RESUMO
Neste trabalho estudamos algumas propriedades qualitativas da equação de Allen-Cahn. Esta equação tem sido amplamente estudada em diversas áreas da ciência e principalmente na evolução de microestruturas durante o processo de solidificação de um metal puro ou liga metálica. Os principais resultados obtidos são: a solução exata, a energia de Ginzburg-Landau e a propriedade de decaimento exponencial da energia total do modelo. A solução exata do problema foi obtida pelo método da separação de variáveis, graças a uma escolha adequada do coeficiente de reação. Em relação a estabilização exponencial da energia total das soluções, usamos técnicas multiplicativas para estabelecer a lei de dissipação da energia e, em seguida, usamos algumas desigualdades clássicas da análise matemática para construir a estimativa de decaimento exponencial.
PALAVRAS-CHAVE:
equação de difusão; equação de Allen-Cahn; solução exata; estabilização exponencial
ABSTRACT
In this work we study some qualitative properties of the Allen-Cahn equation. This equation has been studied widely in several areas of science and mainly in the evolution of micro-structures during the solidification process of a pure metal or metallic alloy. The main results achieved are: the exact solution, the energy of Ginzburg-Landau and the exponential decay property of the total energy of the model. The exact solution of the problem was built from variables separation method thanks to a particular choice of the coefficient of reaction. In respect to the exponential stabilization of the total energy of solutions, we use the multiplicative techniques in order to establish the energy dissipation law and in the following we use classical inequalities of the mathematical analysis to build the estimate of exponential decay.
KEYWORDS:
diffusion equation; Allen-Cahn equation; exact solution; exponential stabilization
1 INTRODUÇÃO
A evolução de microestruturas durante o processo de solidificação de um metal puro ou liga metálica pode ser estudada com o auxílio de modelos matemáticos de campo de fase “phase-field”, que consideram que a transição entre uma fase e outra, ocorre de forma contínua e gradual, através de uma região reduzida chamada interface difusa55 R. Kobayashi. Modeling and numerical simulations of dendritic crystal growth. Physica D, 63(3-4) (1993), 410-423.. Dentre os modelos que utilizam o método de campo de fase, destacamos o modelo de Allen-Cahn11 S. Allen & J. Cahn. A microscopic theory for antiphase boundary motion and its apllication to antiphase domain coaserning. Acta Metall, 27 (1979), 1084-1095.. A equação abaixo, postulada por Allen e Cahn
em que é a variável de fase, é a derivada funcional da energia livre em relação à variável de fase, M é a mobilidade da interface (ou a facilidade com que ϕ varia com o tempo) - garante a evolução do sistema (1.1). Em certas ocasiões, a mobilidade é considerada anisotrópica, como adotado por44 A. Karma & W. Rappel. Quantitative phase-field modeling of dendritic growth in two and three dimensions. Physical Review E Physics, 57 (1998), 4323-4349., mas também pode ser considerada como uma constante (isotrópica), como adotado por55 R. Kobayashi. Modeling and numerical simulations of dendritic crystal growth. Physica D, 63(3-4) (1993), 410-423..
Usando o modelo de Allen-Cahn, Xinfu Chen22 X. Chen. Generation, propagation, and annihilation of metastable patterns. Journal of Differential Equations, 206 (2004), 399-437. considerou o seguinte problema de valor inicial
relacionado com o estudo de movimentos no limite de fase de materiais cristalinos, genética de população e também com a propagação de pulsos nervosos, onde é um pequeno parâmetro e f(·) é uma função suave tendo exatamente três zeros {−1, 0, 1} e satisfazendo e . Um exemplo típico de f é a função . Na dinâmica do problema estudado pelos autores, foram observados quatro estágios. No primeiro estágio, observa-se a fase de separação com ordem de grandeza , no segundo estágio, nota-se a geração de padrões metaestáveis de ordem , no terceiro, a propagação em movimento super câmera lenta das interfaces, é de ordem e por último, a fase de aniquilação da interface é de ordem O(1).
Em66 M. Uzunca & B. Karasozen. Energy Stable Model Order Reduction for the Allen-Cahn Equation. In “Model Reduction of Parametrized Systems”. Springer (2017), p. 403-419. doi:10.1007/978-3-31958786-8 25.
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, Uzunca e Karasozen consideraram a equação de Allen-Cahn dada por
onde é uma constante que define a espessura da interface e é um domínio limitado. A norma em L 2 é induzida por
caracterizada pela minimização do funcional energia de Ginzburg-Landau
com potencial F(u). Segundo os autores a principal característica da equação de Allen-Cahn (1.3) é a rápida formação das camadas transientes e a formação exponencialmente lenta das camadas terminais para valores muito pequenos de ξ. Isto é interessante porque nos faz pensar na possibilidade de existir um limite inferior para ξ. Portanto, baseado nesta afirmação fazemos o seguinte questionamento:
“Existe uma constante tal que a taxa do decaimento exponencial da energia da equação de Allen-Cahn (1.3) enfraquece quando ?”
Acerca deste questionamento, ressaltamos que não temos conhecimento de nenhum trabalho na literatura que faça uma investigação nesta direção e muito menos acerca do valor limite de ξ que enfraqueça a taxa de decaimento exponencial da energia total associada à equação de AllenCahn. Outro fato que também merece ser investigado é como explicitar uma solução exata para tal problema.
É bem conhecido que em problemas lineares a solução exata pode ser obtida em muitos casos pelo método da separação de variáveis33 L.C. Evans. “Partial differential equations”, volume 83. Wiley (1999), 185 p. doi:10.2307/3618751.
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, no entanto, em problemas não lineares são raros os casos em que conseguimos explicitar a solução exata.
Para o caso de soluções exatas de problemas não lineares destacamos o trabalho de Zemskov e Loskuto77 E.P. Zemskov & A. Loskutov. Exact analytical solutions for nonlinear waves in the inhomogeneous Fisher-Kolmogorov equation. The European Physical Journal B, 79(1) (2010), 79-84. doi:10.1140/ epjb/e2010-90983-8.
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Neste artigo os autores estudaram a equação de Fisher-Kolmogorov dada por
Usando o método da separação de variáveis e supondo , os autores encontraram as equações diferenciais ordinárias dadas por
onde é o parâmetro de separação desconhecido. Eles obtiveram as soluções gerais da forma
e ainda,
onde a constante c 0 é definida pelas condições iniciais. Com isto, eles mostraram que a solução exata do problema é dada por
Na Figura 1 observamos as soluções exatas referentes às equações dadas em (1.10).
Solução exata com e (lado esquerdo) e com e (lado direito). Retirada de77 E.P. Zemskov & A. Loskutov. Exact analytical solutions for nonlinear waves in the inhomogeneous Fisher-Kolmogorov equation. The European Physical Journal B, 79(1) (2010), 79-84. doi:10.1140/ epjb/e2010-90983-8.
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Analisando a Figura 1 (a) percebemos que a solução exata se estabiliza no zero quando . Mas por outro lado, quando notamos a presença de oscilações espaciais (perda de homogeneidade espacial).
Para entendermos melhor o comportamento assintótico da solução encontrada por Zemskov e Loskuto em77 E.P. Zemskov & A. Loskutov. Exact analytical solutions for nonlinear waves in the inhomogeneous Fisher-Kolmogorov equation. The European Physical Journal B, 79(1) (2010), 79-84. doi:10.1140/ epjb/e2010-90983-8.
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, fizemos uma análise baseada em argumentos de energia considerando o domínio compacto [0, L]. Definindo a energia total de (1.6) por
notamos que a mesma satisfaz a taxa de variação
Com isto, percebemos que a taxa de variação da energia não possui sinal definido, ou seja, temos uma “competição” entre as constantes e que altera qualitativamente o comportamento do modelo quando .
Motivado pelos trabalhos mencionados anteriormente, consideramos a equação de Allen-Cahn unidimensional envolvida num problema que descreve a fase de uma mistura binária
onde é o coeficiente de reação. A variável de fase denota a concentração da mistura e o parâmetro está relacionado à espessura da interface capturando o efeito dominante da cinética de reação.
O trabalho está organizado da seguinte forma: Na Seção 2, apresentamos o problema objeto de estudo, seguido do resultado que apresenta a solução exata. Na Seção 3, apresentamos a abordagem de energia do problema e os resultados de estabilização. Por fim, na Seção 4 apresentamos algumas simulações computacionais da solução exata.
2 EQUAÇÃO DE ALLEN-CAHN
Nesta seção apresentamos o primeiro resultado deste trabalho que é a solução exata do problema (1.13).
2.1 Solução exata do problema
Consideramos o problema de difusão não linear dado por
onde é o coeficiente de reação determinado posteriormente. O termo de reação não linear dado por
é o potencial de energia que conduz a solução ao estado . As condições de contorno de Neumann homogêneas são dadas por
e a condição inicial por
Na proposição seguinte apresentamos a solução exata do problema em séries de Fourier.
Proposição 2.1. A solução exata do problema (2.1) - (2.4) com é dada em série de Fourier por
onde c n é o coeficiente de Fourier dado por
Proof. Considerando o ansatz da forma
segue que
Escolhendo ficamos com
Observamos que o lado esquerdo da equação acima depende apenas de x, enquanto que o lado direito depende apenas de t. Logo podemos concluir que ambos os lados, são independentes de x e t. Isto quer dizer que,
Por outro lado, substituindo nas condições de contorno temos,
e substituindo na condição inicial temos
de onde adotamos .
Com isto, passamos a considerar o problema de valor de contorno
e o problema de valor inicial
Primeiramente revolvemos o problema de valor inicial. Para isto, linearizamos a equação em (2.14) multiplicando por G(t)−3 . Com isto, obtemos
Considerando a mudança de variável temos
Logo a equação (2.15) pode ser reescrita na forma linear
Resolvendo a equação acima temos
Retornando à variável G(t) obtemos
Para temos . Logo,
Substituindo (2.20) em (2.19) temos
Finalmente obtemos que
Por outro lado, para resolvermos o problema de contorno (2.13) precisamos analisar três casos.
Caso 1: Supondo e considerando temos a equação característica
Segue daí que
Pelo Princípio da Superposição temos que
também é solução do problema. Usando a relação de Euler podemos escrever
Segue das condições de contorno que
Como não estamos interessados na solução trivial, devemos considerar . Com isto obtemos a equação
Logo temos a solução
Consequentemente, obtemos o coeficiente de reação
que é uma condição suficiente para usarmos o método da separação de variáveis.
Combinando as equações (2.23) e (2.29) e usando o Princípio da Superposição temos que
onde é constante e os coeficiente de Fourier são escolhidos de modo que tomando <mml:math><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> em (2.31) tenhamos
Portanto os devem ser coeficientes de Fourier da função , dada em [0, 1]. Note que deve se escolhida de modo a ser uma função par e periódica de período 2, a fim de termos uma série de cossenos de argumento nπ.
Para encontrarmos os valores de c n , multiplicamos a equação (2.32) por e integramos em [0, 1]. Com isto, obtemos
Usando as relações de ortogonalidade entre as funções temos
Caso 2: Supondo o problema de contorno é dado por
Segue daí que e devido as condições de contorno temos
Logo temos que F é uma solução constante dada por
Como não estamos interessados na solução constante para F, o parâmetro não serve.
Caso 3: Supondo temos a equação característica
Segue do Princípio da Superposição que
é uma solução do problema. Considerando a relação trigonométrica temos que
Por outro lado, usando as condições de contorno temos que
Como estamos interessados na solução não trivial, devemos considerar . Com isto temos a equação
Com temos a solução constante
Como não estamos interessados na solução constante para F, o parâmetro não serve. Portanto a solução do problema (2.1)-(2.4) é dada em (2.31). □
3 ABORDAGEM DE ENERGIA
Esta seção é dedicada às questões referentes à estabilização assintótica da equação de AllenCahn (2.1)-(2.4). Utilizamos o método multiplicativo para construir dois funcionais de energia. O primeiro funcional é denominado energia de Ginzburg-Landau e é responsável pela dinâmica de transição entre as fases, o segundo, denominado energia total, é responsável pela dinâmica global do sistema. Estes resultados são tratados nas duas proposições seguintes.
Proposição 3.2. A energia de Ginzburg-Landau do problema (2.1) - (2.4) é dada por
onde , satisfaz a lei de dissipação
Proof. Multiplicando a equação (2.1) por u t e integrando por partes em [0, L] temos
Consequentemente,
Desde que consideremos a identidade
temos que
onde
Assim, fica provado que a energia de Ginzburg-Landau associada ao problema (2.1)-(2.4) é dada por
e satisfaz a lei de dissipação
□
3.1 Estabilidade exponencial
Aqui estudamos a estabilização das soluções do problema (2.1)-(2.4) através da energia total. Mais precisamente, provamos o decaimento exponencial quando .
Proposição 3.3. A energia total do problema (2.1) - (2.4) com é dada por
e satisfaz lei de dissipação
desde que onde é a constante de Poincaré.
Proof. Multiplicando a equação (2.1) por u e integrando por partes em [0, 1] temos
Definindo a energia total por
segue que
Usando a desigualdade de Poincaré e levando em conta que , temos
onde é a constante de Poincaré. Desde que , garantimos a lei de dissipação. □
Teorema 3.1.A energia total do problema(2.1)-(2.4)come, decai exponencialmente para zero com, isto é,
onde é a constante de Poincaré.
Proof. Inicialmente consideramos a lei de dissipação dada na Proposição (3.3)
Por outro lado, considerando a desigualdade de Jensen
com e , é fácil ver que e
Consequentemente podemos escrever
Para encontrarmos E(t) na desigualdade acima, multiplicamos ambos os lados por . Com isto, obtemos
Fazendo a mudança de variável
e substituindo em (3.21) temos
Usando a desigualdade de Gronwall obtemos
Em seguinda, de obtemos . Consequentemente,
Portanto obtemos
onde e é a constante de Poincaré. Assim fica provado que a energia total do problema (2.1)-(2.4) decai exponencialmente para zero com .
Agora, chamamos atenção para o questionamento feito na introdução.
“Existe uma constante tal que a taxa do decaimento exponencial da energia da equação de Allen-Cahn (1.3) enfraquece quando ?”
Ressaltamos que a resposta é sim, e além disso, podemos afirmar pela Proposição 2.1 e pelo Teorema 3.1 que
Na seção seguinte, veremos como se comporta a energia total do problema quando <mml:math><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> não obedece a limite (3.27).
4 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL
Para realizarmos as simulações computacionais da solução exata e da energia total do problema (2.1)-(2.4), usamos o software MATLAB. Nossa intenção aqui é mostrar que o parâmetro ξ responsável por definir a espessura da interface, afeta diretamente a taxa de decaimento exponencial da energia total e consequentemente, comprovar a afirmação dada em (3.27) que estabelece um limite inferior para ξ.
4.1 Solução exata e energia total Caso: n = 2
Neste caso consideramos os dados e assumimos os valores de satisfazendo (3.27) e que não satisfaz (3.27).
4.2 Solução exata e energia total Caso: n = 4
Aqui novamente consideramos os dados com e assumimos os valores de e de modo que possamos comparar com (3.27).
Comentário: Nas simulações realizadas acima percebemos que a solução exata e a energia total possuem comportamentos bem distintos dependendo do valor do coeficiente ξ. Nas Figuras 2 e 4, no caso em que , percebemos que a energia decai muito rápido para zero, enquanto que nas Figuras 3 e 5 com notamos o enfraquecimento da taxa de decaimento exponencial. A explicação matemática para isto se deve ao fato de
alterando assim, a taxa da exponencial de . Por outro lado, do ponto de vista físico, passamos a entender melhor a dinâmica que leva a formação exponencialmente lenta das camadas terminais da interface para valores muito pequenos de ξ (ver66 M. Uzunca & B. Karasozen. Energy Stable Model Order Reduction for the Allen-Cahn Equation. In “Model Reduction of Parametrized Systems”. Springer (2017), p. 403-419. doi:10.1007/978-3-31958786-8 25.
https://doi.org/10.1007/978-3-31958786-8...
).
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho foi apresentado uma solução exata para o modelo de Allen-Cahn por um método de separação de variáveis e um resultado de estabilização assintótica da energia total do modelo. Com isto, foi possível entender melhor o processo de formação exponencialmente lenta da camadas terminais da interface para valores muito pequenos de ξ. Até onde temos conhecimento, esta é a primeira vez que se estabelece uma conexão entre a estabilização exponencial do modelo de Allen-Cahn e o parâmetro de espessura das camadas.
REFERÊNCIAS
-
1S. Allen & J. Cahn. A microscopic theory for antiphase boundary motion and its apllication to antiphase domain coaserning. Acta Metall, 27 (1979), 1084-1095.
-
2X. Chen. Generation, propagation, and annihilation of metastable patterns. Journal of Differential Equations, 206 (2004), 399-437.
-
3L.C. Evans. “Partial differential equations”, volume 83. Wiley (1999), 185 p. doi:10.2307/3618751.
» https://doi.org/10.2307/3618751 -
4A. Karma & W. Rappel. Quantitative phase-field modeling of dendritic growth in two and three dimensions. Physical Review E Physics, 57 (1998), 4323-4349.
-
5R. Kobayashi. Modeling and numerical simulations of dendritic crystal growth. Physica D, 63(3-4) (1993), 410-423.
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6M. Uzunca & B. Karasozen. Energy Stable Model Order Reduction for the Allen-Cahn Equation. In “Model Reduction of Parametrized Systems”. Springer (2017), p. 403-419. doi:10.1007/978-3-31958786-8 25.
» https://doi.org/10.1007/978-3-31958786-8 25 -
7E.P. Zemskov & A. Loskutov. Exact analytical solutions for nonlinear waves in the inhomogeneous Fisher-Kolmogorov equation. The European Physical Journal B, 79(1) (2010), 79-84. doi:10.1140/ epjb/e2010-90983-8.
» https://doi.org/10.1140/ epjb/e2010-90983-8
Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
08 Nov 2021 -
Data do Fascículo
Oct-Dec 2021
Histórico
-
Recebido
30 Jun 2020 -
Aceito
29 Mar 2021