Nota sobre convenções de capitalização fracionária usadas nos fundos de amortização

COMENTÁRIOS

Nota sobre convenções de capitalização fracionária usadas nos fundos de amortização

Clóvis de Faro

Do Instituto de Planejamento Econômico e Social (IPEA/INPES), Rio de Janeiro

1. INTRODUÇÃO

No Sistema Nacional de Habitação, no Programa de Integração Social, na formulação de um pecúlio e numa série de outras situações, nas quais se tem que constituir um fundo, ou amortizar uma dívida, os pagamentos são efetuados mensalmente, mas a taxa de juros é fixada, por lei ou por convenção entre as partes, em base nominal trimestral, semestral ou anual. O mesmo ocorre, aliás, com o processo de correção monetária, sendo, por exemplo, efetuado trimestralmente no sistema do Banco Nacional de Habitação, enquanto as prestações em geral vencem mensalmente.

Os juros devem ser computados sobre as prestações efetuadas, a partir do momento em que estas ocorrem, A acumulação das prestações e dos juros é um processo que se chama, em matemática financeira, de capitalização. Qual a taxa fracionária de juros à qual se deve capitalizar as prestações mensais, quando a taxa nominal convencionada é trimestral ou semestral?

Apesar de sua significação prática, e ainda a despeito do fato de que esse caso seja estudado na literatura pertinente,¹ parece que, como se infere de um recente artigo de Zaloom,² ainda persistem dúvidas conceituais, não só quanto à maneira de se proceder nesse caso, mas também quanto âs conseqüências do particular procedimento adotado.

Dois serão os objetivos deste comentário. Inicialmente, procuraremos um esclarecimento do problema, discutindo sua origem e suas implicações. A seguir, considerando, sucessões periódicas de pagamentos segundo três distintas leis de formação, serão abordadas as adoções de dois procedimentos usuais, ilustradas por comparações numéricas.

2. ORIGEM DO PROBLEMA

Do ponto de vista estritamente teórico, o processo de capitalização, formação de juros e sua adição ao principal investido è descontínuo, isto è. a capitalização só é efetuada no fim do período a que se refere a taxa de juros considerada. Assim, a evolução, ao longo do tempo, de um principal P, investido à taxa de juros compostos i, far-se-á conforme ilustrado na fig. 1, na quai o tempo é medido na mesma unidade do período da taxa considerada.

Ora, a descontinuidade do processo de capitalização implica que, no caso em que o principal P seja investido durante somente uma fração do período a que se refere a taxa l, nenhum juro será formado. Na vida prática, porém, tem havido, em gera!, uma relutância em aceitar-se essa característica do processo teórico de capitalização.³ Conseqüentemente, convenções têm sido propostas, e preestabelecidas em cada caso de modo a contornar essa "idiossincrasia" do processo teórico de capitalização.

Para o caso de aplicações por prazos fracionários, a literatura técnica menciona duas principais convenções como as mais usuais:⁴

a) convenção linear, segundo a qual procede-se a uma interpolação linear, o que corresponde, na realidade, ao pagamento de juros simples à mesma taxa I para a fração do período;

b) convenção exponencial, sob a qual os juros relativos a um período fracionário são calculados à taxa equivalente de juros compostos apropriada.

Do ponto de vista filosófico, não se poderia afirmar que uma dessas duas convenções seja superior à outra, uma vez que não passam de artifícios práticos para contornar a descontinuidade teórica do processo de capitalização. Explicita ou implicitamente, porém, e baseando-se no principio de manutenção de consistência com o conceito geral de taxas equivalentes, a literatura técnica tende a considerar a convenção exponencial como a superior. Assim, pelo menos na maioria da literatura consultada,⁵ supõe-se que o caso de prazos fracionários seja tratado via emprego da taxa equivalente adequada, a menos que seja explicitamente especificada outra forma.

Do ponto de vista da aplicação prática, tendo presente o fato de que a seleção de uma particular convenção é mera questão de conveniência e de acerto entre as partes interessadas - mais importantes do que possíveis justificativas formais são os valores numéricos resultantes. Conseqüentemente, passemos a um confronto entre os resultados advindos da adoção das duas convenções usuais, para o caso de sucessões de pagamentos periódicos, e segundo três leis de formação: constantes, variáveis em progressão aritmética, e em progressão geométrica.

3. PAGAMENTOS CONSTANTES

Suponhamos o caso em que, como esquematizado na fig. 2, tenhamos k pagamentos, constantes e iguais a P, ao longo do perlodo a que se refere a taxa I de juros compostos considerada. Considerando-se em turno cada uma das duas convençOes mencionadas, passemos a determinar o montante desses pagamentos na época 1.

Considerando-se em turno cada uma das duas convenções mencionadas, passemos a determinar o montante desses pagamentos na época 1.

3.1 Convenção linear

Como, adotando-se a convenção linear, os juros relativos a períodos fracionários são computados considerando-se juros simples à mesma taxa i, o montante procurado, M, será igual a:

3.2 Convenção exponencial

Agora, segundo a convenção exponencial, o montante procurado, que denotaremos por M', será determinado trabalhando-se com a taxa I , que, sendo relativa à fração 1/k do período a que se refere a taxa i, seja equivalente a esta última.

Ora, uma vez considerada a taxa equivalente i_k = (1+i)^1/k -1 , teremos uma sucessão de k pagamentos periódicos e constantes, com período coincidentes com o da taxa i. Portanto, lançando mão de resultado clássico da matemática financeira, teremos que, tendo em vista que os pagamentos são "postecipados:"

onde representa o montante de uma série de k pagamentos periódicos, constantes e unitários de final de período, capitalizados à taxa ^ik por período, sendo designado em geral pelo nome de "fator de acumulação composta"; ou

Alternativamente, trabalhando-se diretamente com a taxa i, podemos escrever também, tendo em vista a relação entre ⁱ e ⁱk.

3.3 Exemplo numérico

Como ilustração da aplicação das duas convenções abordadas, e buscando tornar patente suas diferenças, consideremos a seguinte propositalmente exagerada situação.

Suponha-se o caso onde 12 pagamentos mensais, de Cr$ 10 000,00 cada, sejam sucessivamente depositados em uma conta (ouro) de uma instituição que paga a taxa de juros de 132,4% ao ano como capitalização trimestral (ou seja, efetivamente, 33,1 % ao trimestre). Se o primeiro depósito for efetuado dentro de um mês, qual será o saldo na conta imediatamente após o último depósito?

Solução:

a) Adotando-se a convenção linear

Neste caso, os dois primeiros depósitos em cada um dos quatro trimestres em apreço serão considerados como rendendo juros simples à taxa trimestral de 33,1%. Portanto, tendo em vista a fórmula (1), segue-se que os depósitos trimestrais equivalentes serão iguais a:

M =10000 [3 + 0,331 (3-1)/2] = 33310,00

Conseqüentemente, considerando-se os quatro depósitos trimestrais equivalentes,-seguese que o saldo procurado será igual a:

S = 33310s = 33310 [(1, 331)⁴ -1 ] /0,331= 215199,54

b) Adotando-se a convenção exponencial

Agora, passemos a trabalhar com a taxa mensal de juros compostos que seja equivalente à de 33,1 % ao trimestre. Ou seja, será considerada a taxa:

i₁₂ = (1,331)^1/3 -1 = 0,10 ou 10% ao mês.

Então, uma vez dada a taxa de 10% ao mês, o saldo desejado será igual a:

S' = 10000s = 10000 [(1,10)¹² - 1]/0,10 = 213842,84

Como era de se esperar, e ao contrário do afirmado por Zaloom,⁸ as convenções linear e exponencial não são equivalentes. Assim, para o caso do exemplo, embora a diferença entre S e S' não seja de muita significação quando medida em termos relativos (somente 0,63%), seu valor absoluto (Cr$ 1 356,70) é de considerável relevância prática. Além do mais, como iremos mostrar, teremos sempre, em termos relativos, resultados obtidos pela convenção linear levemente superiores aos derivados do emprego da convenção exponencial.

3.4 Caso limite: pagamentos contínuos

Antes de passarmos a uma análise mais detalhada da diferença entre M e M', é interessante considerarmos também o caso em que haja um número infinito de pagamentos ao longo do período da taxa i. Isto é, vamos considerar o caso onde haja unidades de capital uniformemente distribuidas ao longo do período da taxa i.⁹

Representando-se por o montante na época 1, segundo a convenção linear, para o caso de uma distribuição uniforme de pagamentos, sua expressão pode ser facilmente determinada tomando-se o limite (quando k tende a infinito) da relação (1), quando se substitui, nesta última, P por P/k. Assim, para o caso de adoção da convenção linear, teremos:

Por outro lado, na hipótese do emprego da convenção exponencial, lançando mão do resultado obtido em nosso trabalho Engenharia econômica: elementos,¹⁰ segue-se que o montante procurado será igual a:

3.5 Análise de sensibilidade

Uma pequena dose de reflexão sobre as implicações da adoção de cada uma das duas convenções consideradas é suficiente para se perceber por que devemos esperar >' (ou >'): adotando-se a convenção exponencial, estaremos na verdade fazendo com que o processo de capitalização se torne continuo e representado por uma função exponencial, a qual é sempre estritamente convexa. Portanto, tendo em vista a definição geral de uma função convexa,¹¹ e levando-se em conta o fato de que a convenção linear se traduz no emprego de uma interpolação linear, segue-se que valores obtidos, via adoção desta última, serão sempre superiores aos derivados mediante o uso da convenção exponencial.

Porém, com exceção de alguns resultados esparsos,¹² pouco pode ser dito. prtort a respeito do tamanho da diferença. Assim é que se torna Interessante procedermos a uma Investigação.

Seja:

Isto é, (i) denota o decréscimo percentual, no valor do montante na época 1, resultante da mudança da convenção linear para a exponencial. Observemos, ainda, que, para o caso de um fluxo uniforme de pagamentos, teremos:

Então, variando-se k e I, uma indicação quantitativa do tamanho relativo da diferença entre as duas convenções pode ser inferlda dos resultados apresentados na tabela 1.

4. PAGAMENTOS EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Suponhamos agora o caso onde, como esquematizado na fig. 3, os k pagamentos ao longo do perlodo a que se refere a taxa I variem segundo uma progressão aritmética da razão A, e cujo primeiro termo é igual a P.

4.1 Convenção linear

Adotando-se a convenção linear, o montante na época 1 será:

Ora:

Tendo em vista a fórmula para a soma dos quadrados dos k primeiros números naturais,¹³ podemos escrever:

Logo:

Parao caso particular, onde A = P, teremos então:

4.2 Convenção exponencial

Trabalhando-se com a taxa I = (1 + I) - 1, o montante na época 1, segundo a convenção exponencial.¹⁴ será igual a:

ou em função da taxa I:

Assim, no caso particular onde A = P, podemos ecrever:

onde:

4.3 Caso limite

No caso limite, onde o número de termos, k, tende a infinito, passaremos a ter um fluxo continuo de pagamentos, cuja lei de formação é agora linear. Suponhamos, então, que se tenha um fluxo igual a unidades de capital linearmente distribuídas ao longo do período a que se refere a taxa i. Isto é, teremos¹⁵ Q(t) = at, para a =2.

Por outro lado, com vistas à aplicação da relação (7'), estaremos considerando o limite, quando k tende a infinito, de uma sucessão de k pagamentos em progressão aritmética de razão igual a P cuja soma é . Isto é, tendo em mente a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética, devemos ter (considerando o caso particular onde A = P):

Portanto, na hipótese de adoção da convenção linear, o montante na época 1, que denotaremos agora por A será obtido substituindo-se em (7') a expressão de P como dada por (9), e tomando-se o limite para k-. Assim:

Ao passo que, no evento do emprego da convenção exponencial,¹⁶ teremos que o montante na época 1 será igual a:

4.4 Análise de sensibilidade

Na tabela 2 são apresentados, para diversos valores de i e de k as diferenças percentuais entre valores computados segundo as convenções linear e exponencial, para o caso de pagamentos variando em progressão aritmética de razão igual a P. Isto é , na tabela 2 são apresentados valores de:

5. PAGAMENTOS EM PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Finalmente, para concluir nossa análise, suponhamos que os k pagamentos variem, segundo uma progressão geométrica. Isto é, como representado de maneira esquemática na fig. 4, suponhamos agora que os k pagamentos ao longo do período da taxa i formem uma progressão geométrica, cujo primeiro termo é P e com razão igual a q, sendo q 1.

5.1 Convenção linear

Na hipótese de adoção da convenção linear, o montante na época 1, agora denotado por M_G , será igual a:

Ora, sabemos que:¹⁷

Logo:

5.2 Convenção exponencial

Uma vez considerada a taxa I_K, segue-se que o montante na época 1, de acordo com a convenção exponencial, será igual a:

Portanto, fazendo-se m = q/(1 + i_K) e distinguindo-se os casos onde m = 1 e m 1, tem-se que (fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica):

Então, em função da taxa i, podemos escrever:

Para efeito de comparação com a convenção linear, iremos considerar o caso particular onde

q = (1 + i) ^1/k

5.3 Caso limite

Se o número de pagamentos ao longo do período da taxa i tender a infinito, passaremos a ter um fluxo continuo, cuja lei de formação será exponencial. Ou seja, conforme Cissel & Cissel,¹⁸ teremos Q(t) = be ^{Q t}, onde b é uma constante e o é a taxa de variação. Assim, no caso em que P unidades de capital estejam exponencialmente distribuídas ao longo do período a que se refere a taxa i, devemos ter:

Portanto, considerando-se o caso particular onde ee = (1 + i),¹⁹ teremos que:

Por outro lado, com vistas à aplicação da convenção linear, como expressa pela fórmula (14), estaremos considerando o limite, quando k tende a infinito, de uma sucessão de k pagamentos em progressão geométrica de razão (1 + i)^1/K e cuja soma é . Isto é, tendo em mente a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, desejamos que seja mantida a seguinte igualdade:

Por conseguinte, adotando-se a convenção linear, o montante na época 1, que representaremos por G será determinado mediante a substituição em (14) da expressão de P como dada pela (17), e tomando-se o limite quando k - . Assim, substituindo-se previamente q por (1 + i)^1/k em (14), teremos:

Ao passo que, na hipótese do emprego da convenção exponencial, o montante procurado será igual a:

5.4 Análise de sensibilidade

Detendo-se no exame do caso particular apontado, apresentamos na tabela 3 o comportamento do decréscimo percentual resultante da mudança da convenção linear para o exponencial, em função de variações na taxa i e no número de pagamentos k. Isto é, para diversos valores de i e de k, são apresentados valores de:

e de

6. CONCLUSÃO

Tentamos aqui um maior esclarecimento do caso onde o intervalo de tempo entre pagamentos conr secutivos é inferior ao período da taxa de juros compostos especificada. Considerando-se as duas principais convenções, sob três distintas hipóteses para a lei de formação dos pagamentos, realizamos uma análise numérica do comportamento de suas diferenças relativas em função da taxa de juros e do número de pagamentos ao longo do período. Os resultados observados mostram que, independentemente do número de pagamentos e da lei de formação, a diferença relativa entre as convenções linear e exponencial é bastante pequena, embora crescente com a taxa. Assim, para taxas de juros até 10% por período, essas diferenças são inferiores a 0,01 %. Porém, como ilustrado no exemplo numérico abordado, as diferenças absolutas podem ser de grande significação. Em particular, para o caso do PIS cuja arrecadação anual é da ordem dos bilhões de cruzeiros, e considerando que em 1974, devido ao recrudescimento inflacionário, as taxas aparentes de aplicação andaram ao redor de 40% ao ano, as diferenças entre resultados advindos da adoção de uma ou de outra convenção podem chegar a alguns milhões de cruzeiros.

BIBLIOGRAFIA

• Ayres Jr., Frank. Mathematics of finance New York, NY, Schaum Publishing Co., 1963.
• Bartle, Robert G. The elements of real analysis New York, NY, John Wiley & Sons, Inc., 1964.
• Butcher, Marjorie V. & Nesbitt, Cecil J. Mathematics of compound interest Ann Arbor, Michigan, Ulrich's Books, Inc., 1971.
• Carvalho, Thales Mello. Matemática para os colégios comerciais Rio de Janeiro, Ministério da Educação e Cultura, 1968.
• Cissel, Robert & Cissel, Helen. Mathematics of finance 4. ed. Boston, Massachusetts, Houghton Mifflin, Co., 1973.
• Faro, Clóvis de. Engenharia econômica: elementos Rio de Janeiro, APEC Editora S.A. 1972.
• Faro, Clóvis de. Matemática financeira 2. ed. Rio de Janeiro, APEC Editora S.A. 1970.
• Finetti, Bruno de. Leçons de mathématiques financières Paris, Dunod, 1969.
• Hummel, Paul M. & Seebeck, Charles L. Mathematics of finance 3. ed. New York, NY, McGraw-Hill Book Co., 1971.
• Kellison, Stephen G. The theory of interest Homewood, Illinois, flichard D. Irwin, Inc., 1970.
• Moraes, Euclides M. Matemática financeira 3. ed. Porto Alegre, Livraria Sulina Editora, 1967.
• Pastore, Affonso Celso & Barros, José Roberto Mendonça de. O programa de integração social e a mobilização de recursos para o desenvolvimento. Estudos Econômicos, v. 2, n. 4, p. 113-27, dez. 1972.
• Ward, Thomas L. & Fleischer, G.A. On the proper use of compound interest factors - a technical note: a comment. The Engineering Economist, v. 19, n. 3, p. 215-7, Spring 1974.
• Zaloom, Victor A. On the proper use of compound interest factors - a technical note. The Engineering Economist, v. 18, n. 4, p. 257-64, Summer 1973.

1

Ao contrário do que é afirmado por Zaloom (ver bibliografia), o assunto é tratado na maioria dos textos de matemática financeira. Assim, por exemplo, enquanto que na literatura americana temos Ayres, Butcher & Nesbitt Cissel 6 Cissel, Hummel & Seebeck e Kellison, podemos mencionar ainda Carvalho, Faro e Moraes na literatura brasileira e Finetti na literatura francesa (ver bibliografia).

2

Ver bibliografia.

3

Uma importante exceção, sendo pois um caso onde a teoria é tomada ao pé da letra, é a referente a depósitos efetuados nas chamadas cadernetas de poupança. Para essas instituições, não caberá nenhuma remuneração, nos trimestres considerado, para depósitos efetuados após o quinto dia de cada trimestre civil.

4

Faro, C. de.

Matemática financeira. 2. ed. Rio de Janeiro, APEC, 1970.

5

O trabalho de T.M. Carvalho e o de E. M. Moraes (ver bibliografia) apresentam-se como exceções, já que apontam a convenção linear como a mais lógica. Ambos, porém, criticam a heterogeneidade das fórmulas.

6

É interessante notar que, ao contrário do que è afirmado por Zaloom, a relação (1), que corresponde à (10) de seu artigo, não foi por ele originalmente derivada. Por exemplo, essa mesma relação pode ser encontrada em C. de Faro,

Matemática financeira, p. 201.

7

A importância de se trabalhar diretamente com a relação (2') deve-se ao fato de que l/[(1+l)1 /k-1] = s - 1

encontra-se tabelada para diversos valores de

i e de

k. Veja-se, por exemplo, Ayres Jr.

Mathematlcs of finance. Faro,

Matemática financeira. Hummel & Seebeck,

Mathematlcs of finance.

8

Em um comentário a este artigo, Ward e Fleisher apontam o erro dessa afirmativa e procedem a uma comparação entre as duas convenções, que se limita aos casos onde se tenham dois ou seis pagamentos constantes.

9

Esse caso não é só de importância teórica. Assim, por exemplo, no estudo da evolução do fundo acumulado no Programa de Integração Social (PIS) realizado por Pastore e Barros, o caso de distribuição uniforme foi considerado, tendo sido adotada a convenção linear.

10

Faro, C. de.

Engenharia econômica. (Ver bibliografia).

11

Bartle, R.G.

The elements of real analysis. (Ver bibliografia).

12

Além dos resultados apresentados por Ward, T.L. & Fleischer, G.A. (bibliografia), que não incluem o caso de fluxo continuo de pagamentos, podemos citar ainda, por exemplo, a análise teórica efetuada por Butcher e Nesbitt, em

Mathematics of compound Interest. p. 21.

13

Faro, C. de.

Engenharia econômica: elementos, op. cit. p. 192.

14

Faro, C. de.

Matemática financeira, op. cit. p. 329.

15

Faro, C. de.

Engenharia econômica: elementos, op. cit. p. 83.

16

Ibid. p. 84.

17

Ibid. p. 193.

18

Cf. Cissel & Cissel (ver bibliografia).

19

Ou seja, estaremos considerando o caso onde

Q=δ, sendo δ 1g(1 -i) a taxa instantânea de juros correspondente à taxa i.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  12 Ago 2013
• Data do Fascículo
  Abr 1975