Teorias de calibre a la Shaw-Deser

Gauge theories via Shaw-Deser

Resumo

Este trabalho tem como objetivo introduzir e discutir a metodologia de Shaw-Deser para descrever a interação entre matéria e radiação via simetria de calibre (abeliana/não abeliana). Nas entrelinhas, a mensagem que pretendemos passar é como a “impressão digital” da simetria de calibre local está contida na simetria de calibre global, por meio de uma interação corrente-campo (Dirac/Schwinger) e uma análise mais algébrica (iterativa), complementando a abordagem geométrica de Yang-Mills/Utiyama.

Palavras-chave:
Teoria de Campos; Teorias de calibre

Abstract

The aim of this work is to present and discuss the Shaw-Deser methodology to describe the interaction between matter and radiation by gauge symmetry (abelian/non-abelian). Between the lines, the message we intend to convey is how the “ fingerprint ” of local gauge symmetry is contained in global gauge symmetry, through a current-field interaction (Dirac/Schwinger) and a more algebraic (iterative) analysis, complementing the geometrical approach of Yang-Mills/Utiyama.

Keywords:
Field theory; Gauge theory

1. Conceitos Preliminares

Como sabemos a busca por uma teoria unificada que consiga descrever as interações da natureza (eletromagnética, fraca, forte e gravitacional) vem de longa data, com o princípio de calibre [1] protagonizando esse busca e por conseguinte, com simetria de calibre determinando a interação entre matéria, radiação e suas auto-interações.

Quem primeiro apontou na direção de que o princípio de calibre advindo do eletromagnetismo poderia ser extendido para descrever outras interações (gravitacional) foi Weyl [2], na tentativa da simetria de calibre ser elevada a um nível mais fundamental. Tendo em vista o desenvolvimento e a descrição das interações fortes por Heisenberg, Tamm e Yukawa [3 -5], em que partículas nucleares (protons e neutrons) estariam trocando mésons (píons), Yang and Mills retomam o empreendimento de Weyl [1, 6], no esforço de explicar a interação forte generalizando a simetria de fase (isospin global) para um patamar local [7], onde aparece o conceito de derivada covariante. Porém, como era bem sabido por Pauli [8], as partículas intermediadoras dessa interação associada a simetria de isospin local são não massivas, contradizendo o fato da interação forte ser descrita por uma interação de curto alcance e partículas massivas. Paralelamente ao trabalho de Yang-Mills, Utiyama estabelece um cojunto de diretrizes para construir uma teoria de gauge para todos os grupos de Lie semi-simples e inclui também no estudo, a relação entre a gravitação na formulação de tetradas e o eletromagnetismo via conexão [9, 10]. Nos dias atuais, o caráter geométrico das interações fundamentais ainda é explorado [11, 12].

Por outro lado, colateralmente a prescrição de Yang-Mills/Utiyama, e praticamente na mesma época, Shaw desenvolve sua abordagem [13, 14], com incentivo diferente. Tendo em vista a atenção dada por Dirac na análise da simetria de calibre da época [15] e o trabalho de Schwinger [16], Shaw percebeu que a simetria de calibre do eletromagnetismo U(1) apresentado na sua forma real bidimensional SO(2) poderia ser generalizado para SU(2), onde teríamos campos vetoriais auto-interagindo, extendendo o trabalho de seu orientador de doutorado (Salam) sobre campos escalares com auto-interação [17]. Implicitamente na abordagem de Shaw, vemos um forte apelo de implementarmos na lagrangiana termos do tipo corrente-campo ($J\times A$) com o intuito de obtermos uma simetria de calibre local. Sendo assim, o objetivo ao longo do texto é de analisar minuciosamente esse apelo por meio da abordagem contída no trabalho de Deser [18 -20].

Portanto o artigo é organizado da seguinte forma: Na Secção-2 e Secção-3 estudamos a simetria de calibre abeliana U(1) no caso da eletrodinâmica. Na Secção-4 exploramos novamente a simetria de calibre abeliana U(1) porém no caso da eletrodinâmica escalar. Na Secção-5 analisamos a simetria de calibre não abeliana SU(2). Por fim, as conclusões estão na Secção-6.

2. Simetria U(1)

Com o intuito de introduzir a simetria de calibre abeliana (global-local), vamos relembrar como a mesma surge de uma linguagem relativística descrevendo a interação entre matéria e radiação [21, 22].

2.1. Radiação (fótons)

Dessa forma, inicialmente, construimos uma ação que represente as equações de movimento relativística associada a interação de uma partícula com um campo eletromagnético externo na forma covariante

(1) $$\begin{array}{c}S=S_{livre}+S_{int},\hfill \\ \\ S_{livre}=-\int mds,\hfill \\ \\ S_{int}=-e{A}^{\mu }d{x}_{\mu },\hfill \end{array}$$

onde $d{s}^2$ é o intervalo associado a medidas de distância no espaço de Minkowski. Conseqüentemente aplicando o princípio da mínima ação

(2) $$\begin{array}{c}\delta S=0,\hfill \\ \\ x^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu },\hfill \end{array}$$

juntamente com as identidades

(3) $$\begin{array}{c}\delta ds=\frac{1}{\sqrt{d{x}^{\mu }d{x}_{\mu }}}d{x}^{\mu }\delta d{x}_{\mu }\hfill \\ \to \delta S_{livre}=\int m\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{s}^2}\delta x_{\mu }ds,\hfill \\ \delta \left(A^{\mu }d{x}_{\mu }\right)=-[{\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }]\frac{d{x}_{\nu }}{ds}\delta x_{\mu }ds\hfill \\ \to \delta S_{int}=e[{\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }]\frac{d{x}_{\nu }}{ds}\delta x_{\mu }ds,\hfill \end{array}$$

encontramos a equação que representa a força de Lorentz na forma covariante

(4) $$\begin{array}{c}m\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{s}^2}=-e{F}^{\mu \nu }\frac{d{x}_{\nu }}{ds},\hfill \\ \\ F^{\mu \nu }\dot{=}[{\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }].\hfill \end{array}$$

Partículas se movendo a velocidades newtonianas ($v\ll 1$) interagem com o campo eletromagnético da seguinte forma

(5) $$\begin{array}{ll}m\frac{d^2{x}^i}{d{t}^2}\hfill & =-e{F}^{i0}-e{F}^{ij}\frac{d{x}_j}{dt}\hfill \\ \hfill & =e{E}^i+e{(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})}^i(\text{experimental}),\hfill \end{array}$$

onde na aproximação tempo próprio passou a ser o tempo coordenado.

Definimos os campos elétricos $\overrightarrow{E}$ e magnéticos $\overrightarrow{B}$ em termos do 4-potencial $A^{\mu }=(\varphi ,\overrightarrow{A})$ a partir da equação anterior

(6) $$\begin{array}{c}\overrightarrow{E}\dot{=}-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}-\overrightarrow{\nabla }\varphi ,\hfill \\ \\ \overrightarrow{B}\dot{=}\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{A}.\hfill \end{array}$$

Observe que os campos elétricos e magnéticos definidos anteriormente são invariantes perante a trasformação de calibre abeliana

(7) $$\begin{array}{c}\varphi ⟶{\varphi }^{\text{'}}=\varphi -{\partial }_t\alpha ,\hfill \\ \overrightarrow{A}⟶{\overrightarrow{A}}^{\text{'}}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{\nabla }\alpha ,\hfill \end{array}$$

onde é necessário utilizar a identidade vetorial $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\alpha )=\overrightarrow{0}.$ Os campos elétricos $\overrightarrow{E}$ e magnéticos $\overrightarrow{B}$ são os campos que realmente tem conteúdo físico no sentido de representarem os verdadeiros graus de liberdade apresentados na natureza. Já o 4-potencial $A^{\mu }$ possui uma liberdade de escolha a qual estamos representando pelas transformações de calibre (local)

(8) $$A^{\mu }\to A^{\text{'}\mu }=A^{\mu }+{\partial }^{\mu }\alpha .$$

A partir do conjunto de equações (6) encontramos

(9) $$\begin{array}{c}\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t},\hfill \\ \\ \overrightarrow{\nabla }·\overrightarrow{B}=0,\hfill \end{array}$$

onde além de aplicar o rotacional e o divergente utilizamos as identidades vetoriais

(10) $$\begin{array}{c}\overrightarrow{\nabla }\times \left(\overrightarrow{\nabla }\varphi \right)=0,\hfill \\ \\ \overrightarrow{\nabla }·(\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{A})=0.\hfill \end{array}$$

Por outro lado, podemos também sintetizar em uma linguagem covariante como correntes eletromagnéticas (fontes) geram campos, por meio da seguinte ação

(11) $$\begin{array}{c}{S}_M=\int d^{4}x\mathcal{L},\mathcal{L}={\mathcal{L}}_M+{\mathcal{L}}_{\text{interação}},\hfill \\ {\mathcal{L}}_M=-\frac{1}{4}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu },\hfill \\ {\mathcal{L}}_{\text{interação}}=J^{\mu }{A}_{\mu },\hfill \end{array}$$

cujas equações de movimento, pelo pricípio da mínima ação de Hamilton, são dadas por

(12) $${\partial }_{\mu }{F}^{\lambda \mu }=J^{\lambda }.$$

Se impormos que $S_M$ é invariante pela transformação de calibre em eq. (8) temos como consequência uma equação de continuidade para a 4-corrente $J^{\mu }=(\rho ,\overrightarrow{j})$, ${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0$. Desse modo, com a finalidade de mater a simetria de calibre apenas correntes conservadas devem se acoplar com campos eletromagnéticos na forma corrente-campo ($J_{\mu }{A}^{\mu }$). Por fim, a equação (12) pode ser escrita em termos dos campos eletromagnéticos e das componentes da 4-corrente

(13) $$\begin{array}{c}\overrightarrow{\nabla }·\overrightarrow{E}=\rho ,\hfill \\ \\ \overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{B}=\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}+\overrightarrow{j}.\hfill \end{array}$$

Portanto as equações clássicas de movimento de na presença de fontes podem ser unificadas (Maxwell)

(14) $$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\overrightarrow{\nabla }·\overrightarrow{E}=\rho ,\hfill \\ \\ \overrightarrow{\nabla }·\overrightarrow{B}=0,\hfill \end{array}\hfill & \begin{array}{c}\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t},\hfill \\ \\ \overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{B}=\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}+\overrightarrow{j},\hfill \end{array}\hfill \end{array}$$

tendo em vista eq. (9) e eq. (13). Observe que a dinâmica é dada pelas equações que tem variações temporais dos campos.

2.2. Matéria (elétrons)

Assim como campos relativísticos descrevem a radiação, o mesmo deve acontecer com a matéria [23]. Como sabemos uma partícula relativística é descrita cinemáticamente pelas seguinte equações

(15) $$\begin{array}{c}\hfill p_{\mu }{p}^{\mu }=m^2\text{(Einstein)},\hfill \\ \hfill p^{\mu }=(E,\overrightarrow{p})=i{\partial }^{\mu }\hfill \\ \hfill \text{(princípio}\text{da}\text{correspondência,}\text{Schrödinger),}\hfill \end{array}$$

onde somos conduzidos a uma equação de Klein-Gordon-Fock (KGF) $(\square +m^2)\psi =0.$

Agora podemos aplicar o procedimento de Dirac para encontrar uma equação de primeira ordem a partir de uma equação de segunda ordem (KGF). Um conjunto de equações diferenciais em primeira ordem é escrita de maneira geral na forma

(16) $$\left(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-mI\right)\psi =0,$$

em que ${\gamma }^{\mu }$ são certas matrizes, $I$ é a matriz identidade e $\psi$ é um vetor coluna. Sendo assim devemos ter que

(17) $$\left(\alpha +{\alpha }^{\nu }{\partial }_{\nu }\right)\left(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-mI\right)=\square +m^2,$$

ou seja,

(18) $$\begin{array}{c}i\left(\alpha {\gamma }^{\mu }\right){\partial }_{\mu }-\left(\alpha I\right)m+\frac{i}{2}\left({\alpha }^{\nu }{\gamma }^{\mu }+{\alpha }^{\mu }{\gamma }^{\nu }\right){\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\hfill \\ -\left({\alpha }^{\nu }I\right)m{\partial }_{\nu }=\left(\square +m^2\right),\hfill \end{array}$$

em que para que essa igualdade seja verdadeira, as condições

(19) $$\begin{array}{c}i\left(\alpha {\gamma }^{\mu }\right)-\left({\alpha }^{\mu }I\right)m=0,\hfill \\ \\ \frac{i}{2}\left({\alpha }^{\nu }{\gamma }^{\mu }+{\alpha }^{\mu }{\gamma }^{\nu }\right)=g^{\mu \nu },\hfill \\ \\ -\left(\alpha I\right)m=m^{2}I,\hfill \end{array}$$

devem ser obedecidas. Estas condições conduzem a $\alpha =-mI$, ${\alpha }^{\mu }=-i{\gamma }^{\mu }$ e também

(20) $${\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }+{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }=2{\eta }^{\mu \nu }\text{(álgebra}\text{de}\text{Clifford)}.$$

Por fim tendo em vista que ${\left|\psi \right|}^2$ deve representar uma densidade de carga elétrica associada a uma equação de continuidade, construímos a ação de Dirac

(21) $$\begin{array}{c}{S}_D=\int d^{4}x{\mathcal{L}}_D,\hfill \\ {\mathcal{L}}_D=\overline{\psi }\left(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m\right)\psi ,\overline{\psi }={\psi }^{†}{\gamma }_0.\hfill \end{array}$$

Observe que a ação é invariante pela transformação de calibre (global)

(22) $$\begin{array}{c}\psi \to {\psi }^{\text{'}}=exp\left[i\alpha \right]\psi ,\hfill \\ \\ \overline{\psi }\to {\overline{\psi }}^{\text{'}}=\overline{\psi }exp[-i\alpha ].\hfill \end{array}$$

Tendo em vista o Teorema de Emmy Noether a transformação global acima (infinitesimal) esta associada a uma simetria

(23) $$\begin{array}{rcl}\delta S_D& =& \int d^{4}x\delta {\mathcal{L}}_D\\ & =& \int d^{4}x{\mathrm{\partial }}_{\mu }[\delta \overline{\psi }\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{L}}_D}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }\overline{\psi })}+\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{L}}_D}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }\psi )}\delta \psi ]\\ & =& \int d^{4}x{\mathrm{\partial }}_{\mu }(i\alpha \overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi )\\ & =& 0.\end{array}$$

Sendo assim

(24) $$\begin{array}{c}{J}^{\mu }=e\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi ,\hfill \\ \\ {\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0\left(\text{equação}\text{da}\text{continuidade}\right),\hfill \\ \\ Q=e\int d^{3}x\overline{\psi }{\gamma }^0\psi \left(\text{carga}\text{conservada}\right).\hfill \end{array}$$

3. Eletrodinâmica

Como foi visto anteriormente, sabemos como descrever radiação e matéria por meio de campos relativísticos de Maxwell e Dirac respectivamente, e sabemos também que a interação entre os mesmos advém de um acoplamento corrente-campo em que a corrente é uma quantidade conservada. Consequentemente temos a seguinte densidade de lagrangiana

(25) $$\begin{array}{rcl}& & {\mathcal{L}}_T={\mathcal{L}}_M+{\mathcal{L}}_D+{\mathcal{L}}_{\text{interação}},{\mathcal{L}}_{\text{interação}}=J_{\mu }{A}^{\mu },\\ \\ & & J^{\mu }=e\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi .\end{array}$$

O termo de interação corrente-campo ($e\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu }$) pode ser escrito em termos dos diagramas de Stüeckelberg-Feynman (vértice) [24 -30], vide Figura 1.

Figura 1
Vértice da eletrodinâmica

Ao escrevermos a equação anterior explícitamente

(26) $$\begin{array}{rcl}{\mathcal{L}}_T& =& -\frac{1}{4}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }+\overline{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\mathrm{\partial }}_{\mu }-m)\psi +e\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A^{\mu }\\ \\ & =& -\frac{1}{4}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }+\overline{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m)\psi ,\end{array}$$

vemos o surgimento da derivada covariante $D_{\mu }={\partial }_{\mu }-ie{A}_{\mu }$ [31]. A simetria de calibre abeliana e local é dada pelas seguintes transformações de campos (infinitesimais)

(27) $$\begin{array}{c}\psi \to {\psi }^{\text{'}}=\psi +i\alpha \psi ,\hfill \\ \overline{\psi }\to {\overline{\psi }}^{\text{'}}=\overline{\psi }-i\alpha \overline{\psi },\hfill \\ A_{\mu }\to A_{\mu }^{\text{'}}=A_{\mu }-\frac{1}{e}{\partial }_{\mu }\alpha .\hfill \end{array}$$

Portanto a simetria de calibre global garante uma corrente conservada, a qual acoplada com o campo na forma corrente-campo nos gera uma densidade de Lagrangiana total ${\mathcal{L}}_T$ com simetria de calibre local, em que é possível observar naturalmente o surgimento do conceito de derivada covariante. Sendo assim, podemos dizer que a simetria de calibre global contém a “impressão digital” da simetria de calibre local.

4. Eletrodinâmica Escalar

Da mesma forma que no caso anterior, vamos aplicar a idéia de interação corrente-campo para o caso onde a matéria é descrita por campos escalares (KGF) [32 -35].

4.1. Equações de segunda ordem

No momento é de nosso conhecimento que a matéria pode ser descrita por campos escalares complexos pela seguinte equação de movimento $(\square +m^2)\varphi =0$, a qual pode ser escrita em termos da seguinte densidade de lagrangiana

(28) $$\begin{array}{rcl}{\mathcal{L}}_0& =& {\varphi }^{\ast }(◻+m^2)\varphi \\ \\ & \iff & {\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^{\ast }{\mathrm{\partial }}^{\mu }\varphi -m^2{\varphi }^{\ast }\varphi ,\end{array}$$

em que a operação $\iff$ significa que as lagrangianas são equivalentes a menos de um termo de superfície e temos uma simetria de calibre global

(29) $$\begin{array}{c}\varphi \to {\varphi }^{\text{'}}=exp\left[i\alpha \right]\varphi ,\hfill \\ {\varphi }^{*}\to {\varphi }^{\text{'}*}=exp[-i\alpha ]{\varphi }^{*}.\hfill \end{array}$$

Sendo assim, utilizando o teorema de Emmy Noether, a transformação global acima (infinitesimal) esta associada a uma simetria

(30) $$\begin{array}{rcl}\delta S_0& =& \int d^{4}x\delta {\mathcal{L}}_0\\ & =& \int d^{4}x{\mathrm{\partial }}_{\mu }[\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{L}}_0}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }\varphi )}\delta \varphi +\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{L}}_0}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^{\ast })}\delta {\varphi }^{\ast }]\\ & =& \int d^{4}x{\mathrm{\partial }}_{\mu }(-i\alpha {\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^{\ast }\varphi +i\alpha {\varphi }^{\ast }{\mathrm{\partial }}_{\mu }\varphi )\\ & =& 0,\end{array}$$

onde definimos uma corrente conservada

(31) $$\begin{array}{rcl}{J}_{\mu }^0& =& ie(-{\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^{\ast }\varphi +{\varphi }^{\ast }{\mathrm{\partial }}_{\mu }\varphi )\\ \\ & =& ie{\varphi }^{\ast }{\overleftrightarrow{\mathrm{\partial }}}_{\mu }\varphi .\end{array}$$

Agora ao aplicar a metodologia corrente-campo temos a seguinte densidade de Lagrangiana

(32) $$\begin{array}{rcl}{\mathcal{L}}_1& =& {\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^{\ast }{\mathrm{\partial }}^{\mu }\varphi -m^2{\varphi }^{\ast }\varphi +\frac{1}{2}{J}_{\mu }^0{A}^{\mu }\\ \\ & =& {\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^{\ast }{\mathrm{\partial }}^{\mu }\varphi -m^2{\varphi }^{\ast }\varphi \\ & & +i\frac{e}{2}(-{\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^{\ast }\varphi +{\varphi }^{\ast }{\mathrm{\partial }}_{\mu }\varphi )A^{\mu },\end{array}$$

Em termos dos diagramas de Stüeckelberg-Feynman a interação ($-{\partial }_{\mu }{\varphi }^{*}\varphi +{\varphi }^{*}{\partial }_{\mu }\varphi )A^{\mu }$ pode ser escrita em termos de um vértice, vide Figure 2. Podemos aplicar novamente o teorema de Emmy Noether, via eq. (30) e encontrar novamente a seguinte corrente conservada

Figura 2
Vértice da eletrodinâmica escalar

(33) $$J_{\mu }^1=J_{\mu }^0+e({\varphi }^{*}\varphi +\varphi {\varphi }^{*}).$$

Deste modo, pensando de maneira iterativa, podemos aplicar novamente a metodologia corrente-campo encontrando a seguinte densidade de lagrangiana

(34) $$\begin{array}{rcl}{\mathcal{L}}_2& =& {\mathcal{L}}_1+\frac{1}{2}{J}_{\mu }^1{A}^{\mu }\\ \\ & =& {\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^{\ast }{\mathrm{\partial }}^{\mu }\varphi -m^2{\varphi }^{\ast }\varphi +[ie(-{\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^{\ast }\varphi +{\varphi }^{\ast }{\mathrm{\partial }}_{\mu }\varphi )\\ & & +e^2{\varphi }^{\ast }\varphi A_{\mu }]A^{\mu },\end{array}$$

onde ao utilizarmos novamente o teorema de Emmy Noether não geramos mais termos para a corrente conservada e dessa forma paramos por aqui com a iteração. Novamente em termos dos diagramas de Stüeckelberg-Feynman a interação $e^2{\varphi }^{*}\varphi A_{\mu }{A}^{\mu }$ pode ser escrita em termos de um vértice, vide Figure 3.

Figura 3
Vértice da eletrodinâmica escalar

Sendo assim ao incluirmos a radiação temos a seguinte densidade de lagrangiana total

(35) $${\mathcal{L}}_T=-\frac{1}{4}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }+{\left(D_{\mu }\varphi \right)}^{*}{D}^{\mu }\varphi -m^2{\varphi }^{*}\varphi ,$$

em que novamente noção de derivada covariante $D_{\mu }={\partial }_{\mu }-ie{A}_{\mu }$ surge naturalmente de uma simetria global e interação corrente-campo.

Como foi possível observar, novamente por meio da simetria global e do acoplamento corrente-campo é possível gerar uma simetria de calibre local, porém diferentemente da eletrodinâmica, a eletrodinâmica escalar precisa de um ingrediente a mais, que no caso é o processo de iteração. Na primeira iteração geramos um vértice de interação (Feynman) e na segunda iteração geramos um segundo vértice, que no caso é suficiente para se ter uma simetria de calibre local.

4.2. Equações de primeira ordem

É possível também escrever a densidade de Lagrangiana que descreve o comportamento de campos escalares complexos em eq. (28) no formalismo de primeira ordem

(36) $${\mathcal{L}}_0=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }{\varphi }^{*}{B}^{\mu }+\frac{1}{2}{B^{*}}^{\mu }{\partial }_{\mu }\varphi +\frac{1}{2}{B^{*}}_{\mu }{B}^{\mu }-m^2{\varphi }^{*}\varphi ,$$

em que $B_{\mu }$ é um campo auxiliar que reduz a ordem. Pelas equações de movimento temos que

(37) $$\begin{array}{c}{B}_{\mu }={\partial }_{\mu }\varphi ,\hfill \\ {B^{*}}_{\mu }={\partial }_{\mu }{\varphi }^{*},\hfill \end{array}$$

e a simetria de calibre global continua sendo ditada por eq. (29).

Neste caso novamente pelo teorema de Emmy Noether em eq. (30) a simetria de calibre global nos conduz a seguinte corrente conservada

(38) $$J_{\mu }^0=ie(-B_{\mu }^{*}\varphi +{\varphi }^{*}{B}_{\mu }).$$

Logo ao aplicar a metodologia corrente-campo temos a seguinte densidade de Lagrangiana

(39) $$\begin{array}{rcl}{\mathcal{L}}_1& =& \frac{1}{2}{\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^{\ast }{B}^{\mu }+\frac{1}{2}{B^{\ast }}^{\mu }{\mathrm{\partial }}_{\mu }\varphi \\ & & +\frac{1}{2}{B^{\ast }}_{\mu }{B}^{\mu }-m^2{\varphi }^{\ast }\varphi +\frac{1}{2}{J}_{\mu }^0{A}^{\mu }\\ \\ & =& \frac{1}{2}({\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^{\ast }-ie{\varphi }^{\ast }{A}_{\mu })B^{\mu }\\ & & +\frac{1}{2}{B^{\ast }}^{\mu }({\mathrm{\partial }}_{\mu }\varphi +ie\varphi A_{\mu })\\ & & +\frac{1}{2}{B^{\ast }}_{\mu }{B}^{\mu }-m^2{\varphi }^{\ast }\varphi \end{array}$$

e portanto, ao encontrar as equações de movimento temos o seguinte

(40) $$\begin{array}{c}{B}_{\mu }=\left(D_{\mu }\varphi \right),\hfill \\ {B^{*}}_{\mu }={\left(D_{\mu }\varphi \right)}^{*},\hfill \end{array}$$

onde naturalmente temos o surgimento da derivada covariante $D_{\mu }={\partial }_{\mu }-ie{A}_{\mu }$ e a garantia de uma simetria de calibre local. Substituindo eq. (40) em eq. (39) temos ao incluirmos a radiação eq. (35).

Por fim, curiosamente, ao reduzirmos a ordem, obtemos a simetria de calibre local e a idéia de derivada covariante por meio de uma simetria de calibre global diretamente, sem a necessidade de iterações e com a informação contída em apenas um vértice ($J_0^{\mu }{A}_{\mu }$ e Figura 2), diminuindo assim o número de diagramas de Stüeckelberg-Feynman necessários para descrever a interação entre campos escalares complexos e campos vetoriais. Podemos também descrever o comportamento de campos escalares por meio do formalismo de Duffin-Kemmer-Petiau [36], onde temos uma equação na forma de Dirac e sendo assim de primeira ordem, e um vértice tipo eletrodinâmica (Figura 1).

5. Simetria SU(2)

Neste momento estamos aptos a analisar uma simetria de calibre não abeliana (global-local) [37, 38], sempre explorando como o conceito de simetria global e o acoplamento do tipo corrente-campo nos leva a uma simetria local (Shaw-Deser) [18 -20]. O protótipo dessa idéia pode ser visto na análise de Shaw para a simetria $SO\left(2\right)$ [1, 13, 14]. Como a inspiração para esse estudo é baseada na descrição de interações em física nuclear com conceitos do eletromagnetismo (simetria de calibre), vamos emprestar a seguinte nomeclatura: Hadrons são as partículas que carregam a interação forte e são divididas em bárions (prótons e neutrons) e mésons (píons). Vamos chamar o estudo da interação entre os hadrons de hadrodinâmica.

5.1. Matéria (bárions)

Seguindo a fenomenologia associada a interação forte (isospin), com o intuito de descrever o comportamento de prótons e neutrons (núcleons), escrevemos uma densidade de Lagrangiana em termos de um dublete de campos de Dirac

(41) $${\mathcal{L}}_{\left(dublete\right)}={\overline{\psi }}_i\left(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m\right){\psi }_i,i=1,2.$$

Por comodidade, geralmente omitimos os indices internos

(42) $$\psi =\left(\begin{array}{c}{\psi }_1\hfill \\ {\psi }_2\hfill \end{array}\right).$$

A densidade de Lagrangiana anterior é invariante pela seguinte transformação

(43) $$\begin{array}{c}\psi \to {\psi }^{\text{'}}=U\psi ,\hfill \\ \overline{\psi }\to {\overline{\psi }}^{\text{'}}=\overline{\psi }{U}^{†},\hfill \end{array}$$

em que $U{U}^{†}=1$, sendo $U_{2\times 2}$ uma matriz unitária ($U^{-1}=U^{†}$) pertencente ao conjunto de matrizes com entradas no corpo dos números complexos. Pois bem, matrizes unitárias satisfazem os aximomas de um grupo de transformações (associatividade, existência do elemento neutro e existência do elemento simétrico) [39].

Agora de maneira geral, matrizes unitárias $U_{2\times 2}$ podem ser escritas como $U=exp\left[iH\right]$, onde $H_{2\times 2}$ é uma matrix hermitiana ($H^{†}=H$). Como sabemos, matrizes hermitianas satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (associatividade, comutatividade, elemento identidade, elemento inverso, compatibilidade e distributividade) [40] e sendo assim no presente caso podemos escrever $H_{2\times 2}$ em termos da seguinte base $\{I,{\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3\}$

(44) $$\begin{array}{c}H=x_{0}I+x_a{\sigma }_a,a=1,2,3;\hfill \\ I=\left(\begin{array}{cc}1\hfill & 0\hfill \\ 0\hfill & 1\hfill \end{array}\right),{\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}1\hfill & 0\hfill \\ 0\hfill & -1\hfill \end{array}\right)\hfill \\ {\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0\hfill & 1\hfill \\ 1\hfill & 0\hfill \end{array}\right){\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}0\hfill & -i\hfill \\ i\hfill & 0\hfill \end{array}\right).\hfill \end{array}$$

Portanto, a menos de uma fase global ($exp\left[i{x}_{0}I\right]$), com os resultados anteriores podemos dizer que a matriz $U$ possui a seguinte forma

(45) $$\begin{array}{c}U=exp\left[i{\alpha }_{\left(a\right)}{T}_{\left(a\right)}\right],a=1,2,3;\hfill \\ [T_{\left(a\right)},T_{\left(b\right)}]=i{ϵ}_{abc}{T}_{\left(c\right)},\hfill \end{array}$$

em que ${\alpha }_a=2x_a$, $T_a=\frac{1}{2}{\sigma }_a$ e ${ϵ}_{abc}$ é o símbolo de Levi-Civita com ${ϵ}_{123}=1$. Por fim, pela identidade $detU=exp[trlnU]$ concluímos que $detU=1$. Representamos o grupo de transformações especiais ($detU=1$), unitárias (U) e em 2 dimensões pela seguinte nomeclatura, $SU\left(2\right)$. O grupo de transformações $SU\left(2\right)$ é um exemplo contido em uma estrutura matemática mais abstrata e geral conhecida como grupos de Lie [41, 42].

Como pode ser visto, a ação associada ao dublete de férmions ($S_{\text{(dublete)}}=\int d^{4}x{\mathcal{L}}_{\mathcal{\text{(dublete)}}}$) é invariante pela seguinte transformação de calibre infinitesimal (global)

(46) $$\begin{array}{c}\psi \to {\psi }^{\text{'}}=\psi +\delta \psi ,\hfill \\ \overline{\psi }\to {\overline{\psi }}^{\text{'}}=\overline{\psi }+\delta \overline{\psi },\hfill \end{array}$$

em que

(47) $$\begin{array}{c}\delta \psi =i{\alpha }_a{T}_{\left(a\right)}\psi ,\hfill \\ \delta \overline{\psi }=-i{\alpha }_a\overline{\psi }{T}_{\left(a\right)}.\hfill \end{array}$$

Por meio do Teorema de Emmy Noether a transformação de simetria global acima (infinitesimal) esta associada a uma carga conservada

(48) $$\begin{array}{rcl}\delta S_{\text{(dublete)}}& =& \int d^{4}x\delta {\mathcal{L}}_{(dublete)}\\ & =& \int d^{4}x{\mathrm{\partial }}_{\mu }[\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{L}}_{(dublete)}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }\psi )}\delta \psi ]\\ & =& \int d^{4}x{\mathrm{\partial }}_{\mu }(i{\alpha }_a\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }{T}_{(a)}\psi )\\ & =& 0,\end{array}$$

onde definimos a seguinte corrente conservada $J_{\left(a\right)}^{\mu }=g\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }{T}_{\left(a\right)}\psi$, sendo $g$ uma carga.

Consequentemente, a prescrição do acoplamento corrente-campo nos leva a seguinte densidade de lagrangiana associada ao dublete de férmions minimamente acoplados com campos vetoriais externos (Maxwell)

(49) $$\begin{array}{c}{\mathcal{L}}_{\text{matéria}}={\mathcal{L}}_{\left(dublete\right)}+{\mathcal{L}}_{\text{interação}},\hfill \\ {\mathcal{L}}_{\text{interação}}=J_{\left(a\right)}^{\mu }{A}_{\left(a\right)\mu }.\hfill \end{array}$$

Por meio dos diagramas de Stüeckelberg-Feynman a interação $g\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }{T}_{\left(a\right)}\psi A_{\left(a\right)\mu }$ pode ser escrita em termos de um vértice, vide Figure 4.

Figura 4
Vértice da hadrodinâmica

Agora a questão que nos resta é como inserir na densidade de Lagrangiana anterior a radiação, assunto abordado na próxima subsecção. Mas antes, vamos encontrar a transformação que os campos vetorias $A_{\left(a\right)\mu }$ devem ter de tal forma que a transformação de calibre global em eq. (45) passa a ser local e depender de ponto ${\alpha }_a\left(x\right)$ e uma simetria de calibre local de ${\mathcal{L}}_{\text{matéria}}$. Para isso basta escrevermos eq. (49) em termos do conceito de derivada covariante

(50) $$\begin{array}{c}{\mathcal{L}}_{\text{matéria}}=\overline{\psi }\left(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m\right)\psi ,\hfill \\ D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ig{A}_{\left(a\right)\mu }{T}_{\left(a\right)},\hfill \end{array}$$

e impormos que $A_{\left(a\right)\mu }$ deve se transformar de tal forma que

(51) $$D_{\mu }\psi \to D_{\mu }{\psi }^{\text{'}}=U{D}_{\mu }\psi .$$

A solução para esse problema será a seguinte transformação de calibre (infinitesimal) local para os campos $A_{\left(a\right)\mu }$

(52) $$A_{\left(a\right)\mu }\to A_{\left(a\right)\mu }^{\text{'}}=A_{\left(a\right)\mu }-\frac{1}{g}{\partial }_{\mu }{\alpha }_a-{ϵ}_{abc}{\alpha }_b{A}_{\left(c\right)\mu }.$$

5.2. Radiação (mésons)

Seguindo os passos do eletromagnetismo, campos que se acoplam com correntes conservadas na forma corrente-campo devem possuir a seguinte simetria de calibre local

(53) $$A_{\left(a\right)\mu }\to A_{\left(a\right)\mu }^{\text{'}}=A_{\left(a\right)\mu }+{\partial }_{\mu }{\alpha }_{\left(a\right)}.$$

Desse modo construímos a seguinte densidade de Lagrangiana

(54) $$\begin{array}{c}{\mathcal{L}}_{\left(triplete\right)}^{\left(0\right)}=-\frac{1}{4}{F}_{\left(a\right)}^{\mu \nu }{F}_{\left(a\right)\mu \nu },\hfill \\ F_a^{\mu \nu }=[{\partial }^{\mu }{A}_{\left(a\right)}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}_{\left(a\right)}^{\mu }],a=1,2,3.\hfill \end{array}$$

Como podemos observar, a densidade de Lagrangiana anterior é invariante pela seguinte simetria global (rotações)

(55) $$\begin{array}{c}{A}_{\left(a\right)\mu }\to A_{\left(a\right)\mu }^{\text{'}}=R_{ab}{A}_{\left(b\right)\mu },\hfill \\ R^{t}R=I,\hfill \end{array}$$

sendo $R^t$ a matrix transposta de $R$. De maneira geral podemos escrever $R_{3\times 3}$ da seguinte modo $R=exp\left[G\right]$, dessa forma $G^t=-G$ e sendo assim as matrizes $G_{3\times 3}$ são anti-simétricas e constituem um espaço vetorial. Podemos escrever G na seguinte base $G_{ab}=x_a{ϵ}_{\left(a\right)bc}$, em que ${ϵ}_{\left(a\right)bc}$ é o símbolo de Levi-Civita.

Portanto, com os resultados anteriores, podemos dizer que a matriz $R$ possui a seguinte forma (Lie) [41, 42].

(56) $$\begin{array}{c}R=exp\left[i{\alpha }_{\left(a\right)}{T}_{\left(a\right)}\right],a=1,2,3;\hfill \\ [T_{\left(a\right)},T_{\left(b\right)}]=i{ϵ}_{abc}{T}_{\left(c\right)},\hfill \end{array}$$

em que ${\alpha }_a=i{x}_a$, $T_{\left(a\right)bc}=-i{ϵ}_{\left(a\right)bc}$. Observe que temos a seguinte identidade de Jacobi

(57) $$[T_{\left(a\right)},[T_b,T_c]]+[T_{\left(b\right)},[T_c,T_a]]+[T_{\left(c\right)},[T_a,T_b]]=0,$$

sendo [,] o comutador. Por fim, pela identidade $detR=exp[trlnR]$ concluímos que $detR=1$. Representamos o grupo de transformações especiais ($detR=1$), ortogonais (O) e em 3 dimensões pela seguinte nomeclatura, $SO\left(3\right)$. Como podemos perceber, $SO\left(3\right)$ é uma representação de $SU\left(2\right)$ no corpo dos reais.

Como pode ser visto, a ação associada ao triplete de bosons vetoriais ($S_{\text{(triplete)}}^{\left(0\right)}=\int d^{4}x{\mathcal{L}}_{\text{(triplete)}}^{\left(0\right)}$) é invariante pela seguinte transformação de calibre infinitesimal (global)

(58) $$\begin{array}{c}{A}_{\left(a\right)\mu }\to A_{\left(a\right)\mu }^{\text{'}}=A_{\left(a\right)\mu }+\delta A_{\left(a\right)\mu },\hfill \\ \delta A_{\left(a\right)\mu }=i{\alpha }_{\left(b\right)}{T}_{\left(b\right)ac}{A}_{\left(c\right)\mu }.\hfill \end{array}$$

Agora, utilizando a experiência que tivemos no caso do campo escalar com auto-interação, vamos reduzir a ordem da Lagrangiana associada ao triplete de bosons vetoriais por meio de um conjunto de campos auxiliares ($B_{\left(a\right)}^{\mu \nu }$)

(59) $${\mathcal{L}}_{\left(triplete\right)}=-F_{\left(a\right)}^{\mu \nu }{B}_{\left(a\right)\mu \nu }+B_{\left(a\right)}^{\mu \nu }{B}_{\left(a\right)\mu \nu },a=1,2,3.$$

com o intuito de estudar a relação entre campos vetoriais com auto-interação e a simetria de calibre (global/local) de maneira direta. Dessa forma a transformação de calibre infinitesimal (global) é dada por

(60) $$\begin{array}{c}{A}_{\left(a\right)\mu }\to A_{\left(a\right)\mu }^{\text{'}}=A_{\left(a\right)\mu }+\delta A_{\left(a\right)\mu },\hfill \\ B_{\left(a\right)\mu }\to B_{\left(a\right)\mu }^{\text{'}}=B_{\left(a\right)\mu }+\delta A_{\left(a\right)\mu },\hfill \end{array}$$

em que

(61) $$\begin{array}{c}\delta A_{\left(a\right)\mu }=i{\alpha }_{\left(b\right)}{T}_{\left(b\right)ac}{A}_{\left(c\right)\mu },\hfill \\ \delta B_{\left(a\right)\mu }=i{\alpha }_{\left(b\right)}{T}_{\left(b\right)ac}{B}_{\left(c\right)\mu }.\hfill \end{array}$$

Agora, por meio do Teorema de Emmy Noether a transformação de simetria global acima (infinitesimal) esta associada a uma carga conservada

(62) $$\begin{array}{rcl}\delta S_{\text{(triplete)}}& =& \int d^{4}x\delta {\mathcal{L}}_{(triplete)}\\ & =& \int d^{4}x{\mathrm{\partial }}_{\mu }[\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{L}}_{(triplete)}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }{A}_{(s)\nu })}\delta A_{(s)\nu }]\\ & =& \int d^{4}x{\mathrm{\partial }}_{\mu }(-2B_{(s)}^{\mu \nu }i\alpha (b)T_{(b)sc}{A}_{(c)\nu })\\ & =& 0,\end{array}$$

onde definimos a seguinte corrente conservada

(63) $$J_{\left(b\right)}^{\mu }=-2g{ϵ}_{\left(b\right)sc}{B}_{\left(s\right)}^{\mu \nu }{A}_{\left(c\right)\nu },$$

Seguindo a prescrição de Shaw-Deser de interação corrente-campo juntamente com a experiência obtida na análise do campo escalar escrevemos a seguinte densidade de Lagrangiana

(64) $$\begin{array}{rcl}{\mathcal{L}}_{(triplete)}& =& -F_{(a)}^{\mu \nu }{B}_{(a)\mu \nu }+B_{(a)}^{\mu \nu }{B}_{(a)\mu \nu }+\frac{1}{2}{J}_{(b)}^{\mu }{A}_{(b)\mu },\\ \\ & =& -[F_{(a)}^{\mu \nu }+g{ϵ}_{(a)bc}{A}_{(b)}^{\mu }{A}_{(c)}^{\nu }]B_{(a)\mu \nu }\\ & & +B_{(a)}^{\mu \nu }{B}_{(a)\mu \nu },\end{array}$$

onde temos como consequência a seguinte equação de movimento para o campo auxiliar

(65) $$B_{\left(a\right)}^{\mu \nu }=\frac{1}{2}{F}_{\left(a\right)}^{\mu \nu }+g{ϵ}_{\left(a\right)bc}{A}_{\left(b\right)}^{\mu }{A}_{\left(c\right)}^{\nu }.$$

Dessa forma, a densidade de Lagrangiana associada ao triplete de campos vetorias pode ser escrita do seguinte modo

(66) $${\mathcal{L}}_{\text{radiação}}={\mathcal{L}}_{\left(triplete\right)}=-\frac{1}{4}{B}_{\left(a\right)}^{\mu \nu }{B}_{\left(a\right)\mu \nu }.$$

A densidade de Lagrangiana anterior é invariante pela transformação de calibre local vista em eq. (52). Para demonstrar o fato anterior é necessário utilizar a identidade de Jacobi

(67) $${ϵ}_{abd}{ϵ}_{cde}+{ϵ}_{cad}{ϵ}_{bde}+{ϵ}_{bcd}{ϵ}_{ade}=0,$$

que é habitual na literatura.

Por motivos de completeza, vamos encontrar a densidade de Lagrangiana associada ao triplete de campos vetoriais em eq. (66) com a prescrição de Shaw-Deser de interação corrente-campo juntamente com o método iterativo, sem reduzir a ordem da Lagrangiana com um campo auxiliar. Novamente por meio do Teorema de Emmy Noether a transformação de simetria global em eq. (58) (infinitesimal) esta associada a seguinte carga conservada

(68) $$\begin{array}{rcl}\delta S_{\text{(triplete)}}^{(0)}& =& \int d^{4}x\delta {\mathcal{L}}_{(triplete)}^{(0)}\\ & =& \int d^{4}x{\mathrm{\partial }}_{\mu }[\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{L}}_{(triplete)}^{(0)}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }{A}_{(s)\nu })}\delta A_{(s)\nu }]\\ & =& \int d^{4}x{\mathrm{\partial }}_{\mu }(-F_{(s)}^{\mu \nu }i\alpha (b)T_{(b)sc}{A}_{(c)\nu })\\ & =& 0,\end{array}$$

onde definimos a seguinte corrente conservada

(69) $$J_{\left(b\right)}^{\left(0\right)\mu }=-g_0{ϵ}_{\left(b\right)sc}{F}_{\left(s\right)}^{\mu \nu }{A}_{\left(c\right)\nu },$$

sendo $g_0$ uma carga associada (proporcional) a constante de acoplamento universal $g$. Seguindo a prescrição de Shaw de interação corrente-campo e o método iterativo visto para campos escalares auto-interagentes escrevemos a seguinte densidade de Lagrangiana

(70) $$\begin{array}{rcl}{\mathcal{L}}_{(triplete)}^{(1)}& =& -\frac{1}{4}{F}_{(a)}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu (a)}+J_{(b)}^{(0)\mu }{A}_{(b)\mu }\\ \\ & =& -\frac{1}{4}{F}_{(a)}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu (a)}\\ & & -g_0{ϵ}_{(b)sc}{F}_{(s)}^{\mu \nu }{A}_{(c)\nu }{A}_{(b)\mu },\end{array}$$

onde via os diagramas de Stüeckelberg-Feynman a interação $g_0{ϵ}_{\left(b\right)sc}{F}_{\left(s\right)}^{\mu \nu }{A}_{\left(c\right)\nu }{A}_{\left(b\right)\mu }$ pode ser escrita em termos de um vértice, vide Figure 5. Esse vértice também descreve a interação $J_{\left(b\right)}^{\mu }{A}_{\left(b\right)\mu }$, vista anteriormente no formalismo de redução de ordem. Podemos aplicar novamente o teorema de Emmy Noether

Figura 5
Vértice da hadrodinâmica

(71) $$\begin{array}{rcl}\delta S_{\text{(triplete)}}^{(1)}& =& \int d^{4}x\delta {\mathcal{L}}_{(triplete)}^{(1)}\\ & =& \int d^{4}x{\mathrm{\partial }}_{\theta }[\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{L}}_{(triplete)}^{(1)}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\theta }{A}_{(r)\beta })}\delta A_{(r)\beta }]\\ & =& \int d^{4}x{\mathrm{\partial }}_{\theta }[-{\alpha }_{(f)}{F}_{(r)}^{\theta \beta }{ϵ}_{(f)rc}{A}_{(c)\beta }\\ & & +2g_0{ϵ}_{(b)rc}{ϵ}_{(f)rd}{\alpha }_{(f)}{A}_{(c)}^{\beta }{A}_{(b)}^{\theta }{A}_{(d)\beta }]\\ & =& 0,\end{array}$$

e definir novamente a seguinte corrente conservada

(72) $$\begin{array}{rcl}{J}_{(f)}^{(1)\theta }& =& g_1[-F_{(r)}^{\theta \beta }{ϵ}_{(f)rc}{A}_{(c)\beta }\\ & & +2g_0{ϵ}_{(b)rc}{ϵ}_{(f)rd}{A}_{(c)}^{\beta }{A}_{(b)}^{\theta }{A}_{(d)\beta }].\end{array}$$

Neste caso, acoplando novamente as correntes com os campos, chegamos ao seguinte resultado

(73) $$\begin{array}{rcl}{\mathcal{L}}_{(triplete)}^{(1)}& =& -\frac{1}{4}{F}_{(a)}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu (a)}\\ & & -g_0{ϵ}_{(b)sc}{F}_{(s)}^{\mu \nu }{A}_{(c)\nu }{A}_{(b)\mu }+J_{(f)}^{(1)\theta }{A}_{(f)\theta }\\ \\ & =& -\frac{1}{4}{F}_{(a)}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu (a)}\\ & & -(g_0+g_1){ϵ}_{(b)sc}{F}_{(s)}^{\mu \nu }{A}_{(c)\nu }{A}_{(b)\mu }\\ & & +2g_0{g}_1{ϵ}_{(b)rc}{ϵ}_{(f)rd}\\ & & \times A_{(c)}^{\beta }{A}_{(b)}^{\theta }{A}_{(d)\beta }{A}_{(f)\theta },\end{array}$$

e percebemos que ao utilizarmos novamente o teorema de Emmy Noether não geramos mais termos para a corrente conservada e sendo assim paramos por aqui com o método iterativo. Com os diagramas de Stüeckelberg-Feynman a interação $g_0{g}_1{ϵ}_{\left(b\right)rc}{ϵ}_{\left(f\right)rd}{A}_{\left(c\right)}^{\beta }{A}_{\left(b\right)}^{\theta }{A}_{\left(d\right)\beta }{A}_{\left(f\right)\theta }$ pode ser escrita em termos de um vértice, vide Figure 6.

Figura 6
Vértice da hadrodinâmica

Agora para que eq. (73) seja equivalente à eq. (70) e dessa forma, por meio de uma simetria de calibre global obtermos uma simetria de calibre local, devemos resolver o seguinte sistema de equações

(74) $$\begin{array}{c}{g}_0+g_1=\frac{g}{2},\hfill \\ 2g_0{g}_1=-\frac{g^2}{4}.\hfill \end{array}$$

O sistema de equações anterior nos leva a seguinte equação polinomial de segundo grau

(75) $$8g_0^2-4g{g}_0-g^2=0,$$

cuja resolução nos conduz ao seguinte resultado

(76) $$\begin{array}{c}{g}_0=\frac{g}{4}(1\pm \sqrt{3}),\hfill \\ g_1=\frac{g}{4}(1\mp \sqrt{3}),\hfill \end{array}$$

em que observamos a relação entre a simetria de calibre local e a universalidade da constante de acoplamento, proporcional a $g$.

Portanto os resultados anteriores nos levam a sintetizar a seguinte lagrangiana

(77) $$\begin{array}{rcl}{\mathcal{L}}_T& =& {\mathcal{L}}_{\text{radiação}}+{\mathcal{L}}_{\text{matéria}}\\ \\ & =& {\mathcal{L}}_{\text{(triplete)}}+{\mathcal{L}}_{\text{(dublete)}}+{\mathcal{L}}_{\text{interação}}\\ \\ & =& -\frac{1}{4}{B}_{(a)}^{\mu \nu }{B}_{(a)\mu \nu }+\overline{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m)\psi ,\end{array}$$

em que a simetria de calibre não abeliana e local é dada pelas seguintes transformações de campos (infinitesimais)

(78) $$\begin{array}{c}\psi \to {\psi }^{\text{'}}=\psi +i{\alpha }_a{T}_{\left(a\right)}\psi ,\hfill \\ \overline{\psi }\to {\overline{\psi }}^{\text{'}}=\overline{\psi }-i{\alpha }_a\overline{\psi }{T}_{\left(a\right)},\hfill \\ A_{\left(a\right)\mu }\to A_{\left(a\right)\mu }^{\text{'}}=A_{\left(a\right)\mu }-\frac{1}{g}{\partial }_{\mu }{\alpha }_a\hfill \\ -{ϵ}_{abc}{\alpha }_b{A}_{\left(c\right)\mu }.\hfill \end{array}$$

Como vimos, foi possível construir a auto-interação entre campos vetoriais pela prescrição de Shaw-Deser e o acoplamento corrente-campo, usando como guia a simetria de calibre (global/local) e a experiência que tivemos na análise do campo escalar complexo. Agora o estudo da auto-interação de campos escalares foi estudado em grande parte por Salam, e serviu de estímulo para a leitura de Shaw no caso vetorial.

6. Comentários Finais

Conforme foi possível testemunhar ao longo do texto, a simetria de calibre local obtida e escrita nos moldes de uma interação corrente-campo ($JA$), desempenha um papel crucial na determinação da dinâmica de interação (vértices) entre matéria e radiação.

No primeiro ato estudamos como a simetria de calibre $U\left(1\right)$ nos leva a uma dinâmica de interação entre campos fermiônicos e vetoriais.

No segundo ato estudamos novamente a simetria de calibre $U\left(1\right)$, porém a mesma nos levou a descrever a interação entre campos escalares e vetoriais. Essa análise acabou sendo um pouco mais sutil devido ao fato de campos escalares serem descritos por equações de segunda ordem. Ao moldarmos a simetria de calibre local em termos de uma interação corrente-campo necessitamos de um processo de iterações e acabamos gerando 2 vértices descrevendo a interação porém ao utilizarmos campos auxiliares para reduzir a ordem das equações que descrevem o comportamento dos campos escalares (primeira ordem), obtivemos a dinâmica de maneira direta e com apenas 1 vértice.

Por fim no terceiro ato utilizamos toda experiência adquirida e ferramentas associadas as análises anteriores da simetria de calibre $U\left(1\right)$ para explorar a simetria de calibre $SU\left(2\right)$. O desafio para manifestar essa simetria de calibre local do ponto de vista de interações corrente-campo ($J\times A$) acabou sendo maior, tanto na introdução de campos auxiliares para reduzir a ordem quanto na utilização do método iterativo. O desfecho dessa investigação é que além das interações entre campos fermiônicos e campos vetoriais teríamos também auto-interações entre campos vetoriais.

Agora um ponto que devemos complementar é a questão da massa para as partículas intermediadoras de interação em teorias de calibre não abelianas. Essa questão só foi revisitada após o entendimento de mecânismos geradores de massa via o conceito de quebra espôntanea de simetria, no contexto de unificação da interação eletromagnética com a interação fraca (Teoria Eletrofraca) [43, 44]. A agenda para o entendimento dessa unificação nos moldes de uma simetria de calibre $SU\left(2\right)\times U\left(1\right)$, se inicia com o trabalho de Fermi e a interação corrente-corrente ($J\times J$) para descrever o decaimento beta, ganha apreço com os trabalhos envolvendo o dublete de $SU\left(2\right)$ de Schwinger e Glashow, sendo necessário a extensão para $SU\left(2\right)\times U\left(1\right)$ com o intuito de incluir o conceito de carga elétrica por meio da idéia de Gell-Mann e Nishijima (hiper-carga) e culmina com a inclusão de mecânismos geradores de massa não somente para férmions (Yukawa) mas também para campos vetoriais (Higgs). Por outro lado, a discussão sobre a interação forte do ponto de vista de uma teoria de calibre passa a ser dada pela simetria $SU\left(3\right)$, onde teríamos uma dinâmica de interação entre quarks (matéria) e gluons (radiação).

Outra questão que foi levantada no texto foi o uso de campos auxiliares para se estudar a simetria de calibre. No caso do texto o campo auxiliar foi utilizado para reduzir a ordem da Lagrangiana mas no contexto geral da física campos auxiliares podem ser utilizados para se estudar a simetria de calibre em teorias com campos vetoriais massivos (Stüeckelberg) [45], como multiplicador de Lagrange quântico para se fixar o calibre (Nakanishi) [46] ou mesmo como um campo de fundo mantendo a simetria de calibre em todas as etapas do cálculo (DeWitt) [47].

Apesar de termos analisado ao longo do trabalho como a simetria de calibre dita a dinâmica das interações fundamentais no modelo padrão (interações eletromagnéticas, fraca e forte), poderíamos utilizar o método interativo ou a redução de ordem para estudar a simetria de calibre em gravidade também, em que as raizes para o estudo estariam nos trabalhos de Gupta, Kraichnan e Feynman [48 -51] e cuja dinâmica também poderia ser introduzida nos moldes de uma interação corrente-campo [18 -20]. Poderíamos também estudar como a simetria de calibre molda a dinâmica quântica das interações, com a inclusão dos fantasmas [52]. Na literatura quem explorou e abstraiu vastamente a aplicação do objeto corrente-campo ($J\times A$) na física foi Schwinger, primeiramente introduzindo o formalismo de integração funcional e análise de Green por meio do princípio variacional da ação quântica [53 -55] e posteriormente, de maneira inabitual e talvez excêntrica, apimentando a discussão da dinâmica dos campos via sua Teoria das Fontes [56]. Por meio da Teoria das fontes, Schwinger também esculpiu a dinâmica quântica associada ao efeito Casimir em termos de fontes (correntes), campos e o conceito de espalhamento e se livrando das partículas virtuais associadas aos diagramas bolhas na visualização de Feynman [57]. Concluímos então o presente ensaio, chamando atenção para o fato do objeto corrente-campo ($J\times A$) estar ditando como se descreve a dinâmica na versão contemporânea da Física, inicialmente dada por Newton ($F=ma$).

Agradecimentos

Os autores agradecem J. A. Helayël-Neto pelo material sobre o assunto. D. R. da Silva agradece a Capes pelo apoio financeiro. Os autores agradecem o parecerista anônimo pelas observações cuidadosas.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  21 Out 2020
• Data do Fascículo
  2020

Histórico

• Recebido
  13 Abr 2020
• rev-received
  07 Set 2020
• Aceito
  08 Set 2020