Do Trabalho Virtual aos Princípios Variacionais: uma leitura conceitual e aplicada do Princípio de d’Alembert

From Virtual Work to Variational Principles: A Conceptual and Practical Approach

Resumo

Embora seja um princípio fundamental da mecânica, o Princípio de d’Alembert (PD) é subexplorado em contextos didáticos. Em particular, livros-texto padrão pouco discutem suas relações com o Princípio do Trabalho Virtual (PTV), um dos fundamentos históricos da mecânica, bem como seu papel na formulação de princípios variacionais, como o Princípio de Hamilton (PH). A falta de clareza sobre esses aspectos em contextos de ensino compromete a compreensão das bases epistemológicas dos conhecimentos da Física. Assim, este artigo tem três objetivos principais: i) esclarecer as hipóteses basilares que sustentam o PD, demonstrando suas potencialidades e limitações; ii) elucidar como o PD pode ser empregado para facilitar a compreensão de conceitos essenciais da Mecânica Analítica (MA); e iii) evidenciar como princípios variacionais da Mecânica Clássica podem ser deduzidos a partir do PD. Para alcançar o primeiro objetivo, apresentamos os resultados de um estudo teórico, realizado com uma metodologia para análise de episódios históricos proposta por Lima e Heidemann. Essa metodologia é centrada no conceito de hipótese científica, ressaltando como fatores epistêmicos e sociais influenciam na construção do conhecimento. O segundo objetivo é alcançado através de aplicações diretas do PD a cinco problemas típicos da mecânica, destacando conhecimentos essenciais no âmbito da MA, como deslocamento e trabalho virtual, equações de vínculos, coordenadas generalizadas, bem como argumentos matemáticos típicos do cálculo variacional. Por fim, o último objetivo é alcançado através da dedução do PH a partir do PD incorporando o formalismo dos multiplicadores de Lagrange, de modo análogo ao que foi desenvolvido pelo próprio Lagrange no seu livro Mécanique Analytique, de 1788. Em síntese, este artigo propõe uma abordagem pedagógica que ressignifica o papel do PD no ensino de MA em nível de graduação, integrando elementos da história da ciência ao ensino de conceitos da Física e oferecendo uma alternativa didática contextualizada e epistemologicamente robusta.

Palavras-chave:
Princípio de d’Alembert; Hipótese Científica; Mecânica Analítica; Princípio do Trabalho Virtual; Princípio de Hamilton

Abstract

Although d’Alembert’s Principle (DAP) is a cornerstone of mechanics, it remains underused in instructional contexts. Standard textbooks, in particular, give little attention to its connections with the Principle of Virtual Work (PVW) – one of the historical foundations of mechanics – as well as its role in the formulation of variational principles such as Hamilton’s Principle (HP). The lack of clarity on these points in educational settings hinders a deeper understanding of the epistemological foundations of physics. This article has three main goals: i) to clarify the fundamental assumptions underlying DAP, highlighting both its strengths and its limitations; ii) to show how DAP can be employed to support the learning of essential concepts in Analytical Mechanics (AM); and iii) to demonstrate how variational principles in Classical Mechanics can be derived from DAP. To address the first goal, we present the results of a theoretical study conducted using the methodology for analyzing historical episodes proposed by Lima and Heidemann, which focuses on the notion of scientific hypothesis and emphasizes the epistemic and social factors involved in the construction of knowledge. The second goal is achieved through direct applications of DAP to five representative problems in mechanics, underscoring key ideas in AM such as virtual displacements and virtual work, constraint equations, generalized coordinates, and mathematical arguments characteristic of variational calculus. Finally, the third goal is accomplished by deriving HP from DAP using the Lagrange-multiplier formalism, following an approach analogous to that developed by Lagrange himself in his 1788 Mécanique Analytique. In summary, this article proposes a pedagogical approach that reinterprets the role of DAP in undergraduate teaching of AM, integrating elements from the history of science into physics instruction and offering a contextualized, epistemologically grounded didactic alternative.

Keywords:
d’Alembert’s Principle; Scientific Hypothesis; Analytical Mechanics; Principle of Virtual Work; Hamilton’s Principle

1. Introdução

A investigação da origem dos conhecimentos da Física é essencial para consolidar as bases epistemológicas e metodológicas que sustentam as leis dessa Ciência. Saber por que uma lei é formulada de determinada maneira, e não de outra, não só promove o esclarecimento dos limites e das potencialidades das teorias, como também favorece a transposição didática adequada para os diversos níveis de ensino.

No contexto do ensino da Mecânica Analítica, é comum que princípios variacionais, como o Princípio de Hamilton (PH), sejam introduzidos de forma isolada e postulacional, sem suficientes discussões sobre os fundamentos que os justificam. Essa prática desconsidera, por exemplo, que o PH foi originalmente deduzido por Hamilton a partir do Princípio de d’Alembert (PD), o qual também serviu como base para a formulação da teoria de Lagrange. Apesar de sua relevância histórica e teórica, o PD é frequentemente relegado a um papel secundário no ensino da Mecânica Clássica. Alguns autores optam por iniciar o estudo da mecânica postulando o PH [¹, ², ³, ⁴], enquanto outros iniciam postulando o PD [⁵, ⁶, ⁷, ⁸]. Entretanto, mesmo os autores que partem do PD não discutem os pressupostos, aplicações e implicações imediatas desse princípio. O que se faz é introduzir o PD e imediatamente deduzir as equações de Euler-Lagrange (EL). Ainda, ao introduzir o PH, esses autores não esclarecem que o princípio pode ser deduzido a partir do PD, o que é preocupante.

Por outro lado, a origem e validade do PD está fortemente vinculada com outro princípio muito antigo da mecânica, chamado Princípio do Trabalho Virtual (PTV), que descreve sistemas estáticos. Como discutido na Seção 2, pode-se dizer que a validade do PD depende da validade do PTV. Entretanto, nas fontes citadas anteriormente, pouco ou nenhum esforço é feito para esclarecer esse aspecto. Esses elementos evidenciam que, ao negligenciar a histórica conexão do PD com o PTV, incorre-se no risco de construir conhecimento sobre bases epistemológicas e conceituais frágeis. Assim, as preocupações até aqui levantadas exigem uma abordagem que privilegie a análise dos pressupostos e hipóteses basilares do conhecimento científico.

Para compreender de forma aprofundada o processo de adoção do PD na Mecânica, apresentamos neste artigo os resultados de um estudo teórico de caráter histórico, fazendo uso de fontes primárias e secundárias. Esse estudo elucida a construção do PD à luz das hipóteses assumidas por Lagrange durante sua formulação. A análise dos episódios históricos foi fundamentada em um referencial teórico-metodológico proposto por Lima e Heidemann [⁹], que é centrado na noção de hipótese científica. Os autores seguem uma linha de pensamento adotada por diversos epistemólogos, para os quais hipóteses são proposições científicas que extrapolam as evidências empíricas, indo além do conteúdo experienciável, direcionando o trabalho de pesquisa científica. Essa abordagem, que destaca como fatores contextuais e culturais influenciam o pensamento do cientista na construção do conhecimento, revela-se especialmente adequada para aplicações didáticas, ao retratar a ciência como guiada por fatores tanto epistêmicos quanto sociais.

Conforme discutido e justificado na Seção 4, o PD é amplamente reconhecido como um princípio fundamental da Mecânica Clássica. Apesar disso, suas potencialidades didáticas são subexploradas nos cursos de Mecânica Analítica em nível de graduação. Tipicamente, ao abordar o PD, os cursos rapidamente derivam as equações de EL, deixando pouco espaço para refletir sobre conceitos fundamentais como deslocamento e trabalho virtual, equações de vínculo, coordenadas generalizadas e multiplicadores de Lagrange. Neste artigo, demonstramos como esses conceitos podem ser explorados em uma etapa prévia à apresentação do formalismo lagrangiano através da integração de discussões sobre elementos históricos da construção desse conhecimentos e de aplicações diretas do PD a sistemas relativamente complexos. Essa metodologia não apenas se constitui em um recurso didático efetivo para elucidar conceitos, aumentando o escopo de problemas passíveis de serem atacados, como também promove a conceitualização mais sólida de um princípio basilar da mecânica, favorecendo a compreensão de construções mais abstratas, como os princípios variacionais.

Tendo isso em vista, este artigo propõe uma abordagem integrada para o estudo do PD, organizada em três etapas interdependentes, concatenadas em um percurso didático e epistemológico. Primeiramente, na Seção 2, apresentamos uma análise histórica das hipóteses assumidas por Lagrange, situando o PD em seu contexto epistemológico original e elucidando seus fundamentos. Em seguida, a Seção 3 mostra como o PD pode ser aplicado diretamente em problemas típicos da mecânica, o que permite consolidar conceitos essenciais – como deslocamento virtual, equações de vínculo e coordenadas generalizadas – antes da transição para o formalismo lagrangiano. Por fim, na Seção 4, demonstramos que o PD também constitui a base para formulações variacionais mais gerais, derivando dele o Princípio de Hamilton com o auxílio dos multiplicadores de Lagrange. Assim, o artigo constrói uma sequência contínua: das origens epistemológicas, às possíveis aplicações em situações didáticas, à fundamentação teórica mais abstrata, promovendo um ensino contextualizado da Mecânica Analítica.

A abordagem pedagógica descrita neste artigo é uma proposta de ensino em nível geral, não tendo sido avaliada do ponto de vista de sua eficácia no âmbito de uma pesquisa empírica. Leitores(as) interessados(as) em uma proposta didática específica inspirada nessa abordagem podem consultar [¹⁰].

2. Elucidando a Adoção do Princípio de d’Alembert (PD) Com Base no Referencial de Hipóteses

Para aprofundarmos os resultados do estudo mencionado na introdução, faz-se necessário compreender o caminho seguido por Lagrange nas etapas iniciais da construção da mecânica. Antes de iniciarmos a exposição, cabe destacar que não foi nosso objetivo realizar um estudo de natureza historiográfica, o qual exigiria uma pesquisa cuja profundidade requerida descaracterizaria nossa intenção primária: delinear uma abordagem didática fundamentada em fatos históricos bem estabelecidos e documentados tanto por fontes originais quanto secundárias. Grande parte das fontes secundárias citadas são, em si, estudos historiográficos. Assim, nos apoiamos em estudos legitimados para levantar os fatos históricos relevantes. Feito isso, procedemos à classificação das hipóteses de acordo com o referencial de Lima e Heidemann [⁹], explicado em maior detalhes a seguir.

Anos antes de publicar a obra seminal Mécanique Analytique, Lagrange estava muito interessado em uma nova proposta de reformulação da Mecânica: o Princípio de Maupertuis (PM) [¹¹]. Esse princípio chamou a atenção tanto de Euler quanto de Lagrange porque foi o primeiro que possibilitou explicar tanto fenômenos da estática (p. ex., o equilíbrio de uma alavanca) como da dinâmica (p. ex., colisões elásticas), unindo essas duas ciências até então separadas. Além disso, o princípio trazia uma ideia nova na Mecânica, segundo a qual a natureza seguiria um princípio de economia/eficiência, expresso matematicamente pela minimização de uma função chamada “ação” ($A$), que, para uma partícula se movendo na direção $x$, foi definida por Maupertuis como $A=p_x\Delta x$, onde $p_x$ é a componente $x$ do momentum linear da partícula [¹²]. Enquanto Maupertuis investigava os pontos mínimos de $A$ usando cálculo (derivando $A$ e igualando a zero), Euler e Lagrange foram além, desenvolvendo o cálculo das variações. Isso se fez necessário porque esses autores expandiram a definição de ação proposta por Maupertuis. Assim, por comparação com resultados já disponíveis, como os elucidados por Newton no Principia, Euler conseguiu demonstrar que, para uma única partícula, vale a relação [¹³]:

(1) $$\delta A=\delta {\int }_{{\overrightarrow{s}}_0}^{{\overrightarrow{s}}_F}\overrightarrow{p}\cdot \mathit{d}\overrightarrow{s}=0,$$

onde $\overrightarrow{p}$ é o momentum da partícula e $\overrightarrow{s}$, seu vetor posição. No cálculo das variações, $\delta f\left(t\right)\equiv \tilde{f}\left(t\right)-f\left(t\right)=\epsilon \varphi \left(t\right)$ é definido como uma variação virtual da função $f\left(t\right)$, onde $\tilde{f}\left(t\right)$ é uma versão pouco modificada de $f\left(t\right)$, em que $\epsilon$ é um parâmetro feito tender a zero e $\varphi \left(t\right)$ uma função arbitrária contínua e diferenciável, sujeita apenas a condições de contorno quando estas existem. Nota-se que a variação $\delta f$ não é produzida por uma mudança na variável independente $t$, e sim pela arbitrariedade da escolha de $\epsilon$ e $\varphi$. Tanto $df$ quanto $\delta f$ são mudanças infinitesimais em $f$; a diferença fundamental é que $df$ é uma mudança causada por uma variação infinitesimal da variável independente ($dt$), enquanto $\delta f$ é uma variação infinitesimal de $f$, produzindo uma nova função $\tilde{f}=f+\delta f$ [¹⁴].

Lagrange expandiu as contribuições de Euler ao aplicar o PM para tratar um sistema de $N$ partículas [¹⁵]:

(2) $$\delta A=\delta {\int }_{{\overrightarrow{s}}_0}^{{\overrightarrow{s}}_F}\sum _{i=1}^N{\overrightarrow{p}}_i\cdot d{\overrightarrow{s}}_i=0,$$

onde os limites de integração mudam para cada partícula. Admitindo a conservação da energia e aplicando as técnicas do cálculo variacional à equação (2), Lagrange chega em uma equação equivalente à que chamamos hoje de PD. Vamos demonstrar esse resultado em notação moderna.

Pela regra do produto, a equação (2) pode ser escrita como:

(3) $${\displaystyle {\int }_{{\overrightarrow{s}}_0}^{{\overrightarrow{s}}_F}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N}{m}_i\delta \left({\overrightarrow{v}}_i\cdot d{\overrightarrow{s}}_i\right)={\displaystyle {\int }_{{\overrightarrow{s}}_0}^{{\overrightarrow{s}}_F}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N}{m}_i\delta {\overrightarrow{v}}_i\cdot d{\overrightarrow{s}}_i+{\displaystyle {\int }_{{\overrightarrow{s}}_0}^{{\overrightarrow{s}}_F}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N}{m}_i{\overrightarrow{v}}_i\cdot \delta \left(d{\overrightarrow{s}}_i\right)=0.$$

Assumindo a conservação da energia e tomando a variação virtual dessa expressão, temos:

(4) $${\displaystyle \sum _{i=1}^N}{\displaystyle \frac{1}{\text{2}}}{m}_i{\overrightarrow{v}}_i\cdot {\overrightarrow{v}}_i+U=E\Rightarrow {\displaystyle \sum _{i=1}^N}{m}_i{\overrightarrow{v}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{v}}_i+U=0.$$

onde $\delta E=0$ pois a energia é constante. Podemos reescrever a equação (4) usando ${\overrightarrow{v}}_i=d{\overrightarrow{s}}_i/dt$:

(5) $$\sum _{i=1}^N{m}_i{\overrightarrow{v}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{v}}_i=-\delta Udt.$$

Note agora que o operador $\delta$ comuta com o operador $d$, isto é:

(6) $$\delta \left(df\right)=d\left(\delta f\right).$$

Para ver isso, utilizamos a definição de uma variação virtual:

(7) $$\delta \left(df\right)=\widetilde{df}-df=d\tilde{f}-df=d\left(f+\epsilon \varphi \right)-df=df+d\left(\epsilon \varphi \right)-df=d\left(\delta f\right).$$

Em que usamos $\widetilde{df}=d\tilde{f}$, por construção. Com essa propriedade, é imediato verificar que:

(8) $${\overrightarrow{v}}_i\cdot \delta \left(d{\overrightarrow{s}}_i\right)=d\left({\overrightarrow{v}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i\right)-d{\overrightarrow{v}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i.$$

Substituindo as equações (8) e (5) na equação (3), tem-se:

(9) $${\displaystyle {\int }_{t_0}^{t_F}}\delta U\mathit{d}t+{\displaystyle {\int }_{{\overrightarrow{v}}_0}^{{\overrightarrow{v}}_F}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N}{m}_{i}d{\overrightarrow{v}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i={\displaystyle \sum _{i=1}^N}{m}_i{\displaystyle {\int }_{{\overrightarrow{s}}_0}^{{\overrightarrow{s}}_F}}d\left({\overrightarrow{v}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i\right)={{\displaystyle \sum _{i=1}^N}{m}_i{\overrightarrow{v}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i|}_{{\overrightarrow{s}}_0}^{{\overrightarrow{s}}_F}=0.$$

O lado direito da equação (9) é zero pois a variação virtual se dá entre limites definidos, isto é, os extremos não variam: $\delta {\overrightarrow{s}}_i\left({\overrightarrow{s}}_0\right)=\delta {\overrightarrow{s}}_i\left({\overrightarrow{s}}_F\right)=0$. Se a energia potencial $U$ é independente das velocidades das partículas, tem-se: ${\overrightarrow{F}}_i=-{\nabla }_{i}U$. Assim:

(10) $$\delta U({\overrightarrow{r}}_1,\dots ,{\overrightarrow{r}}_N,t)={\displaystyle \sum _{i=1}^N}{\nabla }_{i}U\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i+{\displaystyle \frac{\partial U}{\partial t}}\delta t=-{\displaystyle \sum _{i=1}^N}{\overrightarrow{F}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i,$$

pois $\delta t=0$ em uma variação virtual. Substituindo a equação (10) na equação (9) e usando $d{\overrightarrow{v}}_i={\overrightarrow{a}}_{i}dt$:

(11) $${\displaystyle {\int }_{t_0}^{t_F}}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^N}\left({\overrightarrow{F}}_i-m_i{\overrightarrow{a}}_i\right)\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i\right)\mathit{d}t=0\Rightarrow {\displaystyle \sum _{i=1}^N}\left({\overrightarrow{F}}_i-m_i{\overrightarrow{a}}_i\right)\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i=0.$$

Rigorosamente, o integrando só é nulo se todas as variações virtuais ${\left\{\delta {\overrightarrow{s}}_i\right\}}_{i=1}^N$ são independentes ou quando essa dependência é eliminada por meio da consideração dos vínculos que o sistema está sujeito, conforme será discutido a seguir e na Seção 3. A equação (11) é o que chamamos hoje de PD. Mas conceitualmente, qual é o seu significado? Ao deduzi-la, Lagrange reconheceu que a equação se trata de uma aplicação de um princípio muito antigo da estática. Esse princípio descreve o equilíbrio de um sistema com $N$ partículas, podendo ser enunciado em notação moderna como [¹⁶]:

(12) $$\sum _{i=1}^N{\overrightarrow{F}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i=0,$$

onde ${\overrightarrow{F}}_i$ é a força (interna ou externa) sobre a i-ésima partícula, sendo que ${\overrightarrow{F}}_i$ não realiza trabalho virtual, e $\delta {\overrightarrow{s}}_i$ um deslocamento virtual da i-ésima partícula compatível com os vínculos impostos ao sistema. Destaca-se que o PTV vale para forças ${\overrightarrow{F}}_i$ arbitrárias, não apenas forças monogênicas¹. Como o PTV é sobre deslocamentos virtuais, o resultado do produto escalar entre uma força e esse deslocamento é referido como trabalho virtual. A história da origem, aplicações e potencialidades didáticas da exploração da equação (12), bem como dos resultados dela derivado, já foram discutidas com profundidade em [¹⁷]. Neste trabalho, demonstra-se as origens empíricas do PTV, que historicamente foi derivado a partir de considerações sobre o equilíbrio na alavanca, explicações essas que remontam à Aristóteles. As aplicações discutidas são adequadas para o contexto de uma disciplina de Mecânica Analítica em nível de graduação.

Ao constatar que o PM poderia ser derivado a partir de construções mais elementares, Lagrange abandona esse princípio e adota o PTV como o princípio basilar da Mecânica. Isso pode ser constatado já em seu trabalho sobre a teoria da libração da Lua [¹⁸], que não foi publicado até 1777, baseado na equação (11). Por isso, na primeira parte do Mécanique Analytique (o livro tem duas partes), publicado em 1788, Lagrange busca justificar a equação (12), validando-a como um princípio geral da mecânica aplicável às situações estáticas. Outros princípios da estática são mencionados e tratados como equivalentes (p. ex., a lei da alavanca e da composição de forças). A equação (12) corresponde, em sua obra, ao “Princípio das Velocidades Virtuais”, sendo que “velocidades” é uma herança da construção aristotélica sobre esse princípio, conforme se discute em [¹⁷]. Na segunda parte, Lagrange cita a contribuição de diversos geômetras² de seu tempo e celebra os princípios da mecânica disponíveis até então, como o princípio da conservação da vis viva (equivale à conservação da energia), de Maupertuis e de d’Alembert, que em sua versão original difere da equação (11) [²⁰]. As equações que posteriormente serão chamadas de equações de EL são deduzidas sem o uso de cálculo variacional, a partir da equação (11), que é justificada como uma expansão da equação (12), passando a descrever situações da dinâmica. Apesar de evocar o PM, Lagrange não menciona seu papel no desenvolvimento de sua própria compreensão da Mecânica Analítica. Então como esses conhecimentos foram justificados em seu famoso livro? Para compreender isso, voltamo-nos ao referencial para a análise de episódios históricos calcado na noção de hipóteses de Lima e Heidemann (2023).

Os autores propõem uma classificação das hipóteses, de acordo com sua natureza, em cosmovisivas, ontológicas ou representacionais. As hipóteses cosmovisivas correspondem a declarações de caráter metafísico ou epistemológico que não se vinculam a eventos específicos, mas abordam a realidade como um todo, a construção do conhecimento científico e a maneira como o cientista concebe a adequação de sua teoria ao mundo. Afirmações do tipo “existe uma realidade objetiva”, “é possível conhecer a realidade”, “a matemática é uma linguagem universal” e “o experimento é a única fonte confiável de conhecimento” são exemplos de hipóteses cosmovisivas. As hipóteses ontológicas, por sua vez, dizem respeito à essência ou comportamento de um ente, formulando proposições sobre sua natureza ou suas propriedades intrínsecas. Por exemplo, as seguintes afirmações poderiam ser classificadas como hipóteses ontológicas: “o calor é um fluido”, “espaço e tempo são absolutos e independentes”, “a luz é um fenômeno ondulatório”, “a luz é um fenômeno corpuscular” e “o átomo é indivisível”. Já as hipóteses representacionais consistem em construções esquemáticas que, ao idealizar e simplificar um fenômeno ou ente, destacam seus aspectos fundamentais e descartam elementos irrelevantes para torná-lo tratável à luz de alguma teoria. São exemplos de hipóteses representacionais: “vamos considerar uma barra como sendo um objeto unidimensional”, “a massa do fio no pêndulo é muito pequena quando comparada com a do corpo suspenso”, “os efeitos de borda em um capacitor de placas planas podem ser desprezados”, “não vamos considerar o atrito”, “não vamos considerar a resistência do ar”. Geralmente, essas hipóteses são assumidas implicitamente pelos cientistas, o que muitas vezes dificulta uma compreensão aprofundada de suas ideias.

Com base nas definições acima, podemos afirmar que uma hipótese cosmovisiva assumida (implicitamente) por Lagrange é que “a análise matemática é a linguagem mais adequada para descrever fenômenos naturais”. Em contraste, precursores de Lagrange, como Newton e Galileu, diriam que a linguagem mais adequada é a geometria, pois essa seria a forma mais antiga, portanto a mais próxima de um conhecimento verdadeiro, supostamente conferido por Deus e ainda não corrompido [²¹]. O abandono da geometria em favor da análise pode ser entendido como o produto do contexto iluminista no qual Lagrange viveu, marcado pela valorização extrema da razão e da ciência [²²].

Já uma hipótese de natureza ontológica da teorização é que “a causa dos movimentos é imanente às equações que os descrevem”. Tal hipótese vem do fato de que Lagrange acreditava que não se pode (nem se faz necessário) conhecer as causas primeiras do movimento: na mecânica, o efeito das causas seria a mudança no movimento; por sua vez, a nova configuração de posição passa a ser a causa dos novos efeitos. Em outras palavras, o estado do sistema físico em um instante ($t$) é a causa da variação no seu estado subsequente ($t+dt$), estando essas informações engendradas na própria forma das equações diferenciais que descrevem o sistema. Trata-se, portanto, de uma “causalidade diferencial”, onde as causas são imanentes das próprias equações de movimento [²³]. Tal raciocínio passou a ser concebido na medida em que os avanços na matemática os tornaram possíveis. Um elemento essencial, antes irrelevante para os princípios da mecânica que descreviam a estática, mas crucial para o avanço da dinâmica, foi a conceituação da noção de tempo instantâneo, viabilizada pelo uso do pêndulo como instrumento para medições temporais precisas, principalmente a partir de 1673, com a publicação da obra Horologium Oscillatorium, de Huygens [²⁴].

Como exemplo de hipótese representacional assumida por Lagrange, podemos citar: “deslocamentos virtuais são deslocamentos possíveis, que ocorrem em um tempo ‘t’ fixo ($dt=0$), respeitando os vínculos do sistema”. Por exemplo, se o sistema está sujeito a um vínculo do tipo holônomo³$f({\overrightarrow{s}}_1,\dots ,{\overrightarrow{s}}_N,t)=0$, em um deslocamento virtual de todas as partículas do sistema teríamos:

(13) $$\delta f=\sum _{i=1}^N{\nabla }_{i}f\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i=0.$$

A equação (13) é o diferencial total da função $f$, com $df=0$, que é a implicação matemática do requisito “respeitando os vínculos”⁴, $dt=0$ (tempo fixo) e com uma mudança de notação $d\to \delta$ para deixar claro que estamos considerando deslocamentos virtuais ($\delta {\overrightarrow{s}}_i$), que são deslocamentos possíveis em um tempo fixo. Assim, a variação virtual considerada é a mesma do cálculo variacional, conforme discutido. Portanto, essa hipótese deriva principalmente dos desenvolvimentos da matemática, em especial do cálculo variacional. Mas afinal, qual o papel do PM – uma das principais utilidades do cálculo variacional na mecânica naquele momento – na construção de Lagrange?

No Mécanique Analytique, Lagrange se refere ao PM como um mero corolário de sua nova mecânica, deixando de destacar o papel que o princípio teve nos estágios iniciais de sua teorização. Isso aconteceu por dois motivos. Primeiramente, o PM só se aplica à situações particulares, quando a energia se conserva, não sendo, portanto, um princípio geral da Mecânica. Outro ponto que afastou Lagrange desse princípio foi a sua forte carga metafísica, nesse caso associada com uma causa finalística de economia/eficiência na natureza. Enquanto Euler e Lagrange viam a minimização da ação na Mecânica como mais uma aplicação de seus teoremas matemáticos, Maupertuis via a prova da existência de Deus [²⁵]. A rejeição por interpretações dessa natureza é mais um produto do contexto iluminista. De fato, até Hamilton, os princípios variacionais – como o de Maupertuis – foram considerados interessantes, porém supérfluos ou mesmo inúteis [²⁶]. Assim, pode-se afirmar que uma hipótese assumida por Lagrange em sua construção foi que “o fazer científico deve ser livre de concepções metafísicas”.

No referencial de Lima e Heidemann (2023), afirmar que “sistemas em equilíbrio obedecem ao PTV” equivale a fazer uma hipótese ontológica, pois o princípio descreve o comportamento de um sistema. Por exemplo, uma consequência imediata da equação (12), aplicável às situações em que todas as forças ${\overrightarrow{F}}_i$ são conservativas, isto é ${\overrightarrow{F}}_i=-{\nabla }_{i}U$, é que a energia potencial do sistema se encontra em um ponto crítico (máximo, mínimo ou ponto de sela):

(14) $$-\sum _{i=1}^N{\nabla }_{i}U\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i=-\delta U=0.$$

Assim, o princípio de extremização da energia potencial no caso de forças conservativas é equivalente ao PTV. Subjacente à hipótese da validade do PTV para forças arbitrárias, podemos destacar a hipótese representacional de que “o trabalho virtual líquido das forças de vínculo é nulo”. Essa é uma afirmação tão forte que alguns autores, como [²⁷], consideram que essa poderia ser tomada como a própria definição de sistemas mecânicos. Trata-se de uma hipótese representacional porque simplifica significativamente a análise de problemas reais, onde os vínculos não são ideais (principalmente por conta do atrito), realizando trabalho virtual não nulo. Essas ideias derivam do esforço, empreendido por grande parte da comunidade acadêmica à época de Lagrange, de revisar os princípios da estática e da dinâmica, buscando estabelecer as bases dessas duas ciências, vistas até então como separadas [²⁸].

Destaca-se que, em termos formais, as duas últimas hipóteses mencionadas: “sistemas em equilíbrio obedecem ao PTV” (ontológica) e “o trabalho virtual líquido das forças de vínculo é nulo” (representacional) são matematicamente equivalentes dentro da teoria. Contudo, nossa categorização não se baseia apenas em critérios lógico-formais, mas na função epistemológica que os enunciados desempenham. Assim, a primeira hipótese foi interpretada como hipótese ontológica, por afirmar diretamente um comportamento do mundo físico, enquanto a segunda foi classificada como hipótese representacional, por corresponder a uma idealização metodológica que permite tratar os vínculos de forma simplificada. Portanto, as afirmações não são redundantes, supérfluas ou contraditórias, apenas expressam uma diferenciação deliberada de papéis epistemológicos, conforme o referencial de Lima e Heidemann que fundamenta nossa análise.

Como Lagrange interpretou o termo $-m_i{\overrightarrow{a}}_i$ no PD, que é um termo adicional ao PTV? Segundo ele, esse termo evidencia a validade do PTV em situações da dinâmica. Em suas palavras, ao resolver problemas da dinâmica, “será suficiente estabelecer diretamente o equilíbrio entre as forças e os movimentos resultantes, mas considerando-os na direção oposta. Se imaginarmos que sobre cada corpo é impresso o movimento que ele deve seguir na direção oposta, fica claro que o sistema estaria em repouso” [[²⁹], p. 179–180, tradução nossa]. Destaca-se a ênfase dada por Lagrange ao fato de que um corpo em movimento, ao ser submetido a uma força de inércia contrária à força resultante que atua sobre ele, permaneceria em repouso⁵. Essa é a condição para a validade do PTV, o princípio fundamental do Mécanique Analytique. Portanto, pode-se dizer que Lagrange assumiu a hipótese representacional de que “Sistemas dinâmicos podem ser concebidos como estáticos quando sujeitos a forças fictícias de inércia que se opõem a sua variação de movimento”. Essa concepção foi influenciada pela mecânica de d’Alembert, que envolvia a decomposição dos movimentos em três partes: impresso, correspondente ao movimento inicial dos corpos; real, resultante das forças externas, mútuas e de vínculos; e destruído, representando a parte do movimento perdida devido às interações (d’Alembert, 1743, p. 50–51). Para d’Alembert, o movimento real é igual ao movimento impresso menos o destruído. A construção de Lagrange aproveitou a noção de “movimento destruído” para conceitualizar o termo $-m_i{\overrightarrow{a}}_i$. Nota-se que a força fictícia é contrária à força resultante sobre a i-ésima partícula ${\overrightarrow{F}}_i^R$, e não à força ${\overrightarrow{F}}_i$ na equação (11). A força resultante é tal que ${\overrightarrow{F}}_i^R={\overrightarrow{F}}_i+{\overrightarrow{F}}_i^V$, onde ${\overrightarrow{F}}_i^V$ é a força de vínculo sobre a i-ésima partícula. Essa força desaparece do PD porque ${\overrightarrow{F}}_i^V\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i=0$, uma das hipóteses assumidas. Essas considerações nos permitem entender conceitualmente o PD. A equação (11) implica que, em um sistema dinâmico, o trabalho virtual realizado pelas forças reais, somadas às forças fictícias de inércia contrárias à força resultante atuando sobre cada partícula, é zero para qualquer deslocamento virtual compatível com os vínculos do sistema. A validade desta proposição é baseada na validade do PTV, um princípio da estática.

Cabe destacar que o recorte apresentado é uma reconstrução histórica que depende crucialmente da interpretação dos autores deste artigo. Por mais que tenhamos confrontado nossas afirmações com fontes originais e secundárias provenientes de autores especialistas nas suas respectivas áreas, toda tentativa de retratar episódios históricos incorre no risco de não refletir adequadamente os eventos em estudo (Pietrocola, Ricardo e Forato, 2019). Assim, a Figura (1), além de resumir a análise realizada até aqui, constitui-se em uma interpretação única de episódio histórico, refletindo as concepções individuais dos autores. Na figura, as flechas conectando os elementos contextuais (parte superior) com as hipóteses (parte do meio) auxiliam a visualização da influência desses fatores na construção teórica. As hipóteses são classificadas quanto a sua natureza em cosmovisivas, ontológicas ou representacionais, conforme representado na parte inferior do diagrama. O evento representado pela construção teórica é o movimento dos corpos, como indicado no canto inferior direito.

Figura 1
Elementos contextuais e hipóteses assumidas por Lagrange na construção do PD. A explicação do quadro está no texto.

A análise histórica evidenciou que o Princípio de d’Alembert se constrói como uma extensão dinâmica do PTV, fundada em hipóteses que podemos classificar como de natureza epistemológica, ontológica e representacional. Essa leitura histórica abre espaço para sua reinterpretação pedagógica: ao reconhecer as condições de validade e os sentidos originais do PD, torna-se possível empregá-lo como ferramenta para ilustrar, de modo conceitualmente fundamentado, noções como deslocamento virtual, vínculos e coordenadas generalizadas. É nesse horizonte que se situam os exemplos discutidos na seção seguinte, particularmente adequados para explorar a equação (11) de maneira frutífera em contextos educacionais do nível superior.

3. Explorando o PD em Situações Típicas da Mecânica

Em geral, cursos de Mecânica Analítica que partem do PD (equação (11)) derivam desse princípio as equações de EL imediatamente após a sua introdução. Entretanto, esse procedimento pode dificultar a aprendizagem efetiva de conceitos essenciais nessa área do conhecimento, como o de deslocamento virtual, o papel das equações de vínculos, a noção de coordenadas generalizadas, assim como argumentos matemáticos que seriam utilizados posteriormente na dedução das equações de EL. Esses conceitos podem ser introduzidos como uma etapa prévia às construções mais abstratas, favorecendo a aprendizagem conceitual. Assim, nesta seção, utilizamos diretamente o PD para tratar a dinâmica de sistemas relativamente complexos, já como um prelúdio ao poder do formalismo por vir.

Os cinco exemplos escolhidos para discussão ilustram a aplicação do PD a diferentes situações: 1) sistema unidimensional, com duas partículas e dois graus de liberdade; 2) sistema bidimensional, com uma partícula e um corpo rígido, envolvendo dois graus de liberdade; 3) sistema bidimensional com vínculo dependente do tempo; 4) sistema bidimensional descrito em coordenadas curvilíneas; e 5) sistema bidimensional envolvendo dois corpos rígidos com movimento de translação e rotação sem deslizamento. Os exemplos representam uma ampla gama de situações, facilitando a aplicação do PD a problemas diversos.

Exemplo 1: Duas partículas de massa $m_1$ e $m_2$ estão conectadas por uma mola ideal de constante elástica $k$, comprimento $L$ e comprimento relaxado $L_0$. O sistema oscila em razão apenas da força exercida pela mola. A situação está representada na Figura (2). Determine as equações de movimento do sistema.

Figura 2
Duas partículas conectadas por uma mola ideal.

Pela geometria apresentada na Figura (2), a força devida à mola atuando sobre cada partícula é:

(15) $${\overrightarrow{F}}_1=k\left(L-L_0\right)\widehat{i}e{\overrightarrow{F}}_2=-k\left(L-L_0\right)\widehat{i}.$$

Nota-se que a expressão da força evoca naturalmente uma nova variável $L$, que passamos a adotar como coordenada generalizada. A adição dessa nova coordenada vem acompanhada da relação $x_2=x_1+L$, que identificamos como uma equação de vínculo:

(16) $$f(x_1,x_2,L)=x_1+L-x_2=0.$$

Se um sistema tem $n$ coordenadas $q_1,\dots ,q_n$ e $m$ equações de vínculo ${\left\{f_a(q_1,\dots ,q_n,t)\right\}}_{\alpha =1}^m$, apenas $n-m$ coordenadas são de fato independentes, pois $m$ coordenadas podem ser eliminadas pelas equações de vínculo. No problema, temos três coordenadas generalizadas ($x_1,x_2$ e $L$) e uma equação de vínculo ($f$). Logo, o sistema tem duas coordenadas independentes, digamos $x_1$ e $L$. Nota-se que não é absolutamente necessário trabalhar com a coordenada $L$: para manter apenas $x_1$ e $x_2$, bastaria substituir a equação (16) na equação (15). De qualquer forma, o sistema teria duas coordenadas independentes. Derivando a equação (16) duas vezes em relação ao tempo, temos:

(17) $${\ddot{x}}_2={\ddot{x}}_1+\ddot{L}.$$

Ainda, pela equação (13), os deslocamentos virtuais são obtidos diretamente a partir da equação (16):

(18) $$\delta x_2=\delta x_1+\delta L.$$

Aplicando o PD (equação (11))

(19) $$\left(F_1-m_1{\ddot{x}}_1\right)\delta x_1+\left(F_2-m_2{\ddot{x}}_2\right)\delta x_2=0$$

e substituindo as equações (15), (17) e (18) e na equação (19), tem-se:

(20) $$\left[\left(m_1+m_2\right){\ddot{x}}_1+m_2\ddot{L}\right]\delta x_1+\left[k\left(L-L_0\right)+m_2\left({\ddot{x}}_1+\ddot{L}\right)\right]\delta L=0.$$

Como as variações $\delta x_1$ e $\delta L$ são independentes, os coeficientes que as multiplicam são nulos, gerando duas equações de movimento: $\left(m_1+m_2\right){\ddot{x}}_1+m_2\ddot{L}=0$ e $k\left(L-L_0\right)+m_2\left({\ddot{x}}_1+\ddot{L}\right)=0$. Resolvendo para as derivadas segunda, tem-se:

(21) $${\ddot{x}}_1=\frac{k}{m_1}\left(L-L_0\right),$$

(22) $$\ddot{L}=-\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right){\ddot{x}}_1.$$

Resolvidas essas duas equações diferenciais acopladas, obtém-se a coordenada $x_2$ pela equação (16), o que conclui a solução.

Exemplo 2: Um half pipe de massa $m_1$ tem formato parabólico dado pela equação $y=x^2/a$, onde $a$ é um parâmetro de escala com unidade de distância. Ele é montado sobre um carrinho que pode se deslocar sem atrito ao longo da direção horizontal. Um bloco de massa $m_2$ é colocado sobre o half pipe, oscilando, também sem atrito, em razão da força gravitacional. O sistema está representado na Figura (3). Determine as equações de movimento do sistema.

Figura 3
Bloco oscilando em um half pipe móvel. Tanto o half pipe quanto o bloco se movem em relação ao sistema de coordenadas, que é considerado fixo no espaço.

Diferente do exemplo 1, com apenas duas partículas, nesse caso temos um sistema de muitas partículas. Para aplicar o PD a um sistema desse tipo, é necessário considerar seu centro de massa. Em corpos rígidos sem rotação, o deslocamento virtual de todas as partículas é igual ao deslocamento virtual do centro de massa, isto é, $\delta {\overrightarrow{s}}_i=\delta \overrightarrow{S}$ para $i=1,\dots ,N$, onde $\overrightarrow{S}$ é a posição do centro de massa. Nessa situação, o PD assume a forma simplificada:

(23) $${\displaystyle \sum _i}\left({\overrightarrow{F}}_i-m_i{\overrightarrow{a}}_i\right)\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i=\left[\left({\displaystyle \sum _i}{\overrightarrow{F}}_i\right)-\left({\displaystyle \sum _i}{m}_i{\overrightarrow{a}}_i\right)\right]\cdot \delta \overrightarrow{S}=\left({\overrightarrow{F}}_T-M\overrightarrow{A}\right)\cdot \delta \overrightarrow{S}=0,$$

onde ${\overrightarrow{F}}_T$ é a força total (que realiza trabalho virtual) atuando sobre o corpo rígido, $M$ sua massa total e $\overrightarrow{A}=\ddot{\overrightarrow{S}}$ a aceleração do centro de massa. Nota-se ainda que qualquer ponto do corpo rígido poderia ser tomado.

Para resolver o problema, vamos apenas admitir que o bloco seja pequeno o suficiente para ser considerado puntiforme. O half pipe é um corpo rígido restrito a se mover na direção horizontal. Tomando as coordenadas de seu centro de massa como $\overrightarrow{S}=x_1\widehat{i}+y_1\widehat{j}$, onde $y_1=h$ é uma constante (ver Figura (3)), enunciamos a primeira equação de vínculo:

(24) $$f_1\left(y_1\right)=y_1-h=0.$$

Considerando a equação (24), podemos escrever $\delta \overrightarrow{S}=\delta x_1\widehat{i}$ e $\overrightarrow{A}={\ddot{x}}_1\widehat{i}$, onde ${\ddot{y}}_1=0$. Sendo que cada partícula está sujeita à força gravitacional, a força total é ${\overrightarrow{F}}_T=-m_{1}g\widehat{j}$. Repare que não é necessário considerar as forças normais entre o bloco e o half-pipe e entre o solo e o half-pipe, já que, nesse caso, elas não realizam trabalho virtual (são forças perpendiculares aos respectivos deslocamentos virtuais). Com essas considerações, o PD para o sistema completo (half pipe + bloco) fica:

(25) $$\left[\left(\begin{array}{c}0\\ -m_{1}g\end{array}\right)-m_1\left(\begin{array}{c}{\ddot{x}}_1\\ 0\end{array}\right)\right]\cdot \left(\begin{array}{c}\delta x_1\\ 0\end{array}\right)+\left[\left(\begin{array}{c}0\\ -m_{2}g\end{array}\right)-m_2\left(\begin{array}{c}{\ddot{x}}_2\\ {\ddot{y}}_2\end{array}\right)\right]\cdot \left(\begin{array}{c}\delta x_2\\ \delta y_2\end{array}\right)=0,$$

a qual simplifica-se para

(26) $$m_1{\ddot{x}}_1\delta x_1+m_2{\ddot{x}}_2\delta x_2+m_2\left(g+{\ddot{y}}_2\right)\delta y_2=0.$$

Nota-se que as coordenadas $x_1$, $x_2$ e $y_2$ não são independentes, pois elas estão relacionadas pela equação $y_2={\left(x_2-x_1\right)}^2/a$, que dá a altura do corpo 2 em relação ao vértice da parábola. Exemplos como esse podem ser úteis para desenvolver e complexificar a noção de vínculo, indo além de situações óbvias, como “dois blocos unidos por haste rígida” ou “duas partículas presas por uma mola”. Nesse caso, o movimento do bloco é mais claramente descrito no referencial do half-pipe, que, por sua vez, tem uma coordenada própria em relação ao sistema de referência adotado. Como o PD exige a especificação dos deslocamentos virtuais de todos os elementos do sistema, a resolução de exercícios desse tipo naturalmente promove a habilidade de deduzir as equações de vínculo do sistema, o que é essencial no formalismo lagrangiano. Assim, temos a segunda equação de vínculo:

(27) $$f_2(x_1,x_2,y_2)=y_2-{\left(x_2-x_1\right)}^2/a=0.$$

Das quatro coordenadas ($x_1$, $x_2$, $y_1$ e $y_2$), duas podem ser eliminadas pelas equações de vínculo ($f_1$ e $f_2$), restando duas coordenadas independentes. Tomando a variação virtual de $f_2$ na equação (27) (ver a equação (13)), temos:

(28) $$\delta y_2=\frac{2}{a}\left(x_2-x_1\right)\left(\delta x_2-\delta x_1\right).$$

Substituindo a equação (28) na (26), obtemos:

(29) $$\left[m_1{\ddot{x}}_1-{\displaystyle \frac{2m_2}{a}}\left(x_2-x_1\right)\left(g+{\ddot{y}}_2\right)\right]\delta x_1+\left[m_2{\ddot{x}}_2+{\displaystyle \frac{2m_2}{a}}\left(x_2-x_1\right)\left(g+{\ddot{y}}_2\right)\right]\delta x_2=0.$$

Como as variações virtuais $\delta x_1$ e $\delta x_2$ são arbitrárias e independentes, ambos os coeficientes que as multiplicam são nulos. O valor de ${\ddot{y}}_2$ pode ser determinado a partir da equação (27):

(30) $${\ddot{y}}_2=\frac{2}{a}\left[{\left({\ddot{x}}_2-{\ddot{x}}_1\right)}^2+\left(x_2-x_1\right)\left({\ddot{x}}_2-{\ddot{x}}_1\right)\right].$$

Com esses resultados, é possível mostrar, após algumas manipulações algébricas, que as equações de movimento do sistema são:

(31) $${\ddot{x}}_1=-\frac{m_2}{m_1}{\ddot{x}}_2,$$

(32) $${\ddot{x}}_2=-\frac{2\left(x_2-x_1\right)\left[ag+2{\left({\dot{x}}_2-{\dot{x}}_1\right)}^2\right]}{a^2+4\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right){\left(x_2-x_1\right)}^2}.$$

Resolvidas as equações (31) e (32), a coordenada $y_2$ está determinada pela equação (27), o que encerra o problema. A coordenada $y_1$ era conhecida desde o início pela equação (24). O exemplo seguinte ilustra uma situação com vínculos dependentes do tempo.

Exemplo 3: Um surfista flutua na superfície do oceano, e a posição de sua prancha é condicionada pela passagem de uma onda. É idealizado que essa onda tem um perfil gaussiano descrito pela seguinte equação de vínculo:

(33) $$f(x,y,t)=y-A\exp \left(-\frac{{\left(x-vt\right)}^2}{2{\sigma }^2}\right)=0,$$

onde $A$ é a altura da crista da onda, $v$ a sua velocidade, suposta constante, e $\sigma$ um parâmetro proporcional ao comprimento de onda. Admite-se que a prancha desliza sem atrito sobre a água. A situação é esquematizada na Figura (4). Determine as equações de movimento do sistema.

Figura 4
Surfando uma onda gaussiana. A imagem superior representa a onda num tempo $t_0$ e a inferior em um tempo $t>t_0$. O surfista pode ou não ser carregado pela onda, a depender de sua velocidade inicial e da velocidade da onda.

O sistema tem duas coordenadas ($x$ e $y$) e uma equação de vínculo, implicando que apenas uma coordenada é independente. Para obter o deslocamento virtual do surfista, tomamos o diferencial total da equação (33) com $\delta t=0$ (vide equação (13)):

(34) $$\delta f=0=\frac{\partial f}{\partial y}\delta y+\frac{\partial f}{\partial x}\delta x.$$

Definindo $u={\left(x-vt\right)}^2/2{\sigma }^2$, obtemos como resultado:

(35) $$\delta y=-\frac{A{e}^{-u}\left(x-vt\right)}{{\sigma }^2}\delta x.$$

Nota-se que as componentes do deslocamento virtual dependem do tempo, o que não ocorre nas situações da estática. Conforme apontam [³⁰], uma dificuldade comum entre estudantes é compreender como um deslocamento virtual pode acontecer em um tempo fixo. Esse exemplo, assim como outros onde o vínculo depende do tempo, podem ser interessantes para discutir esse aspecto intrigante da Mecânica Analítica. A equação (35) atribui, para cada instante de tempo $t$, um deslocamento virtual $\delta y$. Tal atribuição não envolve a passagem do tempo ($\delta t=0$), apenas mostra como o deslocamento virtual muda em cada instante. Por exemplo, se em um dado instante o surfista está na crista da onda, o deslocamento virtual só tem componentes na horizontal; em instantes anteriores ou posteriores, esse deslocamento teria componentes tanto na direção horizontal quanto na vertical.

Derivando duas vezes a equação (33) em relação ao tempo:

(36) $$\ddot{y}=-{\displaystyle \frac{A{e}^{-u}}{{\sigma }^2}}\left[\ddot{x}\left(x-vt\right)+\left(1-2u\right){\left(\dot{x}-v\right)}^2\right].$$

Sendo que a única força que realiza trabalho virtual é a força peso do surfista, dada por $-mg\widehat{j}$, o PD pode ser escrito como:

(37) $$\left[\left(\begin{array}{c}0\\ -mg\end{array}\right)-m\left(\begin{array}{c}\ddot{x}\\ \ddot{y}\end{array}\right)\right]\cdot \left(\begin{array}{c}\delta x\\ \delta y\end{array}\right)=0\Rightarrow \ddot{x}\delta x+\left(g+\ddot{y}\right)\delta y=0.$$

Substituindo as equações (35) e (36) na equação (37), chega-se, após alguma álgebra, em:

(38) $$[\ddot{x}-{\displaystyle \frac{A}{{\sigma }^2}}(x-vt)e^{-u}(g-{\displaystyle \frac{A}{{\sigma }^2}}{e}^{-u}[\ddot{x}(x-vt)+(1-2u){(\dot{x}-v)}^2])]\delta x=0.$$

Como $\delta x$ é diferente de zero e arbitrário, o coeficiente que o multiplica deve ser nulo. Resolvendo a expressão resultante em relação à aceleração $\ddot{x}$, tem-se:

(39) $$\ddot{x}=\frac{A\left(x-vt\right)e^{-u}\left[g{\sigma }^2-A{e}^{-u}\left(1-2u\right){\left(\dot{x}-v\right)}^2\right]}{{\sigma }^2\left({\sigma }^2+2u{A}^2{e}^{-2u}\right)}.$$

A solução da equação (39) permite determinar a coordenada $y$ do surfista pela equação (33), o que resolve o problema. No exemplo seguinte, ilustramos a aplicação do princípio para um sistema em coordenadas curvilíneas.

Exemplo 4: Um anel é confinado a se mover ao longo de um arame moldado na forma de uma espiral de Arquimedes, descrita pela equação $r=b\theta$. O anel se move sem atrito com o arame, em razão da força peso. O sistema está representado na Figura (5). Determine as equações de movimento do sistema.

Figura 5
Anel confinado em um arame dobrado na forma de uma espiral de Arquimedes. Quando solto a partir de uma posição acima do ponto mais alto do enrolamento anterior, o anel segue um movimento em espiral até o centro.

A equação de vínculo do sistema é:

(40) $$f(r,\theta )=r-b\theta =0.$$

Como o sistema tem duas coordenadas e uma equação de vínculo, apenas uma delas é independente. Tomando a variação virtual na equação (40), temos: $\delta r=b\delta \theta$. Em coordenadas polares, o vetor deslocamento é $d\overrightarrow{s}=dr\widehat{r}+rd\theta \widehat{\theta }$. Como o vínculo é independente do tempo, $d=\delta$, o deslocamento virtual fica:

(41) $$\delta \overrightarrow{s}=\delta r\widehat{r}+r\delta \theta \widehat{\theta }=b\delta \theta \widehat{r}+b\theta \delta \theta \widehat{\theta }=b\left(\widehat{r}+\theta \widehat{\theta }\right)\delta \theta .$$

Nesse exemplo, além de introduzir coordenadas generalizadas curvilíneas que são próprias da simetria do problema em questão, podemos explorar conceitualmente o significado físico do deslocamento virtual na mecânica. Nesse caso, pela equação (41), o módulo do deslocamento virtual para um dado ângulo $\theta$ é tão grande quando esse ângulo. Fisicamente, isso pode ser entendido notando que, quanto mais afastado o anel se encontra do centro, maior a distância percorrida no arame para uma mesma variação $\delta \theta$. Já a aceleração do anel em coordenadas polares é $\overrightarrow{a}=\left(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2\right)\widehat{r}+\left(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }\right)\widehat{\theta }$. Substituindo a equação (40) e suas derivadas temporais nessa expressão, temos:

(42) $$\overrightarrow{a}=b\left(\ddot{\theta }-\theta {\dot{\theta }}^2\right)\widehat{r}+b\left(\theta \ddot{\theta }+2{\dot{\theta }}^2\right)\widehat{\theta }.$$

A forma da equação (42) evidencia que o emprego do PD em coordenadas generalizadas curvilíneas é um tanto mais difícil. Conforme se discute ao final desta seção, essa é uma das justificativas para avançar no desenvolvimento do formalismo em direção às equações de EL, que lidam com escalares em vez de vetores. Por fim, a única força que precisamos considerar no PD é a força peso $-mg\widehat{j}$, já que a força de contato entre o arame e o anel não realiza trabalho virtual. Logo, o PD fica:

(43) $$\left[-mg\widehat{j}-mb\left(\ddot{\theta }-\theta {\dot{\theta }}^2\right)\widehat{r}-mb\left(\theta \ddot{\theta }+2{\dot{\theta }}^2\right)\widehat{\theta }\right]\cdot b(\widehat{r}+\theta \widehat{\theta })\delta \theta =0.$$

O coeficiente que multiplica $\delta \theta$ na equação (43) é zero, pois $\delta \theta$ é arbitrário e não nulo. Pela Figura (5), vemos que $\widehat{j}\cdot \widehat{r}=\mathrm{}\sin \mathrm{}\mathrm{\theta }$ e $\widehat{j}\cdot \widehat{\theta }=\mathrm{}\cos \mathrm{}\theta$. Uma vez que $\widehat{r}\cdot \widehat{\theta }=0$ e $\widehat{r}\cdot \widehat{r}=\widehat{\theta }\cdot \widehat{\theta }=1$, simplificando a expressão, obtém-se:

(44) $$\ddot{\theta }=-\frac{g\left(\mathrm{}\sin \mathrm{}\theta +\theta \mathrm{}\cos \mathrm{}\theta \right)+b\theta {\dot{\theta }}^2}{b\left(1+{\theta }^2\right)}.$$

Resolvida a equação (44), a coordenada $r$ está determinada pela equação (40), de forma que a solução está concluída.

Ainda não elucidamos a aplicação do PD para sistemas de partículas que executam rotação. Antes de fazer um último exemplo, vamos desenvolver o PD para tratar a situação de um corpo rígido que, em razão dos vínculos que lhe são impostos, rola sem deslizar, executando um movimento simultâneo de rotação e translação. Em relação a um sistema de coordenadas arbitrário, a posição da i-ésima partícula do corpo rígido é ${\overrightarrow{s}}_i=\overrightarrow{S}+{\overrightarrow{s^{\prime }}}_i$, onde $\overrightarrow{S}$ é a posição do centro de massa do corpo rígido e ${\overrightarrow{s^{\prime }}}_i$ a posição da i-ésima partícula em relação ao centro de massa. Derivando duas vezes no tempo, temos ${\overrightarrow{a}}_i=\overrightarrow{A}+{\overrightarrow{a^{\prime }}}_i$. Tomando a variação virtual, obtém-se $\delta {\overrightarrow{s}}_i=\delta \overrightarrow{S}+\delta {\overrightarrow{s^{\prime }}}_i$. Aplicando essas relações no PD:

(45) $$\sum _i\left[{\overrightarrow{F}}_i-m_i\left(\overrightarrow{A}+{\overrightarrow{a^{\prime }}}_i\right)\right]\cdot \left(\delta \overrightarrow{S}+\delta {\overrightarrow{s^{\prime }}}_i\right)=0,$$

(46) $$\begin{array}{cc}& \left[\left(\sum _i{\overrightarrow{F}}_i\right)-\left(\sum _i{m}_i\right)\overrightarrow{A}\right]\cdot \delta \overrightarrow{S}+\sum _i\left({\overrightarrow{F}}_i-m_i{\overrightarrow{a^{\prime }}}_i\right)\cdot \delta {\overrightarrow{s^{\prime }}}_i\hfill \\ & -\left(\sum _i{m}_i{\overrightarrow{a^{\prime }}}_i\right)\cdot \delta \overrightarrow{S}-\left(\sum _i{m}_i{\overrightarrow{s^{\prime }}}_i\right)\cdot \overrightarrow{A}=0,\hfill \end{array}$$

(47) $$\left({\overrightarrow{F}}_T-M\overrightarrow{A}\right)\cdot \delta \overrightarrow{S}+\sum _i\left({\overrightarrow{F}}_i-m_i{\overrightarrow{a^{\prime }}}_i\right)\cdot \delta {\overrightarrow{s^{\prime }}}_i=0.$$

Os dois últimos termos da equação (46) desaparecem porque os somatórios entre parênteses se anulam no centro de massa. Note que o primeiro termo da equação (47) é idêntico à equação (23). Recordando que a velocidade de uma partícula que gira com velocidade angular $\overrightarrow{\omega }=d\overrightarrow{\theta }/dt$ em torno do centro de massa em relação a esse mesmo ponto é dada por ${\overrightarrow{v^{\prime }}}_i=\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{s^{\prime }}}_i$, podemos determinar o deslocamento virtual fazendo: $\delta {\overrightarrow{s^{\prime }}}_i=\delta \overrightarrow{\theta }\times {\overrightarrow{s^{\prime }}}_i$. Para calcular a aceleração, derivamos a velocidade em relação ao tempo: ${\overrightarrow{a^{\prime }}}_i=\overrightarrow{\alpha }\times {\overrightarrow{s^{\prime }}}_i+\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v^{\prime }}}_i$, onde $\overrightarrow{\alpha }$ é a aceleração angular. O primeiro termo dessa relação é a aceleração tangencial da i-ésima partícula, enquanto o segundo a sua aceleração centrípeta. Substituindo o deslocamento virtual e a aceleração na equação (47):

(48) $$\begin{array}{l}\left({\overrightarrow{F}}_T-M\overrightarrow{A}\right)\cdot \delta \overrightarrow{S}+{\displaystyle \sum _i}{\overrightarrow{F}}_i\cdot \left(\delta \overrightarrow{\theta }\times {\overrightarrow{s^{\prime }}}_i\right)\\ -{\displaystyle \sum _i}{m}_i\left(\overrightarrow{\alpha }\times {\overrightarrow{s^{\prime }}}_i\right)\cdot \left(\delta \overrightarrow{\theta }\times {\overrightarrow{s^{\prime }}}_i\right)\\ -{\displaystyle \sum _i}{m}_i\left(\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v^{\prime }}}_i\right)\cdot \delta {\overrightarrow{s^{\prime }}}_i=0.\end{array}$$

O último termo da equação (48) é zero porque o deslocamento $\delta {\overrightarrow{s^{\prime }}}_i$ é perpendicular à aceleração centrípeta. Utilizando as identidades vetoriais $\overrightarrow{a}\cdot \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{b}\cdot \left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\right)$ e $\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\cdot \left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d}\right)=\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\right)\left(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}\right)-\left(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\right)\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d}\right)$, podemos reescrever a equação (48):

(49) $$\left({\overrightarrow{F}}_T-M\overrightarrow{A}\right)\cdot \delta \overrightarrow{S}+\left({\displaystyle \sum _i}{\overrightarrow{s^{\prime }}}_i\times {\overrightarrow{F}}_i\right)\cdot \delta \overrightarrow{\theta }-\left({\displaystyle \sum _i}{m}_{i}s_i^{\prime }{}_{}{}^2\right)\overrightarrow{\alpha }\cdot \delta \overrightarrow{\theta }=0,$$

onde ${\overrightarrow{s^{\prime }}}_i\cdot \delta \overrightarrow{\theta }=0$ em um corpo rígido. Os dois últimos termos entre parênteses são identificados como o torque $\overrightarrow{{\tau }^{\prime }}$ em relação ao centro de massa e o momento de inércia $I^{\prime }$ do sistema, também medido neste ponto. Assim, o PD assume a forma simplificada:

(50) $$\left({\overrightarrow{F}}_T-M\overrightarrow{A}\right)\cdot \delta \overrightarrow{S}+\left(\overrightarrow{{\tau }^{\prime }}-I^{\prime }\overrightarrow{\alpha }\right)\cdot \delta \overrightarrow{\theta }=0.$$

Na equação (50), o termo de rotação é análogo ao termo de translação: o torque $\overrightarrow{{\tau }^{\prime }}$ corresponde à força ${\overrightarrow{F}}_i$; o negativo do produto do momento de inércia pela aceleração angular $-I^{\prime }\overrightarrow{\alpha }$ corresponde à força fictícia $-m_i{\overrightarrow{a}}_i$; já a rotação virtual $\delta \overrightarrow{\theta }$ corresponde ao deslocamento virtual $\delta {\overrightarrow{s}}_i$.

Exemplo 5: Uma esfera de raio $R$ rola sem deslizar sobre o plano inclinado que é puxado por uma força $\overrightarrow{F}=F\widehat{i}$ constante. O plano inclinado desliza sem atrito sobre uma superfície horizontal, conforme a Figura (6). Determine as equações de movimento do sistema.

Figura 6
Esfera rolando sem deslizar sobre um plano inclinado que desliza sem atrito sobre uma superfície plana, sujeito à uma força constante na direção $\overrightarrow{F}=F\widehat{i}$.

Em alguns problemas, como os envolvendo rolamento e corpos extensos, é mais conveniente obter as equações de vínculo a partir de expressões diferenciais. Nesse exercício, vamos nos concentrar em evidenciar esse aspecto. Um vínculo evidente neste problema é que o plano inclinado está restrito a se mover na direção horizontal, de forma que a coordenada vertical do seu centro de massa ($y_1$) não varia, isto é:

(51) $$d{y}_1=0\Rightarrow f_1\left(y_1\right)=y_1+C_1=0,$$

onde $C_1$ é uma constante de integração e $f_1$ a primeira equação de vínculo. Outra equação de vínculo vem da condição de rolamento sem deslizar. No sistema de referência adotado, $d\overrightarrow{\theta }=d\theta \widehat{k}$, onde $d\theta$ é positivo se a rotação é no sentido anti-horário, o que implica uma variação negativa na coordenada $q$, isto é:

(52) $$d\theta =-\frac{dq}{R}\Rightarrow f_2(\theta ,q)=q+R\theta +C_2=0.$$

Dessa relação, também podemos escrever: $\overrightarrow{\alpha }=-\ddot{q}/R\widehat{k}$. Para encontrar outras relações úteis, considere o ponto de contato entre a esfera e o plano (ponto p) na Figura (6). Pela figura, as coordenadas desse ponto são $x_p=r+q\mathrm{}\cos \mathrm{}\Phi$ e $y_p=h-q\mathrm{}\sin \mathrm{}\Phi$. Quando o corpo rola, o centro de massa da esfera, de coordenadas $x_2$ e $y_2$, tem um deslocamento na mesma direção e sentido do ponto P, isto é, $d{\overrightarrow{S}}_2=d{\overrightarrow{s}}_p=d{x}_p\widehat{i}+d{y}_p\widehat{j}$. Note ainda que $dr=d{x}_1$, onde $x_1$ é a coordenada horizontal do centro de massa do plano. Essas considerações nos permitem escrever mais duas equações de vínculo:

(53) $$\begin{array}{cc}\hfill d{x}_2& =d{x}_1+dq\mathrm{}\cos \mathrm{}\Phi \Rightarrow f_3(x_1,x_2,q)\hfill \\ & =x_1+q\mathrm{}\cos \mathrm{}\Phi -x_2+C_3=0,\hfill \end{array}$$

(54) $$d{y}_2=-dq\mathrm{}\sin \mathrm{}\Phi \Rightarrow f_4(y_2,q)=y_2+q\mathrm{}\sin \mathrm{}\Phi +C_4=0.$$

Portanto, o problema foi descrito em termos de seis coordenadas ($x_1$, $x_2$, $y_1$, $y_2$, $q$ e $\theta$), possuindo quatro equações de vínculo, o que resulta em apenas duas coordenadas independentes. Note que o raciocínio empregado na obtenção de todas as equações de vínculo surgiu inicialmente a partir de considerações sobre as variações das grandezas e não nos seus respectivos valores. Esse método é mais prático porque dispensa informações irrelevantes, relacionadas com as constantes $C_1$ a $C_4$ nas equações de vínculo. Sem esse raciocínio, precisaríamos de parâmetros extras no diagrama da Figura (6), o que tornaria a solução do problema mais complexa.

Com auxílio das equações de vínculo, podemos escrever as componentes horizontal e vertical dos deslocamentos virtuais e acelerações dos centros de massa:

(55) $$\delta {\overrightarrow{S}}_1=\left(\begin{array}{c}\delta x_1\\ 0\end{array}\right),{\overrightarrow{A}}_1=\left(\begin{array}{c}\ddot{x_1}\\ 0\end{array}\right),$$

(56) $$\begin{array}{c}\delta {\overrightarrow{S}}_2=\left(\begin{array}{c}\delta x_2\\ \delta y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\delta x_1+\delta q\mathrm{}\cos \mathrm{}\Phi \\ -\delta q\mathrm{}\sin \mathrm{}\Phi \end{array}\right),\\ {\overrightarrow{A}}_2=\left(\begin{array}{c}\ddot{x_2}\\ \ddot{y_2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\ddot{x_1}+\ddot{q}\mathrm{}\cos \mathrm{}\Phi \\ -\ddot{q}\mathrm{}\sin \mathrm{}\Phi \end{array}\right).\end{array}$$

A rotação virtual infinitesimal $\delta \overrightarrow{\theta }$ e a aceleração angular $\overrightarrow{\alpha }$ em torno do centro de massa estão ao longo do eixo $\widehat{k}$:

(57) $$\delta \overrightarrow{\theta }=-\frac{\delta q}{R}\widehat{k},\overrightarrow{\alpha }=-\frac{\ddot{q}}{R}\widehat{k}.$$

O PD para o sistema completo fica:

(58) $$\left({\overrightarrow{F}}_1-m_1{\overrightarrow{A}}_1\right)\cdot \delta {\overrightarrow{S}}_1+\left({\overrightarrow{F}}_2-m_2{\overrightarrow{A}}_2\right)\cdot \delta {\overrightarrow{S}}_2+\left(\overrightarrow{{\tau }^{\prime }}-I^{\prime }\overrightarrow{\alpha }\right)\cdot \delta \overrightarrow{\theta }=0,$$

onde ${\overrightarrow{F}}_1=F\widehat{i}$ e ${\overrightarrow{F}}_2=-m_{2}g\widehat{j}$ são as forças que realizam trabalho virtual sobre o plano e a esfera, respectivamente, e $\overrightarrow{{\tau }^{\prime }}=\overrightarrow{0}$ o torque em relação ao centro de massa. À primeira vista, essa grandeza não seria nula devido à força de atrito ${\overrightarrow{F}}_A$ entre o plano e a esfera. Entretanto, devemos considerar apenas o torque das forças que realizam trabalho virtual. Em uma rotação virtual infinitesimal $\delta \overrightarrow{\theta }$, o ponto p de contato entre a esfera e o plano pode ser considerado um eixo instantâneo, de forma que $\delta {\overrightarrow{s}}_p=\overrightarrow{0}$. Como esse ponto não se desloca, a força de atrito não realiza trabalho virtual, isto é, ${\overrightarrow{F}}_A\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_p=0$. Como nos exemplos anteriores, forças que não realizam trabalho virtual (p. ex., a força normal) não são consideradas na aplicação do PD. De forma inteiramente análoga, o torque devido a essas forças não deve ser considerado. Incluindo as últimas expressões junto com as equações (55), (56) e (57) na equação (58), tem-se, após a fatoração dos termos $\delta x_1$ e $\delta q$:

(59) $$\left[\left(m_1+m_2\right){\ddot{x}}_1+m_2\mathrm{}\cos \mathrm{}\Phi \ddot{q}-F\right]\delta x_1+\left[m_2\mathrm{}\cos \mathrm{}\Phi {\ddot{x}}_1+\left(m_2+{\displaystyle \frac{I^{\prime }}{R^2}}\right)\ddot{q}-m_{2}g\mathrm{}\sin \mathrm{}\Phi \right]\delta q=0.$$

Como antes, obtém-se as equações de movimento do sistema igualando cada coeficiente que multiplica $\delta x_1$ e $\delta q$ à zero. É comum usar o teorema de Steiner para expressar o momento de inércia em relação ao ponto p, isto é:

(60) $$I_p=I^{\prime }+m_2{R}^2\Rightarrow \frac{I_p}{R^2}=\left(m_2+\frac{I^{\prime }}{R^2}\right).$$

Com isso, as equações de movimento ficam:

(61) $${\ddot{x}}_1=\frac{F{I}_p-g{\left(m_{2}R\right)}^2\mathrm{}\cos \mathrm{}\Phi \mathrm{}\sin \mathrm{}\Phi }{\left(m_1+m_2\right)I_p-{\left(m_{2}R\mathrm{}\cos \mathrm{}\Phi \right)}^2},$$

(62) $$\ddot{q}=\frac{g\left(m_1+m_2\right)\mathrm{}\sin \mathrm{}\Phi -F\mathrm{}\cos \mathrm{}\Phi }{\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)\frac{I_p}{R^2}-m_2{\cos }^2\Phi }.$$

Resolvidas as equações (61) e (62), as equações (52) a (54) podem ser usadas para determinar o restante das coordenadas, o que encerra o problema.

Os exemplos 1 ao 5 demonstram que problemas relativamente complexos podem ser resolvidos pelo PD antes mesmo de desenvolver o formalismo lagrangiano. Mostramos que a elucidação de alguns problemas com aplicações diretas do PD podem ser úteis para evidenciar conceitos amplamente utilizados na Mecânica Analítica. Além disso, resolver problemas diretamente com o PD pode contribuir para que os estudantes ganhem familiaridade com o princípio, algo essencial quando se pensa que as formulações mais abstratas da mecânica dependem dele diretamente, como vamos discutir na próxima seção.

As principais desvantagens da utilização do PD em relação à aplicação direta das equações de EL consiste no fato de que: i) o primeiro requer a utilização de grandezas vetoriais (força, aceleração, etc), enquanto o último apenas escalares (energias cinética e potencial); ii) os cálculos requerem mais algebrismo. O fator i) não é necessariamente um problema quando se entende as aplicações do PD como uma etapa de transição do formalismo vetorial para o escalar, com ênfase na obtenção dos vínculos e dos deslocamentos virtuais, por exemplo. Quanto à ii), essa limitação, juntamente com a limitação em i), podem servir de justificativas para avançar o formalismo na direção da construção das equações de EL a partir do PD. Conforme discutido, essa transição é bastante abrupta e pouco justificada em livros-texto padrão de mecânica. Dessa forma, PD constitui uma ponte natural entre a formulação newtoniana e os princípios variacionais. Essa constatação abre caminho para uma discussão final, de caráter mais formal, sobre como o PD pode ser reinterpretado como base para o Princípio de Hamilton.

4. Obtendo o Princípio de Hamilton (PH) a partir do PD

Em 1834, Hamilton deduziu o princípio que recebeu seu nome a partir do PD, revivendo o interesse nas formulações variacionais da mecânica, esquecidas desde a publicação do Mécanique Analytique. Entretanto, livros-texto padrão de mecânica não costumam desenvolver o estudo desse tópico por essa linha. Tipicamente, o Princípio de Hamilton (PH) é postulado e, em seguida, usando as técnicas do cálculo variacional, demonstra-se que se chega nas equações de EL – o mesmo resultado que se obtém diretamente a partir do PD. Para os estudantes que derivaram as equações de EL pelo PD e depois são introduzidos ao PH, pairam alguns mistérios que não são suficientemente discutidos por esses livros-texto, como: “de onde vem o PH?”, “qual é a relação entre o $\delta$ do cálculo variacional e o $\delta$ do deslocamento virtual?”, “seria o PH mais geral do que o PD? Se sim, qual é a utilidade do PD?”. Antes de apresentar a dedução, vamos discutir alguns problemas com a abordagem postulacional do PH, que ignora o estudo do PD como uma etapa prévia.

Optar por ensinar Mecânica Analítica a partir do postulado do PH é uma abordagem válida, mas traz consigo alguns problemas. Primeiramente, basear o estudo da mecânica – uma disciplina essencialmente empírica – em um postulado altamente abstrato incorre no risco de desvincular a teoria do mundo real, dificultando a aprendizagem de conceitos. Isso poderia ser sanado mostrando que, historicamente, o PH é, na verdade, um teorema que decorre do PD. Como discutido na Seção 2, embora o PD tenha sido originalmente derivado do PM (um princípio variacional), Lagrange abandonou o PM como fundamento da mecânica, relegando-o a um mero corolário. Ele passou a fundamentar a mecânica no PTV, um princípio derivado de uma lei empírica sobre o equilíbrio da alavanca. Não por outro motivo, Lagrange dedicou metade do Mécanique Analytique a estabelecer o PTV como a base da mecânica. Feito isso, o PD é construído a partir do PTV. Esse modo de proceder estabelece o PD como um princípio da dinâmica calcado em evidências empíricas, o que constitui um elo permanente entre a teoria e o mundo real.

Outro aspecto crítico de se postular o PH é que estudantes podem ser seduzidos pela ideia de que na mecânica os movimentos ocorrem segundo um princípio de economia, como pensava Maupertuis. Ora, sabe-se que isso é verdade apenas quando o sistema é sujeito a forças monogênicas, associadas com vínculos holônomos ou vínculos não-holônomos lineares nas velocidades. Até o presente, não se dispõe de um princípio variacional amplamente aplicável, que abarque vínculos não holônomos gerais [³¹, ³²]. Por outro lado, entende-se que o PD é um princípio fundamental da mecânica [³³, ³⁴, ³⁵, ³⁶]. De fato, através de técnicas significativamente mais avançadas do que as utilizadas para tratar vínculos holônomos, é possível utilizar o PD para resolver sistemas sujeitos a vínculos não-holônomos gerais [³⁷].

A dedução do PH a partir do PD não é reproduzida em muitos livros com intenções didáticas, apenas por materiais especializados, tipicamente em alto nível matemático. Os autores deste artigo encontraram um único livro atual [³⁸, p. 108–112] que reproduz a derivação do clássico livro de Lanczos [¹⁴, p. 111–113], The Variational Principles of Mechanics. Para complementar as obras já disponíveis, vamos incorporar o formalismo dos multiplicadores de Lagrange na dedução para o caso de vínculos holônomos. Antes disso, vamos esclarecer como essa técnica se insere na mecânica e identificar sua relação com as forças de vínculo.

Conforme discutido nos exemplos da Seção 3, se um sistema tem $n$ coordenadas $q_1,\dots ,q_n$ e $m$ equações de vínculo ${\left\{f_a(q_1,\dots ,q_n,t)\right\}}_{\alpha =1}^m$, apenas $n-m$ coordenadas são independentes. Ao utilizar o PD, é preciso garantir que apenas variações virtuais de coordenadas independentes estejam presentes. Tipicamente, isso é feito obtendo as variações virtuais das coordenadas arbitrariamente escolhidas como dependentes a partir das equações de vínculo ${\left\{f_a(q_1,\dots ,q_n,t)\right\}}_{\alpha =1}^m$, e substituindo-as diretamente no PD. Como ilustrado nos problemas resolvidos na seção anterior, apesar de funcionar bem e ser bastante prático, do ponto de vista matemático esse procedimento é um tanto rudimentar, podendo inclusive ser inviável. Por exemplo, dependendo da complexidade da equação de vínculo, pode ser que não seja possível isolar o número necessário de variações virtuais. Uma forma analítica de fazer isso é através do artifício dos multiplicadores de Lagrange, que consiste em somar o seguinte termo ao PD:

(63) $$\sum _{i=1}^N\left({\overrightarrow{F}}_i-m_i{\overrightarrow{a}}_i\right)\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i+\sum _{\alpha =1}^m{\lambda }_{\alpha }\delta f_{\alpha }=0,$$

onde ${\lambda }_a$ são parâmetros reais arbitrários, chamadas de multiplicadores de Lagrange. Matematicamente, adicionar esse termo não altera a equação original porque, como sabemos, ${\left\{\delta f_{\alpha }=0\right\}}_{\alpha =1}^m$. A técnica dos multiplicadores já está fartamente descrita em diversas fontes, mas apenas para ilustrar a lógica subjacente à sua implementação nesse caso específico, vamos escrever $\delta f_{\alpha }=0$ explicitamente (veja a equação (13)) e substituir na equação (63), resultando em:

(64) $$\sum _{i=1}^N\left({\overrightarrow{F}}_i-m_i{\overrightarrow{a}}_i+\sum _{\alpha =1}^m{\lambda }_{\alpha }{\nabla }_i{f}_{\alpha }\right)\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i=0.$$

Se cada partícula tem três coordenadas, a equação (64) possui $3N$ termos (três para cada $\delta {\overrightarrow{s}}_i$), sendo que $3N-m$ deles contém variações virtuais independentes, digamos os $3N-m$ primeiros. Como temos à disposição $m$ parâmetros ${\lambda }_{\alpha }$ que podem ser escolhidos arbitrariamente, escolhemos esses valores de forma tal que os coeficientes que multiplicam variações virtuais de coordenadas dependentes se anulem. Fazendo isso, a equação (64) terá $3N-m$ termos que contém apenas variações virtuais independentes, de forma que seus coeficientes se anulam, como acontecia nos exemplos 1 a 5 da seção anterior. Assim, impomos que os coeficientes associados às coordenadas dependentes se anulem e, como consequência, os coeficientes associados com as coordenadas independentes se anulam também. Logo, podemos escrever [³⁹, p. 117]:

(65) $$m_i{\overrightarrow{a}}_i={\overrightarrow{F}}_i+\sum _{\alpha =1}^m{\lambda }_{\alpha }{\nabla }_i{f}_{\alpha },i=1,\dots ,n,$$

onde os termos adicionados à força ${\overrightarrow{F}}_i$ (não realiza trabalho virtual) no lado direito da equação correspondem às forças de vínculo⁶. A equação (65) é uma expressão da segunda lei de Newton, ilustrando uma aplicação dos multiplicadores.

Nesta dedução, a introdução do termo adicional na equação (63) serve ao único propósito de garantir que os vínculos sejam levados em conta, eliminando a preocupação com as variáveis dependentes. Se admitirmos que as coordenadas são independentes, os multiplicadores se tornam desnecessários. Notando que $\delta \left({\lambda }_{\alpha }{f}_{\alpha }\right)={\lambda }_{\alpha }\delta f_{\alpha }$, a equação (63) pode ser reescrita como:

(66) $${\displaystyle \sum _{i=1}^N}{\overrightarrow{F}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i-{\displaystyle \sum _{i=1}^N}{m}_i{\overrightarrow{a}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i+\delta \left({\displaystyle \sum _{\alpha =1}^m}{\lambda }_{\alpha }{f}_{\alpha }\right)=0.$$

Considerando forças conservativas (${\overrightarrow{F}}_i=-{\nabla }_{i}U$):

(67) $$-\delta U-\sum _{i=1}^N{m}_i{\overrightarrow{a}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i+\delta \left(\sum _{\alpha =1}^m{\lambda }_{\alpha }{f}_{\alpha }\right)=0.$$

Podemos verificar imediatamente a validade das seguintes expressões:

(68) $${\overrightarrow{a}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i=\frac{d}{dt}\left({\overrightarrow{v}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i\right)-{\overrightarrow{v}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{v}}_i,$$

(69) $${\overrightarrow{v}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{v}}_i=\frac{1}{\text{2}}\delta \left({\overrightarrow{v}}_i\cdot {\overrightarrow{v}}_i\right).$$

Inserindo as equações (68) e (69) na equação (67):

(70) $$\delta \left({\displaystyle \sum _{\alpha =1}^m}{\lambda }_{\alpha }{f}_{\alpha }-U\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^N}{\displaystyle \frac{1}{\text{2}}}{m}_i\delta \left({\overrightarrow{v}}_i\cdot {\overrightarrow{v}}_i\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^N}{m}_i{\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\overrightarrow{v}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i\right).$$

Como $m_i$ é constante, o segundo termo da equação (70) pode ser identificado como $\delta T$, onde $T$ é a energia cinética total do sistema:

(71) $$\delta \left(T-U+\sum _{\alpha =1}^m{\lambda }_{\alpha }{f}_{\alpha }\right)=\frac{d}{dt}\left(\sum _{i=1}^N{m}_i{\overrightarrow{v}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i\right).$$

Definindo $L=T-U$ como a lagrangiana e integrando os dois lados da equação (71) em relação ao tempo desde o instante inicial $t_1$ até o final $t_2$ do movimento:

(72) $${\int }_{t_1}^{t_2}\delta \left(L+\sum _{\alpha =1}^m{\lambda }_{\alpha }{f}_{\alpha }\right)\mathit{d}t={\sum _{i=1}^N{m}_i{\overrightarrow{v}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{s}}_i|}_{t_1}^{t_2}=0.$$

O lado direito da equação (72) é zero porque os extremos são fixos: $\delta {\overrightarrow{s}}_i\left(t_1\right)=\delta {\overrightarrow{s}}_i\left(t_2\right)=0$. Ainda, como as variações virtuais se dão em um tempo fixo ($\delta t=0$), podemos mover o operador $\delta$ para fora da integral:

(73) $$\delta {\int }_{t_1}^{t_2}\left(L+\sum _{\alpha =1}^m{\lambda }_{\alpha }{f}_{\alpha }\right)\mathit{d}t=0,$$

o que finaliza a demonstração do PH. Tipicamente, livros-texto padrão de mecânica introduzem a equação (73) como ponto de partida para tratar sistemas não holônomos (p. ex., [⁵, p. 46] e [⁴¹, p. 293]). Proceder da forma como fizemos não apenas evidencia a origem do PH, como também justifica métodos analíticos para tratar de sistemas complexos – como vínculos cinemáticos linearmente dependentes das velocidades – a partir de uma base mais sólida. Destaca-se que a dedução não se confunde com um mero exercício de engenharia reversa que se aproveita da natureza ambígua e/ou circular com a qual o conhecimento pode ser representado. De fato, Hamilton escreveu: “A variação dessa integral definida [equação (73)] parece ter passado despercebida por Lagrange e pelos outros ilustres analistas que escreveram sobre mecânica teórica” [⁴², p. 108, tradução nossa].

Por fim, as equações de movimento podem ser obtidas aplicando as equações de EL – a solução ao problema do cálculo variacional – ao integrando da equação (73), cujas variações das coordenadas podem ser consideradas independentes, graças aos multiplicadores de Lagrange. Lembrando que os vínculos são considerados holônomos, a aplicação das equações de EL resulta em:

(74) $${\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}}\right)-{\displaystyle \frac{\partial L}{\partial q_i}}={\displaystyle \sum _{\alpha =1}^m}{\lambda }_{\alpha }{\displaystyle \frac{\partial f_{\alpha }}{\partial q_i}},i=1,\dots ,n.$$

As equações (74) são conhecidas como equações de Lagrange do primeiro tipo.

5. Considerações Finais

Este artigo abordou as preocupações levantadas na introdução, relacionadas à subexploração didática do Princípio de d’Alembert (PD) e sua desconexão com o Princípio de Trabalho Virtual (PTV) e o Princípio de Hamilton (PH). Argumentamos que essas lacunas, frequentemente presentes no ensino de Mecânica Analítica, enfraquecem a base epistemológica dos estudantes e dificultam a transposição didática de conceitos fundamentais nessa disciplina.

Para mitigar essas questões, propomos uma abordagem pedagógica que integra análise histórica e aplicações diretas do PD em sistemas complexos, antes de avançar para construções mais abstratas. Tal proposta não se limita a uma metodologia de ensino específica, mas se configura como uma forma de pensar o ensino da Mecânica Analítica a partir da gênese de seus conceitos e da articulação entre história, teoria e formalismo matemático. Ao explorar o PD como um ponto de convergência entre princípios estáticos e dinâmicos, busca-se não apenas favorecer a aprendizagem conceitual, mas também reintroduzir no ensino o papel formador da reflexão sobre hipóteses, representações e contextos de produção do conhecimento científico.

Essa abordagem convida o estudante a compreender a Mecânica Analítica como um campo em que formas distintas de racionalidade – matemática, empírica e histórica – se entrelaçam para dar sentido às leis do movimento. Mais do que um caminho alternativo de ensino, trata-se de uma proposta de formação intelectual que valoriza a dimensão filosófica da Física e reposiciona o PD como uma chave interpretativa para o pensamento analítico moderno. Assim, esperamos que este trabalho contribua para um ensino mais contextualizado e epistemologicamente robusto, inspirando novas abordagens didáticas para explorar os conhecimentos da Física.

Disponibilidade de Dados

Os dados que embasam os resultados apresentados neste artigo estão disponíveis com o autor correspondente mediante razoável solicitação.

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• 1
  Forças monogênicas são aquelas derivadas de um potencial escalar ou função potencial generalizada.
• 2
  A designação decorre do fato de que muitos cientistas contemporâneos de Lagrange ainda estavam imersos na tradição grega de tratar problemas da Física fazendo uso da teoria das razões e proporções, de natureza essencialmente geométrica [¹⁹].
• 3
  Vínculos holônomos são aqueles que dependem apenas das coordenadas e do tempo.
• 4
  Isto é, a função $f({\overrightarrow{r}}_1,\dots ,{\overrightarrow{r}}_N,t)=f({\overrightarrow{r}}_1+\delta {\overrightarrow{r}}_1,\dots ,{\overrightarrow{r}}_N$ $+\delta {\overrightarrow{r}}_N,t)=0$, onde o tempo é mantido fixo.
• 5
  Tecnicamente, o equilíbrio de forças poderia resultar em movimento com velocidade constante, mas para Lagrange esse equilíbrio resultaria em repouso, como evidenciado no excerto. Essa ambiguidade não é problemática porque o sistema pode ser considerado em repouso fazendo-se uma mudança conveniente do sistema de referência.
• 6
  Por exemplo, a força de vínculo em um sistema composto de uma única partícula se movendo sem atrito sobre uma superfície descrita pela equação de vínculo $f$ é normal à superfície, tendo, portanto, a mesma direção de $\nabla f$. O módulo da força é escalado pelo multiplicador: $\lambda \nabla f$. Mais detalhes sobre a relação entre os multiplicadores de Lagrange e as forças de vínculo podem ser consultadas em [¹⁷]. Uma abordagem interessante, que evita o uso dos multiplicadores para determinar as forças de vínculo no caso holônomo, é discutida em [⁴⁰].

Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreirahttps://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  19 Dez 2025
• Data do Fascículo
  2025

Histórico

• Recebido
  14 Set 2025
• Revisado
  31 Out 2025
• Aceito
  01 Nov 2025