Um Novo Método para o Cálculo do Propagador da Eletrodinâmica

A New Method to get the Propagator of Electrodynamics

Resumo

Neste artigo oferecemos um novo método para a obtenção do propagador da Eletrodinâmica. Para atingir esse objetivo faremos uso de alguns teoremas importantes da álgebra linear tais como o teorema de Cayley-Hamilton e alguns teoremas relacionados a operadores de projeção; fornecendo desta maneira uma aplicação da teoria de subespaços lineares na teoria quântica de campos.

Palavras-chave:
álgebra linear; teorema de Cayley-Hamilton; eletrodinâmica

Abstract

In this article we offer a new method to obtain the Propagator of Electrodynamics. In order to achieve this goal we will use some important theorems of linear algebra such as the Cayley-Hamilton theorem and some theorems related to projection operators; thus providing an application of linear subspace theory in quantum field theory.

Keywords:
linear algebra; Cayley-Hamilton's Theorem; electrodynamics

1. Introdução

Na Teoria Quântica de Campos (TQC) o cálculo do propagador é essencial para o desenvolvimento perturbativo na obtenção de seções de choque [¹-⁴], assim como também para elucidar a natureza das excitações que surgem na interação entre partículas e campos [⁵-⁷]. Por essa razão, torna-se importante o conhecimento de diferentes métodos para calcular estes propagadores.

Neste trabalho apresentamos um método alternativo para o cálculo de propagadores, e o aplicamos para o caso da Eletrodinâmica. O método proposto é uma aplicação do Teorema de Cayley-Hamilton, no entanto, o conceito de projetores, e sua estreita relação com decomposição em soma direta, é muito útil no caso da Eletrodinâmica; fornecendo desta forma uma aplicação da Álgebra Linear [⁸-¹⁰] à TQC.

Iniciaremos apresentando o problema na seção (2) exemplificado pelo caso da Eletrodinâmica, tomando como ponto de partida a Lagrangiana e obtendo as equações de campo correspondente em termos do operador de onda. Na seção seguinte (3) faremos uma breve revisão de alguns conceitos e teoremas da Álgebra Linear, cujas demonstrações se encontram no Apêndice. Isto nos permite introduzir o método e apresentar suas implicações imediatas, além da sua aplicação. Dando continuidade, solucionaremos o problema para um operador de onda geral em (4); finalmente, em (5) aplicaremos o método para a obtenção do propagador da Eletrodinâmica.

2. Definição do Problema

Partiremos da Lagrangiana da Eletrodinâmica

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu v}{F}^{\mu }{}^v-\frac{1}{2\alpha }{\left({\partial }_{\mu }{A}^{\mu }\right)}^2-J_{\mu }{A}^{\mu },$$

sendo $A^{\mu }$ o potencial vetor, $F_{\mu v}={\partial }_{\mu }{A}_v-{\partial }_v{A}_{\mu }$ o tensor do campo eletromagnético e $J_{\mu }$ uma corrente externa. O termo de fixação de calibre, com o parâmetro $\alpha$, deve ser incluído para que seja possível realizar o cálculo do propagador. De fato, como será mostrado, sem este termo o operador de onda não seria inversível.

Podemos reescrevê-la como

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{A}^{\mu }{\mathcal{O}}_{\mu v}{A}^v-J_{\mu }{A}^{\mu },$$

onde ${\mathcal{O}}_{\mu v}$ é o operador de onda, dado por

$${\mathcal{O}}_{\mu v}=\square n_{\mu v}-{\partial }_{\mu }{\partial }_v+\frac{1}{\alpha }{\partial }_{\mu }{\partial }_v.$$

As equações de campo se escrevem da forma

(1) $${\mathcal{O}}_{\mu v}=A^v=J_{\mu },$$

cuja solução é dada por

$$A^v(x)=A_h^v\left(x\right)+{\displaystyle \int \frac{d^{4}y}{{(2\pi )}^4}}{G}^v{}_{\mu }(x-y)J^{\mu }(y),$$

em que $A_h^v$ é a solução da equação homogênea associada a (1) e $G^v{}_{\mu }$ são as funções de Green do operador de onda, isto é, são as soluções do seguinte sistema de equações

(2) $${\mathcal{O}}^{\mu }{}_v{G}^v{}_{\beta }\left(x-y\right)={\delta }^{\mu }{}_{\beta }\delta \left(x-y\right).$$

Para solucionar (2) usamos as transformadas de Fourier

$$G^v{}_{\mu }\left(x\right)={\displaystyle \int e^{ip\cdot x}{\tilde{G}}^v{}_{\mu }\left(p\right)dp,}$$

$$\delta (x-y)=\frac{1}{{(2\pi )}^4}{\displaystyle \int e^{ip.(x-y)}}dp,$$

que ao serem substituídas em (2) nos fornece uma equação algébrica, cuja solução será dada pela inversão do operador de onda no espaço de momentos, dado por

$$M^{\mu }{}_v(p)=-p^2({\delta }^{\mu }{}_v-\frac{p^{\mu }{p}_v}{p^2})-\frac{p^2}{\alpha }\frac{p^{\mu }{p}_v}{p^2},$$

ou, em termos dos operadores transverso T e longitudinal L,

(3) $$M^{\mu }{}_v(p)=-p^2{T}^{\mu }{}_v(p)-\frac{p^2}{\alpha }{L}^{\mu }{}_v(p).$$

Portanto, o cálculo das funções de Green se reduz basicamente ao problema de inversão de (3), sendo portanto o objetivo deste trabalho.

Para isso precisamos entender algumas definições matemáticas e um pouco mais sobre projetores.

3. Formalismo matemático

Como vimos, a obtenção das funções de Green se reduz à inversão de operadores lineares, sendo portanto um problema de Álgebra Linear. Tendo isto em mente, faremos uma revisão de alguns conceitos e teoremas da álgebra linear que serão usados para a inversão, os principais sendo o Teorema de Cayley-Hamilton e alguns resultados sobre Projetores e sua relação com decomposição em soma direta. As demonstrações dos teoremas enunciados nesta seção se encontram no Apêndice.

Dado um operador linear $T:V\to V$ , onde V é um espaço vetorial de dimensão finita, seu polinômio característico é definido por

(4) $$p\left(\lambda \right)=det(A-\lambda I),$$

onde I é a matriz identidade (usaremos a mesma notação para o operador identidade) e $A={\left[T\right]}_B$ é a matriz de T na base $B=\{v_1\mathrm{...},v_d\},$ definida por $T{v}_j={\displaystyle \sum {}_i{A}_{ij}{v}_{i.}}$

Como sabemos, o polinômio característico p de T nos fornece seus autovalores (raízes de p), e em particular nos permite saber se T é inversível, já que este é o caso se, e somente se, $p(0)=\det A\ne 0.$ Além disso, como veremos a seguir, o polinômio característico também nos permite determinar o inverso T^-1 de T.

Teorema 1.(teorema de Cayley-Hamilton) Seja$T:V\to V$um operador linear e p o seu polinômio característico. Então p anula o operador T, isto é, $p(T)=0.$

Teorema 2 (Polinômio Minimal) Seja $T:V\to V$ um operador linear. Então existe um único polinômio de grau $K\ge 1$

$$p_0(\lambda )=a_k{\lambda }^k+a_{k-1}{\lambda }^{k-1}+\mathrm{...}+a_0$$

mônico $(a_k=1),$ o qual é o polinômio mônico de menor grau dentre aqueles que anulam T, sendo denominado o polinômio minimal de T. Além disso, $p_0$ divide o polinômio característico de T e possui as mesmas raízes.

3.1. Consequência do Teorema de Cayley-Hamilton

Seja $p(\lambda )=a_d{\lambda }^d+\mathrm{...}+a_1\lambda +a_0$ o polinômio característico de T, pelo teorema 1 temos

$$p(T)=a_d{T}^d+\mathrm{...}+a_{1}T+a_{0}I=0.$$

Agora, supondo que T seja inversível, ou seja, det$A=p(0)=a_0\ne 0,$ e multiplicando ambos os membros da igualdade por T^-1 obtemos $a_d{T}^{(d-1)}+\mathrm{...}+a_{1}I+a_0{T}^{-1}=0,$ donde

(5) $$T^{-1}=-\frac{1}{a_0}(a_d{T}^{(d-1)}+\mathrm{...}+a_{1}I).$$

Assim, se T é inversível, então T^-1 é uma combinação linear das potências de T e da identidade I, com coeficientes determinados pelo polinômio característico de T. Devemos observar que podemos utilizar qualquer polinômio que anule T, como por exemplo seu polinômio minimal p₀, este tendo a possível vantagem de diminuir a ordem das potências que aparecem em (5), porém, encontrar p₀ pode não ser uma tarefa fácil. Feita esta observação, discutiremos algumas implicações decorrentes de (5), que são relevantes em geral, e em particular para o caso de operadores de onda.

Suponhamos que T seja dado por uma combinação linear

(6) $$T={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\alpha }_i{T}_{i,}}$$

o que ocorre com operadores de onda, como em (3), vemos que T^-1, caso exista, será uma combinação linear de I e produtos dos operadores T_i. Temos assim a motivação para determinar os produtos $T_i{T}_{j.}$

Um caso particular interessante ocorre quando $T_i{T}_{j.}$ pertencem a Lin$\{T_1,\mathrm{...},T_n\}$ (subespaço gerado pelos operadores T_i, isto é $T_i{T}_j={\displaystyle \sum {}_k{\beta }_{ijk}{T}_k.}$ De fato, se $T={\displaystyle \sum {}_i{\alpha }_i{T}_i}$ for inversível, então $T^{-1}\in Lin\{I,T_1,\mathrm{...},T_n\},$ ou seja, será uma combinação linear de I e dos T_i. Notemos que, neste caso, o subespaço Lin$\{I,T_1,\mathrm{...},T_n\}$ será uma subálgebra, ou seja, se T, $U\in Lin\left\{I,T_1,\dots ,T_n\right\}$ sendo T inversível, então TU,$T^{-1}\in Lin\{I,T_1,\mathrm{...},T_n\}.$

Definicao 1. Seja $P:V\to V$ um operador linear. Dizemos que P é um projetor se, e somente se, $P^2=P.$ Operadores deste tipo são ditos Idempotentes.

Uma consequência imediata é que todo vetor na imagem $ImgP=\left\{Pv;v\in V\right\}$ de um projetor P é seu autovetor com autovalor 1. De fato, se $w\in ImgP,$ então $w=Pv\Rightarrow Pw=P^{2}v=Pv,$ ou seja, $Pw=w$.

Teorema 3. Seja $P:V\to V$ um projetor, então têm-se

(7) $$V=ImgP\oplus \ker P.$$

Ou seja, um projetor P decompõe V como soma direta da sua imagem e do seu núcleo ker $P=\{v;Pv=0\}.$Além disso, (V) (ker P)+ dim(ImgP).

Teorema 4. Seja P um projetor, então I-P também é projetor. Além disso

(8) $$kerP=Img(I-P),ImgP=\text{ker}(I-P).$$

Teorema 5. Seja $W=W_1\oplus \mathrm{...}\oplus W_n\subset V$ a soma direta dos subespaços W_i. Se, para cada i, B_i é uma base de W_i, então a união delas $B=B_1\cup \dots \cup B_n$ é uma base do subespaço W, e portanto $W={\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}dimWi.}$

4. Solução do Problema

Visto que o operador de onda no espaço de momentos (3) é escrito de forma semelhante a seguinte

(9) $$M^{\mu }{}_v=\alpha L^{\mu }{}_v+\beta T^{\mu }{}_v,$$

onde $\alpha ,\beta \in ℝ.$ Nosso objetivo principal será usar (9) para obter o operador inverso de (3) da forma mais geral possível. Para isso iniciaremos um estudo mais profundo dos operadores $L,T:{ℝ}^d\to {ℝ}^d,$ definidos por ${\left(Lx\right)}^{\mu }=L^{\mu }{}_v{x}^{v}e{\left(Tx\right)}^{\mu }=T^{\mu }{}_v{x}^v,ondex=(x^0,\mathrm{...},x^{d-1})\in {ℝ}^d,$ a fim de mostrar que são projetores e obtermos o núcleo e a imagem de cada um deles.

4.1. Operador L

Primeiro mostraremos que L é projetor, e para isto basta mostrar que o mesmo é idempotente, ou seja, $L^2=L.$ De fato, temos

$$L^{\mu }{}_v{L}^v{}_{\theta }=\frac{p^u{p}_v}{p^2}\frac{p^v{p}_{\theta }}{p^2}=L^{\mu }{}_{\theta }.$$

Dando continuidade, encontraremos as dimensões do núcleo e da imagem de L. Considere um vetor $x\in {ℝ}^d$ qualquer, assim temos

$${\left(L_x\right)}^{\mu }=\frac{p^{\mu }{p}_v}{p^2}{x}^v=\left(\frac{p\cdot x}{p^2}\right)p^{\mu },$$

ou seja, $Lx=\frac{p.x}{p^2}p,$ mostrando que a imagem de L é o subespaço gerado pelo vetor $p\in {ℝ}^d$ Logo

(10) $$dim(ImgL)=1,$$

uma vez que $p\ne 0$, pois estamos considerando o caso $p^2\ne 0$, e pelo teorema 3, segue-se que

(11) $$\dim \left(\ker L\right)=d-1.$$

4.2. Operador T

Da mesma forma que fizemos para L vamos mostrar que T é projetor. De fato, basta notar que $T=I-L$, e a conclusão segue do teorema 4. Além disso, pelo teorema 3, concluímos que

$$\begin{array}{lll}ImgT=kerL\hfill & e\hfill & kerT=ImgL.\hfill \end{array}$$

Observação: como $L^2=L$ e $T^2=T$, temos então $LT=L\left(I-L\right)=0;$ assim, pela discussão da seção anterior, concluímos que caso $M=\alpha L+\beta T$ seja inversível, então $M^{-1}$ será uma combinação linear de I, L e T.

4.3. Polinômio Característico de M

Agora mostraremos como obter o polinômio característico do operador $M=\alpha L+\beta T$ a partir dos resultados encontrados sobre L e $T=I-L$. O ponto crucial para isto é a decomposição em soma direta

$${ℝ}^d=\ker L\oplus ImgL,$$

fato que decorre de L ser um projetor. De fato, levando em conta os resultados (10) e (11), escolhemos bases $B_1=\left\{v_1,v_2,\dots ,v_{d-1}\right\}$ de ker L e $B_2=\left\{v_d\right\}$ de ImgL, obtendo assim uma base $B=B_1\cup B_2$ de ${ℝ}^d$, conforme o teorema 5. Como $kerL=ImgT$ e $ImgL=kerT$, segue-se $B=\left\{v_1,\dots ,v_{d-1},v_d\right\}$ é uma base de autovetores comuns a L e T, de maneira explícita,

• $\begin{array}{ll}L\left(v_i\right)=0,\hfill & T\left(v_i\right)=v_i,\hfill \end{array}$

• $\begin{array}{ll}L\left(v_d\right)=v_d,\hfill & T\left(v_d\right)=0.\hfill \end{array}$

Aplicando M a $v_i$ e a $v_d$, temos

$$\begin{array}{lll}M\left(v_i\right)\hfill & =\hfill & \alpha L\left(v_i\right)+\beta T\left(v_i\right)=\beta v_i,\hfill \\ M\left(v_d\right)\hfill & =\hfill & \alpha L\left(v_d\right)+\beta T\left(v_d\right)=\alpha v_d.\hfill \end{array}$$

Logo a matriz de M na base B é dada por

$${\left[M\right]}_B=\left[\begin{array}{llll}\beta \hfill & 0\hfill & \dots \hfill & 0\hfill \\ 0\hfill & \beta \hfill & \dots \hfill & 0\hfill \\ ⋮\hfill & ⋮\hfill & \ddots \hfill & ⋮\hfill \\ 0\hfill & \dots \hfill & \dots \hfill & \alpha \hfill \end{array}\right],$$

portanto, o polinômio característico de $M=\alpha L+\beta T$ é

(12) $$p\left(\lambda \right)={\left(\beta -\lambda \right)}^{\left(d-1\right)}\left(\alpha -\lambda \right).$$

Logo M é inversível se, e somente se, $p\left(0\right)\ne 0$, o que equivale a dizer que $\alpha$, $\beta \ne 0$.

4.4. Polinômio Minimal de M

Agora, obteremos o polinômio minimal de M, notando que existem duas possibilidades, a saber, $\alpha =\beta$ e $\alpha \ne \beta$.

Consideremos primeiramente $\alpha \ne \beta$, neste caso mostraremos que $p_0\left(\lambda \right)=\left(\beta -\lambda \right)\left(\alpha -\lambda \right)$ é o polinômio minimal de M. Como $p_0$ é o polinômio mônico de menor grau que possui as mesmas raízes que o polinômio característico de M, basta mostrar que $p_0$ anula M. De fato, aplicando $p_0\left(M\right)$ aos vetores da base B, obtemos

$$p_0\left(M\right)\left(v_i\right)=\left(\alpha I-M\right)\left(\beta I-M\right)\left(v_i\right),$$

$$p_0\left(M\right)\left(v_i\right)=\left(\alpha I-M\right)\left(\beta v_i-\beta v_i\right)=0,$$

e de forma análoga,

$$p_0\left(M\right)\left(vd\right)=\left(\beta I-M\right)\left(\alpha v_d-\alpha v_d\right)=0.$$

Portanto, conclui-se que $p_0\left(\lambda \right)=\left(\beta -\lambda \right)\left(\alpha -\lambda \right)$ é mesmo o polinômio minimal de M para $\alpha \ne \beta$.

Já para $\alpha =\beta$, o polinômio minimal de M é $p_0\left(\lambda \right)=\left(\lambda -\alpha \right)$. Com efeito, neste caso tal polinômio mônico é o de menor grau que possui as mesmas raízes que o característico de M, e como $M=\alpha \left(L+T\right)=\alpha I$ temos $p_0\left(M\right)=\left(M-\alpha I\right)=0$.

5. Cálculo do Propagador

Por fim, vamos aplicar o método e obter $M^{-1}$ partindo do polinômio minimal $p_0\left(\lambda \right)=\left(\beta -\lambda \right)\left(\alpha -\lambda \right)$ de M, para o caso $\alpha \ne \beta$. Como

$$\left(\beta I-M\right)\left(\alpha I-M\right)=0,$$

então

$$\beta \alpha I-\beta M-\alpha M+M^2=0,$$

multiplicando ambos os membros por $M^{-1}$, temos

$$M^{-1}=\frac{1}{\alpha }\left(I-T\right)+\frac{1}{\beta }\left(I-L\right),$$

como $T=I-L$,

$$M^{-1}=\frac{1}{\alpha }\left(I-I+L\right)+\frac{1}{\beta }T,$$

portanto,

(13) $$M^{-1}=\frac{1}{\alpha }L+\frac{1}{\beta }T.$$

Notemos que este resultado também é válido para $\alpha =\beta$, pois neste caso temos $M=\alpha \left(L+T\right)=\alpha I$. Diante do resultado (13) é evidente que para encontrarmos o inverso de (3) basta invertermos os termos que acompanham os operadores L e T, assim obtemos

(14) $${\tilde{G}}^{\mu }{}_v\left(p\right)=-\frac{1}{p^2}\left[{\delta }^{\mu }{}_v-\left(1-\alpha \right)\frac{p^{\mu }{p}_v}{p^2}\right].$$

6. Conclusão e Perspectivas

Neste artigo foi abordado o problema da obtenção do propagador da Eletrodinâmica de forma alternativa obtendo o resultado já conhecido na literatura [⁵-⁷].

Embora o método seja um pouco trabalhoso, este nos oferece uma forma mais rica de realizar este cálculo, uma vez que faz amplo uso dos métodos da álgebra linear, permitindo assim a sua utilização nas matérias de Física ou Matemática elementares como um exemplo de aplicação.

Visto que o método nos oferece uma separação em soma direta de subespaços; será interessante saber se o método pode ter utilidade prática, sendo, por isso, necessário generalizá-lo para obter o propagador do graviton, onde sabe-se que aparecem setores não diagonais no cálculo do propagador [⁵-⁷].

Material Suplementar

O seguinte material suplementar está disponível online:

Apêndice

Referências

• ^[1]
  C. Itzykson e J.B. Zuber, Quantum Field Theory (Mcgraw-hill, New York, 1980), p. 705.
• ^[2]
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  M.E. Peskin e D.V. Schroeder, An Introduction to quantum field theory (Addison-Wesley Publishing Company, Boston, 1995).
• ^[5]
  A. Accioly, J. Helayel-Neto, B. Pereira-Dias e C. Hernaski, Phys. Rev. D 86, 105046 (2012).
• ^[6]
  A.P. Baeta Scarpelli, H. Belich, J.L. Boldo and J.A. Helayel-Neto, Phys. Rev. D 67, 085021 (2003).
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  J.L. Boldo, J.A. Helayel-Neto, L.M. Moraes, C.A.G. Sasaki e V.J. Vasquez Otoya, Phys. Lett. B 689, 112 (2010).
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  S. Lang, Linear Algebra (Springer-Verlag, New York, 2002).
• ^[9]
  E.L. Lima, Álgebra Linear (IMPA, Rio de Janeiro, 2014).
• ^[10]
  S.J. Axler, Linear Algebra Done Right (Springer-Verlag, New York, 2015).

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  2019

Histórico

• Recebido
  26 Jul 2018
• Revisado
  05 Nov 2018
• Aceito
  07 Nov 2018