Deduction of the Tight-Binding Hamiltonian Matrix using the discretization of the Schrödinger Equation

In this work, we set up a Hamiltonian matrix for a non-interacting two-dimensional electron gas. These systems can be formed at the heterostructures interface of GaAs-AlGaAs and, in the presence of confinement potentials, be used as quantum transistors. Starting from the Schrödinger equation in the approximation of the effective mass, we deduce the Hamiltonians 1D and 2D on the basis of Tight-Binding sites. These Hamiltonians were obtained through the procedure of discretization of the Schrödinger equation. For the one-dimensional case, the result found was the well-known tridiagonal matrix and, for the two-dimensional case, a block tridiagonal matrix. The discretization performed allowed the deduction of the values of the site and hopping energies of the studied system. These results demonstrate the direct link between the Schrödinger equation and the Tight-Binding method, and such results are very useful in the realization of numerical methods, which are not addressed in the basic literature of Solid State Physics.

Keywords:
Tight Binding; Schrödinger equation; discretization

Authorship

Rodrigo M. Costa

Universidade Federal do ABC, Centro de Ciências Naturais e Humanas, 09210-170, Santo André, SP, Brasil.Universidade Federal do ABCBrasilSanto André, SP, BrasilUniversidade Federal do ABC, Centro de Ciências Naturais e Humanas, 09210-170, Santo André, SP, Brasil.

Michel Mendoza ^**Endereço de correspondência: michel.mendoza@ufabc.edu.br.

http://orcid.org/0000-0002-9855-249X

^*Endereço de correspondência: michel.mendoza@ufabc.edu.br.

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Figura 1
(a) Representação pictórica de uma heteroestrutura de GaAs e AlGaAs crescida epitaxialmente na direção z (parte superior). O GaAs se comporta como um poço de potencial e o AlGaAs como uma barreira de potencial (parte inferior). Desta forma na direção z o sistema é confinado e na direção xy a partícula é totalmente livre. (b) Representação pictórica de um

2 D E G

formado na interface entre o GaAs e AlGaAs (plano xy), na esquerda. A técnica de split gate permite gerar uma caixa quântica aberta controlada pelos potenciais

V_{g}

Δ V

, na direita.

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Figura 2
(a) Átomos (naturais ou artificiais) ou sítios desacoplados totalmente. (b) Os sítios anteriores agora acoplados mediante uma energia de hopping t. (c) O sistema acoplado forma uma banda de energia ao redor da energia de sítio

ϵ_{o}

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Figura 3
O procedimento de discretização da equação de Schrödinger significa discretizar o comportamento continuo da função de onda. Esta discretização resulta num Hamiltoniano Tight Binding, o qual pode ser representado espacialmente como em (a). Onde os sítios da discretização são acoplados mediante energias hopping

t_{x}

t_{y}

. (b) Modelamento de uma caixa quântica aberta usando a rede Tight Binding, aqui os sítios em negrito representam barreiras de potencial geradas, de altura

V_{m n}

, por exemplo, usando técnicas de split gate.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Figura 1 (a) Representação pictórica de uma heteroestrutura de GaAs e AlGaAs crescida epitaxialmente na direção z (parte superior). O GaAs se comporta como um poço de potencial e o AlGaAs como uma barreira de potencial (parte inferior). Desta forma na direção z o sistema é confinado e na direção xy a partícula é totalmente livre. (b) Representação pictórica de um $2 D E G$ formado na interface entre o GaAs e AlGaAs (plano xy), na esquerda. A técnica de split gate permite gerar uma caixa quântica aberta controlada pelos potenciais $V_{g}$ e $Δ V$ , na direita.

Figura 2 (a) Átomos (naturais ou artificiais) ou sítios desacoplados totalmente. (b) Os sítios anteriores agora acoplados mediante uma energia de hopping t. (c) O sistema acoplado forma uma banda de energia ao redor da energia de sítio $ϵ_{o}$ .

Figura 3 O procedimento de discretização da equação de Schrödinger significa discretizar o comportamento continuo da função de onda. Esta discretização resulta num Hamiltoniano Tight Binding, o qual pode ser representado espacialmente como em (a). Onde os sítios da discretização são acoplados mediante energias hopping $t_{x}$ e $t_{y}$ . (b) Modelamento de uma caixa quântica aberta usando a rede Tight Binding, aqui os sítios em negrito representam barreiras de potencial geradas, de altura $V_{m n}$ , por exemplo, usando técnicas de split gate.

(1)

- \frac{ℏ^{2}}{2} \nabla . [\frac{1}{m^{*} (r)} \nabla ψ (r)] + V (r) ψ (r) = E ψ (r)

(2)

H = (\begin{matrix} ϵ_{s}^{1} & t & 0 & . & . & . & . & 0 \\ t & ϵ_{s}^{2} & t & 0 & . & . & . & . \\ 0 & t & ϵ_{s}^{3} & t & 0 & . & . & . \\ . & 0 & t & ϵ_{s}^{4} & t & 0 & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & 0 \\ . & . & . & . & . & . & . & t \\ 0 & . & . & . & . & 0 & t & ϵ_{s}^{N} \end{matrix})

(3)

H ψ (x) = - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*}} ψ^{''} (x) + V (x) ψ (x) = E ψ (x)

ψ (x) = ψ (x_{0}) + ψ^{'} (x_{0}) Δ x + \frac{ψ^{''} (x_{0}) Δ x^{2}}{2} + \frac{ψ^{'''} (x_{0}) Δ x^{3}}{6} + \dots

ψ (x) = ψ (x_{0}) + ψ^{'} (x_{0}) Δ x + \frac{ψ^{''} (x_{0}) Δ x^{2}}{2}

ψ (x + Δ x) = ψ (x) + ψ^{'} (x) Δ x + \frac{ψ^{''} (x) Δ x^{2}}{2}

ψ (x - Δ x) = ψ (x) - ψ^{'} (x) Δ x + \frac{ψ^{''} (x) Δ x^{2}}{2}

ψ (x + Δ x) + ψ (x - Δ x) = 2 ψ (x) + ψ^{''} (x) Δ x^{2}

ψ^{''} (x) = \frac{1}{Δ x^{2}} [ψ (x + Δ x) - 2 ψ (x) + ψ (x - Δ x)]

(4)

ψ^{''} (x) = \frac{1}{a^{2}} [ψ (x + a) - 2 ψ (x) + ψ (x - a)]

\begin{aligned} H ψ (x) = - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}} [ψ (x + a) - 2 ψ (x) + ψ (x - a)] \\ + V (x) ψ (x) \end{aligned}

H | m ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [| m + 1 ⟩ - 2 | m ⟩ + | m - 1 ⟩] + V_{m} | m ⟩

\begin{aligned} H | m ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) | m + 1 ⟩ + (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) | m - 1 ⟩ \\ + (\frac{ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{m}) | m ⟩ \end{aligned}

(5)

\begin{aligned} ⟨ m^{'} | H | m ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) ⟨ m^{'} | | m + 1 ⟩ \\ + (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) ⟨ m^{'} | | m - 1 ⟩ + (\frac{ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{m}) ⟨ m^{'} | | m ⟩ \end{aligned}

⟨ i | | j ⟩ = {\begin{array}{cc} 1, & s e i = j \\ 0, & s e i \neq j \end{array}

\begin{aligned} ⟨ m | H | m ⟩ = (\frac{ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{m}) = ϵ_{s} \end{aligned}

t_{x} = t = - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}

- \frac{ℏ^{2}}{2} \frac{d}{d z} [\frac{1}{m^{*} (z)} \frac{d}{d z} ψ (z)] + V (z) ψ (z) = E ψ (z)

\frac{d}{d z} f (z) \approx \frac{f (z + a) - f (z - a)}{2 a}

\frac{d^{2}}{d z^{2}} f (z) \approx \frac{f (z + a) - 2 f (z) + f (z - a)}{a^{2}}

\begin{aligned} - \frac{ℏ^{2}}{8 a^{2}} [\frac{1}{m^{*} (z + a)} - \frac{1}{m^{*} (z - a)}] [ψ (z + a) - ψ (z - a)] \\ - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} (z) a^{2}} [ψ (z + a) - 2 ψ (z) + ψ (z - a)] \\ + V (z) ψ (z) = E ψ (z) \end{aligned}

M = [\frac{1}{m^{*} (z + a)} - \frac{1}{m^{*} (z - a)}],

\begin{aligned} - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} (z) a^{2}} [1 + \frac{m^{*} (z) M}{4}] ψ (z + a) \\ - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} (z) a^{2}} [1 - \frac{m^{*} (z) M}{4}] ψ (z - a) \\ + [\frac{ℏ^{2}}{m^{*} (z) a^{2}} + V (z)] ψ (z) = H ψ (z) = E ψ (z) \end{aligned}

\begin{aligned} H | m ⟩ = [\frac{ℏ^{2}}{m^{*} (z) a^{2}} + V_{m}] | m ⟩ - \\ \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} (z) a^{2}} [1 + \frac{m^{*} (z) M}{4}] | m + 1 ⟩ - \\ \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} (z) a^{2}} [1 - \frac{m^{*} (z) M}{4}] | m - 1 ⟩ \end{aligned}

(6)

\begin{aligned} H ψ (x, y) = - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*}} [\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}] ψ (x, y) + V (x, y) ψ (x, y) \\ = E (x, y) ψ (x, y) \end{aligned}

H = - \frac{ℏ^{2} \nabla^{2}}{2 m^{*}} + V (x, y)

ψ (x + Δ x, y) = ψ (x, y) + ψ_{x}^{'} (x, y) Δ x + \frac{ψ_{x}^{''} (x, y) Δ x^{2}}{2}

ψ (x - Δ x, y) = ψ (x, y) - ψ_{x}^{'} (x, y) Δ x + \frac{ψ_{x}^{''} (x, y) Δ x^{2}}{2}

\begin{aligned} ψ_{x}^{''} (x, y) Δ x^{2} + 2 ψ (x, y) = ψ (x + Δ x, y) + \\ ψ (x - Δ x, y) \end{aligned}

\begin{aligned} ψ_{x}^{''} (x, y) = \frac{1}{Δ x^{2}} [ψ (x + Δ x, y) - 2 ψ (x, y) \\ + ψ (x - Δ x, y)] \end{aligned}

ψ (x, y + Δ y) = ψ (x, y) + ψ_{y}^{'} (x, y) Δ y + \frac{ψ_{y}^{''} (x, y) Δ y^{2}}{2}

ψ (x, y - Δ y) = ψ (x, y) - ψ_{y}^{'} (x, y) Δ y + \frac{ψ_{y}^{''} (x, y) Δ y^{2}}{2}

\begin{aligned} ψ_{y}^{''} (x, y) = \frac{1}{Δ y^{2}} [ψ (x, y + Δ y) - 2 ψ (x, y) \\ + ψ (x, y - Δ y)] \end{aligned}

\begin{aligned} H ψ (x, y) = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [ψ (x, y + a) - 2 ψ (x, y) + \\ ψ (x, y - a)] + (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [ψ (x + a, y) - 2 ψ (x, y) + \\ ψ (x - a, y)] + V (x, y) ψ (x, y) \end{aligned}

\begin{aligned} H ψ (x, y) = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [ψ (x, y + a) - 4 ψ (x, y) + \\ ψ (x, y - a)] + (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [ψ (x + a, y) + ψ (x - a, y)] \\ + V (x, y) ψ (x, y) \end{aligned}

\begin{aligned} H | m, n ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [| m, n + 1 ⟩ + | m, n - 1 ⟩] + \\ (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [| m + 1, n ⟩ + | m - 1, n ⟩] + \\ (\frac{2 ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{m, n}) | m, n ⟩ \end{aligned}

(7)

\begin{aligned} ⟨ m^{'}, n^{'} | H | m, n ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ m^{'}, n^{'} | | m, n + 1 ⟩ + \\ ⟨ m^{'}, n^{'} | | m, n - 1 ⟩] + (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ m^{'}, n^{'} | | m + 1, n ⟩ + \\ ⟨ m^{'}, n^{'} | | m - 1, n ⟩] + (\frac{2 ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{m, n}) ⟨ m^{'}, n^{'} | | m, n ⟩ \end{aligned}

\begin{aligned} ⟨ 1, n^{'} | H | 1, n ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ 1, n^{'} | | 1, n + 1 ⟩ + \\ ⟨ 1, n^{'} | | 1, n - 1 ⟩] + (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ 1, n^{'} | | 2, n ⟩ + \\ ⟨ 1, n^{'} | | 0, n ⟩] + (\frac{2 ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{1, n}) ⟨ 1, n^{'} | | 1, n ⟩ \end{aligned}

\begin{aligned} ⟨ 1, n^{'} | H | 1, n ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ 1, n^{'} | | 1, n + 1 ⟩ + \\ ⟨ 1, n^{'} | | 1, n - 1 ⟩] + (\frac{2 ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{1, n}) ⟨ 1, n^{'} | | 1, n ⟩ \end{aligned}

ϵ_{s} = \frac{2 ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{m, n}

\begin{aligned} ⟨ 1, n^{'} | H | 2, n ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ 1, n^{'} | | 2, n + 1 ⟩ + \\ ⟨ 1, n^{'} | | 2, n - 1 ⟩] + (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ 1, n^{'} | | 3, n ⟩ + \\ ⟨ 1, n^{'} | | 1, n ⟩] + (\frac{2 ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{1, n}) ⟨ 1, n^{'} | | 2, n ⟩ \end{aligned}

\begin{aligned} ⟨ 1, n^{'} | H | 2, n ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ 1, n^{'} | | 1, n ⟩] \end{aligned}

\begin{aligned} ⟨ 2, n^{'} | H | 1, n ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ 2, n^{'} | | 2, n ⟩] \end{aligned}

\begin{aligned} (\begin{matrix} (\begin{matrix} ϵ_{s}^{1, 1} & t_{y} & 0 \\ t_{y} & ϵ_{s}^{1, 2} & t_{y} \\ 0 & t_{y} & ϵ_{s}^{1, 3} \end{matrix}) & (\begin{matrix} t_{x} & 0 & 0 \\ 0 & t_{x} & 0 \\ 0 & 0 & t_{x} \end{matrix}) & (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} t_{x} & 0 & 0 \\ 0 & t_{x} & 0 \\ 0 & 0 & t_{x} \end{matrix}) & (\begin{matrix} ϵ_{s}^{2, 1} & t_{y} & 0 \\ t_{y} & ϵ_{s}^{2, 2} & t_{y} \\ 0 & t_{y} & ϵ_{s}^{2, 3} \end{matrix}) & (\begin{matrix} t_{x} & 0 & 0 \\ 0 & t_{x} & 0 \\ 0 & 0 & t_{x} \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) & (\begin{matrix} t_{x} & 0 & 0 \\ 0 & t_{x} & 0 \\ 0 & 0 & t_{x} \end{matrix}) & (\begin{matrix} ϵ_{s}^{3, 1} & t_{y} & 0 \\ t_{y} & ϵ_{s}^{3, 2} & t_{y} \\ 0 & t_{y} & ϵ_{s}^{3, 3} \end{matrix}) \end{matrix}) \end{aligned}

t_{x} = t_{y} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}

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