \dots \\ {\epsilon }_{252}\end{array}\end{array}\right|$$ (2)

Após a multiplicação matricial seguinte, podemos estimar os valores da matriz 𝛽 que resultam nos coeficientes 𝛽₀, 𝛽₁ e 𝛽₂, utilizando-os para a estimação dos resíduos e realização dos testes de estacionariedade, em que $$\sum _{i=1}^{252}{\epsilon }_i^2$$, apresentado na Equação 3:

$$B={\left(X^{\text{'}}X\right)}^{-1}\left(X^{\text{'}}Y\right)=\left|\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\\ {\beta }_2\end{array}\end{array}\right|$$ (3)

A contagem da quantidade de pares será dada pelo arranjo simples da quantidade de ativos, tendo em vista que, em razão dos coeficientes mudarem quando alterada a ordem dos ativos, serão consideradas como operações distintas, por exemplo, o par ITUB4 (Itaú Unibanco S/A) e VALE3 (Vale S/A) terá coeficientes diferentes de VALE3 e ITUB4. Logo, para os 90 ativos foram analisados 8.010 pares. Identificados os pares, e calculados seus desempenhos, serão avaliados por estatísticas paramétricas ou não paramétricas para identificação das possíveis relações entre seus retornos e a volatilidade calculada sobre os desvios padrões dos retornos diários para 20, 60, 120 e 252 períodos em formato anualizado, para os ativos dependentes e independentes.

3.3 Modelagem de Séries Temporais e Critérios para Abertura e Fechamento das Posições

Uma série estacionária provoca um efeito temporário, mas que desaparece gradualmente, sem afetar uma série em um período tão longo de tempo. Entretanto, quando esse choque não é rapidamente dissipado, alguns testes e transformações podem ser aplicados com a finalidade de verificar a presença desses componentes, como a presença de raízes unitárias ou tendência estocástica (Gujarati, 2011). Logo, a constatação de estacionariedade em séries temporais é similar a testar a existência de uma raiz unitária. Caso a série seja estacionária em nível, é integrada de ordem zero ou I (0). Caso seja preciso transformar a série para estacioná-la pela primeira ordem, a série torna-se integrada de ordem um ou I (1).

Para isso, foram aplicados, nesta pesquisa, os testes estatísticos Dickey-Fuller Aumentado (ADF) (Dickey & Fuller, 1979), Phillips-Perron (Phillips & Perron, 1988) e KPSS (Kwiatkowski et al., 1992), convencionalmente indicados para verificar a estacionariedade em séries temporais, destacados durante esta análise. A hipótese nula do teste ADF é de que a série temporal tem uma raiz unitária, logo, não estacionária. Com isso, a um nível de 5% de significância, o p-valor deve rejeitar a hipótese nula do teste ADF, aceitando a hipótese alternativa de estacionariedade da série analisada.

Em complemento, o teste Phillips-Perron também é utilizado para verificar a existência de raiz unitária em séries temporais. O teste PP é semelhante ao teste ADF, mas esse teste trata da correlação serial nos termos de erro sem adicionar os termos de diferença defasados (Gujarati, 2011). A hipótese nula do teste é que a série tem raiz unitária, logo, não estacionária, assim como no teste ADF. Por fim, o terceiro teste proposto, o KPSS, é uma alternativa aos testes ADF e PP, uma vez que a sua hipótese nula é a de estacionariedade, não existindo, portanto, raiz unitária na série temporal.

Na sequência, como critério para realização das operações, será verificado se o valor do resíduo do observado no dia estudado excede o valor calculado como banda de desvio (σ) para ±2σ (mais ou menos duas vezes o desvio padrão), somado e subtraído da média dos resíduos. Caso o resíduo supere o limite superior ou inferior dos desvios padrões estudados, este será considerado como um sinal de entrada na operação do par. Se superado o limite da banda superior à média, o ativo dependente (Y) será vendido e, consequentemente, comprado o ativo independente (X), na proporção indicada pelo parâmetro do coeficiente linear beta (𝛽₁) da regressão de período 252. Cabe ressaltar que pares com valores negativos do coeficiente linear 𝛽₁ não serão considerados. Serão considerados os pares que apresentarem estacionariedade em ao menos 2 dos 3 testes indicados anteriormente.

Já a margem operacional será calculada com base nos parâmetros atuais de mercado com fator de 60% para o volume financeiro do ativo comprado e 140% para o volume financeiro do ativo vendido. Todas as operações que requerem margem, ou não, serão consideradas para a formação das carteiras. Considerando que os 𝛽₁ das regressões serão considerados para determinação da proporção de compra e, respectiva, venda dos ativos do par, poderão ser considerados pares em que a relação financeira não será necessariamente cash neutral. Os critérios considerados de saída, em proporção do desvio padrão dos resíduos, inicialmente, serão de 0%σ (ou igual à média dos resíduos). O ponto de saída será dado quando, no decorrer dos dias seguintes ao sinal de entrada da operação, o valor do resíduo superar ou igualar a proporção do desvio padrão definido para a saída.

3.4 Formação das Carteiras e Avaliação dos Resultados

Em sequência, será avaliada a relação estatística entre os retornos dos pares e o nível de volatilidade, propondo a formação de carteiras com critério de escolha baseado na volatilidade, sendo avaliadas e ajustadas diariamente. Propõe-se a restrição de exposição máxima em um único ativo do par, limitada em, no máximo, 80% do valor financeiro total dos dois ativos, não podendo ultrapassar essa proporção, evitando a concentração demasiada em um único ativo do par mantendo o equilíbrio do hedge.

Outras restrições podem ser avaliadas, visando à maior diversificação da carteira, podendo ser limitada a exposição em um único ativo como proporção ao total da carteira. O desempenho da carteira será avaliado por seu resultado bruto, risco, IS, correlação e ao desempenho do Ibovespa. O IS, ou retorno por risco, será calculado conforme a Equação 4.

$$IS=\frac{(R_c-R_f)}{{\sigma }_c}$$ (4)

em que R _c será o retorno diário da carteira; R _f será o retorno diário do CDI para o período, dividido pelo desvio padrão ou risco.

Os resultados serão organizados na forma de tabelas e diagramas, observando o comportamento de cada operação realizada individualmente. O retorno bruto individual de cada par será considerado como a soma dos resultados da parte comprada e vendida da posição. Além disso, será demonstrado o prazo decorrido da operação, resultados da carteira, rentabilidade comparada à carteira de mercado, riscos e correlação dos retornos com os observados do mercado. Por fim, serão avaliados analiticamente, de forma individual e combinada, os critérios que possibilitem a obtenção de resultados superiores, para o período proposto de estudo, do modelo de pairs trading por cointegração estatística no mercado acionário brasileiro.

4. RESULTADOS

Foram analisados 5.927.400 pares em backtesting durante todo o período proposto - de janeiro de 2016 a dezembro de 2018 -, ou, ainda, 8.010 pares diários durante 740 pregões. A condição necessária de cointegração foi obtida pelo teste ADF, identificando 126.350 pares cointegrados em todo o período de análise. A média diária da quantidade de pares cointegrados foi de 139 sinais variando para, no máximo, 410 e, no mínimo, de 1 par ao longo do período.

Visando ao melhor equilíbrio do hedge, do total de sinais cointegrados, foram desconsiderados, para efeito das análises estatísticas e da formação das carteiras, os pares que apresentavam relação financeira entre os ativos superiores a cinco vezes - calculado pela razão entre o valor financeiro bruto da posição do ativo dependente, sobre valor financeiro bruto da posição do ativo independente para cada par e, respectivamente, do independente sobre o dependente. Também foram desconsiderados os pares com coeficiente 𝛽₁ inferiores a 0,05.

Analisou-se a relação entre os prazos operacionais decorridos e os retornos observados dos 126.350 pares cointegrados individualmente, mensurado pelo teste de correlação de Spearman com ρ = -0,246, p < 0,001, α = 0,01. Os retornos dos pares apresentaram uma leve correlação negativa significativa, ou seja, quanto maior o prazo operacional, menores os retornos observados. Apesar da correlação por Pearson ser de grau um pouco mais elevado ρ = -0,375, p < 0,001, α = 0,01, em razão da mudança de comportamento observada nos dados, em especial, nos prazos operacionais superiores a 23 pregões que permaneceram fortemente negativas, consideramos o coeficiente de Spearman mais robusto para mensuração da relação não linear observada, entre os retornos individuais dos pares e dos prazos operacionais.

O desempenho dos pares no backtesting também foi mensurado com a definição de um critério de stop pelo tempo operacional decorrido desde início de cada operação, definido pelo valor observado do terceiro quartil dos prazos inicialmente obtidos sem critérios de stop de 69 dias.

Também foi adotado um critério de stop pelas variações do spread dos resíduos da regressão, definido em quatro desvios padrões (4σ) da média, visando a minimizar os movimentos contrários ao sinal operacional do modelo que, eventualmente, por choques adversos nos preços modificaram a relação estatística observada historicamente no período de regressão adotado de 252 dias anteriores ao dia avaliado. Os retornos percentuais das operações apresentaram distribuição não normal, leptocúrtica com curtose > 15,64 (elevada), conforme Tabela 2.

Tabela 2
Estatísticas descritivas do backtesting dos pares cointegrados

Estatísticas		Resultado bruto (%) (Sem stop)	Resultado bruto (%) (Com stop no tempo)	Resultado bruto (%) (Com stop no spread)
Média		-0,0112	-0,0073	-0,0026
Mediana		0,0427	0,0405	0,0360
Desvio padrão		0,2183	0,1789	0,1566
Mínimo		-2,7492	-2,3326	-2,5123
Máximo		1,2043	1,2043	1,2043
KS	Estatística	0,186	0,153	0,112
	p-valor	< 0,001	< 0,001	< 0,001

• KS = Teste de normalidade de Kolmogorov-Smirnov.
• Fonte:Elaborado pelos autores.

Os testes não paramétricos de Mann-Whitney U apontaram diferenças significativas entre os retornos observados das operações com volatilidade anualizada (20 períodos) do ativo dependente superior à mediana das volatilidades diárias (Z = -18,509, p < 0,001). Nos demais prazos sugeridos para avaliação das volatilidades anualizadas de 60, 120 e 252 períodos, não foram identificadas diferenças significativas dos retornos.

Na comparação dos prazos operacionais decorridos entre os pares de maior volatilidade do ativo dependente, com diferença significativamente maior dos prazos operacionais para os ativos dependentes com volatilidade maior que a mediana dos ativos em um mesmo dia (Z = 5,435, p < 0,001).

Dessa forma, verificando se os retornos permanecem quando operacionalizados sistematicamente por meio da formação de carteiras em longo prazo, avaliou-se o desempenho entre uma carteira composta aleatoriamente por qualquer dos pares sem restrições e outra carteira composta por pares que apresentavam volatilidade anualizada (20 períodos) do ativo dependente, superior à mediana das volatilidades dos demais pares para o dia da operação.

Tabela 3
Desempenho das carteiras

	Retornos acumulados	Desvio padrão	Índice de Sharpe
Carteira com volatilidade > Medianas	85,20%	0,0430	0,50
Carteira aleatória	0,66%	0,0424	0,19
Ibovespa	108,56%	0,0144	0,78
CDI	33,26%

A carteira proposta com critério de volatilidade superior às medianas diárias apresentou, ao final do período, desempenho superior ao da carteira de escolha aleatória dos pares de ativos, obtendo um Índice de Sharpe de 0,50 contra 0,19 da carteira aleatória. Também com maior número de operações 154, contra 107 na carteira aleatória. Contudo, as médias dos retornos observados entre as carteiras não apresentaram diferenças estatisticamente significativas (Mann-Whitney U: Z = -0,522, p > 0,60 e Kolmogorov-Smirnov: Z = 0,764, p > 0,60). Na Figura 1, observa-se o desempenho das carteiras propostas e o Ibovespa.

Figura 1
Desempenho das Carteiras vs. Ibovespa e CDI

As carteiras propostas apresentaram resultados inferiores ao Ibovespa no período estudado. Contudo, as carteiras apresentaram baixa correlação de Pearson com os retornos do Ibovespa para períodos de 100 dias, característica das operações de pairs trading, conforme Figura 2.

Figura 2
Correlação de Pearson (100 períodos) entre retorno das carteiras vs. Ibovespa

Durante a montagem da carteira com maiores volatilidades, foram considerados os pares com volatilidades superiores às medianas de 20 períodos ao longo do período por apresentarem resposta mais rápida às variações de mercado. Na Figura 3 são demonstradas as medianas diárias dos ativos dependentes, mensuradas de acordo com as volatilidades de 20, 60, 120 e 252 períodos.

Figura 3
Medianas da volatilidade dos ativos.

Por meio da análise individualizada dos pares cointegrados durante todo o período proposto, alguns pares apresentaram sinais mais frequentes de cointegração e enquadramento nos critérios operacionais que outros - em alguns casos, com índice de assertividade acima de 90% dos sinais com retornos positivos entre cada período de operação, enquanto um total de 1.804 pares, ou 22,52% do total de pares, não apresentou nenhum sinal operacional de acordo com critérios de entrada no período.

Tabela 4
Distribuição de frequência dos sinais cointegrados em função dos retornos

Intervalo percentual de sucesso dos sinais*	Frequência	Frequência percentual	Prazo médio operacional (Retornos positivos)	Prazo médio operacional (Retornos negativos)
0,00 |- 0,10	1.211	19,51%	2,6	49,5
0,10 |- 0,20	231	3,72%	28,0	51,0
0,20 |- 0,30	334	5,38%	28,9	51,7
0,30 |- 0,40	308	4,96%	29,2	46,7
0,40 |- 0,50	333	5,37%	30,5	47,4
0,50 |- 0,60	539	8,69%	30,2	46,9
0,60 |- 0,70	508	8,19%	28,8	43,5
0,70 |- 0,80	462	7,44%	30,7	48,0
0,80 |- 0,90	511	8,23%	31,2	44,2
0,90 |- 1,00	1.769	28,50%	34,2	7,7
Total	6.206		27,4**	43,7**

• *Calculado pelo percentual de sinais com retornos positivos em relação ao total de sinais cointegrados por par cointegrado. **Média dos prazos operacionais.
• Fonte:Elaborado pelos autores.

Na Tabela 4 é possível observar que, do total de pares cointegrados, as operações com retornos positivos apresentaram prazos médios operacionais inferiores em relação às operações que resultaram em prejuízos financeiros. Tal forma de observar corrobora o grau de correlação fracamente observado entre os retornos dos pares em relação aos prazos operacionais, com resultados decrescentes em razão da demora do par em retornar à média de longo prazo dos resíduos.

Entretanto, ao analisar de forma agrupada, os pares não apresentaram relação estatisticamente relevante em relação aos prazos operacionais. Em relação aos níveis de volatilidade, nenhum outro fator de causalidade foi identificado quando cruzado com os prazos operacionais.

Tabela 5
Pares com maior número de sinais cointegrados em todo período de análise (25 maiores)

Pares cointegrados	Número de sinais	Sinais com retornos positivos	Sinais com retornos negativos	Percentual de sucesso dos sinais*	Prazo médio (Sinais positivos)	Prazo médio (Sinais negativos)
MULT3 x CYRE3	103	18	85	17,48%	21	80
MULT3 x BRML3	102	51	51	50,00%	33	56
MULT3 x EZTC3	86	44	42	51,16%	41	70
TIMP3 x ALUP11	84	44	40	52,38%	20	39
BBDC4 x BBDC3	83	82	1	98,80%	29	52
MULT3 x BBDC3	82	51	31	62,20%	40	57
BOVA11 x ALUP11	82	64	18	78,05%	36	40
VIVT4 x EZTC3	81	56	25	69,14%	16	54
CVCB3 x VIVT4	80	50	30	62,50%	29	50
BOVA11 x ITUB4	79	68	11	86,08%	37	32
ALUP11 x SBSP3	78	45	33	57,69%	22	24
RAPT4 x ALUP11	78	49	29	62,82%	29	52
PETR4 x PETR3	78	48	30	61,54%	33	75
TIMP3 x BRSR6	78	35	43	44,87%	20	76
BBDC4 x BOVA11	76	65	11	85,53%	27	32
B3SA3 x RAPT4	75	57	18	76,00%	13	28
EZTC3 x CYRE3	75	71	4	94,67%	29	24
MULT3 x ALUP11	74	35	39	47,30%	47	35
TIMP3 x ITSA4	74	59	15	79,73%	19	143
ITSA4 x BBAS3	73	59	14	80,82%	43	38
EQTL3 x EZTC3	72	36	36	50,00%	26	27
ECOR3 x ARZZ3	71	39	32	54,93%	24	68
MULT3 x B3SA3	71	42	29	59,15%	32	58
MULT3 x DTEX3	71	35	36	49,30%	28	43

• *Calculado pelo percentual de sinais com retornos positivos em relação ao total de sinais cointegrados por par cointegrado.
• Fonte:Elaborado pelos autores.

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este artigo teve como objetivo avaliar os efeitos da volatilidade dos ativos sobre o desempenho das operações de arbitragem estatística por pairs trading, propondo a composição de uma carteira utilizando a volatilidade como critério de decisão. Realizou um amplo backtesting das 5.927.400 combinações de pares ao longo do período de estudo, identificando as relações de cointegração das séries de preços, de acordo com os pressupostos do modelo estatístico de arbitragem por pairs trading com ações.

Os resultados encontrados indicaram que a carteira composta por ativos de maiores volatilidades obteve resultado de 85,2% no período, ou ainda, 22,8% anualizados, superando, assim, a carteira composta por pares aleatórios sem a definição de critério por volatilidade. Contudo, não superou o retorno acumulado do Ibovespa de 108,56% nesse período, algo considerado atípico no mercado brasileiro. Dessa forma, corroborou a análise realizada de significância estatística dessa relação, demonstrando que quanto maior a volatilidade, menores os prazos operacionais e maiores os retornos observados. A adoção de critérios de stop com base no prazo operacional e no spread dos resíduos aumentou a média dos retornos da amostra dos pares utilizada para a formação das carteiras.

O modelo de arbitragem por pairs trading propicia uma variedade de estratégias que visam à obtenção de retornos neutros em relação aos retornos de mercado, com uma proposta objetiva da análise dos critérios de decisão para escolha dos ativos e para a formação das carteiras, que pode ser replicada em qualquer período. Constatamos resultados que ressaltam a característica de baixa correlação dos retornos das carteiras e do índice de mercado, na maior parte do período proposto.

Contudo, encontramos limitações na capacidade de processamento dos dados em razão do grande número de pares identificados diariamente para realizar a análise de todas as combinações possíveis das carteiras no período para avaliar a dispersão e consistência dos resultados observados e possibilidade de replicação em períodos distintos ao da amostra.

A aplicação do modelo de arbitragem ad hoc sem análises complementares das relações de equilíbrio de longo prazo dos ativos avaliados não garante resultados diferenciados da média do mercado. Como sugestão para trabalhos futuros, é fundamental analisar os aspectos que afetam o equilíbrio estatístico do modelo visando a mitigar os riscos de mercado da estratégia, principalmente aqueles relacionados aos prazos operacionais. Sobre os fatores que interferem na estacionariedade da relação estatística dos pares, indicamos utilizar, como critério, diferentes períodos para análise da estacionariedade dos pares, além de considerar um período maior de análise e maior quantidade de ativos líquidos. Estudos que realizem uma variação dos critérios de entrada e saída das operações, como bandas de desvios em função da volatilidade do papel, ou, ainda, limitando o prazo operacional para horizontes menores, podem contribuir para a assertividade do modelo e a melhoria dos retornos ajustados aos riscos de mercado.

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• *
  Trabalho apresentado no XXII Seminários em Administração (SemeAd), São Paulo, SP, Brasil, novembro de 2019.
• **
  Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e à Fundação de Amparo à Ciência e Tecnologia de Pernambuco (FACEPE) pelo apoio financeiro na realização desta pesquisa.

Editado por

Editor-Chefe: Fábio Frezatti Editora Associada: Fernanda Finotti Cordeiro

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  05 Mar 2021
• Data do Fascículo
  May-Aug 2021

Histórico

• Recebido
  22 Nov 2019
• Revisado
  29 Nov 2019
• Aceito
  27 Ago 2020