Capacitância em capacitores de placas paralelas com limites dielétricos complexos: o Método da Partição Geométrica

Capacitance in parallel-plate capacitors with complex dielectric boundaries: geometric partition method

Resumo

Este trabalho apresenta um método com motivação geométrica e orientação pedagógica para o cálculo da capacitância de capacitores de placas paralelas com interfaces dielétricas não triviais. O método da partição geométrica decompõe o capacitor em fatias verticais infinitesimais, nas quais associações locais em série de camadas dielétricas se combinam por meio de uma composição global em paralelo, o que conduz a uma expressão integral explícita para a capacitância total. A abordagem utiliza apenas resultados padrão para capacitores de placas paralelas e conceitos elementares de cálculo diferencial e integral, evitando a necessidade de resolver explicitamente a equação de Laplace. O método aplica-se a capacitores preenchidos com dielétricos homogêneos, separados por interfaces curvas, para os quais se obtêm expressões analíticas fechadas para a capacitância efetiva. Simulações numéricas implementadas em Python mostram excelente concordância com os resultados analíticos dentro do regime esperado de validade; os códigos correspondentes são disponibilizados para que estudantes explorem variações de parâmetros, verifiquem os limites da aproximação e utilizem os algoritmos como ponto de partida para problemas eletrostáticos análogos. Ao fornecer um tratamento fisicamente fundamentado para configurações dielétricas geometricamente não uniformes, o método da partição geométrica constitui uma abordagem intermediária acessível entre modelos elementares de livros-texto e análises eletrostáticas totalmente numéricas.

Palavras-chave:
Capacitância; associações em série e em paralelo; interfaces dielétricas complexas; modelagem analítica; Ensino de Física.

Abstract

This work presents a geometrically motivated and pedagogically oriented method for calculating the capacitance of parallel-plate capacitors with nontrivial dielectric interfaces. The geometric partition method decomposes the capacitor into infinitesimal vertical slices, in which local series associations of dielectric layers are combined through a global parallel composition, leading to an explicit integral expression for the total capacitance. The approach relies solely on standard results for parallel-plate capacitors and on elementary differential and integral calculus, avoiding the explicit solution of Laplace’s equation. The method is applied to capacitors filled with homogeneous dielectrics separated by curved interfaces, for which closed-form analytical expressions for the effective capacitance are obtained. Numerical simulations implemented in Python show excellent agreement with the analytical results within the expected regime of validity; the corresponding codes are provided so that students can explore parameter variations, test the limits of the approximation, and use the algorithms as a starting point for analogous electrostatic problems. By providing a physically grounded treatment of geometrically nonuniform dielectric configurations, the geometric partition method offers an accessible intermediate approach between elementary textbook models and fully numerical electrostatic analyses.

Keywords:
Capacitance; series and parallel associations; complex dielectric interfaces; analytical modeling; physics education.

1. Introdução

O estudo de sistemas eletrostáticos oferece um campo fértil para explorar a interação entre geometria, modelagem matemática e interpretação física. Embora as abordagens introdutórias geralmente se concentrem em configurações idealizadas, tais como o capacitor de placas planas e paralelas, geometrias mais complexas, seja por restrições experimentais, seja por escolhas pedagógicas mais acessíveis aos alunos, proporcionam oportunidades valiosas para aprofundar a compreensão conceitual dos estudantes. Sistemas com fronteiras complexas ou com separação variável entre as placas exemplificam situações nas quais as equações usuais deixam de ser aplicáveis, tornando indispensável o uso de métodos numéricos de integração.

A investigação de tais configurações não apenas amplia a capacidade de modelar sistemas realistas, como também atua como uma ponte didática entre ferramentas matemáticas abstratas e o raciocínio físico. Nesse contexto, métodos que aproximam geometrias complexas, por meio de sua decomposição em elementos mais simples (como o proposto neste trabalho), podem oferecer simultaneamente resultados precisos e clareza conceitual. Ademais, tais abordagens estão em consonância com os objetivos educacionais, ao estimular a habilidade dos estudantes de articular a intuição geométrica, os princípios da eletrostática e a modelagem matemática.

Diversos estudos têm abordado sistemas eletrostáticos que, embora geometricamente simples, conduzem a cálculos de capacitância não triviais. Um exemplo notável é o capacitor com placas planas não paralelas, investigado em [¹] por meio de diferentes estratégias analíticas, tais como a integração direta, o método de aproximação por limite e argumentos baseados em simetria circular. O chamado método do limite (ou dos limites) foi originalmente proposto em [²], posteriormente refinado e comparado com outras abordagens em [¹], e desenvolvido em uma formulação rigorosa em [³], na qual se demonstrou que ele reproduz o resultado exato obtido por integração direta, sob hipóteses adequadas. Embora o método proposto neste trabalho compartilhe com o método dos limites a ideia de decompor o capacitor em elementos locais cujas capacitâncias são conhecidas, sua aplicação neste trabalho difere conceitualmente daquela do caso de placas não paralelas. Aqui, a não-homogeneidade do sistema não está associada à variação da distância entre as placas, mas à composição dielétrica do meio entre elas, descrita por uma interface

arbitrária $f\left(x\right)$ que separa dois dielétricos distintos. Além disso, o método proposto generaliza o procedimento tradicional ao incorporar explicitamente uma associação em série local das camadas dielétricas em cada lâmina, seguida de uma associação global em paralelo, o que permite tratar perfis dielétricos não uniformes sem recorrer à resolução da equação de Laplace.

Outros tratamentos incluem expressões aproximadas para configurações de pequeno ângulo em experimentos de gravitação [⁴], técnicas de “mapeamento conforme” que levam em conta a curvatura e a extensão das linhas de campo elétrico nas regiões de borda, tanto no interior quanto no exterior do capacitor [⁵], bem como simulações por elementos finitos [⁶]. Uma comparação mais ampla de estratégias numéricas para a estimativa de capacitância, como o método dos momentos (MoM), o método dos elementos de contorno (BEM), o método dos elementos finitos (FEM), o método das diferenças finitas (FDM), o método de simulação de cargas (CSM), o método de correspondência de pontos e o método de cargas superficiais, pode ser encontrada na Ref. [⁷].

Neste trabalho, propomos um método adicional para o cálculo da capacitância em geometrias complexas, aqui denominado método da partição geométrica, isto é, (MPG) que consiste em segmentar a geometria de um capacitor com fronteiras entre dielétricos complexas em elementos diferenciais locais associados em série e, posteriormente, realizar uma associação global em paralelo, sem a necessidade de uso explícito de integrais elípticas e de outras técnicas matemáticas mais avançadas. Essa abordagem permite tratar o problema em contextos com restrições experimentais ou computacionais, além de oferecer um arcabouço conceitual mais elaborado para que estudantes compreendam de que maneira a geometria influencia a capacitância.

O conceito de capacitância oferece uma oportunidade valiosa para que os estudantes apliquem técnicas de integração em situações fisicamente significativas. Tratamentos tradicionais em livros-texto costumam apresentar o capacitor de placas paralelas como um sistema simples; no entanto, cenários pedagogicamente mais complexos, como configurações geometricamente perturbadas, permitem um envolvimento mais profundo com a estrutura matemática subjacente à eletrostática. Trabalhos prévios em pesquisa em Ensino de Física indicam que os estudantes frequentemente apresentam dificuldades na interpretação dos elementos diferenciais e integrais, tratando-os como meros artefatos notacionais, em vez de expressões de variação infinitesimal [⁸].

Abordagens integrativas que enfatizam a coordenação entre o modelo matemático e o significado físico, como o arcabouço de mesclagem conceitual desenvolvido em [⁹], fornecem uma base teórica para o desenvolvimento de métodos instrucionais que coloquem essas conexões em primeiro plano. Além disso, professores frequentemente selecionam problemas de forma proposital, com base em considerações pedagógicas, a fim de reforçar ferramentas matemáticas em situações físicas [¹⁰]. À luz dessas considerações, o método apresentado neste artigo está bem alinhado a tais objetivos educacionais.

O método incentiva os estudantes a interpretar a integração como uma soma de contribuições físicas locais, estabelecendo uma ponte conceitualmente clara e intuitiva entre a modelagem geométrica e os princípios da eletrostática, ao explicitar a estrutura física subjacente ao processo de integração. Conforme discutido em [¹¹], o uso da matemática em Física pelos estudantes é fortemente influenciado por seu enquadramento epistemológico, isto é, pelo que reconhecem como formas legítimas de justificação em um dado contexto. Ao conectar explicitamente a discretização ao raciocínio geométrico, o método proposto favorece um enquadramento que privilegia os conceitos físicos e a coerência entre a matemática empregada e a descrição fenomenológica.

Embora a técnica de decomposição em elementos infinitesimais seja conhecida para capacitores com placas não-paralelas, sua aplicação a capacitores de placas paralelas com interfaces dielétricas curvas entre dois materiais (e a consequente obtenção de uma expressão integral geral) não é comumente abordada em livros-texto introdutórios ou intermediários. O método proposto, portanto, ocupa uma lacuna didática entre os modelos ideais e as soluções numéricas complexas.

2. Capacitância em Livros-texto: Uma Perspectiva Didática

No ensino de eletromagnetismo, diversos estudos indicam que o conceito de capacitância apresenta dificuldades conceituais persistentes para estudantes de graduação, particularmente no que diz respeito à articulação entre geometria e significado físico [¹²]. Nesta seção, analisamos brevemente o tratamento da capacitância em livros-texto clássicos de eletromagnetismo amplamente utilizados em cursos de graduação no Brasil, que abrangem formações em Física, Engenharia e áreas afins.

De modo geral, essas obras adotam uma abordagem relativamente homogênea, centrada em sistemas idealizados como capacitores de placas paralelas, esféricos e cilíndricos, usualmente preenchidos por dielétricos homogêneos, conforme exemplificado nas Refs. [¹³, ¹⁴, ¹⁵, ¹⁶, ¹⁷, ¹⁸, ¹⁹]. Embora tais tratamentos sejam fundamentais do ponto de vista formativo, eles apresentam limitações quando se trata da análise de geometrias não triviais ou de variações espaciais contínuas da permissividade dielétrica.

Para sistematizar essa análise, a Tabela 1 apresenta um levantamento dos livros-texto considerados, organizando os conteúdos relacionados à capacitância em categorias didáticas amplas, definidas a partir do tipo de problema ou abordagem predominante. Essa classificação não possui caráter avaliativo, mas busca mapear a recorrência relativa de diferentes estratégias didáticas, o que permite identificar padrões comuns e evidenciar possíveis lacunas no tratamento de geometrias mais gerais e distribuições dielétricas não homogêneas.

Tabela 1
Tabela comparativa dos conteúdos abordados em livros-texto de Física com relação ao conceito de capacitores.

	Capacitância	Capacitor	Capacitor	Associação	Energia		Outros
Livro	e capacitor	cilíndrico	esférico	de capacitores	armazenada	Dielétricos	modelos
Halliday	x	x	x	x	x	x	x
Serway	x	x	x	x	x	x	x
Tipler	x	x		x	x	x	x
Sears	x			x	x	x	x
Moysés	x	x	x	x	x	x
Randall Knight	x			x	x	x
Alaor	x	x	x	x	x	x	x
Marion	x
Reitz–Milford	x			x
Griffiths	x	x			x
Barcelos Neto	x	x	x		x	x	x
Hayt & Buck	x	x	x	x	x	x	x
Bassalo	x	x	x		x	x	x
Sadiku	x	x	x	x	x	x	x
Notaros	x	x	x	x	x	x	x
Daum Machado	x	x	x	x	x	x	x

Os livros-texto específicos para Física ou voltados aos cursos de Engenharia Elétrica, como as Refs. [²⁰, ²¹, ²²], tratam problemas gerais de capacitância predominantemente por meio da resolução da equação de Laplace. Embora conceitualmente rigorosa, essa abordagem exige domínio de equações diferenciais parciais, o que a torna pouco acessível a estudantes de nível introdutório ou intermediário. De forma semelhante, mesmo livros destinados a cursos de Bacharelado em Física, como os de Griffiths, Reitz e Milford, Daum Machado, Barcelos Neto e Bassalo [²³, ²⁴, ²⁵, ²⁶, ²⁷, ²⁸], recorrem com frequência a técnicas avançadas tais como separação de variáveis, expansões multipolares ou outros métodos numéricos, oferecendo uma seleção relativamente uniforme de problemas de capacitância.

Como consequência, os exercícios concentram-se em um conjunto restrito de geometrias canônicas e em configurações dielétricas idealizadas e parcialmente uniformes, limitando-se à exposição dos estudantes a sistemas com interfaces dielétricas irregulares ou espacialmente variáveis, mais representativos de aplicações reais. Essa tendência, evidenciada na Tabela 1, revela uma lacuna educacional clara: a ausência de abordagens intermediárias que permitam explorar configurações mais complexas sem recorrer diretamente à equação de Laplace ou a métodos numéricos complexos.

Nossa própria experiência de ensino corrobora essa constatação, uma vez que dúvidas recorrentes dos estudantes frequentemente envolvem capacitores com geometrias não contempladas nos livros-texto padrão. Em particular, é comum que dificuldades surjam quando a interface dielétrica deixa de ser plana ou quando a permissividade varia espacialmente de forma contínua, situações pouco exploradas nos cursos introdutórios. Motivado por esse cenário, este trabalho propõe o MPG como um recurso didático complementar, concebido para ampliar o conjunto de problemas de capacitância acessíveis ao estudante sem recorrer diretamente à resolução da equação de Laplace. O método fundamenta-se em ideias familiares, como a associação local de capacitores em série e em paralelo, aliadas a argumentos geométricos e ao uso controlado do cálculo integral.

Enfatiza-se que o MPG ocupa um papel intermediário entre modelos excessivamente idealizados e tratamentos matematicamente sofisticados. Ele estabelece uma ponte didática entre o ensino introdutório e abordagens mais formais, favorecendo a compreensão física da capacitância e estimulando o contato dos estudantes com geometrias mais realistas. As estratégias para a integração do MPG nos currículos fundamentam-se em sua introdução em disciplinas de Eletromagnetismo Geral, logo após o estudo das geometrias canônicas. Dado que os estudantes neste estágio possuem domínio sobre Geometria Analítica e Cálculo Diferencial e Integral, o método apresenta-se como uma extensão natural e rigorosa para o tratamento de fronteiras dielétricas arbitrárias, além de facilitar a compreensão dos alunos em geometrias não convencionais.

3. Teoria

3.1. Capacitância de sistemas simples

Capacitores são componentes essenciais em circuitos elétricos e eletrônicos, sendo amplamente utilizados para o armazenamento de carga elétrica e de energia. Entre os diferentes tipos de capacitores, o modelo de placas planas e paralelas é um dos mais estudados, em razão de sua simplicidade e de sua ampla aplicabilidade em Física e Engenharia. No caso de um capacitor de placas planas e paralelas, a capacitância é influenciada não apenas pela geometria das placas, mas também pelas propriedades elétricas do meio dielétrico interposto entre elas e, em particular, pela sua permissividade elétrica. Essa relação é bastante conhecida e estudada em todos os cursos iniciais de Fundamentos de Eletromagnetismo e é expressa por

(1) $$C=\frac{\epsilon \cdot A}{h}=\frac{\epsilon WL}{h}.$$

A Eq. (1) descreve um capacitor de placas paralelas separado por um único dielétrico homogêneo, no qual $C$ é a capacitância, $\epsilon$ é a permissividade elétrica do dielétrico, $A=W\cdot L$ representa a área de cada placa do capacitor, e $h$ é a distância entre as duas placas.

A disposição dos materiais dielétricos desempenha um papel central na definição do comportamento do sistema. Dois casos fundamentais emergem, dependendo da forma como os dielétricos estão posicionados no interior do capacitor. Consideraremos, portanto, as configurações em paralelo e em série, nas quais $C_e$ representa a capacitância equivalente do sistema, $C_1$ corresponde à capacitância associada ao primeiro dielétrico e $C_2$ à capacitância associada ao segundo dielétrico.

Configuração em paralelo

Na configuração ilustrada na Fig. 1, os materiais dielétricos estão dispostos lado a lado, cada um ocupando uma região distinta das placas do capacitor. O dielétrico de permissividade ${\epsilon }_2$ é representado graficamente (por simplicidade) na cor branca, devendo ser entendido igualmente como um material dielétrico presente no sistema que não necessariamente necessita ser o espaço livre (ar/vácuo). Ele possui largura $W-x$ e profundidade $L$ (não representada na figura). O dielétrico de permissividade igual a ${\epsilon }_1$ possui largura $x$ e a mesma profundidade e está representado pela cor azul-claro. Nessa disposição, o conjunto comporta-se como uma associação de capacitores em paralelo, uma vez que cada dielétrico permanece em contato com ambas as placas, submetido à mesma diferença de potencial elétrico.

Figura 1
Configuração em Paralelo.

Para a configuração em paralelo, a capacitância equivalente $C_e^p$ é dada por

(2) $$C_e^p=C_1+C_2.$$

Configuração em série

Quando os materiais dielétricos estão empilhados ao longo da direção normal às placas, de modo que um dielétrico esteja em contato apenas com uma das placas e o outro dielétrico esteja em contato com a placa oposta, conforme ilustrado na Fig. 2, o sistema comporta-se como uma associação de capacitores em série. Nessa disposição, o campo elétrico atravessa sucessivamente os dois materiais dielétricos e interage com cada um deles de forma sequencial. Nesta figura, o dielétrico ${\epsilon }_1$ possui espessura $x$, largura $W$ e profundidade $L$, enquanto o ${\epsilon }_2$ possui espessura $h-x$ e a mesma área superficial $WL$.

Figura 2
Configuração em Série.

Para a configuração em série, o inverso da capacitância equivalente $C_e^s$ é dado por

(3) $$\frac{1}{C_e^s}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}.$$

A partir dessas configurações elementares, torna-se possível determinar de forma sistemática a capacitância de arranjos dielétricos mais complexos, assegurando uma modelagem adequada do comportamento de capacitores em aplicações práticas.

4. Método da Partição Geométrica (MPG)

4.1. Geometria dielétrica e domínios cilíndricos generalizados em 2D

No método da partição geométrica (MPG) introduzido neste trabalho, consideramos um capacitor constituído por duas placas condutoras paralelas, localizadas em $y=0$ e $y=h$, respectivamente. O espaço entre as placas é preenchido por dois meios dielétricos homogêneos, de permissividades constantes ${\epsilon }_1$ e ${\epsilon }_2$, e separados por uma interface suave descrita por uma função $y=f\left(x\right)$, em que $x\in [0,W]$ denota a coordenada ao longo da largura das placas. Essa interface define uma divisão do volume dielétrico em duas regiões distintas, cada uma preenchida por um material de permissividade uniforme.

Para descrever de forma rigorosa a geometria tridimensional da configuração dielétrica, adotamos a noção de cilindro generalizado[²⁹], isto é, uma superfície ou volume gerado pela extrusão de um perfil bidimensional ao longo de uma direção fixa, no presente caso, ao longo do eixo $z$, perpendicular ao plano $xy$.

A geometria tridimensional do sistema, ilustrada na Fig. 3, é obtida pela extrusão uniforme dessa configuração bidimensional ao longo do eixo $z$, formando um domínio dielétrico de comprimento $L$. Essa configuração bidimensional é estendida de forma uniforme ao longo do eixo $z$, preservando a simetria de translação nessa direção. As regiões tridimensionais resultantes são

Figura 3
Capacitor de placas planas e paralelas contendo dois meios dielétricos separados por uma interface arbitrária que depende de uma função $f\left(x\right)$. A geometria tridimensional é obtida pela extrusão uniforme do perfil bidimensional ao longo da direção $z$.

$$\begin{array}{l}{𝒟}_1=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid 0\le x\le W,0\le y<f\left(x\right),-L\le z\le 0\},\\ {𝒟}_2=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid 0\le x\le W,f\left(x\right)\le y\le h,-L\le z\le 0\}.\end{array}$$

Essa descrição permite modelar interfaces dielétricas com perfis suaves arbitrários $f\left(x\right)$, preservando simultaneamente a simetria de translação na direção $z$. Sob a hipótese de que o campo elétrico é predominantemente unidimensional (orientado ao longo da direção $y$) e varia lentamente ao longo de $x$, o capacitor pode ser analisado localmente como uma sucessão de seções unidimensionais independentes. Cada seção vertical, de largura diferencial $dx$, é então tratada como um capacitor de placas paralelas no qual as camadas dielétricas estão associadas em série.

O MPG fundamenta-se nas mesmas hipóteses físicas clássicas empregadas na dedução da capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas por meio da lei de Gauss. Em particular, assume-se que as placas condutoras possam ser tratadas como efetivamente infinitas, de modo que o campo elétrico no interior do capacitor seja aproximadamente uniforme e orientado perpendicularmente às placas, com efeitos de borda (ou efeitos de franja) desprezíveis. Essa aproximação é válida quando a separação entre as placas é muito menor que suas dimensões laterais características, isto é, quando $h\ll W$. No contexto do método proposto, quanto menor for a razão $h/W$, mais adequada se torna a descrição local de cada lâmina como um capacitor unidimensional de placas paralelas, e maior é a confiabilidade da associação local em série e global em paralelo utilizada na construção da capacitância total. Assim, o regime de validade do método coincide com aquele no qual a própria expressão elementar da capacitância de placas paralelas é fisicamente justificada, assegurando a consistência entre a aproximação geométrica adotada e os princípios eletrostáticos subjacentes.

A Fig. 4 ilustra esquematicamente esses procedimentos. O capacitor é particionado em lâminas infinitesimais ao longo da direção $x$, cada uma suficientemente estreita para que a interface dielétrica possa ser considerada aproximadamente plana em seu interior. Em cada lâmina, a região ocupada pelo dielétrico de permissividade ${\epsilon }_1$ possui espessura $f\left(x\right)$, enquanto a região correspondente ao dielétrico de permissividade ${\epsilon }_2$ possui espessura complementar $h-f\left(x\right)$. Nessas condições, o elemento de capacitância $dC$ associado à lâmina é obtido pela associação em série dos elementos $d{C}_1$ e $d{C}_2$ correspondentes a cada uma das camadas dielétricas.

Figura 4
Esquema do MPG aplicado a um capacitor de placas paralelas com duas camadas dielétricas separadas por uma interface descrita de acordo com uma função $f\left(x\right)$. Em destaque, apresenta-se uma lâmina infinitesimal de largura $dx$, na qual o dielétrico azul-claro, de permissividade ${\epsilon }_1$, ocupa a espessura $f\left(x\right)$, enquanto o dielétrico branco, de permissividade ${\epsilon }_2$, ocupa a espessura complementar $h-f\left(x\right)$. Ambas as regiões possuem profundidade $L$ na direção de $z$ (não representada na figura) e contribuem com capacitâncias diferenciais $d{C}_1$ e $d{C}_2$, associadas em série para formar a capacitância total $dC$.

A capacitância total do sistema $C$ é então obtida pela soma contínua das contribuições de todas as lâminas ao longo do domínio $x\in [0,W]$, o que, no limite para $dx$ infinitesimal, conduz naturalmente a uma expressão integral para $C$. Esse procedimento evita a necessidade de resolver explicitamente o problema eletrostático completo de contorno, ao mesmo tempo em que preserva a dependência geométrica essencial imposta pelo perfil da interface dielétrica.

O MPG fornece, portanto, uma forma sistemática de calcular a capacitância de capacitores com geometrias não triviais, ao reduzir o problema a uma superposição contínua de contribuições locais elementares. A dedução completa do método, bem como a justificativa rigorosa das hipóteses de uniformidade local do campo elétrico, é apresentada no Apêndice Apêndice A: Dedução do MPG via somas de Riemann. Aqui, restringimo-nos a expor os princípios fundamentais do procedimento e o resultado final obtido a partir dessa construção:

1. Divisão em lâminas diferenciais:

   Conceitualmente, a área transversal do capacitor é particionada ao longo da direção $x$ em tiras infinitesimalmente estreitas de largura $dx$. Cada tira se estende de uma placa a outra, e a interface dielétrica em seu interior pode ser considerada plana no limite de largura infinitesimal. Esse procedimento permite tratar cada tira como um capacitor elementar de placas paralelas e, com isso, reduzir a geometria curva a um problema local efetivamente unidimensional.

2. Capacitância de uma lâmina individual:

   Cada tira diferencial localizada na posição entre $x$ e $x+dx$ contém duas camadas dielétricas associadas em série: uma camada de espessura $f\left(x\right)$ e permissividade ${\epsilon }_1$ (abaixo da interface), e outra de espessura $h-f\left(x\right)$ e permissividade ${\epsilon }_2$ (acima da interface). Para uma tira de largura $dx$ (assumindo profundidade $L$ perpendicular ao plano da figura) e, portanto, com área $dA=Ldx$, a capacitância da camada inferior é dada por

   (4) $$d{C}_1=\frac{{\epsilon }_{1}Ldx}{f\left(x\right)},$$

   enquanto a capacitância da camada superior é

   (5) $$d{C}_2=\frac{{\epsilon }_{2}Ldx}{h-f\left(x\right)}.$$

   Como essas duas camadas estão associadas em série ao longo da direção $y$, a capacitância equivalente $dC$ da tira é obtida pela relação

   (6) $$\frac{1}{dC}=\frac{1}{d{C}_1}+\frac{1}{d{C}_2}=\frac{f\left(x\right)}{{\epsilon }_{1}Ldx}+\frac{h-f\left(x\right)}{{\epsilon }_{2}Ldx}.$$

   Simplificando, obtém-se a contribuição diferencial de capacitância

   (7) $$dC=\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{{\epsilon }_{2}f\left(x\right)+{\epsilon }_1\left[h-f\left(x\right)\right]}dx.$$

   A expressão mostrada na Eq. (7) representa a contribuição de uma lâmina infinitesimal localizada na posição entre $x$ e $x+dx$, levando-se em conta explicitamente a associação em série das duas regiões dielétricas.

3. Integração sobre toda a interface:

   A capacitância total do capacitor é obtida somando-se as contribuições de todas as lâminas ao longo da extensão do sistema (isto é, integrando-se a Eq. (7)). Se as placas se estendem de $x=0$ até $x=W$, a soma contínua das contribuições diferenciais resulta, no limite de $dx\to 0$, na integral dada na Eq. (8).

(8) $$C={\displaystyle {\int }_0^W\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)f(x)+{\epsilon }_{1}h}}\text{d}x.$$

A expressão integral obtida na Eq. (8) pode ser entendida como o limite de uma soma de contribuições de capacitores elementares, cuja demonstração por meio de somas de Riemann é apresentada no Apêndice Apêndice A: Dedução do MPG via somas de Riemann. A Eq. (8) constitui o resultado final do método da partição geométrica (MPG) para um capacitor com uma interface dielétrica curva geral. Essa expressão fornece a capacitância total $C$ na forma de uma integral sobre o perfil da interface $f\left(x\right)$.

Em essência, o MPG evita a resolução direta das equações de campo eletrostático ao explorar a linearidade da capacitância infinitesimal local. Ao decompor o sistema em fatias infinitesimais e integrar suas capacitâncias locais em série, um problema dielétrico formalmente bidimensional é reduzido a uma integral unidimensional. Essa característica torna o método particularmente atraente para o tratamento de capacitores com interfaces arbitrariamente moldadas, descritas de acordo com $y=f\left(x\right)$.

4.2. Extensão tridimensional do MPG

Embora o desenvolvimento apresentado neste trabalho considere interfaces dielétricas descritas por uma função unidimensional $y=f\left(x\right)$ extrudida uniformemente ao longo da direção $z$, o MPG admite uma extensão natural para configurações tridimensionais mais gerais. Nesse caso, a interface entre os dois meios dielétricos pode ser descrita por uma superfície do tipo

(9) $$S=\{(x,y=f(x,z),z)\in {ℝ}^3\mid x\in [0,W],z\in [0,L]\},$$

na qual a altura da interface passa a depender de duas variáveis espaciais. Sob essa descrição, a região do dielétrico compreendida entre as placas pode ser decomposta em elementos diferenciais de área $dA=dxdz$ sobre o plano das placas. Cada elemento diferencial define uma pequena coluna vertical na qual as duas regiões dielétricas aparecem associadas em série ao longo da direção $y$. Em completa analogia com o procedimento utilizado anteriormente, a capacitância associada ao dielétrico inferior é

(10) $$d{C}_1=\frac{{\epsilon }_{1}dxdz}{f(x,z)},$$

enquanto a contribuição da região superior é

(11) $$d{C}_2=\frac{{\epsilon }_{2}dxdz}{h-f(x,z)}.$$

Como essas duas regiões dielétricas estão associadas em série ao longo da direção normal às placas, a capacitância equivalente $dC$ satisfaz

(12) $$\frac{1}{dC}=\frac{1}{d{C}_1}+\frac{1}{d{C}_2}.$$

Daí resulta

(13) $$\text{d}C=\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_2}{{\epsilon }_{2}f(x,z)+{\epsilon }_1[h-f(x,z)]}\text{d}x\text{d}z.$$

A capacitância total do sistema é obtida pela soma contínua das contribuições diferenciais sobre toda a região da placa, conduzindo à expressão

(14) $$C={\displaystyle {\int }_0^W{\displaystyle {\int }_0^L\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_2}{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)f(x,z)+{\epsilon }_{1}h}}}\text{d}z\text{d}x.$$

A Eq. (14) pode ser vista como a generalização bidimensional da Eq. (8) e corresponde à integração da capacitância local sobre o elemento diferencial de área da placa. Em termos geométricos, o procedimento consiste em decompor o sistema em colunas infinitesimais independentes e combinar suas contribuições por uma associação global em paralelo.

A validade dessa generalização permanece condicionada às mesmas hipóteses físicas utilizadas na formulação bidimensional do método. Em particular:

• As placas condutoras devem ser suficientemente extensas em comparação com a separação $h$, de modo que os efeitos de borda (fringing fields) possam ser desprezados e o campo elétrico no interior do capacitor permaneça aproximadamente uniforme.

• O campo elétrico deve permanecer predominantemente orientado ao longo da direção normal às placas (direção $y$), permitindo que cada elemento diferencial de área seja tratado como um capacitor localmente unidimensional.

• A interface dielétrica $f(x,z)$ deve variar de forma suficientemente suave nas direções tangenciais $x$ e $z$, de modo a evitar inclinações abruptas que possam induzir acoplamentos laterais significativos entre regiões vizinhas.

• A superfície que separa os dielétricos deve ser representável como um gráfico da forma $y=f(x,z)$, isto é, uma função univalorada ao longo da direção $y$, sem sobreposições ou regiões multivaloradas.

Sob essas condições, a expressão mostrada na Eq. (14) fornece uma aproximação consistente para a capacitância efetiva de capacitores contendo interfaces dielétricas tridimensionais suaves. Essa extensão indica que o MPG pode ser aplicado a geometrias mais gerais do que aquelas consideradas explicitamente neste trabalho, mantendo ainda um nível de complexidade matemática acessível em contextos pedagógicos.

5. Comparação com Abordagens Tradicionais Baseadas na Equação de Laplace

O método descrito neste trabalho oferece uma abordagem substancialmente distinta do método clássico de determinação da capacitância por meio da equação de Laplace. Na literatura tradicional de eletromagnetismo, a capacitância de uma configuração contendo múltiplos dielétricos é obtida pela resolução da equação deLaplace

(15) $${\nabla }^{2}V=0,$$

para o potencial elétrico $V(x,y,z)$ em coordenadas cartesianas (ou em outras coordenadas adequadas), sujeito às condições de contorno apropriadas nas placas condutoras e às condições de contorno e de continuidade das equações de Maxwell na interface dielétrica. Embora esse procedimento seja exato (ainda que a solução seja dada por meio de uma série infinita), a resolução da equação de Laplace para uma fronteira curva realista é, em geral, um procedimento altamente não trivial para estudantes iniciantes.

5.1. Complexidade da equação de Laplace em geometrias curvas

Para geometrias simples (por exemplo, uma interface plana ou um dielétrico estratificado com fronteiras planas), a equação de Laplace pode, em alguns casos, ser resolvida analiticamente por meio de argumentos de simetria ou separação de variáveis. No entanto, para uma interface curva genérica, a fronteira não se ajusta a sistemas de coordenadas padrão, o que torna inviável a obtenção de soluções analíticas fechadas. Nesses casos, é usual recorrer a técnicas numéricas, como o método dos elementos finitos, o método das diferenças finitas ou métodos integrais de contorno, para determinar a distribuição do potencial elétrico.

Essas soluções numéricas são capazes de descrever com precisão os efeitos associados à curvatura da interface, incluindo não uniformidades do campo elétrico. Contudo, elas envolvem um custo computacional significativo e um grau elevado de complexidade técnica. Em síntese, embora a abordagem clássica baseada na equação de Laplace forneça uma solução rigorosa do ponto de vista teórico, ela raramente conduz a uma expressão analítica fechada para a capacitância $C$ quando o perfil da interface $f\left(x\right)$ é arbitrário. Nesses cenários, físicos, engenheiros e outros pesquisadores dependem de ferramentas computacionais ou de hipóteses simplificadoras, o que torna o processo de cálculo mais demorado, além de exigir conhecimentos especializados.

5.2. Vantagens do MPG

O MPG oferece uma abordagem significativamente mais acessível para a estimativa da capacitância em sistemas com interfaces dielétricas complexas. Em vez de resolver uma equação diferencial parcial, basta conhecer o perfil geométrico $f\left(x\right)$ e realizar uma integração elementar, conforme a Eq. (8). O método baseia-se continuamente em princípios eletrostáticos básicos, como associações em série e em paralelo, evitando o uso de ferramentas matemáticas avançadas.

Como resultado, obtém-se uma expressão integral analítica, que pode ser avaliada por meio de técnicas padrão de cálculo ou, quando necessário, por integração numérica simples. Isso permite tratar uma ampla variedade de perfis de interface que fornecem estimativas rápidas da capacitância. Além disso, sua construção torna explícita a contribuição de cada região do capacitor, o que favorece a interpretação física e a compreensão geométrica do sistema.

5.3. Limitações e considerações

Apesar de sua construção elementar, o MPG repousa sobre poucas hipóteses físicas específicas. Em particular, supõe-se que cada lâmina infinitesimal possa ser tratada de forma aproximadamente independente e que o campo elétrico em seu interior seja predominantemente unidimensional. Para interfaces com curvatura acentuada ou variações rápidas de $f\left(x\right)$, podem surgir componentes laterais do campo e efeitos de borda que não são contemplados por essa descrição simplificada.

Caso todas essas condições descritas acima não sejam completamente atendidas, a expressão integral da Eq. (8) deve ser interpretada como uma aproximação controlada, cuja validade é maior quando a interface dielétrica varia suavemente e o campo elétrico permanece aproximadamente uniforme em cada lâmina.

6. Exemplos

Nesta seção, iremos determinar analiticamente a capacitância de três situações distintas: a de um capacitor de placas planas e paralelas com duas camadas dielétricas inclinadas, a de um capacitor de placas planas e paralelas com dois dielétricos separados por uma função raiz quadrada, além da capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas com dielétricos separados por uma interface senoidal. No Apêndice C apresentamos os códigos completos e detalhadamente comentados em Python utilizados na implementação numérica dos exemplos discutidos ao longo do texto. O objetivo principal é fornecer um suporte computacional que permita a reprodução dos resultados analíticos e a verificação direta das expressões obtidas por meio do MPG, além de permitir que os estudantes possam generalizar parâmetros e aplicar soluções similares para outros problemas de interesse.

6.1. Capacitância de um capacitor de placasplanas e paralelas com duas camadasdielétricas inclinadas

Neste exemplo, determinamos a capacitância equivalente do capacitor ilustrado na Fig. 5. O capacitor de placas planas e paralelas, com largura $W$ e profundidade $L$, é preenchido por dois dielétricos prismáticos distintos, de permissividades ${\epsilon }_1$ e ${\epsilon }_2$. A separação entre os dielétricos é definida por um plano inclinado.

Figura 5
Capacitância de um capacitor de placas paralelas de largura $W$ e profundidade $L$, com uma fronteira dielétrica linear e inclinada dada por: $f\left(x\right)=\frac{h}{W}x$.

Como pode ser observado na Fig. 5, os dielétricos são separados por uma linha diagonal que conecta as extremidades das placas. Essa interface pode ser modelada matematicamente pela função

(16) $$f\left(x\right)=\frac{h}{W}x.$$

Partindo da Eq. (8), obtemos

(17) $$C_{\text{incl}.}={\displaystyle {\int }_0^W\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)\frac{h}{W}x+{\epsilon }_{1}h}}\text{d}x.$$

Resolvendo a integral apresentada na Eq. (17), encontra-se o seguinte resultado (para a resolução passo a passo, ver o Apêndice Apêndice B: Cálculo detalhado das integrais mencionadas no texto, Subseção B.1):

(18) $$C_{\text{incl}.}=\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}WL}{h({\epsilon }_1-{\epsilon }_2)}\ln \text{}\left(\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}\right).$$

6.2. Capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas com dois dielétricosseparados por uma função raiz quadrada

Neste segundo exemplo, determinamos a capacitância equivalente do capacitor ilustrado na Fig. 6. O sistema consiste em um capacitor de placas planas e paralelas, com largura $W$ e profundidade $L$, preenchido por dois dielétricos distintos, de permissividades ${\epsilon }_1$ e ${\epsilon }_2$. A separação entre os dielétricos é definida por uma interface curva descrita por uma função do tipo raiz quadrada, que conecta os pontos $\left(\mathrm{0,0}\right)$ e $(W,h)$, sendo dada por

Figura 6
Capacitor de placas planas e paralelas de largura $W$ e profundidade $L$, com dois dielétricos separados por uma interface curva descrita por uma função raiz quadrada: $f\left(x\right)=h\sqrt{x/W}$.

(19) $$f\left(x\right)=h\sqrt{\frac{x}{W}}.$$

Aplicando a Eq. (8) ao perfil $f\left(x\right)$ escolhido, a capacitância total é expressa pela integral

(20) $$C_{\text{raiz}}={\displaystyle {\int }_0^W\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)h\sqrt{\frac{x}{W}}+{\epsilon }_{1}h}}\text{d}x.$$

Resolvendo a integral apresentada na Eq. (20), obtemos o seguinte resultado (para a resolução passo a passo, ver o Apêndice Apêndice B: Cálculo detalhado das integrais mencionadas no texto, Subseção B.2).

O resultado da capacitância para este sistema é dado por

(21) $$C_{\mathrm{raiz}}=\frac{2{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}LW}{h{\left({\epsilon }_1-{\epsilon }_2\right)}^2}\left[\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)+{\epsilon }_1\ln \left(\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}\right)\right].$$

6.3. Capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas com dielétricos separados por uma interface senoidal

Considere o capacitor de placas planas e paralelas mostrado na Fig. 7. Neste exemplo, duas placas condutoras, separadas por uma distância uniforme $h$, confinam dois meios dielétricos de permissividades ${\epsilon }_1$ e ${\epsilon }_2$, separados por uma interface senoidal $y=f\left(x\right)$ que varia ao longo da largura $W$ e com profundidade $L$. Para este exemplo, adotamos o perfil senoidal da interface entre os dielétricos conforme a função $f\left(x\right)$ dada por

Figura 7
Geometria do capacitor de placas paralelas com interface dielétrica senoidal. As placas condutoras são separadas por uma distância uniforme $h$ e a interface entre dielétricos conforme $f\left(x\right)=\frac{h}{2}\left[1+\mathrm{sen}\left(\frac{2\pi x}{W}\right)\right],$ divide o domínio em duas regiões de permissividades ${\epsilon }_1$ (abaixo) e ${\epsilon }_2$ (acima), ao longo de uma largura $W$ e com uma profundidade $L$. No intervalo $0\le x\le W$, o perfil senoidal cobre um período completo, com valor médio $h/2$.

(22) $$f\left(x\right)=\frac{h}{2}\left[1+\mathrm{sen}\left(\frac{2\pi x}{W}\right)\right],0\le x\le W.$$

É possível observar que a função que descreve a interface entre os dielétricos, na Eq. (22), respeita $0\le f\left(x\right)\le h$ e que ela oscila entre as placas em torno de $y=\frac{h}{2}$. Escrita dessa maneira, $f\left(x\right)$ cobre exatamente um período completo no intervalo $[0,W]$. Para esse perfil senoidal, a capacitância efetiva definida na Eq. (8), pode ser avaliada analiticamente e o resultado obtido é

(23) $$C_{\mathrm{senoid}.}=\frac{WL}{h}\sqrt{{\epsilon }_1{\epsilon }_2}.$$

O resultado final obtido para a capacitância, dado na Eq. (23), é correto quando o perfil senoidal da interface dielétrica cobre um período completo, conforme demonstrado na Subseção B.3 do Apêndice Apêndice B: Cálculo detalhado das integrais mencionadas no texto. O mecanismo responsável por esse resultado não corresponde a uma simples compensação geométrica ou intuitiva entre as regiões ocupadas pelos dielétricos. Trata-se, na realidade, de um fato analítico: o MPG conduz a uma integral do tipo $\int du/\left(A+B\mathrm{sen}u\right)$, cuja avaliação exata sobre um período completo resulta em $\frac{2\pi }{\sqrt{A^2-B^2}}$. No caso específico do problema considerado, em que $A=\frac{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}{2}$ e $B=\frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{2},$ essa expressão reduz-se a $\sqrt{{\epsilon }_1{\epsilon }_2}$. Assim, a permissividade efetiva emergente não decorre de uma compensação direta entre contribuições locais, mas do colapso analítico da integral associada à associação em série local das camadas dielétricas, resultando em uma média geométrica das permissividades. Portanto, essa interpretação evidencia que o valor efetivo da capacitância é consequência direta da estrutura matemática da integral induzida pelo método, e não de um balanceamento intuitivo entre as regiões ocupadas por cada dielétrico.

A Fig. 8 apresenta uma representação esquemática generalizada do capacitor com interface dielétrica senoidal, enfatizando a repetição periódica do perfil ao longo da largura $W$. Nessa representação, a geometria completa

Figura 8
Representação esquemática do capacitor de placas paralelas com interface dielétrica senoidal em um domínio contendo um número inteiro $n$ de períodos completos. A repetição periódica do perfil ao longo da largura $W$ é indicada esquematicamente pelos pontos centrais. As placas condutoras mantêm uma separação uniforme $h$, enquanto a interface oscila em torno do valor médio $f\left(x\right)=h/2$, indicado pela linha tracejada. Em cada seção vertical, os dielétricos de permissividades ${\epsilon }_1$ e ${\epsilon }_2$ estão dispostos em série, o que permite interpretar o sistema global como um capacitor equivalente homogêneo.

é interpretada como a justaposição de múltiplos períodos idênticos da modulação, separados apenas por uma translação ao longo da direção $x$. Quando o domínio espacial contém um número inteiro $n\in \mathbb{Z}$ de períodos completos, como ilustrado na Fig. 8, as contribuições locais associadas a cada seção vertical organizam-se de forma simétrica ao longo do domínio. Nessa situação, o capacitor comporta-se, do ponto de vista global, como um capacitor de placas paralelas equivalente, caracterizado por uma permissividade efetiva única ${\epsilon }_{\mathrm{efetiva}}=\sqrt{{\epsilon }_1{\epsilon }_2}$.

Interpretação em termos de permissividade efetiva

A Eq. (23) pode ser reescrita na forma usual da capacitância de um capacitor de placas paralelas de área $WL$ e separação $h$,

(24) $$C_{\mathrm{senoid}.}={\epsilon }_{\mathrm{efetiva}}\frac{WL}{h},$$

o que permite identificar uma permissividade efetiva associada à configuração senoidal como

(25) $${\epsilon }_{\mathrm{efetiva}}=\sqrt{{\epsilon }_1{\epsilon }_2}.$$

Esse resultado não decorre de uma simples média geométrica introduzida a priori, mas emerge diretamente da estrutura analítica da integral

${\int }_0^{2\pi }du/\left(A+B\mathrm{sen}u\right)$,

cuja avaliação exata sobre um período completo depende apenas da combinação $\sqrt{A^2-B^2}$.

No presente problema, com $A=\left({\epsilon }_1+{\epsilon }_2\right)/2$ e

$B=\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)/2$; essa quantidade reduz-se precisamente a $\sqrt{{\epsilon }_1{\epsilon }_2}$, que reflete a associação em série local das camadas dielétricas incorporada no MPG.

Observação sobre o caso de $n$ períodos inteiros Se o perfil da interface dielétrica for generalizado para

(26) $$f\left(x\right)=\frac{h}{2}\left[1+\mathrm{sen}\left(\frac{2\pi nx}{W}\right)\right],n\in \mathbb{N},$$

a mudança de variável $u=2\pi nx/W$ mapeia o intervalo $x\in [0,W]$ em $u\in \left[\mathrm{0,2}\pi n\right]$, de modo que a integral correspondente se decompõe em $n$ integrais idênticas avaliadas sobre períodos completos. Como cada período contribui com o mesmo valor

${\int }_0^{2\pi }du/\left(A+B\mathrm{sen}u\right)$, o fator $n$ introduzido pelo domínio de integração é exatamente compensado pela mudança de variável e, desse modo, o resultado final para a capacitância permanece inalterado e independe de $n$, desde que $n$ seja um número inteiro e positivo.

Observação sobre intervalos que não contêm um número inteiro de períodos

Se o intervalo espacial considerado não contiver um número inteiro de períodos completos, a integral correspondente não se reduz a uma soma de integrais sobre $\left[\mathrm{0,2}\pi \right]$, e o cancelamento que conduz ao valor proporcional a $\sqrt{{\epsilon }_1{\epsilon }_2}$ não ocorre de modo global. Nesse caso, a capacitância continua sendo expressável por integrais elementares, mas passa a depender explicitamente dos limites de integração e não colapsa para a forma simples da Eq. (23).

7. Escolha Incorreta das Lâminas no MPG

Ao deduzir a Eq. (8), particionamos o capacitor em lâminas verticais de largura $dx$. Em cada lâmina, os dielétricos aparecem estratificados ao longo da direção normal às placas, de modo que a associação local é em série, enquanto as lâminas sucessivas se combinam globalmente em paralelo. Essa escolha é consistente com a hipótese física central do método: o campo elétrico é predominantemente unidimensional (orientado ao longo de $y$) e aproximadamente uniforme em cada lâmina.

Embora a interface inclinada induza, em princípio, componentes laterais do campo elétrico, de modo que a hipótese de colunas estritamente independentes não seja exata, a comparação com simulações numéricas por método dos elementos finitos mostrou que, para os parâmetros considerados, a discrepância entre o MPG e a solução eletrostática completa é muito pequena. Isso indica que, ao menos nesse regime geométrico, o MPG fornece uma excelente aproximação para a capacitância total, mesmo que o campo elétrico local não seja estritamente unidimensional. Esse resultado sugere que a principal hipótese do método permanece quantitativamente robusta para inclinações moderadas da interface, embora uma análise mais sistemática do erro em função dos parâmetros geométricos ainda seja desejável.

Para fins de contraste, considere uma partição alternativa em lâminas horizontais de espessura $dy$. Aqui assumimos que $f$ seja monótona crescente, de modo que a inversa $f^{-1}\left(y\right)$ esteja bem definida. Para perfis não monótonos, uma partição horizontal levaria a múltiplos valores de $x$ para um mesmo $y$, tornando a formulação ainda mais inadequada. Nesse caso, escrevemos $x_1\left(y\right)=f^{-1}\left(y\right)$. Em uma lâmina horizontal, as regiões preenchidas por ${\epsilon }_1$ e ${\epsilon }_2$ ocupam áreas

$A_1\left(y\right)=L{x}_1\left(y\right)$

e

$A_2\left(y\right)=L\left[W-x_1\left(y\right)\right],$

respectivamente. Se, de forma heurística, tratássemos cada lâmina horizontal como um capacitor de placas paralelas com distância $dy$ entre suas faces, obteríamos uma capacitância

(27) $$d{C}_{\parallel }\left(y\right)=\frac{{\epsilon }_1{A}_1\left(y\right)}{dy}+\frac{{\epsilon }_2{A}_2\left(y\right)}{dy}$$

(28) $$=\frac{L\left({\epsilon }_1{f}^{-1}\left(y\right)+{\epsilon }_2\left[W-f^{-1}\left(y\right)\right]\right)}{dy}.$$

Entretanto, as lâminas horizontais se empilham ao longo de $y$ e, portanto, se associam globalmente em série. Nesse ponto é importante notar que a quantidade $d{C}_{\parallel }\left(y\right)$ não representa o diferencial de uma função global de capacitância, mas sim a capacitância associada a uma lâmina infinitesimal obtida pela partição do sistema. Em outras palavras, trata-se de um elemento de capacitância no circuito equivalente gerado pela decomposição geométrica. No limite contínuo, a associação em série dessas lâminas conduz naturalmente à expressão

(29) $$\frac{1}{C_{\text{horiz}}}={\displaystyle {\int }_0^h\frac{\text{d}y}{L({\epsilon }_1{f}^{-1}(y)+{\epsilon }_2[W-f^{-1}(y)])}}.$$

Para o caso inclinado $f\left(x\right)=\frac{h}{W}x$, obtém-se

(30) $$C_{\text{horiz}}=\frac{LW({\epsilon }_1-{\epsilon }_2)}{h\ln \text{}\left(\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}\right)},$$

que difere do resultado principal da Eq. (18). Essa expressão corresponde ao limite contínuo da soma de capacitores associados em série ao longo da direção $y$, obtidos pela partição do sistema em lâminas infinitesimais. Essa discrepância ilustra que diferentes particionamentos incorporam hipóteses físicas distintas sobre a estrutura do campo elétrico no interior do capacitor. A partição horizontal, ao tratar cada lâmina como um capacitor independente com placas separadas por $dy$, ignora o fato de que o campo elétrico real é contínuo na direção vertical e que as placas condutoras estão apenas em $y=0$ e $y=h$. Por consequência, a associação em série dessas lâminas horizontais não representa corretamente a física do sistema.

Em contraste, a partição vertical adotada no MPG está alinhada com a hipótese de campo predominantemente normal às placas. Nela, cada lâmina vertical contém os dois dielétricos associados em série, submetidos à mesma diferença de potencial, enquanto as lâminas adjacentes se combinam globalmente em paralelo, refletindo a conservação da carga nas placas. Essa abordagem reproduz resultados consistentes com simulações numéricas e com o limite conhecido de dielétricos homogêneos. De fato, no limite ${\epsilon }_1\to {\epsilon }_2$, ambas as partições convergem trivialmente para a capacitância do capacitor homogêneo $C={\epsilon }_{2}WL/h$. Contudo, fora desse limite degenerado (em particular para dielétricos distintos separados por interfaces curvas ou não monótonas), apenas a partição vertical preserva uma interpretação física consistente do campo elétrico e da definição de capacitância como uma grandeza associada exclusivamente às placas condutoras. A discrepância decorre, portanto, da física associada aos elementos diferenciais. A partição vertical reflete corretamente a configuração do campo elétrico e a definição de capacitância como uma grandeza medida entre duas placas condutoras, enquanto a partição horizontal introduz uma hipótese artificial sobre a distribuição do potencial elétrico.

8. Conclusões

O MPG fornece uma estrutura sistemática para o cálculo da capacitância por meio da decomposição de sistemas com geometrias complexas em elementos infinitesimais fisicamente interpretáveis. Sua aplicação a capacitores de placas paralelas reproduz corretamente resultados clássicos bem conhecidos e evidencia sua adaptabilidade a configurações mais gerais, como interfaces dielétricas inclinadas ou curvas, bem como a distribuições espaciais não triviais de materiais dielétricos.

De forma mais ampla, o método descrito neste trabalho conduz naturalmente ao uso do cálculo integral básico como ferramenta central de modelagem, o que permite, em geral, obter expressões analíticas para a capacitância em situações nas quais os parâmetros geométricos ou as propriedades materiais variam continuamente no espaço. Ao evitar a resolução direta das equações diferenciais do campo eletrostático, o procedimento explora a linearidade local da capacitância e reduz um problema formalmente bidimensional a uma integral unidimensional, tornando o cálculo tratável mesmo para interfaces arbitrariamente moldadas.

A validade do método proposto está associada a hipóteses físicas bem definidas, em particular, à suposição de que o campo elétrico em cada lâmina infinitesimal pode ser tratado como aproximadamente unidimensional. Em geometrias com variações abruptas ou curvaturas acentuadas, efeitos como componentes laterais do campo e campos de borda podem tornar a aproximação menos precisa. Ainda assim, em uma ampla classe de situações práticas, o método fornece estimativas consistentes e próximas daquelas obtidas por abordagens numéricas completas baseadas na equação de Laplace.

Do ponto de vista pedagógico, o método apresenta um valor adicional: o estabelecimento de uma ponte intuitiva entre somas discretas e integração contínua. Ele reforça a natureza física da integral como a soma de contribuições locais. Essa abordagem consolida a compreensão sobre o papel da geometria na determinação da capacitância e oferece aos estudantes um contexto concreto para a aplicação do cálculo integral em eletrostática.

Como perspectiva de trabalhos futuros, pretende-se estender o MPG a configurações ainda mais gerais, incluindo interfaces não monotônicas e camadas dielétricas descritas por relações funcionais mais complexas. Uma direção natural consiste também em aplicar o método à resolução de problemas mais complexos em três dimensões e explorar de forma sistemática como a partição geométrica pode ser adaptada a geometrias espaciais mais gerais.

Outra linha de investigação envolve estudar como o método pode ser estendido para o cálculo da resistência elétrica a partir da condutância de condutores com interfaces materiais complexas em duas e três dimensões, tais como resistores com seção transversal variável ou com regiões compostas por materiais com diferentes resistividades. Esse tipo de problema apresenta analogia matemática direta com os problemas eletrostáticos discutidos neste trabalho e pode ampliar o escopo de aplicações do método. Além disso, pretende-se investigar quantitativamente o regime de validade da aproximação por meio de comparações sistemáticas com soluções numéricas completas da equação de Laplace, a fim de caracterizar os desvios associados a geometrias com variações mais abruptas.

No contexto do ensino, estudos futuros podem ainda avaliar o impacto do método na aprendizagem de conceitos de eletrostática e de integração, bem como explorar sua aplicação a problemas formalmente análogos em outras áreas da Física, como condução de calor e de massa em uma dimensão e processos difusivos em meios heterogêneos.

Agradecimentos

ATC agradece: RAU $N^{\circ }12-2016$-AY-UNA, Perú.

Material suplementar

Apêndice A: Dedução do MPG via somas de Riemann

O MPG baseia-se em hipóteses físicas bem definidas. Em particular, assume-se que o campo elétrico no interior do capacitor é aproximadamente uniforme e predominantemente unidimensional, orientado na

direção perpendicular às placas. Essa aproximação é válida quando a separação entre as placas é menor que suas dimensões laterais, de modo que efeitos de borda possam ser desprezados. Além disso, supõe-se que a interface entre os dielétricos varie suavemente ao longo da largura do capacitor, permitindo que, em cada lâmina infinitesimal, o sistema seja localmente descrito como um capacitor de placas paralelas com dielétricos estratificados. Sob essas condições, a associação local em série e a associação global em paralelo fornecem uma descrição adequada da capacitância total do sistema.

Para obter o resultado deduzido pela teoria utilizando as somas de Riemann, seguimos os passos descritos a seguir.

1. Subdivisão em elementos:

   Inicialmente, dividimos o capacitor em $N$ lâminas verticais ao longo da largura $W$. Cada lâmina possui largura $\Delta x=W/N$, de modo que a área de placa associada à $i$-ésima lâmina é $A_i=L\Delta x=L\left(W/N\right).$ A interface dielétrica é então avaliada no ponto $x_i=i\Delta x=Wi/N,$ separando localmente duas regiões correspondentes a dielétricos distintos.

2. Capacitância elementar:

   Cada lâmina comporta-se como um capacitor de placas paralelas independente, contendo dois dielétricos associados em série. Para calcular a capacitância de cada lâmina, é necessário identificar a disposição local de cada dielétrico. Neste caso, considera-se o valor de $f\left(x\right)$: toda a região abaixo de $f\left(x\right)$ corresponde ao dielétrico de permissividade elétrica ${\epsilon }_1$, enquanto a região acima de $f\left(x\right)$ corresponde ao dielétrico de permissividade elétrica ${\epsilon }_2$. Assim, a capacitância da $i$-ésima lâmina é dada por

   (A.1) $$C_i^1=\frac{{\epsilon }_{1}L\frac{W}{N}}{f\left(\frac{Wi}{N}\right)},$$
   (A.2) $$C_i^2=\frac{{\epsilon }_{2}L\frac{W}{N}}{h-f\left(\frac{Wi}{N}\right)}.$$

   Associando essas duas capacitâncias em série, obtém-se

   (A.3) $$\frac{1}{C_i}=\frac{1}{C_i^1}+\frac{1}{C_i^2}=\frac{f\left(\frac{Wi}{N}\right)}{{\epsilon }_{1}L\frac{W}{N}}+\frac{h-f\left(\frac{Wi}{N}\right)}{{\epsilon }_{2}L\frac{W}{N}},$$

   o que resulta em

   (A.4) $$C_i=\frac{W}{N}\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)f\text{}\left(\frac{Wi}{N}\right)+{\epsilon }_{1}h}.$$

3. Associação em paralelo:

   Como todas as lâminas estão eletricamente associadas em paralelo, a capacitância total é dada pela soma das contribuições individuais:

   (A.5) $$C(N)={\displaystyle \sum _{i=1}^N{C}_i}={\displaystyle \sum _{i=1}^N\frac{W}{N}}\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)f\text{}\left(\frac{Wi}{N}\right)+{\epsilon }_{1}h}.$$

4. Limite das somas de Riemann:

   Tomando-se o limite $N\to \infty$, obtêm-se lâminas infinitesimais:

   (A.6) $$\begin{array}{ll}C\hfill & =\underset{N\to \infty }{\lim }C(N)\hfill \\ \hfill & =\underset{N\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=1}^N\frac{W}{N}}\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)f\text{}\left(\frac{Wi}{N}\right)+{\epsilon }_{1}h}.\hfill \end{array}$$

   Utilizando a definição clássica da soma de Riemann para integrais definidas, com $F\left(\frac{Wi}{N}\right)=\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{}\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)f\left(\frac{Wi}{N}\right)+{\epsilon }_{1}h$,

   (A.7) $$\underset{N\to \infty }{lim}\sum _{i=1}^{N}F\left(\frac{Wi}{N}\right)\frac{W}{N}={\int }_0^{W}F\left(x\right)dx,$$

   obtém-se o resultado desejado:

   (A.8) $$C={\displaystyle {\int }_0^W\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)f(x)+{\epsilon }_{1}h}}\text{d}x.$$

O resultado obtido na Eq. (8) é válido no caso restrito em que a imagem da função $f\left(x\right)$, definida no intervalo $(0,W)$, esteja contida no intervalo $(0,h)$. Caso a função extrapole esses limites, torna-se necessária uma partição do domínio, ao longo da largura $W$, em subintervalos nos quais a imagem de $f\left(x\right)$ pertença ao intervalo $(0,h)$ e em subintervalos em que essa condição não seja satisfeita. A capacitância correspondente a cada subintervalo deve então ser calculada separadamente e associada em paralelo, o que conduz à capacitância equivalente total.

Apêndice B: Cálculo detalhado das integrais mencionadas no texto

B.1. Integral do Exemplo 6.1: Capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas com duas camadas dielétricas inclinadas

Desejamos resolver a seguinte integral do Exemplo da Sec. 6.1

(B.1) $$C_{\mathrm{incl}.}={\int }_0^W\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{}\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)\frac{h}{W}x+{\epsilon }_{1}hdx.$$

Com o objetivo de simplificar a integração da Eq. B.1, vamos realizar as seguintes mudanças de variáveis:

(B.2) $$C_{\mathrm{incl}.}={\int }_0^W\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{ax+b}dx,$$

onde

(B.3) $$a=\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)\frac{h}{W}\text{e}b={\epsilon }_{1}h.$$

Efetuando a substituição

(B.4) $$u=ax+b\Rightarrow x=\frac{u-b}{a}\Rightarrow dx=\frac{1}{a}du.$$

Desse modo, os limites de integração tornam-se

(B.5) $$x=0\Rightarrow u=b,x=W\Rightarrow u=aW+b.$$

Assim, a integral passa a ser escrita como

(B.6) $$\begin{array}{l}{\int }_b^{aW+b}\frac{1}{u}\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{a}du=\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{a}{\int }_b^{aW+b}\frac{du}{u},\\ =\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{a}\ln \left(\frac{aW+b}{b}\right).\end{array}$$

Substituindo explicitamente os valores de $a$ e $b$, obtemos

(B.7) $$C_{\text{incl}.}=\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{\frac{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)h}{W}}\ln \text{}\left(\frac{\frac{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)h}{W}W+{\epsilon }_{1}h}{{\epsilon }_{1}h}\right).$$

Simplificando a expressão acima, obtemos

(B.8) $$C_{\text{incl}.}=\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}LW}{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)h}\ln \text{}\left(\frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}\right)=\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}LW}{({\epsilon }_1-{\epsilon }_2)h}\ln \text{}\left(\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}\right).$$

Encontramos, assim, a Eq. (18), conforme apresentado no texto principal.

B.2. Integral do Exemplo 6.2: Capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas com dois dielétricos separados por uma função raiz quadrada

Desejamos resolver a seguinte integral do Exemplo da Sec. 6.2

(B.9) $$C_{\text{raiz}}={\displaystyle {\int }_0^W\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)h\sqrt{\frac{x}{W}}+{\epsilon }_{1}h}}\text{d}x.$$

Consideremos inicialmente a integral genérica

(B.10) $${\int }_0^W\frac{1}{a\sqrt{\frac{x}{b}}+c}dx,$$

em que

(B.11) $$a=\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)h,b=W,c={\epsilon }_{1}h.$$

Efetuamos a substituição

(B.12) $$u=\sqrt{\frac{x}{b}}\Rightarrow x=b{u}^2\Rightarrow dx=2budu.$$

Os limites de integração transformam-se em

(B.13) $$x=0\Rightarrow u=0,x=W\Rightarrow u=\sqrt{\frac{W}{b}}.$$

Assim, a integral passa a ser escrita como

(B.14) $$2b{\int }_0^{\sqrt{W/b}}\frac{u}{au+c}du.$$

Realizando-se agora a substituição

(B.15) $$v=au+c\Rightarrow dv=adu\Rightarrow du=\frac{dv}{a},u=\frac{v-c}{a},$$

os novos limites tornam-se

(B.16) $$u=0\Rightarrow v=c,u=\sqrt{\frac{W}{b}}\Rightarrow v=a\sqrt{\frac{W}{b}}+c.$$

Portanto,

(B.17) $$\begin{array}{l}2b{\int }_0^{\sqrt{W/b}}\frac{u}{au+c}du=2b{\int }_c^{a\sqrt{W/b}+c}\frac{v-c}{av}\frac{dv}{a},\\ =\frac{2b}{a^2}{\int }_c^{a\sqrt{W/b}+c}\left(1-\frac{c}{v}\right)dv.\end{array}$$

Substituindo-se os limites de integração, obtém-se

(B.18) $$\begin{array}{ll}\hfill & \frac{2b}{a^2}\left(v-c\ln v\right){|}_c^{a\sqrt{W/b}+c}\hfill \\ \hfill & =\frac{2b}{a^2}\left[a\sqrt{\frac{W}{b}}+c-c\ln \text{}\left(a\sqrt{\frac{W}{b}}+c\right)-\left(c-c\ln c\right)\right].\hfill \end{array}$$

Simplificando a expressão acima, resulta

(B.19) $${\int }_0^W\frac{1}{a\sqrt{\frac{x}{b}}+c}dx=\frac{2b}{a^2}\left[a\sqrt{\frac{W}{b}}-c\ln \left(\frac{a\sqrt{\frac{W}{b}}+c}{c}\right)\right].$$

Substituindo explicitamente os parâmetros $a=\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)h$, $b=W$ e $c={\epsilon }_{1}h$, obtemos

(B.20) $$\begin{array}{ll}{C}_{\text{raiz}}\hfill & =\frac{2{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}LW}{h^2{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)}^2}[h({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)-\hfill \\ \hfill & -{\epsilon }_{1}h\ln \text{}\left(\frac{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)h+{\epsilon }_{1}h}{{\epsilon }_{1}h}\right)].\hfill \end{array}$$

Finalmente, após simplificação algébrica, resulta

(B.21) $$C_{\text{raiz}}=\frac{2{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}LW}{h{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)}^2}\left[({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)+{\epsilon }_1\ln \text{}\left(\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}\right)\right].$$

E, portanto, temos

(B.22) $$C_{\text{raiz}}=2{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}LW\left(\frac{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)+{\epsilon }_1\ln \text{}\left(\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}\right)}{h{({\epsilon }_1-{\epsilon }_2)}^2}\right).$$

Encontramos, finalmente, a Eq. (21), conforme apresentada no texto.

B.3. Capacitor do Exemplo 6.3: Capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas com dielétricos separados por uma interface senoidal

Nesta seção, apresentamos a dedução completa da expressão fechada para a capacitância efetiva no caso em que a interface analítica dielétrica é senoidal, com $n$ períodos inteiros, conforme discutido no Exemplo da Sec. 6.3

Escolha do perfil senoidal Escolhemos uma interface senoidal que oscila entre as placas,

(B.23) $$f\left(x\right)=\frac{h}{2}\left[1+\mathrm{sen}\left(\frac{2\pi x}{W}\right)\right],$$

a qual satisfaz $0\le f\left(x\right)\le h$ em todo o intervalo $0\le x\le W$. Observa-se ainda que $f\left(x\right)=h/2$ nos pontos $x=0,W/2,W$ atinge $f\left(x\right)=h$ em $x=W/4$ e toca $f\left(x\right)=0$ em $x=3W/4$.

Reescrita do denominador Substituindo Eq. (B.23) em Eq. (8), o denominador assume a forma

(B.24) $$\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)f\left(x\right)+{\epsilon }_{1}h=\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)\frac{h}{2}\left[1+\mathrm{sen}\left(\frac{2\pi x}{W}\right)\right]+{\epsilon }_{1}h.$$

Colocando $h$ em evidência e reorganizando os termos,

(B.25) $$\begin{array}{l}\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)f\left(x\right)+{\epsilon }_{1}h=\\ =h\left[{\epsilon }_1+\frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{2}+\left(\frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{2}\right)\mathrm{sen}\left(\frac{2\pi x}{W}\right)\right].\end{array}$$

Definimos então as constantes

(B.26) $$A=\frac{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}{2},B=\frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{2},$$

de modo que o denominador pode ser escrito como

(B.27) $$\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)f\left(x\right)+{\epsilon }_{1}h=h\left[A+B\mathrm{sen}\left(\frac{2\pi x}{W}\right)\right].$$

Substituindo de volta na expressão da capacitância,

(B.28) $$C_{\mathrm{senoid}.}=\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{h}{\int }_0^W\frac{dx}{A+B\mathrm{sen}\left(\frac{2\pi x}{W}\right)}.$$

Mudança de variável para um período completo Efetuamos a mudança de variável

(B.29) $$u=\frac{2\pi x}{W},dx=\frac{W}{2\pi }du,$$

a qual mapeia $x=0$ em $u=0$ e $x=W$ em $u=2\pi$. Assim,

(B.30) $$C_{\mathrm{senoid}.}=\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{h}\frac{W}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{du}{A+B\mathrm{sen}u}.$$

Definimos a integral $I$ como

(B.31) $$I:={\int }_0^{2\pi }\frac{du}{A+B\mathrm{sen}u},$$

de modo que

(B.32) $$C_{\mathrm{senoid}.}=\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{h}\frac{W}{2\pi }I.$$

Cálculo de $I$ via substituição $t=\tan \left(u/2\right)$ Aplicamos a substituição trigonométrica padrão

(B.33) $$t=\tan \left(\frac{u}{2}\right),$$

para a qual valem as identidades

(B.34) $$\mathrm{sen}u=\frac{2t}{1+t^2},du=\frac{2}{1+t^2}dt.$$

Substituindo em Eq. (B.31),

(B.35) $$\begin{array}{l}I=\int \frac{1}{A+B\mathrm{sen}u}du=\int \frac{1}{A+B\frac{2t}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}dt,\\ =\int \frac{2dt}{\left(1+t^2\right)\left(A+\frac{2Bt}{1+t^2}\right)}=\int \frac{2dt}{A\left(1+t^2\right)+2Bt}.\end{array}$$

Expandindo o denominador,

(B.36) $$A\left(1+t^2\right)+2Bt=A{t}^2+2Bt+A.$$

Completamos o quadrado:

(B.37) $$\begin{array}{l}A{t}^2+2Bt+A=A\left[t^2+2\frac{B}{A}t+1\right],\\ =A\left[{\left(t+\frac{B}{A}\right)}^2+1-{\left(\frac{B}{A}\right)}^2\right].\end{array}$$

Definimos

(B.38) $${\Delta }^2:=A^2-B^2,$$

e notamos que

(B.39) $$A\left[1-{\left(\frac{B}{A}\right)}^2\right]=A\left(\frac{A^2-B^2}{A^2}\right)=\frac{{\Delta }^2}{A}.$$

Logo,

(B.40) $$A{t}^2+2Bt+A=A{\left(t+\frac{B}{A}\right)}^2+\frac{{\Delta }^2}{A}.$$

Substituindo na Eq. (B.35),

(B.41) $$I=\int \frac{2dt}{A{\left(t+\frac{B}{A}\right)}^2+\frac{{\Delta }^2}{A}}=\int \frac{2Adt}{A^2{\left(t+\frac{B}{A}\right)}^2+{\Delta }^2}.$$

Colocando ${\Delta }^2$ em evidência no denominador,

(B.42) $$I=\frac{2A}{{\Delta }^2}\int \frac{dt}{1+{\left(\frac{A}{\Delta }\right)}^2{\left(t+\frac{B}{A}\right)}^2}.$$

Introduzimos a variável

(B.43) $$y=\frac{A}{\Delta }\left(t+\frac{B}{A}\right),$$

de modo que

(B.44) $$t+\frac{B}{A}=\frac{\Delta }{A}y,dt=\frac{\Delta }{A}dy.$$

Substituindo em Eq. (B.42),

(B.45) $$I=\frac{2A}{{\Delta }^2}\int \frac{\frac{\Delta }{A}dy}{1+y^2}=\frac{2}{\Delta }\int \frac{dy}{1+y^2}.$$

Portanto, a primitiva é

(B.46) $$\begin{array}{l}I=\frac{2}{\Delta }\arctan \left(y\right)+\text{const},\\ =\frac{2}{\Delta }\arctan \left[\frac{A}{\Delta }\left(t+\frac{B}{A}\right)\right]+\text{const}.\end{array}$$

Embora a primitiva da integral

(B.47) $$\int \frac{du}{A+B\mathrm{sen}u},$$

possa ser escrita na forma

(B.48) $$\int \frac{du}{A+B\mathrm{sen}u}=\frac{2}{\Delta }\arctan \left[\frac{A}{\Delta }\left(\tan \frac{u}{2}+\frac{B}{A}\right)\right]+\mathrm{const},$$

com $\Delta =\sqrt{A^2-B^2}$, a avaliação direta dessa expressão entre $u=0$ e $u=2\pi$ requer cuidado. Isso ocorre porque a substituição

(B.49) $$t=\tan \left(\frac{u}{2}\right),$$

introduz uma descontinuidade em $u=\pi$, onde $t\to \pm \infty$.

Por consequência, a integral deve ser tratada como a soma de duas integrais impróprias, correspondentes aos intervalos $(0,\pi )$ e $\left(\pi \mathrm{,2}\pi \right)$. Escrevemos, portanto,

(B.50) $$\begin{array}{l}I={\int }_0^{2\pi }\frac{du}{A+B\mathrm{sen}u},\\ ={\int }_0^{\pi }\frac{du}{A+B\mathrm{sen}u}+{\int }_{\pi }^{2\pi }\frac{du}{A+B\mathrm{sen}u}\equiv I_1+I_2.\end{array}$$

No primeiro intervalo, $u\in (0,\pi )$, tem-se $t=\tan \left(u/2\right)\in (0,+\infty )$.

Aplicando a primitiva (B.48), obtemos

(B.51) $$I_1=\frac{2}{\Delta }\left[\underset{t\to +\infty }{lim}\arctan (\frac{A}{\Delta }(t+\frac{B}{A}))-\arctan (\frac{A}{\Delta }\frac{B}{A})\right].$$

No segundo intervalo, $u\in \left(\pi \mathrm{,2}\pi \right)$, vale $t\in \left(-\infty \mathrm{,0}\right)$, e obtemos

(B.52) $$I_2=\frac{2}{\Delta }\left[\arctan (\frac{A}{\Delta }\frac{B}{A})-\underset{t\to -\infty }{lim}\arctan (\frac{A}{\Delta }(t+\frac{B}{A}))\right].$$

Somando $I_1$ e $I_2$, os termos avaliados em $t=0$ se cancelam, resultando em

(B.53) $$\begin{array}{l}I=\frac{2}{\Delta }[\underset{t\to +\infty }{lim}\arctan \left(\frac{A}{\Delta }(t+\frac{B}{A})\right)-\\ -\underset{t\to -\infty }{lim}\arctan \left(\frac{A}{\Delta }(t+\frac{B}{A})\right)].\end{array}$$

Como $A>\left|B\right|$, tem-se $\Delta >0$ e, portanto, $\frac{A}{\Delta }>0.$ Assim,

(B.54) $$\begin{array}{c}\underset{t\to +\infty }{lim}\arctan \left(\frac{A}{\Delta }\left(t+\frac{B}{A}\right)\right)=\frac{\pi }{2},\\ \underset{t\to -\infty }{lim}\arctan \left(\frac{A}{\Delta }\left(t+\frac{B}{A}\right)\right)=-\frac{\pi }{2}.\end{array}$$

Substituindo-se esses limites, obtemos finalmente

(B.55) $$I=\frac{2}{\Delta }\left(\frac{\pi }{2}-\left(-\frac{\pi }{2}\right)\right)=\frac{2\pi }{\Delta }=\frac{2\pi }{\sqrt{A^2-B^2}},$$

o que conclui a avaliação exata da integral sobre um período completo.

Avaliação da integral definida em um período Para obter o valor definido ${\int }_0^{2\pi }du/\left(A+B\mathrm{sen}u\right)$, usamos o fato de que a integral em um período completo é

(B.56) $$I={\int }_0^{2\pi }\frac{du}{A+B\mathrm{sen}u}=\frac{2\pi }{\sqrt{A^2-B^2}}=\frac{2\pi }{\Delta }.$$

Assumindo que $A>\left|B\right|$, condição satisfeita para ${\epsilon }_1>0$ e ${\epsilon }_2>0$, pois então $A=\left({\epsilon }_1+{\epsilon }_2\right)/2>0$ e ${\Delta }^2=A^2-B^2>0$. Este resultado depende da condição ${\epsilon }_2\ge {\epsilon }_1$. Caso isso não seja verdade, o sinal da integral muda; entretanto, o resultado continua válido.

Expressão final para a capacitância $C_{\mathrm{senoid}.}$

Substituindo Eq. (B.56) em Eq. (B.32),

(B.57) $$C_{\mathrm{senoid}.}=\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}L}{h}\frac{W}{2\pi }\frac{2\pi }{\sqrt{A^2-B^2}}=\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_{2}LW}{h}\frac{1}{\sqrt{A^2-B^2}}.$$

Agora calculamos explicitamente $A^2-B^2$ a partir de Eq. (B.26),

(B.58) $$\begin{array}{l}{A}^2-B^2={\left(\frac{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}{2}\right)}^2-{\left(\frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{2}\right)}^2,\\ =\frac{{\left({\epsilon }_1+{\epsilon }_2\right)}^2-{\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)}^2}{4}=\frac{4{\epsilon }_1{\epsilon }_2}{4}={\epsilon }_1{\epsilon }_2.\end{array}$$

Logo,

(B.59) $$\sqrt{A^2-B^2}=\sqrt{{\epsilon }_1{\epsilon }_2},$$

e a capacitância reduz-se a

(B.60) $$C_{\mathrm{senoid}.}=\frac{WL}{h}\sqrt{{\epsilon }_1{\epsilon }_2}.$$

C. Implementação em Python dos Exemplos Apresentados

Neste apêndice, apresentamos os códigos em Python utilizados na implementação numérica dos exemplos discutidos ao longo do texto. O objetivo principal é fornecer um suporte computacional que permita a reprodução dos resultados analíticos e a verificação direta das expressões obtidas por meio do MPG.

Os códigos implementam a discretização do domínio espacial e a comparação sistemática entre os valores analíticos e numéricos da capacitância efetiva para diferentes perfis da interface dielétrica. Além disso, eles foram estruturados de forma que os estudantes possam explorar livremente variações de parâmetros, testar os limites de validade da aproximação e utilizar os algoritmos como ponto de partida para a análise de problemas eletrostáticos análogos.

Este material computacional não é essencial para a compreensão dos argumentos teóricos apresentados, mas complementa a análise ao explicitar os procedimentos numéricos subjacentes e facilitar a adaptação do método a outras geometrias ou perfis de interface.

Todos os códigos abaixo estão disponíveis em formato de caderno interativo (Jupyter Notebook) e podem ser executados diretamente no Google Colab a partir dos links fornecidos abaixo. Recomendamos que o leitor salve uma cópia em seu próprio ambiente do Colab para modificar livremente os parâmetros e testar novos cenários de interesse.

Exemplo 6.1: Capacitor com interface dielétrica inclinada

• Arquivo de código: O arquivo capacitor_diagonal.ipynb foi enviado como material suplementar.

• Link para execução interativa (Google Colab):

  https://colab.research.google.com/drive/1j-p6DLmDOKEVHVTRr-ITAfGFh42X1w7C

Exemplo 6.2: Capacitor com interface em raiz quadrada

• Arquivo de código: O arquivo capacitor_raiz.ipynb foi enviado como material suplementar.

• Link para execução interativa (Google Colab):

  https://colab.research.google.com/drive/1JDS1XhhgZwle7GkhrLlEmHXs2jk_dVlj

Exemplo 6.3: Capacitor com interface senoidal

• Arquivo de código: O arquivo capacitor_seno.ipynb foi enviado como material suplementar.

• Link para execução interativa (Google Colab):

  https://colab.research.google.com/drive/1IuQmL0uZKn780U9DpFsEYqvc2zEAUn5r

Disponibilidade de Dados

Os mesmos códigos estão disponíveis no repositório Github.

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Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  10 Jul 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  27 Dez 2025
• Revisado
  27 Mar 2026
• Aceito
  27 Abr 2026