Investigando a natureza da gravidade com os métodos da informação quântica

Exploring the nature of gravity with quantum information methods

Resumo

O objetivo deste artigo é fornecer uma introdução ao uso dos métodos da informação quântica na investigação da interface entre a teoria quântica e a gravitação. Para isso, discutimos os princípios básicos de duas linhas de pesquisa atuais que seguem essa abordagem. A primeira delas estuda um fenômeno conhecido como emaranhamento gravitacionalmente induzido, e busca inferir se o campo gravitacional responsável pela interação entre dois corpos massivos deve ser quantizado ou não. A segunda linha investiga estruturas causais, e com isso visa atestar indiretamente se o espaço-tempo apresenta um comportamento não clássico. Antes de apresentar tais tópicos, revisamos de forma breve alguns conceitos e experimentos fundamentais da informação quântica, como o interferômetro de Mach-Zehnder, o experimento de Stern-Gerlach, desigualdades de Bell e emaranhamento, e a linguagem de circuitos quânticos.

Palavras-chave:
Informação quântica e gravidade; emaranhamento gravitacionalmente induzido; ordem causal indefinida.

Abstract

The aim of this article is to provide an introduction to the use of quantum information methods for investigating the interface between quantum theory and gravity. To this end, we discuss the basic principles of two current research streams that use this approach. The first one explores a phenomenon known as gravitationally induced entanglement, which aims to infer whether the gravitational field responsible for the interaction between two massive bodies must be quantized or not. The second stream investigates causal structures, thereby providing indirect evidence that spacetime may exhibit non-classical behavior. Before presenting these topics, we briefly review some fundamental concepts and experiments from quantum information theory, such as the Mach-Zehnder interferometer, the Stern-Gerlach experiment, Bell inequalities and entanglement, and the language of quantum circuits.

Keywords:
Quantum information and gravity; gravitationally induced entanglement; indefinite causal order.

1. Introdução

A teoria quântica e a relatividade geral são os dois pilares fundamentais da física moderna. Com elas, somos capazes de descrever fenômenos que vão desde o comportamento das menores partículas que conhecemos, como átomos, elétrons e fótons, até a dinâmica de grandes estruturas cósmicas, como estrelas, galáxias e buracos negros. No entanto, essas teorias se aplicam a regimes distintos: a mecânica quântica descreve com grande precisão os fenômenos no mundo microscópico, enquanto a relatividade geral explica com sucesso o comportamento do universo em escalas macroscópicas. Até hoje, ainda não sabemos como unificá-las em uma teoria completa e coerente.

A teoria quântica de campos [¹] é, até hoje, a nossa mais abrangente teoria, pois unifica a física quântica e a relatividade especial. Tentativas de incluir o campo gravitacional nessa unificação tratando-o como um sistema quântico levaram à formulação de diversas candidatas à teoria de gravitação quântica, como a teoria das cordas [², ³] e a gravitação quântica de laços [⁴]. O foco principal dessas teorias é o regime de altas energias, como a formação de buracos negros e a física no universo primordial, logo após o Big Bang. Portanto, é difícil fazer predições razoavelmente testáveis que nos permitam inferir qual candidata à teoria de gravidade quântica seria a mais adequada.

Entretanto, uma questão ainda mais fundamental segue em aberto: será que a gravidade deve mesmo ser tratada como um sistema quântico? A verdade é que não sabemos se quantizar a gravidade é de fato necessário em um mundo consistente com ambas teorias [⁵]. Uma alternativa seria assumir que a gravidade induz modificações na mecânica quântica [⁶, ⁷], o que pode ser chamado de “gravitização” da teoria quântica [⁷]. Tais teorias preveem fenômenos interessantes, como a geração de ruído associado ao colapso da função de onda [⁸].

Em meio a tantas teorias e fenômenos que ainda não fomos capazes de verificar, haveria uma forma de ao menos inferir qual seria a melhor direção a tomar para desvendar os mistérios entre a teoria quântica e a gravitação? Nesse contexto, a área de informação quântica tem um papel relevante, pois se dedica a caracterizar o que significa ser quântico e o quanto esse comportamento se distancia da classicalidade. Assim, o problema de determinar se a gravidade deve ou não ser quantizada se alinha bem com as ferramentas desenvolvidas por essa área.

Para compreender como a informação quântica pode contribuir com essa discussão, é importante entender brevemente o que essa área investiga [⁹]. De maneira geral, a informação quântica estuda como a informação é representada, manipulada e transmitida em sistemas governados pelas leis da mecânica quântica. Seu ingrediente central são os bits quânticos, ou qubits, que possuem uma álgebra muito mais rica do que os tradicionais bits $0$ e $1$. Um qubit pode estar em um estado de superposição, descrito pelas bases $|0⟩$ e $|1⟩$, o que permite explorar possibilidades inéditas em processamento de informação. Além disso, eles não podem ser copiados devido ao princípio de não clonagem quântica [¹⁰, ¹¹], que garante segurança para diversos protocolos de comunicação quântica [¹²]. Outro fenômeno fundamental é o emaranhamento, que surge da interação entre dois ou mais qubits e não pode ser completamente reproduzido por sistemas clássicos. Esse recurso é uma das principais razões para a eficiência de algoritmos em computação quântica e protocolos de comunicação quântica [¹²].

Neste artigo, vamos discutir brevemente alguns experimentos e resultados fundamentais, que nos permitem entender e caracterizar o que torna a superposição de estados e o emaranhamento fenômenos que não podem ser explicados pela física clássica. Em particular, vamos abordar o interferômetro de Mach-Zehnder, que nos permite verificar o comportamento de onda-partícula da luz e da matéria, e o experimento de Stern-Gerlach, no qual verificamos que o spin de partículas elementares é discreto. Além disso, vamos discutir as desigualdades de Bell, que nos permitem verificar e testar de forma simples e elegante que fenômenos quânticos não podem ser explicados de maneira clássica. Finalmente, introduzimos os elementos básicos da linguagem de circuitos, que é bastante útil para descrever a evolução de um sistema quântico, e nos auxiliará em discussões posteriores.

Esses experimentos e ferramentas matemáticas são bem estabelecidos. Eles possuem várias aplicações em novas tecnologias [¹²] e no próprio desenvolvimento dos fundamentos da teoria quântica [¹³, ¹⁴]. Aqui, porém, o nosso foco será em aplicar tais princípios para explorar se natureza da gravidade é quântica ou não. Em lugar de estudar detalhadamente uma dada teoria de gravidade quântica, pretendemos inferir se é de fato necessário formular uma teoria em que a gravidade não seja clássica. Para isso, vamos mostrar como a interferometria, a geração de emaranhamento, e as desigualdades de Bell podem ser adaptadas e generalizadas para explorar propriedades do campo gravitacional, expondo de forma didática os princípios de dois temas recentes de pesquisa: emaranhamento gravitacionalmente induzido (EGI) [¹⁵, ¹⁶] e ordem causal indefinida (OCI) [¹⁷].

Neste material, não temos intenção de fazer uma revisão bibliográfica. Ele serve como uma introdução à interface da informação quântica e gravidade e faz referência a alguns trabalhos que contribuem para a elaboração dos tópicos abordados, suas interpretações e possíveis direções de pesquisa. No primeiro desses temas (EGI), como o próprio nome diz, investigamos a possibilidade de criar emaranhamento entre duas partículas a partir de sua interação gravitacional. Propostas para a realização desse experimento são bastante concretas, e podem vir a ser realizadas em um futuro próximo. Mas o que esses experimentos vão nos permitir concluir sobre o comportamento quântico da gravidade é tópico de um intenso debate. Já o segundo tema (OCI) busca reconciliar propriedades radicais da teoria quântica e da relatividade geral, tendo como foco o estudo de estruturas causais. Uma das consequências dessa reconciliação é a existência de situações em que não podemos atribuir uma relação fixa de passado e futuro entre eventos, e diversas ferramentas matemáticas foram elaboradas para descrever esses processos com ordem causalindefinida.

Para melhor entendimento desses temas, discutimos na seção 2 os elementos chaves da informação quântica, os quais mencionamos acima. Nas seções 3 e 4, que são independentes entre si, descrevemos como utilizar e adaptar os métodos da informação quântica para estudar a gravidade. Na seção 3 introduzimos as ideias fundamentais para o fenômeno de emaranhamento gravitacionalmente induzido, e na seção 4 para ordem causal indefinida. Ao final de cada seção, discutimos as implicações e controvérsias de cada tópico. Na seção 5, apresentamos nossas considerações finais.

2. Princípios da Informação Quântica

Revisaremos aqui alguns elementos fundamentais de informação quântica, como o interferômetro de Mach-Zehnder, o experimento de Stern-Gerlach, emaranhamento, desigualdades de Bell, e a linguagem de circuitos. Nosso objetivo é estabelecer o contexto e a linguagem que será utilizada no capítulo seguinte. Apesar de o texto a seguir ser acessível àqueles que têm pouca familiaridade com a teoria quântica, ele não substitui um estudo sistemático em cada um dos tópicos apresentados. O leitor já especializado em informação quântica pode prosseguir diretamente à seção 3 ou àseção 4.

2.1. O interferômetro de Mach-Zehnder

Aqui vamos introduzir o interferômetro de Mach-Zehnder e os pontos principais que serão necessários para nossa abordagem nas seções seguintes. Um estudo detalhado sobre interferometria óptica pode ser encontrado na referência [¹⁸], enquanto um estudo direcionado ao interferômetro de Mach-Zehnder pode ser visto em [¹⁹].

O interferômetro de Mach-Zehnder é um aparato simples de óptica que consiste de dois espelhos normais e dois espelhos semi-transparentes (divisores de feixe/beam-splitters) dispostos simetricamente em uma mesa. A Figura 1 representa a mesa vista de cima. Considere inicialmente a Figura 1(A). Uma fonte de luz é colocada antes do primeiro divisor de feixes, localizado na parte inferior esquerda. Essa luz vai percorrer o aparato até o canto direito superior, onde há 2 detectores que ‘clicam’ ao receber luz. Quando a luz encontra um espelho semi-transparente, existe 50% de chance de que ela seja transmitida e 50% de chance de reflexão.

Figura 1
Configuração básica de um interferômetro de Mach-Zehnder. Os items (A)-(C) representam luz clássica, isto é, uma onda, e (D) representa uma partícula de luz, isto é, um fóton. A diferença de tamanho entre os dois possíveis caminhos para a luz define o padrão de detecção obtido em D₁ e D₂. (A) Caminhos de tamanho idêntico levam à interferência construtiva total em D₁ e destrutiva total em D₂. (B) Uma diferença de caminho é gerada pela introdução de um desvio no caminho de baixo, o que leva à interferência parcial nos detectores. (C) A diferença de caminho é gerada por um deslocador de fase, e também gera interferência parcial. (D) Interferômetro Mach-Zehnder para uma partícula. A estatística gerada após várias detecções é a mesma que para uma onda clássica.

Se enviarmos um feixe de luz e nos certificarmos de que os dois caminhos têm o mesmo tamanho, como na Figura 1(A), apenas o detector D₁ receberá luz. Isso é uma consequência do efeito de interferência, uma característica ondulatória prevista pela óptica e eletromagnetismo clássicos. Devido à fase acumulada nas reflexões em cada um dos caminhos, a diferença de fase entre as duas componentes da onda que chega em D₁ é nula, gerando uma interferência construtiva total. Já no detector D₂, esta diferença de fase é de meio comprimento de onda, gerando uma interferência destrutiva total, ou seja, ele não recebe luz. Esse experimento pode ser visto como uma variação do experimento de fenda dupla, aquele no qual ondas luminosas vindas de dois focos se sobrepõem e sofrem interferência, gerando faixas claras e escuras em um anteparo.

Se variarmos o tamanho de um dos caminhos percorridos como na Figura 1(B), é possível fazer com que D₂ receba certa quantidade de luz. Se a diferença de caminhos for igual a meio comprimento de onda, acontece o efeito inverso: as ondas se sobrepõem com interferência construtiva na região de D₂ e totalmente destrutiva em D₁. Na prática, variar essa diferença de comprimento pouco a pouco é como percorrer um padrão de faixas claras e escuras um pedaço de cada vez. Também é possível fazer isso usando um deslocador de fase, um pedaço de material que muda a fase da onda que passa por ele. Isso produz um efeito análogo a alongar o caminho percorrido, como ilustrado na Figura 1(C).

Por que este experimento aparentemente clássico revela algo sobre a teoria quântica? A descrição do que ocorre acima se torna completamente diferente quando reconhecemos a unidade básica da luz, o fóton. Sabemos que a luz possui comportamento de partícula graças à detecção e explicação teórica do efeito fotoelétrico em 1905 [²⁰]. Esse efeito corrobora a hipótese de que a luz só transfere energia em quantidades discretas ou ‘quanta’. Considere a realização desse mesmo experimento com um único fóton, como na Figura 1(D). De fato, desde os anos 80 existem fontes que emitem apenas um fóton por vez [²¹]. Para esse caso, seria contraintuitivo usar a teoria ondulatória. Se uma partícula tem 50% de chance de ser refletida e 50% de chance de ser transmitida nos divisores, espera-se que cada detector tenha clicado aproximadamente 50% das vezes depois de várias rodadas. Mas não é isso que acontece. Mesmo para fontes que liberam um fóton de cada vez, observamos apenas cliques no detector D₁ 100% das vezes. Esse é um comportamento inesperado para uma partícula e a mecânica clássica falha em descrevê-lo. Dizemos que ele é uma evidência da chamada dualidade onda-partícula da luz. Para explicá-lo, precisamos recorrer à mecânica quântica.

Para descrever matematicamente um experimento quântico, precisamos considerar um espaço de Hilbert $\mathscr{H}$ [²²], que é um espaço vetorial com produto interno. No caso do interferômetro de Mach-Zehnder, em que há dois caminhos possíveis, temos um espaço vetorial complexo de dimensão dois $\mathscr{H}={ℂ}^2$. Sistemas representados por tal espaço são denominados qubits, e seus estados são representados por vetores em ${ℂ}^2$, e podem ser expressos em termos da base:

(1) $$|\text{0}⟩:=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),|\text{1}⟩:=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).$$

O estado $|\text{0}⟩$ representa a partícula no caminho que começa no laser, passa pelo braço de cima do interferômetro, e termina no detector D₁, enquanto $|\text{1}⟩$ representa o caminho complementar, que começa abaixo do primeiro divisor de feixes, passa pelo braço de baixo, e termina em D₂.

Com esta definição, se $|{\psi }_{\text{f}}⟩$ é o estado final do fóton, as probabilidades de que o detector D₁ ou D₂ cliquem são dadas pelo quadrado dos produtos internos:

(2) $$P_{{\text{D}}_1}={\left|⟨0|{\psi }_{\text{f}}⟩\right|}^2{P}_{{\text{D}}_2}={\left|⟨1|{\psi }_{\text{f}}⟩\right|}^2.$$

Se, por exemplo, $|{\psi }_{\text{f}}⟩=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$, em que $\alpha$ e $\beta$ são números complexos, temos que $⟨0|{\psi }_{\text{f}}⟩=\left(\mathrm{1,0}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\alpha$ e $⟨1|{\psi }_{\text{f}}⟩=\left(\mathrm{0,1}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\beta$, resultando em $P_{{\text{D}}_1}={\left|\alpha \right|}^2$ e $P_{{\text{D}}_2}={\left|\beta \right|}^2$.

Assumindo então que os estados do fóton podem ser representados pelos vetores acima, podemos descrever os resultados do interferômetro de Mach-Zehnder com a mecânica quântica, como a seguir.

O divisor de feixe é representado pela matriz

(3) $$S=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),$$

que é uma operação sobre o vetor de estado. Considerando que o estado inicial é $|0⟩$, ele age como:

(4) $$S|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\frac{|\text{0}⟩+|\text{1}⟩}{\sqrt{2}}.$$

Este estado é uma combinação linear dos estados $|0⟩$ e $|1⟩$, o qual também pertence ao espaço de Hilbert. Vetores deste tipo são chamados estados de superposição quântica. O fóton entra nesse estado depois de passar pelo primeiro divisor de feixes, e a probabilidade de ele ser detectado em cada um dos caminhos é 50%. Essa seria a estatística obtida caso cada detector fosse posicionado em um dos braços, antes do segundo divisor. Porém, quando a luz chega ao segundo divisor, a matriz S é aplicada novamente, e obtemos o estado final:

(5) $$|{\psi }_{\text{f}}⟩=S\left[\frac{|\text{0}⟩+|\text{1}⟩}{\sqrt{2}}\right]=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=|\text{0}⟩,$$

o que nos dá novamente 100% de chance de detecção em D₁.

Caso um deslocador de fase seja adicionado ao interferômetro, como na Figura 1(C), precisamos considerar também a operação que este dispositivo realiza no caminho $|0⟩$. A matriz que representa o deslocador de fase é dada por

(6) $$R=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\phi }\end{array}\right),$$

em que $\phi$ é um número real que chamamos de fase. O valor de $\phi$ depende do índice de refração do deslocador de fase e do seu comprimento na direção do caminho óptico. Este deslocador de fase tem o seguinte efeito no estado do fóton (4) após passar pelo primeiro divisor de feixes:

(7) $$R\left[\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}\right]=\frac{|0⟩+e^{i\phi }|1⟩}{\sqrt{2}}.$$

Para obtermos o estado final do fóton, devemos aplicar a sequência de operações $SRS$ sobre o estado inicial $|0⟩$, o que nos retorna

(8) $$\begin{array}{l}|{\psi }_{\text{f}}⟩=SRS|0⟩=SR\left[{\displaystyle \frac{|\text{0}⟩+|\text{1}⟩}{\sqrt{2}}}\right]=S\left[{\displaystyle \frac{|\text{0}⟩+e^{i\phi }|\text{1}⟩}{\sqrt{2}}}\right]\\ ={\displaystyle \frac{\left(1+e^{i\phi }\right)|\text{0}⟩+\left(1-e^{i\phi }\right)|\text{1}⟩}{2}}.\end{array}$$

Utilizando a equação 2, as probabilidades de detecção em D₁ e D₂ são

(9) $$P_{{\text{D}}_1}=\frac{1+\cos \phi }{2},P_{{\text{D}}_2}=\frac{1-\cos \phi }{2}.$$

O interferômetro de Mach-Zehnder não se restringe somente a fótons, mas qualquer partícula quântica pode reproduzir esses resultados. O Mach-Zehnder já foi realizado com elétrons [²³, ²⁴], átomos [²⁵], e até moléculas maiores [²⁶]. Um dos desafios da atualidade é implementar variações desse interferômetro com sistemas cada vez maiores, como condensados de Bose Einstein que contém centenas de átomos [²⁷].

Na seção 3 vamos mostrar como podemos utilizar esse tipo de interferometria com sistemas massivos para estudar interações gravitacionais entre partículas quânticas.

2.2. O experimento de Stern-Gerlach

O experimento de Stern-Gerlach é fundamental para a física quântica, pois demonstra a quantização do momento angular magnético, além de exemplificar bem a noção de qubits e de diferentes medições que podem ser feitas em um sistema quântico. Aqui vamos nos ater apenas aos elementos necessários para o desenvolvimento das próximas seções. Um estudo mais aprofundado sobre todas as particularidades desse experimento pode ser encontrado na referência [²⁸], enquanto uma abordagem mais atual pode ser vista em [²⁹].

Figura 2
Experimento de Stern-Gerlach. (A) Previsão teórica utilizando física clássica. (B) Observações experimentais.

O experimento de Stern-Gerlach consiste em uma fonte que emite átomos neutros com momento angular em direções aleatórias, um par de ímãs que cria um campo magnético não uniforme na região onde os átomos passam, e uma placa que atesta a posição final dos átomos, como ilustrado na Figura 2.

Digamos que os átomos são emitidos na direção $y$, e que os ímãs são orientados na direção $z$. Em geral, um sistema com momento angular magnético muda a direção de sua trajetória na presença de um campo magnético não-uniforme. Caso o momento angular magnético fosse uma variável contínua como preveem teorias clássicas, as observações do experimento de Stern-Gerlach seria como ilustrado na Figura 2(A), em que os átomos colidiriam com a placa em um contínuo ao longo da direção $z$.

Entretanto, o experimento mostrou que os átomos colidiam com a placa apenas em duas regiões específicas¹, uma acima e outra abaixo da região de emissão, como ilustrado na Figura 2(B). Essa observação indica que o momento angular magnético de partículas elementares é discreto.

Essa é uma propriedade intrínseca, denominada spin, e não deve ser confundida com uma rotação literal da partícula. Trata-se de um momento angular quântico fundamental, que pode assumir apenas certos valores permitidos. No caso que estamos descrevendo, o spin pode assumir apenas dois valores: $+\hslash /2$, que identificamos como spin para cima, e $-\hslash /2$, que identificamos como spin para baixo, em que $\hslash$ é a constante de Planck reduzida. Dizemos então que a partícula tem spin $1/2$.

Para representar matematicamente o estado de uma partícula com spin $1/2$, consideramos um espaço de Hilbert $\mathscr{H}={ℂ}^2$, e representamos as orientações de spin para cima e para baixo por:

(10) $$|{\uparrow }_z⟩:=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),|{\downarrow }_z⟩:=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).$$

Note que esta é a mesma representação para qubits que introduzimos na equação (1). Isto é, a matemática dos estados das equações (1) e (10) é a mesma, a nomenclatura difere apenas para evidenciar que se tratam de sistemas físicos diferentes.

Note que podemos também orientar os ímãs em qualquer direção do plano $xz$, e vamos obter uma observação similar à Figura 2(B), porém orientada na direção dos ímãs. Dizemos que medimos o spin na direção $z$ (ou $x$) quando os ímãs estão orientados nessa direção. Assim como no interferômetro de Mach-Zehnder, aqui ocorrem alguns fenômenos inesperados, que não podem ser descritos classicamente.

Um exemplo importante nesse caso se dá quando realizamos medições sequenciais. Suponha que medimos o spin de um átomo na direção $z$, e obtemos o spin para cima. Se repetirmos a medição na direção $z$, sempre obteremos o mesmo resultado do spin para cima. Entretanto, se entre duas medições na direção $z$, aplicarmos uma medição na direção $x$, vamos obter que o resultado da segunda medição na direção $z$ é aleatório, tendo $50\%$ de chance de ser para cima ou para baixo. Este comportamento nos traz a noção de que as medições nas direções $x$ e $z$ são incompatíveis. Ou seja, não podemos ter o conhecimento do spin de uma partícula em todas as direções.

Vamos chamar de $|{\uparrow }_x⟩$ e $|{\downarrow }_x⟩$ os estados das partículas que percorrem as trajetórias de cima e de baixo na direção $x$. Mais especificamente, os estados $|{\uparrow }_x⟩$ e $|{\downarrow }_x⟩$ são necessariamente estados de superposição em $z$:

(11) $$\begin{array}{c}|{\uparrow }_x⟩:=\frac{|{\uparrow }_z⟩+|{\downarrow }_z⟩}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\\ |{\downarrow }_x⟩:=\frac{|{\uparrow }_z⟩-|{\downarrow }_z⟩}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).\end{array}$$

As medições do spin na direções $z$ e $x$ são representadas pelas matrizes

(12) $${\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\text{e}{\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

O valor esperado do spin na direção $i=x,z$ para uma partícula com spin no estado $|\psi ⟩$ é dado por $⟨\psi |\frac{\hslash }{2}{\sigma }_i|\psi ⟩$. Note que $⟨{\uparrow }_i|{\sigma }_i|{\uparrow }_i⟩=1$ e $⟨{\downarrow }_i|{\sigma }_i|{\downarrow }_i⟩=-1$, ou seja, o spin na direção $i$ está sempre para cima se o estado da partícula é $|{\uparrow }_i⟩$ e sempre para baixo se o estado é $|{\downarrow }_i⟩$.

Na próxima seção, usaremos o experimento de Stern Gerlach para exemplificar uma situação em que um agente pode escolher entre duas medições a serem feitas em um sistema quântico (${\sigma }_z$ ou ${\sigma }_x$) e pode obter dois resultados para cada medição (spin para cima ou para baixo). Além disso, na seção 3, veremos como um experimento que surge como uma modificação e um Stern-Gerlach pode ser usado para explorar a gravidade. Finalmente, na subseção 4.4, vamos utilizar as operações e medições sobre o spin de dois sistemas quânticos para nos auxiliar na elaboração de um experimento mental para testemunhar ordem causal indefinida.

2.3. Correlações quânticas

Os experimentos das subseções anteriores indicam que existe alguma diferença entre probabilidades geradas por estados quânticos e clássicos. Não seria tão complicado aceitar que sistemas não são partículas e nem ondas, mas sim algo capaz de apresentar um comportamento intermediário fundamentalmente probabilístico. Porém, a estranheza estatística da teoria quântica não se resume a efeitos de interferência como esse. A interpretação das predições fica ainda mais desafiadora quando mais de um sistema físico é considerado.

Se por um lado a teoria quântica nasceu de situações totalmente empíricas, como a observação da radiação de corpo negro ou do efeito fotoelétrico [²⁰], o emaranhamento quântico foi entendido inicialmente de forma teórica para depois ser verificado experimentalmente. Historicamente, os primeiros a notar que correlações quânticas poderiam ser altamente contra-intuitivas foram Einstein, Podolsky e Rosen. Em 1935, esses cientistas propuseram uma situação paradoxal que poderia surgir como consequência da descrição quântica, mais conhecida como o paradoxo EPR [³⁰]. Após muitos debates, foi possível formular tais argumentos de forma matemática, o que nos trouxe um entendimento preciso de diversos novos conceitos, como emaranhamento e não-localidade.

Nas subseções seguintes, vamos discutir alguns elementos que compõem essa história. Introduções detalhadas sobre os temas que vamos abordar podem ser encontradas nas referências [³¹, ³²].

2.3.1. O paradoxo EPR, teorias de variáveis ocultas, e as desigualdades de Bell

O caráter probabilístico da teoria quântica levanta a dúvida: seria ela uma teoria completa? Como exemplo, a termodinâmica estuda noções macroscópicas, como volume e temperatura, sem que seja preciso determinar variáveis microscópicas, como a posição de cada molécula que compõe um gás. Não é que estas variáveis microscópicas não existam; somos nós que as desconhecemos. Poderia-se sugerir que a teoria quântica segue a mesma lógica, e que existem variáveis ocultas que explicam de forma determinística os fenômenos quânticos. Em outras palavras, a teoria quântica seria incompleta.

No paradoxo EPR, os autores analisam as probabilidades ao medir dois sistemas físicos distantes entre si, e chegam à conclusão de que a medição em um sistema afetaria o estado do outro sistema de forma instantanea, o que ficou popularmente conhecido como “ação fantasmagórica à distância” [³³]. Esse paradoxo deu origem a diversos debates [³⁴, ³⁵, ³⁶, ³⁷, ³⁸], e só foi decisivamente abordado em 1964, quando John S. Bell construiu um argumento matemático simples e elegante que traduz as características conceituais assumidas por EPR [³⁹]. O argumento de Bell segue da seguinte forma: suponha que temos dois sistemas físicos e que dois agentes, Ajuri e Bará², realizam medições em cada um desses sistemas. Denote por $A_i$ e $B_j$ as medições que Ajuri e Bará fazem em seus respectivos sistemas, e por $a$ e $b$ os resultados dessas medições. Seja $p(a,b|A_i,B_j)$ a probabilidade de que se obtenha os resultados $a$ e $b$ dado que as medições $A_i$ e $B_j$ foram realizadas.

Vamos supor que exista uma teoria de variáveis ocultas para descrever a natureza, e que estas variáveis sejam representadas por $\lambda$. Se as medições que Ajuri e Bará realizam são de fato independentes, a probabilidade de Ajuri obter o resultado $a$ não pode depender da medição $B_j$ feita por Bará, assim como a probabilidade de que Bará obtenha $b$ não pode depender de $A_i$. Entretanto, tais probabilidades podem apresentar uma correlação, pois podem depender de uma causa comum, que representaremos pela variável oculta $\lambda$. Sendo assim, a probabilidade conjunta a seguir deve ser expressa por

(13) $$p(a,b|A_i,B_j,\lambda )=p\left(a|A_i,\lambda \right)p\left(b|B_j,\lambda \right).$$

Se conhecêssemos a variável $\lambda$, poderíamos calcular a equação acima. Mas por hipótese, esta é uma variável oculta, e não temos acesso a ela. Consideremos então que exista uma função probabilidade $q\left(\lambda \right)$ para a variável $\lambda$. Então, poderíamos calcular a probabilidade de que Ajuri e Bará obtenham os resultados $a$ e $b$, dado que fizeram as medições $A_i$ e $B_j$, por

(14) $$p(a,b|A_i,B_j)=\int \mathit{d}\lambda q\left(\lambda \right)p\left(a|A_i,\lambda \right)p\left(b|B_j,\lambda \right).$$

Denominamos correlações que satisfaçam esta condição por correlações locais. Casos contrário, elas são chamadas de não-locais.

De forma mais sistemática, as condições que discutimos acima para derivar a equação (14) são:

• (1)

  Variáveis ocultas: resultados de medições são determinados por propriedades que existem a priori, independente do experimento a ser realizado;

• (2)

  Localidade: a medição realizada por Ajuri não afeta a medição realizada por Bará, e vice-versa;

• (3)

  Livre arbítrio: a escolha de cada medição a ser realizada no sistema é independente de qualquer outro processo dentro do experimento.

Bell mostrou que probabilidades que satisfazem as condições (1)–(3) possuem certas limitações, as quais nos referimos por desigualdades de Bell. Com este raciocínio, podemos perceber que a aparente contradição apresentada no paradoxo EPR se deve à uma suposição implícita de que essas três hipóteses seriam conjuntamente verdadeiras. Hoje existe uma vasta literatura sobre o assunto, e revisões sobre o tópico podem ser vistas em [¹³, ⁴⁰, ⁴¹]. Aqui, focaremos na análise de uma desigualdade de Bell formulada para o caso em que Ajuri e Bará dispõem de duas opções de medição cada, e que cada medição pode gerar apenas dois resultados.

2.3.2. A mais simples das desigualdades de Bell

A desigualdade CHSH [⁴²] é a mais simples desigualdade de Bell, pois se restringe à correlação entre dois sistemas físicos que podem ser medidos de duas formas diferentes cada, e cada medição pode retornar apenas dois resultados. O protocolo é o seguinte: considere dois agentes, Ajuri e Bará, e suponha que um qubit é enviado para cada um deles. De forma independente, eles devem fazer uma medição no estado do qubit que receberam. Ao final, eles devem enviar a informação de qual medição fizeram e seu resultado para um terceiro agente, que chamaremos de Cauã.

Se este qubit for o spin de um elétron, por exemplo, os agentes podem escolher medir o spin na direção $x$ ou na direção $y$. Os dois resultados possíveis de cada uma dessas medições seriam dados por $-1$ (spin para baixo) e $+1$ (spin para cima). Para garantir que Ajuri e Bará agem de fato de forma independente, consideraremos que eles estejam separados a uma distância grande o suficiente, de forma que suas medições acontecem em pontos do espaço-tempo com uma separação do tipo espaço, como ilustrado na Figura 3.

Figura 3
Ilustração do diagrama espaço-tempo para uma implementação da desigualdade CHSH. As caixas A e B indicam, respectivamente, os intervalos em que Ajuri e Bará recebem os sistemas $s_1$ e $s_2$, realizam uma medição, e enviam a Cauã a informação de qual medição fizeram e qual foi o resultado. Cauã é representado pela caixa C.

Relembramos que pela teoria da relatividade, dois eventos A e B podem ter três tipos de relações causais: A pode estar no futuro de B, A pode estar no passado de B, ou A pode não estar nem no passado nem no futuro de B. Para esta última possibilidade, dizemos que A e B possuem uma separação tipo-espaço. Sendo assim, dois agentes com este tipo de separação não podem se comunicar.

Digamos que Ajuri pode escolher entre as medições $A_0$ ou $A_1$, e Bará entre $B_0$ ou $B_1$. No exemplo em que nosso qubit é o spin de um elétron, digamos que $A_0$ e $B_0$ sejam medições do spin na direção $x$, e que $A_1$ e $B_1$ sejam medições na direção $y$. Denotaremos o resultado da medição de Ajuri por $a$ e de Bará por $b$, que podem retornar dois valores cada: $+1$ ou $-1$.

Dado que Ajuri decide aplicar a medição $A_i$ e Bará a medição $B_j$, Cauã pode calcular o valor esperado da multiplicação dos resultados $a$ e $b$, que é dado por

(15) $$⟨A_i{B}_j⟩=\sum _{a,b=-\mathrm{1,1}}abP(a,b|A_i,B_j),$$

em que $P(a,b|A_i,B_j)$ é a probabilidade de que Ajuri obtenha o resultado $a$ e Bará obtenha o resultado $b$, dado que Ajuri e Bará implementaram as medições $A_i$ e $B_j$.

A desigualdade CHSH afirma que se os sistemas utilizados no protocolo acima puderem ser descritos por um modelo de variáveis ocultas locais como na equação (14), ou em outras palavras, se ele satisfaz as hipóteses (1)–(3), então a estatística desse experimento deve satisfazer:

(16) $$\left|⟨A_0{B}_0⟩+⟨A_0{B}_1⟩+⟨A_1{B}_0⟩-⟨A_1{B}_1⟩\right|\le 2.$$

Note que tal desigualdade poderia ser facilmente violada desconsiderando uma das hipóteses (1)–(3). Por exemplo, desconsiderando (2), é possível violar a desigualdade acima com um sistema clássico em que Ajuri e Bará podem se comunicar e escolher juntos como descrever a estatística de suas medições [⁴³]. Exigir que o protocolo seja feito de acordo com o diagrama da Figura 3 impede que essa comunicação aconteça.

O impressionante é que a mecânica quântica pode violar a desigualdade acima em situações que podemos garantir uma separação do tipo espaço para as medições de Ajuri e Bará, e que a escolha dessas medições seja aleatória. Utilizando sistemas quânticos, é possível alcançar [⁴²]:

(17) $$\left|⟨A_0{B}_0⟩+⟨A_0{B}_1⟩+⟨A_1{B}_0⟩-⟨A_1{B}_1⟩\right|=2\sqrt{2}.$$

E com isso, somos obrigados a concluir que a teoria quântica não pode satisfazer as hipóteses (1)-(3) simultaneamente. Uma vez que se esteja convencido de que as hipóteses (2) e (3) são de fato satisfeitas, dada a argumentação acima, conclui-se que (1) é falso. Em outras palavras, dizemos que a teoria quântica é incompatível com um modelo de variáveis ocultas locais³.

A parte mais poderosa das desigualdades de Bell é que não é necessário considerar a teoria quântica para derivá-la. Por exemplo, não precisamos definir os espaços de Hilbert dos sistemas $s_1$ e $s_2$, nem seus estados, e nem a evolução temporal de suas propriedades. Consideramos apenas as probabilidades obtidas das medições conjuntas de Ajuri e Bará. Dizemos então que as desigualdades de Bell são independentes de teoria. Além disso, não precisamos saber nenhum detalhe sobre como o estado inicial do sistema físico foi preparado, nem como Ajuri e Bará realizam suas medições. Precisamos apenas saber qual medição fizeram e qual o resultado. Com isso, dizemos que as desigualdades de Bell são independentes de dispositivo.

2.3.3. Emaranhamento

Para mostrar como a teoria quântica viola uma desigualdade de Bell, precisamos do conceito de estados emaranhados entre dois sistemas físicos A e B. Consideremos que os espaços de Hilbert associados a esses sistemas são ${\mathscr{H}}_A$ e ${\mathscr{H}}_B$, respectivamente. O espaço de Hilbert conjunto é representado pelo produto tensorial ${\mathscr{H}}_A\otimes {\mathscr{H}}_B$. Se, por exemplo, ${\mathscr{H}}_A={\mathscr{H}}_B={ℂ}^2$, então ${\mathscr{H}}_A\otimes {\mathscr{H}}_B={ℂ}^4$. Dizemos que um estado puro ${|\Psi ⟩}_{AB}$ é separável se pode ser escrito como

(18) $${|\Psi ⟩}_{AB}={|\psi ⟩}_A\otimes {|\varphi ⟩}_B.$$

Em geral, vamos denotar ${|\psi ⟩}_A\otimes {|\varphi ⟩}_B$ apenas por ${|\psi ⟩}_A{|\varphi ⟩}_B$, ou de forma ainda mais concisa, por ${|\psi \varphi ⟩}_{AB}$. Caso um estado puro de A e B não possa ser escrito no formato acima, dizemos que o sistema está emaranhado.

Para violar uma desigualdade de Bell na mecânica quântica, precisamos utilizar estados emaranhados. Considerando o cenário CHSH, a maior violação da desigualdade (16) é dada por $2\sqrt{2}$, como na equação (17). Exemplos canônicos de estados que atingem esse valor são conhecidos como estados de Bell, e são dados por

(19) $$\frac{{|0⟩}_A{|0⟩}_B\pm {|1⟩}_A{|1⟩}_B}{\sqrt{2}},\frac{{|0⟩}_A{|1⟩}_B\pm {|1⟩}_A{|0⟩}_B}{\sqrt{2}}.$$

Quando os sistemas físicos em questão são os spins de duas partículas, é comum denotar os estados acima utilizando notação similar à da equação (10), e os estados acima podem ser reescritos como:

(20) $$\frac{{|\uparrow ⟩}_A{|\uparrow ⟩}_B\pm {|\downarrow ⟩}_A{|\downarrow ⟩}_B}{\sqrt{2}},\frac{{|\uparrow ⟩}_A{|\downarrow ⟩}_B\pm {|\downarrow ⟩}_A{|\uparrow ⟩}_B}{\sqrt{2}}.$$

Para estados emaranhados, não podemos interpretar que os sistemas A e B assumem estados quânticos independentes. Eles só admitem descrição completa quando tratados conjuntamente. Em efeito, estados separáveis podem ser construídos a partir de operações realizadas localmente em cada subsistema, combinadas com comunicação clássica entre as partes, um conjunto de procedimentos conhecido pela sigla LOCC (do inglês, Local Operations and Classical Communication) [¹²]. Não é possível criar estados emaranhados apenas a partir de estados separáveis e LOCC.

Com esses exemplos, concluímos que a teoria quântica não pode ser reformulada utilizando variáveis ocultas locais. Temos então que, se a teoria quântica de fato descreve bem o mundo microscópico, ela prevê que é possível realizar experimentos que violam desigualdades de Bell.

Hoje em dia, diversos experimentos que violam essas desigualdades já foram implementados, e por isso podemos concluir que não é possível descrevê-los utilizando uma teoria de variáveis ocultas locais. Este resultado é tão importante que levou três cientistas que testaram exaustivamente as desigualdades de Bell em seus laboratórios a vencerem o prêmio Nobel de 2022 [⁴⁴].

Figura 4
Circuitos quânticos. (A) Porta Not; (B) porta Hadamard; (C) porta CNot; (D) operação $Z$ controlada; (E) composição de portas Not com operação $Z$ controlada; (F) composição de portas Hadamard e uma CNot.

Como uma última observação, note que existem estados emaranhados que não violam nenhuma desigualdade de Bell. Para isso, diversas outras ferramentas matemáticas foram elaboradas que nos auxiliam a verificar essa propriedade de estados quânticos, conhecidos como testemunhas de emaranhamento [³¹]. Diferentemente das desigualdades de Bell, que são independentes de teoria, as testemunhas de emaranhamento são dependentes de teoria. Isto é, podemos confiar em tais quantificadores apenas se temos a certeza que a mecânica quântica descreve bem o sistema que pretendemos caracterizar como emaranhado ou não. O assunto de testemunhas de emaranhamento é bastante rico, mas está fora do escopo deste artigo. Uma revisão detalhada sobre o tema pode ser encontrada em [³¹].

Nas seções 3 e 4, vamos ver como a detecção de emaranhamento e generalizações dos argumentos de Bell podem ser adaptadas para protocolos que envolvem sistemas quânticos que interagem gravitacionalmente. Vamos estudar como essas ferramentas podem nos ajudar a explorar propriedades possivelmente quânticas do campo gravitacional.

2.4. Circuitos quânticos

Para descrever transformações que são feitas em sistemas quânticos, é muito comum utilizar a representação de circuitos, que é a linguagem básica da computação quântica. Essa representação será utilizada nas próximas seções para representar algumas tarefas, e contribuirá para debates sobre a interpretação física dos fenômenos que vamos apresentar.

Analogamente à computação clássica, em que um circuito elétrico é composto por fios e portas lógicas que transportam a informação de um lugar para outro, as tarefas realizadas em um computador quântico também podem ser descritas por fios que representam sistemas quânticos e portas quânticas que representam operações realizadas nesses sistemas. Por simplicidade, vamos considerar que nossos sistemas físicos sejam qubits. Para um estudo mais aprofundado em computação quântica, sugerimos ao leitor as referências [⁹, ⁴⁵, ⁴⁶].

Vários circuitos quânticos simples são representados na Figura 4. Por convenção, um circuito é lido da esquerda para a direita, e suas linhas não correspondem necessariamente a um fio físico. Estas linhas podem representar a passagem do tempo, ou o movimento de uma partícula indo de um ponto a outro. Na Figura 4(A), temos a porta lógica conhecida como Not, representada pela letra $X$. Se o estado do qubit é $\alpha |0⟩+\beta |1⟩$, com ${\left|\alpha \right|}^2+{\left|\beta \right|}^2=1$, a sua ação é trocar os coeficientes $\alpha$ e $\beta$, retornando

(21) $$X\left(\alpha |0⟩+\beta |1⟩\right)=\beta |0⟩+\alpha |1⟩.$$

Utilizando a representação vetorial da equação (1), a porta Not deve ser representada pela matriz

(22) $$X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

Uma outra porta lógica importante é a porta Hadamard na Figura 4(B), representada pela matriz

(23) $$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

Ela é interpretada como uma mudaça de base do qubit em que ela atua. Por exemplo:

(24) $$\begin{array}{l}H|0⟩={\displaystyle \frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}}:=|+⟩,H|1⟩={\displaystyle \frac{|0⟩-|1⟩}{\sqrt{2}}}:=|-⟩\\ ⟹H\left(\alpha |0⟩+\beta |1⟩\right)=\alpha |+⟩+\beta |-⟩,\end{array}$$

ou seja, $H$ aplicado em um estado descrito pelo vetor $(\alpha ,\beta )$ na base $\{|0⟩,|1⟩\}$, nos retorna o mesmo vetor $(\alpha ,\beta )$, porém na base $\{|+⟩,|-⟩\}$.

Um circuito que envolve dois qubits é ilustrado na Figura 4(C). Esses qubits passam pela porta Not Controlada, ou CNot (do inglês, Controled Not). Denominamos um qubit como sistema de controle e outro como sistema alvo. Na nossa ilustração na Figura 4(C), o fio de cima corresponde ao qubit de controle, e o de baixo ao qubit alvo. A operação que a porta CNot realiza é a seguinte: se o qubit de controle está no estado $|0⟩$, então nada acontece com o sistema alvo; se o qubit de controle está no estado $|1⟩$, então a operação Not é aplicada no qubit alvo. A porta CNot é então representada pela matriz

(25) $$\text{CNot}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right).$$

Uma porta similar à CNot, é dada na Figura 4(D), que representa uma operação $Z$ controlada. Isto é, se o qubit de controle está no estado $|0⟩$, então nada acontece com o sistema alvo; se o qubit de controle está no estado $|1⟩$, então a operação $Z$ é aplicada no qubit alvo. Esta porta é representada pela matriz

(26) $$\text{C}Z=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& & \\ 0& 0& \multicolumn{2}{c}{Z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& a& b\\ 0& 0& c& d\end{array}\right),$$

em que $Z=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$. Note que a porta CNot é uma porta C$Z$ com $Z=X$.

Agora, se compusermos a operação $Z$ controlada com duas portas Not, como na Figura 4(E), obtemos uma operação $Z$ controlada invertendo os vetores $|0⟩$ e $|1⟩$. Isto é, se o qubit de controle está no estado $|1⟩$, então nada acontece com o sistema alvo; se o qubit de controle está no estado $|0⟩$, então a operação $Z$ é aplicada no qubit alvo. Este protocolo é representado pela matriz

(27) $$\begin{array}{l}\left(X\otimes \mathrm{𝟙}\right)\text{C}Z\left(X\otimes \mathrm{𝟙}\right)\\ =\left(\begin{array}{cccc}& & 0& 0\\ \multicolumn{2}{c}{Z}& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a& b& 0& 0\\ c& d& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).\end{array}$$

Finalmente, considere o circuito ilustrado na Figura 4(F). Este circuito é uma sequência de operações Hadamard aplicadas separadamente em cada um dos qubits, e de uma CNot entre eles, da forma:

(28) $$\left(H\otimes H\right)\text{CNot}\left(H\otimes H\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right).$$

Esta operação inverte o papel dos qubits de controle e alvo: se o qubit alvo está no estado $|0⟩$, então nada acontece com o sistema de controle; se o qubit alvo está no estado $|1⟩$, então a operação Not é aplicada no qubit de controle.

A representação de circuito será utilizada na subseção 3.2 para representar uma possível forma de entender a interação entre duas partículas quânticas mediadas pelo seu campo gravitacional, na subseção 4.2, para representar um protocolo em que a operações aplicadas em um sistema acontecem em uma ordem indefinida, e na subseção 4.5 para discutir a noção de causalidade nessa tarefa.

3. Um Teste da Natureza da Gravidade em Regimes Quânticos

As técnicas de informação quântica já são usadas para realizar testes da teoria da relatividade geral (gravitação clássica) [⁴⁷, ⁴⁸]. Além disso, existem experimentos e propostas experimentais que testam efeitos da gravidade clássica em sistemas quânticos [⁴⁹, ⁵⁰, ⁵¹, ⁵², ⁵³, ⁵⁴, ⁵⁵, ⁵⁶]. Mas testar consequências da gravitação quântica é, por enquanto, uma discussão teórica. Isso se deve à escala em que efeitos gravitacionais de sistemas pequenos são importantes: a escala de Planck. Fora dela, esses efeitos são ofuscados, por exemplo, por forças eletromagnéticas e pela dificuldade geral de se isolar um sistema quântico de um ambiente com ruído. Parte do trabalho dos físicos é tentar contornar essas dificuldades, seja desenvolvendo novas técnicas e aprimorando precisão do lado experimental, seja formulando protocolos do lado teórico que façam com que pequenos efeitos gerem consequências grandes e mensuráveis.

Recentemente, a ideia de que a tensão entre a teoria quântica e a gravitação só pode ser testada na escala de Planck tem sido desafiada, pelo menos na sua forma mais restrita. Mais precisamente, aponta-se a possibilidade de explorar o regime em que ambas as constantes gravitacional (G) e a de Planck ($\hslash$) são relevantes para o experimento, mas ainda podemos a princípio tomar o limite em que a velocidade da luz é grande: $c\to \infty$. Esse é o regime de baixa energia cinética ou não-radiativo em que, por exemplo, poderíamos considerar uma massa grande o suficiente para gerar campo gravitacional observável em um estado de superposição de posições. A estimativa teórica é que, nessa situação, efeitos quânticos podem ser observados mesmo com massas abaixo da massa de Planck, na escala de nanogramas [⁵⁷]. De fato, existe uma evolução experimental notável nos últimos anos tanto no controle de sistemas quânticos massivos [⁵⁸, ⁵⁹, ⁶⁰], quanto na detecção de efeitos gravitacionais de massas cada vez menores [⁶¹] (esferas de ouro com massa menor que 100 mg!). Esse esforço tem gerado a esperança de realização de um teste experimental da natureza – quântica ou não – da gravidade de um sistema quântico nas próximas décadas.

A nível teórico, esses testes já são discutidos há algum tempo. Por exemplo, em 1957, na conferência de Chapel Hill sobre o papel da gravitação na física [⁶²], um dos tópicos discutidos foi como a gravidade de uma massa em superposição de posições afetaria uma outra massa na vizinhança, assim como a consistência do efeito com a teoria quântica. Isso gerou algumas propostas e realizações de experimentos que medem flutuações da força gravitacional perto de uma massa em um estado quântico [⁶³, ⁶⁴, ⁶⁵], os quais desafiam a principal teoria alternativa à quantização: a gravitação semiclássica [⁶⁶].

O experimento que vamos descrever agora é denominado emaranhamento gravitacionalmente induzido (EGI). Ele é inspirado pelas mesmas discussões, e também se coloca como um teste semelhante aos mencionados acima, mas abre caminho para conclusões mais ricas. Ele se propõe a testar se a interação gravitacional poderia gerar emaranhamento entre duas partículas e está relativamente próximo das capacidades experimentais atuais. A observação desse efeito, além de descartar teorias de gravitação semi-clássica, poderia nos ajudar a inferir propriedades possivelmente quânticas da gravidade. Apesar de existir um intenso debate sobre essas possíveis conclusões, a observação desse efeito seria um marco no estudo da natureza da interação gravitacional em escalas quânticas.

3.1. Emaranhamento gravitacionalmente induzido

A proposta experimental para testar EGI [¹⁵, ¹⁶] consiste em dois sistemas massivos em uma superposição de posições, cada um em um esquema parecido com o interferômetro de Mach-Zehnder da Figura 1. Existem diferentes formas de preparar esse tipo de configuração e diferentes sistemas massivos poderiam ser utilizados. Micro-diamantes e cristais de itérbio são possíveis candidatos para esses sistemas [¹⁵, ⁶⁷]. Independentemente do material, as propostas seguem o protocolo geral a seguir.

Figura 5
Ilustração do experimento para testar EGI utilizando dois interferômetros de Mach-Zehnder de patículas massivas.

Considere dois interferômetros de matéria [²⁵], como na Figura 5. Nessa situação, o estado dos sistemas massivos A e B após o primeiro divisor pode ser escrito como

(29) $$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{{|0⟩}_A+{|1⟩}_A}{\sqrt{2}}}\otimes {\displaystyle \frac{{|0⟩}_B+{|1⟩}_B}{\sqrt{2}}}\\ ={\displaystyle \frac{{|00⟩}_{AB}+{|01⟩}_{AB}+{|10⟩}_{AB}+{|11⟩}_{AB}}{2}},\end{array}$$

em que $|0⟩$ e $|1⟩$ denotam os caminhos dos interferômetros. O sistema composto de duas partículas se encontra, então, em uma superposição quântica de quatro possibilidades.

Se as partículas massivas puderem interagir de alguma forma, o estado inicial poderá evoluir ao longo do tempo, modificando os coeficientes $1/2$ associados a cada um dos vetores acima. No entanto, as probabilidades de 50% para cada posição das partículas na metade do experimento permanecerão inalteradas. Em outras palavras, a interação não provocará a transferência de partículas entre os braços do interferômetro. Ou seja, o efeito da interação nos coeficientes é, no máximo, uma multiplicação por um número complexo de tamanho 1. Um coeficiente desse tipo sempre pode ser escrito como $e^{i\phi }$ para algum valor $0\le \phi \le 2\pi$ que chamamos de fase, assim como fizemos na subseção 2.1. Isso pode mudar os resultados depois das recombinações. Neste caso, é como se um dos interferômetros atuasse como um deslocador de fase para o outro.

Os autores assumem ainda que os braços dos interferômetros são do mesmo tamanho e estão separados pela mesma distância $d_3-d_1$. Além disso, assumem que a distância $d_3$ é muito maior que $d_2$ e portanto os únicos braços próximos o suficiente para interagir gravitacionalmente são os que estão separados por $d_2$ (veja a Figura 5). Também se assume que as massas são eletricamente neutras e que a distância $d_2$ é grande o suficiente para que outras formas de interação não interfiram no experimento [¹⁵].

Com isso, o estado final antes das recombinações se restringe à forma

(30) $$\frac{{|00⟩}_{AB}+{|01⟩}_{AB}+{|10⟩}_{AB}+e^{i\phi }{|11⟩}_{AB}}{2},$$

em que $\phi$ é uma fase que pode depender dos parâmetros experimentais: a massa $m$ das partículas, a distância $d_2$ e o próprio tempo $t$. É possível mostrar matematicamente que (30) é em geral um estado emaranhado através do cálculo da entropia de emaranhamento [⁹]. Isso quer dizer que ele não pode ser escrito como um estado separável para qualquer $\phi$ que não seja um múltiplo de $2\pi$.

Por exemplo, poderíamos tratar a gravidade da forma mais simples possível em um cenário quântico. Basta adicionar um termo de energia potencial gravitacional Newtoniana $V\left(x\right)=-G{m}^2/x$ na equação de onda da teoria quântica e tratá-lo como um operador. A equação então prevê que, depois de um tempo t, o estado $|11⟩$ evolui para

(31) $${|11⟩}_{AB}\mapsto e^{\frac{-iG{m}^{2}t}{d_2\hslash }}{|11⟩}_{AB}.$$

Portanto, a fase $\phi$ na equação (30) deveria ser igual a $-G{m}^{2}t/d_2\hslash$. Isso sugere que a observação de um estado emaranhado de duas partículas de matéria indica indiretamente um comportamento quântico da interação gravitacional.

Mas os autores em [¹⁵, ¹⁶] usam um argumento mais forte que sugere que qualquer produção de emaranhamento nesse experimento atestaria que a gravidade não é clássica. Um esboço do argumento é: suponha que temos 3 sistemas A, B e M. Suponha que podem ocorrer interações entre A e M e entre M e B, mas que A e B não interagem diretamente. Dizemos que M é um mediador da interação entre A e B. Nesse experimento a gravidade ou o campo gravitacional faz esse papel. Supondo, enfim, que M é um sistema clássico, então a interação entre A e B é do tipo LOCC. E como já mencionamos na subseção 2.3.3, se dois estados são separáveis e se comunicam apenas por LOCC, então eles não podem se tornar emaranhados. Portanto, se M é clássico, A e B não podem se tornar emaranhados. Como a gravitação não necessariamente obedece à teoria quântica, provas de versões mais gerais dessa afirmação podem ser encontradas na literatura, juntamente com a definição precisa do que é “interagir diretamente”, “estar emaranhado” e o que é “ser clássico” nesses escopos. Uma versão bem geral do argumento foi feita para teorias probabilísticas generalizadas (GPTs) em [⁶⁸]. Na seção 3.2, discutimos o debate que tem ocorrido em torno desses argumentos, revisando as controvérsias e alternativas levantadas por diferentes autores.

Figura 6
Ilustração do experimento para testar EGI utilizando uma adaptação de dois experimentos de Stern-Gerlach.

As técnicas da informação quântica são cruciais na argumentação e nas considerações experimentais. Por exemplo, como mencionamos na subseção 2.3.3, podemos verificar se um estado quântico está emaranhado usando uma testemunha de emaranhamento. Pode ser tecnicamente complicado realizar interferometria com objetos de massa grandes o suficiente para que esse efeito seja mensurável. Para fazer com que a detecção de EGI se torne mais viável, os autores em [¹⁵] sugerem uma adaptação do experimento de Stern-Gerlach, como ilustrado na Figura 6.

A ideia nessa sugestão é usar massas eletricamente neutras que também tenham spin interno. A proposta experimental aqui é uma adaptação do experimento de Stern-Gerlach, que introduzimos na subseção 2.2. Nela, duas partículas de spin 1/2 são emitidas na direção $y$ e, para cada partícula, temos um par de ímãs orientados na direção $z$, que mudam suas trajetórias de acordo com seus spins, como ilustrado na Figura 6. Em sequência, para cada partícula temos um outro par de ímãs orientados também na direção $z$, mas com sentido invertido. Esse segundo par de ímãs também deflete a trajetória das partículas, fazendo com que a trajetória de cada uma se recombine.

Assume-se então que o tempo em que as trajetórias ficam separadas é bem maior que o tempo para juntá-las ou separá-las. O mecanismo do experimento é similar à proposta anterior: o emaranhamento é gerado em razão da interação das trajetórias espacialmente mais próximas. A diferença é que, neste caso, o caminho percorrido por cada partícula depende também do seu spin.

O estado que descreve emaranhamento entre as trajetórias e spins das partículas antes da recombinação é dado por

(32) $${\displaystyle \frac{{|0,\uparrow ⟩}_A{|0,\uparrow ⟩}_B+{|0,\uparrow ⟩}_A{|1,\downarrow ⟩}_B+e^{i\phi }{|1,\downarrow ⟩}_A{|0,\uparrow ⟩}_B+{|1,\downarrow ⟩}_A{|1,\downarrow ⟩}_B}{2}}.$$

Ao fim do experimento, não é preciso realizar medições na parte espacial das partículas. Devido à recombinação das trajetórias, o emaranhamento é todo transferido para o estado dos spins, que é expresso então como

(33) $$\frac{{|\uparrow \uparrow ⟩}_{AB}+{|\uparrow \downarrow ⟩}_{AB}+e^{i\phi }{|\downarrow \uparrow ⟩}_{AB}+{|\downarrow \downarrow ⟩}_{AB}}{2}.$$

Manter o estado de superposição e verificar emaranhamento entre spins das partículas é, por sua vez, uma tarefa consideravelmente mais simples.

Figura 7
Ilustração do experimento para testar EGI utilizando gaussianas em potenciais harmônicos.

Os protocolos discutidos aqui consideram emaranhamento gerado nos sistemas devido ao seu estado de caminho. Uma outra proposta para a detecção de EGI também tem ganhado atenção devido aos avanços experimentais em optomecânica [⁶⁹]. Ela consiste em observar a geração de emaranhamento entre osciladores harmônicos massivos [⁷⁰, ⁷¹, ⁷²].

Nesse tipo de proposta, como ilustrado na Figura 7, as duas massas são preparadas em um estado separável, cada uma em superposição de duas gaussianas [⁷³], em armadilhas com potencial harmônico [⁷⁰]. Elas ficam dispostas a curta distância entre si, para que possam interagir. A interação gravitacional mútua geraria emaranhamento de forma similar à dos experimentos descritos acima, mas levando em conta a descrição contínua desses estados de posição. Essas propostas também abriram o caminho para novas ideias que tiram proveito da evolução do controle sobre sistemas quânticos que ocorreu nas últimas décadas, como a proposta que utiliza apenas um sistema e propõe a detecção de sua auto-interação gravitacional [⁷⁴], entre outras variações [⁵⁷].

3.2. Discussões sobre a interpretação doexperimento

Desde que as propostas para EGI foram feitas, há uma intensa discussão acerca do que realmente aprenderemos sobre a gravidade se observarmos emaranhamento numa implementação experimental. Existem controvérsias a respeito dos argumentos originais, os quais se baseiam em um modelo em que a interação gravitacional age como mediadora. O debate se constrói a partir das diferentes noções de localidade e métodos de quantização assumidos para determinar a natureza da gravidade, além da necessidade de argumentos que sejam independentes de uma teoria específica.

Comentamos anteriormente sobre a hipótese de que a gravidade age como um mediador M entre sistemas A e B, representada na Figura 8. Nesse cenário, A e B não interagem diretamente, apenas por meio de M. Essa estrutura configura a noção que chamamos de localidade de subsistemas, importante para concluir que M deve ter natureza quântica [⁶⁸], como discutido na seção anterior. Mas será que a gravidade realmente se comporta como um mediador?

Figura 8
Representação de circuito da interação gravitacional entre A e B através de um mediador M, o que ilustra a hipótese de localidade de subsistemas quânticos.

A ideia por trás disso é tratar o campo gravitacional como algo físico, que propaga sinais a uma velocidade finita. Por exemplo, se a gravidade for tratada como uma força Newtoniana, com ação instantânea à distância, não há um mediador real entre A e B [⁵⁷]. No entanto, como a gravidade Newtoniana é apenas uma aproximação, e na relatividade geral os efeitos gravitacionais se propagam de forma local e finita, a hipótese de um mediador M parece razoável.

É importante, porém, notar que o conceito de localidade na relatividade é diferente do conceito de localidade de subsistemas. Na relatividade, um evento só pode ser influenciado por regiões próximas, já que existe o limite da velocidade da luz. A relação entre as duas noções é sutil. Por exemplo, na teoria quântica de campos, a localidade relativística é sempre mantida, mas nem sempre é possível representar a física em uma região do espaço-tempo como um circuito da forma acima [⁷⁵]. Inclusive é possível descrever o que acontece no EGI sem essa estrutura de circuito [⁷⁶, ⁷⁷]. Em particular, em [⁷⁶] mostram que é possível entender o efeito sem um sistema mediador, ou seja, seria suficiente termos uma descrição com “um campo clássico controlado quanticamente” que não precisa de um espaço quântico de estados para ser caracterizado.

Nesse ponto, existe uma discordância entre diversos autores no que pode ser chamado de “quântico”. Para alguns, basta que o campo gravitacional possa ser controlado de forma quântica [⁷⁸, ⁷⁹, ⁸⁰]. Para outros, só se pode dizer que algo é quântico se os efeitos observados puderem ser explicados exclusivamente por graus de liberdade quânticos do campo [⁷⁶, ⁸¹], noção vinda de métodos usuais de quantização. Em [⁷⁹], os autores explicam mais sobre a ambiguidade em tratar teorias de campo com mediadores locais ou não.

Outra questão é se realmente precisamos de um argumento que seja totalmente independente de qualquer teoria. Um argumento assim seria certamente mais forte, mas devemos lembrar que existe extenso conhecimento prévio sobre o comportamento da gravidade clássica e da matéria quântica. Inferências baseadas em extrapolações que levam essas características em consideração não deixam de ter valor, apesar de serem válidas sob hipóteses mais restritas.

Por exemplo, já mencionamos que um candidato para valor da fase do emaranhamento é dado pela expressão (31), vinda de uma junção do potencial Newtoniano com a teoria quântica. Outros tipos de experimentos mentais [⁸², ⁸³] nos trazem aparentes problemas com causalidade quando fazemos esse tratamento, favorecendo a descrição da gravidade como um campo quântico. Outros argumentos utilizam a teoria de gravidade linearizada, e interpretam os mediadores do EGI como grávitons [⁸⁴], ou consideram a relatividade geral em escalas microscópicas para afirmar que a própria geometria do espaço-tempo pode ser colocada em um estado de superposição [⁷³, ⁸⁰].

Tendo em vista toda essa discussão, uma detecção de emaranhamento nesse experimento seria evidência contra teorias de gravitação semiclássica, em que o campo gravitacional de uma massa em superposição de posições tem um valor clássico definido [⁶⁶], e também restringiria bastante teorias que preveem colapso gravitacional da função de onda [⁶, ⁷]. Se nos permitirmos fazer hipóteses adicionais sobre a estrutura da teoria que descreve o efeito, ela poderia indicar que a gravidade tem natureza não-clássica como campo ou como curvatura do espaço-tempo. De forma mínima, a detecção mostraria que gravidade de partículas em estados de superposição pode gerar emaranhamento, uma informação não trivial sobre a gravidade gerada por sistemas quânticos. Se (surpreendentemente) não houver detecção de emaranhamento, isso abre espaço ainda maior para um novo entendimento da natureza da gravidade.

4. Relações Causais em um Espaço-tempo Não-clássico

Discutimos na seção anterior como podemos usar a geração de emaranhamento para explorar a natureza possivelmente não clássica do campo gravitacional. Essa é apenas uma das maneiras pelas quais as técnicas de informação quântica podem ser empregadas para explorar a gravidade. Podemos também estudar as consequências de um comportamento quântico da gravidade para a caracterização de outras propriedades gravitacionais, como a estrutura causal do espaço-tempo.

Na subseção 2.3, vimos como correlações obtidas em experimentos quânticos podem ser contrastadas com aquelas previstas por teorias de variáveis ocultas locais. Podemos questionar também se existem meios de diferenciar estruturas causais mais exóticas, possivelmente geradas por uma teoria de gravidade quântica, daquelas previstas classicamente pela relatividade geral. É interessante achar resultados como os das desigualdades de Bell nesse contexto. Assim como a teoria quântica não é necessária para a formulação das desigualdades de Bell, procuramos desenvolver métodos para caracterizar relações causais que sejam independentes de uma teoria específica.

A seguir, vamos introduzir uma desigualdade causal, expressão que pode ser usada para inferir se a estrutura causal de um experimento é indefinida. Depois disso, apresentaremos o exemplo canônico de uma tarefa com ordem causal indefinida, o quantum switch. Enfim, discutiremos sobre o teorema de Bell para ordem temporal, que é o primeiro exemplo de desigualdade nesse contexto que tem uma violação teórica envolvendo hipóteses fenomenológicas de gravitação quântica. Ao final, revisamos alguns debates dentro dessa área de pesquisa, envolvendo tanto o uso das expressões “causal” ou “causalidade”, e as possíveis interpretações de diferentes protocolos.

4.1. Desigualdade causal

A desigualdade causal [⁸⁵] se destaca por exigir pouquíssimos pré-requisitos para ser compreendida. Ela caracteriza as probabilidades envolvidas em um protocolo e, sob certas hipóteses, sua violação não seria consistente com a estrutura causal de eventos em um espaço-tempo clássico que não possua trajetórias temporais fechadas [⁸⁶, ⁸⁷]. Consideremos um cenário em que dois agentes, Ajuri e Bará, estão em regiões isoladas, sem possibilidade de se comunicarem ou obterem informações do ambiente externo, exceto em dois momentos: em um primeiro instante, um sistema físico pode adentrar a região, e, em um momento posterior, este sistema sai. Destaca-se que, em cada rodada do protocolo, o sistema físico atravessa cada uma das regiões de Ajuri e Bará uma única vez. Nesse intervalo, os agentes podem realizar medições, operações ou codificar informações nesse sistema.

Além disso, Ajuri e Bará dispõem de sistemas auxiliares que lhes permitem gerar bits clássicos aleatórios. Digamos que eles sejam definidos por moedas em um jogo de cara ou coroa, e que atribuímos o valor $0$ para cara e $1$ para coroa. Ajuri recebe uma moeda e gera um bit aleatório $a$, enquanto Bará recebe duas moedas e gera dois bits aleatórios $b$ e $b^{\prime }$.

O protocolo segue da seguinte forma: toda vez que Ajuri ou Bará recebem o sistema físico, eles lançam suas respectivas moedas, e os resultados definem os valores dos bits aleatórios $a$ ou $b$ e $b^{\prime }$. Cada agente, depois de gerar seu(s) bit(s), pode medir ou operar livremente sobre o sistema, e em particular pode codificar nele o valor de seu bit. Antes de enviar o sistema físico de volta ao ambiente externo, Ajuri deve tentar adivinhar o valor de $b$ e Bará o valor de $a$, cada um anotando seus palpites. Denotaremos o palpite de Ajuri por $x$ e o de Bará por $y$.

O objetivo do protocolo é que Ajuri e Bará façam com que a probabilidade de sucesso abaixo seja a maior possível:

(34) $$p_{\text{suc}}:=\frac{1}{2}\left[P\left(x=b|b^{\prime }=0\right)+P\left(y=a|b^{\prime }=1\right)\right].$$

Ou seja, quando $b^{\prime }=0$, os agentes vencem a rodada se Ajuri acertar o valor de $b$. Já quando $b^{\prime }=1$, eles vencem se Bará acertar o valor de $a$.

Vamos supor que, em cada rodada, as ações de Ajuri e Bará acontecem em uma ordem definida. Por exemplo, suponha que Ajuri age no futuro de Bará. Então, se os dois estão tentando ganhar o jogo, ela recebe o sistema físico que Bará envia já codificado com o bit b. Nesse caso, Ajuri pode acessar essa informação e acertar com $100\%$ de chance o valor de $b$, isto é: $P\left(x=b\right)=1$, e portanto⁴ $P\left(x=b|b^{\prime }=0\right)=1$. Entretanto, nessa situação, Bará não está no futuro do momento em que Ajuri envia seu sistema físico, e o máximo que ele pode fazer é escolher aleatoriamente o valor de $y$. Portanto, existe $50\%$ de chance de ele acertar o valor de $a$, isto é: $P\left(y=a\right)=1/2$, logo $P\left(y=a|b^{\prime }=1\right)=1/2$. Raciocínio análogo acontece trocando a ordem de acontecimentos entre Ajuri e Bará.

Agindo de forma otimizada, Ajuri e Bará venceriam esse jogo com uma probabilidade de $p_{suc}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)$, isto é, $75\%$ das vezes. Sendo assim, em um cenário com ordem causal definida, a probabilidade de Ajuri e Bará vencerem a tarefa é cotada por:

(35) $$p_{\text{suc}}\le \frac{3}{4}.$$

Note que no parágrafo acima oferecemos apenas uma ideia geral de que essa desigualdade é válida. Uma prova formal pode ser verificada nas referências [¹⁷, ⁸⁵].

A equação (35) é o que chamamos de desigualdade causal. Assim como a desigualdade CHSH é um tipo de desigualdade de Bell, a desigualdade acima é apenas um tipo de desigualdade causal. Ela foi a primeira formulação de tal ideia e foi seguida por outros tipos de desigualdades causais [⁸⁸, ⁸⁹, ⁹⁰, ⁹¹]. Note, também, que a desigualdade causal é independente de teoria e de dispositivo, assim como as desigualdades de Bell.

4.2. Processos com ordem causal indefinida

Desigualdades causais definem certas limitações para processos com ordem causal definida. Mas qual é a motivação para pensar em um cenário em que a ordem entre eventos não é definida? De forma ingênua, uma das motivações é a extrapolação de princípios da relatividade geral em regimes quânticos específicos. Por exemplo, se a estrutura causal do espaço-tempo é definida pela curvatura, a qual é determinada pelo estado da matéria, uma expectativa possível para o comportamento da estrutura causal em torno de um sistema quântico massivo em um estado de superposição é que ela não seja definida. Outra possibilidade é que haja algum tipo de colapso, ou uma descrição clássica da gravidade mesmo em regimes quânticos. Por isso, a distinção entre estruturas causais definidas e indefinidas se torna conceitualmente importante.

De forma mais geral, pode-se argumentar que a relatividade geral e a teoria quântica possuem possuem características que são revolucionárias em relação à física previamente conhecida. A relatividade geral estabelece relações causais dinâmicas, sendo necessário resolver as equações de Einstein para então determinar se um evento está no passado ou no futuro do outro. Enquanto isso, a teoria quântica tem um caráter intrinsecamente probabilístico em suas predições. A ordem indefinida surge naturalmente em formalismos que tentam conciliar essas propriedades, isto é, que apresentem uma estrutura causal não fixa a priori e probabilística [⁹²].

Como exemplos, temos os formalismos de causalóide [⁹²], de super mapas [⁹³], e de matriz de processo [⁸⁵]. A ideia por trás deles é abandonar a necessidade de definir a priori um espaço-tempo global onde fenômenos ocorrem, e lidar apenas com regiões onde possamos assumir que a física é regida pelas leis previamente conhecidas. Essas regiões, também chamadas de laboratórios fechados, estão isoladas do mundo exceto por dois instantes. O primeiro instante é o momento em que um sistema físico entra nessa essa região, e o segundo, quando esse sistema físico sai, como acontece no protocolo para a desigualdade causal.

Ao renunciar a noção de um espaço-tempo global, perde-se também a definição tradicional do que seria um evento na teoria da relatividade, sendo necessário adotar uma noção diferente. Segundo o formalismo de matriz de processo, um evento é dado por uma potencial operação que um agente em um laboratório fechado possa realizar em um sistema quântico que passa por este laboratório uma única vez. Note que esta nova definição pode não ser capaz de abranger uma teoria completa que unifique a teoria quântica e a gravitação, pois se restringe a regiões em que é possível definir um laboratório fechado. Entretanto, relembramos que nosso objetivo primário não é buscar por uma teoria completa de gravidade quântica, mas sim procurar por cenários nos quais podemos utilizar as técnicas da informação quântica para aprender mais sobre a gravidade. Por isso, essa definição de evento é suficiente por ora.

Vários tipos de processos com ordem causal indefinida foram caracterizados matematicamente, em especial, processos que violam desigualdades causais [⁸⁵, ⁹⁴]. Entretanto, conhecemos interpretações físicas apenas para um certo processo e suas variações: o quantum switch. Este processo é composto por um sistema alvo, um sistema de controle, e três agentes, denominados de Ajuri, Bará e Cauã. Ajuri e Bará têm acesso apenas ao sistema alvo, sobre o qual podem fazer operações arbitrárias, enquanto Cauã tem acesso ao alvo e ao sistema de controle, podendo realizar medições em ambos. Cauã se encontra no futuro de Ajuri e de Bará, mas a relação causal entre Ajuri e Bará não é previamente estabelecida.

O quantum switch não viola a desigualdade causal proposta em [⁸⁵], nem nenhuma desigualdade que seja formulada de maneira similar [⁹⁵, ⁹⁶, ⁹⁷]. Para caracterizar o quantum switch, é preciso utilizar outros tipos de ferramentas matemáticas, como testemunhas causais, que são o análogo das testemunhas de emaranhamento para ordem causal. Entretanto, uma variação simples do quantum switch viola outros tipos de desigualdade, como as que foram propostas em [⁹⁰, ⁹¹], ou em [⁹⁸], a qual vamos introduzir na subseção 4.4.

Por simplicidade, vamos considerar que o sistema alvo e o sistema de controle sejam ambos qubits. Em seus laboratórios, os agentes Ajuri e Bará aplicam cada um uma operação no qubit alvo, que vamos denotar por $𝒜$ e $ℬ$ respectivamente. A ordem em que estas operações acontecem está emaranhada com o qubit de controle: se o estado desse qubit é ${|0⟩}_c$, então $𝒜$ é aplicado antes de $ℬ$, e caso o seu estado seja ${|1⟩}_c$, $ℬ$ é aplicado antes de $𝒜$. Temos, então, que o seguinte mapa define a operação switch:

(36) $$S_{𝒜,ℬ}={|0⟩⟨0|}_c\otimes ℬ\circ 𝒜+{|1⟩⟨1|}_c\otimes 𝒜\circ ℬ.$$

Se o estado inicial do qubit de controle é $\left({|0⟩}_c+{|1⟩}_c\right)/\sqrt{2}$ e do alvo é ${|\psi ⟩}_a$, o estado final do sistema composto é:

(37) $$\begin{array}{l}{S}_{𝒜,ℬ}\left({\displaystyle \frac{{|0⟩}_c+{|1⟩}_c}{\sqrt{2}}}\otimes {|\psi ⟩}_a\right)\\ ={\displaystyle \frac{{|0⟩}_c\otimes ℬ\circ 𝒜{|\psi ⟩}_a+{|1⟩}_c\otimes 𝒜\circ ℬ{|\psi ⟩}_a}{\sqrt{2}}}.\end{array}$$

Fazendo uma pós-seleção do sistema de controle na base $\left\{{|0⟩}_c\pm {|1⟩}_c\right\}$, o sistema alvo é encontrado em um dos estados:

(38) $$\frac{ℬ\circ 𝒜{|\psi ⟩}_a\pm 𝒜\circ ℬ{|\psi ⟩}_a}{\sqrt{2}}.$$

Figura 9
(A) Representação diagramática do processo do quantum switch. Os rótulos A e B nas caixas representam um evento em cada um dos respectivos laboratórios de Ajuri e Bará. (B) e (C) são possíveis representações efetivas do efeito do quantum switch na linguagem de circuito.

Um esquema diagramático para o quantum switch é mostrado na Figura 9(A). Nessa figura, as caixas A e B precisam ser entendidas como eventos, e por isso devem aparecer apenas uma vez nessa representação. Entretanto, esse processo também pode ser obtido com as estruturas de circuitos ilustradas nas Figuras 9(B) e (C), que representam circuitos com operações controladas. Lembramos que operações controladas foram introduzidas nas equações (26) e (2.4) da seção 2.4. Nesse caso, pelo menos uma das caixas aparece duas vezes na mesma representação, o que para muitos não pode ser tratado como a realização de um único evento [⁹⁹].

Veja que toda a construção que fizemos até agora teve como motivação o estudo de estruturas causais para explorar o espaço-tempo. Porém, sistemas quânticos podem estar delocalizados, e este ingrediente basta para tornar possível a realização do quantum switch (36) em um espaço-tempo clássico [¹⁰⁰, ¹⁰¹, ¹⁰²], de acordo com as representações de circuito 9(B) e (C). Em particular, experimentos ópticos que reproduzem o efeito foram construídos [¹⁰⁰] e o mapa (36) foi caracterizado experimentalmente. Como uma breve introdução ao quantum switch óptico, resumimos aqui uma versão simplificada do experimento reportado na referência [¹⁰³] e ilustrado na Figura 10(A).

Figura 10
(A) Esquema de implementação e (B) diagrama espaço-temporal do quantum switch óptico da referência [¹⁰³].

O qubit de controle e o sistema alvo são ambos codificados em um mesmo fóton, sendo o primeiro em sua polarização e o segundo seus modos espaciais transversais. O fóton passa pelo caminho óptico ilustrado na Figura 10(A). Inicialmente, o fóton encontra um divisor de feixes por polarização. Se sua polarização é vertical ele é refletido, se é horizontal, ele é transmitido. No caso em que sua polarização é vertical, ele primeiro encontra a caixa A, que aplica uma operação $𝒜$. Após ser refletido em alguns espelhos, o fóton encontra a caixa B, que aplica uma operação $ℬ$. Caso a polarização seja horizontal, o fóton encontra primeiro a caixa B e depois a caixa A, sendo desta vez, a operação $ℬ$ realizada antes da operação $𝒜$. Ao final do caminho óptico, existe um outro divisor de feixes por polarização que recombina os dois caminhos do fóton. Os estados de polarização e dos modos espaciais transversais do fóton são então medidos na caixa C. Várias rodadas desse experimento são feitas variando os estados do fóton e também as operações $𝒜$ e $ℬ$, para que se possa caracterizar o processo como um todo.

Vale aqui pontuar que as operações $𝒜$ e $ℬ$, apesar de serem realizadas pelos mesmos agentes A e B nos dois caminhos do fóton, foram realizadas em eventos diferentes do espaço tempo, como ilustrado na Figura 10(B). Esta argumentação, juntamente com a representação de circuito nas Figuras 9(B) e (C), foi o começo de um longo debate sobre o quantum switch de mesa óptica ser uma tarefa com ordem causal indefinida genuína ou apenas uma simulação, o qual vamos detalhar um pouco mais na seção 4.5. Antes disso, vamos apresentar um experimento mental para entender como a gravidade não-clássica, sob algumas hipóteses básicas, poderia gerar um espaço-tempo com uma estrutura causal exótica, possibilitando a realização de um quantum switch.

4.3. O quantum switch gravitacional

A construção da desigualdade causal e a definição do quantum switch foram ambas feitas com a seguinte definição de evento: a aplicação de uma operação sobre um sistema físico feita dentro de um laboratório fechado. Entretanto, ainda não descrevemos como isso poderia ter uma conexão direta com um espaço-tempo não clássico, como sugerido pelas motivações mencionadas na seção 4.2. Para tal, descreveremos um experimento mental em que a realização de um quantum switch, sob certas motivações fenomenológicas, é induzida pela gravidade gerada por um objeto massivo em superposição de posições.

Para introduzir o quantum switch gravitacional, os autores de [⁹⁸] consideram que cada agente dispõe de um relógio capaz de medir seu tempo próprio, e um evento dentro de um laboratório deve corresponder a um instante de tempo específico segundo seus relógios. Note que esta definição pode ou não ser compatível com a definição de evento no formalismo da matriz de processo, que discutimos na seção anterior, ponto que será discutido na seção 4.5.

De acordo com a relatividade geral, a presença de sistemas massivos pode alterar o ritmo da passagem do tempo, efeito conhecido como dilatação temporal gravitacional. Por exemplo, suponha que Ajuri está próxima à um corpo massivo esférico e que um outro agente, Bará, está bem distante de ambos. A relação entre o tempo $\tau$ e $t$ medidos pelos relógios de Ajuri e Bará é dada por [⁸⁷]

(39) $$\tau =g_{00}\left(R\right)t,$$

em que

(40) $$g_{00}\left(R\right)=\sqrt{1-\frac{2GM}{c^{2}R}}$$

é um dos componentes da métrica do espaço-tempo, em que $G$ é a constante gravitacional, $M$ é a massa do corpo esférico, $c$ é a velocidade da luz, e $R$ é a distância de Ajuri ao centro do corpo esférico.

Figura 11
Ilustração de duas situações em que um corpo massivo está mais próximo de um agente do que de outro. (A) Ajuri está mais próxima do corpo massivo do que Bará, e por isso seu tempo próprio corre mais devagar do que o de Bará. (B) Situação inversa em que Bará está mais próximo à massa do que Ajuri.

Vamos considerar agora que Ajuri e Bará estejam a uma distância $R_{\text{A}}$ e $R_{\text{B}}$ do centro do corpo esférico de massa $M$. Ilustramos essa situação na Figura 11, com $R_{\text{A}}<R_{\text{B}}$ em 11(A), e $R_{\text{A}}>R_{\text{B}}$ em 11(B). Suponha que Ajuri e Bará sincronizam seus relógios em um dado instante inicial e que enviam um sinal de luz para o outro no instante ${\tau }^{\ast }$ de acordo com seus relógios. Será que um dos dois enviaria seu sinal depois de receber o sinal do outro? Na referência [⁹⁸], verifica-se que, se Bará está mais próximo da massa do que Ajuri, ele receberia o sinal dela antes de enviar o seu próprio sinal caso

(41) $${\tau }^{\ast }\ge T_c\frac{\sqrt{-g_{00}\left(R_{\text{B}}\right)}}{1-\sqrt{\frac{g_{00}\left(R_{\text{B}}\right)}{g_{00}\left(R_{\text{A}}\right)}}},$$

em que $T_c$ é o tempo que um sinal de luz gasta para viajar de Ajuri a Bará. Caso Ajuri esteja mais perto da massa, a equação acima é válida trocando os índices A e B. Dessa forma, exemplificamos como a presença de um corpo massivo pode influenciar a estrutura causal entre Ajuri e Bará: se a massa está à esquerda, o evento A está no futuro causal de B. Caso contrário, ele está no passado causal.

Vamos mostrar como utilizar a dilatação temporal como um recurso para induzir a realização de um quantum switch. Considere que o corpo massivo na verdade se encontra em um estado de superposição das configurações (A) e (B) da Figura 11. A princípio, para considerar um estado quântico de um corpo massivo e do seu campo gravitacional, precisaríamos de uma teoria de gravidade quântica. Mas nossa intenção é trabalhar sob hipóteses bem gerais para entender consequências básicas de um comportamento possivelmente quântico da gravidade.

Então, no lugar de usar alguma teoria específica, consideramos apenas as seguintes hipóteses:

• (I)

  Estados macroscópicos distintos correspondem a estados quânticos ortonormais;

• (II)

  A dilatação temporal no limite clássico se reduz ao que é previsto pela relatividade geral;

• (III)

  O princípio de superposição é válido, independente da massa dos sistemas envolvidos.

Com essas hipóteses, podemos associar a cada uma das configurações da Figura 11 um estado quântico ortonormal. Denotaremos por ${|K_{A\prec B}⟩}_M$ o estado em que o corpo massivo está mais próximo de Bará (Figura 11(B)), caso em que o sinal enviado por Ajuri chega até Bará antes do evento B; e denotaremos por ${|K_{B\prec A}⟩}_M$ o estado em que o corpo massivo está mais próximo de Ajuri (Figura 11(A)). Considere, então, a situação em que o estado inicial destas configurações é em um estado de superposição, como ilustrado na Figura 12, e descrito pela expressão

(42) $$\frac{{|K_{\text{A}\prec \text{B}}⟩}_M+{|K_{\text{B}\prec \text{A}}⟩}_M}{\sqrt{2}}.$$

Figura 12
Ilustração para o cenário em que um corpo massivo está em superposição de posições. Em um dos casos a massa está mais próxima de Ajuri, e no outro, de Bará.

Para realizar o quantum switch, consideraremos o seguinte. Suponha que o evento correspondente a ${\tau }^{\ast }$ de Ajuri está no passado do evento correspondente a ${\tau }^{\ast }$ de Bará. Sendo assim, Ajuri pode realizar uma operação $𝒜$ em um sistema físico com estado inicial $|\psi ⟩$, e enviá-lo para Bará, que faz uma operação $ℬ$ no sistema. O estado final desse sistema é $ℬ\circ 𝒜|\psi ⟩.$ Mas se o evento de Bará estiver no passado de Ajuri, operação análoga pode ser realizada, e o estado final do sistema físico é dado por $𝒜\circ ℬ|\psi ⟩$.

Uma vez que consideramos que o corpo massivo esteja no estado inicial (42), temos que o estado final conjunto do corpo massivo e do sistema físico compartilhado por Ajuri e Bará é dado pela expressão:

(43) $$\frac{{|K_{\text{A}\prec \text{B}}⟩}_M\otimes ℬ\circ 𝒜{|\psi ⟩}_a+{|K_{\text{B}\prec \text{A}}⟩}_M\otimes 𝒜\circ ℬ{|\psi ⟩}_a}{\sqrt{2}},$$

cuja forma é análoga à da equação (37). Portanto, podemos dizer que este é um protocolo para realizar um quantum switch utilizando o campo gravitacional como sistema de controle. Por essa razão, ele é denominado quantum switch gravitacional.

Como mencionamos acima, o quantum switch não viola nenhuma desigualdade causal. Por isso, outros tipos de desigualdades foram formuladas para caracterizar protocolos envolvendo o quantum switch [⁹⁸, ⁹⁰, ⁹¹]. Vamos mostrar na próxima seção um teorema do tipo Bell para ordem indefinida, elaborado em [⁹⁸], denominado desigualdade de Bell para ordem temporal.

4.4. Uma desigualdade do tipo Bell para ordem temporal

Para introduzir o quantum switch gravitacional na seção anterior, foi preciso fazer as considerações (I)–(III) sobre o espaço-tempo que seria gerado por um objeto massivo em superposição de posições. Mas seria possível testar se a ordem é realmente indefinida sem que seja preciso considerar tais hipóteses? Para isso, os autores da referência [⁹⁸] elaboraram o teorema de Bell para ordem temporal.

Considere o cenário ilustrado na Figura 13(A). Temos um sistema composto de duas partes $S_1$ e $S_2$, um terceiro sistema $M$, e quatro agentes: Ajuri₁, Bará₁, Ajuri₂ e Bará₂. O par de agentes Ajuri_n e Bará_n podem operar uma única vez cada no sistema $S_n$. Digamos que, no evento $A_n$, Ajuri_n aplica a operação ${𝒜}_n$ sobre $S_n$ e que, no evento $B_n$, Bará_n aplica ${ℬ}_n$ sobre $S_n$. Finalmente, no evento $C_n$, o sistema $S_n$ sofre a medição $i_n$ retornando o resultado $o_n$. O sistema $M$ é medido no evento $D$, retornando o resultado $w$.

Figura 13
(A) Diagrama para o cenário utilizado no teorema de bell para ordem temporal; (B) ilustração de um experimento metal que viola o teorema de Bell para ordem temporal.

O teorema de Bell para a ordem temporal afirma que, em um experimento construído conforme o cenário descrito acima e que atenda às hipóteses a seguir, o estado conjunto dos sistemas $S_1$ e $S_2$ não pode violar uma desigualdade de Bell, independentemente do valor atribuído a $w$:

• (i)

  Estados iniciais separáveis: Os estados iniciais dos sistemas $S_1$, $S_2$, $M$ não apresentam nenhuma correlação entre si;

• (ii)

  Operações localizadas temporalmente: Os agentes Ajuri_n e Bará_n realizam as suas respectivas operações no sistema $S_n$ em um instante específico medido por seu tempo próprio;

• (iii)

  Ordem clássica: Os eventos em que as operações são realizadas são ordenados classicamente, isto é, se para cada par de eventos $A_n$ e $B_n$ existir uma superfície do tipo espaço, e sobre ela estiver definida uma variável clássica $\lambda$ que determine a ordem entre os eventos $A_n$ e $B_n$;

• (iv)

  Localidade: As operações ${𝒜}_1$ e ${ℬ}_1$ não afetam ${𝒜}_2$ e ${ℬ}_2$, e vice-versa. Analogamente, as medições $C_1$, $C_2$, e $D$ não se afetam mutuamente;

• (v)

  Livre arbítrio: A escolha de cada medição a ser realizada nos eventos $C_1$ e $C_2$ é independente de qualquer outro processo dentro do experimento.

Note que este teorema é diretamente inspirado nas desigualdades de Bell. Relembrando as hipóteses (1)–(3) introduzidas na seção 2.3.1, é possível ver que (iii) introduz a noção de variáveis ocultas para ordem causal, assim como (1) introduz variáveis ocultas em geral, (iv) nos dá uma noção de localidade assim como em (2), e (v) de livre arbítrio, assim como em (3). As hipóteses (i) e (ii) não têm uma analogia direta com hipóteses para as desigualdades de Bell. Note que a hipótese (ii) é o que conecta a ordem entre as operações ${𝒜}_n$ e ${ℬ}_n$ à estrutura causal do espaço-tempo.

Para violar essa desigualdade, os autores da referência [⁹⁸] utilizam duas cópias do quantum switch gravitacional introduzido na seção anterior, assim como ilustrado na Figura 13(B). Nesse cenário, o estado conjunto dos sistemas $M$, $S_1$ e $S_2$ após as operações dos agentes é dado por:

(44) $$\frac{{|K_{A\prec B}⟩}_M\otimes {ℬ}_1\circ {𝒜}_1{|{\psi }_1⟩}_{S_1}\otimes {ℬ}_2\circ {𝒜}_2{|{\psi }_2⟩}_{S_2}+{|K_{B\prec A}⟩}_M\otimes {𝒜}_1\circ {ℬ}_1{|{\psi }_1⟩}_{S_1}\otimes {𝒜}_2\circ {ℬ}_2{|{\psi }_2⟩}_{S_2}}{\sqrt{2}}.$$

Fazendo uma medição de $M$ na base $\left\{{|K_{A\prec B}⟩}_M\pm {|K_{B\prec A}⟩}_M\right\}$, o estado conjunto de $S_1$ e $S_2$ se torna

(45) $$\frac{{ℬ}_1\circ {𝒜}_1{|{\psi }_1⟩}_{S_1}\otimes {ℬ}_2\circ {𝒜}_2{|{\psi }_2⟩}_{S_2}\pm {𝒜}_1\circ {ℬ}_1{|{\psi }_1⟩}_{S_1}\otimes {𝒜}_2\circ {ℬ}_2{|{\psi }_2⟩}_{S_2}}{\sqrt{2}}.$$

Digamos que os sitemas $S_1$ e $S_2$ sejam partículas de spin $1/2$, e que o estado inicial conjunto seja ${|{\uparrow }_z⟩}_{S_1}{|{\uparrow }_z⟩}_{S_2}$. Se as operações aplicadas por Ajuri e Bará forem dadas por

(46) $${𝒜}_1={𝒜}_2=\frac{\mathrm{𝟙}+{\sigma }_x}{\sqrt{2}}\text{e}{ℬ}_1={ℬ}_2={\sigma }_z,$$

obtemos então um dos estados finais:

(47) $$\frac{{|{\uparrow }_x⟩}_{S_1}{|{\uparrow }_x⟩}_{S_2}\pm {|{\downarrow }_x⟩}_{S_1}{|{\downarrow }_x⟩}_{S_2}}{\sqrt{2}}.$$

Note que, independentemente do valor que $w$ assume, temos um estado emaranhado que viola uma desigualdade de Bell.

É razoável considerar que, num cenário como esse, poderíamos garantir que as hipóteses (i), (ii), (iv) e (v) são válidas. As hipóteses (i) e (ii) dependem da preparação do experimento. Note que, com isso, o teorema de Bell para a ordem temporal não é independente de dispositivo. Já as hipóteses (iv) e (v) são obedecidas se pudermos garantir que as operações ${𝒜}_1$ e ${ℬ}_1$ ocorram em uma região com separação do tipo espaço daquela onde acontecem ${𝒜}_2$ e ${ℬ}_2$. Analogamente, podemos cosiderar que $C_1$, $C_2$, e $D$ acontecem em regiões que possuem separação do tipo espaço entre si. Com isso, nos resta concluir que (iii) não poderia ser verdadeira, ou seja, que não existe uma ordem definida dentro do protocolo que consideramos.

Assim como a mecânica quântica não é necessária para formular uma desigualdade de Bell, não precisamos das hipóteses (I)–(III) para formular o teorema de Bell para a ordem temporal. No entanto, da mesma forma que recorremos à teoria quântica para descrever um experimento que viole a desigualdade, precisamos dessas hipóteses para construir um modelo capaz de violar o teorema enunciado aqui.

Mesmo que o teorema de Bell para ordem temporal seja bastante geral, ele ainda é dependente de teoria [¹⁰⁴]. Trabalhos recentes derivam uma desigualdade causal, independente de teoria e de dispositivo, que pode ser violada por um quantum switch acoplado a um sistema auxiliar [⁹⁰, ⁹¹].

4.5. O debate sobre ordem causal e suasinterpretações

Como quase sempre acontece em física fundamental, a pesquisa em OCI contém diversos debates envolvendo possíveis ambiguidades e a interpretação de seus resultados. Um dos debates é sobre o próprio nome da área: “ordem causal indefinida”. Este nome surgiu devido à motivação de desenvolver um formalismo com estruturas causais mais gerais. Uma outra expressão comumente utilizada para denotar essa área é “causalidade indefinida em mecânica quântica”. Porém, não é porque um processo possui ordem causal indefinida que ele irá gerar algum paradoxo em que, por exemplo, uma causa ocorra depois do seu efeito. Portanto, ainda que alguns autores chamem essa área de “causalidade quântica” ou “causalidade indefinida”, a forma com que esse processos estão relacionados com a noção de causalidade, no sentido de causa e efeito, não é tão direta assim. Em um quantum switch por exemplo, não é a operação $𝒜$ que causa $ℬ$, ou $ℬ$ que causa $𝒜$. Por isso, alguns autores se referem ao quantum switch como uma “superposição de ordem causal” [¹⁰⁵], enquanto outros autores procuram evitar inclusive o uso da palavra ‘causal’ e preferem dizer que os processos têm ordem temporal indefinida [⁹⁸], ou apenas ordem indefinida de operações [⁹⁹].

Além disso, poderíamos ser levados a interpretar que o estado do sistema de controle é a causa da ordem em que as operações $𝒜$ e $ℬ$ acontecem. Mas essa interpretação é equivocada. Se ela fosse correta, também seria correto que em uma porta como a CNot, mostrada na Figura 4(C), o bit de controle é a causa da operação Not ser aplicada no sistema alvo ou não. Isso não pode ser verdade porque, na Figura 4(F), temos exatamente a mesma operação com o bit de baixo e de cima trocados. Mas esse circuito é obtido apenas por uma troca de base a partir do primeiro. Portanto, não faz sentido atribuir significado físico ao bit de controle como causa de um efeito no alvo.

Um debate ainda mais intenso tem ocorrido sobre o que seria uma implementação genuína de um quantum switch e o que seria apenas uma simulação. Ordens causais indefinidas foram introduzidas em um contexto em que se imaginava ser necessário um espaço-tempo exótico para implementar os processos que foram introduzidos pelos novos formalismos. Entretanto, alguns desses processos, em especial o quantum switch, são implementados experimentalmente sem a necessidade de nenhum efeito gravitacional. Como ilustrado na Figura 10(B), as operações de Ajuri e Bará em um quantum switch óptico são realizadas em pontos diferentes do espaço-tempo para cada estado do qubit de controle.

Segundo a definição do que é um evento em relatividade geral, conclui-se que a operação $𝒜$ que Ajuri (ou $ℬ$ que Bará) realiza sobre o sistema alvo estaria associada a dois eventos diferentes, e com isso o protocolo é imersível em um espaço-tempo clássico. Portanto, argumenta-se que um quantum switch óptico deve ser apenas uma simulação, e não uma implementação genuína [⁹⁹]. Por esse motivo, é usualmente argumentado que implementações genuínas se dariam em contextos gravitacionais, como o que discutimos na seção anterior.

Um contra-argumento para essa contagem de eventos é que a definição de evento correta a ser usada é a proposta na formulação de matrizes de processo, a qual introduzimos na subseção 4.2. Nessa formulação, um evento corresponde a uma operação realizada uma única vez em um laboratório fechado. Como Ajuri e Bará realizam cada um sua operação uma única vez, independentemente do estado do qubit de controle, cada operação corresponde a um único evento. Sendo assim, eventos que parecem ser distintos de acordo com a relatividade geral deveriam ser entendidos como o mesmo evento na formulação de matriz de processo [¹⁰⁵]. Como discutimos na seção 4.2, essa definição de eventos é limitada a certas hipóteses e pode não ser adequada para uma descrição geral da natureza.

Para reforçar que o quantum switch óptico é um processo com ordem causal indefinida genuíno, alguns autores afirmam que o quantum switch só pode ser descrito por uma linguagem matemática mais geral do que a de circuitos quânticos, como matrizes de processo [¹⁰⁵, ¹⁰⁶]. Mas outros trabalhos argumentam que é sim possível descrevê-lo com um circuito [⁹⁹, ¹⁰⁷, ¹⁰⁸]. Outros autores vão ainda na direção de generalizar a ideia de laboratórios fechados e a definição de evento [¹⁰⁶, ¹⁰⁹, ¹¹⁰], enriquecendo mais ainda a discussão.

Vale também notar que, nas implementações ópticas de um quantum switch, e no quantum switch gravitacional proposto em [⁹⁸], a hipótese de laboratórios fechados não é totalmente satisfeita. Lembramos que as estatísticas previstas por um processo como o quantum switch são, em teoria, obedecidas formalmente para quaisquer escolhas de operações feitas por Ajuri e Bará em seus laboratórios. Vamos supor que Ajuri e Bará usam algum sistema auxiliar interno para decidir qual operação aplicar no sistema alvo. Digamos que esse sistema auxiliar seja um relógio, e que Ajuri e Bará realizam as operações ${𝒜}^{\prime }$ e ${ℬ}^{\prime }$, respectivamente, caso o tempo $t$ medido por seus relógios seja menor que um dado valor $t^{\ast }$. Caso $t\ge t^{\ast }$, Ajuri e Bará realizam as operações ${𝒜}^{\prime \prime }$ e ${ℬ}^{\prime \prime }$. Então, os experimentos ópticos não implementariam o mapa dado na equação (36), e sim o mapa:

(48) $$S_{{𝒜}^{\prime },{𝒜}^{\prime \prime },{ℬ}^{\prime },{ℬ}^{\prime \prime }}={|0⟩⟨0|}_c\otimes {ℬ}^{\prime \prime }\circ {𝒜}^{\prime }+{|1⟩⟨1|}_c\otimes {𝒜}^{\prime \prime }\circ {ℬ}^{\prime }.$$

Figura 14
Reprodução simplificada do modelo proposto em [¹¹¹] para a realização de um quantum switch gravitacional. (A) Ilustração de duas configurações clássicas de um mesmo sistema massivo e uma superposição dessas duas configurações. (B) Ajuri atravessa a superposição de cascas esféricas percorrendo geodésicas, enquanto Bará permanece na região externa.

No caso do quantum switch gravitacional proposto em [⁹⁸], ainda seria possível implementar um quantum switch se tal sistema auxiliar fosse um relógio. Mas se escolhessemos um sistema auxiliar que mede peso, por exemplo, teríamos um problema análogo.

Com isso, vale perguntar: qual é a diferença entre o quantum switch óptico e o quantum switch gravitacional? O que a gravidade tem de tão especial para esta área de pesquisa? Ela serve apenas como motivação para estudar ordens causais indefinidas, ou haveria alguma propriedade que apenas espaços-tempos não clássicos exibiriam?

Respondemos essa pergunta na referência [¹¹¹], em que as presentes autoras e um colaborador investigaram o quantum switch em condições que só um campo gravitacional não-clássico poderia oferecer. Nessa proposta, estudamos um modelo em que um dos agentes percorre geodésicas ao longo de um espaço-tempo quântico, o que pode ser entendido como um elevador de Einstein delocalizado, como ilustrado na Figura 14.

Esse espaço-tempo é gerado por um corpo massivo em superposição de duas configurações: uma casca esférica maior e uma menor⁵, como ilustrado na Figura 14(A). O espaço-tempo na região externa às duas cascas gerado pelas duas configurações é o mesmo, portanto observáveis clássicos nessas regiões sempre coincidirão. Sendo assim, o espaço-tempo nessa região externa pode ser entendido como um espaço tempo clássico. Enquanto Bará permanece na região externa, Ajuri atravessa as cascas esféricas, como ilustrado na Figura 14(B).

A posição de Ajuri se torna emaranhada com o estado da massa, e utilizamos esse recurso para induzir a realização de um quantum switch gravitacional. O mais importante é que, ao final do protocolo, Ajuri recupera naturalmente uma trajetória clássica na região exterior às cascas esféricas. Além disso, Ajuri não tem meios de verificar por qual trajetória passou, pois, como se movimenta ao longo de uma geodésica, nenhuma observação que possa fazer dentro de seu laboratório fechado lhe permite distinguir o espaço-tempo global.

Um desenvolvimento mais detalhado desse modelo foge ao escopo desse artigo, mas vale destacar que, até então, este é o modelo mais fiel à ideia de laboratório fechado. Note, porém, que este é um experimento mental, e uma implementação real ainda seria desafiadora. Ainda assim, adaptar esse protocolo para violar as desigualdades em [⁹⁰, ⁹¹, ⁹⁸] seria a forma mais robusta que conhecemos até o momento de testemunhar uma estrutura causal indefinida do espaço-tempo.

5. Considerações Finais

Neste artigo, discutimos dois dos tópicos mais modernos na interface entre teoria quântica e gravidade: emaranhamento gravitacionalmente induzido e ordem causal indefinida. Antes de introduzí-los, revisamos ferramentas importantes da informação quântica: o interferômetro de Mach-Zehnder, o experimento de Stern-Gerlach, desigualdades de Bell e emaranhamento, e a linguagem de circuitos quânticos. Quando enfim adentramos nos temas na interface das teorias quântica e da relatividade geral, ressaltamos como essas ferramentas fundamentam as propostas, nos auxiliando na exploração da natureza possivelmente quântica da gravidade. Relembramos aqui que nosso principal foco não é a investigação detalhada de teorias de gravidade quântica, mas sim entender se uma teoria que unifique a teoria quântica e a gravidade precisa ou não considerar um comportamento quântico da gravidade.

Para o tópico de emaranhamento gravitacionalmente induzido, vimos propostas atuais para testar se é possível gerar emaranhamento entre duas partículas apenas por meio de sua interação gravitacional, e debatemos os diferentes argumentos sobre o que esse fenômeno indicaria a respeito da quantização da gravidade. Enquanto tentativas de implementar esse experimento têm sido trabalhadas atualmente, as contribuições teóricas seguem acontecendo, tanto para enriquecer a discussão do que esse fenômeno significa, quanto para encontrar formas mais eficientes de realizar o experimento.

Para o tema de ordem causal indefinida, visitamos o primeiro exemplo de uma desigualdade causal, e vimos que existem formalismos matemáticos que visam conciliar características da teoria quântica e da relatividade geral, sendo capazes de descrever processos com ordem causal indefinida. Exploramos de forma detalhada o quantum switch, o exemplo mais estudado até o momento, e apresentamos alguns modelos para implementá-lo. Vimos que existem experimentos em óptica que implementam essa tarefa, e que há um extenso debate sobre eles apresentarem ordem causal indefinida genuína ou apenas uma simulação. Também discutimos como experimentos mentais que utilizam diferentes tipos de superposição do espaço-tempo podem induzir uma superposição da estrutura causal que resultaria na possibilidade de tarefas com ordem indefinida.

Embora ainda não haja consenso sobre a interpretação dos fenômenos que mencionamos, tais pesquisas nos proporcionam um entendimento mais profundo da interface entre a gravidade e a teoria quântica. Ao desafiar limites conceituais e experimentais, esses estudos impulsionam o desenvolvimento de tecnologias de medição cada vez mais precisas, estimulam a formulação de novos modelos teóricos e fortalecem o diálogo entre áreas tradicionalmente distintas. A perspectiva é melhorar a nossa compreensão sobre os fenômenos no regime em que existe uma tensão entre a teoria quântica e a relatividade geral. Os métodos aqui descritos iluminam aspectos pouco compreendidos dessas teorias e podem abrir caminho para uma formulação unificada da Física.

Agradecimentos

As autoras agradecem ao Prof. Nelson Yokomizo pelo apoio e pelas discussões ao longo dos anos sobre os temas tratados neste artigo. B.S. agradece ao Dr. Esteban Castro Ruiz pelas contínuas discussões sobre causalidade, referenciais quânticos e o EGI, que contribuíram significativamente para a escrita deste trabalho. B.S. reconhece os conhecimentos adquiridos na disciplina “Table-top quantum gravity” ministrada pelo Dr. Marios Christoudolou, e agradece aos colegas Ofek Begnyat e Tales Rick Perche por importantes discussões sobre EGI. N.S.M. agradece aos colegas Gilberto F. Borges e S. Arash Ghoreishi, pela leitura de versões preliminares deste texto e pela indicação de algumas referências.

As autoras se beneficiaram das atividades da COST Action CA23115: Relativistic Quantum Information, URL https://rqi-cost.org/, financiada pela COST (European Cooperation in Science and Technology). N.S.M. agradece pelo financiamento dos projetos INDORBLE 09I03-03-V04-00679 for excellent researchers R2, DeQHOST APVV-22-0570, e QuaSiModo VEGA 2/0156/22.

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¹

Esse resultado corresponde a experimentos que utilizam átomos de Prata. Para átomos que possuem um momento angular maior, as observações desse experimento seriam um pouco diferentes.

²

Em inglês, é comum nomear esses agentes por Alice e Bob.

³

A mecânica Bohmiana é uma teoria que explica a mecânica quântica utilizando variáveis ocultas, mas ela é não-local. Nessa teoria, uma medição poderia influenciar outra instantaneamente, mesmo que elas sejam realizadas em regiões com uma separção tipo espaço entre si. Neste caso, a hipótese (2) não é obedecida.

⁴

Como as probabilidades dos valores adquiridos por $x$ e $a$ são independentes, temos $P\left(x=b,b^{\prime }=0\right)=P\left(x=b\right)P\left(b^{\prime }=0\right)$, e pela regra de Bayes obtemos que $P\left(x=b|b^{\prime }=0\right)=P\left(x=b,b^{\prime }=0\right)/P\left(b^{\prime }=0\right)=P\left(x=b\right)$.

⁵

Para melhor entendimento, apresentamos aqui uma versão simplificada do espaço-tempo e do protocolo introduzidos em [¹¹¹].

*​Endereço de correspondência:

mailto:[e-mail]

Editor-Chefe:

Marcello Ferreirahttps://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  19 Dez 2025
• Data do Fascículo
  2025

Histórico

• Recebido
  15 Ago 2025
• Revisado
  07 Nov 2025
• Aceito
  08 Nov 2025