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Open-access Um Novo Método para o Cálculo do Propagador da Eletrodinâmica

A New Method to get the Propagator of Electrodynamics

Resumo

Neste artigo oferecemos um novo método para a obtenção do propagador da Eletrodinâmica. Para atingir esse objetivo faremos uso de alguns teoremas importantes da álgebra linear tais como o teorema de Cayley-Hamilton e alguns teoremas relacionados a operadores de projeção; fornecendo desta maneira uma aplicação da teoria de subespaços lineares na teoria quântica de campos.

Palavras-chave:
álgebra linear; teorema de Cayley-Hamilton; eletrodinâmica

Abstract

In this article we offer a new method to obtain the Propagator of Electrodynamics. In order to achieve this goal we will use some important theorems of linear algebra such as the Cayley-Hamilton theorem and some theorems related to projection operators; thus providing an application of linear subspace theory in quantum field theory.

Keywords:
linear algebra; Cayley-Hamilton's Theorem; electrodynamics

1. Introdução

Na Teoria Quântica de Campos (TQC) o cálculo do propagador é essencial para o desenvolvimento perturbativo na obtenção de seções de choque [1-4], assim como também para elucidar a natureza das excitações que surgem na interação entre partículas e campos [5-7]. Por essa razão, torna-se importante o conhecimento de diferentes métodos para calcular estes propagadores.

Neste trabalho apresentamos um método alternativo para o cálculo de propagadores, e o aplicamos para o caso da Eletrodinâmica. O método proposto é uma aplicação do Teorema de Cayley-Hamilton, no entanto, o conceito de projetores, e sua estreita relação com decomposição em soma direta, é muito útil no caso da Eletrodinâmica; fornecendo desta forma uma aplicação da Álgebra Linear [8-10] à TQC.

Iniciaremos apresentando o problema na seção (2) exemplificado pelo caso da Eletrodinâmica, tomando como ponto de partida a Lagrangiana e obtendo as equações de campo correspondente em termos do operador de onda. Na seção seguinte (3) faremos uma breve revisão de alguns conceitos e teoremas da Álgebra Linear, cujas demonstrações se encontram no Apêndice. Isto nos permite introduzir o método e apresentar suas implicações imediatas, além da sua aplicação. Dando continuidade, solucionaremos o problema para um operador de onda geral em (4); finalmente, em (5) aplicaremos o método para a obtenção do propagador da Eletrodinâmica.

2. Definição do Problema

Partiremos da Lagrangiana da Eletrodinâmica

L=-14FμvFμv12α(μAμ)2JμAμ,

sendo Aμ o potencial vetor, Fμv=μAvvAμ o tensor do campo eletromagnético e Jμ uma corrente externa. O termo de fixação de calibre, com o parâmetro α, deve ser incluído para que seja possível realizar o cálculo do propagador. De fato, como será mostrado, sem este termo o operador de onda não seria inversível.

Podemos reescrevê-la como

L=12AμOμvAvJμAμ,

onde Oμv é o operador de onda, dado por

Oμv=nμvμv+1αμv.

As equações de campo se escrevem da forma

(1) Oμv=Av=Jμ,

cuja solução é dada por

Av(x)=Avh(x)+d4y(2π)4Gvμ(xy)Jμ(y),

em que Avh é a solução da equação homogênea associada a (1) e Gvμ são as funções de Green do operador de onda, isto é, são as soluções do seguinte sistema de equações

(2) OμvGvβ(xy)=δμβδ(xy).

Para solucionar (2) usamos as transformadas de Fourier

Gvμ(x)=eipx˜Gvμ(p)dp,
δ(xy)=1(2π)4eip.(xy)dp,

que ao serem substituídas em (2) nos fornece uma equação algébrica, cuja solução será dada pela inversão do operador de onda no espaço de momentos, dado por

Mμv(p)=p2(δμvpμpvp2)p2αpμpvp2,

ou, em termos dos operadores transverso T e longitudinal L,

(3) Mμv(p)=p2Tμv(p)p2αLμv(p).

Portanto, o cálculo das funções de Green se reduz basicamente ao problema de inversão de (3), sendo portanto o objetivo deste trabalho.

Para isso precisamos entender algumas definições matemáticas e um pouco mais sobre projetores.

3. Formalismo matemático

Como vimos, a obtenção das funções de Green se reduz à inversão de operadores lineares, sendo portanto um problema de Álgebra Linear. Tendo isto em mente, faremos uma revisão de alguns conceitos e teoremas da álgebra linear que serão usados para a inversão, os principais sendo o Teorema de Cayley-Hamilton e alguns resultados sobre Projetores e sua relação com decomposição em soma direta. As demonstrações dos teoremas enunciados nesta seção se encontram no Apêndice.

Dado um operador linear T:VV , onde V é um espaço vetorial de dimensão finita, seu polinômio característico é definido por

(4) p(λ)=det(AλI),

onde I é a matriz identidade (usaremos a mesma notação para o operador identidade) e A=[T]B é a matriz de T na base B={v1...,vd}, definida por Tvj=iAijvi.

Como sabemos, o polinômio característico p de T nos fornece seus autovalores (raízes de p), e em particular nos permite saber se T é inversível, já que este é o caso se, e somente se, p(0)=detA0. Além disso, como veremos a seguir, o polinômio característico também nos permite determinar o inverso T-1 de T.

Teorema 1.(teorema de Cayley-Hamilton) SejaT:VVum operador linear e p o seu polinômio característico. Então p anula o operador T, isto é, p(T)=0.

Teorema 2 (Polinômio Minimal) Seja T:VV um operador linear. Então existe um único polinômio de grau K1

p0(λ)=akλk+ak1λk1+...+a0

mônico (ak=1), o qual é o polinômio mônico de menor grau dentre aqueles que anulam T, sendo denominado o polinômio minimal de T. Além disso, p0 divide o polinômio característico de T e possui as mesmas raízes.

3.1. Consequência do Teorema de Cayley-Hamilton

Seja p(λ)=adλd+...+a1λ+a0 o polinômio característico de T, pelo teorema 1 temos

p(T)=adTd+...+a1T+a0I=0.

Agora, supondo que T seja inversível, ou seja, detA=p(0)=a00, e multiplicando ambos os membros da igualdade por T-1 obtemos adT(d1)+...+a1I+a0T1=0, donde

(5) T1=1a0(adT(d1)+...+a1I).

Assim, se T é inversível, então T-1 é uma combinação linear das potências de T e da identidade I, com coeficientes determinados pelo polinômio característico de T. Devemos observar que podemos utilizar qualquer polinômio que anule T, como por exemplo seu polinômio minimal p0, este tendo a possível vantagem de diminuir a ordem das potências que aparecem em (5), porém, encontrar p0 pode não ser uma tarefa fácil. Feita esta observação, discutiremos algumas implicações decorrentes de (5), que são relevantes em geral, e em particular para o caso de operadores de onda.

Suponhamos que T seja dado por uma combinação linear

(6) T=ni=1αiTi,

o que ocorre com operadores de onda, como em (3), vemos que T-1, caso exista, será uma combinação linear de I e produtos dos operadores Ti. Temos assim a motivação para determinar os produtos TiTj.

Um caso particular interessante ocorre quando TiTj. pertencem a Lin{T1,...,Tn} (subespaço gerado pelos operadores Ti, isto é TiTj=kβijkTk. De fato, se T=iαiTi for inversível, então T1Lin{I,T1,...,Tn}, ou seja, será uma combinação linear de I e dos Ti. Notemos que, neste caso, o subespaço Lin{I,T1,...,Tn} será uma subálgebra, ou seja, se T, ULin{I,T1,,Tn} sendo T inversível, então TU,T1Lin{I,T1,...,Tn}.

Definicao 1. Seja P:VV um operador linear. Dizemos que P é um projetor se, e somente se, P2=P. Operadores deste tipo são ditos Idempotentes.

Uma consequência imediata é que todo vetor na imagem ImgP={Pv;vV} de um projetor P é seu autovetor com autovalor 1. De fato, se wImgP, então w=PvPw=P2v=Pv, ou seja, Pw=w.

Teorema 3. Seja P:VV um projetor, então têm-se

(7) V=ImgPkerP.

Ou seja, um projetor P decompõe V como soma direta da sua imagem e do seu núcleo ker P={v;Pv=0}.Além disso, (V) (ker P)+ dim(ImgP).

Teorema 4. Seja P um projetor, então I-P também é projetor. Além disso

(8) kerP=Img(I-P),ImgP=ker(I-P).

Teorema 5. Seja W=W1...WnV a soma direta dos subespaços Wi. Se, para cada i, Bi é uma base de Wi, então a união delas B=B1Bn é uma base do subespaço W, e portanto W=ni=1dimWi.

4. Solução do Problema

Visto que o operador de onda no espaço de momentos (3) é escrito de forma semelhante a seguinte

(9) Mμv=αLμv+βTμv,

onde α,β. Nosso objetivo principal será usar (9) para obter o operador inverso de (3) da forma mais geral possível. Para isso iniciaremos um estudo mais profundo dos operadores L,T:dd, definidos por (Lx)μ=Lμvxve(Tx)μ=Tμvxv,ondex=(x0,...,xd1)d, a fim de mostrar que são projetores e obtermos o núcleo e a imagem de cada um deles.

4.1. Operador L

Primeiro mostraremos que L é projetor, e para isto basta mostrar que o mesmo é idempotente, ou seja, L2=L. De fato, temos

LμvLvθ=pupvp2pvpθp2=Lμθ.

Dando continuidade, encontraremos as dimensões do núcleo e da imagem de L. Considere um vetor xd qualquer, assim temos

(Lx)μ=pμpvp2xv=(pxp2)pμ,

ou seja, Lx=p.xp2p, mostrando que a imagem de L é o subespaço gerado pelo vetor pd Logo

(10) dim(ImgL)=1,

uma vez que p0, pois estamos considerando o caso p20, e pelo teorema 3, segue-se que

(11) dim(kerL)=d1.

4.2. Operador T

Da mesma forma que fizemos para L vamos mostrar que T é projetor. De fato, basta notar que T=IL, e a conclusão segue do teorema 4. Além disso, pelo teorema 3, concluímos que

ImgT=kerLekerT=ImgL.

Observação: como L2=L e T2=T, temos então LT=L(IL)=0; assim, pela discussão da seção anterior, concluímos que caso M=αL+βT seja inversível, então M1 será uma combinação linear de I, L e T.

4.3. Polinômio Característico de M

Agora mostraremos como obter o polinômio característico do operador M=αL+βT a partir dos resultados encontrados sobre L e T=IL. O ponto crucial para isto é a decomposição em soma direta

d=kerLImgL,

fato que decorre de L ser um projetor. De fato, levando em conta os resultados (10) e (11), escolhemos bases B1={v1,v2,,vd1} de ker L e B2={vd} de ImgL, obtendo assim uma base B=B1B2 de d, conforme o teorema 5. Como kerL=ImgT e ImgL=kerT, segue-se B={v1,,vd1,vd} é uma base de autovetores comuns a L e T, de maneira explícita,

  • L(vi)=0,T(vi)=vi,

  • L(vd)=vd,T(vd)=0.

Aplicando M a vi e a vd, temos

M(vi)=αL(vi)+βT(vi)=βvi,M(vd)=αL(vd)+βT(vd)=αvd.

Logo a matriz de M na base B é dada por

[M]B=[β000β00α],

portanto, o polinômio característico de M=αL+βT é

(12) p(λ)=(βλ)(d1)(αλ).

Logo M é inversível se, e somente se, p(0)0, o que equivale a dizer que α, β0.

4.4. Polinômio Minimal de M

Agora, obteremos o polinômio minimal de M, notando que existem duas possibilidades, a saber, α=β e αβ.

Consideremos primeiramente αβ, neste caso mostraremos que p0(λ)=(βλ)(αλ) é o polinômio minimal de M. Como p0 é o polinômio mônico de menor grau que possui as mesmas raízes que o polinômio característico de M, basta mostrar que p0 anula M. De fato, aplicando p0(M) aos vetores da base B, obtemos

p0(M)(vi)=(αIM)(βIM)(vi),
p0(M)(vi)=(αIM)(βviβvi)=0,

e de forma análoga,

p0(M)(vd)=(βIM)(αvdαvd)=0.

Portanto, conclui-se que p0(λ)=(βλ)(αλ) é mesmo o polinômio minimal de M para αβ.

Já para α=β, o polinômio minimal de M é p0(λ)=(λα). Com efeito, neste caso tal polinômio mônico é o de menor grau que possui as mesmas raízes que o característico de M, e como M=α(L+T)=αI temos p0(M)=(MαI)=0.

5. Cálculo do Propagador

Por fim, vamos aplicar o método e obter M1 partindo do polinômio minimal p0(λ)=(βλ)(αλ) de M, para o caso αβ. Como

(βIM)(αIM)=0,

então

βαIβMαM+M2=0,

multiplicando ambos os membros por M1, temos

M1=1α(IT)+1β(IL),

como T=IL,

M1=1α(II+L)+1βT,

portanto,

(13) M1=1αL+1βT.

Notemos que este resultado também é válido para α=β, pois neste caso temos M=α(L+T)=αI. Diante do resultado (13) é evidente que para encontrarmos o inverso de (3) basta invertermos os termos que acompanham os operadores L e T, assim obtemos

(14) ˜Gμv(p)=1p2[δμv(1α)pμpvp2].

6. Conclusão e Perspectivas

Neste artigo foi abordado o problema da obtenção do propagador da Eletrodinâmica de forma alternativa obtendo o resultado já conhecido na literatura [5-7].

Embora o método seja um pouco trabalhoso, este nos oferece uma forma mais rica de realizar este cálculo, uma vez que faz amplo uso dos métodos da álgebra linear, permitindo assim a sua utilização nas matérias de Física ou Matemática elementares como um exemplo de aplicação.

Visto que o método nos oferece uma separação em soma direta de subespaços; será interessante saber se o método pode ter utilidade prática, sendo, por isso, necessário generalizá-lo para obter o propagador do graviton, onde sabe-se que aparecem setores não diagonais no cálculo do propagador [5-7].

Material Suplementar

O seguinte material suplementar está disponível online:

Apêndice

Referências

  • [1] C. Itzykson e J.B. Zuber, Quantum Field Theory (Mcgraw-hill, New York, 1980), p. 705.
  • [2] L.H. Ryder, Quantum Field Theory (Cambridge University Press, Cambridge, 1996).
  • [3] M.D. Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model (Cambridge University Press, Cambridge, 2013).
  • [4] M.E. Peskin e D.V. Schroeder, An Introduction to quantum field theory (Addison-Wesley Publishing Company, Boston, 1995).
  • [5] A. Accioly, J. Helayel-Neto, B. Pereira-Dias e C. Hernaski, Phys. Rev. D 86, 105046 (2012).
  • [6] A.P. Baeta Scarpelli, H. Belich, J.L. Boldo and J.A. Helayel-Neto, Phys. Rev. D 67, 085021 (2003).
  • [7] J.L. Boldo, J.A. Helayel-Neto, L.M. Moraes, C.A.G. Sasaki e V.J. Vasquez Otoya, Phys. Lett. B 689, 112 (2010).
  • [8] S. Lang, Linear Algebra (Springer-Verlag, New York, 2002).
  • [9] E.L. Lima, Álgebra Linear (IMPA, Rio de Janeiro, 2014).
  • [10] S.J. Axler, Linear Algebra Done Right (Springer-Verlag, New York, 2015).

Datas de Publicação

  • Publicação nesta coleção
    2019

Histórico

  • Recebido
    26 Jul 2018
  • Revisado
    05 Nov 2018
  • Aceito
    07 Nov 2018
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