Análise e verificação de caos nos ritmos cardíacos: uma abordagem baseada em ferramentas da dinâmica não linear

Analysis and verification of chaos in heart rhythms: an approach based on nonlinear dynamics tools

Resumo

Evidências de determinismo na variabilidade do ritmo cardíaco sugerem que diferentes estados fisiológicos podem ser descritos por distintos regimes dinâmicos, como periodicidade, quase-periodicidade ou caos, o que possibilita o uso de ferramentas da dinâmica não linear para sua caracterização. Neste estudo, investigamos o ritmo cardíaco normal e quatro ritmos patológicos, flutter atrial, flutter ventricular, fibrilação atrial e fibrilação ventricular, utilizando um modelo matemático capaz de reproduzir eletrocardiogramas sintéticos. A análise foi realizada por meio de espaço de fases, seções de Poincaré, densidade espectral de potência e expoentes de Lyapunov, permitindo identificar os regimes subjacentes a cada padrão. Os resultados mostraram que o ritmo normal apresenta comportamento periódico, o flutter atrial tende à quase-periodicidade, o flutter ventricular indica uma transição entre quase-periodicidade e caos, e as fibrilações exibem características marcadamente caóticas. Mesmo com as simplificações do modelo, observou-se boa concordância qualitativa com registros clínicos, reforçando o potencial da abordagem para a análise e interpretação de diferentes regimes cardíacos.

Palavras-chave
Dinâmica não linear; Ritmo cardíaco; Caos

Abstract

Evidence of determinism in heart rate variability suggests that different physiological states can be described by distinct dynamic regimes, such as periodicity, quasiperiodicity, or chaos, which enables the use of nonlinear dynamics tools for their characterization. In this study, we investigated normal sinus rhythm and four pathological rhythms, atrial flutter, ventricular flutter, atrial fibrillation, and ventricular fibrillation, using a mathematical model capable of generating synthetic electrocardiograms. The analysis was performed through phase space reconstruction, Poincaré sections, power spectral density, and Lyapunov exponents, allowing the identification of the underlying dynamic regime for each pattern. The results showed that normal rhythm exhibits periodic behavior, atrial flutter tends toward quasiperiodicity, ventricular flutter indicates a transition between quasiperiodicity and chaos, and fibrillations display markedly chaotic characteristics. Despite the simplifications of the model, good qualitative agreement with clinical recordings was observed, reinforcing the potential of this approach for the analysis and interpretation of different cardiac dynamic regimes.

Keywords:
Non-linear dynamics; Heart rhythm; Chaos

1. Introdução

O estudo do caos ganhou impulso na segunda metade do século XX com o desenvolvimento de métodos numéricos e da capacidade computacional necessária para explorar sistemas não lineares de alta complexidade [¹]. Nesses sistemas, pequenas variações nas condições iniciais podem gerar trajetórias dinamicamente distintas, caracterizando o chamado efeito borboleta [¹, ²]. Esse comportamento é típico de sistemas dinâmicos deterministas, nos quais a não linearidade impede, em geral, soluções analíticas simples e favorece fenômenos como bifurcações e irregularidades temporais [², ³, ⁴]. Embora tal dinâmica frequentemente pareça aleatória, ela decorre de regras determinísticas subjacentes [¹]. Assim, o caos emerge quando coexistem determinismo, não linearidade e sensibilidade às condições iniciais [², ⁴].

No contexto biológico, diversos estudos apontam evidências de determinismo na variabilidade do ritmo cardíaco, sugerindo que a dinâmica dos batimentos pode refletir regimes periódicos, quase-periódicos ou caóticos [⁵, ⁶, ⁷, ⁸, ⁹, ¹⁰]. Alterações nesse padrão estão associadas a condições fisiológicas e patológicas, sendo assim, a aplicação de ferramentas da dinâmica não linear é um método útil para identificar tais regimes e auxiliar a interpretação clínica [¹⁰].

Quando não se conhece explicitamente o conjunto de equações que governa o sistema, como ocorre no ritmo cardíaco, a análise baseia-se na avaliação de séries temporais [¹¹], obtidas principalmente a partir do eletrocardiograma (ECG), que registra a atividade elétrica cardíaca de forma não invasiva [¹²]. Contudo, a aplicação direta de técnicas da dinâmica não linear ao ECG apresenta desafios, devido ao ruído, à necessidade de longos registros de boa qualidade e à possibilidade de transições rápidas entre diferentes regimes dinâmicos [¹³].

Como alternativa a essas limitações, modelos matemáticos podem ser utilizados para reproduzir a dinâmica cardíaca, permitindo a análise do comportamento do sistema por meio de simulações que vão desde padrões normais até alterações patológicas [¹⁴]. Essa abordagem elimina muitas das restrições associadas aos dados empíricos. Em 1928, Van der Pol e Van der Mark [¹⁵] foram precursores nesse campo, propondo um modelo baseado em osciladores não lineares capaz de reproduzir algumas propriedades da atividade elétrica do coração.

Motivado por esse trabalho, diversos modelos que buscam descrever a dinâmica cardíaca surgiram ao longo do tempo [¹⁷, ¹⁸, ¹⁹, ²⁰, ²¹, ²², ²³]. Dentre eles, destaca-se o trabalho de Góis e Savi [²⁴], que, a partir de modificações propostas por Grudziński e Zebrowski [²⁵] na equação original de Van der Pol [²⁶], propuseram um modelo composto por três osciladores não lineares acoplados, capaz de reproduzir a dinâmica das estruturas de condução elétrica cardíaca e gerar sinais semelhantes ao ECG, incluindo comportamentos normais e patológicos. Posteriormente, Cheffer et al. [²⁷] aprimoraram o modelo ao ajustar os termos de acoplamento, ampliando a capacidade de reproduzir diferentes ritmos cardíacos.

Neste trabalho, utilizamos o modelo de Góis e Savi [²⁴], com as melhorias implementadas por Cheffer et al. [²⁷], para simular cinco diferentes ritmos cardíacos: normal, flutter atrial, fibrilação atrial, flutter ventricular e fibrilação ventricular. A partir dessas simulações, aplicamos ferramentas da dinâmica não linear, como espaço de fases, seção de Poincaré, densidade espectral de potência e expoente de Lyapunov, com o objetivo de analisar, identificar e avaliar a presença de possíveis regimes caóticos, bem como discutir implicações fisiológicas e diagnósticas.

Na seção 2 é apresentado o processo fisiológico responsável pela formação natural do ritmo cardíaco, assim como o método utilizado para sua avaliação, o ECG. Em seguida, na seção 3, é introduzido o modelo empregado para reproduzir os diferentes ritmos e sua descrição matemática. Posteriormente, a seção 4 revisa as principais ferramentas da dinâmica não linear aplicadas ao estudo, destacando os recursos metodológicos utilizados. Por fim, as seções 5 e 6 reúnem as simulações e os resultados obtidos. A primeira descreve o procedimento de resolução numérica do modelo e a geração dos ritmos com suas particularidades e diferenças, enquanto a segunda apresenta e discute a interpretação dos resultados no espaço de fases, seção de Poincaré, espectro de potência e expoente de Lyapunov.

2. O Ritmo Cardíaco

O coração atua como uma bomba que impulsiona o sangue pelo corpo, função sustentada por um mecanismo integrado de ativação elétrica e resposta mecânica que compõe o ciclo cardíaco. Esse ciclo alterna entre sístole, quando o miocárdio se contrai e ejeta o sangue, e diástole, fase de relaxamento e enchimento das câmaras cardíacas [¹², ²⁸]. A atividade elétrica que organiza essas etapas é gerada por células autoexcitáveis, capazes de produzir espontaneamente potenciais de ação [²⁹]. Esses impulsos propagam-se pelo sistema de condução cardíaco, sincronizando a ativação do miocárdio e determinando o intervalo entre batimentos [³⁰]. Assim, a repetição coordenada desse processo estabelece o ritmo cardíaco, cuja frequência e regularidade são usualmente expressas em batimentos por minuto (bpm) [²⁸].

A Figura 1 ilustra as principais estruturas responsáveis pela condução elétrica do coração e as câmaras onde ocorre o ciclo, os átrios e ventrículos. O nódulo sinoatrial (nó SA), também chamado de marcapasso natural do coração, é o ponto de origem da atividade elétrica cardíaca. Localizado na parede do átrio direito, ele regula a frequência dos batimentos ao gerar o impulso elétrico que inicia o ciclo [²⁸, ³¹].

Figura 1
Esquema do coração e de seu sistema de condução elétrica. Fonte: os autores. Criado com BioRender.com.

Esse impulso propaga-se rapidamente pelas paredes dos átrios, provocando sua despolarização. Em seguida, alcança o nódulo atrioventricular (nó AV), onde acontece um pequeno atraso na condução, necessário para que os ventrículos tenham tempo suficiente para se preencherem adequadamente antes da sua ativação [²⁹]. Após o retardo, o impulso segue pelo feixe de His, que ramificando-se nos ramos direito e esquerdo, até alcançar as fibras de Purkinje, conjunto conhecido como sistema His-Purkinje (HP). O trajeto do impulso elétrico culmina na despolarização dos ventrículos [²⁹, ³²].

O processo elétrico de despolarização nos átrios e ventrículos é responsável por provocar suas contrações mecânicas, garantindo o bombeamento sanguíneo para todo o corpo [²⁹]. A condução elétrica de modo regular resulta no ritmo cardíaco normal, também chamado ritmo sinusal. Alterações nesse padrão são denominadas de arritmias, que se manifestam como batimentos rápidos (taquicardia), lentos (bradicardia) ou irregulares que variam entre condições benignas à potencialmente fatais [³⁰].

A avaliação do ritmo cardíaco é realizada principalmente por meio do eletrocardiograma (ECG), exame desenvolvido no final do século XIX que registra, por eletrodos posicionados na superfície corporal, a atividade elétrica cardíaca [²⁸, ³¹]. Como a despolarização atrial e ventricular precede suas contrações mecânicas, o traçado eletrocardiográfico reflete a sequência temporal dos eventos do ciclo cardíaco [²⁸], permitindo identificar a frequência cardíaca e alterações associadas a diferentes condições miocárdicas [³⁰, ³¹].

Em um ciclo cardíaco típico ilustrado na Figura 2, a onda P representa a despolarização atrial. O intervalo P – R corresponde ao atraso fisiológico no nó AV e ao tempo necessário para a condução do estímulo desde o nó SA até os ventrículos [³³, ³⁴]. A despolarização ventricular ocorre no complexo QRS, que abrange as ondas Q, R e S e reflete a ativação elétrica dos ventrículos [³¹, ³²]. Em seguida, a onda T indica a repolarização ventricular, enquanto a repolarização atrial ocorre simultaneamente, porém permanece obscurecida pelo complexo QRS devido à sua menor amplitude [³², ³⁴]. O intervalo Q – T expressa a duração total da atividade elétrica ventricular, da despolarização à repolarização [³³].

Figura 2
Traçado eletrocardiográfico característico. Fonte: os autores.

Cada onda e intervalo do ECG resulta da soma dos potenciais de ação que se propagam de forma coordenada pelo miocárdio, como apresentado na Figura 3[³¹].

Figura 3
Potenciais de ação em diferentes regiões do coração ao longo do tempo e as ondas correspondentes no ECG. Fonte: os autores. Criado com BioRender.com.

3. Modelo Matemático

A modelagem dos ritmos cardíacos é feita por meio da equação de Van der Pol [²⁶], uma equação diferencial ordinária não linear de segunda ordem que descreve um oscilador que contém um termo de amortecimento não linear. Por possuir propriedades como ciclo limite, sincronização e potencial para comportamentos caóticos, a torna qualitativamente apropriada para a descrição de sistemas que exibem ritmos, como os batimentos cardíacos e os potenciais de ação [¹⁸, ²⁴]. A forma original da equação é:

(1) $$\ddot{x}-\mu \left(1-x^2\right)\dot{x}+x=0,$$

onde $x$ denota a posição da partícula em função do tempo $t$, e de forma análoga ao oscilador harmônico simples aparece na equação como termo restaurador. $\mu$ é um parâmetro escalar não negativo que representa a intensidade do termo de amortecimento não linear dado por $\mu \left(1-x^2\right)\dot{x}$. A velocidade da partícula, corresponde à primeira derivada da posição em função do tempo $\dot{x}$ enquanto a segunda derivada $\ddot{x}$ representa sua aceleração.

Com o objetivo de reproduzir o potencial de ação das células marca-passo, Grudziński e Żebrowski em [²⁵] substituem na equação (1), o termo de amortecimento não linear por uma expressão assimétrica, e adicionam um termo cúbico, que incorpora novos parâmetros ao sistema. A equação resultante é expressa da seguinte forma:

(2) $$\ddot{x}+\alpha \left(x-v_1\right)\left(x-v_2\right)\dot{x}+\frac{x\left(x+d\right)\left(x+e\right)}{ed}=F\left(t\right),$$

em que $\alpha$ modifica o formato do pulso gerado pelo oscilador, enquanto os parâmetros $v_1$ e $v_2$ controlam sua amplitude, com a condição que $v_1{v}_2<0$ para garantir a manutenção da propriedade autoexcitável do sistema [²⁵]. Os parâmetros $d$ e $e$ influenciam na frequência, e $F\left(t\right)$ representa um termo de estímulo externo periódico dependente do tempo. A equação também pode ser escrita na forma de um sistema, através de equações de primeira ordem, dado por:

(3) $$\{\begin{array}{cc}{\dot{x}}_1=x_2,\hfill & \\ {\dot{x}}_2=F\left(t\right)-\alpha \left(x_1-v_1\right)\left(x_1-v_2\right)x_2-\frac{x_1\left(x_1+d\right)\left(x_1+e\right)}{ed},\hfill & \end{array}$$

em que $x_1$, $x_2$ agora representam variáveis de estado e $\dot{x_1}$ e $\dot{x_2}$ são suas derivadas em relação ao tempo.

A partir dessas modificações, Gois e Savi [²⁴] desenvolveram um modelo para o ritmo cardíaco baseado em três osciladores não lineares acoplados, representando as principais estruturas do sistema de condução elétrica do coração: o nó SA, o nó AV e o sistema de HP. A interação entre esses osciladores tenta reproduzir a dinâmica eletrofisiológica observada no traçado eletrocardiográfico. O sistema é formalizado pelas seguintes equações:

(4) $$\begin{array}{c}\hfill \text{SA}\{\begin{array}{cc}\hfill {\dot{x}}_1& =x_2\hfill \\ \hfill {\dot{x}}_2& =F_{SA}\left(t\right)-{\alpha }_{SA}\left(x_1-v_{S{A}_1}\right)\left(x_1-v_{S{A}_2}\right)x_2\hfill \\ & -\frac{x_1\left(x_1+d_{S{A}_1}\right)\left(x_1+e_{S{A}_1}\right)}{d_{S{A}_2}{e}_{S{A}_2}}\hfill \\ & -k_{AV-SA}{x}_1+k_{AV-SA}^{\ast }{x}_3^{{\tau }_{AV-SA}}\hfill \\ & -k_{HP-SA}{x}_1+k_{HP-SA}^{\ast }{x}_5^{{\tau }_{HP-SA}},\hfill \end{array}\end{array}$$

(5) $$\begin{array}{c}\hfill \text{AV}\{\begin{array}{cc}\hfill {\dot{x}}_3& =x_4\hfill \\ \hfill {\dot{x}}_4& =F_{AV}\left(t\right)-{\alpha }_{AV}\left(x_3-v_{A{V}_1}\right)\left(x_3-v_{A{V}_2}\right)x_4\hfill \\ & -\frac{x_3\left(x_3+d_{A{V}_1}\right)\left(x_3+e_{A{V}_1}\right)}{d_{A{V}_2}{e}_{A{V}_2}}\hfill \\ & -k_{SA-AV}{x}_3+k_{SA-AV}^{\ast }{x}_1^{{\tau }_{SA-AV}}\hfill \\ & -k_{HP-AV}{x}_3+k_{HP-AV}^{\ast }{x}_5^{{\tau }_{HP-AV}},\hfill \end{array}\end{array}$$

(6) $$\begin{array}{c}\hfill \text{HP}\{\begin{array}{cc}\hfill {\dot{x}}_5& =x_6\hfill \\ \hfill {\dot{x}}_6& =F_{HP}\left(t\right)-{\alpha }_{HP}\left(x_5-v_{H{P}_1}\right)\left(x_5-v_{H{P}_2}\right)x_6\hfill \\ & -\frac{x_5\left(x_5+d_{H{P}_1}\right)\left(x_5+e_{H{P}_1}\right)}{d_{H{P}_2}{e}_{H{P}_2}}\hfill \\ & -k_{SA-HP}{x}_5+k_{SA-HP}^{\ast }{x}_1^{{\tau }_{SA-HP}}\hfill \\ & -k_{AV-HP}{x}_5+k_{AV-HP}^{\ast }{x}_3^{{\tau }_{AV-HP}},\hfill \end{array}\end{array}$$

onde as variáveis $x_1$, $x_3$ e $x_5$ correspondem aos estados dos osciladores SA, AV e HP, respectivamente, análogos ao potencial elétrico de cada estrutura, enquanto $x_2$, $x_4$ e $x_6$ representam suas derivadas temporais ($x_2={\dot{x}}_1$, $x_4={\dot{x}}_3$, $x_6={\dot{x}}_5$). Os termos $F_m\left(t\right)={\rho }_m\sin \left({\omega }_{m}t\right)$ são estímulos externos periódicos aplicados a cada oscilador com $m\in \left\{\text{SA, AV, HP}\right\}$, em que ${\rho }_m$ é a amplitude e ${\omega }_m$ a frequência do forçamento. Os parâmetros ${\alpha }_m$, $v_{m_1}$, $v_{m_2}$, $d_{m_1}$, $d_{m_2}$, $e_{m_1}$ e $e_{m_2}$ são constantes escalares não negativas que definem a dinâmica individual de cada oscilador, conforme a (equação 3).

O termo cúbico $-\frac{x_m\left(x_m+d_{m_1}\right)\left(x_m+e_{m_1}\right)}{d_{m_2}{e}_{m_2}}$ atua como restaurador, análogo ao termo $-x$ da equação original (1). O termo proporcional à velocidade, $-{\alpha }_m\left(x_m-v_{m_1}\right)\left(x_m-v_{m_2}\right){\dot{x}}_m$, representa o amortecimento não linear. A frequência natural de cada oscilador é determinada pelos parâmetros $d_{m_1}$, $e_{m_1}$, $d_{m_2}$ e $e_{m_2}$ do termo restaurador cúbico, enquanto os parâmetros ${\alpha }_m$, $v_{m_1}$ e $v_{m_2}$ controlam o formato e a amplitude das oscilações.

O sistema de equações é acoplado de forma linear e assimétrica com conexões bidirecionais entre os nós. Cada conexão é expressa por pares de termos da forma:

(7) $$C_{m\leftarrow n}=-k_{n-m}{x}_m+k_{n-m}^{\ast }{x}_n^{{\tau }_{n-m}},$$

em que $x_m$ e $x_n$ são as variáveis de estado dos osciladores $m$ e $n$, respectivamente, com $m,n\in \left\{\text{SA, AV, HP}\right\}$ e $m\ne n$. Os parâmetros $k$ e $k^{\ast }$ representam, respectivamente, os coeficientes de acoplamento direto e reverso entre os osciladores.

Essa forma deriva do acoplamento difusivo clássico, em que a interação entre dois osciladores é proporcional à diferença entre seus estados, $k\left(x_n^{\tau }-x_m\right)=-k{x}_m+k{x}_n^{\tau }$. Em [²⁷], essa forma é generalizada para permitir coeficientes distintos ($k\ne k^{\ast }$), tornando o acoplamento assimétrico e mais compatível com a propagação fisiológica unidirecional dos impulsos cardíacos.

O termo $k_{n-m}^{\ast }{x}_n^{{\tau }_{n-m}}$ representa a influência direta do oscilador $n$ sobre $m$, com um atraso temporal ${\tau }_{n-m}$ que modela o tempo de propagação do impulso elétrico ($x_n^{{\tau }_{n-m}}=x_n\left(t-{\tau }_{n-m}\right)$). A presença desses termos transformam o sistema descrito pelas Equações (4)–(6) em um conjunto de equações diferenciais com retardo (EDRs), e não mais em equações diferenciais ordinárias (EDOs). Já o termo $-k_{n-m}{x}_m$ atua como contraparte, prevenindo a amplificação descontrolada da variável local.

O sinal de ECG sintético é obtido então, a partir da combinação linear das variáveis de estado associadas aos três osciladores que compõem o modelo [²⁴]. A equação que representa essa composição é dada por:

(8) $$X=ECG=\left({\mu }_0+{\mu }_1{x}_1+{\mu }_2{x}_3+{\mu }_3{x}_5\right){\gamma }_g,$$

em que ${\mu }_0,{\mu }_1,{\mu }_2$ e ${\mu }_3$ são parâmetros de amplitude do sinal, e ${\gamma }_g$ um fator de escalonamento.

Embora o modelo inclua acoplamentos bidirecionais, parte-se do pressuposto de que, fisiologicamente, o impulso elétrico propaga-se de forma unidirecional. Assim, apenas as conexões unidirecionais são consideradas pelos autores em [²⁴, ²⁷], e os acoplamentos bidirecionais $k_{AV-SA}$, $k_{AV-SA}^{\ast }$, $k_{HP-SA}$, $k_{HP-SA}^{\ast }$, $k_{HP-AV}$, $k_{HP-AV}^{\ast }$, $k_{SA-HP}$, $k_{SA-HP}^{\ast }$, são descartados, logo nulos, o que resulta em um acoplamento do tipo mestre–escravo entre os osciladores. A Figura 4 ilustra essa dinâmica.

Figura 4
Representação conceitual da dinâmica entre os osciladores. As setas externas representam os estímulos periódicos e as setas internas, as conexões bidirecionais; em azul, as conexões consideradas. Fonte: os autores. Adaptado de [²⁴, ²⁷].

Para uma representação mais fiel ao sinal de ECG real, os autores em [²⁷], convertem as equações adimensionais do modelo para o tempo real utilizando a variável de tempo dimensional $\overline{t}={\beta }_{t}t$, em que ${\beta }_t$ é um fator de escala determinado a partir da razão entre as médias dos intervalos RR experimentais e os obtidos na simulação por meio de:

(9) $${\beta }_t=\frac{média\left(R{R}_{exp}\right)}{média\left(R{R}_{núm}\right)}$$

4. Fundamentação Teórica

Nesta seção, serão apresentados os principais conceitos e ferramentas utilizados na caracterização do comportamento do sistema. A análise baseia-se em fundamentos da teoria de sistemas dinâmicos, que permitem descrever qualitativa e quantitativamente diferentes regimes, e em especial aqueles associados à dinâmica irregular observada nas arritmias.

4.1 Espaço de fases

Um dos conceitos centrais em sistemas dinâmicos é o espaço de fases, no qual cada ponto representa o estado completo do sistema em um dado instante [³]. Suas coordenadas correspondem às variáveis dinâmicas relevantes, como posições, velocidades, tensões ou correntes [¹, ³]. Para um sistema de segunda ordem com $N$ variáveis, o espaço de fases possui $2N$ dimensões, formadas por pares $(q_i,p_i)$, em que $q_i$ é a coordenada generalizada e $p_i$ o momento ou velocidade conjugado [³⁵]. Assim, o espaço pode ser descrito como:

(10) $$\Gamma ={ℝ}^{2N}=(q_1,\dots ,q_N,p_1,\dots ,p_N).$$

A evolução temporal do sistema é representada por uma curva no espaço de fases, chamada de trajetória ou órbita, que nunca se cruza consigo mesma [³⁶]. A forma dessa trajetória aponta o tipo de comportamento do sistema. Em sistemas dissipativos, as trajetórias convergem para regiões conhecidas como atratores, que podem ser pontos fixos (estados estacionários), ciclos limite (oscilações periódicas) ou estruturas mais complexas associadas a regimes quase-periódicos e caóticos chamados de atratores estranhos [², ³, ³⁶].

No modelo matemático, o sinal de ECG é descrito pela (equação 8), cuja derivada é dada por:

(11) $$\dot{X}=\frac{dECG}{dt}={\mu }_1{x}_2+{\mu }_2{x}_4+{\mu }_3{x}_6.$$

O que permite a construção de uma projeção bidimensional do atrator de ordem superior no plano de fases $(X,\dot{X})$.

É importante destacar que, de acordo com o teorema de Poincaré–Bendixson, sistemas contínuos bidimensionais não podem exibir caos determinístico, sendo necessárias pelo menos três variáveis de estado para tal comportamento [¹, ³⁷]. O modelo utilizado, ao empregar três osciladores não lineares acoplados, satisfaz essa condição.

4.2 Seção de poincaré

As trajetórias no espaço de fases podem ser complexas, especialmente em regimes quase-periódicos ou caóticos, nos quais as curvas assumem formas que se assemelham a emaranhados. Essa complexidade se intensifica quando o sistema dinâmico possui mais de três dimensões, tornando a visualização direta não viável [³⁶]. Para contornar essa dificuldade, Henri Poincaré desenvolveu uma técnica que simplifica a análise da dinâmica no espaço de fases: a chamada seção de Poincaré [³].

Essa técnica facilita o exame da dinâmica de sistemas, pois reduz sua dimensionalidade, convertendo o fluxo contínuo de trajetórias no espaço de fases em um mapa discreto chamado de Mapa de Poincaré [³⁵]. Como ilustrado na Figura 5, em vez de acompanhar continuamente a trajetória no espaço de fases, consideram-se apenas os pontos em que essa trajetória intercepta uma superfície transversal $\mathrm{\Sigma }$ previamente definida [³]. Em outras palavras, essa superfície “corta” o espaço de fases, eliminando pelo menos uma variável do sistema.

Figura 5
Diagrama esquemático do mapa de Poincaré. A superfície $\mathrm{\Sigma }$ é uma seção transversal no espaço de fases $(x_1,x_2,x_3)$ do sistema dinâmico. A trajetória da órbita do sistema (curva espiral) cruza a superfície em pontos discretos, representados por $x_0,x_1,x_2,\dots$. O mapa de Poincaré, $P$, é a função que descreve a evolução da órbita na superfície, mapeando cada ponto de intersecção para o próximo, segundo a relação $P\left(x_n\right)=x_{n+1}$. Fonte: os autores.

Os padrões formados pelos pontos no mapa de Poincaré permitem identificar de maneira mais clara a natureza do regime dinâmico [³]. Em sistemas periódicos, a seção é cruzada sempre nos mesmos pontos, formando um ou poucos pontos isolados; em regimes quase-periódicos, surgem curvas fechadas e suaves; e em regimes caóticos, observa-se um conjunto disperso e irregular de pontos concentrados na estrutura do atrator estranho [², ⁴, ³⁵].

A escolha da seção $\mathrm{\Sigma }$ é, em geral, arbitrária, mas deve ser orientada transversalmente ao fluxo para garantir interseções sucessivas. Para o sistema analisado, os autores em [²⁷] definem a seção no subespaço $(x_1,X,\dot{X})$ como:

(12) $$\mathrm{\Sigma }=x_1+\frac{3}{2}X-3\dot{X}+3=0,$$

sendo orientada no sentido positivo da variável de estado $x_1$.

4.3. Expoente de Lyapunov

As técnicas discutidas nas seções anteriores fornecem informações sobre a organização e a complexidade do sistema, todavia, essas informações são essencialmente qualitativas. Para uma caracterização precisa do comportamento, também é necessário uma abordagem quantitativa [³⁵, ³⁶]. A principal técnica para essa finalidade é o cálculo do expoente de Lyapunov, que quantifica a taxa média de separação exponencial entre trajetórias inicialmente próximas no espaço de fases e mede diretamente a sensibilidade às condições iniciais [³].

Como abordado na introdução deste trabalho, a sensibilidade às condições iniciais é a principal característica que define se um sistema é caótico. Em sistemas não caóticos, as trajetórias originadas de estados iniciais próximos tendem a permanecer próximas ao longo do tempo. Contudo, em sistemas caóticos, pequenas variações nessas condições, fazem com que as trajetórias divirjam de forma imprevisível ao longo do tempo, mesmo que permaneçam confinadas a uma região limitada do espaço de fases [³, ⁴, ³⁵]. Isso torna a quantificação dessa sensibilidade um critério importante para a identificação do comportamento.

O expoente é obtido considerando duas trajetórias no espaço de fase, $\mathbf{x}\left(t\right)$ e $\mathbf{x}\left(t\right)+\delta \mathbf{x}\left(t\right)$, que partem de condições iniciais muito próximas ${\mathbf{x}}_0$ e ${\mathbf{x}}_0+\delta {\mathbf{x}}_0$, como mostrado na Figura 6, onde $\delta {\mathbf{x}}_0$ é um vetor de perturbação infinitesimalmente muito pequeno ($\Vert \delta {\mathbf{x}}_0\Vert \ll 1$). Se o sistema for caótico, a distância entre as trajetórias, $\Vert \delta \mathbf{x}\left(t\right)\Vert$, crescerá exponencialmente no tempo:

(13) $$\Vert \delta \mathbf{x}\left(t\right)\Vert \approx \Vert \delta {\mathbf{x}}_0\Vert e^{\lambda t},$$

onde $\lambda$ é o maior expoente de Lyapunov.

Figura 6
Separação de trajetórias no espaço de fases. Fonte: os autores.

Reescrevendo a expressão (13), e isolando $\lambda$ temos que a definição formal é dada por:

(14) $$\lambda =\underset{t\to \infty }{lim}\frac{1}{t}\ln \left(\frac{\Vert \delta \mathbf{x}\left(t\right)\Vert }{\Vert \delta {\mathbf{x}}_0\Vert }\right).$$

A interpretação do regime do sistema dinâmico é feita por meio de analise dos sinais dos expoentes [³]. Se $\lambda >0$, o sistema é caótico e apresenta sensibilidade às condições iniciais. Para sistemas contínuos, se $\lambda <0$, a trajetória converge para um ponto fixo, caso $\lambda =0$, não há separação de trajetórias, correspondendo à direção constante do fluxo, um ciclo limite [³⁵].

4.3.1. Espectro de Lyapunov

Um sistema dinâmico de dimensão $N$, possui $N$ expoentes de Lyapunov, que formam o espectro de Lyapunov$\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_N\}$. Estes expoentes são geralmente ordenados do maior para o menor ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_N$.

Para determinar o espectro completo, considera-se a evolução de um conjunto de vetores ortogonais unitários, que representam pequenas perturbações em direções independentes do espaço de fases [³⁶]. O crescimento médio de cada vetor fornece o valor do expoente correspondente, calculado a partir dos logaritmos dos fatores de normalização acumulados ${\mu }_i\left(t\right)$. O espectro de Lyapunov é então expresso por:

(15) $${\lambda }_i=\underset{t\to \infty }{lim}\frac{1}{2t}\ln {\mu }_i\left(t\right),i=1,\dots ,N.$$

A Tabela 1 apresenta a interpretação do comportamento dinâmico de um sistema de $N$ dimensões com base na análise dos sinais dos expoentes. Além disso, quando a soma de todos os expoentes é igual a zero ${\sum }_{i=1}^N{\lambda }_i=0$, o volume no espaço de fases é preservado, e o sistema é conservativo. Caso ${\sum }_{i=1}^N{\lambda }_i<0$ o volume no espaço de fase contrai ao longo do tempo e o sistema é dissipativo, nesses casos, a dinâmica tende a convergir para subconjuntos do espaço de fases, como atratores fixos, cíclicos ou estranhos [², ³⁵, ³⁷].

Tabela 1
Classificação da dinâmica com base no espectro de Lyapunov.

Tipo de dinâmica	Espectro típico de Lyapunov
Ponto fixo	${\lambda }_1<0,{\lambda }_2<0,\dots ,{\lambda }_N<0$
Órbita periódica	${\lambda }_1=0,{\lambda }_2<0,\dots ,{\lambda }_N<0$
Quase-periódico	${\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_k=0,{\lambda }_{k+1}<0,\dots ,{\lambda }_N<0$
Caótico	${\lambda }_1>0,{\lambda }_2\ge 0,\dots ,{\lambda }_k\ge 0,{\lambda }_{k+1}<0,\dots ,{\lambda }_N<0$

4.3.2. Expoente de uma EDR

O modelo matemático descrito, contém equações diferenciais com defasagem temporal, também chamadas equações diferenciais com retardo (EDRs), do inglês Delay Differential Equations – DDEs. Nesse tipo de equação, a derivada em um dado instante $t$ depende não apenas do valor atual da função, mas também de seus valores em instantes anteriores. O que torna a obtenção dos expoentes de Lyapunov mais complexa, pois a dinâmica depende não apenas do estado atual $x\left(t\right)$ mas também de valores passados $x\left(t-\tau \right)$. Essa dependência faz com que o espaço de fases seja, em teoria, infinito-dimensional. Como consequência, o espectro de Lyapunov também possui, teoricamente, infinitos expoentes [³⁸, ³⁹].

Como alternativa, o cálculo dos expoentes para EDRs pode ser realizado aproximando-as por um sistema de EDOs de dimensão finita, de acordo com o método proposto por Sprott [⁴⁰]. Seja uma EDR dada por:

(16) $$\frac{dx\left(t\right)}{dt}=f(x\left(t\right),x\left(t-\tau \right)).$$

Para aproximá-la por um conjunto de EDOs, introduzse uma cadeia de variáveis auxiliares que representam amostras intermediárias do atraso temporal:

(17) $$x_0\left(t\right)=x\left(t\right),x_1\left(t\right),x_2\left(t\right),\dots ,x_N\left(t\right)\approx x\left(t-\tau \right).$$

A dinâmica aproximada do sistema é descrita pelo conjunto:

(18) $$\{\begin{array}{cc}\hfill \frac{d{x}_0}{dt}& =f(x_0,x_N),\hfill \\ \hfill \frac{d{x}_i}{dt}& =\frac{N}{\tau }\left(x_{i-1}-x_i\right),\text{para}i=\mathrm{1,2},\dots ,N.\hfill \end{array}$$

onde $x_0\left(t\right)$ representa a variável principal (o estado atual do sistema), enquanto as variáveis $x_i\left(t\right)$, com $i=1,\dots ,N$, formam uma cadeia de atraso que aproxima o histórico temporal de $x\left(t-\tau \right)$. O parâmetro $N$ controla a resolução da discretização: valores maiores de $N$ fornecem uma aproximação mais fiel da defasagem, mas aumentam o custo computacional. O termo $\left(N/\tau \right)\left(x_{i-1}-x_i\right)$ descreve o acoplamento entre variáveis adjacentes da cadeia, isso garante a propagação suave do atraso ao longo do tempo.

Essa formulação transforma a EDR original em um sistema de EDOs equivalente, permitindo aplicar métodos clássicos para a estimativa dos expoentes de Lyapunov. Neste trabalho, utilizou-se o algoritmo desenvolvido por Wolf et al. [⁴¹], amplamente empregado na literatura para esse fim.

4.4. Séries temporais

Na maioria dos casos, não é possível obter equações explícitas que descrevam a dinâmica de um sistema real. No caso do ritmo cardíaco, dispõe-se apenas do registro temporal da atividade elétrica, representado pelo sinal de ECG. Mesmo assim, séries temporais carregam informações suficientes para inferir propriedades dinâmicas do sistema [¹¹, ¹³, ³⁶].

O modelo matemático utilizado neste trabalho reproduz um sinal sintético de ECG a partir da combinação linear das variáveis de estado dos osciladores. Embora as equações do sistema sejam conhecidas, a análise direta da série simulada é relevante, pois cada oscilador apresenta regimes dinâmicos distintos, como demonstrado em [²⁷].

A partir da série temporal foi estimada a distribuição espectral de energia dos sinais reais e sintéticos, com o objetivo de comparar suas respectivas dinâmicas. Além disso, estimamos o maior expoente de Lyapunov por meio da reconstrução do espaço de fases, para os sinais sintéticos, permitindo a comparação com os valores obtidos no modelo matemático para cada ritmo.

4.4.1. Densidade Espectral de Potência

A Densidade Espectral de Potência (Power Spectral Density – PSD) descreve a distribuição da energia de um sinal entre suas componentes de frequência [³⁷]. Em sistemas não lineares, o formato do espectro expressa o regime dinâmico em ocorrência: nos movimentos periódicos, o PSD apresenta picos discretos na frequência fundamental e em seus harmônicos; em regimes quase-periódicos, surgem picos adicionais resultantes da combinação de frequências; e em regimes caóticos, o espectro tornase quase contínuo, com energia distribuída em ampla faixa de frequências, lembrando um ruído [³⁶, ³⁷, ⁴²].

A análise espectral é realizada por meio da Transformada Discreta de Fourier (DFT), que decompõe uma série temporal $x\left[n\right]$ em seus componentes de frequência:

(19) $$X\left[k\right]=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]e^{-i2\pi kn/N},$$

onde $X\left[k\right]$ representa o coeficiente associado à frequência $f_k=k{f}_s/N$, sendo $f_s$ a frequência de amostragem.

Na prática, a DFT é implementada pela Transformada Rápida de Fourier (FFT), e a PSD é estimada pelo periodograma:

(20) $$P\left[k\right]=\frac{1}{N}{\left|X\left[k\right]\right|}^2,$$

em que $P\left[k\right]$ representa a densidade espectral de potência na frequência $f_k$.

Como o periodograma apresenta alta variância e sensibilidade ao ruído, fatores que podem mascarar a estrutura espectral real, utilizou-se o método de Welch, que reduz a variância ao promediar periodogramas calculados em segmentos sobrepostos do sinal, proporcionando uma estimativa mais estável da PSD [³⁷].

4.4.2. Reconstrução do espaço de fases

A reconstrução do espaço de fases permite recuperar a dinâmica de um sistema a partir de uma única variável observável, preservando propriedades como a dimensão do atrator e o expoente máximo de Lyapunov [², ¹¹, ³⁶, ³⁷]. Neste trabalho, essa reconstrução foi obtida pelo método das coordenadas defasadas (time-delay embedding), no qual cada ponto do espaço é formado pelo valor atual da série temporal e por seus valores defasados no tempo:

(21) $$\overrightarrow{X}\left(t\right)=(x\left(t\right),x\left(t-\tau \right),\dots ,x\left(t-\left(m-1\right)\tau \right)),$$

onde $\tau$ é a defasagem temporal e $m$ a dimensão de reconstrução.

Com o espaço reconstruído, é possível calcular o maior expoente de Lyapunov do sistema dinâmico [³⁶]. Para os sinais de ECG simulados, calculamos os expoentes de Lyapunov pelo algoritmo de Wolf et al. [⁴¹], que também possibilita a estimativa direta a partir de séries temporais. Embora essa estimativa possa ser aplicada a dados reais, sua precisão depende de séries temporais longas, com baixa variância e livre de ruídos, condições que não se aplicam aos dados utilizados neste trabalho.

5. Simulação dos Ritmos Cardíacos

As equações do modelo foram resolvidas numericamente no software Wolfram Mathematica, que oferece suporte nativo à solução de EDRs. Para esse tipo de equação, é necessária a definição de uma função história, que descreve os valores passados das variáveis e permite sua utilização em uma interpolação não linear de alta ordem. A integração temporal foi realizada pelo método de Runge–Kutta adaptativo, garantindo precisão e estabilidade numérica. A partir dessa implementação, foram gerados os sinais correspondentes aos diferentes ritmos cardíacos, posteriormente comparados com registros reais do banco de dados PhysioNet [⁴³].

O sinal de ECG artificial é obtido pela (equação 8), que expressa uma combinação linear das variáveis de estado principais de cada oscilador, ponderadas pelos coeficientes ${\mu }_i$, responsáveis por controlar a amplitude de oscilação dos osciladores SA, AV e HP na composição do sinal. Em todas as simulações, adotaram-se os valores globais ${\mu }_0=\mathrm{0,8}$, ${\mu }_1=\mathrm{0,06}$ mV, ${\mu }_2=\mathrm{0,01}$ mV e ${\mu }_3=\mathrm{0,3}$ mV, com condições iniciais $x_1\left(0\right)=-\mathrm{0,1}$, $x_2\left(0\right)=\mathrm{0,025}$, $x_3\left(0\right)=-\mathrm{0,6}$, $x_4\left(0\right)=\mathrm{0,1}$, $x_5\left(0\right)=-\mathrm{3,3}$ e $x_6\left(0\right)=2/3$. Para o sistema de (equações 4)–(6), foram utilizados os parâmetros apresentados na Tabela A1, localizada no Apêndice, baseados nos trabalhos de [²⁴, ²⁷], com modificações introduzidas pelos autores para aprimorar a representação sintética dos sinais.

O Mathematica mostrou-se adequado para a realização das simulações das trajetórias no espaço de fases, das seções de Poincaré e das densidades espectrais de potência. No entanto, observou-se uma limitação de desempenho na estimativa dos expoentes de Lyapunov, decorrente das aproximações empregadas no sistemas com retardo. Para contornar esse problema, os autores desenvolveram rotinas complementares em Python, para os cálculos numéricos.

Os códigos-fonte utilizados para a realização das simulações e análises estão disponíveis para acesso público no repositório eletrônico GitHub: https://github.com/Projeto-2025v1/C-digos.

5.1. Ritmo normal

O coração em ritmo normal (RN) opera sob o controle do nó SA, que gera impulsos elétricos em uma frequência entre 60 e 100 batimentos por minuto [²⁸]. No eletrocardiograma, observa-se em sequência a onda $P$, que antecede o complexo $QRS$, seguida pela onda $T$, em intervalos regulares. Tanto o ECG real quanto o sintético, ilustrados na Figura 7, exibem a sequência $P$–$QRS$–$T$, com picos estreitos e altos no $QRS$, ondas $P$ precedendo e ondas $T$ sucedendo cada batimento, mantendo regularidade e amplitude em torno de $\pm$2 mV.

Figura 7
ECG do ritmo normal: (a) sinal real, (b) sinal simulado.

No modelo, o oscilador SA é responsável pela geração da onda $P$, enquanto os osciladores AV e HP produzem as oscilações que compõem o complexo $QRS$ e a onda $T$. Os parâmetros que asseguram uma condução coordenada e estável, reproduzindo o ritmo fisiológico observado no ECG, são os acoplamentos $k_{SA-AV}=5$ e $k_{AV-HP}=20$, juntamente com seus correspondentes reversos e os atrasos temporais ${\tau }_{SA-AV}=\mathrm{0,8}$ e ${\tau }_{AV-HP}=\mathrm{0,1}$.

Observa-se na Figura 7, no ECG real, o complexo $QRS$ é mais estreito, com variações morfológicas, ruído de linha de base e pequenas irregularidades que o tornam mais orgânico. Já o sinal sintético é mais limpo e uniforme, com ondas mais largas e suavizadas, além da ausência do segmento $S$ – $T$. A correspondência entre modelo e ECG reforça que os acoplamentos escolhidos capturam adequadamente a coordenação elétrica do coração.

5.2. Flutter atrial

O flutter atrial (FLA) é uma arritmia causada por um circuito reentrante nos átrios, gerando despolarizações rápidas entre 200 e 350 bpm. O ECG exibe um padrão de ondas semelhante a “dentes de serra”, contínuas [³³]. O FLA costuma estar associado a algum bloqueio atrioventricular fixo, onde a condução assume a forma 2:1, 3:1 ou 4:1, isso significa que a cada dois, três ou quatro batimentos atriais, apenas um chega aos ventrículos [⁴⁴].

Esse ritmo foi reproduzido por meio do aumento das frequências naturais dos osciladores e da modificação do formato do pulso, adotando-se ${\alpha }_{SA}=\mathrm{0,3}$, ${\alpha }_{AV}=\mathrm{7,0}$ e ${\alpha }_{HP}=\mathrm{8,0}$, além da redução do acoplamento para $k_{SA-AV}=\mathrm{0,66}$. Essa configuração induziu oscilações rápidas no oscilador SA e uma condução intermitente para o AV, simulando um bloqueio 3:1. Como resultado, o sinal sintético apresenta múltiplas ondas $P$ entre os complexos $QRS$, reproduzindo o padrão em “dente de serra” característico do flutter atrial.

A comparação apresentada na Figura 8 mostra as variações de formato e amplitude das ondas de flutter. No ECG real, observam-se irregularidades e ruído de linha de base, enquanto o sinal sintético é mais uniforme e simétrico, com ciclos praticamente idênticos. As diferenças observadas se devem, em parte, às limitações do sinal de referência disponível no banco de dados.

Figura 8
ECG do flutter atrial: (a) sinal real, (b) sinal simulado.

5.3. Fibrilação atrial

Na fibrilação atrial (FA), o ritmo cardíaco torna-se irregular e acelerado devido à presença de múltiplos focos ectópicos que despolarizam os átrios de forma aleatória [³³, ⁴⁴]. A simulação desse ritmo foi obtida principalmente pela introdução de perturbações constantes no oscilador SA (${\rho }_{SA}=\mathrm{7,4}$, ${\omega }_{SA}=\mathrm{13,3}$), responsável pela atividade atrial, e nos osciladores AV e HP (${\rho }_{AV}=\mathrm{1,0}$, ${\rho }_{HP}=\mathrm{15,0}$), associados às funções ventriculares. Os parâmetros de acoplamento mantidos ($k_{SA-AV}=5$ e $k_{AV-HP}=20$) asseguram que a atividade atrial desordenada se propague parcialmente aos ventrículos, reproduzindo o comportamento fibrilatório característico.

O resultado, apresentado na Figura 9, mostra a ausência de ondas $P$, complexos $QRS$ estreitos e a presença de múltiplas ondulações de baixa amplitude que se assemelham a ruídos, além de intervalos RR irregulares. A simulação reproduz de forma consistente a maioria dos traços observadas na FA, demonstrando como a introdução de perturbações periódicas altera a dinâmica do sistema.

Figura 9
ECG da fibrilação atrial: (a) sinal real, (b) sinal simulado.

5.4 Flutter ventricular

O flutter ventricular (FLV) é uma arritmia grave caracterizada por um circuito de reentrada localizado nos ventrículos, que provoca uma ativação elétrica extremamente rápida, com frequência entre 150 e 300 batimentos por minuto [⁴⁵]. No traçado do ECG, manifesta-se como uma onda quase senoidal, ampla e uniforme, sem distinção nítida entre os complexos $QRS$ e as ondas $T$. A ausência de ondas $P$ também é observada, uma vez que o ritmo se origina nos ventrículos e não nos átrios [³²]. Essa arritmia costuma ser transitória e instável, frequentemente antecedendo a fibrilação ventricular [⁴⁶].

Reproduzimos o ritmo no modelo aumentando a influência do oscilador HP e do ajuste dos acoplamentos entre os nós, adotando-se $k_{SA-AV}=3$, $k_{AV-HP}=45$ e os parâmetros que moldam o formato dos pulsos ${\alpha }_{SA}=\mathrm{0,5}$, ${\alpha }_{AV}=\mathrm{2,0}$ e ${\alpha }_{HP}=\mathrm{2,5}$. É mostrado na Figura 10 como essas modificações fazem com que a dinâmica ventricular predomine no sistema, resultando em um sinal quase senoidal, semelhante ao ritmo originado nos ventrículos. Tanto o traçado real quanto o simulado exibem morfologia monomórfica e frequência superior a 200 bpm, reproduzindo adequadamente os principais aspectos do flutter ventricular.

Figura 10
ECG do flutter ventricular: (a) sinal real, (b) sinal simulado.

5.5. Fibrilação ventricular

Dentre os ritmos analisados, a fibrilação ventricular (FV) é a arritmia cardíaca mais severa. Em vez de ocorrerem contrações organizadas, múltiplas regiões do miocárdio ventricular se ativam simultaneamente, gerando uma desordem elétrica que pode ultrapassar 300 batimentos por minuto, mas sem produzir contrações efetivas [⁴⁴]. No traçado do ECG, observa-se uma morfologia errática e totalmente irregular, sem identificação de complexos $QRS$ ou ondas $P$ e $T$, como observado na Figura 11 [⁴⁵].

Figura 11
ECG da fibrilação ventricular: (a) sinal real, (b) sinal simulado.

Reproduzimos a FV no modelo alterando o pulso do oscilador ventricular (${\alpha }_{HP}=\mathrm{0,5}$), do ajuste dos acoplamentos entre os nós ($k_{SA-AV}=3$, $k_{AV-HP}=14$, $k_{AV-HP}^{\ast }=38$) e da adição de um estímulo periódico com ${\rho }_{HP}=\mathrm{19,0}$ e ${\omega }_{HP}=\mathrm{0,3}$. Essas modificações rompem a sincronização entre os osciladores, resultando em uma atividade elétrica altamente desorganizada. O sinal simulado apresenta uma morfologia global semelhante ao traçado real da FV, ainda que com diferenças estruturais perceptíveis. Por se tratar de um regime imprevisível, uma reprodução completamente fiel é improvável; contudo, a aproximação obtida pelo modelo descreve adequadamente o comportamento caótico observado.

6. Análise e Resultados

6.1. Espaço de fases e seção de Poincaré

Os resultados obtidos da simulação de espaço de fases, juntamente com a seção de Poincaré, estão organizados em três gráficos enfileirados. O primeiro gráfico apresenta uma projeção tridimensional da trajetória no subespaço $(x_1,X,\dot{X})$, interceptada pela seção de Poincaré. Os planos laterais $(\dot{X},X)$, $(X,x_1)$ e $(\dot{X},x_1)$ exibem as projeções bidimensionais da trajetória, em que os pontos em azul indicam as interseções desta com a seção. O segundo gráfico apresenta o espaço de fases em uma projeção bidimensional, representado pelo gráfico $\dot{X}$versus$X$, no qual a linha azul contínua descreve a trajetória do ritmo ao longo do tempo. O eixo horizontal ($X$) indica o valor instantâneo do sinal de ECG, enquanto o eixo vertical ($\dot{X}$) corresponde à sua derivada temporal, $d\left(ECG\right)/dt$. Cada órbita no espaço de fases está associada a uma oscilação presente no sinal sintético, correspondendo aos eventos elétricos $P$–$QRS$–$T$. O terceiro gráfico apresenta o mapa de Poincaré, em que cada ponto representa o instante em que a trajetória cruza o “plano de corte”. Todas as simulações dos espaços de fases e das seções de Poincaré foram realizadas no intervalo $t\in \left[\mathrm{100,500}\right]$, considerado suficiente para eliminar os transientes iniciais.

O espaço de fases do RN, mostrado na Figura 12(a)–(b), apresenta um atrator do tipo ciclo limite, caracterizado por uma trajetória fechada e estável. Observam-se quatro estruturas orbitais: uma órbita principal associada ao complexo $QRS$ (despolarização ventricular), duas órbitas menores relacionadas às ondas $P$ (despolarização atrial) e $T$ (repolarização ventricular), e uma órbita de menor escala vinculada à elevação da linha de base do sinal entre ciclos, como ilustrado na Figura 7.

Figure 12
Ritmo normal: (a) projeção tridimensional do espaço de fases no subespaço $x_1$versus$X$versus$\dot{X}$, com a seção de Poincaré em vermelho interceptando as trajetórias, (b) projeção bidimensional da trajetória em $\dot{X}$versus$X$, (c) mapa de Poincaré.

As regiões com valores extremos de $d\left(ECG\right)/dt$ concentram-se nas porções superior e inferior da órbita, correspondendo aos instantes de maior rapidez nas variações do potencial elétrico cardíaco. A repetição regular dessas estruturas ao longo do tempo, sem distorções ou instabilidades no atrator, sustenta a classificação do ritmo como periódico, em concordância com o comportamento esperado de um coração saudável.

O mapa de Poincaré, apresentado na Figura 12(c), reforça essa interpretação ao exibir conjuntos discretos de pontos concentrados em regiões específicas, em vez de uma dispersão aleatória. Embora existam pequenas variações na posição desses pontos, elas permanecem confinadas a faixas estreitas, o que evidencia flutuações mínimas entre ciclos. Esse padrão sugere a presença de múltiplos modos oscilatórios de baixa amplitude, sem comprometer a estabilidade global do sistema, mantendo o regime periódico.

O atrator do flutter atrial (FLA), apresentado na Figura 13(a)-(b), exibe uma organização dinâmica distinta do ritmo normal. Observam-se duas regiões dominantes: uma órbita externa associada à atividade ventricular e um conjunto de órbitas internas concentradas no lado esquerdo do atrator.

Figura 13
Flutter atrial: (a) projeção tridimensional do espaço de fases no subespaço $x_1$versus$\dot{X}$, com a seção de Poincaré em vermelho interceptando as trajetórias, (b) projeção bidimensional da trajetória em $\dot{X}$versus$X$, (c) mapa de Poincaré.

A órbita externa corresponde ao complexo $QRS$, porém com geometria mais rígida e concentrações acentuadas nas regiões superior e inferior da trajetória. Nessas regiões, $d\left(ECG\right)/dt$ atinge magnitudes elevadas, compatíveis com transições elétricas mais abruptas. As órbitas internas representam a atividade atrial, que deixa de se organizar como uma única estrutura equivalente à onda $P$ e passa a circular repetidamente antes de acessar a órbita ventricular. Nota-se a ausência de uma órbita correspondente à onda $T$, sugerindo alteração crítica na fase de repolarização ventricular.

A comparação com o traçado de ECG do FLA, ilustrada na Figura 8, mostra que o padrão em “dente de serra” encontra correspondência direta na multiplicidade de órbitas atriais no espaço de fases. A dinâmica do sistema permanece confinada nesse ciclo atrial de alta frequência, consequência do bloqueio funcional no nó atrioventricular, que impede a condução integral dos impulsos atriais aos ventrículos.

O formato do atrator sugere que, após múltiplos ciclos atriais, parte dos impulsos é conduzida aos ventrículos, originando a órbita de maior amplitude. Esse comportamento é compatível com uma condução atrioventricular intermitente, típica de bloqueios parciais. Entretanto, a geometria do espaço de fases, isoladamente, não permite distinguir com segurança entre um regime estritamente periódico e um quase-periódico. A assimetria observada nas extremidades da órbita externa mostra variações sutis de curvatura a cada passagem, indicando que os impulsos não se repetem de forma perfeitamente idêntica. Apesar disso, a dinâmica permanece confinada a uma região limitada do espaço de fases, com padrão reprodutível ao longo do tempo.

No mapa de Poincaré da Figura 13(c), os pontos distribuem-se em dois agrupamentos, associados a fases distintas do ciclo do flutter atrial. O conjunto localizado à esquerda corresponde às passagens pela região das ondas em “dente de serra”, enquanto o agrupamento mais compacto no quadrante superior direito está associado aos cruzamentos vinculados à ativação ventricular. A regularidade da resposta ventricular leva à quase total sobreposição desses eventos, formando uma concentração densa de pontos. A presença desses agrupamentos mostra que, mesmo em condição arrítmica, a dinâmica permanece restrita a regiões específicas do espaço de fases.

Diferentemente do ritmo normal, que apresenta órbitas regulares, e do flutter atrial, caracterizado por estruturas repetitivas, o espaço de fases da fibrilação atrial (FA), mostrado na Figura 14, exibe uma trajetória densa, entrelaçada e sem direção predominante, aspecto que se torna mais evidente na projeção bidimensional em (b). A região associada à atividade atrial forma um emaranhado compacto, sem órbitas discerníveis, enquanto a porção relacionada aos eventos ventriculares apresenta uma órbita maior atravessada por múltiplas trajetórias, evidenciando variações contínuas na morfologia e no tempo dos batimentos. As trajetórias não se fecham em ciclos simples nem retornam a estados anteriores, configurando um regime não periódico e compatível com um atrator estranho, no qual a dinâmica permanece confinada a uma região do espaço de fases, mas com elevada sensibilidade às condições iniciais e perda de previsibilidade em curto prazo.

Figura 14
Fibrilação atrial: (a) projeção tridimensional do espaço de fases no subespaço $x_1$versus$X$versus$\dot{X}$, com a seção de Poincaré em vermelho interceptando as trajetórias, (b) projeção bidimensional da trajetória em $\dot{X}$versus$X$, (c) mapa de Poincaré.

A região densamente entrelaçada à esquerda corresponde à atividade elétrica atrial desorganizada, na qual impulsos múltiplos e não sincronizados percorrem os átrios sem produzir contração coordenada. O nó atrioventricular atua como um filtro funcional, permitindo a condução irregular de apenas uma fração desses estímulos, o que dá origem às órbitas de maior escala associadas aos complexos $QRS$, distribuídas com variabilidade temporal e morfológica. Esse mecanismo explica a multiplicidade de trajetórias observadas na região ventricular do atrator.

No mapa de Poincaré apresentado na Figura 14(c), os pontos se organizam em duas regiões: uma nuvem extensa e densa na porção inferior esquerda, vinculada ao emaranhado de trajetórias do atrator, e outra região mais alongada e esparsa na parte superior direita, associada aos cruzamentos esporádicos da órbita de maior amplitude com o plano de seção. Em ambos os casos, a distribuição dos pontos permanece irregular, sem estruturas geométricas recorrentes ou padrões de repetição.

Em sistemas caóticos, a trajetória nunca se repete, portanto, ela nunca cruza o plano de Poincaré exatamente no mesmo lugar. O resultado é a nuvem de pontos presente na seção transversal que "corta"o atrator estranho. A dispersão dos pontos implica diretamente na imprevisibilidade do sistema. Sabendo onde o sistema cruzou o plano em um batimento, é impossível prever exatamente onde ele cruzará no próximo batimento. Ele estará em algum lugar dentro da nuvem, mas sua localização exata é imprevisível, o que, na arritmia, se traduz com a falta de regularidade dos intervalos $RR$.

Os gráficos do FLV exibem uma dinâmica distinta dos ritmos anteriores. O espaço de fases apresenta um único atrator de grande escala, em torno do qual surgem órbitas parcialmente sobrepostas, conforme exibido nas Figuras 15(a)–(b). Não se observa uma estrutura orbital secundária associada à atividade atrial, o que caracteriza uma dinâmica predominantemente ventricular, compatível com o padrão de alta energia típico do flutter ventricular.

Figura 15
Flutter ventricular: (a) projeção tridimensional do espaço de fases no subespaço $x_1$versus$X$versus$\dot{X}$, com a seção de Poincaré em vermelho interceptando as trajetórias, (b) projeção bidimensional da trajetória em $\dot{X}$versus$X$, (c) mapa de Poincaré.

A trajetória mantém uma organização global semelhante entre ciclos consecutivos, embora sem repetição exata. Essa variação ciclo a ciclo confere ao atrator uma espessura particular. A órbita principal apresenta grande amplitude e forma aproximadamente quase senoidal, ocupando uma faixa extensa do espaço de fases, aproximadamente entre $˘$15 e $+$15 no eixo $d\left(ECG\right)/dt$.

Esses aspectos, indicam que o impulso elétrico permanece restrito aos ventrículos, produzindo despolarizações rápidas e sucessivas. A atividade atrial, quando existe, não interfere na dinâmica global e não deixa marcas perceptíveis no espaço de fases. Como discutido na seção 5.5, o flutter ventricular se manifesta no ECG como uma oscilação quase sinusoidal, contínua e acelerada. O atrator com uma única órbita de contorno arredondado traduz bem esse comportamento: uma oscilação dominante, regular e de alta frequência.

A espessura do atrator sugere que, apesar da frequência relativamente constante, o sistema não percorre o mesmo ponto do espaço de fases a cada ciclo. Essa variação pequena entre repetições caracteriza o FLV como um comportamento quase-periódico, típico de um estado instável que pode evoluir rapidamente para fibrilação ventricular.

Na visualização tridimensional, o atrator do FLV assume a forma de um “tubo” espesso e levemente deformado. A trajetória se mantém em torno de um percurso central, mas com desvios que se acumulam ao longo do tempo. Quando a seção de Poincaré é aplicada, ela atua como um plano cortando esse tubo em duas regiões. O resultado no mapa da Figura 15(c) não é um conjunto de pontos únicos, mas sim duas faixas curvas formadas por esses pontos, estrutura topologicamente equivalente a um toro ($T^2$) sendo cortado no espaço de fases, o que caracteriza a assinatura clássica da quase-periodicidade.

O sistema permanece limitado a uma trajetória regular, o que mantém os pontos de cruzamento organizados em formas de arco. Entretanto, a dinâmica não é periódica, de modo que os pontos não se sobrepõem exatamente a cada ciclo, mas se distribuem ao longo desses arcos. Em contraste com a FA, que é caótica e cujos pontos ocupam uma região bidimensional difusa, no FLV quase-periódico os pontos permanecem confinados a estruturas definidas. Isso indica que, apesar da instabilidade, o flutter ventricular mantém um nível de ordem e estrutura muito maior do que um ritmo verdadeiramente caótico, configurando um estado intermediário entre estabilidade e caos.

Em continuidade ao FLV, as trajetórias da fibrilação ventricular, representadas nos gráficos da Figuras 16(a)–(b), ocupam o espaço de fases de forma difusa e desordenada. Forma-se uma massa densa de trajetórias entrelaçadas, espalhada por uma região ampla do plano. Diferentemente dos demais ritmos, inclusive da fibrilação atrial, não surgem órbitas reconhecíveis nem repetições estruturadas. O atrator passa a ocupar o espaço de maneira quase contínua, a ponto de inviabilizar a identificação de qualquer regularidade. Mesmo numa análise inicial, esse regime se configura como o mais instável e desorganizado entre os estudados.

Figure 16
Fibrilação ventricular: (a) projeção tridimensional do espaço de fases no subespaço $x_1$versus$X$versus$\dot{X}$, com a seção de Poincaré em vermelho interceptando as trajetórias, (b) projeção bidimensional da trajetória em $\dot{X}$versus$X$, (c) mapa de Poincaré.

Assim como discutido na seção ¹¹, na fibrilação ventricular ocorre uma perda da organização do sistema elétrico cardíaco. A atividade ventricular passa a ser fragmentada, com múltiplas frentes de ativação simultâneas e sem contração mecânica coordenada. Diferentemente dos ritmos organizados, não surgem órbitas associadas aos complexos $P$ – $QRS$ – $T$. O emaranhado de trajetórias traduz um comportamento elétrico caótico e mecanicamente ineficiente, impossibilitando o bombeamento eficaz de sangue para os tecidos.

O mapa de Poincaré, como pode ser visto no gráfico (c) da Figura 14, distribui os pontos na região do atrator caótico, formando uma nuvem difusa e sem estruturas internas reconhecíveis, como arcos ou padrões de distribuição. Em comparação com a fibrilação atrial, cuja nuvem de pontos ainda mantinha algum grau de organização, com regiões de maior e menor densidade aproximadamente associadas às dinâmicas atrial e ventricular, na fibrilação ventricular essa organização residual desaparece. A distribuição torna-se mais homogênea, reforçando a ausência de qualquer ciclo reconhecível e a perda de previsibilidade entre batimentos sucessivos. A leitura conjunta desse comportamento sustenta a caracterização do regime como caótico, sem periodicidade e sem regularidade temporal, sendo reflexo do comprometimento do sistema elétrico cardíaco e a instabilidade típica desse quadro.

6.2. Espectro de potência

Nesta seção, analisamos como a energia se distribui nas diferentes frequências dos sinais reais e dos sinais gerados pelo modelo. O objetivo é verificar se o modelo reproduz a organização espectral típica de cada ritmo e, assim, confirmar a fidelidade das simulações e os regimes previamente identificados.

Os ECGs do banco de dados [⁴³] apresentaram alta variabilidade, com diferentes arritmias coexistindo em um mesmo registro. Em alguns trechos era possível identificar o ritmo normal, enquanto em outros havia uma combinação de flutter e fibrilação. Selecionamos apenas segmentos estáveis para esta análise, nos quais um único ritmo estava presente. Após o tratamento para redução de ruído, comparamos os resultados entre o PSD dos ritmos reais e seus correspondentes sintéticos, utilizando as Figuras 17 e 18. Todos os gráficos utilizam escala logarítmica, com unidade de energia em mV²/Hz, que representa a distribuição da potência do sinal em função da frequência.

Figura 17
PSD para os ritmos: (a) normal real, (b) flutter atrial real, (c) flutter ventricular real, (d) normal sintético, (e) flutter atrial sintético, (f) flutter ventricular sintético.

Figura 18
PSD para os ritmos: (a) fibrilação atrial real, (b) fibrilação ventricular real (c) fibrilação atrial sintético, (d) fibrilação ventricular sintético.

Para o RN, os espectros de potência, gráficos (a) e (d) da Figura 17 concentram picos estreitos e espaçados de forma regular, com frequências em torno de 1,2–1,5 Hz. Os picos subsequentes surgem como múltiplos inteiros dessa frequência fundamental. Como discutido em 4.4.1, esse padrão de linhas discretas e harmônicos bem definidos é típico de sinais periódicos. A potência dos harmônicos decresce gradualmente à medida que a frequência aumenta, concentrando a maior parte da energia nas componentes de baixa frequência. A frequência fundamental estimada, tanto no sinal real quanto no simulado, situa-se em aproximadamente 1,2 Hz, o que corresponde a uma frequência cardíaca próxima de 72 bpm.

A principal diferença entre os PSDs, além da estrutura que é evidente, está na presença de ruído. No sinal real, a base de ruído é mais elevada e espalhada entre os picos, manifestando as variações e irregularidades próprias de um sinal biológico. Já no sinal sintético, praticamente não há ruído de banda larga, os picos são estreitos e separados por intervalos definidos.

Em vez de apresentar picos definidos e harmônicos em múltiplos inteiros de uma frequência fundamental, o espectro real do FLA em ^17(b), possui picos irregulares, assimétricos e com flutuações. Observa-se uma faixa de frequências principais, sem um pico dominante claro, e a partir de aproximadamente 10 Hz o espectro torna-se mais “plano”, com maior nível de ruído de base, indicando que há maior dispersão da energia ao longo do espectro. A base de ruído é elevada e os picos são mais largos e menos uniformes quando comparados ao ritmo normal. No sinal sintético, gráfico (e) da Figura 17, o espectro apresenta picos discretos organizados em grupos harmônicos, com periodicidade definida e decaimento da potência previsível. A região entre os picos não apresenta ruído, indicando que não há interferências entre as frequências.

O decaimento das amplitudes não ocorre de forma monotônica, mas em blocos: conjuntos de harmônicos com amplitudes semelhantes são seguidos por quedas abruptas, seguidas de recuperação em frequências subsequentes. Esse comportamento segmentado do envelope também pode ser identificado, de maneira mais sutil, no espectro obtido a partir do sinal real, e pode estar relacionado com as múltiplas ativações atriais particulares da arritmia.

No caso do FLV, o PSD real, gráfico ^17(c), apresenta alguns picos de potência dominantes em baixas frequências, próximos de 3,5–4 Hz. Após esses picos principais, a potência decai rapidamente, restando apenas flutuações e picos secundários de baixa magnitude. A partir de aproximadamente 10 Hz, o espectro passa a ser dominado pelo ruído. Já no PSD sintético, gráfico ^17(f), observam-se picos agudos em frequências específicas. Esses picos, não são harmônicos perfeitos como em sinais periódicos clássicos, mas sim a combinação de sub-harmônicos que decaem de modo menos ordenado e previsível. As diferentes componentes de frequência, por não serem múltiplas exatas entre si, interferem e geram, essa multiplicidade de picos, que é característica de regimes quase-periódicos.

A comparação entre os dois espectros aponta que o sinal real, apesar de conter alguns picos dominantes, mantém um perfil irregular e com elevado nível de ruído, sem harmônicos bem definidos para além da componente fundamental. O sinal sintético, em contrapartida, possui caráter mais idealizado, com linhas espectrais estreitas e organização mais nítida. Ainda assim, ambos compartilham um mesmo aspecto: picos discretos de grande amplitude acompanhados por sub-harmônicos em baixas frequências, ainda que, no caso real, essa organização apareça de forma menos evidente e mais contaminada por ruído.

A análise da densidade espectral de potência desses ritmos sustenta que, embora os sinais sintéticos do ritmo normal e do flutter não reproduzam fielmente a estrutura dos sinais reais, algo esperado pela própria natureza distinta das séries, persistem similaridades estruturais e dinâmicas relevantes. No ritmo normal, mantêm-se o espaçamento regular entre picos e o padrão de decaimento; no flutter atrial, surgem agrupamentos de frequências associados à atividade atrial; e no flutter ventricular, aparecem sub-harmônicos múltiplos. Esses elementos apontam para a preservação da essência da dinâmica de cada ritmo, em coerência com as classificações dos respectivos regimes.

Entre os sinais reais e sintéticos das fibrilações, a diferença estrutural e dinâmica é bem menos acentuada, conforme demonstrado nos gráficos da Figura 18. Devido ao regime caótico, não se observam picos de potência bem definidos nos espectros da FA e da FV. Em vez disso, o espectro apresenta caráter ruidoso, com distribuição relativamente uniforme de energia, indicando potência espalhada de forma ampla ao longo das frequências.

Embora haja uma leve atenuação em altas frequências, tanto nos sinais reais quanto no sinal sintético, não se observa o decaimento abrupto de potência característico dos demais ritmos. Não ocorre a formação de harmônicos definidos, em vez disso, o espectro apresenta flutuações irregulares ao longo das frequências. Em ambos os casos, nota-se a ausência de uma frequência fundamental distinta e de suas múltiplas, resultando em uma distribuição de potência ampla, de banda larga, sustentada por uma elevada base de ruído.

Os gráficos reais exibem a natureza caótica dessas patologias, nas quais a ausência de um ritmo regular elimina qualquer traço de periodicidade. Diferentemente dos casos anteriores, em que os sinais sintéticos apresentavam maior grau de idealização, aqui eles reproduzem de forma consistente a irregularidade observada, resultando em uma representação fiel do fenômeno e reforçando o regime de caos característico das fibrilações.

6.3. Expoentes de Lyapunov

Nesta seção, são discutidos os valores dos expoentes de Lyapunov obtidos para cada ritmo, oferecendo a interpretação final sobre a natureza dinâmica associada a cada regime. Utilizamos o algoritmo de Wolf et al. [⁴¹] para estimar os expoentes, conforme descrito na metodologia. As Tabelas 2 e 3 apresentam os valores obtidos tanto a partir do sistema de equações diferenciais do modelo quanto das séries temporais construídas por combinação linear para cada ritmo.

Tabela 2
Espectro dos expoentes de Lyapunov para os diferentes tipos de ritmos.

Ritmo	λ 1	λ 2	λ 3	λ 4	λ 5	λ 6	∑λi
Normal	–0.002	–0.134	–0.396	–1.184	–3.117	–5.298	–10.131
Flutter Atrial	0.007	–0.023	–0.536	–1.884	–3.886	–8.762	–15.086
Fibrilação Atrial	0.342	–0.008	–1.573	–2.247	–6.221	–7.699	–17.406
Flutter Ventricular	0.011	–0.003	–0.428	–1.540	–5.668	–6.961	–14.598
Fibrilação Ventricular	0.052	0.006	–0.459	–1.487	–2.507	–4.529	–8.949

Tabela 3
Valores do maior expoentes de Lyapunov para os ritmos obtido a partir da série temporal.

Ritmo	λ
Normal	–0.006
Flutter Atrial	0.001
Fibrilação Atrial	0.450
Flutter Ventricular	0.012
Fibrilação Ventricular	0.289

Os valores de $\lambda$ do RN, apresentados nas duas tabelas, permanecem negativos e próximos de zero, enquanto os demais expoentes do espectro também assumem valores negativos. De acordo com a classificação da Tabela 1, o atrator no espaço de fases corresponde a um ciclo limite, indicando que o ritmo é periódico, de acordo com o diagnóstico inicial.

Para os ritmos de flutter atrial e flutter ventricular, os maiores expoentes de Lyapunov estimados apresentaram valores positivos, porém de baixa magnitude (${\lambda }_1\approx 0.01$). Embora um expoente positivo seja a condição formal para caracterizar caos, a proximidade dessesvalores com zero exige interpretação cautelosa quando comparada à análise topológica. Em séries temporais finitas, é comum que regimes quase-periódicos apresentem expoentes residuais positivos devido a ruídos de discretização e às incertezas intrínsecas ao algoritmo de estimativa, como o método de Wolf et al.

No FLA, o maior expoente permanece muito próximo de zero tanto no sistema quanto na série temporal, indicando um regime essencialmente periódico a quase-periódico. Essa interpretação é coerente com a trajetória regular no espaço de fases e com a distribuição ordenada dos pontos no mapa de Poincaré. Mesmo sob simulação com bloqueio fixo, observam-se pequenas variações que preservam a dinâmica característica da arritmia sem apresentar um comportamento caótico robusto.

No FLV, as duas abordagens de cálculo também produziram valores pequenos e positivos, porém ligeiramente superiores aos do FLA. Essa discreta elevação sugere a presença de instabilidades locais que podem decorrer de caos fraco ou de flutuações numéricas. A seção de Poincaré apresenta uma curva fechada semelhante à seção de um toro ($T^2$), característica da quase-periodicidade, enquanto um segundo expoente próximo de zero indica a interação de múltiplos modos oscilatórios, que confirma o regime em questão. Essa combinação favorece flutuações progressivas típicas das rotas para o caos, que se manifesta plenamente nas fibrilações.

Para a FA, esperava-se um valor positivo e significativo de $\lambda$, condição que se confirma nos valores obtidos. Entre todos os ritmos analisados, a FA apresentou as maiores estimativas, tanto no modelo quanto nas séries temporais. O espectro inclui ainda um segundo expoente próximo de zero, com os demais assumindo valores negativos, em concordância com as análises anteriores. A principal discrepância surge nos resultados da FV. Embora ambos os métodos tenham produzido valores positivos de $\lambda$, compatíveis com um regime caótico e instável, as magnitudes diferem de forma considerável. Diante da complexidade do atrator no espaço de fases e do padrão observado no mapa de Poincaré, seria esperado um valor semelhante ou até superior ao da FA. Esse comportamento aparece apenas nas estimativas obtidas a partir das séries temporais, enquanto o método espectral fornece valores mais baixos.

Tal discrepância quantitativa observada na fibrilação ventricular, em que a estimativa via série temporal (${\lambda }_1\approx 0.289$) supera significativamente o cálculo direto pelo espectro do modelo (${\lambda }_1\approx 0.052$), evidencia limitações inerentes a cada abordagem metodológica. Algoritmos de estimativa em séries temporais, como o utilizado nesse estudo, são sensíveis aos parâmetros de reconstrução (dimensão de imersão e atraso) e tendem a superestimar o expoente em sinais de alta entropia ou ruidosos, interpretando flutuações locais ou imperfeições do desdobramento do atrator como divergência exponencial genuína. Por outro lado, o cálculo via Jacobiana, obtido diretamente das equações do modelo, acessa a dinâmica determinística livre de artefatos de projeção, mas ignora a complexidade adicional introduzida pela combinação linear das variáveis que compõem o sinal unidimensional do ECG. Essa disparidade não invalida a classificação caótica, porém indica que, em regimes altamente instáveis como a fibrilação ventricular, a série temporal pode refletir uma imprevisibilidade prática maior do que a instabilidade teórica do modelo subjacente. Dessa forma, a validação cruzada entre a topologia do espaço de fases e os dois métodos numéricos torna-se essencial para uma caracterização robusta.

A soma negativa do espectro de Lyapunov, conforme apresentada na Tabela 2, caracteriza todos os ritmos como sistemas dissipativos. Esse resultado é coerente do ponto de vista fisiológico, já que o coração não se comporta como um sistema conservativo, há consumo contínuo de energia, e a dinâmica permanece confinada a um subconjunto limitado de estados possíveis, correspondente ao atrator. Independentemente de o ritmo ser regular ou patológico, a evolução do sistema não ocupa todo o espaço de fases. A dinâmica permanece restrita a padrões específicos, sejam eles periódicos, quase-periódicos ou caóticos, sem explorar completamente o espaço de estados.

7. Conclusão

Este trabalho analisou e identificou possíveis regimes dinâmicos em diferentes ritmos cardíacos por meio do espaço de fases, seções de Poincaré, densidades espectrais de potência e expoentes de Lyapunov, a partir de uma abordagem determinística. Fundamentamos a análise no modelo matemático do ritmo cardíaco de Góis e Savi [²⁴], aprimorado por Cheffer et al. [²⁷], que possibilitou reproduzir e caracterizar com boa fidelidade qualitativa tanto os ritmos normais quanto os patológicos.

Os resultados mostraram que o ritmo normal mantém uma dinâmica predominantemente periódica. O flutter atrial com condução 3:1 tende a um comportamento quase-periódico, enquanto o flutter ventricular exibe um regime quase-periódico intermediário, caracterizando uma transição entre estabilidade e caos. Já as fibrilações atrial e ventricular são manifestações de um regime caótico.

O caos observado nas fibrilações demonstra a perda da organização elétrica global do coração, com múltiplas regiões miocárdicas sendo ativadas simultaneamente. Já os padrões quase-periódicos nos flutters configuram um estado limítrofe, no qual há repetição de padrões, mas com instabilidade crescente, criando um cenário propício à evolução para o regime caótico característico das fibrilações. As análises baseadas em ferramentas de dinâmica não linear apresentaram resultados convergentes, reforçando a utilidade desses métodos como potenciais marcadores de risco e ampliando sua aplicação na diferenciação de padrões elétricos cardíacos e no diagnóstico de alterações patológicas.

Embora a semelhança entre os sinais simulados e os registros reais permaneça predominantemente qualitativa, o modelo preserva elementos centrais da fisiologia cardíaca e de determinadas condições patológicas, o que pode favorecer seu uso como ferramenta de investigação e apoio à análise clínica. Ainda assim, tratase de uma representação simplificada da eletrofisiologia cardíaca, sem a incorporação de heterogeneidades anatômicas, remodelamento estrutural ou influência do sistema nervoso autônomo. Consequentemente, mesmo com a reprodução adequada dos padrões gerais de estabilidade e de regimes caóticos, a complexidade e a imprevisibilidade observadas em situações reais não são integralmente capturadas. Apesar dessas limitações, os resultados obtidos permanecem consistentes e preservam a relevância das abordagens de dinâmica não linear para a compreensão dos ritmos cardíacos.

Agradecimentos

Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo suporte financeiro, concedido por meio da bolsa PIBIC.

Apêndice

Table A1
Parâmetros utilizados na simulação dos diferentes ritmos cardíacos.

Ritmo Normal
${\alpha }_{SA}$ = 2.3	${\alpha }_{AV}$ = 3.0	${\alpha }_{HP}$ = 4.0	${\rho }_{SA}$ = 0	$k_{SA-AV}$ = 5	${\gamma }_g$ = 1.35
$v_{SA1}$ = 0.2	$v_{AV1}$ = 0.1	$v_{HP1}$ = 1.0	${\omega }_{SA}$ = 0	$k_{SA-AV}^{\ast }$ = 5	${\beta }_t$ = 1.0224
$v_{SA2}$ = -1.9	$v_{AV2}$ = -0.1	$v_{HP2}$ = -1.0	${\rho }_{AV}$ = 0	$k_{AV-HP}$ = 20
$d_{SA1}$ = 3.0	$d_{AV1}$ = 3.0	$d_{HP1}$ = 3.0	${\omega }_{AV}$ = 0	$k_{AV-HP}^{\ast }$ = 20
$d_{SA2}$ = 1.0	$d_{AV2}$ = 1.0	$d_{HP2}$ = 1.0	${\rho }_{HP}$ = 0	${\tau }_{SA-AV}$ = 0.8
$e_{SA1}$ = 5.5	$e_{AV1}$ = 3.0	$e_{HP1}$ = 7.0	${\omega }_{HP}$ = 0	${\tau }_{AV-HP}$ = 0.1
$e_{SA2}$ = 1.0	$e_{AV2}$ = 1.0	$e_{HP2}$ = 1.0
Flutter Atrial
${\alpha }_{SA}$ = 0.3	${\alpha }_{AV}$ = 7.0	${\alpha }_{HP}$ = 8.0	${\rho }_{SA}$ = 0	$k_{SA-AV}$ = 0.66	${\gamma }_g$ = 0.6
$v_{SA1}$ = 1.65	$v_{AV1}$ = 0.5	$v_{HP1}$ = 1.65	${\omega }_{SA}$ = 0	$k_{SA-AV}^{\ast }$ = 0.02	${\beta }_t$ = 0.0791
$v_{SA2}$ = -4.2	$v_{AV2}$ = -0.5	$v_{HP2}$ = -2.0	${\rho }_{AV}$ = 0	$k_{AV-HP}$ = 14
$d_{SA1}$ = 2.99	$d_{AV1}$ = 4.0	$d_{HP1}$ = 7.0	${\omega }_{AV}$ = 0	$k_{AV-HP}^{\ast }$ = 60
$d_{SA2}$ = 2.99	$d_{AV2}$ = 4.0	$d_{HP2}$ = 7.0	${\rho }_{HP}$ = 0	${\tau }_{SA-AV}$ = 0.66
$e_{SA1}$ = 1.5	$e_{AV1}$ = 0.67	$e_{HP1}$ = 0.66	${\omega }_{HP}$ = 0	${\tau }_{AV-HP}$ = 0.1
$e_{SA2}$ = 1.5	$e_{AV2}$ = 0.67	$e_{HP2}$ = 0.66
Fibrilação Atrial
${\alpha }_{SA}$ = 3.1	${\alpha }_{AV}$ = 2.3	${\alpha }_{HP}$ = 10.0	${\rho }_{SA}$ = 7.4	$k_{SA-AV}$ = 5	${\gamma }_g$ = 1.25
$v_{SA1}$ = 0.2	$v_{AV1}$ = 0.1	$v_{HP1}$ = 1.0	${\omega }_{SA}$ = 13.3	$k_{SA-AV}^{\ast }$ = 5	${\beta }_t$ = 0.0335
$v_{SA2}$ = -1.9	$v_{AV2}$ = -0.1	$v_{HP2}$ = -1.0	${\rho }_{AV}$ = 1.0	$k_{AV-HP}$ = 20
$d_{SA1}$ = 3.0	$d_{AV1}$ = 3.0	$d_{HP1}$ = 3.0	${\omega }_{AV}$ = 7.5	$k_{AV-HP}^{\ast }$ = 20
$d_{SA2}$ = 1.0	$d_{AV2}$ = 1.0	$d_{HP2}$ = 1.0	${\rho }_{HP}$ = 15.0	${\tau }_{SA-AV}$ = 0.8
$e_{SA1}$ = 4.9	$e_{AV1}$ = 3.0	$e_{HP1}$ = 7.0	${\omega }_{HP}$ = 7.5	${\tau }_{AV-HP}$ = 0.1
$e_{SA2}$ = 1.0	$e_{AV2}$ = 1.0	$e_{HP2}$ = 1.0
Flutter Ventricular
${\alpha }_{SA}$ = 0.5	${\alpha }_{AV}$ = 2.0	${\alpha }_{HP}$ = 2.5	${\rho }_{SA}$ = 0	$k_{SA-AV}$ = 3	${\gamma }_g$ = 1.35
$v_{SA1}$ = 1.0	$v_{AV1}$ = 0.5	$v_{HP1}$ = 1.0	${\omega }_{SA}$ = 0	$k_{SA-AV}^{\ast }$ = 3	${\beta }_t$ = 0.218
$v_{SA2}$ = -1.9	$v_{AV2}$ = -0.4	$v_{HP2}$ = -1.0	${\rho }_{AV}$ = 0	$k_{AV-HP}$ = 45
$d_{SA1}$ = 1.9	$d_{AV1}$ = 4.0	$d_{HP1}$ = 7.0	${\omega }_{AV}$ = 0	$k_{AV-HP}^{\ast }$ = 20
$d_{SA2}$ = 1.9	$d_{AV2}$ = 4.0	$d_{HP2}$ = 7.0	${\rho }_{HP}$ = 0	${\tau }_{SA-AV}$ = 0.8
$e_{SA1}$ = 0.7	$e_{AV1}$ = 0.67	$e_{HP1}$ = 0.67	${\omega }_{HP}$ = 0	${\tau }_{AV-HP}$ = 0.1
$e_{SA2}$ = 0.7	$e_{AV2}$ = 0.67	$e_{HP2}$ = 0.67
Fibrilação Ventricular
${\alpha }_{SA}$ = 4.0	${\alpha }_{AV}$ = 3.0	${\alpha }_{HP}$ = 0.5	${\rho }_{SA}$ = 0	$k_{SA-AV}$ = 3	${\gamma }_g$ = 0.5
$v_{SA1}$ = 1.0	$v_{AV1}$ = 0.5	$v_{HP1}$ = 1.65	${\omega }_{SA}$ = 0	$k_{SA-AV}^{\ast }$ = 0.4	${\beta }_t$ = 0.674
$v_{SA2}$ = -1.9	$v_{AV2}$ = -0.5	$v_{HP2}$ = -2.0	${\rho }_{AV}$ = 0	$k_{AV-HP}$ = 14
$d_{SA1}$ = 1.51	$d_{AV1}$ = 4.0	$d_{HP1}$ = 7.0	${\omega }_{AV}$ = 0	$k_{AV-HP}^{\ast }$ = 38
$d_{SA2}$ = 1.51	$d_{AV2}$ = 4.0	$d_{HP2}$ = 7.0	${\rho }_{HP}$ = 19.0	${\tau }_{SA-AV}$ = 0.8
$e_{SA1}$ = 0.8	$e_{AV1}$ = 0.67	$e_{HP1}$ = 0.66	${\omega }_{HP}$ = 0.3	${\tau }_{AV-HP}$ = 0.1
$e_{SA2}$ = 0.8	$e_{AV2}$ = 0.67	$e_{HP2}$ = 0.66

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Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  19 Jan 2026
• Data do Fascículo
  2025

Histórico

• Recebido
  20 Ago 2025
• Revisado
  03 Nov 2025
• Aceito
  04 Nov 2025