Resumos
Este estudo trata do problema de carregamento de caixas dentro de contêineres levando em consideração a estabilidade do carregamento. Uma formulação matemática generalizando o conceito de estabilidade descrito em Junqueira, Morabito e Yamashita (2010)JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98, 2010. é apresentada e testes computacionais são realizados utilizando-se um aplicativo de otimização. Esta formulação explora a estabilidade da carga por meio do suporte de alguns pontos da base e das laterais das caixas (por exemplo, pontos dos cantos e bordas das caixas). Convém notar que (na sua versão atual) a abordagem proposta está limitada a resolver problemas de tamanho moderado, motivando pesquisas futuras que explorem métodos heurísticos, métodos de relaxação e decomposição, entre outros, para tratar problemas maiores.
Problemas de corte e empacotamento; Carregamento de contêineres; Estabilidade da carga; Otimização combinatória; Modelagem matemática
This study addresses the problem of packing boxes into containers while considering the cargo stability of the loading. The mathematical formulation generalizing the stability concept in Junqueira, Morabito and Yamashita (2010)JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98, 2010. is presented, and computational tests are performed using optimization software. This formulation explores cargo stability by accounting for the support of various points in the base and the lateral faces of the boxes (for example, points in the corners and borders of the boxes). The proposed method (in its current version) is limited to problems of moderate size, thus motivating future research to explore heuristic approaches and relaxation and decomposition methods, among others, to approach large problems.
Cutting and packing problems; Container loading; Cargo stability; Combinatorial optimization; Mathematical modeling.
1. Introdução
No problema de carregamento de contêineres, deseja-se carregar itens (por exemplo,
caixas retangulares) de vários tamanhos dentro de objetos maiores (contêineres
retangulares), de maneira a otimizar uma função objetivo como, por exemplo,
maximizar o aproveitamento do volume disponível nos contêineres. Além das restrições
geométricas envolvidas (o carregamento deve caber dentro dos contêineres e duas
caixas não podem ocupar o mesmo espaço), o carregamento de contêineres pode envolver
várias restrições adicionais importantes em situações reais. Algumas dessas
restrições não têm recebido muita atenção na literatura de Pesquisa Operacional,
Engenharia de Produção e de Transportes. Exemplos são restrições de estabilidade da
carga, orientação das caixas, empilhamento máximo de caixas, caixas que devem ficar
agrupadas dentro do contêiner por terem características semelhantes, limite de peso
do contêiner, distribuição de peso dentro do contêiner, entre outros. Veja, por
exemplo, Bischoff e Marriot (1990)BISCHOFF, E.; MARRIOTT, M. D. A Comparative Evaluation of Heuristics
for Container Loading. European Journal of Operational
Research, v. 44, p. 267-276, 1990.
http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(90)90362-F
http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(90)9...
, Bischoff e Ratcliff (1995)BISCHOFF, E. E.; RATCLIFF, M. S. W. Issues in the development of
approaches to container loading. Omega, v. 23, n. 4, p.
377-390, 1995. http://dx.doi.org/10.1016/0305-0483(95)00015-G
http://dx.doi.org/10.1016/0305-0483(95)0...
, Bortfeldt e Gehring (2001)BORTFELDT, A.; GEHRING, H. A hybrid genetic algorithm for the
container loading problem. European Journal of Operational
Research, v. 131, p. 143-161, 2001.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(00)00055-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(00)...
, Gehring, Menschner e Meyer (1990)GEHRING, H.; MENSCHNER, K.; MEYER, M. A. Computer-based heuristic
for packing pooled shipment containers. European Journal of Operational
Research, v. 44, p. 277-288, 1990.
http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(90)90363-G
http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(90)9...
, Junqueira, Morabito e Yamashita (2010JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização
para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade
e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98,
2010., 2012aJUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Three-dimensional
container loading models with cargo stability and load bearing constraints.
Computers & Operations Research, v. 39, p. 74-85,
2012a. http://dx.doi. org/10.1016/j.cor.2010.07.017
http://dx.doi.org/10.1016/j.cor.2010.07....
, bJUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. MIP-based approaches
for the container loading problem with multi-drop constraints. Annals of
Operations Research, v. 199, n. 1, p. 51-75, 2012b.
http://dx.doi.org/10.1007/s10479-011-0942-z
http://dx.doi.org/10.1007/s10479-011-094...
), Moura e Oliveira (2005)MOURA, A.; OLIVEIRA, J. F. A GRASP approach to the container-loading
problem. IEEE Intelligent Systems, v. 20, n. 4, p. 50-57, 2005.
http://dx.doi.org/10.1109/MIS.2005.57
http://dx.doi.org/10.1109/MIS.2005.57...
, Miyazawa e Wakabayashi (2009)MIYAZAWA, F. K.; WAKABAYASHI, Y. Three-dimensional packings with
rotations. Computers & Operations Research, v. 36, p.
2801-2815, 2009. http://dx.doi.org/10.1016/j. cor.2008.12.015
http://dx.doi.org/10.1016/j.cor.2008.12....
e Yeung e Tang (2005)YEUNG, L. H.; TANG, W. K. S. A hybrid genetic approach for container
loading in logistics industry. IEEE Transactions on Industrial
Electronics, v. 52, n. 2, p. 617-627, 2005.
http://dx.doi.org/10.1109/TIE.2005.844224
http://dx.doi.org/10.1109/TIE.2005.84422...
. Algumas teses
relativamente recentes neste tema podem ser encontradas em Araújo (2006)ARAÚJO, O. Problemas de corte e empacotamento tridimensional
e integração com roteamento de veículos. 2006. Tese (Doutorado em
Engenharia Elétrica)-Universidade Estadual de Campinas, Campinas,
2006., Campos
(2008)CAMPOS, D. S. Integração dos problemas de carregamento e
roteamento de veículos com janela de tempo e frota heterogênea.
2008. Tese (Doutorado em Engenharia de Produção)-Universidade de São Paulo, São
Paulo, 2008., Junqueira (2009)JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização
para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade
e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98,
2010. e Queiroz (2010)QUEIROZ, T. A. Algoritmos para problemas de corte e
empacotamento. 2010. Tese (Doutorado em Ciência da
Computação)-Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2010..
Neste trabalho estuda-se o problema de carregar um conjunto de caixas dentro de um
único contêiner considerando a estabilidade da carga. A carga é considerada
verticalmente estável quando sua base encontra-se total ou parcialmente apoiada pelo
chão do contêiner ou por outras caixas. Esse tipo de estabilidade é o mais estudado
na literatura e considerado o mais relevante do ponto de vista prático. Mais raro é
o caso da estabilidade horizontal, em que uma ou mais laterais das caixas são
apoiadas para conferir estabilidade à carga. Diversos trabalhos na literatura
compreendendo estabilidade vertical consideram a carga estável quando a base da
caixa está totalmente apoiada no chão do contêiner ou sobre outras caixas (Figura 1), por exemplo, Bortfeldt e Gehring (2001)BORTFELDT, A.; GEHRING, H. A hybrid genetic algorithm for the
container loading problem. European Journal of Operational
Research, v. 131, p. 143-161, 2001.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(00)00055-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(00)...
, Lins, Lins e Morabito (2002)LINS, L.; LINS, S.; MORABITO, R. An n-tet graph approach for
non-guillotine packings of n-dimensional boxes into an n-container.
European Journal of Operational Research, v. 141, p.
421-439, 2002. http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00135-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...
, Silva,
Soma e Maculan (2003)SILVA, J. L. C.; SOMA, N. Y.; MACULAN, N. A greedy search for the
three-dimensional bin packing problem: the packing static stability case.
International Transactions in Operational Research, v. 10,
p. 1-13, 2003., ou se uma determinada porcentagem da área da base
está apoiada, como em Araújo (2006)ARAÚJO, O. Problemas de corte e empacotamento tridimensional
e integração com roteamento de veículos. 2006. Tese (Doutorado em
Engenharia Elétrica)-Universidade Estadual de Campinas, Campinas,
2006., Gendreau et al. (2006)GENDREAU, M. et al. A tabu search algorithm for a routing and
container loading problem. Transportation Science, v. 40, n. 3,
p. 342-350, 2006. http://dx.doi.org/10.1287/trsc.1050.0145
http://dx.doi.org/10.1287/trsc.1050.0145...
, Junqueira, Morabito e Yamashita (2010JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização
para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade
e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98,
2010., 2012aJUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Three-dimensional
container loading models with cargo stability and load bearing constraints.
Computers & Operations Research, v. 39, p. 74-85,
2012a. http://dx.doi. org/10.1016/j.cor.2010.07.017
http://dx.doi.org/10.1016/j.cor.2010.07....
).
Outros casos da literatura consideram a carga verticalmente estável quando uma
combinação de critérios é observada. Por exemplo, em Eley (2002)ELEY, M. Solving container loading problems by block arrangement.
European Journal of Operational Research, v. 141, p.
393-409, 2002. http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00133-9
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...
, os quatro pontos dos cantos devem estar apoiados, assim
como uma porcentagem da base das caixas, para que a carga seja considerada estável;
em Bortfeldt, Gehring e Mack (2003)BORTFELDT, A.; GEHRING, H.; MACK, D. A parallel tabu search
algorithm for solving the container loading problem. Parallel
Computing, v. 29, n. 5, p. 641-662, 2003.
http://dx.doi.org/10.1016/S0167-8191(03)00047-4
http://dx.doi.org/10.1016/S0167-8191(03)...
o centro
de gravidade deve estar apoiado, assim como uma porcentagem da área da base; em
Cecílio e Morabito (2004)CECÍLIO, F.; MORABITO, R. Refinamentos na heurística de George e
Robinson para o problema de carregamento de caixas dentro de contêineres.
Transportes, v. 1, n. 1, p. 32-45, 2004. e Jin, Ohno e Du (2004)JIN, Z.; OHNO, K.; DU, J. An efficient approach for the
three-dimensional container packing problem with practical constraints.
Asia-Pacific Journal of Operational Research, v. 21, n. 3,
p. 279-295, 2004. http://dx.doi.org/10.1142/S0217595904000254
http://dx.doi.org/10.1142/S0217595904000...
, as caixas devem ter uma
certa porcentagem da área de sua base em contato com pelo menos duas caixas da
camada abaixo dela, considerando ainda restrições quanto ao alinhamento vertical e
horizontal das caixas que a suportam. Convém mencionar que, com exceção de Junqueira, Morabito e Yamashita (2010JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização
para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade
e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98,
2010., 2012aJUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Three-dimensional
container loading models with cargo stability and load bearing constraints.
Computers & Operations Research, v. 39, p. 74-85,
2012a. http://dx.doi. org/10.1016/j.cor.2010.07.017
http://dx.doi.org/10.1016/j.cor.2010.07....
), todos os trabalhos citados acima
propõem heurísticas para resolver o problema de carregamento de contêineres com
estabilidade. De nosso conhecimento, o único modelo matemático para o problema de
carregamento de contêineres com estabilidade foi encontrado em Junqueira, Morabito e Yamashita (2010JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização
para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade
e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98,
2010., 2012aJUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Three-dimensional
container loading models with cargo stability and load bearing constraints.
Computers & Operations Research, v. 39, p. 74-85,
2012a. http://dx.doi. org/10.1016/j.cor.2010.07.017
http://dx.doi.org/10.1016/j.cor.2010.07....
), baseado numa formulação de programação linear inteira
com um parâmetro de estabilidade, correspondendo à porcentagem da área da base da
caixa que deve estar apoiada para que a caixa seja considerada estável.
Neste trabalho estende-se a formulação matemática de Junqueira, Morabito e Yamashita (2010)JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98, 2010. para o problema de carregamento de contêiner com estabilidade, para que o tomador de decisão tenha a opção de determinar quais pontos da base da caixa (face inferior) e/ou quais pontos das faces laterais da caixa devem ser apoiados para que a caixa seja considerada estável. Além da estabilidade vertical, o modelo também é estendido para o caso em que as faces laterais direita e do fundo precisam ser apoiadas, para garantir estabilidade horizontal. Este texto está organizado da seguinte forma: a seção 2 descreve os modelos para o problema de carregamento de contêiner com estabilidade, a seção 3 apresenta os resultados computacionais e as considerações finais são apresentadas na seção 4.
2. Modelos para o problema de carregamento de contêiner com estabilidade
O problema de carregamento de contêiner consiste em carregar o maior volume (ou valor) de m tipos de caixas em um contêiner com medidas de comprimento (L), largura (W) e altura (H) conhecidos. Para cada caixa do tipo i são dados os valores de comprimento (li ), largura (wi )e altura (hi ), volume ou valor (vi ) da caixa i e uma disponibilidade máxima (bi ) de caixas que podem ser carregadas no contêiner. Sem perda de generalidade, assume-se que a orientação das caixas é fixa, isso é, as caixas i devem ser arranjadas dentro do contêiner com li paralelo a L, wi paralelo a W e hi paralelo a H.
O modelo descrito a seguir foi estudado em Junqueira, Morabito e Yamashita (2010)JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98, 2010., e trata-se de uma extensão da formulação proposta originalmente em Beasley (1985)BEASLEY, J. Algorithms for unconstrained two-dimensional guillotine cutting. Journal of the Operacional Research Society, v. 36, p. 297-306, 1985.. Enquanto a formulação apresentada em Beasley (1985)BEASLEY, J. Algorithms for unconstrained two-dimensional guillotine cutting. Journal of the Operacional Research Society, v. 36, p. 297-306, 1985. aborda o problema de corte ou empacotamento bidimensional de retângulos, sem qualquer consideração de estabilidade do arranjo bidimensional, Junqueira, Morabito e Yamashita (2010)JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98, 2010. propõe uma extensão para o caso de empacotamentos tridimensionais com restrições de estabilidade do carregamento. Para incluir a restrição de estabilidade no modelo proposto por Junqueira, Morabito e Yamashita (2010)JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98, 2010., é introduzido um parâmetro de estabilidade 0 ≤ α ≤ 1 relativo à porcentagem da área da base da caixa i (i.e., da face inferior da caixa) que deve estar apoiada para que seja caracterizada a estabilidade da caixa. Dessa forma, se α = 0 a estabilidade das caixas é ignorada, ao passo que se α = 1 todas as caixas devem ter 100% da área da base apoiada.
Adotando-se um sistema de coordenadas cartesianas com origem no canto inferior frontal esquerdo do contêiner, seja (p, q, r)a posição onde o canto inferior frontal esquerdo de uma determinada caixa é colocado (Figura 2). As possíveis posições ao longo do comprimento L (eixo x), da largura W (eixo y) e da altura H (eixo z) do contêiner onde cada caixa pode ser colocada são definidas por meio dos conjuntos:
Exemplo de posicionamento de uma caixa do tipo i dentro de um contêiner nas coordenadas (p,q,r).
As variáveis de decisão xipqr do modelo são variáveis binárias definidas como:
Sejam ainda:
Comumente, na literatura de carregamento de contêiner, a estabilidade da carga é classificada em dois casos, estabilidade vertical e estabilidade horizontal. A estabilidade vertical está relacionada à capacidade de as caixas de um carregamento resistirem à atuação da aceleração da gravidade sobre seus corpos, isso é, de não se deslocarem em relação ao eixo z. Esta componente da estabilidade é também chamada de estabilidade estática, uma vez que trata o carregamento em situações em que o contêiner ou caminhão está parado. A estabilidade horizontal, por sua vez, está relacionada à capacidade de as caixas em um carregamento resistirem à atuação da inércia dos seus próprios corpos, isto é, de não se deslocarem em relação aos eixos x e y. Essa componente da estabilidade é também chamada de estabilidade dinâmica, uma vez que trata o carregamento em situações em que o contêiner ou caminhão está sendo deslocado horizontalmente e fica, inevitavelmente, sujeito a variações na velocidade/aceleração do deslocamento.
A seguir é brevemente revisado o modelo matemático para o problema de carregamento de contêiner com estabilidade vertical de Junqueira, Morabito e Yamashita (2010)JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98, 2010., para que o texto fique autocontido:
No modelo (7)-(11) a função objetivo (7) maximiza o valor total do carregamento do contêiner, as restrições (8) impedem a sobreposição das caixas, isto é, impedem que mais de uma caixa ocupe uma mesma coordenada (s,t,u) no contêiner (ver Figura 2), as restrições (9) asseguram que a limitação no número de caixas de cada tipo seja obedecida, as restrições (10) tratam da estabilidade vertical das caixas (veja Figuras 3 e 4) e as restrições (11) definem os domínios das variáveis.
Área de contato entre duas caixas no plano xy (estabilidade vertical - em relação ao eixo Z).
2.1. Estendendo o modelo para estabilidade vertical
Uma desvantagem do modelo para estabilidade vertical (MEV) (7)-(11) é que no caso de α < 1 não se pode garantir quais pontos da base da caixa estarão apoiados. Em alguns casos, por exemplo, é desejável que os cantos da base da caixa estejam apoiados, enquanto em outros, não só os cantos, como também uma porcentagem da área do centro da base da caixa deve estar apoiada. Com o intuito de superar essa limitação do modelo proposto em Junqueira, Morabito e Yamashita (2010)JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98, 2010., uma extensão dessa formulação é apresentada a seguir. Nessa formulação, chamada modelo de estabilidade vertical estendido (MEVE), o tomador de decisão indica o conjunto de pontos da base da caixa que devem estar apoiados pelo topo das caixas de suporte. Dessa forma, o tomador de decisão pode escolher, por exemplo, pontos dos cantos da base da caixa (Figura 5a), pontos das bordas da base da caixa (Figura 5b), pontos relativos ao centro de massa da caixa etc., ou, ainda, uma combinação deles, para serem apoiados. Caso o tomador de decisão opte por apoiar todos os pontos da base da caixa, então esse caso é equivalente ao modelo MEV com α = 1, mas nesse caso o valor total do carregamento do contêiner em (7) pode ser bem menor.
Adotando-se um sistema de coordenadas cartesianas com origem no canto inferior frontal esquerdo da caixa i (Figura 6b), suponha que os pontos de apoio da base da caixa, escolhidos pelo tomador de decisão, são dados pelas coordenadas no plano xy. Portanto, definimos o conjunto de pontos de apoio da caixa do tipo i, . Definimos também o conjunto Sist que indica as coordenadas no plano xy do contêiner (Figura 6a), em que o canto inferior frontal esquerdo da caixa do tipo i deve se encontrar para que os pontos de apoio de i ocupem a coordenada (s, t) do contêiner (veja também Figura 2):
(a) Exemplo de posicionamento da base de uma caixa dentro de um contêiner 10 × 10 × 10 no plano xy; (b) Coordenadas dos pontos de apoio da caixa i, Vi = {(1,1), (3,1), (1,3), (3,3)}.
Note que o conjunto Sist não depende da coordenada z, mas apenas das coordenadas do plano xy. No novo modelo MEVE, as restrições de estabilidade vertical (10) do modelo MEV são substituídas por:
As restrições (13) determinam que, para qualquer ponto (s, t, u) do contêiner, se existir uma caixa com um ponto de apoio em (s, t, u), então o lado direito de (13) é igual a 1, consequentemente, o lado esquerdo deve assumir um valor maior ou igual a 1 para que a desigualdade seja verdadeira, isto é, deve existir uma caixa cujo topo ocupe a posição (s, t, u) do contêiner.
A seguir, mostramos um exemplo ilustrativo de (13). Considere um contêiner de dimensão (L,W,H) = (10,10,10), representado na Figura 6a. Seja uma caixa do tipo i, com dimensões (li , wi , hi ) = (4, 4, 1), e pontos de apoio Vi = {(1,1), (3,1), (1,3), (3,3)} (Figura 6b). Considere o ponto (s, t) = (3,2) do contêiner, portanto, Si32 = {(2,1), (0,1)} (essas são as coordenadas que o canto inferior frontal esquerdo da caixa deve ocupar para que o correspondente ponto de apoio da caixa esteja na posição (s,t) = (3,2) do contêiner). Note que a coordenada (2,1) foi obtida de (s, t) = (3,2) menos e a coordenada (0,1) foi obtida de (s, t) = (3,2) menos . Portanto, se xi 2 lu = 1 ou xi 0 lu = 1, então o lado direito de (13) é igual a 1. Logo, o lado esquerdo de (13) tem que ser maior ou igual a 1, isto é, deve existir uma caixa do tipo j (podemos ter j = i) cujo topo ocupe a posição (s, t, u − hj )do contêiner.
2.2. Estendendo o modelo para estabilidade horizontal
Seguindo o mesmo raciocínio anterior para estabilidade vertical, o modelo MEVE também pode facilmente ser adaptado para considerar a estabilidade horizontal da carga, aqui chamado de MEHE (modelo para estabilidade horizontal estendido) ou MEVHE (modelo para estabilidade vertical e horizontal estendido), dependendo se apenas a estabilidade horizontal ou ambas, a vertical e a horizontal, são consideradas no modelo. Adotando-se um sistema de coordenadas cartesianas com origem no canto inferior frontal esquerdo da caixa i, o tomador de decisão escolhe os pontos de apoio da caixa referentes, por exemplo, às faces laterais direita e do fundo da caixa (i.e., das faces verticais da caixa). Esses pontos são dados pelas coordenadas do contêiner. Portanto, redefinimos o conjunto de pontos de apoio da caixa do tipo i, como e para as laterais direita e do fundo, respectivamente, de forma similar à Figura 3, em que os pontos aparecem num plano vertical ao invés do plano horizontal da Figura 3. Definimos também o conjunto SDitu que indica as coordenadas, no plano yz do contêiner, em que o canto inferior frontal esquerdo da caixa do tipo i deve se encontrar para que os pontos de apoio de i ocupem a coordenada (t, u) do contêiner:
Dessa maneira, no caso do modelo MEHE, as restrições de estabilidade vertical (10) são substituídas pelas restrições de estabilidade horizontal:
e, no caso do modelo MEVHE, essas restrições são acrescidas no modelo, junto com as restrições (10). Note que as restrições (14) determinam que, para qualquer ponto (s, t, u) do contêiner, se existir uma caixa com um ponto de apoio de sua face lateral direita em (s, t, u), então o lado direito de (14) é igual a 1. Consequentemente, o lado esquerdo deve assumir um valor maior ou igual a 1 para que a desigualdade seja verdadeira, isto é, deve existir uma caixa cuja face lateral esquerda ocupe a posição (s, t, u) do contêiner.
Analogamente, define-se o conjunto SFisu para a face lateral do fundo da caixa:
As seguintes restrições de estabilidade horizontal devem ser adicionadas então ao modelo MEHE (ou MEVHE):
As restrições (15) determinam que para qualquer ponto (s, t, u)
do contêiner, se existir uma caixa com um ponto de apoio da face lateral do
fundo em (s, t, u), então deve existir uma caixa cuja face
lateral da frente ocupe a posição (s, t, u) do contêiner. Nos
estudos apresentados em Beasley (1985)BEASLEY, J. Algorithms for unconstrained two-dimensional guillotine
cutting. Journal of the Operacional Research Society, v. 36, p.
297-306, 1985. e
Christofides e Whitlock (1977)CHRISTOFIDES, N.; WHITLOCK, C. An algorithm for two-dimensional
cutting problems. Operations Research, v. 25, n. 1, p. 30-44,
1977. http://dx.doi.org/10.1287/opre.25.1.30
http://dx.doi.org/10.1287/opre.25.1.30...
foi
observado que em um dado padrão de corte ou empacotamento, cada caixa empacotada
pode ser movida para baixo e/ou para a frente e/ou para a esquerda até que sua
face inferior, lateral da frente e lateral esquerda fiquem adjacentes às demais
caixas ou ao próprio contêiner. Esses padrões, chamados padrões
normais ou combinações cônicas, permitem reduzir os
conjuntos X, Y e Z para:
É preciso notar que, a não ser para o caso particular em que se exige que todos
os pontos da base das caixas estejam apoiados por outras caixas ou pelo chão do
contêiner, é possível mostrar que os conjuntos (16)-(18) não podem ser usados
sem perda de generalidade (ver discussão em Junqueira, Morabito e Yamashita (2012a)JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Three-dimensional
container loading models with cargo stability and load bearing constraints.
Computers & Operations Research, v. 39, p. 74-85,
2012a. http://dx.doi. org/10.1016/j.cor.2010.07.017
http://dx.doi.org/10.1016/j.cor.2010.07....
). Um interessante tópico de
pesquisa a ser desenvolvido futuramente é explorar como utilizar combinações
cônicas na formulação aqui proposta sem perda de generalidade.
3. Resultados computacionais
Os testes computacionais foram realizados num PC Intel Core 2 Duo, 1,83GHz, 3GB de memória RAM. Dois modelos descritos na seção anterior, MEV e MEVE, foram implementados utilizando o aplicativo GAMS/CPLEX, versão 11 (com parâmetros default do CPLEX). Dois conjuntos de problemas testes foram criados com a finalidade de avaliar o desempenho do aplicativo GAMS/CPLEX para resolver os modelos estudados. A seguir são descritos os parâmetros de entrada utilizados para gerar os problemas testes:
-
• Tipos de caixas: m=5
-
• Dimensões do contêiner [L,W,H): (10,10,10), (20,20,20), (30,30,30).
-
• Para o grupo de testes A, o comprimento, largura e altura das caixas foram gerados da seguinte forma:
Comprimento (li): U[0,25L, 0,75L)
Largura (wi ): U[0,25W, 0,75W)
Altura (h): U[0,25H, 0,75H)
Disponibilidade das caixas (bi ):
-
Para o grupo de testes B, o comprimento, largura e altura dos caixas foram gerados da seguinte forma:
Comprimento (li): U[0,1L, 0,5L)
Largura (wi ): U[0,1W, 0,5W)
Altura (hi): U[0,1H, 0,5H)
Disponibilidade das caixas (bi ):
Nesses problemas teste gerados, equivale ao percentual do volume de cada caixa em relação ao volume do contêiner, portanto a função objetivo do modelo consiste em maximizar a ocupação total do contêiner. Para cada conjunto de dados foram gerados 10 problemas testes, num total de 60 problemas. Esses problemas testes foram resolvidos utilizando-se os modelos MEV e MEVE apresentados na seção 2, com limite de tempo de 3.600 segundos para a solução de cada problema teste.
É importante notar que a utilização de combinações cônicas ou padrões normais,
comumente utilizadas na literatura para reduzir o número de variáveis do problema,
somente é válida para o modelo MEV com α = 1,0 (ver também a discussão em Junqueira, Morabito e Yamashita (2012a)JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Three-dimensional
container loading models with cargo stability and load bearing constraints.
Computers & Operations Research, v. 39, p. 74-85,
2012a. http://dx.doi. org/10.1016/j.cor.2010.07.017
http://dx.doi.org/10.1016/j.cor.2010.07....
). Da
mesma forma, no modelo MEVE, a utilização de combinações cônicas sem perda de
generalidade somente é possível quando se exige que a base da caixa esteja
totalmente apoiada. Assim sendo, foi realizado um teste computacional para avaliar o
impacto das combinações cônicas na qualidade da solução e no tempo computacional
utilizado para resolver o modelo. Nesse teste foram utilizados os 10 problemas do
grupo A, com 5 tipos de caixas e tamanhos de contêineres (L, W, H):
(10,10,10) e (20,20,20).
O resultado desse experimento é mostrado na Tabela 1. O modelo utilizado para resolver os problemas teste foi o MEVE, no qual exige-se que as 4 bordas da base das caixas estejam apoiadas (veja Figura 5b). A Tabela 1 mostra o número de problemas teste resolvidos, isto é, que a solução ótima foi encontrada e provada, e que os tempos computacionais médios, máximos e mínimos, em segundos, foram classificados por tipo de problema teste e número de tipos de caixas. Note-se que, como esperado, a utilização de combinações cônicas reduz de forma significativa o tempo computacional utilizado para resolver os problemas. Observa-se também que quando combinações cônicas são utilizadas, o tempo computacional para resolver os problemas teste com tamanho de contêiner (L, W, H)=(10,10,10) é maior do que o tempo computacional para resolver os problemas teste com tamanho de contêiner (L, W, H)=(20,20,20). Isso ocorre devido ao arredondamento utilizado na geração das dimensões das caixas. Nos problemas com contêiner de dimensão (L, W, H)=(10,10,10), a menor caixa pode ter uma das dimensões igual a 2, o que por si só gera 5 combinações cônicas. Já no caso em que a dimensão do contêiner é igual a (L, W, H)=(20,20,20), a menor dimensão que uma caixa pode ter é igual a 5, isto é, esta dimensão da caixa por si só gera 4 combinações cônicas.
Comparação entre problemas teste resolvidos com e sem combinações cônicas para problemas do grupo A.
Quanto menor o número de combinações cônicas, menor o numero de variáveis e, em geral, menor o tempo computacional gasto para resolver o problema. Observe-se que o mesmo efeito não ocorre com o experimento sem combinações cônicas, isto é, problemas com contêineres menores gastaram menos tempo computacional do que com contêineres maiores. Convém salientar que nesses problemas teste o valor ótimo dessa solução com combinações cônicas foi sempre igual ao valor ótimo sem combinações cônicas. Esses experimentos preliminares sugerem que as combinações cônicas fornecem uma aproximação razoável para o problema abordado neste artigo. Portanto, nos demais testes computacionais apresentados optou-se por utilizar as combinações cônicas, mesmo que sem a garantia de que a solução ótima será encontrada.
As Tabelas 2–4 mostram o valor da função objetivo e o tempo computacional (em segundos) correspondente ao modelo MEV proposto em Junqueira, Morabito e Yamashita (2010)JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98, 2010. com a=1,0, 0,9, 0,8 e 0,7, e ao modelo MEVE com apoio nos 4 cantos e nas 4 bordas da base das caixas (Figuras 5a e 5b). Nesses testes foram utilizadas as duas categorias de problemas A e B, em contêineres de tamanho (L, W, H) iguais a (10,10,10), (20,20,20) e (30,30,30). As colunas 3–9 das tabelas mostram o número de problemas teste resolvidos dentro do limite máximo de 3.600 segundos, número de problemas teste que ultrapassaram 3.600 segundos e que apresentaram uma solução viável para o problema, desvio médio (gap) em relação ao limitante inferior dos problemas que ultrapassaram o limite de tempo e que geraram uma solução viável, tempo gasto em média para resolver os problemas teste, maior tempo gasto para resolver um problema teste, menor tempo gasto para resolver um problema teste e volume médio ocupado do contêiner (em %).
Resultados computacionais para problemas teste com contêineres de tamanho (L, W, H) =(10,10,10).
Resultados computacionais para problemas teste com contêineres de tamanho (L, W, H)=(20,20,20).
Resultados computacionais para problemas teste com contêineres de tamanho (L, W, H)=(30,30,30).
Nas três tabelas, note-se que os problemas teste do grupo A foram resolvidos em menor tempo computacional do que os do grupo B. De fato, somente para contêineres de dimensão (L, W, H) = (10,10,10) foi possível resolver todos os problemas do grupo B dentro do limite de tempo. Como era de se esperar, o volume ocupado aumenta à medida que os valores de a diminuem, isto é, à medida que se relaxa a exigência quanto à estabilidade vertical da solução. Note-se, na Tabela 2, que as soluções do modelo MEVE (Bordas e Cantos) têm o mesmo valor das soluções do modelo MEV com α ≥ 0,9 no grupo A, e com α ≥ 0,7 no grupo B. Com relação às Tabelas 3 e 4, as soluções MEVE ainda são melhores que as soluções MEV com α = 1 em vários casos. Por exemplo, na Tabela 4, as soluções MEVE para o grupo B são 87,71% (Bordas) e 86,71% (Cantos), enquanto a solução MEV com α = 1 é apenas 73,80%.
A título de ilustração, detalhamos na Tabela 5 um dos problemas teste resolvidos na Tabela 4, com contêiner com dimensão (L, W, H)=(30,30,30) e 5 tipos de caixas. A Figura 7 mostra a solução desse problema com o modelo MEV exigindo 100%, 90%, 80% e 70% de suporte de base como estabilidade. Como era de se esperar, à medida que se exige menos estabilidade, a ocupação do contêiner aumenta. Ao resolver o mesmo problema com o modelo MEVE e exigindo que os quatro cantos da base das caixas estejam apoiados, foi possível obter um volume ocupado de 74,88%, muito próximo à ocupação obtida ao resolver o modelo MEV utilizando α = 0,8 e melhor que as soluções MEV com α = 0,9 e α = 1, com a vantagem do decisor poder controlar melhor a estabilidade vertical da carga (Figura 8).
Problema da Tabela 5 resolvido com o modelo MEV com fator de estabilidade e percentual do volume ocupado (VO) iguais a: (a) α=1 e VO=72,6%, (b) α=0,9 e VO=74,49%, (c) α=0,8 e VO=74,69%, (d) α=0,7 e VO=79,11%.
Problema da Tabela 5 resolvido com o modelo MEVE apoiando os quatro cantos da base da caixas; volume ocupado no contêiner foi de 74,88%.
A Tabela 6 mostra o desempenho do modelo
proposto quando aplicado a três problemas analisados em Lins, Lins e Morabito (2002)LINS, L.; LINS, S.; MORABITO, R. An n-tet graph approach for
non-guillotine packings of n-dimensional boxes into an n-container.
European Journal of Operational Research, v. 141, p.
421-439, 2002. http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00135-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...
(exemplos 1, 2 e 3). Esses
exemplos consideram um único contêiner com dimensões fixas e caixas de um único
tipo, mas sem limitações quanto à orientação (i.e., as caixas podem ser arranjadas
sobre quaisquer de suas faces). O objetivo é maximizar o volume total de caixas
empacotadas dentro do contêiner, sem considerar restrições de estabilidade do
carregamento. Nesses três exemplos, o contêiner sempre tem dimensões (L, W,
H) = (50,50,50), e os três tipos de caixas têm dimensões
(li, wi, hi
) iguais a (13,14,23), (17,20,12) e (11,22,15). Esses exemplos foram também
resolvidos em Junqueira (2009)JUNQUEIRA, L. Modelos de programação matemática para
problemas de carregamento de caixas dentro de contêineres. 2009.
Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção)-Universidade Federal de São
Carlos, São Carlos, 2009., que encontrou
a solução ótima desses exemplos sem considerar estabilidade do carregamento.
Comparação das soluções para os três exemplos de Lins, Lins e Morabito (2002)LINS, L.; LINS, S.; MORABITO, R. An n-tet graph approach for non-guillotine packings of n-dimensional boxes into an n-container. European Journal of Operational Research, v. 141, p. 421-439, 2002. http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00135-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)... e Junqueira (2009)JUNQUEIRA, L. Modelos de programação matemática para problemas de carregamento de caixas dentro de contêineres. 2009. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção)-Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 2009..
As duas primeiras colunas da Tabela 6 mostram
o número de caixas nas soluções de Lins, Lins e
Morabito (2002)LINS, L.; LINS, S.; MORABITO, R. An n-tet graph approach for
non-guillotine packings of n-dimensional boxes into an n-container.
European Journal of Operational Research, v. 141, p.
421-439, 2002. http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00135-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...
e Junqueira
(2009)JUNQUEIRA, L. Modelos de programação matemática para
problemas de carregamento de caixas dentro de contêineres. 2009.
Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção)-Universidade Federal de São
Carlos, São Carlos, 2009., sem restrições de estabilidade. As demais colunas da Tabela 6 mostram o número de caixas nas
soluções dos modelos MEV com a = 1 e MEVE (Cantos e Bordas), estendidos para
considerar que as caixas podem ser arranjadas sobre quaisquer de suas faces. É
possível notar o trade-off entre a estabilidade da carga e a
quantidade de caixas empacotadas, de acordo com o modelo escolhido para resolver o
problema de empacotamento. As Figuras
9–11 ilustram o empacotamento encontrado pelos modelos para os casos sem
estabilidade e com estabilidade nos quatro pontos das bordas das caixas.
>Exemplo 1 da Tabela 6, resolvido sem estabilidade – 27 caixas (a) e com o modelo MEVE apoiando os quatro cantos da base da caixas – 25 caixas (b).
Exemplo 2 da Tabela 6, resolvido sem estabilidade – 27 caixas (a) e com o modelo MEVE apoiando os quatro cantos da base da caixas – 25 caixas (b).
Exemplo 3 da Tabela 6, resolvido sem estabilidade – 29 caixas (a) e com o modelo MEVE apoiando os quatro cantos da base da caixas – 28 caixas (b).
4. Conclusões
Neste trabalho, uma extensão do modelo matemático proposto em Junqueira, Morabito e Yamashita (2010)JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98, 2010. para o problema de carregamento de contêineres, considerando a estabilidade de carga, foi estudada (modelos MEVE, MEHE e MEVHE). Experimentos computacionais com problemas gerados aleatoriamente foram realizados com o objetivo de validar o modelo MEVE (Cantos e Bordas) e comparar seu desempenho com o modelo MEV de Junqueira, Morabito e Yamashita (2010)JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98, 2010.. Os experimentos mostraram que o modelo estendido foi capaz de gerar soluções estáveis, com a vantagem de, em geral, melhorar o aproveitamento do volume do contêiner, além de oferecer ao tomador de decisão mais liberdade e controle na estabilidade da carga, uma vez que esse modelo permite ao tomador de decisão escolher os pontos de apoio das caixas. Os experimentos também mostraram que, em geral, os tempos computacionais gastos pelo modelo MEVE para resolver os problemas teste foi menor do que os tempos computacionais utilizados pelo modelo MEV em Junqueira, Morabito e Yamashita (2010)JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otimização para problemas de carregamento de contêineres com considerações de estabilidade e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30, n. 1, p. 73-98, 2010..
É importante notar que esses modelos só são capazes de resolver problemas de porte moderado, o que motiva, como pesquisa futura, a exploração de métodos heurísticos de solução para abordar problemas de maior porte, assim como a adaptação de combinações cônicas para a formulação aqui proposta, sem perda de generalidade. Outra perspectiva de pesquisa futura é a inclusão e análise de restrições
adicionais como empilhamento, fragilidade, orientação, prioridades e limite de peso, que são relativamente fáceis de incorporar ao modelo proposto.
Agradecimentos
Os autores gostariam de agradecer aos revisores anônimos pelas sugestões e comentários. Esta pesquisa contou com apoio da FAPESP (proc. 07/00209-6 e 2010/10133-0) e CNPq (proc. 522973/95-7).
A note on mathematical modeling for loading boxes into containers while considering cargo stability
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Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
05 Jul 2013 -
Data do Fascículo
Jan-Mar 2015
Histórico
-
Recebido
24 Jan 2012 -
Aceito
01 Set 2012