Condições de Otimalidade para Problemas Multiobjetivos Irregulares

RESUMO

Neste artigo, consideramos problemas de Otimização multiobjetivo com restrições de igualdade dadas na forma $F(x)=0$, sendo $F:\mathbb{U}\subseteq {\mathbb{R}}^n⟶{\mathbb{R}}^m$ e $\mathbb{U}$ um aberto não vazio. Consideramos o caso em que a restrição do problema é irregular, ou seja, quando a condição de qualificação de independência linear (LICQ) não é satisfeita na solução do problema de otimização. Obtemos condições necessárias e suficientes de otimalidade no sentido da eficiência fraca e da eficiência própria para problemas multiobjetivos irregulares. Para isto, foi utilizada a Teoria da p-regularidade.

Palavras-chave:
ccondições de otimalidade; irregularidade; p-regularidade

RESUMO.

In this article, we consider problems of Multiobjective optimization with equality constraints given in the form $F(x)=0$, where $F:\mathbb{U}\subseteq {\mathbb{R}}^n⟶{\mathbb{R}}^m$. We will consider the case where the problem constraints are irregular, that is, when the condition of qualification of linear independence (LICQ) is not satisfied in the solution of the optimization problem. We obtain necessary and sufficient conditions of optimality in the sense of the weak efficiency and of the proper efficiency for irregular multiobjective problems.

Key words
conditions of optimality; irregularity; p-regularity

1 INTRODUÇÃO

Em muitas situações nos deparamos com problemas de tomadas de decisões que surgem em diversas áreas como Engenharia, Economia, Administração, Biomedicina, Teoria dos Jogos, dentre outros. Tais problemas podem possuir mais de um objetivo fixados como metas pelo decisor. Tais problemas são chamados multiobjetivos. Em geral não é possível minimizar todos os objetivos simultaneamente. Deste modo, existem várias noções de otimalidade para esses problemas, destacando-se as soluções eficientes (ou de Pareto), as propriamente eficientes (ou Geoffrion-eficientes) e as fracamente eficientes (Pareto fracas). Os primeiros resultados no campo da Otimizaçao multiobjetivo são devidos a V. Pareto ^[14] que em seu célebre trabalho "Cours d’Economie Politique" introduz o conceito de solução eficiente – o qual está relacionado à Teoria do Bem Estar Social ^[13].

Em Otimização multiobjetivo as condições necessárias e suficientes de otimalidade são um tópico importante e grande parte dos resultados conhecidos para problemas de Otimização escalares (ou mono-objetivos) se estendem ao caso multiobjetivo. É bastante conhecido o fato que as condições de Karush-Kuhn-Tucker são necessárias para a otimalidade sob hipóteses adicionais – as quais são conhecidas como Condições de Qualificação. A condição de qualificação mais geral é a Condição de Qualificação de Guignard (GCQ) ^[6]. Como é bem conhecido, GCQ em muitos casos é difícil de ser verificada e com o objetivo de se garantir esta condição, várias outras condições de qualificação foram propostas. Uma das mais conhecidas e utilizadas dentre as condições de qualificação é a Condição de Qualificação de Independência Linear (LICQ). Entretanto, muitos problemas de otimização com restrições de igualdade não satisfazem LICQ na solução. Neste trabalho, os problemas dessa natureza serão denominados irregulares, seguindo a terminologia utilizada por Brezhneva e Tretyakov em ^[5]. Observamos ainda que o tratamento das condições de otimalidade para problemas irregulares tem sido um tópico de pesquisa bastante atual ^[1], ^[2], ^[3], ^[4], ^[7]. A relevância de tais problemas e algumas importantes referências que contêm exemplos significativos e aplicações podem ser encontrados em ^[2] e suas referências.

No artigo ^[4], Brezhneva e Tretyakov consideram problemas irregulares mono-objetivo com restrições de igualdade e para tais problemas obtém condições necessárias e suficientes para a otimalidade. Em ^[5] os autores obtêm condições necessárias e suficientes de otimalidade para uma certa classe de problemas mono-objetivo com restrições de desigualdade e irregulares – por eles denominadas absolutamente degenerados. Em ambos artigos, a abordagem utilizada se baseia na Teoria da p-regularidade.

Neste artigo, faremos uma abordagem baseada na Teoria da p-regularidade ^[5]. Consideraremos que $F:𝕌\subseteq {ℝ}^n\to {ℝ}^m$, sendo $𝕌$ um aberto não vazio, é a aplicação que define as restrições de igualdade do problema e a ideia principal desta abordagem é substituir o operador linear $F^{(1)}(x_0)$, que não é sobrejetor, por um operador linear sobrejetor ${\Phi }_p(x_0)$, relacionado à expansão de Taylor de ordem p de $F$ em torno de $x_0$. Por fim, obtemos novas condições de otimalidade em termos da função Lagrangeana generalizada ou função Lagrangeana p-fator. Existem poucos trabalhos referentes às condições de otimalidade para o caso multiobjetivo irregular, o único artigo que conhecemos até o momento e que trata de problemas irregulares multiobjetivo é o artigo de Hernandez-Jemenez et al ^[8]. Este trabalho difere do nosso por tratar apenas o problema com restrições de desigualdade e, além disso, a noção de 2-regularidade utilizada pelos autores é diferente da que utilizamos neste trabalho.

A organização deste trabalho é a seguinte: Na Seção 2, fixamos a notação utilizada ao longo do texto e recordamos os conceitos de solução para problemas multiobjetivo. Também recordamos o Teorema de Ponto Fixo para multifunções e, a partir desse, demonstramos um lema necessário para obtenção de nossos resultados; na Seção 3 recordamos alguns resultados básicos da Teoria da p-regularidade e, por fim, na Seção 4 obtemos os resultados centrais deste trabalho.

2 PRELIMINARES

Neste artigo consideramos o seguinte problema multiobjetivo:

$\begin{array}{c}\hfill \mathrm{\text{Minimizar}}f(x)=(f_1(x),...,f_{\ell }(x))\\ \hfill \mathrm{\text{Sujeito a}}x\in 𝕄,\end{array}$(2.1)

sendo $𝕄=\{x\in 𝕌;F(x)=0\}$, $f:𝕌\to {ℝ}^{\ell }$ e $F:𝕌\to {ℝ}^m$, $𝕌\subseteq {ℝ}^n$ um aberto não vazio, $f$ e $F$ suficientemente diferenciáveis. Admitiremos que o conjunto factível $𝕄$ é não vazio. Denotamos por

$\begin{array}{c}\hfill 𝕂=\{1,...,\ell \}\mathrm{\text{e}}𝕁=\{1,...,m\}.\end{array}$

Em geral, não é possível minimizar todas as funções objetivo do problema (2.1) e, dessa forma, o conceito de otimalidade pode ser estabelecido de outras maneiras. A seguir, apresentamos os conceitos de solução para o problema (2.1) e que serão utilizados neste trabalho.

Definição 2.1.

1. Dizemos que $x_0\in 𝕄$ é uma solução local fracamente eficiente do problema (2.1) se existe uma vizinhança $𝕍$ de $x_0$ e não existe $x\in 𝕄\cap 𝕍$, $x\ne x_0$ tal que $f_k(x)f_k(x_0)$ para cada $k\in 𝕂$.

2. Dizemos que $x_0\in 𝕄$ é uma solução local eficiente do problema (2.1) se existe uma vizinhança $𝕍$ de $x_0$ e não existe $x\in 𝕄\cap 𝕍$, $x\ne x_0$ tal que $f_k(x)\le f_k(x_0)$ para $k\in 𝕂$, com a desigualdade estrita para pelo menos um k.

3. Dizemos que $x_0\in 𝕄$ é solução local propriamente eficiente do problema (2.1) quando ela é uma solução local eficiente e se existe $C>0$ tal que, para cada $k\in 𝕂$

   ${\displaystyle \frac{f_k(x_0)-f_k(x)}{f_{k_0}(x)-f_{k_0}(x_0)}}\le C$

   para algum $k_0$ tal que $f_{k_0}(x_0)f_{k_0}(x)$ quando $x\in 𝕄\cap 𝕍$ e $f_k(x)f_k(x_0).$

Por escalarização entendemos a conversão do problema multiobjetivo em um problema escalar de programação não linear cuja solução coincide com a solução do problema multiobjetivo. Uma das técnicas mais conhecidas de escalarização é o Método da Ponderação. Seja $𝕎=\{w\in {ℝ}^{\ell };w_k\ge 0,k\in 𝕂\}$. Para cada $w\in 𝕎$, $w\ne 0$, consideramos o seguinte problema escalar

$\begin{array}{c}\hfill \mathrm{\text{Minimizar}}\sum _{k=1}^{\ell }{w}_k{f}_k(x)\\ \hfill \mathrm{\text{Sujeito a}}x\in 𝕄.\end{array}$(2.2)

As relações existentes entre as soluções do problema multiobjetivo e as soluções do problema ponderado são dadas no seguinte lema:

Lema 2.1 ( [10]). Consideramos o problema definido como em (2.2).

1. Se existe $w\in 𝕎\setminus \{0\}$ e $x_0$ é uma solução do problema (2.2), então $x_0$ é solução fracamente eficiente do problema (2.1).

2. Se existe $w\in 𝕎$ tal que $w_k>0$, $k\in 𝕂$ e $x_0$ é uma solução do problema (2.2), então $x_0$ é solução propriamente eficiente do problema (2.1).

Utilizaremos aqui as seguintes notações:

$\begin{array}{c}\hfill x=\left[\begin{array}{c}\hfill x_1\hfill \\ \hfill ⋮\hfill \\ \hfill x_n\hfill \end{array}\right],xy=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\mathrm{\text{e}}x\in {ℝ}_{+}^n\iff x_i\ge 0,\forall i=1,...,n.\end{array}$

A $k$-ésima derivada de $f$ no ponto $x_0$ é uma aplicação $k$-linear $f^{(k)}(x_0):\underset{\mathrm{\text{k cópias}}}{\underbrace{{ℝ}^n\times ...\times {ℝ}^n}}\to {ℝ}^m$. Além disto, podemos associar à aplicação $f^{(k)}(x_0)$ uma $k$-forma

$f^{(k)}(x_0)[\cdot {]}^k:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$

definida como

$f^{(k)}(x_0)[x{]}^k=f^{(k)}(x_0)\left(\underset{\mathrm{\text{k vezes}}}{\underbrace{x,...,x}}\right).$

O conjunto $Ke{r}^k{f}^{(k)}(x_0)=\{h\in {ℝ}^n;f^{(k)}(x_0){\left[h\right]}^k=0\}$ é o k-Kernel de $f^{(k)}(x_0)$.

Evidentemente, para cada vetor $h\in {ℝ}^n$ fixado, podemos associar o operador linear

$f^{(k)}(x_0)[h{]}^{k-1}:{ℝ}^n\to {ℝ}^m,$

definido, para todo $x\in {ℝ}^n$, como

$f^{(k)}(x_0)[h{]}^{k-1}x=f^{(k)}(x_0)(\underset{k-1}{\underbrace{h,...,h}},x).$

Similarmente para as funções $f_i^{(k)}(x_0)[h{]}^{k-1}:{ℝ}^n\to ℝ$, $i=1,...,m$, temos funcionais lineares definidos, para todo $x\in {ℝ}^n$, como a seguir

$f_i^{(k)}(x_0)[h{]}^{k-1}x=f_i^{(k)}(x_0)(h,...,h,x).$

A seguir enunciamos o conceito de direção tangente.

Definição 2.2. Dizemos que um vetor $h$ é uma direção tangente a $𝕄$ no ponto $x_0$, se existe ${\alpha }_0>0$ tal que para todo $\alpha \in (0,{\alpha }_0)$ existe um vetor

$\begin{array}{c}\hfill x(\alpha )=x_0+\alpha h+r(\alpha )\in 𝕄,\end{array}$

sendo o vetor $r(\alpha )\in {ℝ}^n$ tal que $\parallel r(\alpha )\parallel =o(\alpha )$.

O clássico Teorema do Valor Médio será de muita valia em nossas análises. Enuciamos este importante resultado.

Teorema 2.1 (Teorema do Valor M´edio [9]). Sejam $𝕏$ e $𝕐$ espaços de Banach e $𝕌\subset 𝕏$ um aberto não vazio. Seja $f:𝕌\to 𝕐$ uma função diferenciável no segmento $\{x_0+th;t\in [0,1]\}\subseteq 𝕌$. Então

$\begin{array}{c}\hfill \parallel f(x_0+h)-f(x_0)-T(h)\parallel \le \underset{t\in [0,1]}{sup}\parallel f^{(1)}(x_0+th)-T\parallel .\parallel h\parallel ,\end{array}$

sendo $T:𝕏\to 𝕐$ um operador linear contínuo.

Agora apresentamos o conceito de multifunções e alguns resultados a ele relacionados. Para maiores detalhes consulte ^[9].

Definição 2.3. Sejam $𝔸$ um conjunto não vazio e $2^{𝔹}$ a família de subconjuntos do conjunto $𝔹$. Uma função $\Phi :𝔸\to 2^{𝔹}$ é denominada de multifunção.

Sejam $(𝕏,d)$ um espaço métrico e ${𝕏}_1,{𝕏}_2\subseteq 𝕏$. Consideramos o número

$d({𝕏}_1,{𝕏}_2)=\underset{x\in {𝕏}_1}{sup}d(x,{𝕏}_2),$

sendo $d(x,{𝕏}_2)={inf}_{y\in {𝕏}_2}d(x,y)$. O máximo entre os números $d({𝕏}_1,{𝕏}_2)$ e $d({𝕏}_2,{𝕏}_1)$ define a distância de Hausdorff ($\mathscr{H}$) entre os conjuntos ${𝕏}_1$ e ${𝕏}_2$, isto é,

$\mathscr{H}({𝕏}_1,{𝕏}_2)=max\{d({𝕏}_1,{𝕏}_2),d({𝕏}_2,{𝕏}_1)\}.$

O próximo resultado enunciado é uma versão do Teorema do Ponto Fixo para multifuncões. Para isso, o conceito de contração para multifunções é dado a seguir.

Definição 2.4. Sejam $(𝕏,d)$ um espaço métrico e $\Phi :𝕐\subseteq 𝕏\to 2^{𝕏}$ uma multifunção. Dizemos que $\Phi$ é uma contração se existe um número $\theta \in (0,1)$ tal que

$\begin{array}{c}\hfill \mathscr{H}(\Phi (x_1),\Phi (x_2))\le \theta d(x_1,x_2),\end{array}$

para todo $x_1$, $x_2\in 𝕐$.

Teorema 2.2 (Princípio da Contração para Multifunções [9]). Sejam $(𝕏,d)$ um espaço métrico e $\Phi :{𝔹}_{\epsilon }\left(x_0\right)\to 2^{𝕏}$ uma multifunção, sendo $\Phi (x)\ne \varnothing$ e fechado para todo $x\in {𝔹}_{\epsilon }\left(x_0\right)=\{x\in 𝕏;d(x,x_0)\epsilon \}$. Suponhamos que exista um número $\theta \in (0,1)$ tal que

1. $\mathscr{H}(\Phi (x_1),\Phi (x_2))\le \theta d(x_1,x_2)$, $\mathrm{\text{para todo}}{x}_1,x_2\in {𝔹}_{\epsilon }\left(x_0\right)$;

2. $d(x_0,\Phi (x_0))(1-\theta )\epsilon .$

Então para qualquer $\eta$ satisfazendo a desigualdade

$d(x_0,\Phi (x_0))\eta (1-\theta )\epsilon ,$

existe um $x\in {𝔹}_{\frac{\eta }{1-\theta }}\left(x_0\right)$ tal que

$\begin{array}{c}\hfill x\in \Phi (x).\end{array}$

Além disto, dentre os pontos $x$ que satisfazem essas condições existe um tal que

$\begin{array}{c}\hfill d(x,x_0)\le {\displaystyle \frac{2}{1-\theta }}d(x_0,\Phi (x_0)).\end{array}$ (2.3)

O próximo resultado fornece uma maneira de determinarmos a distância entre dois conjuntos, segundo a métrica de Hausdorff.

Lema 2.2 ( [9]). Sejam ${𝕏}_1,{𝕏}_2\subseteq 𝕏$ variedades lineares translações de um subespaço vetorial. Então,

$\begin{array}{c}\hfill \mathscr{H}({𝕏}_1,{𝕏}_2)=inf\{\parallel x_1-x_2\parallel ;x_i\in {𝕏}_i,i=1,2\}.\end{array}$

Em algumas situações a variedade linear do Lema 2.2 é uma translação do kernel de um operador linear. Este fato pode ser verificado no próximo lema.

Lema 2.3 ( [11]). Sejam $T:𝕏\to 𝕐$ um operador linear e $b\in Im(T)$. Então a variedade linear $𝕃=\{x\in {ℝ}^n;Tx=b\}$ é uma translação do subespaço vetorial $Ker(T)=\{x\in {ℝ}^n;Tx=0\}$, ou seja,

$\begin{array}{c}\hfill 𝕃=\tilde{x}+Ker(T),\end{array}$

para algum $\tilde{x}\in 𝕃$.

Para um operador linear contínuo $T:𝕏\to 𝕐$ consideramos a multifunção

$\Phi :𝕏\to 2^{𝕏},$

definida como

$\Phi (x)=x-{\left\{T\right\}}^{-1}g(x),$

sendo $g$ uma funcão de $𝕏$ em $𝕐$ tal que $Im(g)\subseteq Im(T)$ e ${\left\{T\right\}}^{-1}:𝕐\to 2^{𝕏}$ é definida como

$\begin{array}{c}\hfill {\left\{T\right\}}^{-1}y=\{x\in 𝕏;T(x)=y\}.\end{array}$(2.4)

Lema 2.4. Suponhamos $\hat{x}\in 𝕏$ fixado tal que $g(\hat{x})\in Im(T)$. Então

$\begin{array}{c}\hfill \Phi (\hat{x})=\{x\in 𝕏;T(\hat{x}-x)=g(\hat{x})\}=\tilde{x}+Ker(T),\end{array}$

sendo $\tilde{x}$ tal que $T(\hat{x}-\tilde{x})=g(\hat{x})$.

Demonstraç˜ao. Seja $x\in \Phi (\hat{x})$. Logo, $x=\hat{x}-y$, sendo $y\in 𝕏$ tal que $T(y)=g(\hat{x})$. Desta forma, $T(\hat{x}-x)=g(\hat{x})$, isto é, $x\in \{x\in 𝕏;T(\hat{x}-x)=g(\hat{x})\}$. Por outro lado, se $x\in {ℝ}^n$ é tal que $T(\hat{x}-x)=g(\hat{x})$, então $x=\hat{x}-(\hat{x}-x)\in \Phi (\hat{x})$. Portanto,

$\begin{array}{c}\hfill \Phi (\hat{x})=\{x\in 𝕏;T(\hat{x}-x)=g(\hat{x})\}.\end{array}$

A segunda igualdade segue diretamente do Lema 2.3.$▫$

Lema 2.5 ([9]). Seja $T:𝕏\to 𝕐$ um operador linear contínuo e ${\left\{T\right\}}^{-1}$ é definida como em (2.4). Consideramos

$\begin{array}{c}\hfill \parallel {\left\{T\right\}}^{-1}\parallel =\underset{y\in 𝕐}{sup}\{{\parallel y\parallel }^{-1}inf\{\parallel x\parallel ;x\in 𝕏,T(x)=y\}\}.\end{array}$

Se $Im(T)=𝕐$, então $\parallel {\left\{T\right\}}^{-1}\parallel \infty$.

3 ELEMENTOS DA TEORIA DA P-REGULARIDADE

Seja $F:𝕌\subseteq {ℝ}^n\to {ℝ}^m$, sendo $𝕌$ um aberto não vazio. Como é bem conhecido da literatura, o Teorema de Lyusternik ^[9] é uma ferramenta útil para construção do cone das direções tangentes ao conjunto

$\begin{array}{c}\hfill 𝕄=\{x\in 𝕌;F\left(x\right)=0\}\end{array}$

em $x_0$ quando o operador linear $F^{(1)}(x_0)$ é sobrejetor. Nesses casos, o cone das direções tangentes pode ser obtido via derivada de primeira ordem, mais especificamente, este cone coincide com o núcleo do operador linear $F^{(1)}(x_0)$. Nessas situações e quando $x_0$ é uma solução local fracamente eficiente do problema (2.1), o Teorema de Karush-Kuhn-Tucker ^[10] garante a existência de vetores $\theta \in {ℝ}_{+}^{\ell }\setminus \{0\}$ e $\lambda \in {ℝ}^m$ tais que

$\sum _{j=1}^{\ell }{\theta }_j{f}_j^{(1)}(x_0)+\sum _{j=1}^m{\lambda }_j{F}_j^{(1)}(x_0)=0,$

já que LICQ é verificada em $x_0$. Por outro lado, quando a sobrejetividade do operador $F^{(1)}(x_0)$ é violada, ou equivalentemente, LICQ não é satisfeita em $x_0$, é garantida apenas a inclusão do cone das direções tangentes no núcleo do operador linear $F^{(1)}(x_0)$.

No que se segue, recordamos o conceito de aplicação irregular.

Definição 3.1 ([5]). Dizemos que a aplicação $F:𝕌\subseteq {ℝ}^n\to {ℝ}^m$ é regular em $x_0$ se

$\begin{array}{c}\hfill Im{F}^{(1)}(x_0)={ℝ}^m.\end{array}$ (3.1)

A aplicação $F$ é irregular se (3.1) não é satisfeita.

Consideramos agora o caso em que a condição de regularidade (3.1) não é válida e para tratarmos esse caso faremos uso de um operador linear específico ^[5], cuja construção é descrita a seguir. Suponhamos que para um número natural $p$, seja possível uma decomposição em soma direta do espaço vetorial ${ℝ}^m$, isto é,

$\begin{array}{c}\hfill {ℝ}^m={𝕐}_1\oplus \cdot \cdot \cdot \oplus {𝕐}_p,\end{array}$(3.2)

sendo ${𝕐}_1=Im{F}^{(1)}(x_0)$ e os demais subespaços são definidos da seguinte maneira:

Sejam ${\mathbb{Z}}_2$ o subespaço complementar para ${𝕐}_1$ com respeito à ${ℝ}^m$, isto é,

${ℝ}^m={𝕐}_1\oplus {\mathbb{Z}}_2$

e $P_{{\mathbb{Z}}_2}:{ℝ}^m={𝕐}_1\oplus {\mathbb{Z}}_2\to {\mathbb{Z}}_2$ a projeção definida como

$P_{{\mathbb{Z}}_2}(y)=z_2,$

sendo $y=y_1+z_2$, $y_1\in {𝕐}_1$ e $z_2\in {\mathbb{Z}}_2$. Definimos ${𝕐}_2=span(Im{P}_{{\mathbb{Z}}_2}{F}^{(2)}(x_0){[\cdot ]}^2)$ e indutivamente, temos

$\begin{array}{c}\hfill {𝕐}_i=span(Im{P}_{{\mathbb{Z}}_i}{F}^{(i)}(x_0){[\cdot ]}^i),i=2,...,p-1,\end{array}$(3.3)

sendo ${\mathbb{Z}}_i$, $i=2,...,p$, o subespaço complementar para ${𝕐}_1\oplus \cdot \cdot \cdot \oplus {𝕐}_{i-1}$ com respeito a ${ℝ}^m$ e

$P_{{\mathbb{Z}}_i}:{ℝ}^m={𝕐}_1\oplus {𝕐}_{i-1}\oplus ...\oplus {\mathbb{Z}}_i\to {\mathbb{Z}}_i$(3.4)

é a projeção definida como

$P_{{\mathbb{Z}}_i}(y)=z_i,i=2,...,p,$

sendo $y=y_1+...+y_{i-1}+z_i$, $y_i\in {𝕐}_i$ e $z_i\in {\mathbb{Z}}_i$. Finalmente, definimos ${𝕐}_p={\mathbb{Z}}_p$ e $p$ é escolhido como o número natural mínimo para o qual (3.2) é válido.

Consideramos as seguintes aplicações

$\begin{array}{c}\hfill {\varphi }_i:{ℝ}^n\to {𝕐}_i,i=1,...,p,\end{array}$

definidas como

${\varphi }_i(y)=P_{i}F(y),$

sendo $y=y_1+...+y_i+...+y_p$, $y_i\in {𝕐}_i$ e

$P_i:{ℝ}^m={𝕐}_1\oplus \cdot \cdot \cdot \oplus {𝕐}_p\to {𝕐}_i$

a projeção $P_i(y)=y_i$.

Definição 3.2 ([5]). Seja $h\in {ℝ}^n$ fixado. O operador linear ${\Phi }_p(x_0):{ℝ}^n\to {ℝ}^m$, definido como

$\begin{array}{c}\hfill {\Phi }_p(x_0)=\sum _{i=1}^p{\varphi }_i^{(i)}(x_0){\left[h\right]}^{i-1},\end{array}$

é denominado operador $p$-fator.

Observamos que para cada $i=1,...,p$ e $h\in {ℝ}^n$ fixados, o fator ${\varphi }_i^{(i)}(x_0){\left[h\right]}^{i-1}$ é um operador linear de ${ℝ}^n$ em ${𝕐}_i$. Além disso, temos

${\varphi }_i^{(i)}(x_0){\left[h\right]}^{i-1}=P_i{F}^{(i)}(x_0)[h{]}^{i-1}.$

Particularmente, para $i=1$, temos ${\varphi }_1^{(1)}(x_0)=F^{(1)}(x_0)$.

Definição 3.3 ([5]). Seja $F:𝕌\subseteq {ℝ}^n\to {ℝ}^m$, sendo $𝕌$ um aberto e $F\in {𝒞}^{p+1}\left(𝕌\right)$. Dizemos que a aplicação $F$ é p-regular em $x_0$ com respeito a $h\in {ℝ}^n$ se

$\begin{array}{c}\hfill Im{\Phi }_p(x_0)={ℝ}^m.\end{array}$

Além disso, dizemos que a aplicação $F$ é p-regular em $x_0$ se $F$ é p-regular com respeito a qualquer $h\ne 0$ no conjunto

$\begin{array}{c}\hfill {ℍ}_F(x_0)=\{h\in {ℝ}^n;{\varphi }_i^{(i)}(x_0){\left[h\right]}^i=0,i=1,...,p\}.\end{array}$

Observamos que a p-regularidade definida acima generaliza o conceito de regularidade da Definição 3.1.

4 CONDIÇÕES DE OTIMALIDADE

Nesta seção nosso objetivo é estabelecermos condições necessárias e suficientes de otimalidade para a classe de problemas irregulares definidos como em (2.1). Para esse fim, necessitaremos do seguinte resultado auxiliar:

Lema 4.1. Sejam $F\in {𝒞}^{p+1}\left(𝕌\right)$. Suponhamos que exista $h\in {ℍ}_F(x_0)\setminus \left\{0\right\}$ de modo que $F$ é p-regular em $x_0\in 𝕄$ com respeito a $h$. Seja $w\in {ℝ}^n\setminus \left\{0\right\}$ tal que $F^{(1)}(x_0)w=0$. Então, existem ${\alpha }_0>0$ suficientemente pequeno e uma aplicação $y:(0,{\alpha }_0)\to {ℝ}^n$ tal que $\parallel y(\alpha )\parallel =o({\alpha }^{3/2})$ e

$\begin{array}{c}\hfill F(x_0+\alpha h+{\alpha }^{3/2}w+y(\alpha ))=0.\end{array}$ (4.1)

Demonstração. Sejam $\epsilon ={\alpha }^{3/2}$, $\alpha >0$, $\Vert w\Vert =1$ e $F^{(1)}(x_0)w=0$. Podemos encontrar $h\in {ℍ}_F(x_0)\setminus \left\{0\right\}$, com norma suficientemente pequena e $\Vert h\Vert 1$ de modo que ${\sum }_{i=2}^{p}C\parallel {\varphi }_i^{(i)}(x_0)[h{]}^{i-1}\parallel 1$, sendo $C=\parallel {\{{\Phi }_p(x_0)\}}^{-1}\parallel \infty$ em consequência do Lema 2.5. Definimos a multifunção $\Lambda :{𝔹}_{\epsilon }\left(0\right)\to 2^{{ℝ}^n}$ por

$\begin{array}{c}\hfill \Lambda (y)=y-{\{{\Phi }_p(x_0)\}}^{-1}F(x_0+{\alpha }^{3/2}w+\alpha h+y),\end{array}$

sendo ${\Phi }_p(x_0):{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ o operador p-fator da Definição 3.2.

A seguir mostraremos que a multifunção $\Lambda$ atende às hipóteses do Princípio da Contração para Multifunções (Teorema 2.2) e, portanto, admite um ponto fixo – logo se verifica a equação (4.1). De fato, seja $x\in {𝔹}_{\epsilon }(0)$, logo da sobrejetividade do operador ${\Phi }_p(x_0)$, existe $\hat{x}\in {ℝ}^n$ tal que

${\Phi }_p(x_0)\hat{x}=F(x_0+{\alpha }^{3/2}w+\alpha h+x),$

isto é,

$\hat{x}\in \{{\Phi }_p(x_0){\}}^{-1}F(x_0+{\alpha }^{3/2}w+\alpha h+x).$

Logo, $x-\hat{x}\in \Lambda (x)$ e, portanto, $\Lambda (x)\ne \varnothing$.

Agora verificaremos que $\Lambda (x)$ é fechado para todo $x\in {𝔹}_{\epsilon }(0)$. Com efeito, consideramos uma sequência $(z_n)\subseteq \Lambda (x)$ tal que $z_n\to z$. Logo, para cada $n\in \mathbb{N}$ fixado, temos

$z_n=x-q_n,$

sendo

$\begin{array}{c}\hfill q_n\in {\{{\Phi }_p(x_0)\}}^{-1}F(x_0+{\alpha }^{3/2}w+\alpha h+x),\end{array}$

ou equivalentemente,

$\begin{array}{c}\hfill {\Phi }_p(x_0)(x-z_n)=F(x_0+{\alpha }^{3/2}w+\alpha h+x).\end{array}$(4.2)

Fazendo $n\to \infty$ na igualdade (4.2), temos

${\Phi }_p(x_0)(x-z)=F(x_0+{\alpha }^{3/2}w+\alpha h+x),$

isto é,

$x-z\in {\{{\Phi }_p(x_0)\}}^{-1}F(x_0+{\alpha }^{3/2}w+\alpha h+x)$

e assim, $z=x-(x-z)\in \Lambda (x)$. Logo, $\Lambda (x)$ é fechado.

Sejam $y_1,y_2\in {𝔹}_{\epsilon }(0)$. Aplicando o Lema 2.2 combinado com os Lemas 2.3 e 2.4, temos

$\mathscr{H}(\Lambda (y_1),\Lambda (y_2))=inf\{\parallel z_1-z_2\parallel ;z_i\in \Lambda (y_i),i=1,2\},$

sendo $z_i=y_i-x_i$ e $x_i$ tal que ${\Phi }_p(x_0)x_i=F(x_0+{\alpha }^{3/2}w+\alpha h+y_i).$

Agora fazendo $w_i=F(x_0+{\alpha }^{3/2}w+\alpha h+y_i)$, $i=1,2$, temos

$\begin{array}{ccc}\hfill \mathscr{H}(\Lambda (y_1),\Lambda (y_2))& =\hfill & \hfill inf\{\parallel z_1-z_2\parallel ;{\Phi }_p(x_0)(y_i-z_i)=w_i,i=1,2\}\\ \hfill & =\hfill & \hfill inf\{\parallel z_1-z_2\parallel ;{\Phi }_p(x_0)(z_1-z_2)={\Phi }_p(x_0)(y_1-y_2)+w_2-w_1\}\\ \hfill & \le \hfill & \hfill \parallel {\{{\Phi }_p(x_0)\}}^{-1}\parallel \parallel w_1-w_2-{\Phi }_p(x_0)(y_1-y_2)\parallel \end{array}$(4.3)

$\begin{array}{ccc}\hfill & \le \hfill & \hfill C\underset{t\in [0,1]}{sup}\parallel \hat{\Phi }(t,\alpha ,y_1,y_2,h)\parallel \parallel y_1-y_2\parallel ,\end{array}$(4.4)

sendo

$\hat{\Phi }(t,\alpha ,y_1,y_2,h)=F^{(1)}(x_0+{\alpha }^{3/2}w+\alpha h+y_2+t(y_2-y_1))-{\Phi }_p(x_0).$

Além disso, as desigualdades (4.3) e (4.4) foram obtidas do Lema 2.5 e do Teorema 2.1, respectivamente.

Por expansão de Taylor de $F^{(1)}$, temos

$\begin{array}{c}\hfill F^{(1)}(x_0+\alpha h+{\alpha }^{3/2}w+y_2+t(y_2-y_1))=\end{array}$

$=F^{(1)}(x_0)+F^{(2)}(x_0)[\alpha h+{\alpha }^{3/2}w+y_2+t(y_2-y_1)]+o(\alpha ).$

Desta forma, para todo $t\in [0,1]$, obtemos

$\begin{array}{c}\hfill \parallel \hat{\Phi }(t,\alpha ,y_1,y_2,h)\parallel =\end{array}$

$\begin{array}{ccc}\hfill & =\hfill & \hfill \parallel F^{(2)}(x_0)[\alpha h+{\alpha }^{3/2}w+y_2+t(y_2-y_1)]-\sum _{i=2}^p{\varphi }_i^{(i)}(x_0)[h{]}^{i-1}+o(\alpha )\parallel \\ \hfill & \le \hfill & \hfill \parallel F^{(2)}(x_0)[\alpha h+{\alpha }^{3/2}w+y_2+t(y_2-y_1)]\parallel +\sum _{i=2}^p\parallel {\varphi }_i^{(i)}(x_0)[h{]}^{i-1}\parallel +o(\alpha )\\ \hfill & \le \hfill & \hfill \parallel F^{(2)}(x_0)\parallel \parallel [\alpha h+{\alpha }^{3/2}w+y_2+t(y_2-y_1)]\parallel +\sum _{i=2}^p\parallel {\varphi }_i^{(i)}(x_0)[h{]}^{i-1}\parallel +o(\alpha )\\ \hfill & \hfill & \hfill (\alpha +3{\alpha }^{3/2})\parallel F^{(2)}(x_0)\parallel +\sum _{i=2}^p\parallel {\varphi }_i^{(i)}(x_0)[h{]}^{i-1}\parallel +o(\alpha ).\end{array}$

Logo,

$\begin{array}{c}\hfill \parallel \hat{\Phi }(t,\alpha ,y_1,y_2,h)\parallel (\alpha +3{\alpha }^{3/2})\parallel F^{(2)}(x_0)\parallel +\sum _{i=2}^p\parallel {\varphi }_i^{(i)}(x_0)[h{]}^{i-1}\parallel +o(\alpha ).\end{array}$(4.5)

Por outro lado,

$\begin{array}{c}\hfill \underset{\alpha \to 0}{lim}{\displaystyle \frac{o(\alpha )-(\alpha +3{\alpha }^{3/2})\parallel F^{(2)}(x_0)\parallel }{\alpha }}=-\parallel F^{(2)}(x_0)\parallel 0.\end{array}$

Logo, para $\alpha >0$ suficientemente pequeno, temos

$o(\alpha )(\alpha +3{\alpha }^{3/2})\parallel F^{(2)}(x_0)\parallel$

e por (4.5), obtemos

$\begin{array}{c}\hfill \parallel \hat{\Phi }(t,\alpha ,y_1,y_2,h)\parallel 2(\alpha +3{\alpha }^{3/2})\parallel F^{(2)}(x_0)\parallel +\sum _{i=2}^p\parallel {\varphi }_i^{(i)}(x_0)[h{]}^{i-1}\parallel .\end{array}$(4.6)

Em virtude das desigualdades (4.4) e (4.6), temos

$\begin{array}{ccc}\hfill \mathscr{H}(\Lambda (y_1),\Lambda (y_2))& \le \hfill & \hfill C\underset{t\in [0,1]}{sup}\parallel \hat{\Phi }(t,\alpha ,y_1,y_2,h)\parallel \parallel y_1-y_2\parallel \\ \hfill & \le \hfill & \hfill \theta (\alpha )\parallel y_1-y_2\parallel ,\end{array}$

sendo

$\theta (\alpha )=C(2(\alpha +3{\alpha }^{3/2})\parallel F^{(2)}(x_0)\parallel +\sum _{i=2}^p\parallel {\varphi }_i^{(i)}(x_0)[h{]}^{i-1}\parallel ).$

Como

$\underset{\alpha \to 0}{lim}\theta (\alpha )=\sum _{i=2}^{p}C\parallel {\varphi }_i^{(i)}(x_0)[h{]}^{i-1}\parallel 1,$

logo podemos encontrar $\alpha >0$ suficientemente pequeno tal que $\Phi$ é uma contração.

Denotamos por $d(0,\Lambda (0))$ a distância entre $0$ e $\Lambda (0)$. Assim, temos

$\begin{array}{ccc}\hfill d(0,\Lambda (0))& =\hfill & \hfill inf\{\parallel x\parallel ;x\in \Lambda (0)\}\\ \hfill & =\hfill & \hfill inf\{\parallel x\parallel ;{\Phi }_p(x_0)x=F(x_0+\alpha h+{\alpha }^{3/2}w)\}\\ \hfill & \le \hfill & \hfill \parallel {\{{\Phi }_p(x_0)\}}^{-1}\parallel \parallel F(x_0)+\alpha F^{(1)}(x_0)h+{\alpha }^{3/2}{F}^{(1)}(x_0)w+o({\alpha }^{3/2})\parallel \\ \hfill & =\hfill & \hfill o({\alpha }^{3/2}),\end{array}$(4.7)

sendo que a igualdade (4.7) é decorrente dos fatos que $\parallel {\{{\Phi }_p(x_0)\}}^{-1}\parallel \infty$, $x_0\in 𝕄$, $h\in {ℍ}_F(x_0)$ e $F^{(1)}(x_0)w=0$. Por fim, temos

$\begin{array}{c}\hfill \underset{\alpha \to 0}{lim}{\displaystyle \frac{d(0,\Lambda (0))-(1-\theta (\alpha )){\alpha }^{3/2}}{{\alpha }^{3/2}}}=-1+\sum _{i=2}^{p}C\parallel {\varphi }_i^{(i)}(x_0)[h{]}^{i-1}\parallel 0.\end{array}$

Logo, podemos encontrar $\alpha >0$ suficientemente pequeno tal que

$\begin{array}{c}\hfill d(0,\Lambda (0))(1-\theta (\alpha )){\alpha }^{3/2}.\end{array}$

Dessa forma, de acordo com o Teorema 2.2, existem ${\alpha }_0>0$ suficientemente pequeno e uma aplicação $y(\alpha ):(0,{\alpha }_0)\to {ℝ}^n$ tal que

$\begin{array}{c}\hfill y(\alpha )\in \Lambda (y(\alpha )),\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{c}\hfill F(x_0+{\alpha }^{3/2}w+\alpha h+y(\alpha ))=0.\end{array}$

Além disso,

$\begin{array}{ccc}\hfill \parallel y(\alpha )\parallel & \le \hfill & \hfill {\displaystyle \frac{2}{1-\theta (\alpha )}}d(0,\Lambda (0))\\ \hfill & =\hfill & \hfill o({\alpha }^{3/2}).\end{array}$

$▫$ A função Lagrangeana usual admite a seguinte generalização:

Definição 4.1.A função Lagrangeana p-fator

$ℒ:{ℝ}^n\times {ℝ}^n\times {ℝ}_{+}^{\ell }\times {ℝ}^{pn}\to ℝ$

do problema (2.1) com respeito a $h\in {ℝ}^n$ associada ao operador p-fator da Definição 3.2 é

$\begin{array}{c}\hfill ℒ(x,h,\theta ,\lambda )=\sum _{k=1}^{\ell }{\theta }_k{f}_k(x)+\sum _{i=1}^p{\varphi }_i^{(i-1)}(x){\left[h\right]}^{i-1}{\lambda }_i,\end{array}$

sendo $\theta =\theta (h)$, $\lambda =({\lambda }_1,...,{\lambda }_p)$ e ${\lambda }_i={\lambda }_i(h),i=1,...,p.$ A Lagrangeana p-fator reduz-se a Lagrangeana usual quando $p=1$.

No próximo resultado mostraremos a insolubilidade de um certo sistema, fato fundamental para provarmos as condições necessárias de otimalidade, no sentido da eficência fraca, para o problema (2.1).

Teorema 4.1. Sejam $x_0$ uma solução local fracamente eficiente do problema (2.1), $f\in {𝒞}^2\left(𝕌\right)$ e $F\in {𝒞}^{p+1}\left(𝕌\right)$. Suponhamos que exista $h\in {ℍ}_F(x_0)\setminus \left\{0\right\}$ tal que $F$ é $p$- regular em $x_0$ com respeito à $h$ e $f_k^{(1)}(x_0)h\le 0$, $k\in 𝕂$. Então o sistema

$\begin{array}{c}\hfill \{\begin{array}{ccc}\hfill f_k^{(1)}(x_0)d& \hfill & 0,k\in 𝕂\hfill \\ \hfill {\varphi }_i^{(i)}(x_0){\left[h\right]}^{i-1}d& =\hfill & 0,i=1,...,p\hfill \end{array}\end{array}$ (4.8)

não tem solução $d\in {ℝ}^n$.

Demonstração. Suponhamos que $d\in {ℝ}^n$ é uma solução do sistema (4.8). Da hipótese de p-regularidade de $F$ em $x_0$ com respeito a $h\in {ℍ}_F(x_0)\setminus \{0\}$ e, em virtude do Lema 4.1, é possível encontrarmos ${\alpha }_0>0$ suficientemente pequeno e uma curva $x:(0,{\alpha }_0)\to {ℝ}^n$ tal que $\Vert x(\alpha )\Vert =o({\alpha }^{3/2})$,

$x(\alpha )=x_0+\alpha h+{\alpha }^{3/2}d+y(\alpha )\mathrm{\text{e}}F(x(\alpha ))=0.$

Por expansão de Taylor de $f_k$, para cada $k\in 𝕂$ fixado e das desigualdades $f_k^{(1)}(x_0)h\le 0$ e $f_k^{(1)}(x_0)d0$, $k\in 𝕂$, podemos encontrar $\alpha >0$ suficientemente pequeno tal que

$f_k(x(\alpha ))=f_k(x_0+\alpha h+{\alpha }^{3/2}d+y(\alpha ))f_k(x_0).$

Isto contradiz a eficiência fraca local do problema (2.1) e, portanto, o sistema (4.8) não tem solução.$▫$

Enfim, provaremos condições necessárias de otimalidade para o problema (2.1).

Teorema 4.2. Sejam $x_0$ uma solução local fracamente eficiente do problema (2.1), $f\in {𝒞}^2\left(𝕌\right)$ e $F\in {𝒞}^{p+1}\left(𝕌\right)$. Suponhamos que exista $h\in {ℍ}_F(x_0)\setminus \left\{0\right\}$ tal que $F$ é $p$- regular em $x_0$ com respeito a $h$ e $f_k^{(1)}(x_0)h\le 0$, $k\in 𝕂$. Então, existem $\theta =\theta (h)\in {ℝ}_{+}^{\ell }\setminus \{0\}$ e ${\lambda }_i={\lambda }_i(h)\in {𝕐}_i,i=1,...,p$, tais que

$\begin{array}{c}\hfill {ℒ}_x^{(1)}(x_0,h,\theta ,\lambda )=\sum _{k=1}^{\ell }{\theta }_k{f}_k^{(1)}(x_0)+\sum _{i=1}^p{({\varphi }_i^{(i)}(x_0){\left[h\right]}^{i-1})}^{*}{\lambda }_i=0,\end{array}$

sendo ${ℒ}_x^{(1)}$ a derivada de primeira ordem de Lagrangeana p-fator com respeito à variável $x$ e ${({\varphi }_i^{(i)}(x_0){\left[h\right]}^{i-1})}^{*}$, $i=1,...,p$, denota o operador linear adjunto.

Demonstração. De acordo com o Teorema 4.1, o sistema (4.8) não tem solução $d\in {ℝ}^n$. Então, pelo Teorema de Alternativa de Motzkin ^[12], existem $\theta \in {ℝ}_{+}^{\ell }\setminus \{0\}$ e ${\lambda }_i\in {𝕐}_i$ tais que

$\begin{array}{c}\hfill {ℒ}_x^{(1)}(x_0,h,\theta ,\lambda )=\sum _{k=1}^{\ell }{\theta }_k{f}_k^{(1)}(x_0)+\sum _{i=1}^p{({\varphi }_i^{(i)}(x_0){\left[h\right]}^{i-1})}^{*}{\lambda }_i=0,\end{array}$

o que completa a prova.$▫$

Exemplo 1. Segue um exemplo para ilustrarmos o teorema anterior.

$$\begin{array}{r}\text{Minimizar}f(x)=\left[\begin{array}{c}{x}_4-x_1\\ x_2+x_3\end{array}\right]\$\\ \text{Sujeito a}x\in \mathbb{M}=\{x\in {\mathbb{R}}^4;x_4-x_1-x_2^2-x_3^2=0,-x_4{x}_1+x_2{x}_3=0\}.\end{array}$$ (4.9)

Neste caso $f_1(x)=x_4-x_1$, $f_2(x)=x_2+x_3$, $F_1(x)=x_4-x_1-x_2^2-x_3^2$ e $F_2(x)=-x_4{x}_1+x_2{x}_3$. É fácil verificarmos que $x_0=\left[\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right]$ é uma solução fracamemte eficiente do problema (4.9). Além disto, notamos que

$$\begin{array}{r}{F}^{(1)}(x_0)=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\text{e}{F}^{(2)}(x_0)h=\left[\begin{array}{cccc}0& -2h_2& -2h_3& 0\\ -h_4& h_3& h_2& -h_1\end{array}\right].\end{array}$$

Observamos que $Im{F}^{(1)}(x_0)=span\left\{\left[\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right]\right\}\ne {ℝ}^2$, isto é, $F$ é irregular em $x_0$. Por outro lado, fazendo ${𝕐}_1=span\left\{\left[\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right]\right\}$ e ${𝕐}_2=span\left\{\left[\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right]\right\}$, logo ${ℝ}^2={𝕐}_1\oplus {𝕐}_2$. Desta forma, da projeção ortogonal $P:{ℝ}^2\to {𝕐}_2$, temos

$$\begin{array}{rcl}P{F}^{(2)}(x_0)h=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ -h_4& h_3& h_2& -h_1\end{array}\right]\text{e}P{F}^{(2)}(x_0)[h{]}^2& =& \left[\begin{array}{c}0\\ -2h_1{h}_4+2h_2{h}_3\end{array}\right].\end{array}$$

Assim, o operador 2-fator ${\Phi }_2(x_0):{ℝ}^4\to {ℝ}^2$ é definido como

$$\begin{array}{r}{\mathrm{\Phi }}_2(x_0)=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 1\\ -h_4& h_3& h_2& -h_1\end{array}\right].\end{array}$$

Além disso,

$\begin{array}{c}\hfill {ℍ}_F(x_0)=\{h\in {ℝ}^4;h_1=h_4,h_1{h}_4=h_2{h}_3\}.\end{array}$

Observamos que para todo $h\in {ℍ}_F(x_0)\setminus \left\{0\right\}$, temos $Im{\Phi }_2(x_0)={ℝ}^2$, ou seja, $F$ é 2-regular em $x_0$. Particularmente, para $h=\left[\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill -1\hfill \\ \hfill -1\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right]\in {ℍ}_F(x_0)$, obtemos

$$\begin{array}{rcl}{f}_1^{(1)}(x_0)h=0,f_2^{(1)}(x_0)h=-2\text{e}P{F}^{(2)}(x_0)h& =& \left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ -1& -1& -1& -1\end{array}\right].\end{array}$$

Sejam $\lambda =\left[\begin{array}{c}\hfill {\lambda }_1\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right]\in {𝕐}_1$ e $\beta =\left[\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill {\beta }_2\hfill \end{array}\right]\in {𝕐}_2$. Logo, a igualdade

$$\begin{array}{rcl}0& =& {\theta }_1{f}_1^{(1)}(x_0)+{\theta }_2{f}_2^{(1)}(x_0)+{(F^{(1)}(x_0))}^{\ast }\lambda +{(P{F}^{(2)}(x_0)h)}^{\ast }\beta \\ & =& {\theta }_1\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]+{\theta }_2\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+{\lambda }_1\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]+{\beta }_2\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\\ -1\end{array}\right]\end{array}$$

se cumpre para ${\theta }_1=-{\lambda }_1$, com ${\lambda }_{1}0$, ${\theta }_2=0$ e ${\beta }_2=0$.

Para finalizarmos esta seção, provaremos condições suficientes, no sentido da eficiência fraca e da eficiência própria, para os problemas irregulares definidos como em (2.1). Para isso, enunciamos o seguinte lema:

Lema 4.2 ( [4]). Seja $F\in {𝒞}^{p+1}\left(𝕍\right)$, sendo $𝕍$ uma vizinhança de $x_0$ e suponhamos que $F$ é p-regular em $x_0$. Então, para todo $x\in 𝕍$, temos

$x=x_0+\alpha h+y(\alpha ),$

sendo $\Vert y(\alpha )\Vert \le C.{\alpha }^2$, $|\alpha |=\Vert x-x_0\Vert +o(\Vert x-x_0\Vert )$, $h\in {ℍ}_F(x_0)$, $\Vert h\Vert =1$ e $C>0$.

Teorema 4.3. Sejam $f\in {𝒞}^2\left(𝕌\right)$ e $F\in {𝒞}^{p+1}\left(𝕌\right)$. Suponhamos que $F$ é $p$- regular em $x_0$ e existam $\theta =\theta (h)\in {ℝ}_{+}^{\ell }\setminus \{0\}$ e ${\lambda }_i={\lambda }_i(h)\in {𝕐}_i,i=1,...,p$ tais que

$\begin{array}{c}\hfill {ℒ}_x^{(1)}(x_0,h,\theta ,\lambda )=\sum _{k=1}^{\ell }{\theta }_k{f}_k^{(1)}(x_0)+\sum _{i=1}^p{[{\varphi }_i^{(i)}(x_0){\left[h\right]}^{i-1}]}^{*}{\lambda }_i=0.\end{array}$ (4.10)

Se existem multiplicadores ${\hat{\lambda }}_i={\displaystyle \frac{2}{i(i+1)}}{\lambda }_i(h)\in {𝕐}_i,i=1,...,p$, tais que

$\begin{array}{c}\hfill {ℒ}_{xx}^{(2)}(x_0,h,\theta ,\hat{\lambda })[h{]}^2>0,\end{array}$

para todo $h\in {ℍ}_F(x_0)$, então $x_0$ é uma solução local fracamente eficiente do problema (2.1). (Aqui, ${ℒ}_{xx}^{(2)}$ denota a derivada de segunda ordem da Lagrangeana p-fator com respeito à variável $x$).

Demonstração. Sejam $\theta \in {ℝ}_{+}^{\ell }\setminus \{0\}$ assumido na hipótese e $g(x)={\sum }_{k=1}^{\ell }{\theta }_k{f}_k(x)$. Mostraremos que $x_0$ é um minimizador local do problema

$\begin{array}{c}\hfill \mathrm{\text{Minimizar}}g(x)\\ \hfill \mathrm{\text{Sujeito a}}F(x)=0.\end{array}$(4.11)

De fato, sejam $𝕍$ uma vizinhança de $x_0$ e $x\in 𝕍$ tal que $F(x)=0$. Em virtude do Lema 4.2, podemos escrever a variável $x$ da seguinte forma

$x=x_0+\alpha h+y(\alpha ),$

sendo $\Vert y(\alpha )\Vert \le C.{\alpha }^2$, $|\alpha |=\Vert x-x_0\Vert +o(\Vert x-x_0\Vert )$, $h\in {ℍ}_F(x_0)$, $\Vert h\Vert =1$ e $C>0$.

Sejam ${\lambda }_i={\lambda }_i(h)\in {𝕐}_i,i=1,...,p$ satisfazendo (4.10) e $\alpha \ne 0$. Desta forma, temos

$\begin{array}{ccc}\hfill g(x)-g(x_0)& =\hfill & \hfill g(x)-g(x_0)+{\lambda }_1{\varphi }_1(x)+{\displaystyle \frac{{\lambda }_2{\varphi }_2(x)}{\alpha }}+...+{\displaystyle \frac{{\lambda }_p{\varphi }_p(x)}{{\alpha }^{p-1}}}\\ \hfill & =\hfill & \hfill g^{(1)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha )]+{\displaystyle \frac{g^{(2)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^2}{2}}+o({\alpha }^2)\\ \hfill & +\hfill & \hfill {\lambda }_{1}F(x_0+\alpha h+y(\alpha ))+{\displaystyle \frac{{\lambda }_2{P}_{2}F(x_0+\alpha h+y(\alpha ))}{\alpha }}+\\ \hfill & +\hfill & \hfill ...+{\displaystyle \frac{{\lambda }_p{P}_{p}F(x_0+\alpha h+y(\alpha ))}{{\alpha }^{p-1}}}\\ \hfill & =\hfill & \hfill g^{(1)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha )]+{\displaystyle \frac{g^{(2)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^2}{2}}+o({\alpha }^2)\\ \hfill & +\hfill & \hfill {\lambda }_1(F^{(1)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha )]+{\displaystyle \frac{F^{(2)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^2}{2}})\\ \hfill & +\hfill & \hfill {\lambda }_2{P}_2({\displaystyle \frac{F^{(1)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha )]}{\alpha }}+...+{\displaystyle \frac{F^{(3)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^3}{6\alpha }})\\ \hfill & ⋮\hfill & \hfill \\ \hfill & +\hfill & \hfill {\lambda }_p{P}_p({\displaystyle \frac{F^{(1)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha )]}{{\alpha }^{p-1}}}+...+{\displaystyle \frac{F^{(p+1)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^{p+1}}{(p+1)!{\alpha }^{p-1}}}),\end{array}$

sendo $P_i$, $i=1,...,p$ as projeções definidas como em (3.4). Além disto, como $P_i{F}^{(j)}(x_0)=0$, para $i>j$, segue que

$\begin{array}{ccc}\hfill g(x)-g(x_0)& =\hfill & \hfill g^{(1)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha )]+{\displaystyle \frac{g^{(2)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^2}{2}}+o({\alpha }^2)\\ \hfill & +\hfill & \hfill {\lambda }_1(F^{(1)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha )]+{\displaystyle \frac{F^{(2)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^2}{2}})\\ \hfill & +\hfill & \hfill {\lambda }_2{P}_2({\displaystyle \frac{F^{(2)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^2}{2\alpha }}+{\displaystyle \frac{F^{(3)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^3}{6\alpha }})\\ \hfill & ⋮\hfill & \hfill \\ \hfill & +\hfill & \hfill {\lambda }_p{P}_p({\displaystyle \frac{F^{(p)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^p}{p!{\alpha }^{p-1}}}+{\displaystyle \frac{F^{(p+1)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^{p+1}}{(p+1)!{\alpha }^{p-1}}}).\end{array}$

Agora, consideramos

$\begin{array}{ccc}\hfill A_1& =\hfill & \hfill g^{(1)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha )]+{\lambda }_1{F}^{(1)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha )]\\ \hfill & +\hfill & \hfill {\lambda }_2{P}_2{\displaystyle \frac{F^{(2)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^2}{2\alpha }}+...+{\lambda }_p{P}_p{\displaystyle \frac{F^{(p)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^p}{p!{\alpha }^{p-1}}}+o({\alpha }^2)\end{array}$

e

$\begin{array}{ccc}\hfill A_2& =\hfill & \hfill {\displaystyle \frac{g^{(2)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^2}{2}}+{\lambda }_1{\displaystyle \frac{F^{(2)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^2}{2}}\\ \hfill & +\hfill & \hfill {\lambda }_2{P}_2{\displaystyle \frac{F^{(3)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^3}{6\alpha }}+...+{\lambda }_p{P}_p{\displaystyle \frac{F^{(p+1)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^{p+1}}{(p+1)!{\alpha }^{p-1}}}.\end{array}$

Pela definição de ${ℒ}_x^{(1)}(x_0,h,\theta ,\lambda )$ e $y(\alpha )$, obtemos

$\begin{array}{ccc}\hfill A_1& =\hfill & \hfill (\sum _{k=1}^{\ell }{\theta }_k{f}_k^{(1)}(x_0)+{(F^{(1)}(x_0))}^{*}{\lambda }_1+{\left(P_2{\displaystyle \frac{F^{(2)}(x_0)[h]}{2}}\right)}^{*}{\lambda }_2)(\alpha h+y(\alpha ))\\ \hfill & +\hfill & \hfill ...+{\left(P_p{\displaystyle \frac{F^{(p)}(x_0)[h{]}^{p-1}}{p!}}\right)}^{*}{\lambda }_p(\alpha h+y(\alpha ))+o({\alpha }^2)\\ \hfill & =\hfill & \hfill {ℒ}_x^{(1)}(x_0,h,\theta ,\lambda )(\alpha h+y(\alpha ))+o({\alpha }^2)=o({\alpha }^2).\end{array}$

Também, temos

$\begin{array}{ccc}\hfill A_2& =\hfill & \hfill {\displaystyle \frac{\sum _{k=1}^{\ell }{\theta }_k{f}_k^{(2)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^2}{2}}+{\lambda }_1{\displaystyle \frac{F^{(2)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^2}{2}}\\ \hfill & +\hfill & \hfill {\lambda }_2{P}_2{\displaystyle \frac{F^{(3)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^3}{6\alpha }}+...+{\lambda }_p{P}_p{\displaystyle \frac{F^{(p+1)}(x_0)[\alpha h+y(\alpha ){]}^{p+1}}{(p+1)!{\alpha }^{p-1}}}\\ \hfill & =\hfill & \hfill {ℒ}_{xx}^{(2)}(x_0,h,\theta ,\hat{\lambda })[\alpha h{]}^2+o({\alpha }^2).\end{array}$

Finalmente, da hipótese ${ℒ}_{xx}^{(2)}(x_0,h,\theta ,\hat{\lambda })[h{]}^2>0$, para todo $h\in {ℍ}_F(x_0)$ e para $\alpha >0$ suficientemente pequeno, temos

$\begin{array}{ccc}\hfill g(x)-g(x_0)& =\hfill & \hfill A_1+A_2\ge {ℒ}_{xx}^{(2)}(x_0,h,\theta ,\hat{\lambda })[\alpha h{]}^2+o({\alpha }^2)>0\end{array}$

para todo $x\in 𝕍$. Logo, $x_0$ é um minimizador local estrito do problema (4.11). Assim, em virtude do item $(i)$ do Lema 2.1, $x_0$ é uma solução local fracamente eficiente do problema (2.1).$▫$

Para ilustramos o teorema anterior, mostraremos que o $x_0$ do Exemplo 1 é de fato uma solução local fracamente eficiente do problema (4.9). Primeiramente, observamos que para todo $h\in {ℍ}_F(x_0)\setminus \{0\}$ a igualdade

$\begin{array}{c}\hfill {\theta }_1{f}_1^{(1)}(x_0)+{\theta }_2{f}_2^{(1)}(x_0)+{(F^{(1)}(x_0))}^{*}\lambda +{(P{F}^{(2)}(x_0)h)}^{*}\beta =0,\end{array}$

é verificada para $\lambda =\left[\begin{array}{c}\hfill {\lambda }_1\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right]\in {𝕐}_1$, $\beta =\left[\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill {\beta }_2\hfill \end{array}\right]\in {𝕐}_2$, ${\theta }_1=-{\lambda }_1>0$ e ${\theta }_2={\beta }_2=0$. Agora é fácil verificarmos que

$\begin{array}{c}\hfill {ℒ}_{xx}^{(2)}(x_0,h,\theta ,\hat{\lambda })[h]={\lambda }_1{F}_1^{(2)}(x_0)[h]=-2{\lambda }_1(h_2^2+h_3^2)>0\end{array}$

para todo $h\in {ℍ}_F(x_0)\setminus \{0\}$. Pelo Teorema 4.3, $x_0$ é uma solução local fracamente eficiente do problema (4.9).

Corolário 4.3.1. Além das hipóteses do Teorema 4.3, suponha que exista $\theta =\theta (h)\in {ℝ}_{+}^{\ell }\setminus \{0\}$, com ${\theta }_k>0$ satisfazendo (4.10). Então $x_0$ é uma solução local propriamente eficiente do problema (2.1).

Demonstração. A demonstração segue as mesmas linhas da demonstração anterior, todavia, da hipótese que ${\theta }_k>0$, $k\in 𝕂$ mais o item $(ii)$ do Lema 2.1, concluímos que $x_0$ é uma solução local propriamente eficiente do problema (2.1).$▫$

5 CONCLUSÕES

Até o momento, existe pouca literatura referente às condições de otimalidade para problemas multiobjetivos irregulares. Nosso artigo preenche esta lacuna e generaliza os resultados de ^[4] para problemas escalares ao caso multiobjetivo. Baseando-nos na Teoria da p-regularidade obtivemos condições necessárias e suficientes para problemas irregulares multiobjetivos com restrições de igualdade. Apresentamos os resultados em dimensão finita por clareza de exposição. Num trabalho futuro estenderemos as ideias a espaços de Banach e adicionaremos restrições de desigualdade ver ^[15].

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  13 Dez 2019
• Data do Fascículo
  Sep-Dec 2019

Histórico

• Recebido
  7 Dez 2018
• Aceito
  15 Maio 2019