Potencial eletrostático de discos carregados: um estudo didático com aplicações computacionais

Electrostatic potential of charged disks: a didactic study with computational applications

Resumo

Este trabalho apresenta uma análise didática do cálculo do potencial eletrostático gerado por anéis e discos carregados, abordando tanto distribuições homogêneas quanto não homogêneas de carga. Tradicionalmente, o estudo desse potencial é restrito ao eixo de simetria devido à simplicidade matemática, mas o cálculo para pontos fora do eixo, embora mais realista e relevante para validação experimental, envolve desafios matemáticos significativos, frequentemente negligenciados nos cursos básicos. O artigo explora duas abordagens teóricas principais: a integração direta, que leva a expressões em termos de integrais elípticas, e métodos baseados no uso de funções especiais, como Bessel e Legendre, demonstrando a equivalência entre elas por meio de identidades matemáticas. O trabalho também destaca a importância do uso de ferramentas computacionais, especialmente Python, para tornar a análise acessível a estudantes iniciantes e incentivar a discussão desses temas em sala de aula. Além disso, são discutidas aplicações do modelo de disco carregado em contextos como astrofísica, físico-química e matéria condensada, reforçando a relevância do tema para a formação em Física. O estudo sugere ainda uma reorganização curricular para que disciplinas de Eletromagnetismo sejam ministradas após o aprendizado das funções especiais, promovendo uma compreensão mais profunda dos problemas eletrostáticos.

Palavras-chave:
Potencial eletrostático; integrais elípticas; funcões de Bessel; polinômios de Legendre; equipotencial

Abstract

This work presents a didactic analysis of the calculation of the electrostatic potential generated by charged rings and disks, considering both homogeneous and non-homogeneous charge distributions. Traditionally, the study of this potential is limited to the symmetry axis due to mathematical simplicity, but the calculation for off-axis points-although more realistic and experimentally relevant-poses significant mathematical challenges often overlooked in basic courses. The article explores two main theoretical approaches: direct integration, leading to expressions involving elliptic integrals, and methods based on special functions such as Bessel and Legendre, demonstrating their equivalence through mathematical identities. The work also emphasizes the importance of computational tools, especially Python, to make the analysis accessible to beginner students and to encourage the discussion of these topics in the classroom. Additionally, the applications of the charged disk model in fields such as astrophysics, physical chemistry, and condensed matter are discussed, highlighting the broader relevance of the subject for physics education. The study further suggests curricular adjustments so that electromagnetism courses are offered after students have learned special functions, fostering a deeper understanding of electrostatic problems.

Keywords
Electrostatic potential; elliptic integrals; Bessel functions; Legendre polynomials; equipotential

1. Introdução

A análise de geometrias com simetria nas distribuições de cargas é de grande relevância no estudo da eletrostática. De modo geral, propriedades de simetria desempenham um papel fundamental em praticamente todas as áreas da física, pois permitem uma significativa simplificação na formulação e resolução dos problemas. Ao explorar tais simetrias, muitas vezes conseguimos reduzir equações complexas a formas mais tratáveis ou, ao menos, identificar estratégias eficientes de abordagem.

A maioria dos leitores deste trabalho provavelmente já teve contato com a disciplina introdutória de eletricidade – frequentemente oferecida como Física 3 no ciclo básico – e alguns talvez tenham cursado disciplinas mais avançadas na graduação ou na pós-graduação. Nesse percurso acadêmico, é comum o estudo do potencial eletrostático gerado por distribuições de carga homogêneas em geometrias clássicas, como anel, disco , casca esférica e esfera maciça. Para os casos esféricos, tanto a casca quanto a esfera com densidade volumétrica constante, os cálculos do potencial em pontos arbitrários do espaço são relativamente diretos, especialmente com o auxílio das leis de Gauss ou do método de integração direta.

Entretanto, a situação se torna consideravelmente mais desafiadora no caso de distribuições em geometrias planas como o anel e o disco carregados uniformemente. Nesses casos, o cálculo do potencial em pontos genéricos fora do eixo de simetria exige integrais mais complexas, muitas vezes envolvendo funções especiais, como integrais elípticas. Apenas em situações particulares – como ao longo do eixo de simetria da distribuição – é possível obter expressões analíticas simples.

Essas soluções particulares são apresentadas em diversos livros-texto de física básica [¹,²,³,⁴,⁵]. Para o ponto P(0, 0, z), ao longo do eixo perpendicular ao plano da distribuição, as expressões do potencial eletrostático são dadas por

(1) $$\Phi \left(P\right)\equiv V\left(z\right)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{o}a}\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{{\overline{z}}^2+1}},anel\\ 2\left(\sqrt{\sqrt{{\overline{z}}^2+1}}-\left|\overline{z}\right|\right),disco\end{array},\right.$$

onde $\overline{z}=z/a$ é a variável vertical adimensional. Aqui Q é a carga total do sistema, para o anel, com densidade linear λ = Q/(2πa), e para o disco, com densidade superficial σ = Q/(πa²).

Vale destacar que a expressão do potencial do disco, V_d(z), pode ser obtida diretamente por meio do princípio da superposição. Considera-se o disco como composto por uma série de anéis concêntricos de raio ρ, cada um com carga infinitesimal $dq=\frac{2Q}{a^2}\rho d\rho$. O potencial no ponto z devido a cada anel é somado via integração contínua ao longo do raio do disco, de ρ = 0 até ρ = a. Essa abordagem fornece, de maneira natural, a expressão para o potencial gerado pelo disco em pontos sobre seu eixo de simetria.

Por outro lado, embora seja conceitualmente simples e visualmente atraente, o cálculo do potencial eletrostático criado por um anel ou disco em um ponto fora do eixo é um problema matematicamente complexo. Isso ocorre porque ele envolve funções especiais poucas usadas, como as integrais elípticas, funções de Bessel e polinômios de Legendre. Esses métodos em geral parecem muito abstratos para a maioria dos alunos de graduação e têm dificuldade em entender a conexão da matemática com as situações da vida real. Por essa razão, consideramos que esse problema oferece um excelente exemplo didático, pois ilustra como essas funções especiais surgem naturalmente em contextos físicos e como métodos alternativos de solução – além dos tradicionais – podem revelar conexões matemáticas interessantes e inesperadas.

Surpreendentemente, os estudantes não encontrarão a resposta do cálculo de $\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$ do disco ou anel carregado no ponto qualquer no espaço mesmo em livros-texto mais avançados [⁶,⁷,⁸,⁹,¹⁰, ¹¹,¹², ¹³], no qual não poderia deixar de citar as referências dos autores brasileiros [¹⁴,¹⁵,¹⁶,¹⁷]. Na Ref. [¹³], por exemplo, é dada uma dica, sem maiores detalhes, de como se comporta o campo eletrostático $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\nabla }\mathrm{\Phi }$ em torno de um disco carregado homogeneamente e que pode ser expresso em termos de integrais elípticas.

O método mais direto e conceitualmente simples para calcular o potencial eletrostático do anel e do disco carregados uniformemente carregado, fora do eixo de simetria, é por meio da integração direta da expressão do potencial, que envolve as integrais elípticas de primeira espécie, cujos resultados são bem estabelecidos na literatura [¹⁸,¹⁹,²⁰,²¹,²², ²³,²⁴,²⁵].

No entanto, para destacar a riqueza matemática envolvida neste problema, também exploramos uma abordagem alternativa (uso das funções de Bessel e dos polinômios de Legedre). A comparação entre os resultados obtidos por diferentes métodos – que, apesar de estarem expressos em formas distintas, devem ser matematicamente equivalentes – permite, por vezes, identificar novas identidades e fórmulas que não são imediatamente óbvias. Ao adotar essa abordagem comparativa, conseguimos identificar algumas identidades e fórmulas de transformação interessantes, envolvendo integrais elípticas completas de primeira espécie com diferentes argumentos. Esses resultados não apenas enriquecem a análise matemática, como também oferecem insights adicionais sobre a estrutura do problema físico.

Um comentário adicional, dirigido especialmente aos estudantes que estão cursando (ou já cursaram) a disciplina de Física Matemática – na qual se estuda, entre outros tópicos, as propriedades das funções de Bessel – diz respeito a um equívoco presente no capítulo 11 da Ref. [²⁶]. Esse erro, infelizmente, tem sido reproduzido em outras obras da área, como indicado também na Ref. [²⁷]. No problema 11.1.28, os autores propõem que os leitores demonstrem que o potencial elétrico gerado por um disco condutor com carga total Q, distribuição de carga homogênea e raio a, em um ponto arbitrário do espaço, é dado pela expressão:

(2) $$\text{Φ}(\rho ,z)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{o}a}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}{e}^{-k\left|z\right|}{J}_o(k\rho )\frac{\sin (ka)}{k}dk,$$

onde J_o(x) é a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero, e (ρ, z) são coordenadas cilíndricas.

Contudo, conforme mostraremos neste trabalho, a expressão apresentada em (2) não corresponde ao potencial de um disco com distribuição homogênea de carga. Na verdade, essa fórmula está associada ao caso de um disco com distribuição não-homogênea, cuja densidade superficial de carga é dada por: $\sigma (\rho )=\frac{Q}{2\pi a}\frac{1}{\sqrt{a^2-{\rho }^2}}$, onde ρ ∈ [0, a] é a coordenada radial cilíndrica que mede a distância de um ponto no disco até seu centro. Essa distribuição corresponde a um disco equipotencial, como discutido em mais detalhes, por exemplo, na monografia Mixed Boundary Value Problems in Potential Theory [²⁸].

Portanto, a equação proposta no problema 11.1.28 da Ref. [²⁶] está incorretamente atribuída ao caso do disco com carga homogênea. O autor, ao sugerir essa forma de potencial, comete um engano conceitual que merece ser corrigido.

Considerando a experiência em sala de aula e as dificuldades recorrentes enfrentadas pelos estudantes, propomos uma reflexão sobre a estrutura curricular adotada na maioria dos cursos de Física, especificamente no que diz respeito ao oferecimento da disciplina de Eletromagnetismo I. Atualmente, é comum que Eletromagnetismo I seja ministrada no quinto período do curso.

No entanto, nesse estágio da formação, muitos alunos ainda não tiveram contato suficiente com as ferramentas matemáticas avançadas, como as funções especiais (por exemplo, funções de Bessel, Legendre e integrais elípticas), que são fundamentais para o tratamento rigoroso de problemas eletromagnéticos em geometrias realistas. Dessa forma, recomendamos que a disciplina de Eletromagnetismo I seja realocada para o sexto período, preferencialmente após os estudantes terem cursado Física Matemática , disciplina na qual essas ferramentas são introduzidas e desenvolvidas com a profundidade necessária.

Essa reorganização permitiria um maior aprofundamento conceitual e matemático no estudo da teoria eletromagnética, favorecendo tanto a compreensão física quanto a capacidade de resolução analítica dos problemas típicos da área. Tal adequação curricular pode contribuir significativamente para a formação mais sólida dos alunos, promovendo uma integração mais eficaz entre a matemática aplicada e os fundamentos físicos, além de evitar lacunas conceituais que frequentemente comprometem o aprendizado nesta etapa crítica da graduação.

O problema do disco carregado com densidade homogênea é de grande relevância não apenas do ponto de vista matemático na eletrostática, mas também por suas diversas aplicações em contextos físicos reais que envolvem geometrias discoidais. Embora muitos corpos astronômicos – como estrelas, planetas e algumas galáxias – apresentem simetria aproximadamente esférica, há também uma ampla classe de objetos cuja geometria se assemelha à de um disco. Entre esses, destacam-se as galáxias espirais com barra central (como a própria Via Láctea), os anéis de Saturno – que podem ser modelados como discos com um vazio central – e os discos protoplanetários , compostos por gás e poeira que orbitam estrelas jovens e alimentam seu crescimento.

A modelagem e análise dos campos gravitacionais gerados por tais estruturas discoidais têm recebido considerável atenção na literatura científica [²⁹,³⁰,³¹,³²,³³,³⁴,³⁵,³⁶,³⁷,³⁸]. Esse interesse se justifica pelo impacto direto dessas distribuições de massa na dinâmica orbital de corpos celestes, na formação de planetas e na estrutura galáctica. Motivados por essa ampla gama de aplicações, adotamos neste trabalho o estudo do modelo do disco carregado – análogo eletrostático ao disco massivo – como uma abordagem didática e conceitualmente rica para explorar soluções com simetria axial e técnicas matemáticas avançadas.

Outro aspecto de interesse prático no modelo do disco carregado é a sua utilidade como aproximação eficaz para o confinamento de elétrons em diversas estruturas e materiais nanoestruturados, como nanofios e nanotubos. Em muitos desses sistemas, as distribuições de carga ou de dipolos induzem potenciais eletrostáticos com simetrias e perfis similares aos gerados por um disco carregado [³⁹, ⁴⁰].

Além disso, o modelo tem se mostrado útil em áreas como a físico-química de coloides, sendo empregado para descrever estruturas coloidais e também em sistemas biológicos [⁴¹,⁴²,⁴³,⁴⁴]. Em particular, muitas macromoléculas biológicas, como proteínas, DNA e micelas, bem como sistemas com eletrólitos contendo partículas grandes e carregadas, podem ser aproximados, sob certas condições, por distribuições de carga com geometria semelhante à de um disco.

Outro campo de aplicação importante é o da física da matéria condensada, onde o modelo do disco carregado tem sido empregado na descrição do efeito Hall quântico fracionário. Nesse contexto, ele auxilia na modelagem da neutralização de cargas positivas em sistemas eletrônicos bidimensionais, desempenhando um papel relevante na compreensão das interações eletrostáticas nesses sistemas [⁴⁵,⁴⁶,⁴⁷,⁴⁸,⁴⁹].

Uma motivação adicional para o estudo dos potenciais eletrostáticos gerados por discos e anéis carregados em pontos fora do eixo de simetria está na sua análise computacional, que oferece uma rica oportunidade de integração entre teoria e simulação numérica. No ensino contemporâneo da Física – e das Ciências em geral – é fundamental incorporar atividades mediadas por recursos tecnológicos e ferramentas multimídia. Essa abordagem permite aos estudantes explorarem problemas mais complexos e realistas, aproximando o aprendizado dos fenômenos observados no cotidiano e no mundo natural.

Conforme discutido anteriormente, um problema aparentemente simples e de natureza acadêmica – pouco explorado nos livros-texto tradicionais de Eletromagnetismo [⁶,⁷,⁸,⁹,¹⁰, ¹¹,¹², ¹³,¹⁴,¹⁵,¹⁶] – pode servir de base para a modelagem de uma ampla gama de fenômenos físicos reais. Neste sentido, espera-se que o presente trabalho seja de interesse não apenas no contexto didático, mas também como referência para aplicações futuras em pesquisas científicas, envolvendo distribuições de carga com simetria circular, como discos e anéis carregados.

Neste estudo, exploraremos em detalhes os aspectos teóricos e computacionais associados ao cálculo do potencial eletrostático Φ(ρ, z) gerado por discos e anéis carregados com diferentes distribuições de carga superficial. A abordagem utilizada inclui tanto o tratamento analítico com funções especiais quanto a implementação numérica das integrais envolvidas, com o auxílio da linguagem de programação Python. Recomendamos, para os leitores interessados em uma introdução prática ao uso de Python e suas principais bibliotecas científicas, o trabalho recentemente publicado nesta mesma revista [⁵⁰].

Este artigo está estruturado da seguinte forma: Na Seção 2, trataremos do cálculo direto do potencial Φ(ρ, z), em um ponto arbitrário do espaço, utilizando o chamado método da “força bruta”, que consiste na resolução numérica das integrais. Neste contexto, expressaremos as equações em termos de integrais elípticas de primeira espécie. Serão considerados dois tipos de distribuição de carga superficial sobre o disco: uma homogênea, σ = Q/(πa²), uma não-homogênea, dada por $\sigma (\rho )=\frac{Q}{2\pi a}\frac{1}{\sqrt{a^2-{\rho }^2}}$. Na Seção 3, abordaremos o mesmo problema sob uma perspectiva distinta, utilizando funções especiais, como os polinômios de Legendre e as funções de Bessel, para obter representações analíticas do potencial. Apresentaremos, inclusive, identidades não usuais que estabelecem a equivalência entre os dois métodos – o direto e o baseado em expansão em autofunções. Na Seção 4, apresentaremos nossas considerações finais, destacando os pontos mais relevantes da análise e sugerindo possíveis extensões e aplicações do modelo para problemas reais em Física e áreas correlatas.

2. Método Direto: Integrais Elípticas

Considere o problema de um disco de carga Q e raio a com uma distribuição superficial de carga não homogênea σ(ρ). Desejamos calcular o potencial eletrostático criado por tal disco em algum ponto localizado em $\overrightarrow{r}=(x,y,z)$, onde o eixo z corresponde ao eixo de simetria do disco, e os eixos x e y formam o plano do disco e a origem do sistema de coordenadas cartesianas é escolhido no centro do disco. O vetor posição em um sistema de coordenadas cilíndricas é escrito como $\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}=\overrightarrow{\rho }+z\overrightarrow{k}=(\overrightarrow{\rho },z)$, onde $\overrightarrow{\rho }=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$ é um vetor bidimensional no plano xy e $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, e $\overrightarrow{k}$ são os vetores unitários do sistema de coordenadas cartesiana, respectivamente, nas direções x, y e z.

No sistema de coordenadas cilíndricas temos que x = ρ cos⁡(φ) e y = ρ sin⁡(φ), onde $\rho =\left|\overrightarrow{\rho }\right|$. Como o problema tem simetria axial, o potencial eletrostático criado pelo disco carregado não homogeneamente, com densidade σ(ρ), depende apenas das coordenadas cilíndricas ρ e z, e não do ângulo polar φ. O ponto de partida para se calcular o potencial eletrostático, criado por tal distribuição de carga, em algum ponto no espaço $(\overrightarrow{\rho },z)$ é obtida através da seguinte expressão [⁶,⁷,⁸,⁹,¹⁰, ¹¹,¹², ¹³,¹⁴,¹⁵,¹⁶]:

(3) $$\text{Φ}(\rho ,z)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\int \frac{dq}{\left|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }\right|},$$

onde ${\overrightarrow{r}}^{{}^{\prime }}=({\overrightarrow{\rho }}^{{}^{\prime }},0)$ é um vetor bidimensional no plano do disco e dq = σ(ρ′)ρ′dρ′dφ′ é uma carga elementar em algum ponto ${\overrightarrow{r}}^{{}^{\prime }}$ do disco. Para o caso do anel temos dq = λadφ′, ou podemos usar o cálculo do potencial do disco e substituir σ(ρ′) = λδ(ρ′ − a) (λ = Q/(2πa)).

2.1. Disco carregado

Devido à simetria axial do sistema, podemos, sem perda de generalidade, escolher o vetor posição do ponto de observação $\overrightarrow{r}$ de modo que ele pertença ao plano xz, o que equivale a fixar o ângulo azimutal φ = 0. Essa escolha simplifica a análise sem alterar a generalidade do resultado, pois a distribuição de carga no disco é simetricamente distribuída em torno do eixo z.

Com essa convenção, reescrevemos a expressão do potencial elétrico Φ(ρ, z), originalmente dada pela Eq. (3), na seguinte forma integral:

(4) $$\text{Φ}(\rho ,z)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\underset{0}{\overset{a}{{\displaystyle \int }}}\sigma ({\rho }^{\prime }){\rho }^{\prime }d{\rho }^{\prime }\cdot \underset{0}{\overset{2\pi }{{\displaystyle \int }}}\frac{d{\phi }^{\prime }}{\sqrt{{\rho }^2+{{\rho }^{\prime }}^2+z^2-2\rho {\rho }^{\prime }\cos ({\phi }^{\prime })}},$$

onde φ′ é o ângulo polar de ${\overrightarrow{\rho }}^{{}^{\prime }}$ (ou equivalente ao ângulo entre ${\overrightarrow{\rho }}^{{}^{\prime }}$ e $\overrightarrow{\rho }$: ${\overrightarrow{\rho }}^{{}^{\prime }}.\overrightarrow{\rho }=\rho {\rho }^{{}^{\prime }}\cos ({\phi }^{{}^{\prime }})$). Esta formulação destaca explicitamente como a simetria do sistema permite reduzir a dependência angular, simplificando futuros passos de integração, especialmente ao lidar com distribuições de carga radiais.

Introduzindo a nova variável de integração θ, definida por φ′ = π + 2θ, podemos reescrever a Eq. (4) para o potencial elétrico Φ(ρ, z) como

$$\text{Φ}(\rho ,z)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sigma ({\rho }^{\prime }){\rho }^{\prime }d{\rho }^{\prime }\cdot \underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{2d\theta }{\sqrt{{(\rho +{\rho }^{\prime })}^2+z^2-4\rho {\rho }^{\prime }{\sin }^2(\theta )}},$$

Essa mudança de variável tem a vantagem de simetrizar o integrando angular, facilitando sua identificação com a forma padrão de uma integral elíptica de primeira espécie. Assim, podemos expressar o potencial de forma mais compacta por

(5) $$\text{Φ}(\rho ,z)=\frac{1}{\pi {\epsilon }_o}\underset{0}{\overset{a}{{\displaystyle \int }}}\frac{\sigma ({\rho }^{\prime }){\rho }^{\prime }K[m({\rho }^{\prime },\rho ,z)]}{\sqrt{{(\rho +{\rho }^{\prime })}^2+z^2}}d{\rho }^{\prime },$$

sendo

(6) $$K(m)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{{\displaystyle \int }}}\frac{d\theta }{\sqrt{1-m{\sin }^2(\theta )}}=\underset{0}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-m{t}^2)}},$$

a integral elíptica de primeira espécie [²⁶] válida para 0 ≤ m ≤ 1, e o parâmetro m depende das coordenadas cilíndricas e da variável de integração radial

(7) $$m\equiv m({\rho }^{\prime },\rho ,z)=\frac{4\rho {\rho }^{\prime }}{{(\rho +{\rho }^{\prime })}^2+z^2}.$$

A integral elíptica K(m) possui comportamentos assintóticos bem definidos que serão úteis em diversas aproximações ao longo da análise [²⁶]. Em particular, seus limites para m → 0 e m → 1 são

(8) $$K(m)\simeq \left\{\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\left[1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}m+{\left(\frac{1.3}{2.4}\right)}^2{m}^2+\text{…}\right]\text{,}m\to 0\\ \ln \left(\frac{4}{\sqrt{1-m}}\right)\simeq -\frac{1}{2}\ln (1-m),m\to 1\end{array}\right.,$$

Essas expressões mostram, em particular, que K(0) = π/2 e K(1) = ∞.

A integração exata da expressão geral do potencial, dada pela Eq. (5), para uma densidade de carga superficial arbitrária σ(ρ′), é em geral extremamente complexa – e, em muitos casos, praticamente impossível de ser realizada analiticamente. No entanto, essa dificuldade pode ser contornada em situações de alta simetria ou para distribuições de carga específicas.

Um caso particularmente simples ocorre ao se considerar o potencial ao longo do eixo de simetria do sistema, isto é, quando ρ = 0 (ou equivalentemente u = ρ/a = 0). Para este ponto especial, a geometria do problema simplifica-se substancialmente, permitindo o cálculo exato da integral em Eq. (5) quando a densidade superficial de carga é constante, ou seja, para uma distribuição homogênea σ = Q/πa². Neste cenário, o potencial V(z) ≡ Φ(0, z) reduz-se à segunda expressão da Eq. (1), a qual é usualmente discutida na disciplina de Física 3 nos cursos básicos de ciências exatas.

Outro caso notável que admite uma solução exata ao longo do eixo de simetria corresponde à distribuição não-homogênea (equipotencial), descrita pela densidade superficial de carga $\sigma (\rho )=\frac{Q}{2\pi a}\frac{1}{\sqrt{a^2-{\rho }^2}}$, a qual modela um disco condutor carregado. Para essa distribuição, o potencial ao longo do eixo pode ser calculado exatamente e resulta na expressão [¹⁴]:

(9) $$V(z)=\frac{V_o}{2}\arctan (a/z),$$

em que $V_o=\frac{Q}{2\pi {\epsilon }_{o}a}$ representa a constante característica do sistema. Notavelmente, esta expressão mostra que o potencial é finito na origem e se comporta de forma assintótica como $V(z)\simeq \frac{a{V}_o}{2z}$ para grandes valores de z (z ＞＞ a). No plano do disco (z = 0), o potencial assume o valor $V(0)=\frac{\pi V_o}{4}$, confirmando que o disco está, de fato, em um potencial constante, como esperado para uma superfície equipotencial condutora.

Esse conjunto de soluções exatas fornece uma excelente oportunidade didática, especialmente apropriada para o curso de eletromagnetismo na graduação em Física, pois permite explorar conceitos como simetria, mudança de variáveis e técnicas de integração aplicadas a sistemas fisicamente relevantes.

Fora do eixo de simetria, o cálculo do potencial gerado por distribuições de carga em geometrias circulares – como anéis ou discos – torna-se mais complexo e, por isso, costuma ser tratado apenas no ciclo profissional do curso de graduação em Física. Nessa fase da formação, os estudantes aprendem a utilizar ferramentas matemáticas mais avançadas, como as funções especiais de Legendre (em problemas com simetria esférica) e de Bessel (para simetria cilíndrica), que são particularmente adequadas para resolver equações diferenciais associadas ao potencial elétrico em coordenadas curvilíneas. No entanto, raramente se faz uso de integrais elípticas nesses contextos, apesar de sua utilidade e aplicabilidade em geometrias circulares planas.

Como veremos adiante, para o caso específico da distribuição de carga não-homogênea equipotencial sobre um disco condutor, a superfície do disco – isto é, o plano z = 0 e 0 ≤ ρ ≤ a – constitui uma equipotencial com valor constante V = πV_o/4. Porém, na região externa ao disco, isto é, para ρ ＞ a, o potencial passa a decrescer monotonicamente com a distância radial ρ, evidenciando a dissipação do potencial elétrico no espaço. No limite em que ρ ＞＞ a, o sistema passa a se comportar como uma carga puntiforme, e o potencial tende ao comportamento assintótico clássico: $\mathrm{\Phi }(\rho ,0)\to \frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{Q}{\rho }$, confirmando que, a grandes distâncias, o detalhe da distribuição de carga torna-se irrelevante e o campo gerado é indistinguível daquele produzido por uma partícula pontual com carga total Q.

2.1.1. Distribuição homogênea de carga

Para o caso particular em que a densidade superficial de carga é constante, ou seja, σ = Q/πa², a expressão do potencial eletrostático gerado por um disco carregado de raio a em um ponto arbitrário no espaço, caracterizado pelas coordenadas cilíndricas $(\overrightarrow{\rho },z)$, pode ser escrita como uma representação integral baseada na superposição de elementos de carga distribuídos sobre o disco. A forma integral da expressão do potencial (5) é dada por

(10) $$\text{Φ}(u,z)=\frac{2V_o}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}\frac{u^{\prime }K[\overline{m}(u^{\prime },u,\overline{z})]}{\sqrt{{(u+u^{\prime })}^2+{\overline{z}}^2}}d{u}^{\prime },$$

sendo

(11) $$\overline{m}(u^{\prime },u,\overline{z})=\frac{4u{u}^{\prime }}{{(u+u^{\prime })}^2+{\overline{z}}^2},$$

onde u = ρ/a , u′ = ρ′/a e $\overline{z}=z/a$ são variáveis adimensionais e $V_o=\mathrm{\Phi }(0,0)=\frac{Q}{2\pi {\epsilon }_{o}a}$ é o potencial na origem do sistema de coordenadas (centro do disco). Essa integral leva em conta a contribuição de cada elemento infinitesimal de carga dq = σ ρ′dρ′dφ′ distribuído ao longo do disco. A complexidade da integral está na dependência angular dentro da raiz quadrada no denominador, o que, em geral, impede uma solução analítica simples para pontos fora do eixo de simetria (ρ ≠ 0).

No caso específico do plano z = 0, a Eq. (10) simplifica-se significativamente, reduzindo-se a uma forma particular que já foi amplamente discutida na literatura especializada sobre potenciais eletrostáticos gerados por distribuições circulares de carga [²¹, ²²]. Essa forma reduzida permite uma análise mais direta do comportamento do potencial no próprio plano da distribuição, especialmente em torno da borda do disco, onde no cado do anel ocorrem singularidades em ρ = a.

Neste estágio do estudo, a expressão do potencial foi reduzida ao máximo possível, proporcionando uma formulação simplificada que facilita a compreensão do comportamento do sistema. No entanto, um avanço adicional no entendimento do problema exige a avaliação da integral elíptica K(m), que aparece naturalmente na expressão do potencial do anel e do disco. Como muitos alunos podem não estar familiarizados com as funções elípticas, uma abordagem numérica é uma alternativa adequada para contornar essa dificuldade.

Neste ponto, o objetivo não é obter uma precisão extremamente alta na avaliação da integral, mas obter uma aproximação que permita explorar e compreender o comportamento qualitativo do potencial eletrostático em função de u e para alguns valores específicos de z. Essa abordagem numérica oferece uma forma prática de calcular os potenciais sem a necessidade de uma solução analítica exata, que pode ser difícil de obter devido à complexidade das funções envolvidas.

Embora muitos trabalhos científicos tenham discutido extensivamente os métodos numéricos aplicados na física [⁵¹,⁵²,⁵³,⁵⁴,⁵⁵.⁵⁶], nossa intenção aqui não é explorar detalhadamente essas técnicas, mas sim apontar que elas são ferramentas essenciais para lidar com problemas complexos como o presente. Para os leitores interessados em se aprofundar nesses métodos, diversas referências didáticas estão disponíveis na literatura, que abordam desde os fundamentos dos métodos numéricos até suas aplicações específicas em problemas eletrostáticos, como é o caso deste estudo.

Dessa forma, ao adotar uma abordagem numérica, conseguimos obter resultados práticos que fornecem insights valiosos sobre o comportamento do sistema, mesmo sem uma solução analítica exata, refletindo uma aplicação útil dos métodos computacionais na física teórica.

Para pontos localizados sobre o eixo de simetria (ρ = 0), a variável de módulo da integral elíptica assume o valor $\overline{m}(u^{{}^{\prime }},0,\overline{z})=0$. Isso decorre diretamente da definição de m dada pela Eq. (11), a qual envolve a coordenada ρ, e que, ao ser nulo, anula o valor de m. Utilizando a propriedade conhecida das integrais elípticas completas da primeira espécie – conforme descrito na Eq. (8) – temos que: K(0) = π/2. Substituindo esse resultado na expressão geral do potencial dada pela Eq. (10), obtemos uma forma particularmente simples para o potencial ao longo do eixo de simetria (1). Portanto, a expressão do potencial do anel sobre o eixo de simetria será dada por

(12) $$\begin{array}{lll}V(z)\equiv \text{Φ}(u=0,z)\hfill & =\hfill & V_o\underset{0}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}\frac{u^{\prime }}{\sqrt{{u^{\prime }}^2+{\overline{z}}^2}}du\hfill \\ \hfill & =\hfill & V_o\left(\sqrt{1+{\overline{z}}^2}-\left|\overline{z}\right|\right)\hfill \end{array}$$

após substituir $V_o=\frac{Q}{2\pi {\epsilon }_{o}a}$. Essa é justamente a expressão do potencial gerado por um anel de raio a e carga Q, avaliado ao longo do eixo de simetria do anel – um resultado clássico que serve como verificação da consistência das expressões mais gerais.

A resolução numérica da integral apresentada na expressão do potencial eletrostático (10) pode ser realizada de maneira eficiente utilizando ferramentas computacionais apropriadas. Neste trabalho, empregamos a linguagem de programação Python, especificamente utilizando bibliotecas científicas como SciPy e NumPy, que oferecem funções robustas para a integração numérica de expressões complexas.

Na Figura 1, apresentamos os resultados obtidos numericamente para a integral (10), onde mostramos o comportamento do potencial eletrostático normalizado V(u, z) ≡ Φ(u, z)/Φ(0, 0) em função da distância radial adimensional u = ρ/a, para diferentes valores fixos da coordenada normalizada $\overline{z}$. Os valores de z/a utilizados nos cálculos foram $\overline{z}=$ (a) 0.0,(b) 0.2, (c) 0.5, e (d) 1.0, conforme indicados na legenda da figura.

Figura 1
Comportamento do potencial elétrico normalizado V(u, z) = Φ(u, z)/Φ(0, 0) de um disco com distribuição de carga homogênea em função da distância radial normalizada u = ρ/a para valores de $\overline{z}=z/a$ (a) 0 (plano do disco), (b) 0.2, (c) 0.5, e (d) 1.0.

A análise gráfica da Figura 1 revela que, para todos os valores de $\overline{z}$ considerados, o potencial V(u, z) apresenta um comportamento monotonicamente decrescente à medida que a distância radial ρ (ou u = ρ/a), aumenta. Isso significa que, ao nos afastarmos do centro do disco no plano xy, o valor do potencial vai diminuindo gradualmente. Para regiões muito afastadas do disco, ou seja, quando ρ ＞＞ a (u ＞＞ 1), o potencial tende a se comportar como o campo gerado por uma carga pontual localizada na origem, conforme descrito pela expressão aproximada: $V(u\gg 1,z)\simeq \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{o}r}$, com $r=\sqrt{{\rho }^2+z^2}$, o que está de pleno acordo com as previsões físicas, já que a distribuição de carga, vista de longe, se assemelha a uma carga concentrada. Adicionalmente, destacamos um aspecto importante do comportamento do potencial no plano do disco, isto é, na região onde z = 0 e 0 ≤ ρ ≤ a. Observa-se que o potencial não é constante ao longo desse plano, o que implica que a superfície do disco não constitui uma equipotencial. Ao contrário, o potencial decresce conforme a distância radial aumenta, ou seja, é mais intenso próximo ao centro do disco e mais fraco nas bordas.

2.1.2. Distribuição não-homogênea de carga

Determinar a densidade de carga superficial correspondente a uma superfície equipotencial é, em geral, um problema altamente complexo e que raramente admite uma solução analítica exata. De fato, esse tipo de problema só pode ser resolvido de forma exata em alguns poucos casos altamente simétricos e idealizados [⁸]. Um exemplo clássico de caso especial em que uma solução analítica é possível envolve um disco condutor isolado de raio a, sobre o qual se distribui uma carga total Q. Neste cenário idealizado, assume-se que a superfície do disco é equipotencial, condição que impõe uma distribuição de carga não uniforme ao longo do disco. Neste caso particular, demonstra-se [²⁸] que a densidade superficial de carga no equilíbrio eletrostático, σ₁(ρ), depende da distância radial ρ ao centro do disco e é dada pela expressão:

(13) $${\sigma }_1(\rho )=\frac{Q}{2\pi a}\frac{1}{\sqrt{a^2-{\rho }^2}},$$

onde $Q=\underset{0}{\overset{a}{\int }}2\pi {\rho }^{{}^{\prime }}{\sigma }_1({\rho }^{{}^{\prime }})\mathit{d}{\rho }^{{}^{\prime }}$é a carga total do disco, sendo o potencial constante e igual a V(0) sobre a superfície do disco (0 ≤ ρ ≤ a).

Vamos analisar alguns valores específicos da densidade de carga de equilíbrio do disco condutor, conforme a expressão (13): i) No centro do disco (ρ = 0), a densidade de carga assume o valor finito ${\sigma }_1(0)=\frac{1}{2}\frac{Q}{\pi a^2}$, ou seja, exatamente a metade da densidade correspondente à distribuição homogênea; ii) Nas bordas do disco (ρ → a⁻), a densidade de carga apresenta uma divergência, σ₁(ρ → a⁻) → ∞. Isso indica uma forte acumulação de carga elétrica próxima à periferia do disco, característica típica de condutores com bordas.

Por outro lado, se considerarmos uma distribuição superficial de carga homogênea, a densidade de carga σ é constante em toda a superfície e vale $\sigma =\frac{Q}{\pi a^2}$. É evidente, portanto, a diferença fundamental entre essas duas distribuições. No caso da densidade de equilíbrio σ₁(ρ), a carga não se distribui uniformemente, mas sim de forma monotonamente crescente com a distância ao centro. Começa em ${\sigma }_1(0)=\frac{\sigma }{2}$ no centro do disco e cresce continuamente até divergir nas bordas ρ = a. Esse comportamento reflete o efeito das condições de contorno eletrostáticas e a tendência das cargas livres em condutores de se acumularem nas extremidades, resultando em uma distribuição altamente não uniforme. Tal resultado serve como um importante exemplo de como condições de contorno e simetria influenciam diretamente a forma da distribuição de carga.

Substituindo a distribuição superficial de carga de equilíbrio (13) na expressão geral do potencial com simetria axial (5), ficamos com

(14) $${\text{Φ}}_1(u,z)=\frac{V_o}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}\frac{u^{\prime }K[\overline{m}(u^{\prime },u,\overline{z})]}{\sqrt{1-{u^{\prime }}^2}\sqrt{{(u+u^{\prime })}^2+{\overline{z}}^2}}d{u}^{\prime },$$

onde o potencial na superfície do disco é ${\mathrm{\Phi }}_1(0\le \rho \le a,0)\equiv V=\frac{\pi Vo}{4}$ que é menor do que o valor do potencial do disco com carga homogênea na origem (Φ_disco(0, 0) = V_o). Usamos aqui as notações V(u, z) e V₁(u, z) ≡ Φ₁(u, z)/Φ₁(0, 0) para referirem-se as expressões dos potenciais do disco com distribuições de carga homogênea e não-homogênea (distribuição de carga superficial dada pela Eq. (13)), respectivamente.

Neste estágio, parece que a abordagem direta padrão nos trouxe a algum incipiente matemático hostil. Mas do ponto de vista numérico, tanto a integral na expressão (10) como na expressão (14) são relativamente simples de se resolverem com poucos recursos computacionais. Apesar dos estudantes de graduação não estarem familiazarizados, na sua grande maioria, com este tipo de abordagem, certamente, eles deverão se esforçar para aprender usar métodos numéricos nos problemas de física (o tal curso de física computacional é uma oportunidade de serem abordados). No caso específico no campo da eletrostática, diversos métodos numéricos têm sido discutidos na literatura [⁵¹,⁵²,⁵³,⁵⁴,⁵⁵.⁵⁶].

Sobre o eixo de simetria ($\rho =0\to \overline{m}=0$), a expressão (14) fica reduzida a forma

$$V(z)={\text{Φ}}_1(0,z)=\frac{V_o}{2}\underset{0}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}\frac{u^{\prime }d{u}^{\prime }}{\sqrt{1-{u^{\prime }}^2}\sqrt{{u^{\prime }}^2+{\overline{z}}^2}}.$$

Para resolver a integral acima, façamos primeiro a substituição de variável $t=\sqrt{1-u^{{}^{\prime }2}}$, t → [1, 0], obtendo

$$V(z)=\frac{V_o}{2}\underset{0}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}\frac{dt}{\sqrt{1+{\overline{z}}^2-t^2}},$$

e depois a substituição trigonométrica $t=\sqrt{1+{\overline{z}}^2}\sin \theta$, θ → [0, θ₁], onde θ₁ = arctan⁡(a/z), resultando em

$$V(z)=\frac{V_o}{2}\underset{o}{\overset{{\theta }_1}{{\displaystyle \int }}}d\theta =\frac{V_o{\theta }_1}{2}=\frac{V_o}{2}\arctan (a/z).$$

Aqui, ressaltamos a simplicidade do cálculo necessário para derivar a expressão do potencial V(z) apresentada acima, em contraste com a complexidade excessiva das operações matemáticas realizadas por Kleber Machado em seu livro de Eletromagnetismo [¹⁴], onde uma série de transformações e manipulações algébricas são empregadas de forma a tornar o processo de obtenção da mesma expressão substancialmente mais complicado. Enquanto o método que utilizamos é direto e eficiente, aproveitando simplificações naturais da equação, o autor no referido livro faz uso de uma abordagem mais extensa, possivelmente gerando maior confusão sem adicionar valor significativo à compreensão do fenômeno em questão.

Na Figura 2, apresentamos as curvas do potencial V₁(u, z) como função de u para diferentes valores de $\overline{z}$, especificamente para $\overline{z}=$ (a) 0.0, (b) 0.2, (c) 0.5, e (d) 1, 0. Para $\overline{z}=0$, observamos que na superfície do disco, onde 0 ≤ u ≤ 1, o potencial é constante e igual a V₁ = 1.0. À medida que $\overline{z}$ aumenta, o potencial decresce monotonicamente tanto com u quanto com $\overline{z}$. Essa variação é refletida nas diferenças de densidade de carga, que influenciam diretamente o comportamento dos dois potenciais eletrostáticos V(u, z) e V₁(u, z), conforme ilustrado nas Figuras 1 e 2. Para pontos distantes do disco, ou seja, quando $r=\sqrt{{\rho }^2+z^2}\gg a$, os dois potenciais V₁(u ＞＞ 1, z) e V(u ＞＞ 1, z) convergem assintoticamente para o valor do potencial de uma carga puntiforme. Essa aproximação é dada por $V_1(u\gg 1,z)\approx V(u\gg 1,z)\simeq \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{o}r}$, o que está em concordância com as expectativas físicas para potenciais de cargas puntiformes.

Figura 2
Comportamento do potencial elétrico normalizado V₁(u, z) = Φ₁(u, z)/Φ₁(0, 0) de um disco com distribuição de carga não-homogênea (densidade $\sigma (\rho )=\frac{Q}{2\pi a}\frac{1}{\sqrt{a^2-{\rho }^2}}$) em função da distância radial normalizada u = ρ/a para valores de $\overline{z}=z/a$ (a) 0 (plano do disco), (b) 0.0, (c) 0.5 e (d) 1.0.

A distribuição de carga foi escolhida de forma a tornar o disco equipotencial, ou seja, o potencial gerado por ela é constante sobre toda a sua superfície. Essa configuração corresponde à solução clássica do problema de equilíbrio eletrostático de um disco condutor, onde a carga se distribui de maneira que todo ponto da superfície do condutor (a superfície do disco) esteja no mesmo potencial. Essa distribuição é necessária para satisfazer as condições de equilíbrio eletrostático em condutores, onde não há variação de potencial em regiões condutoras em equilíbrio.

2.2. Anel carregado

Se, no lugar do disco, tivermos um anel de carga Q e raio a, a adaptação dos cálculos anteriores é imediata, bastando substituir a densidade de carga superficial por σ(ρ′) = λδ(ρ′ − a), onde λ = Q/(2πa) é a densidade linear de carga associada ao anel. Essa modificação resulta na seguinte expressão para o potencial gerado pelo anel [¹⁸, ²⁰, ²³]:

(15) $${\text{Φ}}_{\text{anel}}(u,z)=\frac{V_o}{\pi }\frac{K[\overline{m}(1,u,\overline{z})]}{\sqrt{{(u+1)}^2+{\overline{z}}^2}}.$$

No ponto de origem do sistema de coordenadas (centro do anel: ρ = 0, z = 0), o potencial é dado por ${\mathrm{\Phi }}_{\text{anel}}(0,0)=V_o/2=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{o}a}$. Esse valor corresponde ao potencial na origem, que é metade do valor do potencial do disco na mesma posição, ou seja, Φ_anel(0, 0) = Φ_disco(0, 0)/2 = V_o/2. Esse resultado é diretamente derivado da Eq. (1), que descreve o potencial do disco sobre o eixo de simetria. Além disso, no plano $\overline{z}=0$, a expressão (15) já foi discutida em várias referências da literatura científica [²¹, ²²].

Finalmente, sobre o eixo de simetria, onde $u=0\to \overline{m}=0$, a expressão (15) se reduz ao potencial V(z) do anel, conforme dado pela Eq. (1), o que reflete o comportamento do potencial ao longo do eixo de simetria do sistema.

Resolvendo numericamente a integral elíptica $K[\overline{m}(a,u,\overline{z})]$, definida pela expressão (6), mostramos na Figura 3 os comportamentos do potencial do anel (15), normalizado, V_anel(u, z) = Φ_anel(u, z)/Φ_anel(0, 0), como função de u para vários valores de $\overline{z}=$ (a) 0.0,(b) 0.2,(c) 0.5, e (d) 1.0.

Na Figura 3, observa-se uma divergência do potencial para $\overline{z}=0$ quando u → 1^±, ou seja, Φ_anel(u → 1^±, 0) → ∞, que corresponde a pontos sobre a circunferência ρ = a, onde a carga do anel está distribuída. Para analisar o comportamento assintótico do potencial quando u → 1^± (o que corresponde a m → 1) utilizamos a expansão assintótica (8) para a integral elíptica no limite $m=\frac{4u}{{\left(1+u\right)}^2}\to 1$. Com isso, obtemos a seguinte expressão para o potencial do anel ao redor do ponto u = 1:

Figura 3
Comportamento do potencial elétrico normalizado V_anel(u, z) = Φ_anel(u, z)/Φ_anel(0, 0) de um anel em função da distância radial normalizada u = ρ/a para valores de $\overline{z}=z/a$ (a) 0.0 (plano do disco), (b) 0.2, (c) 0.5 e (d) 1.0.

(16) $${\text{Φ}}_{\text{anel}}(u\to 1,0)\simeq \frac{V_o}{\pi }\frac{\ln (4/\sqrt{1-m})}{u+1}\to -\frac{V_o}{2\pi }\ln (1-u).$$

Essa expressão revela uma divergência logarítmica do potencial do anel em ρ = a (u = 1), caracterizando o comportamento singular do potencial na borda da distribuição de carga do anel.

Para $\overline{z}\ne 0$, o comportamento do potencial é diferente. O potencial cresce monotonicamente na região 0 ≤ u < 1, atinge um ponto de máximo em torno de u = 1 e, após esse ponto, decresce à medida que a distância radial normalizada u aumenta. Quando $\overline{z}$ é maior, ou seja, quando o ponto de observação está mais afastado do anel, o valor do potencial V_anel(u, z) diminui. Esse comportamento reflete o fato de que, quanto mais distante o ponto de observação, menor a contribuição do anel para o potencial em questão.

O comportamento observado no potencial do anel, que se torna infinito sobre a linha de carga (i. e., em z = 0, ρ = a), ocorre porque o modelo de carga linear concentra toda a carga em uma linha de dimensão zero de espessura. No caso de uma carga distribuída de forma linear, como no anel, o integrando na equação do potencial(3), dada pela diferença $\left|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{{}^{\prime }}\right|$, tende a zero quando estamos sobre a linha de carga ($\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}^{{}^{\prime }}$). Isso leva a uma divergência do potencial, pois a carga é “infinitamente concentrada” ao longo dessa linha, gerando uma singularidade no ponto de observação. Esse tipo de comportamento é típico de distribuições de carga idealizadas que têm uma dimensão menor do que o espaço onde a carga está localizada – como ocorre em cargas lineares (anel), ou em cargas pontuais.

Por outro lado, para um disco carregado de raio a, a carga está distribuída sobre uma área, ou seja, a distribuição é bidimensional, com densidade superficial de carga σ. Mesmo que o ponto de observação esteja sobre a superfície do disco, a distância $\left|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{{}^{\prime }}\right|$ entre o ponto de observação ($\overrightarrow{r}=\overrightarrow{\rho }$) e os elementos de carga dq = σdA localizados em ${\overrightarrow{r}}^{{}^{\prime }}$ não se anula para toda a área – ela se anula apenas em um conjunto de medida zero, que é o próprio ponto de observação $\overrightarrow{r}$. Isso implica que a integral que define o potencial do disco permanece convergente, já que, à medida que nos aproximamos de um ponto da carga, a contribuição dos elementos vizinhos próximos é compensada pela pequena área dA, que também se torna muito pequena. Assim, o potencial gerado por um disco carregado permanece finito em todos os pontos da superfície e do espaço ao redor.

A diferença entre esses dois modelos reflete a natureza das distribuições de carga idealizadas: no caso do anel (carga linear), o potencial diverge porque a carga está concentrada em uma linha de espessura zero. No caso do disco, a carga está distribuída sobre uma superfície de área finita, o que impede a divergência, pois a carga é “espalhada” e a integral que define o potencial não se torna infinita. Vale lembrar que, na realidade, distribuições de carga como cargas em linhas ou cargas em superfícies perfeitamente finas são idealizações, e no mundo real sempre existe alguma espessura ou dispersão da carga, o que impede que o potencial se torne literalmente infinito. Mas, nos modelos matemáticos, assumir essas idealizações ajuda a simplificar o problema e capturar o comportamento essencial.

3. Outros Métodos

Na Seção 2, obtivemos a expressão do potencial eletrostático V(ρ, z) gerado por um disco de raio a, para pontos arbitrários no espaço, considerando diferentes distribuições superficiais de carga σ(ρ). Foram analisados três casos distintos:

• ¹⁾

  Distribuição homogênea, com densidade superficial constante, com $\sigma =\frac{Q}{\pi a^2}$;

• ²⁾

  Distribuição não-homogênea (equipotencial ), com $\sigma (\rho )=\frac{Q}{2\pi a}\frac{1}{\sqrt{a^2-{\rho }^2}}$, que representa a solução clássica para o problema de equilíbrio eletrostático de um disco condutor;

• ³⁾

  Distribuição concentrada (anel), modelada por $\sigma (\rho )=\frac{Q}{2\pi a}\delta (\rho -a)$, correspondente ao limite idealizado em que toda a carga está distribuída sobre a borda do disco.

A abordagem adotada em todos os casos foi o método direto (método 1), no qual as expressões integrais para o potencial foram obtidas a partir da aplicação direta da lei de Coulomb sobre a distribuição superficial de carga. Isso resultou em formulações compactas, mas formalmente exatas, para o potencial V(ρ, z), escritas em termos das integrais elípticas completas de primeira espécie, K(m), cujos argumentos m dependem da geometria do problema.

Além do método direto, que leva a expressões envolvendo integrais elípticas, o cálculo do potencial eletrostático gerado por um disco carregado também pode ser tratado por métodos mais analíticos, baseados na expansão em funções especiais. Em particular, destacam-se duas representações úteis: uma em termos de funções de Bessel (úteis em coordenadas cilíndricas) e outra em polinômios de Legendre (naturais em coordenadas esféricas). Ambas são derivadas da solução da equação de Laplace com simetrias apropriadas.

3.1. Método 2: funções de Bessel

Para distribuições circulares de carga com simetria azimutal, é natural trabalhar em coordenadas cilíndricas (ρ, z). O potencial Φ(ρ, z) satisfaz a equação de Laplace, e sua solução geral pode ser representada por uma transformada de Hankel [²⁶]:

(17) $$\text{Φ}(\rho ,z)=\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}A(k)J_0(k\rho )e^{-k\left|z\right|}dk,$$

onde J₀(kρ) é a função de Besselde primeira espécie e ordem zero e, A(k) é a transformada inversa de Hankel da distribuição de carga superficial σ(ρ), dada por

(18) $$A(k)=\frac{1}{2{\epsilon }_o}\underset{0}{\overset{a}{{\displaystyle \int }}}\sigma ({\rho }^{\prime }){\rho }^{\prime }{J}_0(k{\rho }^{\prime })d{\rho }^{\prime }.$$

Essa formulação permite resolver analiticamente o potencial para qualquer distribuição radial de carga σ(ρ), desde que a integral para A(k) seja tratável.

A expressão apresentada na Eq. (18) foi derivada a partir de uma consideração física fundamental sobre o comportamento do campo elétrico na presença de uma distribuição superficial de carga. Sabemos que, no plano z = 0, onde a carga superficial σ(ρ) está localizada, o campo elétrico normal ao plano, definido como $E_n=-\overrightarrow{\nabla }\mathrm{\Phi }\cdot \widehat{n}$, com $\widehat{n}=\pm \widehat{z}$, apresenta uma descontinuidade. Essa descontinuidade é descrita pela condição de contorno clássica da eletrostática:

(19) $${\left(\frac{\partial \text{Φ}}{\partial z}\right)}_{z=0^{+}}-{\left(\frac{\partial \text{Φ}}{\partial z}\right)}_{z=0^{-}}=-\frac{\sigma (\rho )}{{\epsilon }_o}.$$

Essa equação expressa o salto na derivada do potencial elétrico na direção normal ao plano da carga, sendo proporcional à densidade superficial de carga σ(ρ).

Para determinar o coeficiente espectral A(k), que aparece na expansão do potencial em termos da transformada de Hankel (17), substituímos essa representação integral do potencial na condição de descontinuidade acima (Eq. (19)). Usando relação de ortogonalidade entre as funções de Bessel, obtemos o coeficiente espectral A(k) dado pela expressão (18).

A integral radial apresentada na Eq. (18) pode ser avaliada analiticamente utilizando uma identidade clássica envolvendo funções de Bessel de primeira espécie, atribuída originalmente a Sonine (1880) [⁵⁷]. Esta identidade é frequentemente referenciada na literatura de matemática aplicada e pode ser encontrada, por exemplo, como a fórmula 6.567.1 da Ref. [⁵⁸]. Trata-se de uma relação integral que permite expressar produtos de funções de Bessel em termos de funções conhecidas, facilitando a resolução de integrais envolvendo distribuições radiais simétricas. A identidade (integral) é dada por

(20) $$\underset{0}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}{\left(1-x^2\right)}^{\nu }{x}^{p+1}{J}_p(bx)dx=\frac{2^{\nu }\nu !}{b^{\nu +1}}{J}_{\nu +p+1}(b).$$

Essa identidade é particularmente útil para obter expressões analíticas fechadas dos coeficientes espectrais A(k). Como mencionado acima, diferentes distribuições de carga – homogênea, não homogênea (equipotencial) e concentrada em anel – levam a formas distintas de A(K), cuja avaliação pode ser significativamente simplificada por meio dessa identidade.

3.1.1. Distribuição homogênea

Para o caso de uma distribuição de carga homogênea, ou seja, quando a densidade superficial é constante e dada por $\sigma =\frac{Q}{\pi a^2}$, podemos substituir essa expressão na definição do coeficiente A(k), conforme definido pela Eq. (18). Assim, obtemos

(21) $$\begin{array}{c}A(k)=\frac{Q}{2\pi {\epsilon }_o{a}^2}\underset{0}{\overset{a}{{\displaystyle \int }}}{\rho }^{\prime }{J}_0(k{\rho }^{\prime })d{\rho }^{\prime }=a{V}_o\underset{0}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}x{J}_0(kax)dx=V_o\frac{J_1(ka)}{k},\end{array}$$

onde foi utilizada a identidade (20) para ν = 0 e p = 0, V_o = Q/(2πε_oa) e J₁(ka) é a função de Bessel de primeira espécie e ordem um.

Substituindo a expressão do coeficiente espectral A(k), Eq. (21), na Eq. (17), obtemos a seguinte expressão para o potencial eletrostático Φ(ρ, z) gerado por um disco de raio a, com carga total Q uniformemente distribuída sobre sua superfície:

(22) $$\text{Φ}(\rho ,z)=V_o\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}{J}_0(k\rho )\frac{J_1(ka)}{k}{e}^{-k\left|z\right|}dk.$$

É importante destacar que esta expressão difere substancialmente daquela apresentada na Eq. (2), a qual foi proposta no problema 11.1.28 do livro de Física Matemática da Ref. [²⁷]. Como discutido na introdução deste trabalho, a expressão da Eq. (2) corresponde, na verdade, ao potencial gerado por uma distribuição de carga não-homogênea, com densidade superficial $\sigma (\rho )=\frac{Q}{2\pi a}\frac{1}{\sqrt{a^2-{\rho }^2}}$, e não à distribuição uniforme como sugerido pelo autor. Esse equívoco tem sido replicado em outras referências da literatura, o que reforça a importância de uma análise criteriosa, como aqui apresentada.

3.1.1.1. Potencial sobre o eixo de simetria(ρ = 0)

Recorremos agora a uma outra identidade clássica envolvendo integrais de funções de Bessel, que pode ser encontrada na fórmula 6.623.3 da Ref. [⁵⁸]. Essa identidade permite expressar uma integral envolvendo uma função de Bessel da primeira espécie J_ν(βk), ponderada por um fator exponencial e dividida por k, em uma forma fechada. A fórmula é dada por

(23) $$\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\frac{e^{-\alpha k}{J}_{\nu }(\beta k)}{k}dk=\frac{1}{\nu {\beta }^{\nu }}{\left(\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}-\alpha \right)}^{\nu },$$

com Re⁡(ν) > 0 e Re⁡(ν) > |Im⁡(β)|.

Escolhendo ν = 1, β = a e α = |z|, podemos aplicar a identidade (23) diretamente à expressão do potencial elétrico gerado por um disco carregado uniformemente sobre o eixo de simetria (ρ = 0), conforme apresentada na Eq. (22). O resultado da expressão do potencial V(z), ao avaliarmos a integral da Eq. (22) sobre o eixo de simetria (ρ = 0), reduz-se à seguinte forma analítica simples:

$$\begin{array}{l}V(z)=\text{Φ}(0,z)=V_o\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\frac{e^{-k\left|z\right|}{J}_1(ka)}{k}dk\\ =V_o\left(\sqrt{{\overline{z}}^2+1}-\left|\overline{z}\right|\right),\end{array}$$

o que corresponde exatamente à expressão apresentada anteriormente na Eq. (1), também discutida em diversos livros-texto de nível básico em eletromagnetismo [¹,²,³,⁴,⁵].

3.1.1.2. Potencial no plano z = 0

A partir da expressão geral do potencial eletrostático (22), podemos obter a forma específica do potencial gerado por um disco carregado homogeneamente no plano z = 0. Essa expressão é dada por

(24) $$\begin{array}{l}V(\rho )=\text{Φ}(\rho ,0)=V_o\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}{J}_0(ut)J_1(t)dt\\ =V_o\left\{\begin{array}{c}\frac{2}{\pi }E(u^2)\text{,}u\le 1\\ \frac{1}{2u}F(1/2,1/2;2,1/u^2)\text{,}u\ge 1\end{array}\right.,\end{array}$$

onde E(m) é a integral elíptica de segunda espécie definida por

$$E(m)=\underset{0}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}\sqrt{\frac{1-m{t}^2}{1-t^2}}dt=\underset{0}{\overset{\pi /2}{{\displaystyle \int }}}\sqrt{1-m{\sin }^2(\theta )}d\theta ,$$

onde u = ρ/a e F(a, b; c; 1/u²) ≡ ₂F₁(a, b; c; 1/u²) é a função hipergeométrica. Essa função pode ser relacionada às integrais elípticas de primeira espécie, K(1/u²), e de segunda espécie, E(1/u²), para valores específicos dos parâmetros a, b, e c. Como exemplo, a função hipergeométrica F(1/2, 1/2; 2,u²), que está presente na Eq. (24), pode ser expressa como (ver fórmula 6.574.3 na Ref. [⁵⁸])

$$F(1/2,1/2;2,u^2)=\frac{2}{\pi }\left[uE(\frac{1}{u^2})+\frac{\left(1-u^2\right)}{u}K(\frac{1}{u^2})\right].$$

Substituindo essa relação na Eq. (24), obtemos uma forma unificada para o potencial V(ρ), expressa apenas em termos das integrais elípticas K(m) e E(m):

(27) $$V(\rho )=\frac{2}{\pi }{V}_o\left\{\begin{array}{c}E(u^2),u\le 1\\ uE(\frac{1}{u^2})+\frac{\left(1-u^2\right)}{u}K(\frac{1}{u^2}),u\ge 1\end{array}\right..$$

Fazendo uso da identidade proposta na Ref. [²¹]:

(28a) $$\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}\left\{\frac{t}{t+u}K\left[\frac{4tu}{{\left(t+u\right)}^2}\right]dt\right\}\\ =\left\{\begin{array}{c}E(u^2)\text{, se}0\le u^2<1\\ uE(\frac{1}{u^2})+\frac{\left(1-u^2\right)}{u}K(\frac{1}{u^2})\text{, se}1\le u^2<\infty \end{array}\right.,\end{array}$$

podemos reescrever a expressão do potencial V(ρ) dada anteriormente na Eq. (27) na forma integral unificada:

(29) $$V(\rho )=\frac{2}{\pi }{V}_o\underset{0}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}\left\{\frac{t}{t+u}K\left[\frac{4tu}{{\left(t+u\right)}^2}\right]dt\right\}.$$

Essa representação do potencial coincide exatamente com a expressão da Eq. (10), obtida anteriormente pelo método 1, baseado em uma integração direta da solução potencial ao longo da distribuição do disco.

3.1.2. Distribuição não-homogênea

Para o caso da distribuição não-homogênea (equipotencial), em que $\sigma (\rho )=\frac{Q}{2\pi a}\frac{1}{\sqrt{a^2-{\rho }^2}}$, de acordo com a definição (18), o coeficiente A(k) é dado por

(30) $$\begin{array}{l}A(k)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{o}a}\underset{0}{\overset{a}{{\displaystyle \int }}}{\left(a^2-{{\rho }^{\prime }}^2\right)}^{-1/2}{\rho }^{\prime }{J}_0(k{\rho }^{\prime })d{\rho }^{\prime }\hfill \\ =a\frac{V_o}{2}\underset{0}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}{\left(1-x^2\right)}^{-1/2}x{J}_0(kax)dx\hfill \\ =\frac{a{V}_o}{2}\sqrt{\frac{\pi }{2ka}}{J}_{1/2}(ka),\hfill \end{array}$$

onde foi utilizada a identidade (20) para ν = −1/2 e p = 0 e J_1/2(ka) é a função de Bessel de primeira espécie e ordem semi-inteira 1/2.

As funções de Bessel de primeira espécie com ordens semi-inteiras, denotadas por J_{n + 1/2}(x), podem ser expressas de forma conveniente em termos das funções de Bessel esféricas, que surgem naturalmente em problemas com simetria esférica. Uma identidade útil permite escrever essas funções em termos de derivadas sucessivas da função esférica básica j_o(x) = sin⁡(x)/x. Essa relação é dada por [²⁶]

(31) $$J_{n+1/2}(x)={(-1)}^n{x}^n\sqrt{\frac{2x}{\pi }}{\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)}^n\left(\frac{\sin x}{x}\right),$$

Essa fórmula é especialmente útil em cálculos analíticos e numéricos, pois a função $\frac{\sin x}{x}$ e suas derivadas possuem expressões conhecidas e bem comportadas. Como exemplo, ao aplicarmos essa identidade para n = 0, obtemos diretamente a função de Bessel de ordem semi-inteira J_1/2(x):

(32) $$J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2x}{\pi }}\frac{\sin x}{x}.$$

Substituindo (32) em (30), ficamos com

(33) $$A(k)=\frac{V_o}{2}\frac{\sin (ka)}{k}.$$

Agora, substituindo o coeficiente A(k), dado pela expressão (33), na Eq. (17), obtemos a expressão para o potencial gerado por um disco com distribuição de carga não-homogênea (equipotencial):

(34) $$\text{Φ}(\rho ,z)=\frac{V_o}{2}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}{J}_0(k\rho )\frac{\sin (ka)}{k}{e}^{-k\left|z\right|}dk.$$

Esta integral é bem conhecida na literatura de funções especiais e aparece frequentemente em problemas com simetria cilíndrica, especialmente em eletromagnetismo e difração.

3.1.2.1. Potencial no plano z=0

Podemos confirmar, tanto numericamente quanto analiticamente, que a expressão dada em (34) representa um potencial constante sobre a superfície do disco, caracterizando uma condição equipotencial:

(35) $$\text{Φ}(0\le \rho \le a,0)=\text{Φ}(0,0)=\frac{V_o}{2}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\frac{\sin (ka)}{k}dk=\frac{\pi V_o}{4}.$$

Esse resultado coincide com o valor previamente obtido por meio de integrais elípticas, oferecendo uma confirmação do cálculo.

A integral espectral apresentada na Eq. (34) pode ser avaliada analiticamente utilizando uma identidade clássica, que envolve funções de Bessel de primeira espécie e funções trigonométricas. Esta identidade é amplamente conhecida na literatura de matemática aplicada, sendo citada, por exemplo, como a fórmula 6.693.7 da Ref. [⁵⁸]. A identidade (integral) é dada por

(36) $$\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}{J}_0(t)\sin (t/u)\frac{dt}{t}=\left\{\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\text{,}u<1\\ \arcsin (1/u)\text{,}u>1\\ -\frac{\pi }{2}\text{,}u>-1\end{array}\right..$$

Ao definir u = ρ/a e t = kρ, podemos reescrever a Eq. (34) no plano z = 0 da seguinte forma:

(37) $$\begin{array}{c}V(\rho )=\text{Φ}(\rho ,0)=\frac{V_o}{2}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}{J}_0(t)\sin (t/u)\frac{dt}{t}\\ =\frac{V_o}{2}\left\{\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\text{, se}u\le 1\\ \arcsin (\frac{1}{u})\text{, se}u\ge 1\end{array}\right..\end{array}$$

Com isso, demonstramos analiticamente o resultado da equipotencial (35) e obtemos uma expressão matemática simplificada para o potencial V(ρ), no plano z = 0, considerando uma distribuição de carga não homogênea. Diferente dos cálculos realizados por meio de integrais elípticas, que resultam em expressões para o potencial V(ρ) que só podem ser resolvidas numericamente, aqui, utilizando funções de Bessel, conseguimos reduzir as integrais a funções simples, arcsin⁡(x), facilitando significativamente a obtenção do resultado. Do ponto de vista numérico as curvas para o potencial V(ρ) obtidas pelas duas abordagens são indistinguíveis, evidenciando a concordância entre os métodos.

3.1.2.2. Potencial no eixo de simetria (ρ = 0)

Um outro limite particularmente interessante da expressão geral para o potencial elétrico dada em (34) corresponde ao valor do potencial ao longo do eixo de simetria do sistema, ou seja, no caso ρ = 0.

Um outro limite interessante para analisarmos da expressão geral do potencial (34) é sobre o potencial no eixo de simetria (ρ = 0). Nesse caso, a expressão se simplifica consideravelmente, reduzindo-se a:

(38) $$V(z)=\text{Φ}(0,z)=\frac{V_o}{2}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\frac{\sin (ka)}{k}{e}^{-k\left|z\right|}dk=\frac{V_o}{2}I(z,a).$$

A primeira etapa é calcular a integral padrão associada a derivada da função I(z, a):

$$\begin{array}{l}\frac{\partial I}{\partial a}=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\cos (ka)e^{-k\left|z\right|}dk\hfill \\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left[e^{k(ia-\left|z\right|)}+e^{-k(ia+\left|z\right|)}\right]dk.\hfill \end{array}$$

Agora, resolvemos cada termo da integral separadamente, ficamos com

$$\frac{\partial I}{\partial a}=\frac{1}{2}{\left[\frac{e^{k(ia-\left|z\right|)}}{ia-\left|z\right|}-\frac{e^{-k(ia+\left|z\right|)}}{ia+\left|z\right|}\right]}_0^{\infty }.$$

No limite k → ∞, as exponenciais decaem a zero, e o resultado final é

(39) $$\frac{\partial I}{\partial a}=\frac{z}{z^2+a^2}.$$

Agora, para obter I(z, a), basta integrar o resultado com respeito a variável a, resultando em

(40) $$I(z,a)=\underset{0}{\overset{a}{{\displaystyle \int }}}\frac{zdu}{z^2+u^2}=\arctan (a/z).$$

Por fim, ao substituir a expressão para I(z, a) dada em (40) na Eq. (38), obtemos a seguinte forma do potencial gerado por um disco com distribuição de carga não-homogênea ao longo do eixo de simetria:

$$V(z)=\frac{V_o}{2}\arctan (a/z).$$

Essa fórmula mostra de forma explícita como o potencial depende da distância z ao longo do eixo de simetria do disco.

Vale ressaltar que apresentamos duas abordagens diretas e acessíveis para derivar a expressão do potencial eletrostático gerado por um disco com distribuição de carga não homogênea no ponto sobre o eixo de simetria (ρ = 0), conforme dado em (9): uma baseada na análise do limite de integrais elípticas e outra utilizando funções de Bessel. Ambas as técnicas conduzem ao mesmo resultado de forma eficiente, oferecendo uma alternativa significativamente mais simples em comparação ao método tradicional, mais elaborado, desenvolvido por Kleber Machado em seu livro de Eletromagnetismo [¹⁴], no qual a obtenção do potencial envolve cálculos consideravelmente mais complexos.

3.1.3. Distribuição concentrada (anel)

Consideremos agora o caso particular de uma distribuição superficial de carga concentrada ao longo de um círculo de raio a, ou seja, uma distribuição em forma de anel. Nesse modelo idealizado, toda a carga total Q está uniformemente distribuída ao longo do contorno da circunferência, enquanto nenhuma carga está presente no interior. Esse tipo de distribuição pode ser matematicamente descrita por uma densidade superficial de carga que envolve a função delta de Dirac, da forma: $\sigma (\rho )=\frac{Q}{2\pi a}\delta (\rho -a)$, onde δ(ρ − a) assegura que a carga está concentrada exatamente no raio a. Essa representação simplificada, porém precisa, permite descrever fisicamente um anel infinitamente fino, com toda a carga localizada no perímetro da circunferência.

Para essa distribuição, o coeficiente A(k) – que aparece na solução integral do potencial eletrostático em coordenadas cilíndricas – é obtido a partir da fórmula geral (18). Substituindo esta expressão da densidade σ(ρ) acima na expressão de A(k) e utilizando a propriedade fundamental da função delta de Dirac, resulta: aplicando propriedade básica do delta de Dirac, obtemos

(41) $$\begin{array}{l}A(k)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{o}a}\underset{0}{\overset{a}{\int }}\delta ({\rho }^{\prime }-a){\rho }^{\prime }{J}_0(k{\rho }^{\prime })d{\rho }^{\prime }\hfill \\ =\frac{a{V}_o}{2}{J}_0(ka).\hfill \end{array}$$

Substituindo essa expressão de A(k) na solução integral do potencial (17), obtemos a forma explícita do potencial eletrostático gerado por um anel de carga em função de ρ e z:

(42) $$\text{Φ}(\rho ,z)=\frac{a{V}_o}{2}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}{J}_0(ka)J_0(k\rho )e^{-k\left|z\right|}dk.$$

Essa equação expressa o potencial em termos de uma integral sobre os modos k, envolvendo as funções de Bessel de primeira espécie J₀(kρ), com o fator e^−k|z| que descreve a decaída do potencial ao longo da direção z, e a função J₀(ka) que está associada à geometria do anel de carga. A solução final descreve o comportamento do potencial em toda a região espacial afetada pela distribuição concentrada de carga em ρ = a.

Particularmente, no plano onde o anel está localizado (z = 0), escrevemos a seguinte expressão para V(ρ):

(43) $$\begin{array}{c}V(\rho )\equiv \text{Φ}(\rho ,0)=\frac{V_o}{2}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}{J}_0(t)J_0(ut)dt\\ =\frac{V_o}{\pi }\left\{\begin{array}{c}K(u^2)\text{, se}0\le u^2<1\\ \frac{1}{u}K(\frac{1}{u^2})\text{, se}1\le u^2<\infty \end{array}\right.,\end{array}$$

onde temos usado a fórmula 6.574.1 da Ref. [⁵⁸].

Fazendo uso da identidade proposta na Ref. [²⁰]:

(44) $$\frac{1}{1+u}K\left[\frac{4u}{{(1+u)}^2}\right]=\left\{\begin{array}{c}K(u^2)\text{, se}0\le u^2<1\\ \frac{1}{u}K(\frac{1}{u^2})\text{, se}1\le u^2<\infty \end{array}\right.,$$

podemos reescrever a expressão do potencial V(ρ) dada anteriormente na Eq. (43) na forma integral unificada:

(45) $$V(\rho )=\frac{V_o}{\pi }\frac{1}{1+u}K\left[\frac{4u}{{(1+u)}^2}\right].$$

Esta nova forma coincide exatamente com a expressão obtida anteriormente pelo método baseado diretamente em integrais elípticas, no plano z = 0, conforme Eq. (15).

Mais precisamente, verificamos que os resultados obtidos por meio do método 1, que utiliza integrais elípticas completas de primeira espécie, coincidem exatamente com aqueles derivados pelo método 2, baseado em integrais envolvendo produtos de funções de Bessel. Essa concordância não apenas valida a identidade demonstrada, mas também reforça a consistência e robustez matemática das duas abordagens distintas para o mesmo problema físico.

3.2. Método 3: Polinômios de Legendre

O cálculo do potencial eletrostático gerado por um anel ou por um disco carregados em um ponto arbitrário do espaço é um problema clássico, frequentemente abordado em livros-texto de eletromagnetismo avançado [⁸,⁹,¹⁰, ¹²]. Nessa abordagem, conhecida aqui como método 3, utiliza-se a expansão em séries de polinômios de Legendre para resolver a equação de Poisson sob simetria axial, permitindo derivar expressões analíticas (ou aproximações) para o potencial tanto em pontos internos quanto externos à distribuição de carga.

Devido à simetria azimutal dos sistemas considerados neste trabalho – um anel e um disco carregados localizados no plano xy e centrados na origem do sistema de coordenadas –, o potencial elétrico é também independente do ângulo azimutal φ quando utilizamos coordenadas esféricas (r, θ, φ). Essa simetria permite reduzir a equação de Laplace: ∇²⁡Φ = 0, a uma forma dependente apenas r e θ. A solução geral da equação de Laplace, sob essa simetria axial, é expressa como uma série em polinômios de Legendre:

(46) $$\text{Φ}(r,\theta )={\displaystyle \sum }_{n=0}^{\infty }\left(A_n{r}^n+\frac{B_n}{r^{n+1}}\right)P_n(\cos \theta ),$$

onde P_n(cos⁡θ) são os polinômios de Legendre de ordem n, e os coeficientes A_n e B_n são determinados a partir das condições de contorno impostas pela geometria e pela distribuição de carga do problema físico em questão.

Não entraremos nos detalhes dos cálculos referentes ao método 3, uma vez que estes já se encontram plenamente desenvolvidos em livros-texto avançados [⁸,⁹,¹⁰, ¹²], bem como em alguns artigos científicos relevantes [⁵⁹, ⁶⁰]. Nosso objetivo aqui é apenas apresentar essa metodologia de forma concisa, visando à completude do estudo.

3.2.1. Potencial do anel

Como já mencionado anteriormente, este é um problema clássico da eletrostática, amplamente abordado em livros-texto tanto de graduação [⁶, ⁷, ¹¹, ¹⁴] quanto de pós-graduação [⁸,⁹,¹⁰, ¹², ¹³, ¹⁵]. O sistema consiste em um anel circular uniformemente carregado, e o objetivo é determinar o potencial eletrostático gerado por essa distribuição em pontos arbitrários do espaço.

Partimos da expressão bem conhecida para o potencial eletrostático ao longo do eixo de simetria do anel, dada pela Eq. (1):

(47) $$V(z)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{1}{\sqrt{z^2+a^2}}.$$

Para aplicar o método 3, buscamos reescrever essa expressão em forma de série de potências, que será posteriormente relacionada à expansão dos polinômios de Legendre. A função (z² + a²)^−1/2 admite duas expansões distintas, dependendo da região onde o ponto de observação se encontra: uma para |z| < a e outra para z > a. Fazendo essa distinção, obtemos as seguintes séries:

(48) $$\begin{array}{l}V(z)=\text{Φ}(r=z,\theta =0)\hfill \\ =\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o}\left\{\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}\frac{{(-1)}^n}{2^{2n}}\frac{(2n)!}{{(n!)}^2}\frac{z^{2n}}{a^{2n+1}},z<a\\ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}\frac{{(-1)}^n}{2^{2n}}\frac{(2n)!}{{(n!)}^2}\frac{a^{2n}}{z^{2n+1}},z>a\end{array}\right..\hfill \end{array}$$

Note que essa expansão é feita exclusivamente em potências pares de z, refletindo a simetria do sistema. Para pontos arbitrários, comparamos a Eq. (48) com a expansão em polinômios de Legendre ao longo do eixo z (i. e., θ = 0), conforme fornecido na Eq. (46). Como P_2n(1) = 1, essa comparação permite identificar os coeficientes da expansão multipolar:

(49) $$\left\{\begin{array}{c}{A}_{2n}=0\text{e}{B}_{2n}=\frac{{(-1)}^n}{2^{2n}}\frac{(2n)!}{{(n!)}^2}{a}^{2n}\text{, para}z<a\\ A_{2n}=\frac{{(-1)}^n}{2^{2n}}\frac{(2n)!}{{(n!)}^2}\frac{1}{a^{2n+1}}\text{e}{B}_{2n}=0\text{, para}z>a\end{array}\right..$$

Com base nessas identificações, Eq. (49), podemos reescrever a expressão geral do potencial eletrostático gerado pelo anel em uma forma simétrica, válida para qualquer ponto no espaço (r, θ), utilizando a expansão em polinômios de Legendre:

(50) $$\text{Φ}(r,\theta )=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o}{\displaystyle \sum }_{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{2^{2n}}\frac{(2n)!}{{(n!)}^2}\frac{r_{<}^{2n}}{r_{>}^{2n+1}}{P}_{2n}(\cos \theta ).$$

Aqui r_＜ e r_＞ representam, respectivamente, o menor e o maior entre os valores r (distância radial do ponto de observação ao centro do anel) e a (raio da esfera centrada no centro do anel). Assim, temos: se r ＞ a então r_＜ = a e r _＞ = r e se r ＜ a então r _＜ = r e r _＞ = a.

Um limite particularmente interessante para análise da expressão (50) é o caso em que o ponto de observação está localizado no plano do anel, isto é, no plano xy. Em coordenadas esféricas, esses pontos são descritos por (r, θ = π/2), uma vez que θ é o ângulo polar medido em relação ao eixo z, e θ = π/2 corresponde exatamente ao plano equatorial.

No entanto, como estamos interessados em expressar o potencial em termos da coordenada radial no plano xy, é útil observar que neste plano a coordenada esférica radial r coincide com a coordenada cilíndrica radial ρ. Portanto, no plano do anel temos r = ρ e θ = π/2. Sabendo disso, podemos reescrever a expressão (50) para pontos no plano xy como:

(51) $$V(\rho )=\text{Φ}(r,\theta =\pi \text{/}2)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o}{\displaystyle \sum }_{n=0}^{\infty }{\left[\frac{1}{2^{2n}}\frac{(2n)!}{{(n!)}^2}\right]}^2\frac{{\rho }_{<}^{2n}}{{\rho }_{>}^{2n+1}},$$

onde temos usado o fato de que $P_{2n}(0)={(-1)}^n\frac{(2n)!}{2^{2n}{(n!)}^2}$.

Note que a expressão da série obtida em (51) pode ser reescrita em termos da integral elíptica completa de primeira espécie K(k). Para estabelecer essa equivalência entre os métodos 1 e 3, utilizamos a fórmula 900.00 da Ref. [⁶¹], que expressa

(52) $$K(k)=\frac{\pi }{2}{\displaystyle \sum }_{n=0}^{\infty }{\left[\frac{1}{2^{2n}}\frac{(2n)!}{{(n!)}^2}\right]}^2{k}^n=\frac{\pi }{2}F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2\right)\text{,}$$

com k ＜ 1.

Aplicando essa identidade à soma em (51), reescrevemos o potencial eletrostático fora do eixo como:

(53) $$V(\rho )=\frac{a{V}_o}{\pi }\frac{1}{{\rho }_{>}}K\left[{\left(\frac{{\rho }_{<}}{{\rho }_{>}}\right)}^2\right],$$

onde ρ_＜ (ρ_＞) denota o menor (maior) entre ρ e a, e V_o = Q/(2πε_oa). Esta expressão coincide exatamente com o resultado obtido anteriormente no método 1, conforme a expressão (45), onde aplicamos a identidade (44) – agora apresentada de forma alternativa e mais compacta.

3.2.2. Potencial do disco homogêneo

Para calcular o potencial eletrostático gerado por um disco uniformemente carregado utilizando o método 3, podemos adotar duas abordagens distintas, ambas baseadas no princípio da superposição. A primeira abordagem [¹⁹] consiste em considerar que o disco pode ser decomposto como uma superposição contínua de anéis concêntricos infinitesimais, cada um de raio ρ′, variando de 0 até o raio máximo do disco a. Como já escrevemos a expressão do potencial gerado por um anel no espaço, dada pela Eq. (50), o potencial total do disco pode ser calculado pela integração sobre todos esses anéis: ${\mathrm{\Phi }}_{\text{disco}}={\int }_0^a\mathit{d}{\mathrm{\Phi }}_{\text{anel}}$. Essa técnica é bastante intuitiva e está fundamentada na linearidade da equação de Poisson, permitindo somar os potenciais individuais dos anéis para obter o potencial total do disco.

A segunda abordagem [¹⁸], que é a que adotaremos neste trabalho, parte diretamente da expressão do potencial ao longo do eixo de simetria do disco (i. e., θ = 0 em coordenadas esféricas), dada pela Eq. (1). Essa expressão fornece o potencial gerado por uma distribuição contínua de carga ao longo do eixo z, perpendicular ao plano do disco. A partir dessa fórmula, realizamos o desenvolvimento em série de potências da função para duas regiões distintas do espaço. Essa mesma técnica foi anteriormente aplicada ao caso do anel.

É importante destacar uma limitação fundamental nos métodos usuais de cálculo do potencial eletrostático nas proximidades de um disco carregado, e que foi comentado na Ref. [⁵⁹]. Uma abordagem intuitiva seria expandir a expressão (1) do disco também na região |z| < a utilizando o método 3. No entanto, essa estratégia falha ao tentar descrever corretamente o potencial sobre o próprio disco. O motivo principal é que, na superfície do disco, definida por 0 ≤ r ≤ a e θ = π/2, o potencial não satisfaz a equação de Laplace, pois existe uma densidade superficial de carga que introduz uma descontinuidade na derivada normal do potencial. Consequentemente, a função potencial não é harmônica nessa região, o que invalida o uso direto das expansões mencionadas.

Por outro lado, no caso do método 2, podemos usar expansões de funções de Bessel sobre o disco carregado porque, diferentemente da expansão de Legendre, a expansão em funções de Bessel (ou transformadas de Hankel) é naturalmente adaptada à simetria cilíndrica e trata corretamente soluções da equação de Poisson com fontes distribuídas no plano.

O método 3 é rigorosamente aplicável somente em regiões onde o potencial obedece à equação de Laplace, ou seja, onde não há fontes (cargas). Mais especificamente, tal método são adequados em sistemas com simetria azimutal e onde as cargas estão distribuídas em superfícies definidas por r = constante, com θ variando em um intervalo [θ_i, θ_f] dentro de [0, π].

Se o potencial eletrostático Φ satisfaz a equação de Laplace ∇²⁡Φ = 0 em um ponto específico do eixo z, digamos em z = z_o, então, pela propriedade de analiticidade das soluções harmônicas, essa função continuará sendo solução em toda a esfera de raio |z_o| centrada na origem, desde que o domínio em questão esteja livre de cargas. No entanto, essa propriedade não pode ser estendida ao caso de um disco carregado, uma vez que o potencial apresenta singularidades ou descontinuidades exatamente sobre a superfície do disco, onde se encontra a carga superficial.

Consequentemente, essa abordagem de estender a solução esférica a toda a esfera de raio a não é válida para o disco. Isso ocorre porque essa região esférica inclui a própria superfície carregada do disco, onde a equação de Laplace deixa de ser válida e deve ser substituída pela equação de Poisson: ${\nabla }^2\mathrm{\Phi }=-\frac{\sigma (r)}{{\epsilon }_o}\delta (z)$, a qual incorpora explicitamente a presença de uma densidade superficial de carga σ(r) concentrada no plano z = 0, gerando uma descontinuidade no componente normal do campo elétrico ao atravessar o disco, conforme a condição dada pela Eq. (19). Assim, ao analisarmos o comportamento do potencial para pontos acima do disco (i. e., na região z > a), é possível expandir Φ em uma série multipolar com base na sua expressão ao longo do eixo de simetria (com r = z e θ = 0). A equação resultante, obtida a partir da equação (1), é dada por

(54) $$\begin{array}{l}V(z)=\text{Φ}(r=z,\theta =0)\hfill \\ =\frac{V_o}{2}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n+1}}{2^{2n-1}(2n-1)}\frac{(2n)!}{{(n!)}^2}{\left(\frac{a}{z}\right)}^{2n-1}.\hfill \end{array}$$

Para obter os coeficientes da expansão multipolar completa, comparamos essa série com a expansão geral em termos de polinômios de Legendre para sistemas com simetria azimutal, expressa pela Eq. (46). Avaliando-a ao longo do eixo (θ = 0), onde P_n(1) = 1, podemos identificar os coeficientes espectrais:

(55) $$\left\{\begin{array}{c}{A}_n=0\\ B_{2n-2}=\frac{{(-1)}^{n+1}}{2^{2n-1}(2n-1)}\frac{(2n)!}{{(n!)}^2}{a}^{2n-1}\end{array}\right..$$

Substituindo esses coeficientes na forma geral da expansão multipolar de Legendre da equação (46), obtemos a expressão para o potencial eletrostático em qualquer ponto fora do disco, ou seja, para r > a:

(56) $$\text{Φ}(r,\theta )=\frac{V_o}{2}{\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }\left[\frac{{(-1)}^{n+1}}{2^{2n-1}(2n-1)}\frac{(2n)!}{{(n!)}^2}\right]{\left(\frac{a}{r}\right)}^{2n-1}.$$

Para pontos localizados no plano z = 0 (θ = π/2), ou seja, sobre o plano do disco, e fora da sua superfície (i.e., ρ > a), o potencial eletrostático pode ser expresso pela seguinte série:

(57) $$\begin{array}{l}V(\rho )\equiv \text{Φ}(r=\rho ,\theta =\pi /2)\\ =\frac{V_o}{2}{\displaystyle {\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }}\left[\frac{1}{2^{4n-3}(2n-1)}\frac{(2n)!(2n-2)!}{{(n!)}^2{\left[(n-1)!\right]}^2}\right]{\left(\frac{a}{\rho }\right)}^{2n-1},\end{array}$$

onde utilizamos o fato de que $P_{2n-2}(0)={(-1)}^{n-1}\frac{(2n-2)!}{2^{2n-2}{\left[(n-1)!\right]}^2}$.

Esta formulação multipolar – derivada da solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas e escrita como uma série de polinômios de Legendre – descreve com clareza o comportamento do potencial eletrostático na região externa ao disco carregado. De fato, a validade dessa expressão está limitada à região do espaço onde r > a, ou seja, fora do suporte da distribuição superficial de carga.

Do ponto de vista numérico, a expressão do potencial obtida por meio da Eq. (57), utilizando o método 3 (expansão em séries de polinômios de Legendre), fornece resultados que coincidem com os valores calculados numericamente pelos métodos 1 e 2. Ou seja, ao compararmos os potenciais calculados nos mesmos pontos do espaço, todos os três métodos produzem os mesmos valores numéricos para o potencial eletrostático, desde que estejamos em uma região onde as hipóteses de validade de cada método sejam respeitadas.

Entretanto, existe uma diferença fundamental entre esses métodos no que se refere ao domínio de validade das suas respectivas expressões analíticas. As soluções obtidas pelos métodos 1 e 2 – que se baseiam, respectivamente, na forma integral da lei de Coulomb (integrais elípticas) e na expansão em funções de Bessel – são válidas em todo o espaço, sem restrições quanto à posição do ponto de observação. Essas soluções levam em conta corretamente a presença de cargas distribuídas no plano do disco ou do anel, e portanto permanecem corretas mesmo em regiões onde há descontinuidades no campo elétrico, como na superfície carregada.

Por outro lado, o método 3, baseado na expansão multipolar em termos de polinômios de Legendre, impõe uma limitação importante: ele só é aplicável em regiões do espaço onde o potencial satisfaz a equação de Laplace, ou seja, em regiões isentas de carga. Como já discutido anteriormente, essa condição é violada na região interna a esfera (isto é, quando r < a), uma vez que ali está presente a distribuição de carga superficial que gera o campo elétrico. Nessa região, o potencial não é uma função harmônica e, portanto, não pode ser corretamente descrito pela expansão em polinômios de Legendre. Por esse motivo, a expressão analítica obtida pelo método 3 deixa de ser válida para pontos localizados dentro do raio da esfera, restringindo sua aplicação apenas à região externa (r > a).

4. Considerações Gerais

Em conclusão, o presente trabalho analisou o comportamento do potencial eletrostático gerado por distribuições de carga em diferentes configurações geométricas, com foco no caso de um anel de carga e um disco carregado. A comparação entre os dois modelos evidenciou diferenças significativas no comportamento do potencial, principalmente no que se refere à presença de divergências no caso do anel, onde a carga está concentrada em uma linha de dimensão zero. Essa singularidade no potencial, observada na borda do anel (ρ = a), reflete a natureza idealizada das distribuições de carga linear.

Por outro lado, no caso do disco carregado, que apresenta uma distribuição bidimensional de carga sobre uma área finita, o potencial permanece finito em todos os pontos, inclusive na superfície do disco. Isso ocorre porque a distância entre os elementos de carga e o ponto de observação nunca se anula completamente, exceto em um conjunto de medida zero, permitindo que a integral que define o potencial permaneça convergente.

A análise do comportamento assintótico do potencial e a resolução numérica da integral elíptica associada ao anel mostraram que, para distâncias grandes do anel, o potencial tende ao comportamento de uma carga puntiforme, como esperado fisicamente. Já para pontos próximos ao anel, o potencial apresenta uma divergência logarítmica, o que caracteriza a concentração de carga em uma linha de espessura zero.

Além dos modelos tradicionais de distribuição de carga homogênea, também foi analisado o comportamento do potencial em um disco com uma distribuição de carga não homogênea ${\sigma }_1(\rho )=\frac{Q}{2\pi a}\frac{1}{\sqrt{a^2-{\rho }^2}}$, mais especificamente uma distribuição de carga que mantém o potencial do disco uma equipotencial. Esse tipo de distribuição foi escolhido para garantir que o potencial gerado fosse constante sobre a superfície do disco, atendendo à condição de equilíbrio eletrostático em condutores.

Para o disco equipotencial, a carga se redistribui de maneira que o potencial seja o mesmo em todos os pontos da superfície do disco, o que caracteriza uma solução clássica do problema de equilíbrio eletrostático de discos condutores. Esse comportamento é substancialmente diferente do caso de um disco com distribuição homogênea de carga, onde o potencial varia ao longo da superfície. Como o potencial é constante sobre a superfície do disco, as propriedades do campo elétrico e as interações com pontos distantes do disco são mais uniformes, o que resulta em um comportamento do potencial mais previsível e sem as complexidades associadas às variações de densidade de carga.

A consideração da distribuição equipotencial também reflete como as condições de contorno, como a manutenção de um potencial constante, afetam a solução do problema de campo eletrostático. O estudo desse caso fornece uma compreensão mais profunda de como as distribuições de carga podem ser manipuladas para criar configurações específicas de potencial, com aplicação em contextos como a engenharia de dispositivos eletrostáticos ou o design de condutores e isolantes em sistemas físicos.

Dessa forma, ao comparar o disco com distribuição homogênea, o anel e o disco equipotencial, o trabalho mostra como diferentes distribuições de carga afetam o comportamento do potencial, além de ilustrar a importância de se considerar diferentes modelos ideais para entender as configurações de campo eletrostático em contextos físicos e práticos.

Ao abordar a equivalência dos resultados numéricos usando as funções de Bessel e os polinômios de Legendre nos modelos matemáticos de distribuições de carga, analisamos como essas funções são empregadas para resolver as integrais que descrevem os potenciais elétricos. Tanto as funções de Bessel quanto os polinômios de Legendre fornecem abordagens equivalentes em termos de resultados numéricos para calcular os potenciais elétricos das distribuições de carga no anel e no disco. Essas duas técnicas são ferramentas poderosas para a solução de problemas eletrostáticos em geometria cilíndrica ou esférica e permitem uma análise eficiente e precisa dos potenciais em diferentes regiões do espaço. As soluções numéricas obtidas por essas duas abordagens mostram uma consistência notável, o que reforça a validade dos modelos matemáticos e das idealizações utilizadas no estudo dessas distribuições de carga.

Por fim, este estudo destaca a importância das idealizações em modelos matemáticos, como as distribuições de carga linear ou superficial, que simplificam o tratamento dos problemas de eletrostática e ajudam a compreender o comportamento essencial dos potenciais. No entanto, é fundamental reconhecer que essas idealizações não refletem a realidade física de forma exata, onde sempre haverá algum grau de dispersão ou espessura nas distribuições de carga, evitando a divergência infinita do potencial em situações práticas.

Disponibilidade de Dados

Este trabalho não gerou conjuntos de dados experimentais. Todos os resultados apresentados derivam de deduções analíticas e de cálculos computacionais detalhados no próprio manuscrito. Os códigos utilizados para a obtenção das curvas e gráficos apresentados podem ser fornecidos pelo autor correspondente mediante solicitação razoável.

Referências

• ^[1] D. Halliday, R. Resnick e K.S. Krane, Física (LTC, São Paulo, 2003), v. 3, 5 ed.
• ^[2] H. Moysés, Curso de Física Básica: Eletromagnetismo (Blucher, São Paulo, 2015), v. 3.
• ^[3] A. Chaves, Física: Curso Básico para Estudantes de Ciências Físicas e Engenharias (Reichmann & Affonso, Rio de Janeiro, 2001).
• ^[4] W. Bauer, G.D. Westfall e H. Dias, Física para Universitários: Eletricidade e Magnetismo (AMGH, Porto Alegre, 2013).
• ^[5] P.A. Tipler e G. Mosca, Física para Cientistas e Engenheiros: Eletricidade e Magnetismo, Óptica (LTC, São Paulo, 2009).
• ^[6] D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Cambridge University Press, Cambridge, 2017).
• ^[7] J.R. Reitz e F.J. Milford, Foundations of Electromagnetic Theory (Addison-Wesley, Reading, 1960).
• ^[8] J.D. Jackson, Classical Electrodynamics (John Wiley & Sons, Nova Jersey, 1999).
• ^[9] J.A. Stratton, Electromagnetic Theory (John Wiley & Sons, Hoboken, 2007).
• ^[10] W.K.H. Panofsky e M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism (Addison-Wesley, Reading, 1962).
• ^[11] L.D. Landau, E.M. Lifshitz e L.P. Pitaevskii, Electrodynamics of Continuous Media (Pergamon Press, Oxford, 1984). v. 8.
• ^[12] L. Eyges, The Classical Electrodynamic Field (Dover, New York, 2012).
• ^[13] E.J. Konopinski, Eletromagnetic Fields and Relativistic Particles (McGraw-Hill, New York, 1981).
• ^[14] K.D. Machado, Eletromagnetismo (Toda Palavra Editora, Niteroi, 2012).
• ^[15] J. Frenkel, Princípios da Eletrodinâmica Clássica (EDUSP, São Paulo, 2017).
• ^[16] J.M.F. Bassalo, Eletrodinâmica Clássica (EDUSP, São Paulo, 2012).
• ^[17] J.B. Neto, Teoria Eletromagnética (EDUSP, São Paulo, 2015).
• ^[18] F.R. Zypman, Am. J. Phys. 74, 295 (2006).
• ^[19] S. Datta, Phys. Educ. India 24, 203 (2007).
• ^[20] O. Ciftja, A. Babineaux e N. Hafeez, Eur. J. Phys. 30, 623 (2009).
• ^[21] O. Ciftja e I. Hysi, Appl. Math. Lett. 24, 1919 (2011).
• ^[22] V. Bochko e Z.K. Silagadze, Eur. J. Phys. 41, 045201 (2020).
• ^[23] F. Escalante, Eur. J. Phys. 42, 065703 (2021).
• ^[24] O. Ciftja, Results Phys. 16, 102962 (2020).
• ^[25] A.E. Sagaydak e Z.K. Silagadze, Eur. J. Phys. 46, 015203 (2025).
• ^[26] G.B. Arfken e H.J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Academic Press, California, 1985), 3 ed.
• ^[27] J.B. Filho, Funções Especiais (Papires, Campinas, 1985).
• ^[28] I.N. Sneddon, Mixed Boundary Value Problems in Potential Theory (North-Holland/Wiley-Interscience, Amsterdam/New York, 1966).
• ^[29] T. Morgan e L. Morgan, Phys. Rev. 183, 1097 (1969).
• ^[30] F.T. Krogh, E.W. Ng e W.V. Snyser, Celestial Mech. 26, 395 (1982).
• ^[31] H. Lass e L. Blitzer, Celestial Mech. 30, 225 (1983).
• ^[32] G. Neugebauer e R. Meinel, Phys. Rev. Lett. 73, 2166 (1994).
• ^[33] J.T. Conway, Mon. Not. R. Astron. Soc. 316, 540 (2000).
• ^[34] A. Elipe, E. Tresaco e A. Riaguas, Adv. Astr. Sci. 143, 843 (2009).
• ^[35] J.M. Huré e F. Hersant, Astr. Astrophys. 531, A36 (2011).
• ^[36] E. Schulz, The Astrophys. J. 747, 106 (2012).
• ^[37] J.D. Weiss, Appl. Math. 9, 1360 (2018).
• ^[38] A.J. Silenko e Y.A. Tsalkou, Int. J. Mod. Phys. A 34, 1950228 (2019).
• ^[39] B. Tiang, X. Zheng, T.J. Kempa, Y. Fang, N. Yu, G. Yu, J. Huang e C.M. Lieber, Nature 449, 885 (2007).
• ^[40] A. Nduwimana e X.Q.Wange, Nano. Lett. 9, 283 (2009).
• ^[41] Y. Levin, Rep. Prog. Phys. 65, 1577 (2002).
• ^[42] A.L. Kholodenko e A.L. Beyerlein, Phys. Rev. A 43, 3309 (1986).
• ^[43] R.D. Coalson e A. Duncan, J. Chem. Phys. 97, 5653 (1992).
• ^[44] A. Agra, E. Trizak e L. Bocquet, Eur. Phys. E 15, 345 (2004).
• ^[45] R. Morf e B.I. Halperin, Phys. Rev. B 33, 2221 (1986).
• ^[46] J. Xia, J. Math. Phys. 40, 150 (1999).
• ^[47] O. Ciftja, Europhys. Lett. 74, 486 (2006).
• ^[48] O. Ciftja, Physica B 404, 2244 (2009).
• ^[49] O. Ciftja, Int. J. Mod. B 24, 3489 (2010).
• ^[50] E.I.B. Rodrigues, M.L.S. Dias e R.O. Domingues, Rev. Bras. Ens. Fis. 47, e20240422 (2025).
• ^[51] M.E. Peskin, J. Comput. Methods Sci. Eng. 5, 92 (2003).
• ^[52] G.C. McGuire, Am. J. Phys. 71, 809 (2003).
• ^[53] N. Sarlis, G. Kalkanis, C.A. Londos, S.S. Sklavounos e P. Tsakonas, Eur. J. Phys. 17, 37 (1996).
• ^[54] P.W. Lamberti e D.P. Prato, Am. J. Phys. 59, 68 (1991).
• ^[55] P.W. Gash, Am. J. Phys. 59, 509 (1991).
• ^[56] A. Singh, Y.N. Mohapatra e S. Kumar, Am. J. Phys. 70, 424 (2002).
• ^[57] N.J. Sonine, Math. Ann. 16, 1 (1880).
• ^[58] I.S. Gradshteyn e I.M. Ryzhik, Table of Integrals, Series and Products (Academic Press, New York, 2007).
• ^[59] T.E. Bueno e U.C. Silva, Rev. Bras. Ens. Fis. 42, e20190225 (2020).
• ^[60] J. Franklin, Eur. J. Phys. 46, 045201 (2005).
• ^[61] P.F. Byrd e M.D. Friedman, Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists (Springer-Verlag, New York/Berlin, 1971), 2 ed.

Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  29 Set 2025
• Data do Fascículo
  2025

Histórico

• Recebido
  15 Maio 2025
• Revisado
  13 Jul 2025
• Aceito
  16 Ago 2025