Resumo em Espanhol:

Resumen En este artículo se presenta el modelo Espacio de Trabajo Matemático (ETM). Se pone de manifiesto el dinamismo de este modelo para reflexionar sobre la acción del profesor en el aula y sobre elementos importante a tener en cuenta en su formación. Los ETM se construyen con base en el conocimiento matemático y la experiencia del sujeto al hacer matemáticas, de ahí que su organización remita a dos planos: el epistemológico y el cognitivo, que serán el centro de la discusión de este trabajo. Se presentan las contribuciones al monográfico en las dinámicas que establecen el rol del docente en los conocimientos y las interacciones en el aula, desde dos puntos de vista en la formación de docente y en el rol del docente con los alumnos.

Resumo em Inglês:

Abstract In this article, the Mathematical Working Space model (MWS) is presented. It shows the dynamism of this model to reflect on the teacher's actions in the classroom and on the important elements to consider in their training. The MWS is built based on the mathematical knowledge and experience of the subject to do mathematics, hence the organization refers to two planes: the epistemological and the cognitive one, which will be the centre of the discussion in this work. Monographic contributions in the dynamics that are established in the role of the teacher in the knowledge and the interactions in the classroom are presented, from two points of view, from the teacher's training and from the teacher's role with the students.

Resumo em Espanhol:

Resumen La formación de profesores de primaria, en Francia como en Grecia, pone el acento en los números naturales y el sistema posicional. La introducción de bases diferentes de diez muestra que los Espacio de Trabajo Matemático (ETM) personales son guiadados por el componente semiótico (representamen) reducido a la base diez y que una parte del trabajo se puede interpretar como un cambio de dominio, entre la base diez y las otras bases. Proponemos retomar los análisis semióticos y estadísticos de una experimentación realizada en Francia y en Grecia con el modelo de los ETM que permite tomar en cuenta los diferentes componentes del trabajo matemático. El estudio finaliza con una experimentación elaborada en base siete que parece ayudar a la conceptualización y a la coordinación de los ETM relativos a los números en diferentes bases.

Resumo em Inglês:

Abstract Primary school teachers’ training in France and Greece emphasizes natural numbers and the positional system. The introduction of bases other than ten shows that personal ETMs are guided by semiotic component (representamen) reduced to the ten base and that some of the work can be interpreted as a change of domain between the ten base and the other bases. This work will resume the semiotic, praxeological and statistical analysis conducted for an experiment in France and Greece using the Mathematical Working Space (MWS) model, which allows us to take into account the different components of the mathematical work. The study was completed by an experiment developed on a seven base that seemed to help in the conceptualization and coordination between the MWS related to the different bases.

Resumo em Espanhol:

Resumen En esta investigación se muestran resultados de un estudio con profesores de matemática de liceo en Chile, en temáticas de geometría euclidiana que articulan los enfoques sintético y analítico. El estudio presenta una situación de referencia que favorece ciertas rutas de trabajo específicas. La investigación se sustenta en el enfoque Espacio de Trabajo Matemático y estudia el trabajo personal del profesor con un enfoque metodológico cualitativo. La evidencia empírica proporciona elementos que permiten caracterizar los paradigmas en el subdominio cartesiano, lo cual ha sido un aporte al constructo teórico.

Resumo em Inglês:

Abstract The results of a research about Chilean teachers of Mathematics are shown in this investigation, in subject matters of Euclidean geometry, which articulates the approaches synthetically and analytically. The study presents a situation of reference that favors certain specific phases of work. The investigation sustains in the approach Mathematical Working Space and studies the personal work of the teacher with a methodological qualitative approach. The empirical evidence provides elements that allows us to characterize the paradigms in the cartesian sub-domain, which has been a contribution to the theoretical frame.

Resumo em Português:

Resumo A finalidade de este artigo é o de explicitar de forma exacta e completa alguns dos elementos que organizam um espaço de trabalho efectivo para problemas de lugares geométricos em ambientes tecnológicos. Explora-se como 52 futuros professores de matemática progridem na sua concepção de lugares geométricos através da apropriação das funcionalidades de cada ambiente (ferramenta), em relação com a própria prática como estudiantes e o seu futuro exercício profissional. Com base em sistemas de geometria dinâmica comparam-se três ferramentas, as diferentes representações matemáticas dos lugares geométricos geradas por elas, tanto da perspectiva da sua dinâmica matemática como das suas funcionalidades didácticas. As funcionalidades didácticas proporcionadas pelo desenhador estudaram-se desde o modelo Espaço de Trabalho Matemático (ETM). Este modelo põe em relevo a necessidade de articular para o trabalho geométrico os níveis epistemológicos e cognitivos através de diferentes géneses de raciocínio (visual, instrumental e discursiva).

Resumo em Espanhol:

Resumen La finalidad de este artículo es precisar algunos de los elementos que organizan un espacio de trabajo efectivo para problemas de lugares geométricos en entornos tecnológicos. Se explora como 52 futuros profesores de matemáticas progresan en su concepción de lugares geométricos a través de la apropiación de las funcionalidades específicas de cada entorno (herramienta), en relación con su propia práctica como estudiantes y su futuro ejercicio profesional. Con base en sistemas de geometría dinámica se comparan tres herramientas, las diferentes representaciones matemáticas de los lugares geométricos generadas por ellas, tanto desde la perspectiva de su dinámica matemática como de sus funcionalidades didácticas. Las funcionalidades didácticas proporcionadas desde el diseñador se han estudiado desde el modelo Espacio de Trabajo Matemático (ETM). Este modelo pone de relieve la necesidad de articular para el trabajo geométrico los niveles epistemológico y cognitivo a través de diferentes génesis de razonamiento (visual-discursiva, instrumental y discursiva).

Resumo em Inglês:

Abstract The purpose of this article is to clarify some of the elements involved in an effective workspace for problems related to geometric loci in technological environments. It analyzes how 52 prospective math teachers progress in their conception of the concept of geometric locus through the appropriation of the specific features of each environment (tool) in relation to their own practice as students and their future professional activity. The mathematical representations of loci generated by three different dynamic geometry tools have been compared, both from the perspective of their mathematical dynamics and their didactic functions. The didactic functionalities provided from the designer have been studied from the Mathematical Working Space model (MWS). This model highlights the need to coordinate the geometric work on the epistemological and cognitive levels through different genesis of reasoning (visual-discursive, instrumental and discursive).

Resumo em Espanhol:

Resumen Este trabajo analiza la influencia de contextos ricos en tecnología digital sobre los Espacios de Trabajo Matemático (ETM). En particular, pretende poner de manifiesto cómo el uso de la tecnología propicia, por una parte, la modificación de roles en los agentes implicados en el proceso de enseñanza-aprendizaje y, por otra, la aparición de ETM compartidos. Utilizando el enfoque de la metodología observacional y el trabajo colaborativo en resolución de problemas como estrategia didáctica con estudiantes para maestro, se ilustrará: (a) cómo influye la interactividad con una i-actividad y el uso de herramientas de comunicación asincrónicas en la construcción de ETM compartidos, y (b) cómo la i-actividad y los estudiantes asumen parcialmente el rol del docente en la gestión de ETM personales y compartidos, ayudados éstos por la tecnología digital.

Resumo em Inglês:

Abstract This work analyzes the influence of technologically rich environments on Mathematical Working Spaces (MWS). In particular, it aims to show how the use of technology fosters, on one hand, changes in the role adopted by agents of the teaching-learning processes, and, on the other hand, the arising of shared MWS. Using observational methodology and collaborative work on problem solving as a didactical strategy with student teachers, we shall illustrate: (a) how the interactivity with an i-activity and the use of asynchronous communication tools influences the construction of shared MWS; and (b) how the i-activity and the students partially take the instructor's role in the management of Personal and shared MWS, aided by digital technology.

Resumo em Espanhol:

Resumen La presentación tradicional del anillo de los enteros se enfrenta a dificultades de comprensión del producto por parte de los alumnos, con la famosa regla de los signos. Nuestra hipótesis de trabajo es que la sola representación del producto de dos naturales como área de un rectángulo puede dificultar la visión del producto de dos enteros, y que entonces, en el esquema de los Espacios de Trabajo Matemático, se necesita otro soporte visual para la génesis semiótica de los enteros. Experimentamos un recurso didáctico vinculado con una construcción publicada por Descartes en su suplemento geométrico del Discurso del Método. Observamos que este acercamiento geométrico del producto puede generar dificultades, en particular relacionadas con la propiedad distributiva del producto sobre la suma. Una explicación resulta de la consideración del producto de enteros como procept. De donde surge la propuesta de tomar en cuenta la homotecia para la elaboración de una progresión didáctica al servicio de la enseñanza de los enteros y más generalmente de los números con signo.

Resumo em Inglês:

Abstract The traditional presentation of the integers ring generates difficulties for learning the product with its well-known signs rule. Our working hypothesis is that the solely representation of the product of two natural numbers by the area of a rectangle can hinder the vision of the product of two integers. Referring us to the scheme of Mathematical Working Spaces, we need another representation for the semiotic genesis of the integers. We tested didactical resources coming out from a geometrical construction made by Descartes in his geometric supplement of the Discourse on the Method, but we observed that this geometric introduction of the product can also produce difficulties, because it does not easily illustrate the distributive law. We may explain this phenomenon considering the product of numbers as a procept. Thus, the homothetic transformations of the Cartesian plane constitute a convenient geometrical resource that we may propose for teaching of the integers and, more generally, the numbers with a sign.

Resumo em Espanhol:

Resumen Este artículo, desde un marco de referencia práctico, bosqueja desde las teorías de educación matemática y de neurociencia el paso del razonamiento del alumno al razonamiento deductivo idóneo en la Geometría Euclídea. Cómo este paso puede ser facilitado (o impedido) por la emoción y/o dirigido por la atención. Se pone de manifiesto que la cuestión de razonamiento deductivo de una persona no es una meramente cognitivo, pero puede involucrar a los aspectos afectivos relacionados con la percepción - en particular la percepción de sentido de los datos- y la emoción. El modelo utilizado es el de Espace de Travail Mathématique, la traducción en inglés de lo que se conoce como Mathematical Working Spaces (MWS). Los aspectos de neurociencia que se han utilizado pertenecen a las corrientes de tratamiento de la atención (as top-down and bottom-up attention). La perspectiva de la investigación profesional está basada en la enseñanza práctica ‘noticing’ de Mason. Los datos cualitativos analizados en este informe incluyen entrevistas individuales con los profesores en servicio y notas reflexivas de la enseñanza. La Geometría euclidiana se utiliza como un medio para estudio de la transición de 'parece' a una razonada tiene 'que ser'.

Resumo em Inglês:

Abstract Within a practitioner researcher framework, this paper draws on a particular mathematics education theory and aspects of neuroscience to show that, from a learner’s perspective, moving to a deductive reasoning style appropriate to basic Euclidean geometry, can be facilitated, or impeded, by emotion and/or directed attention. This shows that the issue of a person’s deductive reasoning is not a merely cognitive one, but can involve affective aspects related to perception – particularly perception of nearby sense data – and emotion. The mathematics education theory that has been used is that of the Espace de Travail Mathématique, the English translation of which is known as Mathematical Working Spaces (MWS). The aspects of neuroscience that have been used pertain to the distinct processing streams known as top-down and bottom-up attention. The practitioner research perspective is aligned with Mason’s teaching-practice-based ‘noticing’; qualitative data analysed in this report include individual interviews with school teachers on in-service courses and reflective notes from teaching. Basic Euclidean geometry is used as the medium for investigating transition from ‘it looks like’ to a reasoned ‘it has to be’.

Resumo em Português:

Resumo Na última década o Grupo de Estudo e Pesquisa sobre Formação de Professores que Ensinam Matemática – GEPEFOPEM (Brasil) investigou grupos de formação de professores que se constituíram como Comunidades de Prática – CoPs. Este artigo tem como objetivos discutir o que se tornou ponto de enfoque na prática de uma dessas CoPs no trabalho com o Raciocínio Proporcional e elementos da prática de quatro CoPs que promoveram o desenvolvimento da identidade profissional de seus membros. Para obtenção das informações analisamos os processos de negociação de significados, os conhecimentos mobilizados, e a dinâmica das CoPs a partir das interações nos diferentes grupos e da produção escrita de seus membros. A análise evidenciou que o autoconhecimento, as crenças e concepções, os conhecimento profissionais, a vulnerabilidade e o sentido de agência se tornaram pontos de enfoque da CoP no estudo do raciocínio proporcional, bem com os elementos da prática das quatro CoPs que promoveram o desenvolvimento da identidade profissional, nomeadamente: os repertórios compartilhados, relatos e discussões de suas práticas pedagógicas, existência de um plano de trabalho aberto e flexível, oportunidade de discutir suas produções escritas, experiências de vulnerabilidade, busca de equilíbrio do sentido de agência, conexões entre as observações e interpretações empíricas e um referencial teórico mais amplo, relatos e discussões de encontros anteriores. Fatores como respeito, confiança, desafio, solidariedade, negociação dos empreendimentos, dinâmicas e ações, valorização das singularidades e das práticas profissionais dos professores se mostram férteis e fundamentais à constituição da identidade profissional desses professores e ao cultivo e manutenção desses grupos.

Resumo em Inglês:

Abstract In the last decade, the Study and Research Group on the Education of Teachers who teach Math – GEPEFOPEM (Brazil) investigated teacher education groups constituted as Communities of Practice – CoPs. The objective of this paper is to discuss the focus of one of these CoPs when working with Proportional Reasoning and the practice elements of four CoPs, which promoted the development of their members’ professional identity. The data was collected through an analysis of meaning negotiation processes, mobilized knowledge and the CoPs dynamics based on different groups interactions and written production of their members. The analysis showed that self-knowledge, beliefs and concepts, professional knowledge, vulnerability, and the sense of agency became the focal points of the CoPs during the study of proportional reasoning as well as the practice elements of the four CoPs that promoted the professional identity development of, namely: shared repertoires, reports and discussions on their pedagogical practices, the existence of an open and flexible work plan, the opportunity to discuss their written productions, vulnerability experiences, the search for a sense of agency balance, connections among observations and empirical interpretations and a broader theoretical background, reports and discussions on previous meetings. Factors such as respect, trust, challenge, solidarity, projects negotiations, dynamics and actions, valorization of the singularities, and professional practices of teachers are essential for the constitution of the professional identity of these professionals and for the cultivation and maintenance of these groups.

Resumo em Espanhol:

Resumen En este trabajo estudiamos la estabilidad epistemológica de profesores debutantes. Para ello, hemos hecho un estudio cualitativo de su ETM-idóneo en el momento en que desarrollan un dominio matemático con sus estudiantes, de modo de clarificar los elementos que ponen en juego cuando despliegan una tarea en el aula. Mostramos resultados relativos al favorecimiento eventual que hacen esos profesores de la concreción de las génesis semiótica, instrumental y discursiva, y de la circulación entre los distintos polos de los planos epistemológico y cognitivo. Del estudio se desprende que la epistemología del profesor debutante no es estable, debido a una tensión entre su ETM-personal y su ETM-idóneo.

Resumo em Inglês:

Abstract In this research, we study the epistemological stability of beginning teachers. To do this, we have made a qualitative study of their suitable-MWS when developing a mathematical domain with the students, so as to clarify the elements that they put into play when unfolding a task in the classroom. We show results related to the eventual favoring that those teachers make of the realization of semiotic, discursive and instrumental genesis, and of the circulation between the different poles of the epistemological and cognitive planes. The study shows that the epistemology of beginning teachers is not stable, due to tension between their personal-MWS and their suitable-MWS.

Resumo em Espanhol:

Resumen El profesor desempeña un papel crucial en la articulación de los Espacios de Trabajo Matemático. El modelo de conocimiento del profesor que aquí se presenta (denominado Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge) propone una estructuración de dicho conocimiento basada en la noción de ‘especialización’. Esta estructuración, particularmente la consideración de sus componentes (subdominios), permite comprender el conocimiento que el profesor pone en juego en la transición entre los distintos Espacios (idóneo, personal y de referencia) de Trabajo Matemático, así como las relaciones entre estos.

Resumo em Inglês:

Abstract The teacher plays a crucial role in articulating Mathematical Working Spaces. The model of teacher knowledge, which is presented here (referred Mathematics Teacher's Specialized Knowledge), proposes a structuring of such knowledge based on the concept of 'specialization'. This organization, particularly considering its components (sub-domains), provides insight into the knowledge that the teacher brings into play in the transition between different (appropriate, personal, and reference) Mathematical Working Spaces, and the relationships between them.

Resumo em Espanhol:

Resumen En este trabajo indagamos sobre las posibles relaciones entre los resultados del análisis de una sesión de clase con dos modelos teóricos: el modelo Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge (MTSK) y los Espacios de Trabajo Matemático (ETM). De este modo, discutimos el conocimiento especializado (MTSK) que evidencia en una sesión sobre la multiplicación de matrices un profesor universitario de álgebra lineal y el espacio de trabajo matemático (ETM) idóneo del profesor en esta sesión. El conocimiento evidenciado por el profesor parece explicar las génesis que el profesor prima en el trabajo matemático que propone. Así, el análisis con ambos modelos permite comprender mejor la actividad matemática que propicia el profesor y cómo se explica desde su conocimiento.

Resumo em Inglês:

Abstract In this study, we approach the possible relationships between the analysis results of a classroom session with two different theoretical models: the Mathematics Teacher's Specialized Knowledge (MTSK), and the Mathematical Working Spaces (MWS). We also discuss the specialized knowledge that an university teacher of Linear Algebra deploys in a session about matrix product, and the ideal MWS of the teacher in this session. The knowledge showed explains the different genesis that the teacher prioritizes in the mathematical work he proposes. Thereby, the analysis with both models allows us to understand in depth the mathematical activity that the teacher fosters and how it is sustained by his knowledge.

Resumo em Espanhol:

Resumen En este documento nos interesa abordar el problema de la enseñanza del álgebra bajo el punto de vista del marco teórico de los Espacios de Trabajo Matemático (ETM). En nuestro estudio, realizamos dos experimentaciones, una en Québec y otra en México. En la investigación, hemos considerando la visualización que se pone en marcha, una vez que el individuo comunica sus ideas a otros (o a sí mismo), y construye relaciones entre los elementos en juego, incluyendo articulaciones entre representaciones. La evolución de estas construcciones cognitivas dentro de una perspectiva de los procesos de significación, necesita de experiencias compartidas, en lo que nosotros hemos designado como una enseñanza y aprendizaje en colaboración, debate científico y autorreflexión (ACODESA), bajo el punto de vista de la teoría de la actividad. Específicamente, se investiga en torno a los números poligonales (en especial los números triangulares), en un ambiente de papel, lápiz y tecnología. Nuestra interpretación sobre los procesos cognitivos de una población de alumnos (14-15 años) de una escuela secundaria en México siguen el marco teórico de los ETM. Esta interpretación se centra en el paso de un plano epistemológico hacia un plano cognitivo en donde la actividad matemática permite una articulación de procesos de visualización, producción y procesos de validación aritmético-algebraicos que proporcionan un suporte precisamente a un pensamiento aritmético-algebraico.

Resumo em Inglês:

Abstract In this paper, we want to address the problem of teaching algebra from the point of view of the theoretical framework of Mathematical Working Spaces (MWS). In our study, we carried out two experiments, one in Quebec and one in Mexico. In this research, we consider the visualization has started, once the individual communicates his ideas to others (or himself) and builds relationships between the elements involved, including articulations among representations. The evolution of these cognitive structures within a perspective of the processes of objectification, requires shared experiences in which we have designated as a teaching and collaborative learning, self-reflection and scientific debate (ACODESA) under the point of view of activity theory. Specifically, it investigates polygonal numbers (especially triangular numbers) in an environment of paper, pencil, and technology. Our interpretation of students’ (14-15 year old) cognitive processes of a population at secondary school in Mexico, following the theoretical framework of the ETM. This interpretation focuses on a step towards a cognitive epistemological plane, where mathematical activity enables articulation among visualization processes, production processes, and arithmetico-algebraic validation providing a support precisely to an arithmetico-algebraic thinking.

Resumo em Espanhol:

Resumen En este artículo se estudia la introducción de la noción de derivada, especialmente de la función derivada, como un momento significativo en el desarrollo del trabajo matemático relativo a las funciones. Particularmente, se analiza el procesos de genericización que dos profesores italianos conducen con sus estudiantes de último año de liceo, con el objetivo de de hacerlos pasar de la derivada en un punto específico x0a la derivada como una función global de la variable x. Específicamente, se analiza el rol del profesor en le génesis semiótica del proceso y se investiga el rol de los recursos semióticos implicados. Como resultado, se resalta la importancia de conducir cuidadosamente el paso desde el símbolo puntual x0 al símbolo global x, para ganar un cambio real en las propiedades percibidas de la función derivada, que depende del símbolo x como variable. En conclusión, conectamos los resultados al modelo del espacio de trabajo matemático de funciones, con un particular énfasis en el proceso de “visualización” y el eje semiótico.

Resumo em Inglês:

Abstract This paper investigates the introduction of the derivative notion and, specifically, the introduction of the derivative function, as a significant moment in the development of mathematical work on functions. In particular, we analyse the process of genericization that two Italian teachers conducted with their grade 13 students, in order to make them shift from the derivative at a specific point x0to the derivative as a global function in the x variable. Specifically, we analyse the role of the teacher in the semiotic genesis of this process and investigate the role of semiotic resources therein. As a result, we highlight the importance of conducting carefully this shift from the pointwise x0 sign to the global x sign, in order to gain an actual shift in the perceived properties of the derivative function, which depends on the x sign as a variable. In conclusion, we connect our findings to the model of the Mathematical Working Space of functions, with particular regard to the “visualisation” process and the semiotic axis.

Resumo em Espanhol:

Resumen El estudio se centra en el nivel cognitivo del Espacio de Trabajo Matemático (ETM) y en el plano epistemológico relacionado con las representaciones semióticas en dos dominios matemáticos de números racionales: fracción y número decimal. Dentro de este ámbito, se pretende explorar cómo la flexibilidad representacional evoluciona en el tiempo. Se identificó un patrón de similar de desarrollo de flexibilidad de representación en los en ambos dominios.. Los resultados indican que la génesis semiótica en la fracción y la adición decimal no es automática, sino un largo proceso de pasos de desarrollo que podría denominarse como ETM1, ETM2, ETM3, ETM4. Sin embargo, no hay una correspondencia clara y estable entre los niveles de desarrollo de la flexibilidad y los cursos escolares. Se discuten las implicaciones didácticas con el fin de fomentar la flexibilidad de representación en las MWS de fracción y la adición decimal.

Resumo em Inglês:

Abstract The study focuses on the cognitive level of Mathematical Working Space (MWS) and the component of the epistemological level related to semiotic representations in two mathematical domains of rational numbers: fraction and decimal number addition. Within this scope, it aims to explore how representational flexibility develops over time. A similar developmental pattern of four distinct hierarchical levels of student representational flexibility in both domains is identified. The findings indicate that the genesis of the semiotic axis in fraction and decimal addition is not automatic, but a long process of developmental steps that could be referred to as MWS1, MWS2, MWS3, MWS4 (final). There is not a clear and stable correspondence between developmental levels of representational flexibility and school grades. Didactical implications in order to foster representational flexibility in the MWS of fraction and decimal addition are discussed.